Transformada de Laplace

ndice:Objetivo Aplicacin Definiciones Propiedades Unicidad Linealidad Desplazamiento en el dominio de la frecuencia, s Desplazamiento en el dominio del tiempo, t Transformada de la derivada. Transformada de la integral. Transformada de una funcin peridica. Lmites Algunos mtodos para obtener la Transformada directa de Laplace Directo De la serie Mediante el uso de tablas y propiedades Algunos mtodos para obtener la Transformada inversa de Laplace Directo De la serie Mediante el uso de tablas y propiedades Mediante el uso de fracciones parciales Mediante el uso del desarrollo de Heaviside Transformada de Laplace de las leyes de Kirchhoff: LKV y LKC Transformada de Laplace de las fuentes independientes. Transformada de Laplace de las fuentes dependientes. Transformada de Laplace de los elementos pasivos: R, C y L s/c acoplamiento. TRANSFORMADA DE LAPLACE - PROPIEDADES Y TABLA

T. de Laplace

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ObjetivoLa Transformada de Laplace es una funcin matemtica que permite resolver sistemas que incluyen ecuaciones diferenciales en forma fcil y completa. As podemos incluir excitaciones para las cuales no existen otras transformadas, como la de Fourier (ejemplo la exponencial creciente, muchas seales aleatorias y otras que no son absolutamente integrables). A lo anterior se suma que esta transformada permite incluir en las ecuaciones las condiciones energticas iniciales como componentes del circuito en forma muy fcil, lo que la hace muy atractiva. Hay 2 tipos de transformadas de Laplace: la bilateral para la cual la funcin del tiempo tiene valores no nulos en el intervalo desde menos infinito hasta ms infinito, y la unilateral, o simplemente la Transformada de Laplace, para la cual la funcin del tiempo es nula para todo tiempo negativo. Trabajaremos con esta ltima, aprovechando que en la gran mayora de los problemas de anlisis de circuitos las funciones de excitacin y de respuesta no existen indefinidamente en el tiempo, sino que comienzan en algn instante especfico que generalmente se escoge como t=0 seg. Sus definiciones matemticas son las siguientes: Bilateral: Transformada directa Unilateral:

F ( s ) = e st f ( t ) dtTransformada inversa

+

F ( s ) = 0 e st f ( t ) dt

+

f (t ) =

1 0 + j st e F ( s ) ds 2 0 j j

Por costumbre se indican las transformadas en forma nemotcnica de la siguiente forma: Directa: Inversa: F(s) = L{f(t)} f(t) = L-1{F(s)}

Cada vez que mencionemos la Transformada de Laplace nos estaremos refiriendo a la unilateral

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Aplicacin

Circuito en el dominio de t

T. de L.

Circuito en el dominio de s

Ecuaciones de equilibrio en el dominio de t.

Ecuaciones de equilibrio en el dominio de s; incluidas las condiciones iniciales.

Ecuacin diferencial en la variable solicitada.

T. de L.

Ecuacin algebraica en s y la variable solicitada; incluye las condiciones iniciales.

Clculo de la respuesta libre Clculo de la respuesta forzada Clculo de las constantes de integracin a partir de las condiciones iniciales Clculo de la variable solicitada

Variable solicitada en el dominio de t

T. de L-1.

Aplicaremos la transformada de Laplace al circuito, y no a la ecuacin diferencial en la variable solicitada.

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Definiciones: DirectaL{ f ( t )} = F ( s ) = 0 e st f ( t ) dt+

cuyas condiciones de existencia son: a) f(t) = 0 para todo t < 0 b) la integral converge para al menos un valor de la variable s, de lo contrario dicha transformada no existe. Figura 1 Pregunta: Cundo simplemente 0? el lmite inferior de la integral es 0-, 0+ o

Inversa

f (t ) =

1 0 + j st e F ( s )ds 2 0 j j

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Propiedades:Para todos los efectos supondremos que F{f(t)} Transformada de Laplace de f(t), y que sta existe. L{f(t)} es la

Unicidad f(t) F(s)donde f(t) y F(s) son nicas

Pregunta: puede dar ejemplos de funciones que cumplen y otras que no cumplen esta propiedad?

LinealidadSi Ci = constante para i = 1, 2, 3, ... Es decir cumple el Principio de Superposicin

n n L C i f i (t ) = C i Fi ( s ) i =1 i =1

Pregunta: lo podra aplicar a una relacin compuesta de 2 funciones con sus respectivos coeficientes constantes?

Desplazamiento en el dominio de la frecuencia, s L{eatf(t)} = F(s-a)Pregunta: a qu se debe su nombre?

Desplazamiento en el dominio del tiempo, t L{f(t-a)} = e-asF(s)Pregunta: qu precaucin se debe tomar al aplicar esta propiedad?

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Transformada de la derivada L{Df(t)} = sF(s) f(0) y L{Dnf(t)} = snF(s) sn-1f(0) - sn-2f1(0) donde:

..

- s0fn-1(0)

fn(0) es la derivada de orden n evaluada en t=0 frmulas qu se puede decir respecto de las

Pregunta: al ver las condiciones iniciales?

Transformada de la integral

L

{

t >0

f (t ) dt =

}

F (s) D 1 f (0) + s s

donde:

D-1f(0) es la integral de f(t) desde - a 0

Pregunta: cmo se explica que estemos trabajando con la transformada unilateral y el lmite inferior de la integral sea menos infinito?

Transformada de una funcin peridica1 1 e sT Fp ( s) 1 e sT

L{ f (t )} =

0

T

f (t )e st dt =

donde: T es el perodo y Fp(s) la transformada del primer perodo, fp(t)

Figura 2 Pregunta: Qu precaucin se debe tener con la funcin peridica?

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LmitesEsta propiedad exige, para que se cumpla, que existan ambos lmites; el lmite en t y el lmite en s

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Algunos mtodos para obtener la Transformada directa de Laplace Directo:Mediante la integral

F ( s ) = L{ f (t )} = 0 f (t )e st dt

De la serie:Si expresamos la funcin f(t) como la serie:

f(t)

=

[a0

+

a1*t

+

a2*t2

+

a3*t3

+

.

.

.]*u(t)

=

[a tk =0 k

k

] * u(t )

entonces su transformada de Laplace es: k!a a0 3!a a1 2!a + 2 + 3 2 + 43 + ... = k +k 1 s s s s k =0 s

F (s) =

Mediante el uso de tablas y propiedades:Se deja como estudio personal

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Algunos mtodos para obtener la Transformada inversa de Laplace Directo:Mediante la integral

f t) = L 1 {F s) = ( ( }

1 c + j F s) ts ds ( e 2j c j

De la serie:Igual que en la transformada directa, slo que al revs.

Mediante el uso de tablas y propiedades:Se deja como estudio personal

Mediante el uso de fracciones parciales:Se deja como estudio personal

Mediante el uso del desarrollo de Heaviside: Se deja como estudio personal

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Transformada de Laplace de las leyes de Kirchhoff: LKV y LKC LKV Dominio de t LKC

k =1

v k(t) = 0

n

k =1

ik(t) = 0

n

L{} Dominio de s

L{}

k =1

Vk(s)

n

= 0

k =1

Ik(s) =

n

0

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Transformada de Laplace de las fuentes independientes. Fuente de voltajeSu RVC es

v(t) = f(t) para todo i(t) Aplicando la L{} su RVC queda como sigue V(s) = F(s) para todo I(s)

Fuente de corriente Su RVC es i(t) = f(t) para todo v(t) Aplicando la L{} su RVC queda como sigueI(s) = F(s) para

todo V(s)

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Transformada de Laplace de las fuentes dependientes Fuente de voltaje dependiente de voltaje o de corrienteFuente de voltaje dependiente de: a) voltaje donde vo(t) e io(t) son el voltaje o la corriente de control en un dipolo del circuito, y y son constantes, y sus respectivas RVC son: b) corriente

v(t) = vo(t)para todo i(t)

para

todo

i(t)

v(t) = io(t)

Por su parte el dipolo y sus variables de control es el siguiente

Si aplicamos L{} a las respectivas RVC obtendremos los correspondientes circuitos y relaciones en el dominio de s

V(s) = Vo(s)

Para todo I(s)

Variables de control

V(s) = Io(s)

Para todo I(s)

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Fuente de corriente dependiente de voltaje o de corrienteIgual que en el caso anterior obtendremos las siguientes RVC de ambos casos: Fuente de corriente dependiente de: a) voltaje en el dominio de t b) corriente

i(t) = vo(t)para todo v(t)

Variables de control

i(t) = io(t)para todo v(t)

en el dominio de s

I(S) = Vo(s)

para todo V(s)

Variables de control

I(s) = Io(s)

para todo V(s)

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Transformada de Laplace de los elementos pasivos: R, C y L

El resistorSu RVC dice

v(t) = Ri(t)

y si le aplicamos L{}

obtenemos

V(s) = RI(s)

El capacitorSu RVC dice a lo que se agrega la condicin inicial en t=0, 0- o 0+ segn corresponda.

v t) = (

1 1 D i t) ( C

y si le aplicamos L{} obtenemos la ecuacin:

V s) = (

1 v 0) ( I s) + ( sC s

cuyo circuito es

y despejando I(s) se obtiene la ecuacin:

I s = sCV( ) Cv( ) () s 0

cuyo circuito es

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El inductorSu RVC dice a lo que se agrega la condicin inicial en t=0, 0- o 0+ segn corresponda. y si le aplicamos L{} obtenemos la ecuacin: V(s) = sLI(s) Li(o) cuyo circuito es v(t) = LDi(t)

y despejando I(s) se obtiene la ecuacin:

I s) = (

Vs () i 0) ( + sL s

cuyo circuito es

Los inductores acopladosVeremos el caso de dos inductores acoplados dejando al alumno el ampliarlo para una cantidad mayor. La RVC de este par de inductores acoplados es: del inductor 1: v1(t) = L11Di1(t) L12Di2(t) del inductor 2: v2(t) = L22Di2(t) L21Di1(t) adems de las condiciones iniciales que pueden ser en 0, 0 + o 0- segn corresponda Aplicamos la L{} a ambas ecuaciones obteniendo las RVC en el dominio de s: V1(s) = [sL11I1(s) - L11i1(0)] [sL12I2(s) L12i2(0)] y

V2(s) = [sL22I2(s) - L22i2(0)] [sL21I1(s) L21i1(0)]

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y cuyo circuito equivalente es: Ntese que las condiciones iniciales quedan representadas por fuentes de voltajes que dependen tanto de i1(0) como de i2(0), y que puede ser en t=0, como figura en este caso, o en t=0+ o t=0- segn corresponda.

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TRANSFORMADA DE LAPLACE

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PROPIEDADES Y TABLA

Si f(t) = 0 para t