Transformation de LaplaceDans ce chapitre nous allons introduire un outil mathématique puissant, la transformation de Laplace, pour l'étude des circuits linéaires en régime transitoire. Cette transformation permet d'associer à toute fonction du temps f(t) une fonction F( p ) d'une variable complexe . Elle permet de remplacer les opérations analytiques de dérivation et d'intégration par des opérations algébriques. Cette propriété facilite la résolution des équations différentielles. L'application de la transformation de Laplace permet de plus d'avoir à écrire ces équations.Intégrales généralisées ( ou intégrales impropres )

Définition   : Soit f une fonction définie sur , continue ou continue par morceau sur cet intervalle .

Si a une limite finie quand x tend vers , on dit que l’intégrale converge , et on pose

. On note alors .Dans le cas contraire , on dit que est divergente.

Théorème   :

Si est une fonction à valeurs réelles ou complexes telle que converge , alors

converge . Fonctions causales Une fonction de la variable réelle t est dite causale si pour tout t strictement négatif . On a : .

Définition : on appelle fonction échelon unité ( notée U (t) ) définie sur par

et représentée sur la figure 1 .

Pour toute fonction f définie sur ,la fonction est une fonction causale.Remarque U n’est pas continue en 0 , elle est continue à droite de 0 au voisinage de 0.

On rend une fonction causale en la multipliant par la fonction échelon unité. Fonction rampe unité

La fonction rampe unité est définie sur par

Fonction échelon- unité retardée de a Soit f une fonction numérique de la variable réelle t définie sur , et soit g la fonction définie par

, a étant un réel positif, on dit que la fonction g est retardée de a . La fonction h définie par , a étant un réel positif , est dite en avance de a .

Remarque : Dans le plan rapporté à un repère ; la courbe représentative de cette fonction g se

déduit de celle de f par une translation de vecteur

. Soit .

Fonction échelon- unité retardée de 2

Fonction retardée de  :

 ;

Fonction créneau

Soient a et b deux réels tels que et k un nombre réel .La fonction créneau est définie par

Du graphique à la formule

2 3 4 5-1

2

0 1

1

x

y

A B

C

B1

C1

Sur l’intervalle , on reconnaît .

Sur l’intervalle , avec , on obtient le segment et pour passer de à , Il suffit d’ajouter . Donc sur , .

Sur , avec l’expression ci-dessus de , on obtient le segment et on a vu que pour passer de à , il suffit d’ajouter . Donc sur , .

Sur , avec l’expression ci-dessus de , on obtient la demi-droite et on a vu que pour passer de la demi-droite à , il suffit d’ajouter . En définitive , pour tout nombre réel t, .

0 1 2 3 0

0 00 00 0 0 00 t 1 0

Cas général

Sur l’intervalle , on reconnaît .

Sur l’intervalle , avec ,

on obtient le segment et on a vu pour passer de

à ,il suffit d’ajouter .

Donc sur , .

Sur , avec l’expression ci-dessus de f(t) , on obtient le segment et on a vu que pour passer

de à , il suffit d’ajouter .

Donc sur , .

Sur , avec l’expression ci-dessus de , on obtient la demi-droite et on a vu que pour

passer de la demi-droite à , il suffit d’ajouter . En définitive , pour tout nombre

réel t,

2.A l’aide d’un tableau , donner l’expression de f(t) sur chacun des intervalles où elle est définieRemarque : dans l’expression obtenue pour on va donc remplacer par , par et par . D’autre part la droite (OA ) , où Aa pour coordonnées ( 1 ; 1 ) , de coefficient directeur 1 est remplacée par la droite ( OA’) , où A’ a pour coordonnées (  ; E ) de coefficient directeur et de même , par symétrie , la droite ( B’C’ ) a pour coefficient directeur .

cas général : 0 2 3

0

0 0

0 0 0

0 0 0 00 0

De la formule au graphique Déterminer la représentation graphique de la fonction causale définie sur par : . 1. à l’aide d’un tableau donnant l’expression de dans chacun des intervalles à considérer. 2. En donnant l’expression de sur chacun des intervalles  ;  ;  ; et .

0 1 2 3 0

0 00 0 0

0 0 0 00 t 1

b. Sur l’intervalle , on reconnaît .

on retrouve l’axe des abscisses pour et le segment [OA]pour .

Sur l’intervalle , avec , on obtient le segment et pour passer de à ,puis de à .Il suffit d’ajouter . Donc sur , .

Sur , avec l’expression ci-dessus de , on obtient le segment et on a vu que pour passer de à , il suffit d’ajouter . Donc sur , .

Sur , avec l’expression ci-dessus de , on obtient la demi-droite et on a vu que pour passer de la demi-droite à , il suffit d’ajouter . En définitive , pour tout nombre réel t, .Exercices 1.Représenter graphiquement la fonction définie par : a. . b. . c.2. Représenter graphiquement la fonction définie par :

a. ; b. ; c. d. e. .

TRANSFORMEE DE LAPLACE

Définition   : On appelle transformée de Laplace d'une fonction causale la fonction définie par

, où est un nombre complexe.

Dans ce chapitre , on choisira pour un réel strictement positif . La transformée de Laplace de la fonction échelon en utilisant la définition est :

Comme , , on en déduit .

Translation   : Considérons la transformée d’une fonction décalée dans le temps :

 ; où

est la fonction échelon unité .En effectuant le changement de variable , il vient :

Donc .

Théorème du retard : pour tout , Si , alors ,

.

et puisque la fonction f admet une transformée de Laplace, ,

d’où .

Effet de la multiplication par

Théorème : Si , alors ,( )

Considérons la transformations suivante :

Donc .

Transformée de Laplace de , réel ou complexe

Il faut calculer posons

Si , , donc et l’intégrale diverge.

Si , , on suppose que

donc et . On a donc si .

Transformée de  ; ,effet d’un changement d’échelle sur la variable

Théorème   : Si , alors , avec .

Soit f une fonction admettant F comme transformée de Laplace et un réel quelconque strictement positif.

On a : . En faisant le changement de variable , on obtient

soit . De plus , pour on a , et pour t tend vers .On obtient donc

et .

Exemple : , donc

Fonctions puissances ( )

Considérons la fonction , on obtient :

On peut procéder à une intégration par parties, en posant :  et , on obtient : et

d’où ( si ). .

On obtient pour  : .Donc

 : . On peut procéder à une intégration par parties, en

posant :  et , on obtient : et d’où ( si ).

, on remarque que et

d’où : et .

Généralisation   :Transformée de LAPLACE de ( ).

On sait déjà que pour ,  ; et .On peut procéder à une intégration par

parties, en posant :  et , on obtient : et d’où ( si ).

 ; si

Donc l’intégrale est convergente et .

supposons désormais . et  ; ,…………

et  donc on déduit de proche en proche que

, donc pour tout ,

On admet que ( factoriel n ). Nous admettrons qu’on obtient ainsi de proche

en proche les transformées de Laplace des fonctions .On conclut que . .

 ; et  : .

Fonction cosinus On considère la fonction causale, définie sur par : , avec .la formule d’intégration par partie s’applique aux intégrales impropres , pour peu que les intégrales convergent , on a , pour  :

Fonctions sinus Soient et .dans le calcul de la transformée de Laplace de , on a obtenu

l’égalité , on en déduit :

et puis

Transformée d’une dérivée d’ordre 1 Théorème   : soit une fonction continue sur , dérivable par morceaux sur , dont la dérivée est continue par morceaux sur .

Si , alors . On note

Remarque importante :

La formule est fausse si n’est pas continue sur .

Intégrons par partie :

Donc, sous réserve que lorsque t tend vers l'infini la fonction diverge moins vite qu'une exponentielle,

ce qui est le cas pour toutes les "bonnes" fonctions physiques, nous avons et enfin :

, donc .

Transformée d’une dérivée d’ordre2

Théorème   : Soit une fonction admettons une transformée de Laplace. Si est continue sur , dérivable par morceaux sur , et si est continue par morceaux

sur , alors . .

Dérivée d’une transformée de Laplace

Théorème admis : Si , alors

Considérons la dérivée par rapport à p de la transformée de Laplace d’une fonction  :

. Comme la variable p n’apparaît que dans l’exponentielle nous avons :

, soit encore .

.

Exemple : on sait que : , soit g la fonction causale sur définie par

Donc pour tout réel t .donc a pour transformée de Laplace .

Or , donc .Donc .

Théorème admis : Si , et si alors

Inversement, considérons la transformation de Laplace de la primitive d'une fonction f(t) :

. Intégrons par partie : .

Avec la même réserve sur le comportement de la primitive de la fonction lorsque t tend vers l’infini ,

nous obtenons : .

Exemple   : soit la fonction causale f définie sur par , une de ses primitives est la fonction

qui prend la valeur pour .donc la primitive de f qui s’annule pour est

.Par linéarité de la transformation de Laplace , nous avons directement la

transformée de Laplace de cette fonction : et

Théorème de la valeur initiale admisOn suppose que f ’ admet une transformée de Laplace . On admet que

. On sait que : .

Alors , comme , on a : si la limite est finie

Théorème de la valeur finale admisOn suppose que f ’ admet une transformée de Laplace . On admet que

. Or , et donc

.De ,

on déduit alors : si les limites sont finies.

Linéarité

Etudions quelques propriétés utiles de la transformation de Laplace. Tout d'abord remarquons que la transformation de Laplace est une application linéaire. Calculons la transformée de la fonction

:

Donc: .I. l .e Transformée d'une fonction périodiqueConsidérons une fonction périodique de période T pour et identiquement nulle pour :La fonction peut être vue comme une somme de fonctions définies chacune sur une période :

La fonction se confond avec sur la première période [0, T] et est nulle à l'extérieur.La fonction est définie sur la seconde période [T, 2T].

Elle se déduit de la fonction par un décalage d'une période .

De même : et

Nous pouvons donc encore écrire :

Calculons la transformation de Laplace de cette expression :

où , est la

transformée de Laplace de la fonction définie sur la première période. Nous pouvons encore écrire :

 ; car

A partir des propriétés que nous venons de passer en revue nous pouvons calculer les transformations de Laplace d'un certain nombre de fonctions. Ces transformations sont rassemblées dans des tables. Nous donnons en appendice les transformées de quelques fonctions de base continues par morceaux.

Autre démonstration : On suppose que f est T-périodique . on a : .

Or , on pose et en utilisant la périodicité de f , on obtient :

Théorème admis : .

Original d’une fonction

Définition : Si , on dit que f est l’original de F On note .

On admet que l’original s’il existe , est unique .

Propriété Linéarité : et pour tout réel k

Rechercher les originaux des fonctions rationnelles F suivantes   :

et  ; on écrira et on déterminera les réels a, b et

c tels que : . On écrit .

 ; ;

,d’où .

, d’où .

Etude d’un système différentiel Déterminer les solution causales du système différentiel :

qui vérifient les conditions initiales et  ; .

on pose et  ; on obtient :

.

La résolution de ce système linéaire conduit à et .

D’où la solution causale du système différentiel :  ; .

Equation différentielle d’ordre 1   : . déterminer la fonction de transfert solution

avec . ; et , soit

d’où la relation : , on en déduit : , soit .

, d’où . ,

après calcul ,on obtient et d’où : .On obtient alors: .

3. a. : pour

b. : pour

c.

d.

e. avec

f . .

Exemple 1 :Une fonction étant définie à l’aide de l’échelon unité , il faut savoir la définir «par morceaux » sans utiliser . Soit la fonction définie sur par :

0 0 01 0 0

1 1 0

1 1 1Exemple 2

On considère la fonction g définie sur par :

la fonction g change de forme au point t= 0 et t = a .on écrit

Si , on a bien .Si , on a :

Si , on a : , donc

D’où , on en conclut .

Exemple 3 :Une fonction étant définie à l’aide de l’échelon unité , il faut savoir la définir «par morceaux » sans utiliser . Soit f la fonction définie sur par :

2-1 0 1

1

x

y

0 0 01 0 0

1 1 0

1 1 1 La représentation graphique de f est Inversement , l’échelon unité permet de définir « en une ligne » une fonction « définie par morceaux ».

Exemple4  :Une fonction étant définie à l’aide de l’échelon unité , il faut savoir la définir «par morceaux » sans utiliser . Soit f la fonction définie sur par :

2 3- 0

x

y

0 0 01 0 0

1 0

1La représentation graphique de f est Inversement , l’échelon unité permet de définir « en une ligne » une fonction « définie par morceaux ».

. La transformée de Laplace de est

, d’où et , on obtient , par

combinaison linéaire : .

1. Origine de  : , donc .

2. , donc

3.  ; .

Donc

4.

;  ; et

on a : donc

.

5. et ; , . et .

et

et Quelques exemples simples pour commencer : trouver la transformée des fonctions suivantes:

1.  or et d'où

soit

2. Connaissant l'image trouver l'original

on multiplie par les deux membres et fait d'où de même en multipliant par

et faisant on obtient donc d'où .

3. ce qu'on va écrire .

on identifie donc .or ( formulaire )soit

c'est à dire que d'où la première méthode possible. On va d'abord décomposer  ,

en déduire puis on va intégrer , identifier pour finalement obtenir .Mais on peut aussi choisir une seconde méthode que nous allons examiner à titre pédagogique:

en exprimant que en se rappelant toujours que avec toujours

quand p tend vers l'infini. Ici on voit que . On en conclut donc que l'on pourra calculer simplement en dérivant et multipliant par 1/2 le résultat. On va donc calculer

= il vient facilement puis

on fait ensuite dans les deux membres, soit . on fait alors  :

. et l'on résout ce système de 2 équations : Il vient et d'où

qui conduit à

soit , soit

On pouvait bien évidemment mettre en œuvre la troisième solution en écrivant directement

et en exploitant la méthode vue ci-dessus; on obtient

directement le .résultat pour F(p) soit

et son original identique au résultat ci-dessus.

On notera que si les trois méthodes conduisent au même résultat final, c'est évidemment la troisième qui se révèle ici la plus rapide. Mais ce n'est pas toujours le cas.

2 3-1-2

-1

0 1

1

x

y

Exercice 2

Trouver les solutions causales de l’équation différentielle

.

Si vérifie l’équation différentielle , alors la transformée de Laplace de (avec fonction causale unité)

Calcul de  : Si désigne la transformée de Laplace de , on a :

et .

L’équation différentielle se ramène à : , d’où

Calcul de , on passe aux transformées inverses :

d’après le formulaire on a :   ; , d’où

, .

De plus , d’où

Et enfin

tracé de :

2/3 4/3 5/3 2 7/3 8/3 3 10/311/3 4-/3-2/3-

-1

0 /3

1

x

y

Exercice 3

On considère le signale défini par : .

1. Représenter le signal dans un repère orthonormal .

2. On note la transformée de Laplace du signal causal .montrer que :

3. le signal est envoyé en entrée dans un circuit intégré .Il subit une transformation .

Le signal de sortie est tel que sa transformée de Laplace vérifie : . Calculer .

4. Décomposer en éléments simples .En déduire la valeur de sur l’intervalle  ;

et sur .1. voir figure ci-contre

2 .Le signal étant causal, la transformée de Laplace de a un sens et

4 6 8 10 12 14-2-4

8

12

0 2

4

x

y

Ainsi

3. et

4. on écrit : . Pour , d’où  ; pour

 : , d’où

Pour , on obtient : , d’où

.

En notant la transformée de Laplace réciproque , on obtient :

.

On a les propriétés suivantes (avec fonction causale unité ).  ;

, d’où et , d’où

avec transformée de Laplace de .en choisissant et

4 6 8 10 12 14 16 18-2-4

4

6

8

10

-2

0 2

2

x

y.On obtient :

. Ainsi

Transformation de Laplace   :Formulaire

Original Transformée Remarques

réel

et

 ; et  :

Les conditions initiales sont indispensables

Idem

 ; est appelé « dilatée » de

réel

réel

(

s’appelle le facteur de retard ;

où f est

Tpériodique

est la transformée de la restriction de f à sa première période

Linéarité de