UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVUSAOBRAĆAJNI FAKULTET

DOBOJ

SEMINARSKI RADiz Logistike u saobraćaju

Student Mentori Haris Hadžić 3908 Dr Marko Vasiljević doc

Mr Zoran Ristikić Diplmašing

SADRŽAJ

1 Uvod 3

2 Transportni problem 4

21 Otvoreni tansportni problemi 5

22 Metode za rešavajnje transportnog problema 7

23 bdquoLanacrdquo za dobijanje optimalnog rešenja transportnog problema7

3 Zadatak broj 7 8

4 Rešenje zadatka broj 7 8

5 Zaključak10

6 Literatura 11

2

1 Uvod

Logistika u saobraćaju predstavlja upravljanje tokovima materijala informacija novca i ideja putem usklaćivanja procesa u lancima snadbevanja i putem strategiskog dodavanja vrijednosti u pogledu mjesta vremena i pakovanja

Logistička funkcija obuhvata upravljanje skupom sredstava koji se koriste za transport i transformaciju proizvoda tamo gdje je i onda kada je to potrebno sa minimumom ukupnih troškovaLogistika je dio operacioni istraživanja i obuhvata studiranje svih problema savladavnja vremena i prostora u procesima proizvodnje transporta i distribucije proizvoda i pratećih usluga

U okviru logistike u saobraćaju rešavaju se zadatci iz transportnih problema Svrha rešavanja transportnog problema je minimizacija troškova prevoza na relaci između otpremne stanice i prijemne stanice uz uslov da se zadovolje potrebe prijemne stanice i u potpunosti iskoriste ponude otpremneU ovom seminarskom radu biće prikazan način rešavanja transportnog problema u opštem obliku kao i jedan primer transportnog problema sa svim pravilima za uspešnno rešavanje ove vrste zadatak

3

2Transportni problem

Transportni problem je dio problema linearnog programiranja koji rješava problem prijevoza istovrsnog tereta iz više otpremnih stanica u više prijemnih stanica odnosno iz otpremnih stanica u prijemnih stanica Otpremne stanice imaju fiksnu ponudu ( = 12 ) dok prijemne stanice imaju fiksnu potražnju ( = 12 ) Transportni problem ima tablični izgled sa redova koji predstavljaju otpremne stanice i sa kolona koji predstavljaju prijemne stanice

Tabela 1 Opšta tabela transportnog problema

Svrha rješavanja transportnog problema je minimalizacija troškova prijevoza na relacijama između otpremnih stanica i prijemnih stanica uz uslov da se zadovolje potrebe prijemnih stanica i u potpunosti iskoriste ponude otpremnih stanica Matematička formula funkcije cilja transportnog problema

Oznaka trošak prijevoza po jedinici tereta na relaciji a je oznaka količine tereta od određene otpremne stanice do određene prijemne stanice

Opšti primjer transportnog problema moguće je prikazati pomoću mreže koja sadrži otpremnih stanica prijemnih stanica te veza između pojedinih otpremnih i prijemnih stanica

ji

P1 P2 Pn ai

O1C11 X11

C1n X1n

a1

O2 a2

OmCm1 Xm1

Cmn Xmn am

bj b1 b2 Bn

4

a1

a2

am

b1

b2

bn

Otpremne stanice

C11x11

Prijemne stanice

Slika 1 Mreža otpremnih i pijemnih stanica

Jedno od ograničenja transportnog problema je suma kapaciteta otpremne stanice jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Takav se oblik transportnog problema u kojem su sume kapaciteta otpremne i prijemne stanice jednake naziva zatvoreni transportni problem No kako je poznato u praksi gotovo nikad nemamo primjer zatvorenog transportnog problema drugim riječima rijetko se može susresti takav problem kojem bi suma kapaciteta otpreme stanice bila jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice Transportni problem kod kojeg kapaciteti otpreme stanice i prijemne stanice nisu jednaki naziva se otvoreni transportni problem

21 Otvoreni tansportni problemi

Otvoreni transportni problem je transportni problem kod kojeg suma kapaciteta otpreme stanice nije jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Višak koji se javlja moguć je na strani otpremene stanice ili na strani prijemne stanice te se prema tome može reći da postoje dvije vrste otvorenog transportnog problema a to su

- otvoreni transportni problem sa viškom u ponudi i - otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji

Kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi višak se javlja na strani otpremene stanice odnosno suma kapaciteta otpremene stanice veća je od sume potražnje prijemne stanice

5

Kako bi bilo moguće riješiti ovaj tip otvorenog transportnog problema potrebno je otvoreni transportni problem pretvoriti u zatvoreni transportni problem Potrebno je dodati bdquofiktivnuldquo prijemnu stanicu (Pf) čiji je kapacitet (bf) onoliko koliko je veća ponuda od potražnje

Jedinični troškovi prijevoza su nula Tada se zatvoreni transportni problem može ovako tablično prikazati

P1 P2 Pn Pf ai

O1Cij xij

0 a1

O20 a2

Om0

am

Bj b1 b2 bn bf

Tabela 2 Tabela otvorenog transportnog problema kada je kapcitet otpremne stanice veći od prijemne stanice

Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji je problem kod kojeg je suma otpremne stanice manja od sume prijemne stanice što znači da je ponuda manja od potražnje

Jednako kao i u prethodnom slučaju kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi i otvoreni transportni problem sa viškom u potražni potrebno je pretvoriti u zatvoreni transportni problem a to se postiže dodavanjem bdquofiktivneldquo otpremne stanice (Of) čiji kapacitet (af) je onoliko kolika je razlika između ponude i potražnje a jedinični troškovi prijevoza jednaki su nuli

Tablični prikaz transportnog problema ovog tipa izgleda ovako

P1 P2 Pn aiO1 Cij a1

6

xij

O2 a2

Om

am

Of0 0 0

af

Bj b1 b2 bn

Tabela 3Ttabela otvorenog transpoirtnog problema gde je kapacitet prijemne stanice veći od otpremne stanice

22 Metode za rešavajnje transportnog problema

Postoji velik broj razrađenih metoda koje se primjenjuju za rješavanje transportnog problema Metode koje se koriste za dobivanje početnog rasporeda tereta su sljedeće

1 Metoda sjeverozapadnog ugla2 Metoda minimalnih troškova i3 Vogelova aproksimativna metoda

A metode za dobivanje optimalnog rješenja transportnog problema su

1 metoda relativnih troškova i 2 MODI metoda

23 bdquoLanacrdquo za dobijanje optimalnog rešenja transportnog problema

Sve dok na poljima u tabeli postoji negativni koficijent ne baznih polja nismo postigli optimalno rešenjeNajveći negativni koficijent ne baznoga polja uzimamo za polaznu tačku lanca sa kojim vršimo preraspodelu otpremni kapaciteta u tabeli da bi došli do optimalnoga rešenja Lanac počinje i završava se u datom polju Sa datog polja u pravoj lini (gore-dole) ili (lijevo-desno) ldquoskačerdquo se na bazna polja sve do povratka u početno polje Početno polje nosi predznak plus bdquo+rdquo dok susedno nosi predznak minus bdquo-˝ i tako se predznaci menju do povratka u početnio polje Zatim se bira minimum od susednih polja ili minimumu svih minimuma koji se oduzimaju od polja ili dodaju u zavisnoisti od predznaka polja Na taj način dobivamo novu preraspoldelu u tabeli na osnovu koje tražimo optimalno rešenje

7

Slika 2 i 3 Mogući izgledi lanca

3 Zadatak broj 7

7 Jedno logističko preduzeće ima četiri skladišta brašna ( C1 C2 C3 C4 ) iz kojih se snadbjevaju četiri potrošačka centra ( D1 D2 D3 D4 ) Kapaciteti skladišta su

C1 = 12t C2 = 15t C3 = 13t C4= 20t dok potražnja potrošačkih centara iznosi D1 = 17t D2 = 11t D3 = 14t D4 =18tTroškovi prevoza po jednoj toni dati su u nj u sledećoj tabeli

D1 D2 D3 D4

C1 8 4 8 12C2 5 9 13 17C3 6 2 10 5C4 10 5 12 8

Naći optimalan plan transporta brašna iz skladišta C1 C2 C3 C4 u potrošačke centre D1 D2 D3

D4 ( kriterijum optimalnosti su minimalni ukupni troškovi prevoza )

4 Rešenje zadatka broj 7

Na početku izrade transportnog zadatka potrebno je utvrditi da li se radi o zatvorenom transportnom zadatku ili otvorenom i koga je on tipa

sumCi = C1+ C2 + C3 + C4

sumCi = 12 + 15 + 13 + 20

sumCi = 60

sumDi = D1 +D2 + D3 + D4

sumDi = 17 + 11 + 14 + 18

sumDi = 60U ovom zadatku riječ je o zatvorenom transportnom problemu jer se ne javlja višak na ni na jednoj strani pa nemamo potrebe za uvođenjem fiktivne stanice

8

sumCi = sumDi

m + n ndash 1 = 4 + 4 ndash 1 = 7

Znači 7 bazisnih polja treba biti

D1 D2 D3 D4 α i

17 11 14 18 0C1 12 8 4 8 12 12 0C2 15 5 15 9 13 17 1C3 13 6 2 2 11 10 5 0 4C4 20 10 5 12 2 8 18

β j 5 1 8 4

Tabel 5 Kapaciteti otpremnih i prijemnih stanica

Dati trnasportni problem rešavamo metodom dvostrukog precrtavanja Formiramo početnu tabelu Tražimo minimalne cijene po kolonam i vrstama i stavljmo zvezdicu za minimalnu cenu u koloni i vrsti Polje koje je minimum po vrst i koloni imamo dve zvjezdice

K11 = 3K12 = 3K14 = 8K22 = 8K23 = 5K24 = 13K33 = 1K41 = 1K42 = 0

Vidimo da su svi korficijenti u ne baznim poljima pozitivni što znači da je dobiveno optimalno rešenje Iz čega slijede troškovi prevoza

F = 8 12+5 15+6 2+2 11+12 2+8 18F = 96+75+12+22+24+144F = 373 nj - Miminalna cijena prevoza

5 Zaključak

Na osnovu svega prikazanog u ovom seminarskom radu možemo vidjeti šta je to transportni problem i šta on prestavlja Takođe smo vidjeli da postoji više vrsta transportnog problema

9

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

SADRŽAJ

1 Uvod 3

2 Transportni problem 4

21 Otvoreni tansportni problemi 5

22 Metode za rešavajnje transportnog problema 7

23 bdquoLanacrdquo za dobijanje optimalnog rešenja transportnog problema7

3 Zadatak broj 7 8

4 Rešenje zadatka broj 7 8

5 Zaključak10

6 Literatura 11

2

1 Uvod

Logistika u saobraćaju predstavlja upravljanje tokovima materijala informacija novca i ideja putem usklaćivanja procesa u lancima snadbevanja i putem strategiskog dodavanja vrijednosti u pogledu mjesta vremena i pakovanja

Logistička funkcija obuhvata upravljanje skupom sredstava koji se koriste za transport i transformaciju proizvoda tamo gdje je i onda kada je to potrebno sa minimumom ukupnih troškovaLogistika je dio operacioni istraživanja i obuhvata studiranje svih problema savladavnja vremena i prostora u procesima proizvodnje transporta i distribucije proizvoda i pratećih usluga

U okviru logistike u saobraćaju rešavaju se zadatci iz transportnih problema Svrha rešavanja transportnog problema je minimizacija troškova prevoza na relaci između otpremne stanice i prijemne stanice uz uslov da se zadovolje potrebe prijemne stanice i u potpunosti iskoriste ponude otpremneU ovom seminarskom radu biće prikazan način rešavanja transportnog problema u opštem obliku kao i jedan primer transportnog problema sa svim pravilima za uspešnno rešavanje ove vrste zadatak

3

2Transportni problem

Transportni problem je dio problema linearnog programiranja koji rješava problem prijevoza istovrsnog tereta iz više otpremnih stanica u više prijemnih stanica odnosno iz otpremnih stanica u prijemnih stanica Otpremne stanice imaju fiksnu ponudu ( = 12 ) dok prijemne stanice imaju fiksnu potražnju ( = 12 ) Transportni problem ima tablični izgled sa redova koji predstavljaju otpremne stanice i sa kolona koji predstavljaju prijemne stanice

Tabela 1 Opšta tabela transportnog problema

Svrha rješavanja transportnog problema je minimalizacija troškova prijevoza na relacijama između otpremnih stanica i prijemnih stanica uz uslov da se zadovolje potrebe prijemnih stanica i u potpunosti iskoriste ponude otpremnih stanica Matematička formula funkcije cilja transportnog problema

Oznaka trošak prijevoza po jedinici tereta na relaciji a je oznaka količine tereta od određene otpremne stanice do određene prijemne stanice

Opšti primjer transportnog problema moguće je prikazati pomoću mreže koja sadrži otpremnih stanica prijemnih stanica te veza između pojedinih otpremnih i prijemnih stanica

ji

P1 P2 Pn ai

O1C11 X11

C1n X1n

a1

O2 a2

OmCm1 Xm1

Cmn Xmn am

bj b1 b2 Bn

4

a1

a2

am

b1

b2

bn

Otpremne stanice

C11x11

Prijemne stanice

Slika 1 Mreža otpremnih i pijemnih stanica

Jedno od ograničenja transportnog problema je suma kapaciteta otpremne stanice jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Takav se oblik transportnog problema u kojem su sume kapaciteta otpremne i prijemne stanice jednake naziva zatvoreni transportni problem No kako je poznato u praksi gotovo nikad nemamo primjer zatvorenog transportnog problema drugim riječima rijetko se može susresti takav problem kojem bi suma kapaciteta otpreme stanice bila jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice Transportni problem kod kojeg kapaciteti otpreme stanice i prijemne stanice nisu jednaki naziva se otvoreni transportni problem

21 Otvoreni tansportni problemi

Otvoreni transportni problem je transportni problem kod kojeg suma kapaciteta otpreme stanice nije jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Višak koji se javlja moguć je na strani otpremene stanice ili na strani prijemne stanice te se prema tome može reći da postoje dvije vrste otvorenog transportnog problema a to su

- otvoreni transportni problem sa viškom u ponudi i - otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji

Kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi višak se javlja na strani otpremene stanice odnosno suma kapaciteta otpremene stanice veća je od sume potražnje prijemne stanice

5

Kako bi bilo moguće riješiti ovaj tip otvorenog transportnog problema potrebno je otvoreni transportni problem pretvoriti u zatvoreni transportni problem Potrebno je dodati bdquofiktivnuldquo prijemnu stanicu (Pf) čiji je kapacitet (bf) onoliko koliko je veća ponuda od potražnje

Jedinični troškovi prijevoza su nula Tada se zatvoreni transportni problem može ovako tablično prikazati

P1 P2 Pn Pf ai

O1Cij xij

0 a1

O20 a2

Om0

am

Bj b1 b2 bn bf

Tabela 2 Tabela otvorenog transportnog problema kada je kapcitet otpremne stanice veći od prijemne stanice

Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji je problem kod kojeg je suma otpremne stanice manja od sume prijemne stanice što znači da je ponuda manja od potražnje

Jednako kao i u prethodnom slučaju kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi i otvoreni transportni problem sa viškom u potražni potrebno je pretvoriti u zatvoreni transportni problem a to se postiže dodavanjem bdquofiktivneldquo otpremne stanice (Of) čiji kapacitet (af) je onoliko kolika je razlika između ponude i potražnje a jedinični troškovi prijevoza jednaki su nuli

Tablični prikaz transportnog problema ovog tipa izgleda ovako

P1 P2 Pn aiO1 Cij a1

6

xij

O2 a2

Om

am

Of0 0 0

af

Bj b1 b2 bn

Tabela 3Ttabela otvorenog transpoirtnog problema gde je kapacitet prijemne stanice veći od otpremne stanice

22 Metode za rešavajnje transportnog problema

Postoji velik broj razrađenih metoda koje se primjenjuju za rješavanje transportnog problema Metode koje se koriste za dobivanje početnog rasporeda tereta su sljedeće

1 Metoda sjeverozapadnog ugla2 Metoda minimalnih troškova i3 Vogelova aproksimativna metoda

A metode za dobivanje optimalnog rješenja transportnog problema su

1 metoda relativnih troškova i 2 MODI metoda

23 bdquoLanacrdquo za dobijanje optimalnog rešenja transportnog problema

Sve dok na poljima u tabeli postoji negativni koficijent ne baznih polja nismo postigli optimalno rešenjeNajveći negativni koficijent ne baznoga polja uzimamo za polaznu tačku lanca sa kojim vršimo preraspodelu otpremni kapaciteta u tabeli da bi došli do optimalnoga rešenja Lanac počinje i završava se u datom polju Sa datog polja u pravoj lini (gore-dole) ili (lijevo-desno) ldquoskačerdquo se na bazna polja sve do povratka u početno polje Početno polje nosi predznak plus bdquo+rdquo dok susedno nosi predznak minus bdquo-˝ i tako se predznaci menju do povratka u početnio polje Zatim se bira minimum od susednih polja ili minimumu svih minimuma koji se oduzimaju od polja ili dodaju u zavisnoisti od predznaka polja Na taj način dobivamo novu preraspoldelu u tabeli na osnovu koje tražimo optimalno rešenje

7

Slika 2 i 3 Mogući izgledi lanca

3 Zadatak broj 7

7 Jedno logističko preduzeće ima četiri skladišta brašna ( C1 C2 C3 C4 ) iz kojih se snadbjevaju četiri potrošačka centra ( D1 D2 D3 D4 ) Kapaciteti skladišta su

C1 = 12t C2 = 15t C3 = 13t C4= 20t dok potražnja potrošačkih centara iznosi D1 = 17t D2 = 11t D3 = 14t D4 =18tTroškovi prevoza po jednoj toni dati su u nj u sledećoj tabeli

D1 D2 D3 D4

C1 8 4 8 12C2 5 9 13 17C3 6 2 10 5C4 10 5 12 8

Naći optimalan plan transporta brašna iz skladišta C1 C2 C3 C4 u potrošačke centre D1 D2 D3

D4 ( kriterijum optimalnosti su minimalni ukupni troškovi prevoza )

4 Rešenje zadatka broj 7

Na početku izrade transportnog zadatka potrebno je utvrditi da li se radi o zatvorenom transportnom zadatku ili otvorenom i koga je on tipa

sumCi = C1+ C2 + C3 + C4

sumCi = 12 + 15 + 13 + 20

sumCi = 60

sumDi = D1 +D2 + D3 + D4

sumDi = 17 + 11 + 14 + 18

sumDi = 60U ovom zadatku riječ je o zatvorenom transportnom problemu jer se ne javlja višak na ni na jednoj strani pa nemamo potrebe za uvođenjem fiktivne stanice

8

sumCi = sumDi

m + n ndash 1 = 4 + 4 ndash 1 = 7

Znači 7 bazisnih polja treba biti

D1 D2 D3 D4 α i

17 11 14 18 0C1 12 8 4 8 12 12 0C2 15 5 15 9 13 17 1C3 13 6 2 2 11 10 5 0 4C4 20 10 5 12 2 8 18

β j 5 1 8 4

Tabel 5 Kapaciteti otpremnih i prijemnih stanica

Dati trnasportni problem rešavamo metodom dvostrukog precrtavanja Formiramo početnu tabelu Tražimo minimalne cijene po kolonam i vrstama i stavljmo zvezdicu za minimalnu cenu u koloni i vrsti Polje koje je minimum po vrst i koloni imamo dve zvjezdice

K11 = 3K12 = 3K14 = 8K22 = 8K23 = 5K24 = 13K33 = 1K41 = 1K42 = 0

Vidimo da su svi korficijenti u ne baznim poljima pozitivni što znači da je dobiveno optimalno rešenje Iz čega slijede troškovi prevoza

F = 8 12+5 15+6 2+2 11+12 2+8 18F = 96+75+12+22+24+144F = 373 nj - Miminalna cijena prevoza

5 Zaključak

Na osnovu svega prikazanog u ovom seminarskom radu možemo vidjeti šta je to transportni problem i šta on prestavlja Takođe smo vidjeli da postoji više vrsta transportnog problema

9

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

1 Uvod

Logistika u saobraćaju predstavlja upravljanje tokovima materijala informacija novca i ideja putem usklaćivanja procesa u lancima snadbevanja i putem strategiskog dodavanja vrijednosti u pogledu mjesta vremena i pakovanja

Logistička funkcija obuhvata upravljanje skupom sredstava koji se koriste za transport i transformaciju proizvoda tamo gdje je i onda kada je to potrebno sa minimumom ukupnih troškovaLogistika je dio operacioni istraživanja i obuhvata studiranje svih problema savladavnja vremena i prostora u procesima proizvodnje transporta i distribucije proizvoda i pratećih usluga

U okviru logistike u saobraćaju rešavaju se zadatci iz transportnih problema Svrha rešavanja transportnog problema je minimizacija troškova prevoza na relaci između otpremne stanice i prijemne stanice uz uslov da se zadovolje potrebe prijemne stanice i u potpunosti iskoriste ponude otpremneU ovom seminarskom radu biće prikazan način rešavanja transportnog problema u opštem obliku kao i jedan primer transportnog problema sa svim pravilima za uspešnno rešavanje ove vrste zadatak

3

2Transportni problem

Transportni problem je dio problema linearnog programiranja koji rješava problem prijevoza istovrsnog tereta iz više otpremnih stanica u više prijemnih stanica odnosno iz otpremnih stanica u prijemnih stanica Otpremne stanice imaju fiksnu ponudu ( = 12 ) dok prijemne stanice imaju fiksnu potražnju ( = 12 ) Transportni problem ima tablični izgled sa redova koji predstavljaju otpremne stanice i sa kolona koji predstavljaju prijemne stanice

Tabela 1 Opšta tabela transportnog problema

Svrha rješavanja transportnog problema je minimalizacija troškova prijevoza na relacijama između otpremnih stanica i prijemnih stanica uz uslov da se zadovolje potrebe prijemnih stanica i u potpunosti iskoriste ponude otpremnih stanica Matematička formula funkcije cilja transportnog problema

Oznaka trošak prijevoza po jedinici tereta na relaciji a je oznaka količine tereta od određene otpremne stanice do određene prijemne stanice

Opšti primjer transportnog problema moguće je prikazati pomoću mreže koja sadrži otpremnih stanica prijemnih stanica te veza između pojedinih otpremnih i prijemnih stanica

ji

P1 P2 Pn ai

O1C11 X11

C1n X1n

a1

O2 a2

OmCm1 Xm1

Cmn Xmn am

bj b1 b2 Bn

4

a1

a2

am

b1

b2

bn

Otpremne stanice

C11x11

Prijemne stanice

Slika 1 Mreža otpremnih i pijemnih stanica

Jedno od ograničenja transportnog problema je suma kapaciteta otpremne stanice jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Takav se oblik transportnog problema u kojem su sume kapaciteta otpremne i prijemne stanice jednake naziva zatvoreni transportni problem No kako je poznato u praksi gotovo nikad nemamo primjer zatvorenog transportnog problema drugim riječima rijetko se može susresti takav problem kojem bi suma kapaciteta otpreme stanice bila jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice Transportni problem kod kojeg kapaciteti otpreme stanice i prijemne stanice nisu jednaki naziva se otvoreni transportni problem

21 Otvoreni tansportni problemi

Otvoreni transportni problem je transportni problem kod kojeg suma kapaciteta otpreme stanice nije jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Višak koji se javlja moguć je na strani otpremene stanice ili na strani prijemne stanice te se prema tome može reći da postoje dvije vrste otvorenog transportnog problema a to su

- otvoreni transportni problem sa viškom u ponudi i - otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji

Kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi višak se javlja na strani otpremene stanice odnosno suma kapaciteta otpremene stanice veća je od sume potražnje prijemne stanice

5

Kako bi bilo moguće riješiti ovaj tip otvorenog transportnog problema potrebno je otvoreni transportni problem pretvoriti u zatvoreni transportni problem Potrebno je dodati bdquofiktivnuldquo prijemnu stanicu (Pf) čiji je kapacitet (bf) onoliko koliko je veća ponuda od potražnje

Jedinični troškovi prijevoza su nula Tada se zatvoreni transportni problem može ovako tablično prikazati

P1 P2 Pn Pf ai

O1Cij xij

0 a1

O20 a2

Om0

am

Bj b1 b2 bn bf

Tabela 2 Tabela otvorenog transportnog problema kada je kapcitet otpremne stanice veći od prijemne stanice

Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji je problem kod kojeg je suma otpremne stanice manja od sume prijemne stanice što znači da je ponuda manja od potražnje

Jednako kao i u prethodnom slučaju kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi i otvoreni transportni problem sa viškom u potražni potrebno je pretvoriti u zatvoreni transportni problem a to se postiže dodavanjem bdquofiktivneldquo otpremne stanice (Of) čiji kapacitet (af) je onoliko kolika je razlika između ponude i potražnje a jedinični troškovi prijevoza jednaki su nuli

Tablični prikaz transportnog problema ovog tipa izgleda ovako

P1 P2 Pn aiO1 Cij a1

6

xij

O2 a2

Om

am

Of0 0 0

af

Bj b1 b2 bn

Tabela 3Ttabela otvorenog transpoirtnog problema gde je kapacitet prijemne stanice veći od otpremne stanice

22 Metode za rešavajnje transportnog problema

Postoji velik broj razrađenih metoda koje se primjenjuju za rješavanje transportnog problema Metode koje se koriste za dobivanje početnog rasporeda tereta su sljedeće

1 Metoda sjeverozapadnog ugla2 Metoda minimalnih troškova i3 Vogelova aproksimativna metoda

A metode za dobivanje optimalnog rješenja transportnog problema su

1 metoda relativnih troškova i 2 MODI metoda

23 bdquoLanacrdquo za dobijanje optimalnog rešenja transportnog problema

Sve dok na poljima u tabeli postoji negativni koficijent ne baznih polja nismo postigli optimalno rešenjeNajveći negativni koficijent ne baznoga polja uzimamo za polaznu tačku lanca sa kojim vršimo preraspodelu otpremni kapaciteta u tabeli da bi došli do optimalnoga rešenja Lanac počinje i završava se u datom polju Sa datog polja u pravoj lini (gore-dole) ili (lijevo-desno) ldquoskačerdquo se na bazna polja sve do povratka u početno polje Početno polje nosi predznak plus bdquo+rdquo dok susedno nosi predznak minus bdquo-˝ i tako se predznaci menju do povratka u početnio polje Zatim se bira minimum od susednih polja ili minimumu svih minimuma koji se oduzimaju od polja ili dodaju u zavisnoisti od predznaka polja Na taj način dobivamo novu preraspoldelu u tabeli na osnovu koje tražimo optimalno rešenje

7

Slika 2 i 3 Mogući izgledi lanca

3 Zadatak broj 7

7 Jedno logističko preduzeće ima četiri skladišta brašna ( C1 C2 C3 C4 ) iz kojih se snadbjevaju četiri potrošačka centra ( D1 D2 D3 D4 ) Kapaciteti skladišta su

C1 = 12t C2 = 15t C3 = 13t C4= 20t dok potražnja potrošačkih centara iznosi D1 = 17t D2 = 11t D3 = 14t D4 =18tTroškovi prevoza po jednoj toni dati su u nj u sledećoj tabeli

D1 D2 D3 D4

C1 8 4 8 12C2 5 9 13 17C3 6 2 10 5C4 10 5 12 8

Naći optimalan plan transporta brašna iz skladišta C1 C2 C3 C4 u potrošačke centre D1 D2 D3

D4 ( kriterijum optimalnosti su minimalni ukupni troškovi prevoza )

4 Rešenje zadatka broj 7

Na početku izrade transportnog zadatka potrebno je utvrditi da li se radi o zatvorenom transportnom zadatku ili otvorenom i koga je on tipa

sumCi = C1+ C2 + C3 + C4

sumCi = 12 + 15 + 13 + 20

sumCi = 60

sumDi = D1 +D2 + D3 + D4

sumDi = 17 + 11 + 14 + 18

sumDi = 60U ovom zadatku riječ je o zatvorenom transportnom problemu jer se ne javlja višak na ni na jednoj strani pa nemamo potrebe za uvođenjem fiktivne stanice

8

sumCi = sumDi

m + n ndash 1 = 4 + 4 ndash 1 = 7

Znači 7 bazisnih polja treba biti

D1 D2 D3 D4 α i

17 11 14 18 0C1 12 8 4 8 12 12 0C2 15 5 15 9 13 17 1C3 13 6 2 2 11 10 5 0 4C4 20 10 5 12 2 8 18

β j 5 1 8 4

Tabel 5 Kapaciteti otpremnih i prijemnih stanica

Dati trnasportni problem rešavamo metodom dvostrukog precrtavanja Formiramo početnu tabelu Tražimo minimalne cijene po kolonam i vrstama i stavljmo zvezdicu za minimalnu cenu u koloni i vrsti Polje koje je minimum po vrst i koloni imamo dve zvjezdice

K11 = 3K12 = 3K14 = 8K22 = 8K23 = 5K24 = 13K33 = 1K41 = 1K42 = 0

Vidimo da su svi korficijenti u ne baznim poljima pozitivni što znači da je dobiveno optimalno rešenje Iz čega slijede troškovi prevoza

F = 8 12+5 15+6 2+2 11+12 2+8 18F = 96+75+12+22+24+144F = 373 nj - Miminalna cijena prevoza

5 Zaključak

Na osnovu svega prikazanog u ovom seminarskom radu možemo vidjeti šta je to transportni problem i šta on prestavlja Takođe smo vidjeli da postoji više vrsta transportnog problema

9

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

2Transportni problem

Transportni problem je dio problema linearnog programiranja koji rješava problem prijevoza istovrsnog tereta iz više otpremnih stanica u više prijemnih stanica odnosno iz otpremnih stanica u prijemnih stanica Otpremne stanice imaju fiksnu ponudu ( = 12 ) dok prijemne stanice imaju fiksnu potražnju ( = 12 ) Transportni problem ima tablični izgled sa redova koji predstavljaju otpremne stanice i sa kolona koji predstavljaju prijemne stanice

Tabela 1 Opšta tabela transportnog problema

Svrha rješavanja transportnog problema je minimalizacija troškova prijevoza na relacijama između otpremnih stanica i prijemnih stanica uz uslov da se zadovolje potrebe prijemnih stanica i u potpunosti iskoriste ponude otpremnih stanica Matematička formula funkcije cilja transportnog problema

Oznaka trošak prijevoza po jedinici tereta na relaciji a je oznaka količine tereta od određene otpremne stanice do određene prijemne stanice

Opšti primjer transportnog problema moguće je prikazati pomoću mreže koja sadrži otpremnih stanica prijemnih stanica te veza između pojedinih otpremnih i prijemnih stanica

ji

P1 P2 Pn ai

O1C11 X11

C1n X1n

a1

O2 a2

OmCm1 Xm1

Cmn Xmn am

bj b1 b2 Bn

4

a1

a2

am

b1

b2

bn

Otpremne stanice

C11x11

Prijemne stanice

Slika 1 Mreža otpremnih i pijemnih stanica

Jedno od ograničenja transportnog problema je suma kapaciteta otpremne stanice jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Takav se oblik transportnog problema u kojem su sume kapaciteta otpremne i prijemne stanice jednake naziva zatvoreni transportni problem No kako je poznato u praksi gotovo nikad nemamo primjer zatvorenog transportnog problema drugim riječima rijetko se može susresti takav problem kojem bi suma kapaciteta otpreme stanice bila jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice Transportni problem kod kojeg kapaciteti otpreme stanice i prijemne stanice nisu jednaki naziva se otvoreni transportni problem

21 Otvoreni tansportni problemi

Otvoreni transportni problem je transportni problem kod kojeg suma kapaciteta otpreme stanice nije jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Višak koji se javlja moguć je na strani otpremene stanice ili na strani prijemne stanice te se prema tome može reći da postoje dvije vrste otvorenog transportnog problema a to su

- otvoreni transportni problem sa viškom u ponudi i - otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji

Kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi višak se javlja na strani otpremene stanice odnosno suma kapaciteta otpremene stanice veća je od sume potražnje prijemne stanice

5

Kako bi bilo moguće riješiti ovaj tip otvorenog transportnog problema potrebno je otvoreni transportni problem pretvoriti u zatvoreni transportni problem Potrebno je dodati bdquofiktivnuldquo prijemnu stanicu (Pf) čiji je kapacitet (bf) onoliko koliko je veća ponuda od potražnje

Jedinični troškovi prijevoza su nula Tada se zatvoreni transportni problem može ovako tablično prikazati

P1 P2 Pn Pf ai

O1Cij xij

0 a1

O20 a2

Om0

am

Bj b1 b2 bn bf

Tabela 2 Tabela otvorenog transportnog problema kada je kapcitet otpremne stanice veći od prijemne stanice

Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji je problem kod kojeg je suma otpremne stanice manja od sume prijemne stanice što znači da je ponuda manja od potražnje

Jednako kao i u prethodnom slučaju kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi i otvoreni transportni problem sa viškom u potražni potrebno je pretvoriti u zatvoreni transportni problem a to se postiže dodavanjem bdquofiktivneldquo otpremne stanice (Of) čiji kapacitet (af) je onoliko kolika je razlika između ponude i potražnje a jedinični troškovi prijevoza jednaki su nuli

Tablični prikaz transportnog problema ovog tipa izgleda ovako

P1 P2 Pn aiO1 Cij a1

6

xij

O2 a2

Om

am

Of0 0 0

af

Bj b1 b2 bn

Tabela 3Ttabela otvorenog transpoirtnog problema gde je kapacitet prijemne stanice veći od otpremne stanice

22 Metode za rešavajnje transportnog problema

Postoji velik broj razrađenih metoda koje se primjenjuju za rješavanje transportnog problema Metode koje se koriste za dobivanje početnog rasporeda tereta su sljedeće

1 Metoda sjeverozapadnog ugla2 Metoda minimalnih troškova i3 Vogelova aproksimativna metoda

A metode za dobivanje optimalnog rješenja transportnog problema su

1 metoda relativnih troškova i 2 MODI metoda

23 bdquoLanacrdquo za dobijanje optimalnog rešenja transportnog problema

Sve dok na poljima u tabeli postoji negativni koficijent ne baznih polja nismo postigli optimalno rešenjeNajveći negativni koficijent ne baznoga polja uzimamo za polaznu tačku lanca sa kojim vršimo preraspodelu otpremni kapaciteta u tabeli da bi došli do optimalnoga rešenja Lanac počinje i završava se u datom polju Sa datog polja u pravoj lini (gore-dole) ili (lijevo-desno) ldquoskačerdquo se na bazna polja sve do povratka u početno polje Početno polje nosi predznak plus bdquo+rdquo dok susedno nosi predznak minus bdquo-˝ i tako se predznaci menju do povratka u početnio polje Zatim se bira minimum od susednih polja ili minimumu svih minimuma koji se oduzimaju od polja ili dodaju u zavisnoisti od predznaka polja Na taj način dobivamo novu preraspoldelu u tabeli na osnovu koje tražimo optimalno rešenje

7

Slika 2 i 3 Mogući izgledi lanca

3 Zadatak broj 7

7 Jedno logističko preduzeće ima četiri skladišta brašna ( C1 C2 C3 C4 ) iz kojih se snadbjevaju četiri potrošačka centra ( D1 D2 D3 D4 ) Kapaciteti skladišta su

C1 = 12t C2 = 15t C3 = 13t C4= 20t dok potražnja potrošačkih centara iznosi D1 = 17t D2 = 11t D3 = 14t D4 =18tTroškovi prevoza po jednoj toni dati su u nj u sledećoj tabeli

D1 D2 D3 D4

C1 8 4 8 12C2 5 9 13 17C3 6 2 10 5C4 10 5 12 8

Naći optimalan plan transporta brašna iz skladišta C1 C2 C3 C4 u potrošačke centre D1 D2 D3

D4 ( kriterijum optimalnosti su minimalni ukupni troškovi prevoza )

4 Rešenje zadatka broj 7

Na početku izrade transportnog zadatka potrebno je utvrditi da li se radi o zatvorenom transportnom zadatku ili otvorenom i koga je on tipa

sumCi = C1+ C2 + C3 + C4

sumCi = 12 + 15 + 13 + 20

sumCi = 60

sumDi = D1 +D2 + D3 + D4

sumDi = 17 + 11 + 14 + 18

sumDi = 60U ovom zadatku riječ je o zatvorenom transportnom problemu jer se ne javlja višak na ni na jednoj strani pa nemamo potrebe za uvođenjem fiktivne stanice

8

sumCi = sumDi

m + n ndash 1 = 4 + 4 ndash 1 = 7

Znači 7 bazisnih polja treba biti

D1 D2 D3 D4 α i

17 11 14 18 0C1 12 8 4 8 12 12 0C2 15 5 15 9 13 17 1C3 13 6 2 2 11 10 5 0 4C4 20 10 5 12 2 8 18

β j 5 1 8 4

Tabel 5 Kapaciteti otpremnih i prijemnih stanica

Dati trnasportni problem rešavamo metodom dvostrukog precrtavanja Formiramo početnu tabelu Tražimo minimalne cijene po kolonam i vrstama i stavljmo zvezdicu za minimalnu cenu u koloni i vrsti Polje koje je minimum po vrst i koloni imamo dve zvjezdice

K11 = 3K12 = 3K14 = 8K22 = 8K23 = 5K24 = 13K33 = 1K41 = 1K42 = 0

Vidimo da su svi korficijenti u ne baznim poljima pozitivni što znači da je dobiveno optimalno rešenje Iz čega slijede troškovi prevoza

F = 8 12+5 15+6 2+2 11+12 2+8 18F = 96+75+12+22+24+144F = 373 nj - Miminalna cijena prevoza

5 Zaključak

Na osnovu svega prikazanog u ovom seminarskom radu možemo vidjeti šta je to transportni problem i šta on prestavlja Takođe smo vidjeli da postoji više vrsta transportnog problema

9

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

a1

a2

am

b1

b2

bn

Otpremne stanice

C11x11

Prijemne stanice

Slika 1 Mreža otpremnih i pijemnih stanica

Jedno od ograničenja transportnog problema je suma kapaciteta otpremne stanice jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Takav se oblik transportnog problema u kojem su sume kapaciteta otpremne i prijemne stanice jednake naziva zatvoreni transportni problem No kako je poznato u praksi gotovo nikad nemamo primjer zatvorenog transportnog problema drugim riječima rijetko se može susresti takav problem kojem bi suma kapaciteta otpreme stanice bila jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice Transportni problem kod kojeg kapaciteti otpreme stanice i prijemne stanice nisu jednaki naziva se otvoreni transportni problem

21 Otvoreni tansportni problemi

Otvoreni transportni problem je transportni problem kod kojeg suma kapaciteta otpreme stanice nije jednaka sumi kapaciteta prijemne stanice

Višak koji se javlja moguć je na strani otpremene stanice ili na strani prijemne stanice te se prema tome može reći da postoje dvije vrste otvorenog transportnog problema a to su

- otvoreni transportni problem sa viškom u ponudi i - otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji

Kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi višak se javlja na strani otpremene stanice odnosno suma kapaciteta otpremene stanice veća je od sume potražnje prijemne stanice

5

Kako bi bilo moguće riješiti ovaj tip otvorenog transportnog problema potrebno je otvoreni transportni problem pretvoriti u zatvoreni transportni problem Potrebno je dodati bdquofiktivnuldquo prijemnu stanicu (Pf) čiji je kapacitet (bf) onoliko koliko je veća ponuda od potražnje

Jedinični troškovi prijevoza su nula Tada se zatvoreni transportni problem može ovako tablično prikazati

P1 P2 Pn Pf ai

O1Cij xij

0 a1

O20 a2

Om0

am

Bj b1 b2 bn bf

Tabela 2 Tabela otvorenog transportnog problema kada je kapcitet otpremne stanice veći od prijemne stanice

Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji je problem kod kojeg je suma otpremne stanice manja od sume prijemne stanice što znači da je ponuda manja od potražnje

Jednako kao i u prethodnom slučaju kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi i otvoreni transportni problem sa viškom u potražni potrebno je pretvoriti u zatvoreni transportni problem a to se postiže dodavanjem bdquofiktivneldquo otpremne stanice (Of) čiji kapacitet (af) je onoliko kolika je razlika između ponude i potražnje a jedinični troškovi prijevoza jednaki su nuli

Tablični prikaz transportnog problema ovog tipa izgleda ovako

P1 P2 Pn aiO1 Cij a1

6

xij

O2 a2

Om

am

Of0 0 0

af

Bj b1 b2 bn

Tabela 3Ttabela otvorenog transpoirtnog problema gde je kapacitet prijemne stanice veći od otpremne stanice

22 Metode za rešavajnje transportnog problema

Postoji velik broj razrađenih metoda koje se primjenjuju za rješavanje transportnog problema Metode koje se koriste za dobivanje početnog rasporeda tereta su sljedeće

1 Metoda sjeverozapadnog ugla2 Metoda minimalnih troškova i3 Vogelova aproksimativna metoda

A metode za dobivanje optimalnog rješenja transportnog problema su

1 metoda relativnih troškova i 2 MODI metoda

23 bdquoLanacrdquo za dobijanje optimalnog rešenja transportnog problema

Sve dok na poljima u tabeli postoji negativni koficijent ne baznih polja nismo postigli optimalno rešenjeNajveći negativni koficijent ne baznoga polja uzimamo za polaznu tačku lanca sa kojim vršimo preraspodelu otpremni kapaciteta u tabeli da bi došli do optimalnoga rešenja Lanac počinje i završava se u datom polju Sa datog polja u pravoj lini (gore-dole) ili (lijevo-desno) ldquoskačerdquo se na bazna polja sve do povratka u početno polje Početno polje nosi predznak plus bdquo+rdquo dok susedno nosi predznak minus bdquo-˝ i tako se predznaci menju do povratka u početnio polje Zatim se bira minimum od susednih polja ili minimumu svih minimuma koji se oduzimaju od polja ili dodaju u zavisnoisti od predznaka polja Na taj način dobivamo novu preraspoldelu u tabeli na osnovu koje tražimo optimalno rešenje

7

Slika 2 i 3 Mogući izgledi lanca

3 Zadatak broj 7

7 Jedno logističko preduzeće ima četiri skladišta brašna ( C1 C2 C3 C4 ) iz kojih se snadbjevaju četiri potrošačka centra ( D1 D2 D3 D4 ) Kapaciteti skladišta su

C1 = 12t C2 = 15t C3 = 13t C4= 20t dok potražnja potrošačkih centara iznosi D1 = 17t D2 = 11t D3 = 14t D4 =18tTroškovi prevoza po jednoj toni dati su u nj u sledećoj tabeli

D1 D2 D3 D4

C1 8 4 8 12C2 5 9 13 17C3 6 2 10 5C4 10 5 12 8

Naći optimalan plan transporta brašna iz skladišta C1 C2 C3 C4 u potrošačke centre D1 D2 D3

D4 ( kriterijum optimalnosti su minimalni ukupni troškovi prevoza )

4 Rešenje zadatka broj 7

Na početku izrade transportnog zadatka potrebno je utvrditi da li se radi o zatvorenom transportnom zadatku ili otvorenom i koga je on tipa

sumCi = C1+ C2 + C3 + C4

sumCi = 12 + 15 + 13 + 20

sumCi = 60

sumDi = D1 +D2 + D3 + D4

sumDi = 17 + 11 + 14 + 18

sumDi = 60U ovom zadatku riječ je o zatvorenom transportnom problemu jer se ne javlja višak na ni na jednoj strani pa nemamo potrebe za uvođenjem fiktivne stanice

8

sumCi = sumDi

m + n ndash 1 = 4 + 4 ndash 1 = 7

Znači 7 bazisnih polja treba biti

D1 D2 D3 D4 α i

17 11 14 18 0C1 12 8 4 8 12 12 0C2 15 5 15 9 13 17 1C3 13 6 2 2 11 10 5 0 4C4 20 10 5 12 2 8 18

β j 5 1 8 4

Tabel 5 Kapaciteti otpremnih i prijemnih stanica

Dati trnasportni problem rešavamo metodom dvostrukog precrtavanja Formiramo početnu tabelu Tražimo minimalne cijene po kolonam i vrstama i stavljmo zvezdicu za minimalnu cenu u koloni i vrsti Polje koje je minimum po vrst i koloni imamo dve zvjezdice

K11 = 3K12 = 3K14 = 8K22 = 8K23 = 5K24 = 13K33 = 1K41 = 1K42 = 0

Vidimo da su svi korficijenti u ne baznim poljima pozitivni što znači da je dobiveno optimalno rešenje Iz čega slijede troškovi prevoza

F = 8 12+5 15+6 2+2 11+12 2+8 18F = 96+75+12+22+24+144F = 373 nj - Miminalna cijena prevoza

5 Zaključak

Na osnovu svega prikazanog u ovom seminarskom radu možemo vidjeti šta je to transportni problem i šta on prestavlja Takođe smo vidjeli da postoji više vrsta transportnog problema

9

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

Kako bi bilo moguće riješiti ovaj tip otvorenog transportnog problema potrebno je otvoreni transportni problem pretvoriti u zatvoreni transportni problem Potrebno je dodati bdquofiktivnuldquo prijemnu stanicu (Pf) čiji je kapacitet (bf) onoliko koliko je veća ponuda od potražnje

Jedinični troškovi prijevoza su nula Tada se zatvoreni transportni problem može ovako tablično prikazati

P1 P2 Pn Pf ai

O1Cij xij

0 a1

O20 a2

Om0

am

Bj b1 b2 bn bf

Tabela 2 Tabela otvorenog transportnog problema kada je kapcitet otpremne stanice veći od prijemne stanice

Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji je problem kod kojeg je suma otpremne stanice manja od sume prijemne stanice što znači da je ponuda manja od potražnje

Jednako kao i u prethodnom slučaju kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi i otvoreni transportni problem sa viškom u potražni potrebno je pretvoriti u zatvoreni transportni problem a to se postiže dodavanjem bdquofiktivneldquo otpremne stanice (Of) čiji kapacitet (af) je onoliko kolika je razlika između ponude i potražnje a jedinični troškovi prijevoza jednaki su nuli

Tablični prikaz transportnog problema ovog tipa izgleda ovako

P1 P2 Pn aiO1 Cij a1

6

xij

O2 a2

Om

am

Of0 0 0

af

Bj b1 b2 bn

Tabela 3Ttabela otvorenog transpoirtnog problema gde je kapacitet prijemne stanice veći od otpremne stanice

22 Metode za rešavajnje transportnog problema

Postoji velik broj razrađenih metoda koje se primjenjuju za rješavanje transportnog problema Metode koje se koriste za dobivanje početnog rasporeda tereta su sljedeće

1 Metoda sjeverozapadnog ugla2 Metoda minimalnih troškova i3 Vogelova aproksimativna metoda

A metode za dobivanje optimalnog rješenja transportnog problema su

1 metoda relativnih troškova i 2 MODI metoda

23 bdquoLanacrdquo za dobijanje optimalnog rešenja transportnog problema

Sve dok na poljima u tabeli postoji negativni koficijent ne baznih polja nismo postigli optimalno rešenjeNajveći negativni koficijent ne baznoga polja uzimamo za polaznu tačku lanca sa kojim vršimo preraspodelu otpremni kapaciteta u tabeli da bi došli do optimalnoga rešenja Lanac počinje i završava se u datom polju Sa datog polja u pravoj lini (gore-dole) ili (lijevo-desno) ldquoskačerdquo se na bazna polja sve do povratka u početno polje Početno polje nosi predznak plus bdquo+rdquo dok susedno nosi predznak minus bdquo-˝ i tako se predznaci menju do povratka u početnio polje Zatim se bira minimum od susednih polja ili minimumu svih minimuma koji se oduzimaju od polja ili dodaju u zavisnoisti od predznaka polja Na taj način dobivamo novu preraspoldelu u tabeli na osnovu koje tražimo optimalno rešenje

7

Slika 2 i 3 Mogući izgledi lanca

3 Zadatak broj 7

7 Jedno logističko preduzeće ima četiri skladišta brašna ( C1 C2 C3 C4 ) iz kojih se snadbjevaju četiri potrošačka centra ( D1 D2 D3 D4 ) Kapaciteti skladišta su

C1 = 12t C2 = 15t C3 = 13t C4= 20t dok potražnja potrošačkih centara iznosi D1 = 17t D2 = 11t D3 = 14t D4 =18tTroškovi prevoza po jednoj toni dati su u nj u sledećoj tabeli

D1 D2 D3 D4

C1 8 4 8 12C2 5 9 13 17C3 6 2 10 5C4 10 5 12 8

Naći optimalan plan transporta brašna iz skladišta C1 C2 C3 C4 u potrošačke centre D1 D2 D3

D4 ( kriterijum optimalnosti su minimalni ukupni troškovi prevoza )

4 Rešenje zadatka broj 7

Na početku izrade transportnog zadatka potrebno je utvrditi da li se radi o zatvorenom transportnom zadatku ili otvorenom i koga je on tipa

sumCi = C1+ C2 + C3 + C4

sumCi = 12 + 15 + 13 + 20

sumCi = 60

sumDi = D1 +D2 + D3 + D4

sumDi = 17 + 11 + 14 + 18

sumDi = 60U ovom zadatku riječ je o zatvorenom transportnom problemu jer se ne javlja višak na ni na jednoj strani pa nemamo potrebe za uvođenjem fiktivne stanice

8

sumCi = sumDi

m + n ndash 1 = 4 + 4 ndash 1 = 7

Znači 7 bazisnih polja treba biti

D1 D2 D3 D4 α i

17 11 14 18 0C1 12 8 4 8 12 12 0C2 15 5 15 9 13 17 1C3 13 6 2 2 11 10 5 0 4C4 20 10 5 12 2 8 18

β j 5 1 8 4

Tabel 5 Kapaciteti otpremnih i prijemnih stanica

Dati trnasportni problem rešavamo metodom dvostrukog precrtavanja Formiramo početnu tabelu Tražimo minimalne cijene po kolonam i vrstama i stavljmo zvezdicu za minimalnu cenu u koloni i vrsti Polje koje je minimum po vrst i koloni imamo dve zvjezdice

K11 = 3K12 = 3K14 = 8K22 = 8K23 = 5K24 = 13K33 = 1K41 = 1K42 = 0

Vidimo da su svi korficijenti u ne baznim poljima pozitivni što znači da je dobiveno optimalno rešenje Iz čega slijede troškovi prevoza

F = 8 12+5 15+6 2+2 11+12 2+8 18F = 96+75+12+22+24+144F = 373 nj - Miminalna cijena prevoza

5 Zaključak

Na osnovu svega prikazanog u ovom seminarskom radu možemo vidjeti šta je to transportni problem i šta on prestavlja Takođe smo vidjeli da postoji više vrsta transportnog problema

9

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

xij

O2 a2

Om

am

Of0 0 0

af

Bj b1 b2 bn

Tabela 3Ttabela otvorenog transpoirtnog problema gde je kapacitet prijemne stanice veći od otpremne stanice

22 Metode za rešavajnje transportnog problema

Postoji velik broj razrađenih metoda koje se primjenjuju za rješavanje transportnog problema Metode koje se koriste za dobivanje početnog rasporeda tereta su sljedeće

1 Metoda sjeverozapadnog ugla2 Metoda minimalnih troškova i3 Vogelova aproksimativna metoda

A metode za dobivanje optimalnog rješenja transportnog problema su

1 metoda relativnih troškova i 2 MODI metoda

23 bdquoLanacrdquo za dobijanje optimalnog rešenja transportnog problema

Sve dok na poljima u tabeli postoji negativni koficijent ne baznih polja nismo postigli optimalno rešenjeNajveći negativni koficijent ne baznoga polja uzimamo za polaznu tačku lanca sa kojim vršimo preraspodelu otpremni kapaciteta u tabeli da bi došli do optimalnoga rešenja Lanac počinje i završava se u datom polju Sa datog polja u pravoj lini (gore-dole) ili (lijevo-desno) ldquoskačerdquo se na bazna polja sve do povratka u početno polje Početno polje nosi predznak plus bdquo+rdquo dok susedno nosi predznak minus bdquo-˝ i tako se predznaci menju do povratka u početnio polje Zatim se bira minimum od susednih polja ili minimumu svih minimuma koji se oduzimaju od polja ili dodaju u zavisnoisti od predznaka polja Na taj način dobivamo novu preraspoldelu u tabeli na osnovu koje tražimo optimalno rešenje

7

Slika 2 i 3 Mogući izgledi lanca

3 Zadatak broj 7

7 Jedno logističko preduzeće ima četiri skladišta brašna ( C1 C2 C3 C4 ) iz kojih se snadbjevaju četiri potrošačka centra ( D1 D2 D3 D4 ) Kapaciteti skladišta su

C1 = 12t C2 = 15t C3 = 13t C4= 20t dok potražnja potrošačkih centara iznosi D1 = 17t D2 = 11t D3 = 14t D4 =18tTroškovi prevoza po jednoj toni dati su u nj u sledećoj tabeli

D1 D2 D3 D4

C1 8 4 8 12C2 5 9 13 17C3 6 2 10 5C4 10 5 12 8

Naći optimalan plan transporta brašna iz skladišta C1 C2 C3 C4 u potrošačke centre D1 D2 D3

D4 ( kriterijum optimalnosti su minimalni ukupni troškovi prevoza )

4 Rešenje zadatka broj 7

Na početku izrade transportnog zadatka potrebno je utvrditi da li se radi o zatvorenom transportnom zadatku ili otvorenom i koga je on tipa

sumCi = C1+ C2 + C3 + C4

sumCi = 12 + 15 + 13 + 20

sumCi = 60

sumDi = D1 +D2 + D3 + D4

sumDi = 17 + 11 + 14 + 18

sumDi = 60U ovom zadatku riječ je o zatvorenom transportnom problemu jer se ne javlja višak na ni na jednoj strani pa nemamo potrebe za uvođenjem fiktivne stanice

8

sumCi = sumDi

m + n ndash 1 = 4 + 4 ndash 1 = 7

Znači 7 bazisnih polja treba biti

D1 D2 D3 D4 α i

17 11 14 18 0C1 12 8 4 8 12 12 0C2 15 5 15 9 13 17 1C3 13 6 2 2 11 10 5 0 4C4 20 10 5 12 2 8 18

β j 5 1 8 4

Tabel 5 Kapaciteti otpremnih i prijemnih stanica

Dati trnasportni problem rešavamo metodom dvostrukog precrtavanja Formiramo početnu tabelu Tražimo minimalne cijene po kolonam i vrstama i stavljmo zvezdicu za minimalnu cenu u koloni i vrsti Polje koje je minimum po vrst i koloni imamo dve zvjezdice

K11 = 3K12 = 3K14 = 8K22 = 8K23 = 5K24 = 13K33 = 1K41 = 1K42 = 0

Vidimo da su svi korficijenti u ne baznim poljima pozitivni što znači da je dobiveno optimalno rešenje Iz čega slijede troškovi prevoza

F = 8 12+5 15+6 2+2 11+12 2+8 18F = 96+75+12+22+24+144F = 373 nj - Miminalna cijena prevoza

5 Zaključak

Na osnovu svega prikazanog u ovom seminarskom radu možemo vidjeti šta je to transportni problem i šta on prestavlja Takođe smo vidjeli da postoji više vrsta transportnog problema

9

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

Slika 2 i 3 Mogući izgledi lanca

3 Zadatak broj 7

7 Jedno logističko preduzeće ima četiri skladišta brašna ( C1 C2 C3 C4 ) iz kojih se snadbjevaju četiri potrošačka centra ( D1 D2 D3 D4 ) Kapaciteti skladišta su

C1 = 12t C2 = 15t C3 = 13t C4= 20t dok potražnja potrošačkih centara iznosi D1 = 17t D2 = 11t D3 = 14t D4 =18tTroškovi prevoza po jednoj toni dati su u nj u sledećoj tabeli

D1 D2 D3 D4

C1 8 4 8 12C2 5 9 13 17C3 6 2 10 5C4 10 5 12 8

Naći optimalan plan transporta brašna iz skladišta C1 C2 C3 C4 u potrošačke centre D1 D2 D3

D4 ( kriterijum optimalnosti su minimalni ukupni troškovi prevoza )

4 Rešenje zadatka broj 7

Na početku izrade transportnog zadatka potrebno je utvrditi da li se radi o zatvorenom transportnom zadatku ili otvorenom i koga je on tipa

sumCi = C1+ C2 + C3 + C4

sumCi = 12 + 15 + 13 + 20

sumCi = 60

sumDi = D1 +D2 + D3 + D4

sumDi = 17 + 11 + 14 + 18

sumDi = 60U ovom zadatku riječ je o zatvorenom transportnom problemu jer se ne javlja višak na ni na jednoj strani pa nemamo potrebe za uvođenjem fiktivne stanice

8

sumCi = sumDi

m + n ndash 1 = 4 + 4 ndash 1 = 7

Znači 7 bazisnih polja treba biti

D1 D2 D3 D4 α i

17 11 14 18 0C1 12 8 4 8 12 12 0C2 15 5 15 9 13 17 1C3 13 6 2 2 11 10 5 0 4C4 20 10 5 12 2 8 18

β j 5 1 8 4

Tabel 5 Kapaciteti otpremnih i prijemnih stanica

Dati trnasportni problem rešavamo metodom dvostrukog precrtavanja Formiramo početnu tabelu Tražimo minimalne cijene po kolonam i vrstama i stavljmo zvezdicu za minimalnu cenu u koloni i vrsti Polje koje je minimum po vrst i koloni imamo dve zvjezdice

K11 = 3K12 = 3K14 = 8K22 = 8K23 = 5K24 = 13K33 = 1K41 = 1K42 = 0

Vidimo da su svi korficijenti u ne baznim poljima pozitivni što znači da je dobiveno optimalno rešenje Iz čega slijede troškovi prevoza

F = 8 12+5 15+6 2+2 11+12 2+8 18F = 96+75+12+22+24+144F = 373 nj - Miminalna cijena prevoza

5 Zaključak

Na osnovu svega prikazanog u ovom seminarskom radu možemo vidjeti šta je to transportni problem i šta on prestavlja Takođe smo vidjeli da postoji više vrsta transportnog problema

9

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

sumCi = sumDi

m + n ndash 1 = 4 + 4 ndash 1 = 7

Znači 7 bazisnih polja treba biti

D1 D2 D3 D4 α i

17 11 14 18 0C1 12 8 4 8 12 12 0C2 15 5 15 9 13 17 1C3 13 6 2 2 11 10 5 0 4C4 20 10 5 12 2 8 18

β j 5 1 8 4

Tabel 5 Kapaciteti otpremnih i prijemnih stanica

Dati trnasportni problem rešavamo metodom dvostrukog precrtavanja Formiramo početnu tabelu Tražimo minimalne cijene po kolonam i vrstama i stavljmo zvezdicu za minimalnu cenu u koloni i vrsti Polje koje je minimum po vrst i koloni imamo dve zvjezdice

K11 = 3K12 = 3K14 = 8K22 = 8K23 = 5K24 = 13K33 = 1K41 = 1K42 = 0

Vidimo da su svi korficijenti u ne baznim poljima pozitivni što znači da je dobiveno optimalno rešenje Iz čega slijede troškovi prevoza

F = 8 12+5 15+6 2+2 11+12 2+8 18F = 96+75+12+22+24+144F = 373 nj - Miminalna cijena prevoza

5 Zaključak

Na osnovu svega prikazanog u ovom seminarskom radu možemo vidjeti šta je to transportni problem i šta on prestavlja Takođe smo vidjeli da postoji više vrsta transportnog problema

9

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

kao i metoda za njegovo rešavanje Cilj rešavanja transportnog problema je dobijanje optimalnog rešenja koji je u našem slučaju minimizacija troškova prevoza

Na urđenom zadatku primenili smo jednu od jednostavnih metoda za rešavanje ove vrste zadataka (dvostruko precrtavanje) kao što smo i prikazali neke od uslova potrebni za uspešno rešavanje transportnih zadataka

6 Literatura

10

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11

1) dr Marko Vasiljević Predavanja iz logistika u saobraćaju 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

2) mr Zoran Rsitikić Vježbe iz logistike u saobraćaju 2009 Saobraćajni Fakultet Doboj

3) dr Ranko Božičković Predavanja iz operacionih istraživanja 2009 Saobraćajni

Fakultet Doboj

4) Čupić M Radivojević G Revanović B Specijalna poglavlja iz teorije odlučivanja

Kvantitativna analiza 2009 Novi Sad

11