Transformadas de laplace
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YESENIA LÓPEZ C.I.: 17.938.323 PROF.: SARA LÓPEZ
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Y ES EN IA LÓ P EZ
C . I . : 1 7 . 9 3 8 . 3 2 3
P ROF . : S A RA LÓ P EZ
Índice
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ES UNA TÉCNICA
MATEMÁTICA QUE FORMA PARTE DE CIERTAS
TRANSFORMADAS INTEGRALES COMO LA
TRANSFORMADA DE FOURIER, LA TRANSFORMADA
DE HILBERT, Y LA TRANSFORMADA DE MELLIN
ENTRE OTRAS. ESTAS TRANSFORMADAS ESTÁN
DEFINIDAS POR MEDIO DE UNA INTEGRAL IMPROPIA
Y CAMBIAN UNA FUNCIÓN EN UNA VARIABLE DE
ENTRADA EN OTRA FUNCIÓN EN OTRA VARIABLE.
1. Definición de
Transformadas de Laplace.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PUEDE SER
USADA PARA RESOLVER ECUACIONES
DIFERENCIALES, LINEALES Y ECUACIONES
INTEGRALES. AUNQUE SE PUEDEN RESOLVER
ALGÚN TIPO DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON
COEFICIENTES VARIABLES, EN GENERAL SE APLICA
A PROBLEMAS CON COEFICIENTES CONSTANTES.
UN REQUISITO ADICIONAL ES EL CONOCIMIENTO DE
LAS CONDICIONES INICIALES A LA MISMA
ECUACIONES DIFERENCIALES. SU MAYOR VENTAJA
SALE A RELUCIR CUANDO LA FUNCIÓN EN LA
VARIABLE INDEPENDIENTE QUE APARECE EN LA
ECUACIONES DIFERENCIALES ES UNA FUNCIÓN
SECCIONADA.
1. Definición de
Transformadas de Laplace.
CUANDO SE RESUELVEN ECUACIONES DIFERENCIALES
USANDO LA TÉCNICA DE LA TRANSFORMADA, SE CAMBIA
UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EN UN PROBLEMA
ALGEBRAICO. LA METODOLOGÍA CONSISTE EN APLICAR LA
TRANSFORMADA A LA ECUACION DIFERENCIAL Y
POSTERIORMENTE USAR LAS PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA. EL PROBLEMA DE AHORA CONSISTE EN
ENCONTRAR UNA FUNCIÓN EN LA VARIABLE
INDEPENDIENTE TENGA UNA CIERTA EXPRESIÓN COMO
TRANSFORMADA.
1. Definición de
Transformadas de Laplace.
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA
SEA F UNA FUNCIÓN DEFINIDA PARA , LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE DE F(T) SE DEFINE COMO
CUANDO TAL INTEGRAL CONVERGE.
1. Definición de
Transformadas de Laplace.
NOTAS
1. LA LETRA S REPRESENTA UNA NUEVA VARIABLE, QUE PARA EL PROCESO
DE INTEGRACIÓN SE CONSIDERA CONSTANTE
2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE CONVIERTE UNA FUNCIÓN EN T EN UNA
FUNCIÓN EN LA VARIABLE S
3. CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE UNA
FUNCIÓN:
- DE ORDEN EXPONENCIAL
- CONTINUA A TROZOS
1. Definición de
Transformadas de Laplace.
EN MUCHAS APLICACIONES DE LA MATEMÁTICAS AVANZADAS
PARA INGENIERÍA, Y EN NUESTRO CASO LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES, SE HACE NECESARIO CONOCER COMO
ENCONTRAR LA TRANSFORMA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PUEDE ENCONTRARSE A
PARTIR DE SU DEFINICIÓN COMO UNA INTEGRAL IMPROPIA QUE
SE CALCULA MEDIANTE EL USO DE UN LÍMITE INFINITO.
DENTRO DE LAS PROPIEDADES MÁS IMPORTANTES DE ESTA
TRANSFORMACIÓN ES LA LINEALIDAD YA QUE AL SER UNA
INTEGRAL ESTA PROPIEDAD SE HEREDA.
2. Importancia de
Transformadas de Laplace.
LA TRASFORMADA DE LAPLACE SE USA CONTINUAMENTE PARA
RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES DE FUNCIONES
CONTINUAS A TRAMOS: DEBIDO A QUE LA TRASFORMADA DE
LAPLACE ES UNA INTEGRAL, ESTA CUMPLE CON LAS
PROPIEDADES DE LINEALIDAD QUE TIENEN LAS INTEGRALES,
PARA VER ESTAS PROPIEDADES VEREMOS UN EJEMPLO: NOS
DICEN QUE HALLEMOS LA TRASFORMADA DE LAPLACE DE LA
SIGUIENTE FUNCIÓN: L[SEN(4T)-2T^3], ENTONCES PODEMOS
DECIR QUE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ESTA FUNCIÓN
ES: L[SEN(4T)-2T^3]=L[SEN(4T)]-2L[T^3], PODEMOS SACAR LAS
CONSTANTES DE LA TRASFORMADA Y DISTRIBUIR LAS SUMAS O
RESTAS.
2. Importancia de
Transformadas de Laplace.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ES DE GRAN IMPORTANCIA EN LA
INGENIERÍA YA QUE PERMITE REDUCIR ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES A SIMPLES EXPRESIONES
ALGEBRAICAS DE SENCILLA RESOLUCIÓN.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ES UN EJEMPLO DE UNA CLASE LLAMADA
TRANSFORMACIÓN INTEGRAL Y TOMA UNA FUNCIÓN F(T) DE UNA VARIABLE T
(A LA CUAL NOS REFERIMOS CON TIEMPO) EN UNA FUNCIÓN F(S) DE OTRA
VARIABLE S (LA FRECUENCIA COMPLEJA).
SE DEFINE DE LA SIGUIENTE MANERA:
DONDE S ES UNA VARIABLE COMPLEJA Y ES LLAMADO EL NÚCLEO DE LA
TRANSFORMACIÓN.
3. Aplicación de
Transformadas de Laplace
en Ingeniería.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE SE USA PRINCIPALMENTE EN
TEORÍA DE CONTROL CLÁSICO, DONDE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES DE UN SISTEMA LINEAL, SE TRANSFORMAN EN
ECUACIONES ALGEBRAICAS. DE ESTA FORMA ES MUCHO MÁS
FÁCIL LA REPRESENTACIÓN DINÁMICA CON DIAGRAMAS DE
BLOQUE Y LA RESPUESTA TANTO ESPECTRAL COMO TEMPORAL.
3. Aplicación de
Transformadas de Laplace
en Ingeniería.
"PODEMOS MIRAR EL ESTADO PRESENTE
DEL UNIVERSO COMO EL EFECTO DEL
PASADO Y LA CAUSA DE SU FUTURO.
SE PODRÍA CONDENSAR UN INTELECTO
QUE EN CUALQUIER MOMENTO DADO
SABRÍA TODAS LAS FUERZAS QUE ANIMAN
LA NATURALEZA Y LAS POSICIONES DE LOS
SERES QUE LA COMPONEN, SI ESTE
INTELECTO FUERA LO SUFICIENTEMENTE
VASTO PARA SOMETER LOS DATOS AL
ANÁLISIS, PODRÍA CONDENSAR EN UNA
SIMPLE FÓRMULA EL MOVIMIENTO DE LOS
GRANDES CUERPOS DEL UNIVERSO Y DEL
ÁTOMO MÁS LIGERO; PARA TAL INTELECTO
NADA PODRÍA SER INCIERTO Y EL FUTURO
ASÍ COMO EL PASADO ESTARÍAN FRENTE
SUS OJOS."
GRACIAS…
PIERRE- SIMON
LAPLACE
(1749 - 1827)
