TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO
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TRIGONOMETRIA Introdução A palavra trigonometria tem origem grega e significa “medida de triângulos” sendo formada pelos radicais tri = três, gonos = ângulo, metron = medir. A trigonometria começou como uma Matemática prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serviu à navegação, à agrimensura e à astronomia. Existe a trigonometria plana que lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são secções da superfície de uma esfera. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica ampliou sua aplicação à Física, à Química e a quase todos os ramos da Engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.Arcos de Circunferência – Se dois pontos, A e B são tomados sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes denominadas arcos de circunferência sendo A e B as extremidades desses arcos.
A
B
O
A
B
arco linearizado
Medida de ArcosMedir um arco é compará-lo com outro arco adotado como unidade. As unidades adotadas são:
A medida (em graus) de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.
O grau admite como subdivisões o minuto ( ‘ ) e o segundo ( “ ), de forma que: 1º = 60’ e 1’ = 60”
360º 400 gr 2 rad ou 180º 200 gr rad
Exercícios de Revisão
1 Alex Pereira
Grau (1º) – é o arco
unitário igual a da
circunferência.
Grado (1 gr) – é o arco
unitário igual a da
circunferência.
Radiano (1 rad) – é o arco unitário cujo comprimento é igual a um RAIO da circunferência.
r
r
rad
01. Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em radianos é igual aa) (/4) - 17b) (64/15) c) (64/45)d) (16/25)e) (32/45)
Comprimento de Arco É o produto do raio da circunferência pela medida, em radianos, do ângulo central correspondente.
Exercícios de Revisão
01.Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60º contido numa circunferência de raio 1,5cm?
02.Dados o comprimento C do arco AB e o raio da circunferência, calcule a medida do arco em radianos.
a) C = 0,5m e r = 0,25m b) C = 2cm e r = 0,04m c) C = 6cm e r = 2cm
Ciclo Trigonométrico Circunferência centrada na origem do plano cartesiano de raio unitário. Por convenção o ponto A(1,0) é a origem dos arcos orientados dessa circunferência, ou seja, para percorrer estes arcos A será sempre o ponto de partida e o sentido anti-horário é considerado como positivo do percurso.
2 Alex Pereira
Os eixos cartesianos (x e y) determinam na circunferência quatro arcos congruentes chamados quadrantes.
B
B’
AA’O
-1
-1
1
1
s
Q1 (1º quadrante)
Q4 (4º quadrante)Q3 (3º quadrante)
Q2 (2º quadrante)
A
O
s+
-
Medida Algébrica de Arcos Orientados
Sendo AP um arco trigonométrico de medida x em graus ou radianos a medida algébrica de AP é um número real dado por + x ou – x, respectivamente quando o sentido de for anti-horário ou horário.
Observe que, com extremidades no mesmo ponto P, existem dois arcos AP , com medidas e sentidos diferentes. Por exemplo, os arcos 60º e – 300º têm as mesmas origem e extremidade Quando P coincide com A, temos três casos distintos:
3 Alex Pereira
y
x x
y
A
P
A
P
AP =
AP = -
x
y
60°
P
A
60° = 300°
P A P A P A
Arcos com mais de uma volta
Em trigonometria, existem arcos com medidas maiores que 360º (ou menores que – 360º) para representar mais de uma volta no sentido positivo (ou negativo). Esta notação é comum ao nosso cotidiano, por exemplo quando um móvel dá duas voltas em uma pista circular o mesmo percorre um arco de 720º, pois cada volta corresponde a um arco de 360º. Observe as seqüências de arcos abaixo:
60º + 360º . 0 60º + 360º . 1 60º + 360º . 2
60º – 360º . 1 60º – 360º . 2
Arcos Côngruos
Arcos que diferem de um número inteiro de voltas, ou seja têm a mesma extremidade.
4 Alex Pereira
60° 420° 780°
Um ponto P da ciclo trigonométrico é extremidade de uma coleção de arcos cuja expressão geral é:x + 360ºk ou x + 2k (kZ) ;onde x é chamado primeira determinação positiva se 0 x 2
- 300° - 660°
1ª determinação negativa
20º, 380º, 740º, 110º, -340º (ARCOS CÔNGRUOS)
1ª determinação positiva
Arco nulo (0°) Arco de uma volta positiva(360° ou 2)
Arco de uma volta negativa(-360° ou - 2)
Expressão geral:
P
s
x0
k2xx 0
O rAExpressão geral: AP = x0 + 2k (k Z)
Exercícios de Revisão
01.Determine a MDP (menor ou 1a determinação positiva) e a MDN (maior ou 1a determinação negativa) para cada arco a seguir:a)1400ºb)– 1200ºc)
d)
e)
02. Indique a expressão geral dos arcos cujas extremidades são os pontos indicados nas figuras abaixo:
a) b) c)
d) e)
Razões Trigonométricas no Ciclo Trigonométrico
5 Alex Pereira
45°
150°
45°
A B
D C45°
Os pontos destacados representam os vértices de um hexágono regular
arco sen cos
0 1
1
360º ou 2 0
Seno e CossenoNo plano cartesiano cada ponto P corresponde a um par de números reais denominados abscissa e ordenada.
Preencha os espaços em branco do quadro ao lado com os valores do seno e cosseno dos seguintes arcos trigonométricos indicados no círculo
Sinal do Seno e do Cosseno
Como sen x e cos x são as coordenadas de um ponto do plano cartesiano então os sinais do seno e do cosseno dependem do quadrante do ponto.
Exercícios de Revisão01. Se a medida x de um arco é tal que < x < , então
6 Alex Pereira
sen()
cos()
P(sen, cos}
o seno do arco é a ordenada de P
o cosseno do arco é a abscissa de P
180º ou
90º ou
270º ou
(1,0)
360º ou 2(-1,0)
(0,1)
(0,-1)
SINAIS DO SENO
SINAIS DO COSSENO
O valor máximo assumido pelo seno ou cosseno é 1 e o mínimo é -1, ou seja,
- 1 senx, cosx 1
1
a) sen (x + ) > 0b) cos (x + ) < 0c) tg (x + ) > 0d) cos (x + 2) > 0e) sen (x + 2) > 0
02.. Se x é a medida de um ângulo em radianos e < x < , então
a) cos x > 0.b) cos 2x < 0.c) tgx > 0.d) sen x < 0.e) sen 2x > 0.
03.Para que valores reais de m existe a relação
a) -1 m 1b) -2 m 2c) -1 m 2d) -2 m 1e) -3 m 1
TangenteO eixo das tangentes é a reta paralela ao eixo dos cossenos pela origem dos arcos. Para se obter a tangente de um arco basta prolongar radialmente a reta que passa pela origem do plano cartesiano e pela extremidade do arco até interceptar o eixo das tangentes.
Note que a tangente não está definida para os arcos 90º, 270º, bem como todos os seus côngruos, ou seja:
a tangente de x só existe se :
7 Alex Pereira
Eixo das tangentes
1
x
tgx
220º
155ºtg 30º
tg 60º
tg 155º
tg 310º
tg 220º
90º (não existe tg)
180º (não existe tg)
Sinal da Tangente Usando que tg(x) = sen(x)/cos(x) e a regra de sinais para a divisão, podemos obter o sinal da tangente através dos
sinais do seno e do cosseno.
Cotangente O eixo das cotangentes é a reta paralela ao eixo dos senos pela extremidade do arco de 90º. Para se obter a cotangente de um arco basta prolongar radialmente a reta que passa pela origem do plano cartesiano e pela extremidade do arco até interceptar o eixo das cotangentes.
Note que a cotangente não está definida para os arcos 0º, 180º, bem como todos os seus côngruos, ou seja
x
cotg x eixo cotangente
a cotangente de x existe se :
8 Alex Pereira
Sinal do seno Sinal do cosseno Sinal do tangente
cotgx
x
90º
cotg 50°
50º
160º
180º (cotg não existe) 0 (cotg não existe)
Cotg 160°
cossec x existe se
sec x existe se
Sinal da Cotangente A cotangente possui o mesmo sinal da tangente, pois é a sua razão inversa, sendo positiva nos quadrantes ímpares (1o Q e 3o Q) e negativa nos pares (2o Q e 4o Q).
Cossecante e Secante Representam, respectivamente, as razões inversas do seno e do cosseno. Para obtê-las basta prolongar a reta tangente ao ciclo trigonométrico que passa pela extremidade do arco até encontrar os eixos coordenados.
O sinal da cossecante coincide com o sinal do seno da mesma forma que o da secante coincide com o do cosseno.
Interpretação Geométrica de todas as Razões Trigonométricas
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS IMPORTANTES:Do triângulo retângulo acima tiramos que:
9 Alex Pereira
cotg
cossec
seccos
sentg
1
sen2 + cos2 = 1 (Dividindo esta ralação por cos2 e por sen2 , respectivamente temos as seguintes
relações derivadas tg2 + 1 = sec2 e tg2 + 1 = sec2
Exercícios de Revisão
01.Seja x um número real pertencente ao intervalo [0, ]. Se secx = 3/2, então tgx é igual a
a) 2/3b) 2/3c) 1/2d) 5/2e) 3/2
02.Se x é um arco do 3o quadrante e cosx = - 4/5, então cossecx é igual a a) -5/3b) -3/5c) 3/5d) 4/5e) 5/3
03. Se o cos x = 3/5 e - < x < 0, então tg x vale:
a) -4/3.b) -3/4.c) 5/3.d) 7/4.e) -7/4.
04.Sabendo que sec x = 3, calcular o valor da expressão y = sen2 x + 2 tg2 x
05.Sendo x um arco do 2º quadrante e sec x = - 3, então cossec x é:
10 Alex Pereira
06.Se , calcule o valor da expressão
07.Simplifique a expressão
Redução ao 1o QuadranteDado um arco qualquer do 2oQ, 3oQ ou 4oQ podemos determinar um arco do 1oQ que tem as mesmas razões trigonométricas do arco dado, em valor absoluto (o sinal pode não ser o mesmo). É importante lembrar dos valores das razões trigonométricas dos ângulos notáveis do 1oQ e que os sinais destas razões dependem do quadrante do arco a ser substituído.
Sendo x um arco do 1oQ ( 0 < x < ), temos:
sen cos tg
30º
45º 1
60º
sen e cossec
cos e sec
tg e cotg
1oQ + + +
2oQ + – –
3oQ – – +
4oQ – + –
11 Alex Pereira
180° -
180° + 360° -
180º – x 2oQ
180º + x 3oQ
360º – x 4oQ
Redução do 2oQ para o 1oQ
Redução do 3oQ para o 1oQ
12 Alex Pereira
sen(180º – x) = sen x
cos(180º – x) = – cos x
tg(180º – x) = – tg x
cossec(180º – x) = cossec x
sec(180º – x) = – sec x
cotg(180º – x) = – cotg x
tg(180°- x)
Sen(180°- x)
180° - x
cos(180°- x) cos(x)
sen(x) tg(x)x
x
x
x
180° + x
cos(180° + x)
sen(x)
sen(180° + x)
cos(x)
tg(x)
sen(180º + x) = – sen x
cos(180º + x) = – cos x
tg(180º + x) = tg x
cossec(180º+x) = – cossec x
sec(180º + x) = – sec x
cotg(180º + x) = cotg x
Redução do 4oQ para o 1oQ
Regra Prática
Exercícios de Revisão
01.Determine o valor de:a) sen 120º
b) tg 240º
13 Alex Pereira
x
x
senx
sen(360° - x) tg(360°- x)
tg(x)
sen(360º – x) = – sen x
cos(360º – x) = cos x
tg(360º – x) = – tg x
cossec(360º – x) = – cossec x
sec(360º – x) = sec x
cotg(360º – x) = – cotg x
1. Localize o quadrante do arco a ser reduzido.
2. Encontre o sinal da razão trigonométrica no referido quadrante.
3. Encontre o arco(x) correspondente no 1oQ.
xx
xx
180° - x
180° + x 360° - x
x2oQ quanto falta para 180º3oQ quanto passa de 180º4oQ quanto falta para 360º
c) cos 150º
d) sen 300º
e) cos 2490º
Simplificação de razões Trigonométricas dos arcos da forma k x (kZ)
Supondo, sem perda de generalidade, que x é um arco do 1oQ, conserva-se a razão trigonométrica e o sinal é o mesmo da razão trigonométrica no quadrante em que está k x.
Exemplo:a) sen ( + x) = b) cos ( + x) = c) sen (2 + x) = d) cos (2 + x) =
e) sen (3 + x) = f) sen (3 + x) =
g) tg ( - x) = h) sec ( - x) = i) sen (11 - x) = j) cos( 14 + x) =
Simplificação de razões Trigonométricas dos arcos da forma (k/2) x, k inteiro ímpar Supondo, sem perda de generalidade, que x é um arco do 1oQ, troca-se a razão trigonométrica pela co-expressão e o sinal é o mesmo da razão trigonométrica no quadrante em que está (k/2) x,.
expressão co-função
sen cos
tg cotg
sec cossec
14 Alex Pereira
Exemplo: Simplifique as seguintes expressões:
a) sen ( - x) = b) cos ( - x) =
c) sen ( + x) = d) cos ( + x) =
e) tg ( + x) = e) cossec ( - x) =
Exercícios de Revisão
01.A expressão sen 270º - cos 150º - tg 135º - sec 300º é igual a:
a)
b)-
c)
d)
e)2 -
02.De acordo com as relações de redução ao 1o quadrante, calcule o valor da expressão.
a)1/5 b) 2/5 c)3/8 d)5/2 e)6
03.A expressão , para todo x real, é equivalente a:
a)5 sen xb) 8 tg xc)2 tg xd)7 sec xe)8 cos x
15 Alex Pereira
04.Resolva as expressões trigonométricas:
a)
b)
05.Calcule o valor da expressão :
para x =
16 Alex Pereira