A Die Laplace-Transformation

A.I Definition der Laplace-Transformation

Fur die Untersuchung von linearen dynamischen Systemen hat sich die Verwen­dung der Laplace-Transformation als zweckmaBig erwiesen. Dabei werden nur Zeitfunktionen f(t) betrachtet, die fur t < 0 verschwinden. Fur derartige, soge­nannte kausale Zeitfunktionen f(t), wird die Laplace-Transformierte F(s) durch das folgende Laplace-Integral definiert:

00

C{f(t)} = F(s) = J f(t) e-stdt, (A.I) o

mit s = u + jw als komplexe Variable.

Das Laplace-Integral konvergiert fur alle Zeitfunktionen, die nicht starker anstei­gen als eine Exponentialfunktion [33]. Damit werden praktisch alle in der Rege­lungstechnik vorkommenden Zeitfunktionen erfaBt. Die Dimension der Laplace­Transformierten F(s) ergibt sich nach Gleichung A.I aus dem Produkt der Dimen­sion von f(t) multipliziert mit der Dimension der Zeit t, da der Exponentialterm dimensionslos ist. Fur einen Strom i(t)als Zeitfunktion f(t) ist die Dimension von F(s) somit As, sowie fUr eine Kraft F.,(t) in Newton entsprechend Ns. Da der Exponent des Exponentialterms dimensionslos ist, weist die Laplace-Variable s die Dimension s-1(O:;sec-1) auf.

Gleichung A.I wird auch als eine Abbildung der Orginalfunktion f(t) vom Zeitbe­reich in den Bildbereich mit F(s) als Bildfunktion bezeichnet.

Beispiel A.l:

f(t) I f--------'-

t

Es solI die Laplace-Transformierte F( s) fur die Sprungfunktion f(t) = u(t) berechnet werden. Fur die Sprungfunktion gilt:

{ I fUr t>O u(t) = 0 fur t ~ 0 .

A.l Definition der Laplace-Transformation 313

00 [ 1 ]00 1 Mit f(t) = 1 wird dann F(s) = J 1· e-stdt = =-. e-st = o s ~o s

o

Beispiel A.2:

f(t)

1

1

Es solI die Laplace-Transformierte F( s) fiir die Ram­penfunktion f(t) = t bestimmt werden. Fur die Ram­penfunktion gilt:

f(t) = {t fur t ~ 0 o fUr t<O.

Mit f(t) = t wird dann F(s) = 7 t . e-stdt = [ e-: t . (-st -1)] 00 = o s t=o

1 S2 .

o

Beispiel A.3:

1

t

Mit f(t) = e-a t wird

Es solI die Laplace-Transformierte F ( s) fur die Exponentialfunktion f(t)T e-a t bestimmt wer­den. Fur die Exponentialfunktion gilt:

f(t) = {e-at f~r ,t~O o fur t<O.

F(s) = /00 e-at . e-stdt = /00 e-(s+a)tdt = [ e-(s+a)t]oo = -(s+a) t=o

1 s+a

o o 0

Aufgabe A.l:

f(t) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte F(s) fiir die Sinusfunktion f(t) = sinwot.

Wo t Fur die Sinusfunktion gilt: -1'-----\----1--- f(t) = {Sinwot f~r t ~ 0

o fur t<O.

314 A Die Laplace-Transformation

eiwot _ e-jwot Losung: Mit f(t) = sinwot = 2j wird F(s) = ~.

s +wo o

Eine Zusammenstellung haufig verwendeter Transformationsbeziehungen zeigt Ta­belle A.I am Ende dieses Anhangs auf den Seiten 323 und 324.

A.2 Rechenregeln der Lap lace-Transformation

Uberlagerungssatze

Aus der Giiltigkeit der beiden anschliefienden Uberlagerungssatze folgt, dafi die Laplace-Transformation eine lineare Transformation ist.

Satz lIst al eine beliebige Konstante so gilt

C{al f(t)} = al C{f(t)} = al F(s) .

Satz 2 Fur eine Linearkombination von Zeitfunktionen· gilt:

Beispiel A.4:

Es sei die Zeitfunktion f(t) = e-at• Dann lautet die Laplace-Transformierte von C{ al . e-a t}

C{ -at} C{ -at} al at . e = at . e = --s+a

o

Beispiel A.5:

Gegeben sind die Zeitfunktionen ft(t) = e-a t und h(t) = e-b t. Dann lautet die Laplace-Transformierte von C{ e-a t + e-b t}

C{e-a t + e-b t} = C{e-a t} + C{e-b t} = _1_ + _1_ = 2 s + (a + b) . 0 s + a s + b (s + a) . (s + b)

Ahnlichkeitssatz

Satz 31st al > 0 eine beliebige Konstante so gilt: 1 1

C{f(al t)} = - C{f(t/al)} = - . F(s/at} at . at

A.2 Rechenregeln der Laplace-Transformation 315

Beispiel A.6:

Gegeben sei die Zeitfunktion f(t) = sinwot. Dann lautet die Laplace-Transfor­mierte von £{sin(wo2t)}

£{sin(wo2t)} = (1/2) . £{sin(wot/2)} = ~ . (S/2~o+ w5 s2 ~~ow5 0

Verschie bungssatz

Der Verschiebungssatz spezifiziert die Laplace-Transformierte einer nach rechts verschobenen Zeitfunktion.

Beispiel A. 7:

f

1st fz(t) die um das Zeitintervall to nach rechts verschobene Zeitfunktion fl(t - to) mit der Spezifikation:

fz(t) = { fl(t ~ to)

so gilt der folgende Satz:

fUr fur

t ? to t < to

1st f(t) die um die Zeit to nach rechts verscho­bene Sprungfunktion O"(t) mit der Hohe aI, dann lautet die zugehorige Laplace-Transformierte:

e-sto £{f(t)} = al . e-sto . £{ O"(t)} = al . -

s o

Differentiation und Integration

Fur die Ableitung einer Funktion J(t) nach der Zeit gilt der folgende Satz:

Satz 51st J(t) eine Funktion, deren Ableitung fur t > 0 existiert, so gilt:

£ { d~~t) } = s . F( s) - J(O+) ,

mit f(O+) als Funktionswert einer eventuell vorhandenen Sprungstelle bei t = o. Fur die zweite Ableitung gilt entsprechend:

£ {d2L~t)} = S2 . F(s) - s f(0+) - j(O+) .

316 A Die Laplace-Transformation

Beispiel A.8:

1st f( t) die Sinusfunktion sin wot, so ergibt sich fur die Laplace-Transformation ihrer Ableitung (unter Berucksichtigung des Ahnlichkeitssatzes):

C =s·-·F(s/wo)=s·-· =Wo'--- . { d sin wot} 1 lIs dt Wo Wo (s/woP + 1 S2 + w5

D

Fur die Laplace-Transformierte des Integrals einer Zeitfunktion gilt der Satz:

Satz 6 1st f(t) eine Zeitfunktion fur t > 0 so gilt:

Beispiel A.9:

1st f(t) die Sprungfunktion mit der H6he a, so ergibt sich fur die Laplace-Trans­formierte des Integrals der Sprungfunktion die Rampenfunktion:

Dampfungssatz

Fur eine exponentiell abklingencle Funktion der Form h( t) = fl (t) . e-at gilt cler Satz:

Satz 7 1st fl (t) eine gegebene Zeitfunktion, so folgt fur die Laplace- Transformierte der abklingenden Zeitfunktion f2(t) = ft(t) . e-a t

Beispiel A.lO:

Es sei fl(t) = sinwot. Dann lautet die Laplace-Transformierte von h(t) = ft(t) . e-at

D

A.2 Rechenregeln der Laplace-Transformation 317

Faltungssatz

Man bezeichnet im Zeitbereich als Faltungsprodukt zweier Funktionen, geschrieben h(t) * f2(t), die Losung des folgenden Faltungsintegrals:

t

fl(t) * h(t) == J h(r)· f2(t - r)dr . o

Satz 8 Die Laplace- Transformierte des Faltungsproduktes zweier Zeitfunktionen betriigt:

£{h(t) * h(t)} = F1(s)· F2(s) .

Der Faltungssatz wird meist im Zusammenhang mit Ubertragungsfunktionen an­gewendet und daher in Abschnitt AA.2 an einem Beispiel demonstriert.

Grenzwertsatze

Sofern die Laplace-Transformierten von f(t) und j(t) existieren, dann gelten:

Satz 9 Der Anfangswert der Funktion f(t) zum Zeitpunkt t = 0+ betriigt:

f(O+) = lim f(t) = lim s F(s) , t-+O+ 8-+00

sofem lim f(t) existiert. t ..... o+

Satz 10 Der Endwert der Funktion f(t) zum Zeitpunkt t --+ 00 betriigt:

f(oo) = lim f(t) = lims F(s) , t--+oo &--+0

sofem lim f(t) existierl. t ..... oo

Beispiel A.ll:

f(t) 1

t

Fiir die abklingende Exponentialfunk­tion e-a t gilt nach visueller Uberpriifung 1(0+) = 1 und f(oo) = o. Die Anwendung der Gi"enzwertsatze lie­fert:

lim f(t) = lim s F(s) = lim s. _1_ = 1 t ..... o+ ...... 00 ...... 00 s + a

= lim f(t) = lims F(s) = lims. _1_ = 0 t ..... oo ...... 0 .->0 S + a

o

318 A Die Laplace-Transformation

A.3 Die inverse Laplace-Transformation

Definition

Die Riicktransformation der Bildfunktion F( s) vom Bildbereichin den Zeitbereich wird als inverse Laplace-Transformation bezeichnet, und sie ist iiber das folgende Umkehrintegral definiert:

1 f(t) = -2 •

7rJ

<To+joo J F(s) est ds

O'o-j~

fiir t> 0 ,

wobei f(t) = 0 fiir t < 0 gilt. Fiir dieses Integral mufi 110 grofier als der grofite Realteil der singularen Punkte von F(s) sein [33].

Fiir die inverse Laplace-Transformation schreibt man in Operatorschreibweise

f(t) = C-1{F(s)} .

In der Regelungstechnik wird die Riicktransformation vom Bildbereich in den Zeitbereich meist durch eine Partialbruchzerlegung von F(s) mit anschliefiender Riicktransformation anhand der Korrespondenztabelle A.l auf den Seiten 323 und 324 durchgefiihrt. Daher wird auf eine weitere Betrachtung der inver sen Laplace­Transformation verzichtet und auf die Literatur verwiesen [33].

A.4 Anwendungen der Laplace-Transformation

A.4.1 Losung von Differentialgleichungen

Fiir die Losung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation wird nach folgendem Schema vorgegangen:

Zeitbereich: 9 Laplace-Transformation Riicktransformation

A.4 Anwendung der Laplace-Transformation 319

Die Differentialgleichung in der Variablen x(t) wird vom Zeitbereich in den Bild­bereich transformiert. Es folgt die AuHosung nach X(s) = C{x(t)} und die an­schlieBende'Riicktransformation vom Bildbereich wieder in den Zeitbereich.

Beispiel A.12 Homogene Differentialgleichung: Gegeben sei die folgende homogene Differentialgleichung (Zeitbereich):

x(t) + al . x(t) + a2 . x(t) = 0 .

Dann lautet die Laplace-Transformierte dieser Differentialgleichung (Bildbereich):

X(s) + al . {s X(s) - x(O+)} +a2· {S2 X(s) - S x(O+) - x(O+)} = 0

Daraus folgt nach der Umstellung und unter Beriicksichtgung von C{O} 0 (Losung im Bildbereich):

X(s) = al . x(o+) + a2· x(O+) + a2· s· x(O+) . 1 + al s + a2 S2

AbschlieBend folgt die Riicktransformation in den Zeitbereich. Dazu seien zur Vereinfachung die folgenden Zahlenwerte angenommen: al = 5/6, a2 = 1/6, x(O+) = 1 und X(O+) = o. Somit lautet die Losung fUr X(s) im Bildbereich mit anschlieBender Partialbruch­zerlegung

X(s)- 5/6+1/6·s = s+5 _3 ___ 2_ - 1 + 5/6 . s + 1/6 . S2 6 + 5 s + S2 S + 2 s + 3

Die Losung im Zeitbereich ist dann:

x(t) = C-1{X(s)} = 3 e-2t - 2 e-3t . o

Beispiel A.13 Inhomogene Differentialgleichung: 1. Gegeben sei die inhomogene Differentialgleichung im Zeitbereich

al x(t) + x(t) = e-2 t •

Gesucht ist die Losung dieser Differentialgleichung. Die Vorgehensweise ist wie bei der Losung der homogenen Differentialgleichung. 2. Transformation in den Bildbereich:

1 al· {s X(s) - x(O+)} + X(s) = -2

s+ 3. Losung im Bildbereich:

X(s) = 1 + al x(O+) . (s+2).(1+als) l+als

Mit den Zahlenwerten al = 1/3 und x(O+) = -3 resultiert

X(s)- 3 __ 3_ - (s + 2) . (s + 3) s + 3

4. Riicktransformation in den Zeitbereich nach vorheriger Partialbruchzerlegung:

x(t) = C-1{X(s)} = 3 e-2t - 3 e-3t - 3 e-3t = 3 e-2t - 6 e-3t . 0

320 A Die Laplace-Transformation

AA.2 Die Ubertragungsfunktion

Eine gewohnliche Differentialgleichung wird in allgemeiner Form beschrieben durch

n n-l ... an Xa +an-l Xa + ... + a2Xa + alxa + aoXa =

(A.2)

Setzt man nun alle Anfangsbedingungen von xe(t) und xa(t) gleich Null, so erhiilt man fiir die Laplace-Transformation dieser Differentialgleichung A.2 mit Xa(S) = C{xa(t)} sowie Xe(s) = C{xe(t)}:

ansn Xa(s) + an_lSn-1 Xa(S) + ... + a2s2 Xa(s) + alSXa(S) + aoXa(s) =

bo Xe(s) + b1sXe(s) + b2 S2 Xe(s) + ... + bm_lSm-lXe(s) + bmsmXe(s) (A.3)

Ausklammern von Xe(s) und Xa(s) fiihrt zu

Das Verhiiltnis der Laplace-transformierten Ausgangsgrofie Xa (s) zur Laplace­transformierten Eingangsgrofie Xe( s) wird definiert als Ubertragungsfunktion F(s), d.h. es gilt

F(s) = Xa(s) = bo + b1 s + b2 S2 + ... + bm sm Z(s) Xe(s) aO+als+a2s2+ ... +ansn N(s)

mit Z(s) und N(s) als Ziihler- bzw. Nennerpolynom in s sowie n ~ m. F(s) darf nicht mit der Laplace-Transformierten C{f(t)} = F(s) verwechselt werden.

Mit Hilfe dieser Definition der Ubertragungsfunktion F( s) kann bei gegebener La­place-transformierter Eingangsgrofie Xe( s) die Laplace-transformierte Ausgangs­grofie Xa (s) eines Systems gemiifi

berechnet werden.

X~L-_F_( s_) ---,p( s)

Beispiel A.14 Ubertragungsfunktion:

(A.4)

Darstellung der Ubertragungsfunktion als Blockschaltbild mit Eingangsgrofie Xe (s) und Ausgangsgrofie Xa(s).

Gegeben sei die Ubertragungsfunktion eines Systems zu F(s) = _1_. Gesucht s+2

ist der Systemausgang xa(t) fiir den Sprungeingang xe(t) = a-(t).

A.4 Anwendung der Laplace-Transformation

Lasung: 1. Laplace-Transformation des Eingangssignals

1 C{O"(t)}=Xe(s)=- .

s

2. Berechnung des Laplace-transformierten Ausgangssignals

1 1 1 Xa(s) = F(s)· Xe(s) = -2 . - = ( 2) s+ s s·s+

321

3. Riicktransformation in den Zeitbereich (mit Hilfe von Tabelle A.l auf Seite 323)

o

Die Gewichtsfunktion

Wiihlt man als Eingangssignal xe(t) die Impulsfunktion 8(t), so lautet ihre La­place-Transformierte

C{8(t)} = Xe(s) = 1

Die Systemantwort auf eine Erregung am Eingang mit der Impulsfunktion nennt man die Impulsantwort. Die Anwendung der Gleichung A.4 liefert fUr diese Sy­stemantwort

Xa(s) = F(s)· Xe(s) = F(s) . 1 = F(s)

Die Riicktransformation dieses F(s) bzw. Xa(s) in den Zeit bereich heiBt Ge­wichtsfunktion g(t):

bzw. F(s) = C{g(t)} .1 (A.5)

Beispiel A.i5 Gewichtsfunktion: Es sei die Ubertragungsfunktion eines Systems gegeben zu F( s) = _2 -. Gesucht

s+2 ist die Gewichtsfunktion g( t).

Die Anwendung von Gleichung A.5 liefert:

g(t) = C-1{F(s)} = C-1{_2_} = 2. e-2 t

s+2

Beispiel A.i6 Faltungssatz:

o

Gegeben sei die Ubertragungsfunktion eines Systems zu F(s) = _2_. Gesucht s+2

ist die Systemantwort xa(t) fiir die Anregung xe(t) = e-3 t.

1. Lasung mit Anwendung der Definition der Ubertragungsfunktion:

322 A Die Laplace-Transformation

Bestimmung von Xe(s)

Xe(s) = £{e-3 t} = _1_ s+3

Berechnung von Xa(s) 2 1 2

Xa(s) = F(s)· Xe(s) = s + 2 . s + 3 = (s + 2) . (s + 3)

Riicktransformation in den Zeitbereich

Xa(t) = £-l{Xa(s)} = 2. [e-2 t - e-3 t]

2. Anwendung des Faltungssatzes (Satz 8):

Berechnung von g(t)

g(t) = £-l{F(s)} = .c-1{_2_} = 2. e-2 t s+2

Faltungssatz: t

2 2

s+2 s+3

xa(t) = £-l{F(s)· Xe(s)} = g(t) * xe(t) = J g(T) . xe(t - T)dT o

Dann wird nach dem Einsetzen von xe(t):

t t

xa(t) J 2 -2T -3 (t-T)d - 2 -3 t J Td - 2 -3 t [T]t ·e·e T-·e· e T-·e ·e o

o 0

2. e-3 t. let -1] = 2. [e-2 t - e-3 t] . D

AA Anwenclung cler Laplace-Transformation 323

Zeitfunktion f(t) Laplace-Transformierte F( s)

1 5-Impuls 5(t) 1

2 Sprungfunktion u(t) 1 -s

3 1

t -S2

4 t 2 2

-8 3

5 t 3 6 -S4

n! 6 t n --

8 n+1

7 e-at 1 --s+a

8 t . e-at 1 (s+a)2

9 t 2 • e-at 2 (s+a)3

10 (t _ a~2) . e-at s (s + a)3

11 (1 - 2at + ~) . e-at S2

(s + a)3

12 tn . e-at n! (8 + a)n+1

13 1 - e-at a

s·(s+a)

14 e-at _ e-bt b- a

(s+a)·(s+b)

15 ae-at _ be-bt (a-b).s (s+a)·(s+b)

16 1+ be-at - a e-bt

a·b a-b s·(s+a)·(s+b)

17 1 - (1 + at) . e-at a 2

s·(s+a)2

18 at -1 + e-at a2

S2. (s + a)

Tabelle A.1: Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation

324 A Die Laplace-Transformation

Zeitfunktion f(t) Laplace-Transformierte F (s )

19 e-at e-bt e-ct 1

(b-a)(c-a) + (c-b)(a-b) + (a-c)(b-c) (s + a)(s + b)(s + c)

1 { 1 bc·e-at ca·e-bt

20 abc' - (b-a)(c-a) - (c-b)(a-b) 1

ab·e-ct } s(s + a)(s + b)(s + c)

- (a-c)(b-c)

21 sinwot Wo

S2 +W~ s

22 coswot ---S2 +W~

23 sin(wot + '1') s sin '£ + Wo cos '£ s" + W6

2

24 1-coswot Wo s· (S2 +w6)

25 1 . WoS 2'tsmwot (S2 + w~)2

! (sinwo - wot· coswot) w3

26 0

(S2 + w~)2

27 ! (sinwo + wot· coswot) wos2 (s2 + W~)2

sin2 wot 2w2 28 0

s.(s2+4w~)

29 cos2 wot S2 + 2W6 s·(s2+4w~)

30 e-at . sinwot Wo

(s + a)2 + w5

31 e-at . coswot s+a (s + a)2 + w~

le-5t sinw t 1 32

We e w~ + 2Dwos + S2

mit: 8 = D 'Wo; D < 1; We = Wo . ,II - D2

w2 !l

-5t s· (W6 + 2Dwos + S2) 33 1- eWe (8sinwet+weCOswet)

Abkiirzungen siehe Nr. 32; D < 1

Tabelle A.I: Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation (Fortsetzung)

B Tabelle haufig vorkommender Regelkreisglieder

In der Tabelle auf den folgenden Seiten sind Systembezeichnung, Differentialglei­chung, Ubertragungsfunktion, Ubergangsfunktion, Ortskurve F(jw), Amplituden­und Phasenverlauf des Bodediagramms, Pol-/Nullstellenverteilung in der s-Ebene sowie eine technische Realisierung von hiiufig vorkommenden Regelkreisgliedern aufgelistet.

326 B Tabelle hiiufig vorkommender Regelkreisglieder

~ystem D ifferentialglei chung Ubertragungs-

Ubergangsfunktion Ortskurve F(jw) funktion F( s)

Lr ~ 1 P xa(t) = 1( . x.(t) 1( Re

K--J . t hIT 1m4--.K~ 1( )~Re 2 PTl TlXa + Xa = 1( x.(t); Tl > 0 1+T1s

'" w . ----e-

t we=I/TI

tzI 1m

I--K---J

3 PT2 TI T2Xa +(TI + T2 );'a +xa=K x. K I ~Re I+(T1+T2)S+T1T2S2 Wo (nicht schwingungsfiihig)

t wo=I/../Ti'fi.

IT Iml--K---J

4 PT2 T?xa + TIXa + Xa = 1(xe 1( (}~ ~Re 1 +Tls + T?s2 ( schwingungsfa.hig) *~~ t

L 1m

Re

xa(t) =](/. J xe(r)dr KI. I'w=oo 5 I s

w

t

~ 1m

KITI Re

6 ITl TI Xa + Xa = 1(/ . J xe(r)dr 1(£ t 'w=oo s.(1+T1s)

T, t h

L D ¥ 1(D'S w=o W Re

7 xa(t) = ](D . et

t

L 1m we=I/TI

T . 1( dxJ(t) #T!s TI

{~w~ 8 DTl l Xa·+ Xa = D' t 1 + IS

TI t " w=o ~'RE

B Tabelle hiiufig vorkommender Regelkreisglieder 327

Bode-Diagramm s-Ebene Technische Amplitudengang Phasengang o Nullstelle x Polstelle Realisierung

!.!:1 -'L: j '" rL dB R.d keine Nullstelle

1 If(

u 1----0 0 Ue R

1 Ua W

W kein Pol .,.-

~

4 !.!:1 II?) r TO dB 0 r--* (J

-,odB , R

2 If( 'X Dek ~

w I u. "

llTt ""W To 0

...'L R.d j '" !.!:1 -20dB 0 Wp

dB

'(; ~w r-- *--~ 3 If(

-.fOdE " u

ueJ ai +. arlu• De' -, ~*-

llT2 llTt\ w -11"

...'L

-4 M c .~

1\ R.d

IFI 0 wp X w dB

~ w

Ue : ~~ 4 " If( -,

w

l1T2~ -11" X -w I---- d V

De' x.

...'L

-f n !.!:1 R.d dB ~"'" 0 De' W 5

-r; ,w 1 Q~b

-2odB oIfa-J 11Tt

~ !.!:1

~ U'LBc;frt dB w

6 -40dB

-~

1-* u

De' -11" ~

lIT) \ w

...'L

-f !.!:1

~ 1!. Rad 0 liB dB De'

uel 7 0 aT

w 0

/ w

...'L

~ R

!.!:1 11' Rad

dB

~ '·01-s 'OdB./ 1-* u

De' I~ T) 0

lIT) w

/ lIT) w

~ystem

9 PI

10 PD

12 PID

328

Differentialgleichung

Xa = J(p(xe + iN J xedr + Tv1:Jt)

B Tabelle hiiufig vorkommender Regelkreisglieder

Ubertragungs- .. Ubergangsfunktion

funktion F( s)

J(p.q+TNS) NS

J(p. (1 + Tvs)

J( l+Tvs p' 1 +TDS

Ortskurve F(jw)

1m Kp Re

w

1m

w

Re

1m Tv>TD\A

l\pJ \, "-w~w=o Re

--;;;- \Tv<TD

h(t) 1m

~, ./' Kp

w Re K p /"'. _ ffii w_y TV

TDXa + Xa = J(p{(l + !.D..TT )xe + T 13 PI DT N K {1+ 1 + V'}

- 1 iN J Xedr + (TD + Tv)1:Jt} P TN' I+TD'

14 PID-Tl

16 AlipaB

TDXa + Xa = J(p{xe + 1~ J Xe dr + TvdIt}

J(l-f,lS 1 + IS

h 1m Kp~~ \ # /~--h

1

I

1m

fA T,

h K

/ II

-K

1m -K ]( Re , ~LJw-"

B Tabelle haufig vorkommender Regelkreisglieder 329

Bode-D iagramm s-Ebene Technische Amplitudengang Phasengang o Nullstelle x Polstelle Realisierung

-'L

~ J£l -2odB Rad

dB ---vek 0

9 w

uel 0

Kp ~ f.-iN. (7 l- u

w 0

-'L

~ IFI Rad dB

20dB ~

"""15"ek

1 f.-iv (7 U e 1 l-u Kp 0

w w 0

Fall: Tv>TD -'L Fall: Tv>TD Fall: Tv>TD j w J£l Rad dB 1!: l/Tv

11 KpTV (7 0

TD r---T~ l-u 0

w w 0

J£l 1!: -'L Werte abhangig j w dB Rad

von TN und Tv

/ "-I 0 w l-u

~

w 0

J£l 1!: -'L Werte abhangig j w dB Rad von TN und Tv

13 0 "- (7 Z.B. Summation einer PI-

w und einer DT 1 -Operations-

~

verstarkerschaltung

1!: -'L Werte abhangig j w Rad von TN und Tv

1 0 1"- 0

w I--- iD t u ~

0

J£l -'L j w Fordcrband dB Rad 0 keine Nullstellc

15 w (7

C'P= [+>0 w kein Pol

J£l O~ j w dB

w R

16 ~ (7 Ue K 1-* *--1

W -7r L

Literaturverzeichnis

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Sachverzeichnis

Abbildung, 121, 122 Abklingkonstante, 49 Abtastfrequenz, 76, 77 Abtastzeit, 76, 77, 79-81 ACSL, 291, 307 Additionsstelle, 6 A/D-Wandlung, 76 Ahnlichkeitssatz, 314 Algorithmus, 291 Amplitude, 51 Amplitudengang, 169 Amplitudenrand, 126, 127, 129, 135,

142, 185 Analogrechner, 4, 292 Anderungsgeschwindigkeit, 88 Anfangswertsatz, 87, 88, 317 Ankerspannung, 105, 274, 276, 278,

281, 283 Ankerstrom, 281 Ankerwiderstand, 106, 140 Anregelzeit, 136, 137, 140, 144, 145,

151, 152, 188, 191-196, 199, 212,221

Ansprechempfindlichkeit,226 Anstiegsantwort, 19 Antriebstechnik, 196 aperiodischer Grenzfall, 50 aperiodischer Verlauf, 50, 158 Arbeitspunkt, 8, 225, 228, 269, 272 aufgeschnittener Regelkreis, 207 Ausdehnungskoeffizient, 251 Ausdehnungsrohr, 252 AusgangsgroBe, 5, 11 Ausgangsvektor, 294, 295 Ausgleich, 36 Ausgleichszeit, 43, 157, 254, 263 Ausregelzeit, 136, 137, 140, 214

Bandbreite, 144, 151, 152, 188, 189, 192, 194, 195, 200

Bandbreitenfrequenz, 145 Bandbreitenkreis, 145 Begrenzer, 225, 231, 232, 237, 240,

304 Begrenzung, 76, 144, 227, 228 Beharrungszustand, 167, 168 Beschreibungsfunktion, 230, 232, 233

-negativ inverse, 242-245, 248 Betragsoptimum, 151, 152, 153, 161,

164 Bewegungsgleichung, 65 Bildbereich, 20, 22, 112, 312, 319 Bimetall, 250, 251, 263 Blockschaltbild, 5, 6, 21, 29, 31, 320 Bode-Diagramm, 10, 25, 26, 169

-Amplitudengang, 26, 169 -Phasengang, 26, 169

Briickenschaltung, siehe Gleichrichter­schaltung

charakteristische Gleichung, 15, 40, 49, 113, 116-120, 197, 204, 205, 210, 285, 286

charakteristisches Polynom, 113, 120

D/A-Wandlung,76 Dampfung, 49-51, 62, 64, 68, 91, 96,

99, 101, 106, 109, 110, 136, 137, 141, 144, 146, 147, 157, 166, 175, 176, 192, 195, 211, 220, 212, 223, 288

Dampfungsgrad, siehe Dampfung Dampfungssatz, 316 Dauerschwingung, 117, 120, 121, 157,

228-230, 241, 242, 247, 248, 250, 255, 270, 271

334

Dekade, 170 Dezibel, 26, 144, 169 Differentialgleichung, 8, 11, 13, 23, 52

-Anfangsbedingung, 16, 40, 43, 50 -homogene,15,39,42,47,49,107,

113, 118, 318 -inhomogene, 16, 40, 43, 50, 319 -Lasung,50

Differenzenquotient, 79 Differenzierbeiwert, 74 Digitalrechner,4, 10 Diode, 226 dominierendes Polpaar, 210-213, 221,

228 Doppelpol, 123 Doppelwurzel, 205 Drehwinkel, 105 Drehzahlregelung, 3-6, 139, 160, 162,

274 Drehzahlregler, 274, 279,280, 282 Dreipunktregler, 238,247,253

-mit Hysterese, 253, 268, 269, 272 Drift, 140 Druckbehalter, 38, 41 Druckkessel, 44, 58 DT I-Glied, 58

-Ortskurve, 59 Durchgangsfaktor, 294 Durchtrittsfrequenz, 193, 194, 198, 199 Dynamische Kompensation, 92, 93, 95,

97, 99, 101, 103, 125, 147-150, 197, 277

Eckfrequenz, 170, 173, 180, 182, 183, 191, 195, 197, 201

Eigenbewegung, 114, 116 Eigenmode, 210 Ein- / Ausschaltverhaltnis, 258-261 EingangsgraBe, 5, 11 Eingangsvektor, 294, 295 Eingeschwungener Zustand, 23 Eingriffsort, 189, 190, 199 Einheitsmatrix, 297 Einschwingvorgang, 22, 36, 90, 109,

135, 136, 139, 144, 156, 167 eAt-Ansatz, 15, 107 Elektrische Regelung, 4

Sachverzeichnis

Empfindlichkeitskreis, 145 EmpfindlichkeitsmaB, 141 Endwertsatz, 87, 88, 90,106, 109, 110,

130, 131, 135, 139, 317 Energieinhalt, 193 Energiespeicher, 38, 46 Energieverbrauch, 48 Entwurfsanforderung, 133, 136, 137,

139, 194 Erregerfeld, 3, 12, 274 Euler-Cauchy-Polygonzugverfahren, 306 Exponentialdarstellung, 171 Extremwert, 257, 259

Fahrstrahl, 128, 131 Fahrzeug, 62, 140 Faltenbalg, 253 Faltungsintegral, 317 Faltungsprodukt, 317 Faltungssatz, 317, 321, 322 Feder-Dampfer-Anordnung, 38, 58, 60 Feder-Masse-Schwinger, 12, 16,21,27,

33,47, 115, 118 Fehlerband, 155, 156, 214 Festwertregelung, 4 Flip-Flop, 253 Flugzeug,4 Folgeregelung, 4, 18, 137, 138 Fourier-Koeffizient, 230, 231, 234, 236,

238, 240 Fourier-Zerlegung, 229, 230 Freiheitsgrad, 62, 139 Frequenzbereich, 10 Frequenzgang, 10, 22, 24, 26 FiihrungsgraBe, 4, 7, 8, 89 Fiihrungsverhalten, 83, 95, 98, 107,

108, 134, 139, 162, 187, 199, 210

Fiillstandsregelstrecke, 270 Fiillstandsregelung, 2, 4, 252, 271,272 Fw-Ortskurve, 145

Gegenkopplung, 31 Gewichtsfunktion, 19, 321 Gleichrichterschaltung, 3, 5, 6, 106,

162,226

Sachverzeichnis

Gleichstrommotor, 3, 12, 13, 17, 21, 29, 31, 33, 47, 54, 105, 106, 116, 140, 160, 162, 274, 282

Gravitationskraft, 63, 65 Grenzwertsatz, 87, 96, 99, 104, 109,

317 Grundgesetz, 11-14, 29, 42, 67, 283 Grundgleichung, siehe Grundgesetz

Haftreibung, 284 harmonische Balance, 228, 229 Heizkessel, 1, 38, 89, 91, 94 Heizwicklung, 251, 266 Heizwiderstand, 253, 263, 268 Hilfsenergie, 250 Hilfsregelgro13e, 161 Hilfsregelgrol3enaufschaltung, 165, 166 Hilfsregelkreis, 165 Hilfsregler, 165, 166 Hilfsstellgrol3e, 166 Hilfsstellgrol3enaufschaltung, 166 Hochlaufgeber, 280 Hurwitz-Bedingung, 117, 119, 286 Hurwitz-Determinante, 117-119 Hurwitz-Kriterium, 116, 121, 149, 197,

228,285 Hydraulische Regelung, 4 Hysterese, 10, 236-238, 261, 304

IAE-Kriterium, 149 Impedanz, 73 Impulsantwort, 19, 20 Impulsfunktion, 18, 321 Impulssatz, 14, 29, 30, 63, 65, 283 Instabilitiit, 117, 222

-monotone, 117, 286 -oszillatorische, 116, 117, 286

Integration von "Differentialgleichun-gen, 305

Integrationsalgorithmus, 304 Integrationsverfahren, 291, 305 Integrierbeiwert, 74, 78, 90, 91, 106,

127, 131, 137 Integrierzeit, 74 Integro-Differentialgleichung, 55 Interrupt, 77

-Controller, 81

IT rGlied, 55, 177 -Ortskurve, 56

IT 2-Glied, 55 ITAE-Kriterium, 150 Iteration, 307

Kaskade,94

335

Kaskadenregelung, 159,160,162,274, 275

Koeffizientenvergleich, 87, 108, 299 Kompensationsglied, 163 Kompensationsregler, 154, 156 Konvergenz, 310 Konvergenzgeschwindigkeit, 297 Koppelplan, 292 Korrekturglied, 201 Korrespondenztabelle, 86, 87, 318, 323 Kreisfrequenz, 49, 68, 91, 106, 136,

144, 166, 213, 230 Kreisschaltung, 30, 32 Kreisverstiirkung, 121 kritische Periodendauer, 157 kritische Verstiirkung, 157, 222, 228 kritischer Punkt, 121-126, 128, 130,

131, 185 Kv-Wert, 137

Lag-Lead-Netzwerk, 201-203 Lag-Netzwerk, 201, 202 Lageregelung, 139 Lagerreibung, 48 Laguerre's Methode, 310 Laplace-Integral, 312 Laplace-Transformation, 14, 20, 33,

57, 83, 86, 87, 90, 106, 131, 135, 297, 312

-Differentiation und Integration, 315

-inverse, 318 Laplace-Transformierte, 312 Laplace-Variable, 312 Laststorgro13e, 8, 82, 190 Lead-Netzwerk, 182, 201, 202 Linearisierung, 66, 282, 284 Linearitiit, 8 Lose, 227 Losungsansatz, 40

336

Magnetischer Flufi, 106 Magnetisierung, 227 Magnetisierungskennlinie, 239 Makrosprache, 80 MATLAB, 291,302 Matrixexponentialfunktion, 297-299 Mechanische Regelung, 4 Mehrfachwurzel, 44 Mikrocontroller, 76-78,80,85,89 Mikroprozessor, 4, 76 Mischer, 1, 2, 5, 6, 8, 94, 95, 162 Mitkopplung, 31 Mittelwert, 257, 259

Nachstellzeit, 91, 101, 109, 110, 119, 150, 152, 154, 166, 191, 192, 197, 199, 200, 216, 267, 277

Nennergrad, 155 Nichtlinearitat, 228, 229, 241,247,303 Normierung, 7 Nullstelle, 114, 115, 148, 207, 208,

217, 218, 288, 290, 310 Nullstellenberechnung, 310 Nyquist-Kriterium, 120, 123, 125, 128,

241,242 Nyquist-Ortskurve, 121,123-127,129,

141, 142, 147, 171, 185, 242

Offner, 252 Okonomische Regelvorgange, 4 Operationsverstarker, 72, 73, 75, 84,

89,225 Optimierung, 70, 150 Optimierungskriterium, 149 Optimierungsprogramm, 151 Orginalfunktion, 312 Ortskurve, 25, 45, 53, 61

Parallelschaltung, 30, 264 Parameteranderung, 140 Parameterempfindlichkeit, 141, 144 Partialbruchzerlegung, 87, 295, 298,

319 Pendel, 66, 282, 307 Periodendauer, 230, 258-262, 301 Phasenanschnittsteuerung, 274 Phasengang, 169

Sachverzeichnis

Phasenminimumsystem, 186-188 Phasenrand, 126, 127, 142, 146, 185-

188, 190, 198, 215, 243 Phasenreserve, 199, 200, 202 Phasenverschiebung, 120 Pneumatische Regelung, 4 Pol, 113, 115, 116, 123, 128, 148, 193,

204, 210, 218, 288, 290, 310 Pol- IN ullstellendarstellung, 295 Pol-/Nullstellenkompensation, 147, 148,

154 Pol- INullstellenverteilung, 115, 223 Polynom, 290, 310

-Nenner, 21, 112, 113, 115, 141, 154,310

-Zahler, 21, 112, 141, 310 Positionsregelung, 137, 253 Potenzreihe, 240, 298 Potenzreihenentwicklung, 297 Pradiktion, 143 Programm, 80 Proportionalbeiwert, 74, 91 PT1-Glied, 38, 41, 254

-Ortskurve, 40, 41, 69 PTrGlied, 46, 68

-Ortskurve, 52, 69

quadratische Regelflache, 150

Rampenfunktion, 18, 137, 291 Rauschen, 100 RC-Netzwerk, 41, 44 Realisierbarkeit, 155, 164 Rechenprogramm, 172 Rechteckregel, 78, 305 Regelabweichung, 7, 90, 104, 160, 200 Regelalgorithmus, 76 Regelbarkeit, 43 Regeldifferenz, 7, 85, 86, 88-90, 92,

93,96,97,100,101,104,107, 110, 130, 134, 138, 139, 141, 143, 147, 149, 150, 195, 202, 207, 210, 213, 217, 256, 257, 259, 260, 265, 268, 272, 278

Regeleinrichtung, 8 Regelgrofie, 4, 7 Regelkreis, 4, 83

Sachverzeichnis

Regelkreisstruktur, 159 Regelstrecke, 8, 10

-differenzierende, 37, 58 -instabiIe, 51, 65, 148 -integrierende, 36, 52, 54, 177, 270 -IT1-Verhalten, 106, 137 -mit AllpaBverhalten, 37, 60, 179 -mit Totzeit, 37, 56, 131, 178 -proportionale, 36, 37, 139 -PT1-Verhalten, 40, 84, 88, 173,

262 -PT2-Verhalten, 94,142,174,185,

216,218 -PT3-Verhalten, 191, 220, 243

RegIer, 1, 3, 5-8, 180 -D, 74, 79 -1,74,78,89,107,177 -P, 74, 78, 84, 86, 88, 100, 106,

161, 180, 285 -PD, 99-101,143, 181, 282, 285 -PI, 91, 97, 104, 108, 127, 144,

148, 180, 276, 277, 279, 280 -PID, 74, 79-81, 98, 101-104,143,

182,267 Reglereinstellung

-nach Chien, Hrones und Reswick, 158

-nach Ziegler-Nichols, 157 Reihenentwickiung, 301, 302 Reihenschaltung, 30, 43-45, 48, 50,

92, 102, 142, 155, 170, 279 -von PT1-Gliedern, 41

Rekursionsgleichung, 301 Relais, 266 Residuensatz, 87 Resonanzfrequenz, 175 RL-Netzwerk, 12, 15, 16, 19, 20, 25,

38, 58, 60, 67 RLC-Netzwerk, 14, 22, 35, 47 Roboter, 105 Rohrleitung, 1, 94, 127 Rollreibung, 283 Riicktransformation, 112 Riickwirkungsfreiheit, 8 Runge-Kutta-Verfahren, 303, 306, 307

Satellit, 4, 52, 137

Sattigung, 225, 240 Schalter, 10 Schaltfrequenz, 258-262, 267, 268 Scharparameter, 239 SchIeppfehIer, 137, 138 SchIieBer, 252

337

Schrittweite, 306, 307 Schiitzschaltung, 252, 266 Schwankungsbreite, 257,260,262,264,

272 Schwellenwert,237 Schwimmer, 2,5,252 Schwimmerschalter, 252 Schwingungsfahigkeit, 46, 49, 94, 174 Selbsthaltung, 252, 253 SignalfluBplan, 5, 6 Simulation, 290 Simulationsdiagrarp.m, 292, 293 Sinusfunktion, 291 Sollwert, 7, 145, 151,247 Spannungsregelung, 163 Speicherprogrammierbare Steuerung (SPS),

77 Sprungantwort, 19,36,37,39,49,53,

55, 59, 68, 75, 96, 298 Sprungfunktion, 17 Stab, 222, 291, 307 Stabilitat, 10,111,113,117,120,133-

135, 141 -im GroBen, 229 -im Kleinen, 228

Stabilitatsbedingung, siehe Stabilitats-kriterium

Stabilitatsdiagramm, 287 Stabilitatsforderung, 134, 185, 210 Stabilitatsgebiet, 287 Stabilitatsgrenze, 118, 119, 121, 126,

127, 241 Stabilitatskriterium

-grundiegendes, 111, 113, 128 -nach Routh, 286 -siehe auch Nyquist-Kriterium, Hur-

witz-Kriterium Stabilitatsrand, 131 Stabilitatsreserve, 141-143, 201 Stabregler, 251, 254

338

stationiire Bedingung, 63 stationiire Genauigkeit, 134, 138, 187 Stellamplitude, 88, 93, 97, 103-105,

109, 143, 148, 160, 188, 213 Stelleinrichtung, 148 Stellenergie, 144, 193, 194, 268 Stellglied, 7, 8, 144, 162, 285, 309 StellgroBe, 7, 159 Stellmotor, 94, 167 Stellsignal, 144, 255, 269, 309 Stellventil, 168, 268 Stellzylinder, 52, 54, 64 Steuerung, 5-8 Storfunktion, 40 StorgroBe, 7, 89, 163 StorgroBenaufschaltung, 162, 163, 164,

166 -nachgebende, 163 -starre, 163

Storsignal, 98, 100, 143, 148 Storung,5 Storverhalten, 83, 88, 96, 100, 104,

109, 110, 134, 139, 159, 161, 165, 189, 199, 215

Strombegrenzer, 280 Strombegrenzung, 282 Stromleitverfahren, 274 Stromregelung, 162 Stromregler, 274, 276-278,282 Stromrichterschaltung, 274, 276, 281,

282 -siehe auch Gleichrichterschaltung

Stromwandler, 276 Strukturstabilitiit, 123, 129, 135 Subroutine, 308 Subtraktionsstelle, 7 Summationsstelle, siehe Additionsstelle Summenzeitkonstante, 196 Symmetrisches Optimum, 196, 198,

280

Tachogenerator, 5,6 Taylor-Reihenentwicklung, 306 TeillOsung, 108, 113, 114 Temperaturregelung, 1, 2, 6, 9, 84,

89, 91, 98, 102, 124, 160, 253, 254

Sachverzeichnis

Temperaturregler, 250 Temperatursensor, 5, 84, 95 4 Thermoelement, 266 Thyristor, 106 Thyroxingehalt, 3 TiefpaBeigenschaft, 187, 229 TiefpaBverhalten, 245 Tote Zone, 226, 234, 304 Totzeit, 94, 127, 130, 141-143, 254,

255, 262, 276 Triigheitsmoment, 281, 283 Transistor, 72, 106, 253 Trapezregel, 78 Trennverstiirker, 41, 44 Treppenkurve, 76, 81

Ubergangsfunktion, 19,49, 151, 152, 155, 158, 161

Uberlagerungssatz, 314 Uberschwingen, 51,109,159,166,200 Uberschwingweite, 136,137,140,187,

196,211 Ubersetzungsverhiiltnis, 283 Ubertragungsbeiwert, 39, 42 Ubertragungsfunktion, 10, 20, 21, 24,

29, 33, 83, 320 -aufgeschnittener Regelkreis, 91,

95,98,107,108,120,121,124, 126, 128, 129, 142, 146

Umkehrintegral, 318 Unstetigkeitsstelle, 247, 304, 307

Vektordifferentialgleichung, 292, 297, 300,303

Verschiebungssatz, 315 VersorgungsstorgroBe, 8, 82, 106, 190 Verstiirker, 84, 95, 140 Verzogerung, 38 Verzogerungsglied, 173 Verzogerungszeit, 99 Verzugszeit, 43, 157,254, 263 Verzweigung, 206, 208, 217 Verzweigungsstelle, 6 Vielfachheit, 310 Vorfilter, 82, 139 Vorhaltzeit, 98-101,182,209,219,268 Vorlast, 226, 233, 244, 246

Sachverzeichnis

Vorzeichenumkehr, 7, 8

Wiirmeausdehnungskoeffizient, 250 Wendepunkt, 43, 158 Wendetangente, 43, 158 Werkzeugmaschine, 4, 137 Wirkungsablauf, 4-7 Wurzel, 108, 113, 120 Wurzelberechnung, 114 Wurzelortskurve, 204, 287, 288 Wurzelortskurvenverfahren, 10, 204

Ziihlergrad, 155 Zeiger, 23, 25, 230 Zeit bereich, 10, 22, 112,298, 299, 312,

319, 322 Zeitintervall, 300, 301, 305 Zeitkonstante, 39, 42, 43, 84, 95, 99

Zeitverhalten, 85, 88 Zenerdiode, 76 Zielbereich, siehe Zielgebiet Zielgebiet, 208, 214-216, 221 Zustandsdarstellung, 293, 296 Zustandsdifferentialgleichung, 291 Zustandsgleichung, 291, 294, 299 Zustandsmatrix, 294, 295, 298 Zustandsraum, 291

339

Zustandsvektor, 292, 299 Zweiortskurvenverfahren, 241, 243, 247,

248,255 Zweipunktregler, 235, 238, 249, 250,

254, 256, 304 -mit Hysterese, 236, 251, 252, 259,

261, 263-266, 270 -mit Riickfiihrung, 263, 265, 266