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TRIGONOMETRÍA

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ESQUEMA DE TRIGONOMETRÍA

Definición de triángulo. Definición de ángulo. Propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo. Triángulo rectángulo. Enuncia el teorema de Pitágoras. Razones trigonométricas Relaciones fundamentales de las razones trigonométricas:

� Cos2α + sen2α =1 � 1 + tg2α = 1/ cos2 α

Demostraciones Definición de radián.

� Paso de grados sexagesimales a radianes. � Paso de radianes a grados sexagesimales

La circunferencia goniométrica: su utilidad y su utilización. La reducción de las razones trigométricas de los ángulos al primer cuadrante.

• Del segundo al primer cuadrante. • Del tercer al primer cuadrante. • Del cuarto al primer cuadrante.

Ángulos de medidas cualesquiera. La resolución de triángulos rectángulos: Explica cómo resuelves un triángulo rectángulo en las siguientes situaciones.

• Conociendo los tres lados. • Conociendo dos ángulos. • Conociendo un ángulo agudo y un cateto. • Conociendo un ángulo agudo y la hipotenusa.

El teorema de los senos: enunciado, demostración y utilidad. El teorema del coseno. Enunciado, demostración y utilidad. Resolución de triángulos no rectángulos.

• Conociendo dos ángulos y un lado. • Conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. • Conociendo dos lados y un ángulo que no es el comprendido entre ellos. • Conociendo los tres lados.

¿Qué supone el teorema del coseno con respecto al teorema de PITÁGORAS? Relaciones trigonométricas de gran interés.

� Razones trigonométricas de los ángulos suma y diferencia. � Razones trigonométricas del ángulo doble. � Razones trigonométricas del ángulo mitad.

Resolución de ecuaciones trigonométricas. ¿Qué supone resolver una ecuación trigonométrica? • Simples. • Complejas.

Diferentes fórmulas para hallar el área de un triángulo. • Base y altura • Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos • Los tres lados.

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TRIGONOMETRÍA Responde: 1. Escribe la definición de trigonometría:

2. ¿Por qué crees que se deben estudiar los triángulos?

3. Clasificación de los triángulos: Completa las definiciones siguientes, realizando un dibujo de

cada uno de ellos. En una hoja adjunta.

1. Según sus lados

• Equilátero:

• Isósceles:

• Escaleno:

2. Según sus ángulos

• Acutángulo:

• Rectángulo:

• Obtusángulo:

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Propiedad LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ES 180º (EL ÁNGULO LLANO). Demostración Toma dos hojas de papel, un rotulador, pegamento y unas tijeras, dibuja un triángulo en una de

las hojas, colorea cada uno de los ángulos, recorta el triángulo y después los ángulos,, traza una

recta en la otra hoja, a continuación ve pegando los ángulos uno a continuación de otro y

comenzando con el primer ángulo desde la recta trazada.

Responde:

¿Qué ocurre?

¿Cuánto suman los tres ángulos?

EL TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. h (hipotenusa)

(Cateto) c

b (Cateto)

c2+ b2= h2

Las ternas pitagóricas son tres números de forma que el triángulo formado por esos lados

verifican la igualdad anterior por ejemplo 3,4,5 es una terna pitagórica.

Compruébalo.

Busca alguna más.

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Las razones trigonométricas

Una razón es un cociente, una división, una proporción, una fracción y por tanto un número.

En un triángulo rectángulo se definen las siguient es razones trigonométricas: ββββ (beta)

h (hipotenusa) (Cateto) c

αααα (alfa)

b (Cateto)

sen αααα = cateto opuesto a alfa / hipotenusa = c/h

cos αααα = cateto contiguo a alfa / hipotenusa = b/h

tg αααα = cateto opuesto a alfa / cateto contiguo a alfa = c/b

Opuesto a significa: en frente de

Contiguo a significa: junto a

sen ββββ = cateto opuesto a beta / hipotenusa = b/h

cos ββββ = cateto contiguo a beta / hipotenusa = c/h

tg ββββ = cateto opuesto a beta / cateto contiguo a beta = b/c

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Comprueba que los triángulos cuyos lados están en la tabla siguiente verifican el teorema de

Pitágoras. Dibuja el triángulo de algunos . Calcula el perímetro del triángulo, su área y las

razones trigonométricas de los ángulos agudos. (α β)

c b h Sen αααα Cos αααα Tg αααα Sen ββββ Cos ββββ Tg ββββ Perímetro Área 3 4 5

12 5 13

24 7 25

15 8 17

24 10 26

60 11 61

84 13 85

24 18 30

80 18 82

180 19 181

264 23 265

20 21 29

220 21 221

120 22 122

1. ¿Qué puedes decir de los triángulos formados a partir de los datos de la tabla anterior?

2. ¿Qué relación existe entre los ángulos α y β, de dichos triángulos?

3. ¿Qué relación existe entre las razones trigonométricas de los ángulos α y β?

• ¿Qué observas entre el seno de alfa y el coseno de beta?

• ¿Qué observas entre el coseno de alfa y el seno de beta?

• ¿Qué observas entre la tangente de alfa y la tangente de beta?

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El radián

El radián es la forma de medir los ángulos en las matemáticas superiores. Es el ángulo

que determina un arco de circunferencia con igual longitud que su radio.

La longitud de la circunferencia es L= 2πr

La longitud del arco es La= r.

Habrá tantos radianes como arcos, es decir como veces contenga la longitud de la

circunferencia al arco con la longitud del radio.

L/ La =2πr/r=2π.

Una circunferencia contiene 2ππππ radianes. Un radián mide

57,2957795130823208767981548141052... º

LA CALCULADORA Y LA TRIGONOMETRÍA La calculadora posee tres formas de medir ángulos.

En grados sexagesimales DEG MODE 4

La circunferencia mide 360º sistema utilizado desde mesopotamia (Babilonia), pasando a

Persia y a la India que posteriormente llega a occidente con los árabes. (La forma de medir el

tiempo una 1 hora = 60 minutos; 1 minuto = 60 segundos es un ejemplo actual de la utilización de

este sistema)

En grados centesimales GRA MODE 6

Utilizado en profesiones técnicas (arquitectos, aparejadores y topógrafos) en las que los

ángulos juegan un papel importante en el cálculo de áreas, distancias, pendientes, peraltes.

En radianes. RAD MODE 5

Es la forma de medir los ángulos en matemáticas está basada en la importancia por el

número de veces que aparece en cualquier parte de las matemáticas el número pi con el símbolo

π.π.π.π.= 3,1415926535897932384626433832795... = 3,1415926535897932384626433832795... = 3,1415926535897932384626433832795... = 3,1415926535897932384626433832795...

ππππ posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Una circunferencia posee 2·ππππ radianes.

Se define el radián como aquel ángulo de la circunferencia de forma que el arco que

abarca mide exactamente igual que el radio de la circunferencia.

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Paso de grados sexagesimales a radianes.

El paso se realiza mediante regla de tres simple y directa sabiendo que los 360 º que tiene una

circunferencia son 2π radianes.

Completa las tablas siguientes:

Grados 180 90 45 60 30 15 75 135 225 270 360 Radianes

Grados Radianes ππππ 2222ππππ ππππ/2/2/2/2 ππππ/4/4/4/4 ππππ/6/6/6/6 ππππ/5/5/5/5 3333ππππ/2/2/2/2 2222ππππ/3/3/3/3 5555ππππ/4/4/4/4 7777ππππ/4/4/4/4 ππππ/12/12/12/12

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Se utilizarán los grados sexagesimales, mientras no se diga lo contrario. Completa la tabla:

Ángulo αααα

sen αααα cos αααα tg αααα sen αααα/cos αααα sen 2 αααα+ cos 2 αααα

0º 5º

10º 15º 20º 25º 30º 35º 40º 45º 50º 55º 60º 65º 70º 75º 80º 85º 90º

• Qué conclusiones obtienes al completar la tabla siguiente.

¿Qué son dos ángulos complementarios?

• ¿Puedes decir si estos tiene algo que ver con las razones trigonométricas seno y coseno?

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PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA

Cálculo de distancias a partir de otras distancias y de razones trigonométricas: 1. Calcula la altura que alcanza un globo si tiene una cuerda de 10 m y por el levante la cuerda

forma un ángulo de 30º con el suelo. 2. Halla la altura de una cometa que está unida al suelo por una cuerda de 100 m, que forma con

la horizontal del terreno un ángulo de 60º . Suponiendo que el hilo está tirante.

100 m ¿altura? 3. Halla la altura de un edificio si proyecta una sombra de 20 m cuando los rayos solares forman

un ángulo de 45º con el suelo. 4. Determina la altura que alcanza una escalera apoyada sobre una pared y de 4 m de longitud

que forma un ángulo de 56º con el suelo. ¿A qué distancia se encuentra de la pared?

4 m

56º 5. Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se

apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º . Halla la anchura de la calle. ¿A qué altura se alcanza sobre cada una de las fachadas?

45 º

30 º

60 º

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Cálculo de inclinaciones (ángulos) a partir de dis tancias y razones trigonométricas:

6. Halla la altura de un árbol que proyecta una sombra de 7m cuando una persona de 1,73 m de

altura proyecta una sombra de 1 m ¿Cuál es la inclinación de los rayos solares con el suelo? 7. Calcula los ángulos de los vértices de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 12 cm.

Polígonos regulares áreas y apotemas 8. Calcula la apotema y el área de un pentágono regular con 16 cm de lado.

16 cm

9. Calcula la apotema y el área de un octógono regular con 16 cm de lado. 10. Calcula la apotema y el área de un hexágono regular con 16 cm de lado. 11. Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y las ramas miden 12 cm ¿ Halla el ángulo

que forman las ramas del compás? 12. Una escalera debe tener 20 escalones, determina la inclinación de la escalera si las partes

de los escalones miden 30 y 40 respectivamente.

40 cm

30 cm

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Experiencia: Recordando a Thales de Mileto. Con el mástil, una tiza y un metro debes completar la siguiente tabla, después deberás utilizar las razones trigonométricas para seguir completando. Es aconsejable que realices un dibujo.

Hora Longitud de la sombra Longitud del mástil tg αααα Ángulo αααα

1. Realiza un dibujo de las longitudes de las sombras en distintas horas e intenta explicar el

porqué de esto.

2. Indica un procedimiento para calcular la hora a partir de la longitud de la sombra.

3. Indica si el ángulo depende de la longitud del mástil. Para ello considera distintas longitudes

del mástil.

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Cálculo de razones trigonométricas una a partir de otra. sen αααα 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 cos αααα tg αααα sen αααα cos αααα 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 tg αααα

Dada las longitudes de los lados de los triángulos indica como procederías para determinar si son rectángulos, ¿Puedes hallar los ángulos opuestos al cateto menor? Indica como.

c b h 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 35 12 37 48 14 50 63 16 65 80 18 82 99 20 101

120 22 122 143 24 145 168 26 170 195 28 197 224 30 226 255 32 257 288 34 290 323 36 325 360 38 362 399 40 401 440 42 442 483 44 485 528 46 530 575 48 577 624 50 626 675 52 677 728 54 730

c b h

16 30 34 27 36 45 40 42 58 55 48 73 72 54 90 91 60 109 112 66 130 135 72 153 160 78 178 187 84 205 216 90 234 247 96 265 280 102 298 315 108 333 352 114 370 391 120 409 432 126 450 475 132 493 520 138 538 567 144 585 616 150 634 667 156 685 720 162 738 775 168 793 832 174 850 891 180 909

Encuentras algún grupo de triángulos que posean los mismos ángulos agudos, ¿Qué

propiedad cumplen los lados? ¿Y las áreas de los triángulos .?

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LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Circunferencia utilizada para medir los ángulos. Es una circunferencia DE RADIO 1. 1º cuadrante 2º cuadrante 3º cuadrante 4º cuadrante

Coseno del ángulo

Seno del ángulo

Ángulo αααα Tangente del ángulo

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PITÁGORAS ES MÁS QUE UN TEOREMA Breve Historia.

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió en el periodo 585 – 500 A. C. Hombre

místico y aristócrata que fundó la Escuela Pitagórica, una especie de secta cuyo símbolo era el

pentágono estrellado, y dedicada al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía.

Por muchos años se le ha atribuido a Pitágoras el enunciado y demostración del teorema

geométrico que lleva su nombre. Aunque algunos historiadores consideran lo contrario, ha resultado

difícil demostrarlo, debido al misterio que rodeaba las enseñanzas de la escuela, así como el carácter

verbal de estas y la obligación de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela.

Existen evidencias de que en otras culturas también se conocía el teorema. Por ejemplo, los

hindúes explícitamente enuncian una regla equivalente a este teorema en el documento Sulva –

Sutra que data del siglo VII A.C. Por otra parte, los Babilonios aplicaban el teorema 2000 años A. C.,

pero tampoco se conoce de la existencia de una demostración, ya que la geometría no era para ellos

una teoría formal sino un cierto tipo de aritmética aplicada, en la cual las figuras venían

representadas en forma de números. A su vez, los egipcios conocían que el triángulo de lados 3,4 y

5 es rectángulo pero no se conoce de la existencia de alguna regla que sustente el conocimiento del

teorema.

Algunos aseguran que durante sus viajes a Egipto y al oriente antiguo, el sabio griego conoció

el enunciado de la regla y se dedicó a demostrarla.

El enunciado que dieron los antiguos griegos al Teorema de Pitágoras es el siguiente: el área

del cuadrado construido sobre la hipotenusa, de un triángulo rectángulo es igual a la suma de

las áreas de los cuadrados construidos sobre los ca tetos.

El enunciado moderno es: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipot enusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Algo de lógica

p = “el triángulo es rectángulo”

q = “c 2 +b2 =h2”

El teorema consiste en afirmar que siempre que ocurra p ( el triángulo sea rectángulo) entonces obligadamente se tiene q( la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de las cuadrados de los catetos).

p ���� q

¿Ahora bien, se cumple el resultado contrario? Es d ecir, siempre que el triángulo cumpla que

el lado mayor al cuadrado sea igual a la suma de lo s cuadrados de los otros dos se cumplirá

que el triángulo va a ser rectángulo.

q ���� p

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ALGUNOS PRINCIPIOS PITAGÓRICOS, NO MATEMÁTICOS:

• Abandona los grandes caminos, sigue los senderos.

• Economizad las lágrimas de vuestros hijos, a fin de que puedan regar con ellas vuestra tumba.

• Educad a los niños y no será necesario castigar a los hombres.

• Educar no es dar carrera para vivir, sino templar e l alma para las dificultades de la vida.

• El hombre es mortal por sus temores e inmortal por sus deseos.

• El principio es la mitad del todo.

• Entre dos hombres iguales en fuerza, el más fuerte es el que tiene la razón.

• No sabe hablar quien no sabe callar.

• No te envanezca ser amado mucho por una mujer a quien profesas ardiente amor.

• Resuélvete a seguir la conducta más excelente y por costumbre te deleitarás con ella.

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AHORA, LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA EN LA VERSIÓN AN TIGUA: 1.- Dibujamos un triángulo rectángulo cualquiera

c h

b 2.- Construimos cuadrados a cada uno de los lados del triángulo anterior. h2

c2

b2

3.- Dibujamos un cuadrado con el lado igual a la suma de los catetos del triángulo, sobre él dibujamos cuatro triángulos rectángulos iguales al inicial. El cuadrado de en medio tiene un área con valor h2. c b h2 4.- Consideramos los triángulos diferenciados dos a dos h2

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5.- Desplazamos los triángulos que tienen el mismo sombreado para formar un rectángulo en vértices diametralmente opuestos. b2 c2 Por tanto la suma del área no rayada coincide con el área de un cuadrado con lado a y con el área

no rayada de un cuadrado de lado b, y como el área no rayada coincide con el área de un cuadrado

con lado la hipotenusa del triángulo rectángulo. De modo que se tiene la igualdad siguiente que es la

tesis del teorema de Pitágoras.

c2 + b2 = h2

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EL TEOREMA DEL COSENO COMO AMPLIACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS. Las letras minúsculas son distancias. (Lados) Las letras mayúsculas son los vértices y si tienen el acento circunflejo indican también el ángulo Ĉ a

B^

b

c Â

a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos(Â) Comprueba:

1. Si el triángulo es rectángulo aplicando el teorema del coseno se obtiene el teorema de Pitágoras.

2. Si en un triángulo se cumple el teorema de Pitágoras entonces el triángulo es rectángulo. (En

cierto modo este resultado se conocía hace 3.000 años es Egipto y mesopotamia) pero solo para

el triángulo de lados 3, 4,5.

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El teorema de los senos Ĉ a

B^

b

c Â

)()()( Csen

c

Bsen

b

Asen

a ==

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Relaciones trigonométricas: Las relaciones trigonométricas no son el producto de mentes malintencionadas que pretenden poner

trabas a los alumnos de 1º de bachillerato para aprobar las matemáticas sino que son una serie de fórmulas que se han deducido principalmente en el s. XVI como consecuencia de las necesidades del cálculo y que por no disponer de máquinas eficientes era bastante engorroso calcularlas directamente teniendo que recurrir a las tabas trigonométricas como las que se presenta a continuación.

Ángulo cos Sen Tan Cotan Ángulo

0 1 0 0 #¡DIV/0! 90

1 0,9998476952 0,0174524064 0,0174550649 57,2899616308 89

2 0,9993908270 0,0348994967 0,0349207695 28,6362532829 88

3 0,9986295348 0,0523359562 0,0524077793 19,0811366877 87

4 0,9975640503 0,0697564737 0,0699268119 14,3006662567 86

5 0,9961946981 0,0871557427 0,0874886635 11,4300523028 85

6 0,9945218954 0,1045284633 0,1051042353 9,5143644542 84

7 0,9925461516 0,1218693434 0,1227845609 8,1443464280 83

8 0,9902680687 0,1391731010 0,1405408347 7,1153697224 82

9 0,9876883406 0,1564344650 0,1583844403 6,3137515147 81

10 0,9848077530 0,1736481777 0,1763269807 5,6712818196 80

11 0,9816271834 0,1908089954 0,1943803091 5,1445540160 79

12 0,9781476007 0,2079116908 0,2125565617 4,7046301095 78

13 0,9743700648 0,2249510543 0,2308681911 4,3314758743 77

14 0,9702957263 0,2419218956 0,2493280028 4,0107809335 76

15 0,9659258263 0,2588190451 0,2679491924 3,7320508076 75

16 0,9612616959 0,2756373558 0,2867453858 3,4874144438 74

17 0,9563047560 0,2923717047 0,3057306815 3,2708526185 73

18 0,9510565163 0,3090169944 0,3249196962 3,0776835372 72

19 0,9455185756 0,3255681545 0,3443276133 2,9042108777 71

20 0,9396926208 0,3420201433 0,3639702343 2,7474774195 70

21 0,9335804265 0,3583679495 0,3838640350 2,6050890647 69

22 0,9271838546 0,3746065934 0,4040262258 2,4750868534 68

23 0,9205048535 0,3907311285 0,4244748162 2,3558523658 67

24 0,9135454576 0,4067366431 0,4452286853 2,2460367739 66

25 0,9063077870 0,4226182617 0,4663076582 2,1445069205 65

26 0,8987940463 0,4383711468 0,4877325886 2,0503038416 64

27 0,8910065242 0,4539904997 0,5095254495 1,9626105055 63

28 0,8829475929 0,4694715628 0,5317094317 1,8807264653 62

29 0,8746197071 0,4848096202 0,5543090515 1,8040477553 61

30 0,8660254038 0,5000000000 0,5773502692 1,7320508076 60

31 0,8571673007 0,5150380749 0,6008606190 1,6642794824 59

32 0,8480480962 0,5299192642 0,6248693519 1,6003345290 58

33 0,8386705679 0,5446390350 0,6494075932 1,5398649638 57

34 0,8290375726 0,5591929035 0,6745085168 1,4825609685 56

35 0,8191520443 0,5735764364 0,7002075382 1,4281480067 55

36 0,8090169944 0,5877852523 0,7265425280 1,3763819205 54

37 0,7986355100 0,6018150232 0,7535540501 1,3270448216 53

38 0,7880107536 0,6156614753 0,7812856265 1,2799416322 52

39 0,7771459615 0,6293203910 0,8097840332 1,2348971565 51

40 0,7660444431 0,6427876097 0,8390996312 1,1917535926 50

41 0,7547095802 0,6560590290 0,8692867378 1,1503684072 49

42 0,7431448255 0,6691306064 0,9004040443 1,1106125148 48

43 0,7313537016 0,6819983601 0,9325150861 1,0723687100 47

44 0,7193398003 0,6946583705 0,9656887748 1,0355303138 46

45 0,7071067812 0,7071067812 1,0000000000 1,0000000000 45

sen cos cotan Tan

22

Seno de la Suma de dos ángulos

Sen(a+b)= Sen(a)Cos(b)+Cos(a)·Sen(b)

Comprueba la relación con 60º= 45º +15º aplicando la tabla.

Sen(60º)=sen(45º+15º)=sen(45º)·cos(15º)+ cos(45º)·sen(15º)=

= 0,7071067812 · 0,9659258263 + 0,7071067812·0,2588190451=

= 0,7071067812 (0,9659258263 + 0,2588190451)= 0,7071067812·1,2247448714=

=0,86602540380686193768

sen(180+a)=

sen(90+a)=

sen(270+a)=

sen(2a)=sen(a+a)=

Seno de la resta de dos ángulos

Sen(a-b)= Sen(a)Cos(b)-Cos(a)·Sen(b)

sen(180-a)=

sen(90-a)=

sen(270-a)=

coseno de la Suma de dos ángulos

Cos(a+b)= cos(a)Cos(b)-sen(a)·sen(b)

cos(180+a)=

cos (90+a)=

cos (270+a)=

cos (2a)= cos (a+a)=

Coseno De La Resta De Dos Ángulos

Cos(a-b)= cos(a)Cos(b) + sen(a)·sen(b) cos(180-a)=

cos (90-a)=

cos (270-a)=

23

Tangente de la Suma de dos ángulos

tg(a+b)=

tg(180+a)=

tg(90+a)=

tg(270+a)=

tg(2a)=

Tangente De La Resta De Dos Ángulos

tg(a-b)=

tg(180-a)=

tg (90-a)=

tg (270-a)=

24

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA OPTICA

La ley de la reflexión afirma que el ángulo que forma el rayo reflejado con la normal es igual que el ángulo que forma el rayo incidente con la normal al plano de reflexión. Reflejado. Normal Incidente LEY DE SNELIUS El índice de refracción es una constante que depende del medio en que se propaga la luz n = c/v ; donde c es la velocidad de la luz en el vacío y v es la velocidad de propagación de la luz en ese medio. C=3·108 m/s. Lo que nos dice es que al pasar la luz de un medio a otro con velocidades de propagación (índices de propagación diferentes) se cumple que:

n sen α= n’sen β n n’ β

α Supongamos que tenemos dos medios con índices de refracción 1,2 y 1,05 determina el ángulo del rayo refractado si incide con un ángulo de 15º. Y si el rayo incidiera con un ángulo de 70º. A partir de los datos anteriores determina el ángulo a partir del cual todos los ángulos mayores que él no se refractan si no que se reflejan. (Esto es el efecto llamado reflexión total.)

25

LA VISIÓN BINOCULAR. Cuando un objeto se observa con los dos ojos, en cada ojo se produce una imagen con

diferente perspectiva. Parecería lógico que en este caso se vieran dos imágenes, pues sólo para un punto (aquel en que ser cortan los dos ejes de visión de los dos ojos), sin embargo no se ven dos imágenes si no una y con ello se tiene la sensación de profundidad, o de tercera dimensión (visión estereoscópica o visión en relieve) La sensación de profundidad o bien de que un punto está más lejano que otro está ligada al ángulo que forman entre sí los ejes visuales de los dos ojos cuando se dirigen a dichos puntos. La distancia en término medio entre las dos pupilas es de 65 mm y se ha comprobado que si los ángulos que forman las visuales poseen una diferencia superior a 30 ‘’, entonces se puede distinguir cual de esos objetos está más alejado. ¿A partir de que distancia es imposible determinar si un objeto está más alejado que otro? Simplificando el problema a triángulos rectángulos dividiendo el triángulo y los ángulos que forman los ejes de visión entre dos. Así como la distancia entre las pupilas. α1 α2 EJERCICIOS

1. Halla la distancia a partir de la cual no es posible determinar si un objeto está más alejado que otro.

2. Calcula también la distancia de separación entre dos objetos tales que la diferencia entre los

ángulos es 1º y el más cercano está a 20 m.

3. Halla la diferencia de los ángulos que forman las visuales tales que están a 10 y 15 m respectivamente de un individuo.

26

EL SOL Y LOS ÁNGULOS: LOS INICIOS DE LA TRIGONOMETR ÍA

Como ya os habréis percatado, al observar las sombras de los objetos, éstas tienen distinta

longitud todos los días del año a la misma hora, de la misma forma, a lo largo del día las sombras

cambian de longitud, aunque también de posición pero es sólo la longitud de la sombra lo que nos

interesa en este momento. Por ello definimos αt (alfa sub t) el ángulo que forman los rayos

solares con el suelo en la hora solar t (el tiempo medido en horas), L la latitud que en el caso de

Sanlúcar es aproximadamente 36º (36°46'47.42"N) y δ la desviación de los rayos solares con

respecto a la vertical que va desde el punto de la superficie de la tierra en que estamos al centro de

la misma.

δ=23,45º•sen((n-82)•72/73) esta desviación depende del día del año en que nos encontramos

aproximación de la fórmula de Cooper.

Existe una igualdad entre las razones trigonométricas de dichos ángulos:

Sen (ααααt)= sen(L) •••• sen( δδδδ) + cos(L) ••••cos( δδδδ)••••cos(180-15t)

ααααt

Esta fórmula permite calcular la inclinación de los rayos solares en cualquier momento a partir de la

hora solar y la latitud.

• Halla la hora solar en que amanece y oscurece el día 19 de marzo. (súmale una hora y

obtendrás la hora legal, en verano hay que sumarle dos horas.)

• Halla el número de horas de sol de ese día.

Observa que si amanece u oscurece, entonces el ángulo que forman los rayos solares con el suelo

es 0º.

El cambio de las estaciones y los ángulos.

1. Se llama equinoccio aquellos días en que la duración del día y la noche son exactamente

iguales.

2. Se llama solsticio de invierno aquel día en que la duración del día es la menor del año,

3. Se llama solsticio de verano aquel día en que la duración del día es la mayor del año.

Ejercicio:

1. Determina dichos días, la desviación solar en ellos δ , la hora solar en que amanece y

oscurece y la duración de los rayos solares. Para la latitud en la que nos encontramos.

27

Las estaciones y los ángulos

La tierra al girar alrededor del sol no lo hace en una trayectoria circular sino elíptica. El

período de traslación de la tierra alrededor del sol es de 365 días aproximadamente.

El período de giro de la tierra sobre si misma es de 24 horas. Lo que hace que gira 15 grados

cada hora aplicando una simple regla de tres.

El eje de giro de la tierra con el plano en el que se encuentra el sol y la tierra (y el resto de planetas del sistema solar) llamado plano de la eclíptica forma una ángulo de 23,45 º pero los rayos solares no llegan siempre con esa desviación sino que depende del lugar de la trayectoria en que se encuentra, esto es, a lo largo del recorrido de la tierra por su trayectoria los rayos llegan a la tierra con una inclinación u otra variando desde –23,45º hasta 23,45º. Y esta inclinación es la que provoca las estaciones. Otoño

Invierno Verano

Primavera

Cómo ves las estaciones no son una cuestión de dist ancias, sino de ángulos .

Halla la desviación de los rayos solares δ = 23.45 sen ( 72·(n-82)/ 73) en los días 22 de diciembre,

23 de marzo , 24 de junio y 22 de septiembre que son aproximadamente los días de cambio de

estaciones. ¿qué le sucede a la desviación en esos días.?

Es el momento de citar a Sócrates (Filósofo grieg o del siglo V antes de Cristo)

“(...)¿ No es cierto que el que tenga intención de hacerse con una casa como es debido lo que

debe procurar es que sea lo más agradable de habitar y lo más útil?

-Agradable pues será tenerla que sea en verano fresca, y que sea abrigada en invierno.

De acuerdo.

- Bien, pues en la casa que miran al mediodía el sol en invierno se cuela entre los soportales, más

que en verano, al pasar por nuestras cabezas y de los techos, proporcionan sombras. Así , que

bueno es que así las cosas se presenten , habrá que construir más altas la partes que den al

mediodía (sur), para que el sol inviernizo no halle estorbos , y más bajas las que den al septentrión

para que no den contra ella los vientos fríos. (...)”

28

TEORÍA, PROBLEMAS Y EJERCICIOS. El día 1 de enero se coloca una estaca en el punto A indicando la longitud de la sombra 7 días después la

sombra a la misma hora (12:00 solar) sólo alcanza hasta el punto B, al medir la distancia entre A y B sólo mide

un metro halla la altura del poste, si está a latitud 36º Norte.

B A

Nota se puede calcular el ángulo que forma el sol con el suelo a las 12:00 solar sabiendo el día del año y la

latitud del punto, esta fórmula es la siguiente: αααα = 90 - L + δδδδ

donde L = latitud y δ=23,45•sen( (n-82)2π/365) donde el argumento (lo de dentro) del seno está medido en

radianes y n es el día del año contado desde el 1 ( 1 de enero) hasta el 365 (31 de diciembre).

Problema

Halla los lados de un triángulo cuyos lados están en progresión aritmética de diferencia 1 y el ángulo mayor es

el cuádruple que la suma de los otros dos.

Problema

Halla los lados de un triángulo cuyos lados están en progresión aritmética de diferencia 1 y el ángulo mayor es el triple que la suma de los otros dos. Problema

Halla los lados de un triángulo cuyos lados están en progresión aritmética de diferencia 1 y el ángulo mayor es el doble que la suma de los otros dos. Ejercicio Calcula sen(a+b) sen (a-b) y sen2 a – sen2 b sabiendo que cos a=0,4 y cos b=0,1. Demuestra que independientemente de los ángulos a y b elegidos se cumple que :

sen(a+b) •sen (a-b) = sen2 a – sen2 b = cos2 b – cos2 a Teoría

Enuncia y demuestra el teorema de los senos. Aplícalo para resolver el siguiente triángulo:

a= 20 A=30º b=44 .

Ejercicio Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

√3Cos x - senx = 1

Problema Un submarino se encuentra sumergido a 300 m y con su sónar detecta un barco enemigo en la dirección norte

formando un ángulo de 60 º con la vertical. Y en la dirección este se encuentra un barco aliado formando un

ángulo de 30 con la vertical.

Teoría : Enuncia el teorema del coseno. Demuestra que si un triángulo cumple la relación entre los lados que define el teorema de Pitágoras entonces el triángulo es rectángulo. Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) sen x + cos x =1

b) sen2x - cos2 x =1

29

Halla la altura del edificio de utilizando dos métodos diferentes: 60º 45º 100 m

EXAMEN DE MATEMÁTICAS Teoría : Enuncia el teorema del coseno. Demuestra que si un triángulo cumple la relación entre los lados que define el teorema de Pitágoras entonces el triángulo es rectángulo. Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

a) sen x –cos x =1

b) sen2x-cos2 x =1

1. Halla la altura del edificio de utilizando dos métodos diferentes: 60º 30º 50 m

EXAMEN DE MATEMÁTICAS Teoría : Enuncia y demuestra el teorema del coseno. Resuelve las ecuaciones trigonométricas: a) √3sen x +cos x =1

b) 3sen2x-2cos2 x =1

Halla la altura del edificio de utilizando dos métodos diferentes: 45º 30º 30 m

30

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54°. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.

2. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60°. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80°. Halla la altura de la torre.

3. Calcula las razones trigonométricas de 140° y de 220°, sabiendo que:

0844077;0,4064;0,40 === ooo tgcossen

4. Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:

5. Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25° y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140°.¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?

6. Completa la siguiente tabla:

7. Demuestra la siguiente igualdad:

( )xsen

xsenxcosxcosxcosxsen

212 +=

−⋅+

31

8. Resuelve la ecuación: xcosxcos 3124 −=

9. Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40°. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

10. Si sen x = 0,35 y 0° < α < 90° halla (sin calcular α): ( ) ( )αcosαsen +− oo 180 b)180 a)

MÁS EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

11. Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m. a la misma hora que un árbol

de 21 m. proyecta una sombra de 24 m. Sol: 49 m

12. En un mapa, la distancia entre La Coruña y Lugo es de 19 cm., entre Santiago de Compostela y

La Coruña 12 cm, y entre Santiago de Compostela y Lugo 20 cm.En otro mapa, la distancia

entre Santiago de Compostela y La Coruña es de 18 cm. ¿Cuáles serán las otras dos distancias

medidas en este segundo mapa? Sol: 30 cm y 28’5 cm.

13. En un mapa a escala 1:10.000.000, la distancia entre dos ciudades es de 12 cm. ¿Cuál es la

distancia real que las separa? Sol: 1.200 km.

14. Tenemos dos triángulos isósceles semejantes. Del pequeño conocemos que cada uno de los

lados iguales mide 5 cm y el lado desigual 3 cm; pero del grande, sólo sabemos que el lado

desigual mide 7 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos lados? Sol: 11,67 cm.

15. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 5 cm. (S: 13 cm)

16. Sabiendo que en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25 m y un cateto 7 m, halla el otro

cateto. (S: 24 m).

17. Halla la altura y el área de un triángulo equilátero de 2,5 m de lado. (S: 2,2 m; 2,75 m2).

18. Un poste vertical de 3 m proyecta una sombra de 2 m; ¿qué altura tiene un árbol que a la

misma hora proyecta una sombra de 4,5 m? S: 6,75 m

19. Las longitudes de los lados de un campo triangular son 125 m, 75 m y 100 m. Se hace a escala

un dibujo del campo, y el lado mayor queda representado por un segmento de 3 cm. ¿Cuáles

son las longitudes de los otros dos lados del triángulo en el dibujo?S: 2,4 cm y 1,8 cm.

20. Si un campo está dibujado a escala de 1:1200, ¿cuál será en el terreno la distancia que en el

dibujo mide 18 cm? S: 216 m.

21. ¿A qué escala está dibujado un campo, si en el plano un segmento de 12 cm representa 60 m

de terreno? S: 1:500

22. ¿A cuántos radianes equivalen 115°38'27"? Rdo: 2,02 rad

23. ¿A cuántos grados sexagesimales equivalen 2 radianes? Rdo: 114°35'29"

32

24. Ayúdate de la calculadora para completar la tabla siguiente:

Medida de A en grados, minutos y segundos 45º 30º 75º

Medida de A en radianes 3

π 6

π

tg A 2,3 0,6

25. Resuelve los siguientes apartados:

i. Si cos A = 1/2 ; calcula sen A y tg A

ii. Si sen A = 4/5 ; calcula cos A y tg A

26. Averigua los ángulos A , B y C sabiendo:

a. tg A = 2’5 Sol: 68º 11’ 55”

b. sen B = 0’3 Sol: 17º 27’ 27”

c. sen C = 0’6 Sol: 36º 52’ 12”

27. Utilizando la calculadora, halla las siguientes rezones trigonométricas redondeando a 4

decimales:

i. sen 34º 35’ 57” Sol: 0,5678

ii. cos 85º 7’ 23” Sol: 0,0850

iii. tg 87º 33” Sol: 19,1397

iv. sen 43º 35’ Sol: 0,6894

28. Utilizando la calculadora, halla los ángulos de las siguientes razones trigonométricas:

i. sen α = 0,3456 Sol: α = 20º 13’ 7”

ii. cos α = 0,5555 Sol: α = 56º 15’ 17”

iii. tg α = 1,4572 Sol: α = 55º 32’ 24”

iv. cos α = 0,25 Sol: α = 75º 31’ 21”

v. sen α = 0,0525 Sol: α = 3º 34”

29. Sabiendo que 3

2=αsen , halla el resto de las razones trigonométricas.

Indicación: utiliza la fórmula 1cossen 22 =α+α en primer lugar para hallar el coseno y a partir de ahí

te saldrá: 5

52,

3

5cos == αα tg

33

30. Sabiendo que 4

3cos =α , halla el resto de las razones trigonométricas.

solución: 3

7,

4

7== αα tgsen .

31. Sabiendo que 4

5=αtg , halla el resto de las razones trigonométricas.

solución: 41

414cos =α ,

41415

sen =α .

32. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos,

B = 37º, y su hipotenusa, a = 5’2 m.

Indicación: Como es un triángulo rectángulo el ángulo A = 90º, luego B + C = 90º ⇒ C = 53º. El dibujo del triángulo será: Utilizando sen B, cos B, sen C o cos C, obtendrás que b = 3’13 m y c = 4’15 m.

33. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos

B = 29º, y el cateto opuesto, b = 4’5 m. Solución: C = 61º, a = 9’29 m, c = 8’12 m.

34. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: la hipotenusa, a =

5’7m, y un cateto, b = 4’6m.

Indicación: Debes aplicar "40'11º36Cluego,807'07'56'4

ab

Ccos ==== . B = 53º48’19”. c = 3’37m.

35. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: los dos catetos, b =

3’5m y c = 2’8m.

Indicación: Debes partir de cb

Btg = . Solución: B = 51º20’24”, a = 4’48m, C = 38º39’35”.

A B

C a= 5’2 m

b

c

34

36. Las bases de un trapecio isósceles miden 7 y 4 metros; su altura mide 5 metros. Halla los

ángulos del trapecio.

Indicación:

Aplicando 5'15

Atg = , hallas A y como 2A + 2B = 360º,

te debe salir: A = 73º18’27” y B = 106º41’.

37. Desde un punto A del suelo se observa una torre, PQ, y se la ve bajo un ángulo ∝ = 31º. Se

avanza 40 m. en dirección a la torre, se mira y se la ve, ahora, bajo un ángulo β = 58º. Halla la

altura h de la torre y la distancia de A al pie, Q, de la torre.

Indicación: Mirando el triángulo AQP aplica tg α Mirando el triángulo BQP aplica tg β. Obtienes así un sistema y resolviéndolo obtendrás BQ = 24 m y h = 38’4m. Finalmente AQ = 64 m.

38. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: uno de sus

ángulos, B = 51º, y el cateto contiguo, c = 7’3m. Solución: C = 39º, b = 9’01m, a =

11’60m.

39. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: la hipotenusa, a =

4’6m, y un cateto, c = 3’1m. Solución: b = 3’40m, B = 47º37’24”, C = 42º22’35”.

40. De un rombo ABCD se conocen la diagonal AC = 4m. y el lado AB = 5m. Halla los ángulos

del rombo y su otra diagonal. Solución: 132º48’, 47º12’, 9’2m.

41. Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una montaña y la visual forma un ángulo

de 50º con el suelo. Al alejarse 200 m de la montaña, la visual forma 35º con el suelo. Halla la

altura, h, de la montaña. Solución: 339’6 m.

42. Simplifica: xxtgxx

coscoscos

1 2 ⋅−− Solución: 0

43. Simplifica: senx

xx )cos1)(cos1( +− Solución: sen x

44. Simplifica: αααα

3

3coscos

sensen −−

Solución: αtg

45. El radio de un polígono regular mide 10 m. ¿Cuánto miden el lado y la apotema? Sol: a = 8,09

m l = 11,76 m

7m

4m

5m

A

B

A

B

Este trocito mide 1’5 m.

α β

A B

Q

P

h

d

35

46. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 14 cm y 8 cm. Sol: 120º 30’ 36”; 59º

29’ 23”

47. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 74º. Sabiendo que la

altura del acantilado es de 200 m, ¿a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado?

Sol: 57,35 m

48. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el

horizonte? Sol: 63º 26’ 6”

49. En un triángulo isósceles el lado correspondiente al ángulo desigual mide 7,4 m y uno de los

ángulos iguales mide 63º. Halla la altura y el área. Sol: h = 7,26 m, S = 26,86 m2

50. Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0’7. Sol: sen α = 0,57; cos α =

0,82

51. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla, haciendo uso de las relaciones fundamentales:

sen α 0,94

4/5

cos α 0,82 2

3

tg α

3,5 1

En las operaciones que te aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal. 52. Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan y el ángulo α:

sen α 1/3

cos α 3

2

tg α

2

α

53. Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a

aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1.200 m y el ángulo de

observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de

30º. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si ésta mide 40 m de alto? 2.340 m

36

AUN HAY MÁS EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

54. Desde lo alto de un faro de 50m se ve un nadador bajo un ángulo de depresión (ángulo bajo la horizontal) de 250 grados. ¿A qué distancia del faro se encuentra el nadador?

55. Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, separadas 80 km la una de la otra. Las visuales

desde el avión a A y B forman, respectivamente, ángulos de 300 y 450 con la horizontal. ¿A qué altura vuela el avión?

56. Calcula la longitud del paralelo terrestre situado a 400 Norte. Radio de la Tierra = 6,357.106 m 57. Calcula los lados y ángulos del triángulo ABC:

58. Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el

pedestal bajo un ángulo de 400 y la estatua bajo un ángulo de 450. Calcula la altura del pedestal.

59. Calcula el área, los lados y la otra diagonal del paralelogramo ABCD:

A

B

C

7 cm

3 cm

500

18 m

200 500

D

C B

A

37

60. En la figura los triángulos ABC y ACE son rectángulos e iguales. El triángulo CDE es

isósceles, siendo CD el lado desigual. Calcula el área de este triángulo.

61. Los puntos C y D resultan inaccesibles para el observador, que desea medir la distancia entre ellos, x. Para lograrlo utiliza un teodolito en los puntos A y B, midiendo los ángulos de las visuales tal y como indica el diagrama. Sabiendo que la distancia entre A y B es de 55m calcula la distancia x deseada.

62. Calcular la longitud de la correa de transmisión que une las dos poleas representadas por los dos círculos sabiendo que sus radios son 10 cm y 5cm y que la distancia entre sus centros es de 30cm. Indicación: Busca triángulos semejantes.

55

x D C

B

A

420 360

430 490

río

38

63. Calcula la longitud del segmento TP de la figura, sabiendo que el radio de la circunferencia es

25cm y que la cuerda TT’ mide 30cm.

64. Para calcular la altura de una colina se escogen dos puntos sobre la llanura, A y B, distantes

1500 m. Con un teodolito se miden los siguientes ángulos:

Segmento AB con la visual a la cumbre, desde A: 750 Segmento AB con la visual a la cumbre, desde B: 600 Visual de la cumbre, desde A, con la horizontal AC’: 300 Calcula la altura de la colina.

65. Demuestra las siguientes identidades trigonométricas:

a) yx

yx

yx

yx

tgtg1

tgtg1

)cos(

)cos(

+−=

−+

b) bababa cossen2)sen()sen( =−++

c) aa

a2sen

tg1

tg22

=+

d)

2tg1

2tg2

sen2 x

x

x+

=

e) [ ][ ] 1)(cot)(cos)(cot)(cos =−+ agaecagaec f) yx

yxyx

coscos

)sen(tgtg

−=−

g) x

xx

x

x

cos

sencos

2tg

sen2 2

−= h) 1cossen)cot(tg =+ aagaa

i) aasen

aeca22

22

cos.

1cossec =+ j)

2

2BA

tg

BAtg

senBsenA

senBsenA−

+

=−+

k) baecbeca

ecbecababa

sec.seccos.cos

cos.cos.sec.sec)sec(

−=+ l)

x

ecxgxtgx

cos

coscot =+

T’ T

P

C’

C

h

B

A

39

m) xtg

xtg

senxx

senxx

senxx

senxx2

2

1

12

cos

cos

cos

cos

−+=

+−+

−+

n) a

a

a

a

cos1

cos1

sec1

sec1

+−=

+−

ñ) tgytgxgygx

tgytgx.

cotcot=

++

o) 01)(cot. =+−agtga

p) xsenxsenx

2sec21

1

1

1 =−

++

q) ( ) 12cos 2 +=+ asensenaa

r) 1.

1.

)(

)(

−−=

−+

ctgbtga

ctgbtga

basen

basen s)

BA

BAsentgBtgA

cos.cos

)( −=−

t) x

xsenx

xtg

senx

coscos

2

2 2

−= u) atg

tga

asena

asena222 1cos

cos

−=

−

66. Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

a) a

aa2

22

tg

cossec − b)

ag

eca2cot1

cos

+ c)

)cos2(cos

sencos22

22

aaec

aaec

−−

d) a

a

a

a

cos

sen

cos1

2sen 2

2⋅

− e)

aa

aa

3coscos

3sensen

−+

f) aa

aa

5cos3cos

5sen3sen

+−

g) xx

xx

4cos8cos

3cos3sen

− h)

ctgxtgx

x

+− 2cos1

i) x

senx

senx

x

cos

1

1

cos −−−

67. Sabiendo que A,B y C son los ángulos de un triángulo demuestra que:

tgA + tgB + tgC = tgA·tgB·tgC

68. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) xx tg2tg −= b) 5sec2cos3 −= xx c) x x x cos210cos26cos8cos =+

d) 2sectg =xx e) 3cos22

sen4 =+ xx

f) x

xx

2tg1

tg2cos

+=

g) 2cos =+ xsenx h) 11

22

=−

tgxxtg

tgx i)

2

1.cos2 −=tgxx

j) 01cos2 =++ xxsen k) xx seccos2 = l) 0sec =+ tgxx

m) 1sec3 22 += xxtg n) )2()4cos( xsenx = o) )260()3( xtgxtg −=

p) 2

3.cos =ctgxx q) 1

)60cos(

)30( =++

x

xsen r)

3)30cos()30(4 =−− xxsen

40

s) xsensenxxsen 23 =+ t) 12

cos 2 =+ xtgx u) 02232cos2 =++ xsensenxx

69. Resuelve los siguientes sistemas trigonométricos:

a) 1tg

0coscos)sen(

==−+

y

yxyx b)

4

3)(cot

1tgtg

=+

=+

yxg

yx c)

yx

yx

tg3tg

sen2sen

=

=

d)

2

3

2cos

2

3sensen

=

−

=+

yx

yx

e) 5,0sensen

3

2

=−

=+

yx

yxπ

f)

1coscos2

4

=

=+

yx

yxπ

g)

2

1)(

2

1)cos(

=−

=+

yxsen

yx h)

18022

1

=+=+

yx

senysenx i)

5

26cos

23

5cos

+=

+=

xy

xecy

j) 32cos2

3cos.4

=

=

xy

xsenxy k)

4

1cos

4

3cos

22

22

−=−

=+

xysen

yxsen l)

22

1cos.cos

=+

=

tgytgx

yx

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

70. Resolver el triángulo cuya hipotenusa mide 27 cm y uno de sus ángulos es de 30º.

71. Resolver el triángulo que tiene un cateto de 8 cm y cuya hipotenusa mide 12 cm.

72. Resolver el triángulo ABC del que se conocen los lados a = 40 m y b = 32 m y el ángulo B =

123º.

73. Resolver el triángulo ABC del que se conocen sus tres lados: a = 20 m, b = 15 m y c = 26 m.

74. Resolver el triángulo ABC del que se conocen los lados a = 9 m y b = 17 m y el ángulo C = 50º.

75. Resolver el triángulo ABC del que se conocen los ángulos A = 40º y B = 55º y el lado c = 50 m.

76. Resolver el triángulo ABC del que se conocen los lados a = 20 m y b = 15 m y el ángulo A = 50.

77. Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 4 respectivamente. Determinar su área si

su perímetro es 81 m.