Transformada de Laplace 1

194 CAPÍTULO 4 La transformada de Laplace

4.1 Definición de la transformada de Laplace

■ Introducción En el curso de cálculo elemental, usted aprendió que la diferenciación y la integración son transformadas, lo cual significa, a grandes rasgos, que estas opera-ciones transforman una función en otra. Por ejemplo, la función f (x) ! x2 se transforma, según sea el caso, en una función lineal, en una familia de funciones polinomiales cúbicas, y en una constante gracias a operaciones de diferenciación, integración indefinida e inte-gración definida:

ddx

x2 ! 2x, !x2 dx !13

x3 " c, !3

0

x2 dx ! 9.

Además, estas dos transformadas poseen la propiedad de linealidad: ello significa que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para las constantes ! y ",

ddx

3af 1x2 " bg1x2 4 ! af ¿ 1x2 " bg¿ 1x2

! 3af 1x2 " bg1x2 4 dx ! a! f 1x2 dx " b!g1x2 dx

y !b

a

3af 1x2 " bg1x2 4 dx ! a!b

a

f 1x2 dx " b!b

a

g1x2 dx

siempre que existan cada derivada y cada integral. En esta sección examinaremos un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Además de poseer la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas lineales de valor inicial.

Si f (x, y) es una función de dos variables, entonces una integral definida de f con res-pecto a una de las variables produce una función de la otra variable. Por ejemplo, si y se mantiene constante vemos que "2

1 2xy2 dx ! 3y2. De manera similar, una integral defini-da, tal como "b

a K(s, t) f (t) dt, transforma a una función f(t) en una función de la variable s. A nosotros nos interesan en particular las transformadas integrales de este último tipo, donde el intervalo de integración es el intervalo [0, #) no acotado.

■ Definición básica Si f (x) está definida para t $ 0, entonces la integral impropia "q

0K1s, t2 f 1t2 dt está definida como un límite:

!

q

0

K1s, t2 f 1t2 dt ! límbSq !

b

0

K1s, t2 f 1t2dt. (1)

Si existe el límite, se dice que la integral existe o es convergente; si no hay límite, la integral no existe y se afirma que es divergente. Este límite, en general, existe sólo para ciertos valores de la variable s. La elección K(s, t) ! e–st produce una transformada inte-gral especialmente importante.

D E F I N I C I Ó N 4 .1 Transformada de Laplace

Sea f una función definida para t $ 0. Entonces se dice que la integral

+5f 1t2 6 ! !

q

0

e%stf 1t2 dt

(2)

es la transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.

Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es una función de s. En el análisis general, cuando utilicemos letras minúsculas nos referiremos a la función que

4.1 Definición de la transformada de Laplace 195

se va a transformar, y letras mayúsculas denotarán su transformada de Laplace; por ejemplo,

+{ f (t)} ! F (s), +{g(t)} ! G(s), +{y(t)} ! Y(s) y +5H1t2 6 ! h1s2 .Ejemplo 1 Uso de la definición 4.1Evalúe +{1}.

Solución A partir de (2),

+516 ! !

q

0

e"st112 dt ! límbSq !

b

0

e"st dt

! límbSq

"e"st

s 2 b

0! lím

bSq

"e"sb # 1s

!1s

siempre y cuando s > 0. En otras palabras, cuando s > 0, el exponente –sb es negativo y e–sb → 0 conforme b → #. Para s < 0, la integral es divergente. ❏

El uso del signo de límite deviene en una tarea tediosa, de manera que adoptaremos la notación |#0 como abreviatura de límb→#( )| 0 b . Por ejemplo,

+516 ! !

q

0

e%st112 dt !%e%st

s

q

0!

1s, s 7 0.

En el límite superior, se entiende que nos referimos a que e–st → 0 cuando t → # para s > 0.

Ejemplo 2 Uso de la definición 4.1Evalúe +{t}.

Solución A partir de la definición 4.1, tenemos que +{t} ! "#0 e

–stt dt. Si integramos por partes usando límt→# te–st ! 0, s > 0, junto con el resultado del ejemplo 1, obtenemos

+5t6 !

%te%st

s

q

0"

1s !

q

0

e%stdt !1s

+516 !1s

a1sb !

1s2. ❏

Ejemplo 3 Uso de la definición 4.1Evalúe +{e–3t}.

Solución A partir de la definición 4.1, tenemos

+5e%3t6 ! !

q

0

e%ste%3t dt ! !q

0

e%1s"32t dt

!

%e%1s" 32ts " 3

q

0

!

1s " 3

, s 7 %3.

El resultado deriva del hecho de que límt→# e–(s + 3)t ! 0 para s + 3 > 0 o s > –3. ❏

Ejemplo 4 Uso de la definición 4.1Evalúe +{sen 2t}.


El apéndice III proporciona una lista más amplia de las transformadas.

Solución A partir de la definición 4.1 y la integración por partes obtenemos

+5sen 2t6 ! !

q

0

e"st sen 2t dt !

"e"st sen 2ts

2 q 0

#2s !

q

0

e"st cos 2t dt

!

2s !

q

0

e%st cos 2t dt, s 7 0

límtSq

e"st cos 2t dt ! 0, s 7 0

T T

!2sc"e"st

cos 2ts

2 q 0

"2s !

q

0

e"st sen 2t dt d

!

2s2 "

4s2 +5sen 2t6.

En este punto tenemos una ecuación con +{sen 2t} en ambos lados de la igualdad. Al resolver para esa cantidad se produce el resultado

+{sen 2t} ! 2

s2 " 4, s > 0. ❏

■ + es una transformada lineal Para una suma de funciones, podemos escribir

!

q

0

e%st 3af 1t2 " bg1t2 4 dt ! a!q

0

e%stf 1t2 dt " b!q

0

e%stg1t2 dt

siempre que ambas integrales converjan para s > c. Por lo tanto, se deduce que

+{!f (t) + "g(t)} ! !+{ f (t)} + "+{g(t)} ! ! F (s) + " G(s). (3)

Debido a la propiedad dada en (3), se dice que + es una transformada lineal. Por ejem-plo, de los ejemplos 1 y 2,

+{1 + 5t} ! +{1} + 5+{t} ! 1s

"5s2,

y de los ejemplos 3 y 4,

+{4e–3t % 10 sen 2t} ! 4+{e%3t} % 10+{sen 2t} ! 4

s " 3%

20s2 " 4

.

La generalización de algunos de los problemas anteriores la enunciaremos mediante el teorema 4.1. A partir de ahora nos abstendremos de indicar cualquier restricción sobre s, pues se entiende que s está lo bastante restringida como para garantizar la convergen-cia de la transformada de Laplace apropiada.

T E O R E M A 4 .1 Transformadas de algunas funciones básicas

a) +{1} ! 1s

b) +{tn} ! n!

sn"1 , n ! 1, 2, 3, . . . c) +{eat} ! 1

s % a

d) +{sen kt} ! k

s2 " k2 e) +{cos kt} !

ss2 " k2

f ) +{senh kt} ! k

s2 % k2 g) +{cosh kt} ! s

s2 % k2

Transformada de Laplace de sen 2t

4.1 Definición de la transformada de Laplace 197

tc

f (t) ectet2

Figura 4.4 f (t) ! et 2 no es de orden exponencial

t

a)

t

b)

t

c)

2 cos t

f (t)

f (t)

f (t)

et

et

2et

e–t

Figura 4.3 Las funciones con gráficas coloreadas son de orden exponencial

tT

f (t)

f (t)

Mect (c > 0)

Figura 4.2 La función f es de orden exponencial

a bt

f (t)

t1 t2 t3

Figura 4.1 Función continua por tramos

■ Condiciones de suficiencia para que exista + { f (t)} No es necesario que con-verja la integral que define la transformada de Laplace. Por ejemplo, ni +{1/t} ni +{et 2} existen. Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de +{ f (t)} son que f sea continua por tramos en [0, #) y de orden exponencial cuando t > T. Recuerde que una función f es continua por tramos en [0, #) si, en cualquier intervalo 0 & a & t & b, hay cuando mucho una cantidad finita de puntos tk, k ! 1, 2, . . . , n (tk – 1 < tk), en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto tk – 1 < t < tk. Vea la figura 4.1. El concepto de orden exponencial está definido de la siguiente manera.

D E F I N I C I Ó N 4 . 2 Orden exponencial

Se dice que una función f es de orden exponencial c si existen constantes c, M > 0, y T > 0 tales que | f (t)| & Mect para todo t > T.

Si f es una función creciente, entonces la condición | f (t)| & Mect, t > T, sólo indica que la gráfica de f en el intervalo (T, #) no crece más rápido que la gráfica de la función exponen-cial Mect, donde c es una constante positiva. Vea la figura 4.2. Todas las funciones f (t) ! t, f (t) ! e–t y f(t) ! 2 cos t son de orden exponencial c ! 1 para t > 0 puesto que, respectivamente,

|t| & et, |e–t| & et, |2 cos t| & 2et.

En la figura 4.3 se ofrece una comparación de las gráficas existentes en el intervalo [0, #).Una función tal como f (t) ! et2 no es de orden exponencial pues, como ilustra la

figura 4.4, su gráfica crece con más rapidez que cualquier potencia lineal positiva de e para t > c > 0.

Una potencia integral positiva de t siempre es de orden exponencial ya que, para c > 0

|tn| $ Mect o 2 tn

ect 2 $ M para t 7 T

es equivalente a demostrar que límt→# tn/ect es finito para n ! 1, 2, 3, . . . El resultado se obtiene mediante n aplicaciones de la regla de L’Hôpital.

T E O R E M A 4.2 Condiciones de suficiencia para la existencia

Si f(t) es continua por tramos en el intervalo [0, #) y de orden exponencial c, enton-ces +{ f (t)} existe para s > c.

Demostración Mediante la propiedad aditiva del intervalo de las integrales definidas,

+5 f 1t2 6 ! !

T

0

e%stf 1t2 dt " !q

T

e%stf 1t2 dt ! I1 " I2.

La integral I1 existe ya que se puede escribir como una suma de integrales en los intervalos donde e–stf (t) es continua. Ahora f es de orden exponencial, por lo tanto existen constantes c, M > 0, T > 0 de manera que | f (t)| & Mect para t > T. Entonces podemos escribir

#I2# & !

q

T

e%stf 1t2 dt & M!q

T

e%stect dt ! M!q

T

e%1s%c2t dt ! M e%1s%c2Ts % c

para s > c. Puesto que "#T Me–(s – c)t dt converge, la integral "#

T |e–stf (t)| dt converge según la prueba de comparación para integrales impropias. Esto, a su vez, implica que I2 existe cuan-do s > c. La existencia de I1 e I2 implica que +{ f (t)} ! "#

0 e–stf (t) dt existe para s > c. ❏

Ejemplo 5 Transformada de una función continua por tramos

Evalúe +{ f (t)} para f (t) ! e 0, 0 & t 6 3

2, t $ 3.


t

y

2

3

Figura 4.5 Función continua por tramos

t

1

1

(2, 2)f (t)

t

1

1

(2, 2)f (t)

Figura 4.7 Gráfica para el problema 8


t

1

1

f (t)

t

c

a b

f (t)



Solución La función continua por tramos aparece en la figura 4.5. Como f está definida en dos partes, expresamos a +{ f (t)} como la suma de dos integrales:

+5f 1t2 6 ! !

q

0

e%stf 1t2 dt ! !3

0

e%st102 dt " !q

3

e%st122 dt

! %

2e%st

s

q

3

!

2e%3s

s, s 7 0. ❏

Comentarios

A través de todo el capítulo nos concentraremos principalmente en las funciones que son tanto continuas por tramos como de orden exponencial. Sin embargo, ad-vertimos que estas dos condiciones son suficientes mas no necesarias para la exis-tencia de una transformada de Laplace. La función f (t) ! t%1>2 no es continua por tramos en el intervalo [0, #); no obstante, existe su transformada de Laplace. Vea el problema 42 en los ejercicios 4.1.

EJERCICIOS 4.1 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-8.

En los problemas del 1 al 18, use la definición 4.1 para encon-trar +{f (t)}.

1. f 1t2 ! e%1,1,

t ' 1t $ 1

2. f 1t2 ! e 4, 0 & t ' 20, t $ 2

3. f 1t2 ! e t, 0 & t ' 11, t $ 1

4. f 1t2 ! e 2t " 1,0,

0 & t ' 1

t $ 1

5. f 1t2 ! e sen t,0,

0 $ t % p

t & p

6. f 1t2 ! e sen t,0,

0 $ t % p>2

t & p>2 7. 8.

11. f (t) ! et + 7 12. f (t) ! e%2t % 5

13. f (t) ! te4t 14. f (t) ! t2e%2t

15. f (t) ! e%t sen t 16. f (t) ! et cos t

17. f (t) ! t cos t 18. f (t) ! t sen t

En los problemas del 19 al 36, use el teorema 4.1 para encon-trar +{ f (t)}.

19. f (t) ! 2t4 20. f (t) ! t5

21. f (t) ! 4t % 10 22. f (t) ! 7t + 3

23. f (t) ! t2 + 6t % 3 24. f (t) ! %4t2 + 16t + 9

25. f (t) ! (t + 1)3 26. f (t) ! (2t % 1)3

27. f (t) ! 1 + e4t 28. f (t) ! t2 % e%9t + 5

29. f (t) ! (1 + e2t)2 30. f (t) ! (et % e%t )2

31. f (t) ! 4t2 % 5 sen 3t 32. f (t) ! cos 5t + sen 2t

33. f (t) ! senh kt 34. f (t) ! cosh kt

35. f (t) ! et senh t 36. f (t) ! e%t cosh t

En los problemas del 37 al 40, encuentre +{ f (t)} utilizando primero una identidad trigonométrica adecuada.

37. f (t) ! sen 2t cos 2t 38. f (t) ! cos2 t 39. f (t) ! sen(4t + 5)

40. f (t) ! 10 cos at %p

6b

41. Una definición de la función gamma está dada por la

integral impropia (1a2 ! !q

0

ta% 1e%t dt, a 7 0.

a) Demuestre que ((! + 1) ! !((!).

9. 10.

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