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Semana 8 [1/62]
Transformaciones lineales
8 de septiembre de 2007
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [2/62]
Definición
Transformación linealU, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:
1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)
2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)
La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y(V , +).
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [3/62]
Definición
Transformación linealU, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:
1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)
2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)
La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y(V , +).
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [4/62]
Definición
Transformación linealU, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:
1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)
2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)
La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y(V , +).
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [5/62]
Definición
Transformación linealU, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:
1. ∀u1, u2 ∈ U, T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2)
2. ∀u ∈ U, λ ∈ K , T (λu) = λT (u)
La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U, +) y(V , +).
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [6/62]
Ejemplos
Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.
El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.
f : R→ R, x → x2, no es lineal.
f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.
Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.
T : Fd(R,R) → F(R,R)
f → T (f ) =dfdx
(x)
es lineal.
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [7/62]
Ejemplos
Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.
El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.
f : R→ R, x → x2, no es lineal.
f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.
Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.
T : Fd(R,R) → F(R,R)
f → T (f ) =dfdx
(x)
es lineal.
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [8/62]
Ejemplos
Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.
El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.
f : R→ R, x → x2, no es lineal.
f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.
Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.
T : Fd(R,R) → F(R,R)
f → T (f ) =dfdx
(x)
es lineal.
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [9/62]
Ejemplos
Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.
El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.
f : R→ R, x → x2, no es lineal.
f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.
Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.
T : Fd(R,R) → F(R,R)
f → T (f ) =dfdx
(x)
es lineal.
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [10/62]
Ejemplos
Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.
El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.
f : R→ R, x → x2, no es lineal.
f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.
Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.
T : Fd(R,R) → F(R,R)
f → T (f ) =dfdx
(x)
es lineal.
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Definiciones básicas Semana 8 [11/62]
Ejemplos
Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX , es lineal.
El caso particular, f : R→ R, x → ax , a ∈ R es lineal.
f : R→ R, x → x2, no es lineal.
f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), eslineal.
Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.
T : Fd(R,R) → F(R,R)
f → T (f ) =dfdx
(x)
es lineal.
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [12/62]
Ejemplos
Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:
P1 : V → V1, P2 : V → V2
v = v1 + v2 → P1(v) = v1 v = v1 + v2 → P2(v) = v2.
Ambas son lineales y:
Pi: Proyección de V sobre Vi
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [13/62]
Ejemplos
Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:
P1 : V → V1, P2 : V → V2
v = v1 + v2 → P1(v) = v1 v = v1 + v2 → P2(v) = v2.
Ambas son lineales y:
Pi: Proyección de V sobre Vi
Transformaciones lineales
Definiciones básicas Semana 8 [14/62]
Ejemplos
Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:
P1 : V → V1, P2 : V → V2
v = v1 + v2 → P1(v) = v1 v = v1 + v2 → P2(v) = v2.
Ambas son lineales y:
Pi: Proyección de V sobre Vi
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [15/62]
Propiedades
PropiedadesSea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:
1 T (0) = 0 ∈ V
2 T (−u) = −T (u)
3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K , ∀u1, u2 ∈ U
T (λ1u1 + λ2u2) = λ1T (u1) + λ2T (u2)
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [16/62]
Propiedades
PropiedadesSea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:
1 T (0) = 0 ∈ V
2 T (−u) = −T (u)
3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K , ∀u1, u2 ∈ U
T (λ1u1 + λ2u2) = λ1T (u1) + λ2T (u2)
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [17/62]
Propiedades
PropiedadesSea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:
1 T (0) = 0 ∈ V
2 T (−u) = −T (u)
3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K , ∀u1, u2 ∈ U
T (λ1u1 + λ2u2) = λ1T (u1) + λ2T (u2)
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [18/62]
Caracterización de una T.L.
Dada una combinación linealn
∑
i=1
λixi ∈ U
y la transformación lineal, T : U → V .
Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,
u =n
∑
i=1
αiui .
α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.
Aplicando T :
T (u) = T (n
∑
i=1
αiui) =n
∑
i=1
αiT (ui)
Basta definir T sobre una base de U!
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [19/62]
Caracterización de una T.L.
Dada una combinación linealn
∑
i=1
λixi ∈ U
y la transformación lineal, T : U → V .
Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,
u =n
∑
i=1
αiui .
α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.
Aplicando T :
T (u) = T (n
∑
i=1
αiui) =n
∑
i=1
αiT (ui)
Basta definir T sobre una base de U!
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [20/62]
Caracterización de una T.L.
Dada una combinación linealn
∑
i=1
λixi ∈ U
y la transformación lineal, T : U → V .
Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,
u =n
∑
i=1
αiui .
α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.
Aplicando T :
T (u) = T (n
∑
i=1
αiui) =n
∑
i=1
αiT (ui)
Basta definir T sobre una base de U!
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [21/62]
Caracterización de una T.L.
Dada una combinación linealn
∑
i=1
λixi ∈ U
y la transformación lineal, T : U → V .
Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,
u =n
∑
i=1
αiui .
α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.
Aplicando T :
T (u) = T (n
∑
i=1
αiui) =n
∑
i=1
αiT (ui)
Basta definir T sobre una base de U!
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [22/62]
Caracterización de una T.L.
Dada una combinación linealn
∑
i=1
λixi ∈ U
y la transformación lineal, T : U → V .
Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,
u =n
∑
i=1
αiui .
α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.
Aplicando T :
T (u) = T (n
∑
i=1
αiui) =n
∑
i=1
αiT (ui)
Basta definir T sobre una base de U!
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [23/62]
Isomorfismos de e.v.’s
IsomorfismoSea T : U → V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismosi T es biyectiva.
U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V , en cuyo caso lodenotaremos como
U ∼= V .
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [24/62]
Isomorfismos de e.v.’s
IsomorfismoSea T : U → V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismosi T es biyectiva.
U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V , en cuyo caso lodenotaremos como
U ∼= V .
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [25/62]
Ejemplo
Consideremos:f : U → Kn
u → f (u) = α = (α1, ..., αn).
Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.
Es un isomorfismo.
Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.
Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.
f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn
Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [26/62]
Ejemplo
Consideremos:f : U → Kn
u → f (u) = α = (α1, ..., αn).
Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.
Es un isomorfismo.
Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.
Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.
f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn
Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [27/62]
Ejemplo
Consideremos:f : U → Kn
u → f (u) = α = (α1, ..., αn).
Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.
Es un isomorfismo.
Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.
Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.
f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn
Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [28/62]
Ejemplo
Consideremos:f : U → Kn
u → f (u) = α = (α1, ..., αn).
Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.
Es un isomorfismo.
Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.
Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.
f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn
Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [29/62]
Ejemplo
Consideremos:f : U → Kn
u → f (u) = α = (α1, ..., αn).
Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.
Es un isomorfismo.
Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como Kn.
Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.
f (ui) = f (0u1 + ... + 1ui + ... + 0un) = (0, ..., 1, ..., 0) = ei ∈ Kn
Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de Kn.
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [30/62]
Composición entre T.L.
Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.
T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,
L ◦ T : U → W
es una función lineal.
Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .
Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.
∼= es relación de equivalencia !
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [31/62]
Composición entre T.L.
Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.
T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,
L ◦ T : U → W
es una función lineal.
Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .
Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.
∼= es relación de equivalencia !
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [32/62]
Composición entre T.L.
Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.
T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,
L ◦ T : U → W
es una función lineal.
Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .
Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.
∼= es relación de equivalencia !
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [33/62]
Composición entre T.L.
Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.
T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,
L ◦ T : U → W
es una función lineal.
Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .
Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.
∼= es relación de equivalencia !
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [34/62]
Composición entre T.L.
Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.
T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,
L ◦ T : U → W
es una función lineal.
Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .
Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.
∼= es relación de equivalencia !
Transformaciones lineales
Propiedades Semana 8 [35/62]
Composición entre T.L.
Consideremos U, V , W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.
T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,
L ◦ T : U → W
es una función lineal.
Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo esL ◦ T .
Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1 : V → U lo es también.
∼= es relación de equivalencia !
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [36/62]
Núcleo
NúcleoT : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como elconjunto:
KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}
KerT 6= φ ya que T (0) = 0.
KerT es un s.e.v. de U.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [37/62]
Núcleo
NúcleoT : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como elconjunto:
KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}
KerT 6= φ ya que T (0) = 0.
KerT es un s.e.v. de U.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [38/62]
Núcleo
NúcleoT : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como elconjunto:
KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}
KerT 6= φ ya que T (0) = 0.
KerT es un s.e.v. de U.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [39/62]
Núcleo
NúcleoT : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como elconjunto:
KerT = {x ∈ U/T (x) = 0}
KerT 6= φ ya que T (0) = 0.
KerT es un s.e.v. de U.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [40/62]
Imagen
ImagenT : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como elconjunto:
ImT = T (U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f (u)}
ImT es un s.e.v de V .
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [41/62]
Imagen
ImagenT : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como elconjunto:
ImT = T (U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f (u)}
ImT es un s.e.v de V .
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [42/62]
Imagen
ImagenT : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como elconjunto:
ImT = T (U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f (u)}
ImT es un s.e.v de V .
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [43/62]
Rango y nulidad
Definicióndim(ImT ): rango de la transformación T y se nota r .
dim(KerT ): nulidad y se suele denotar por ν.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [44/62]
Rango y nulidad
Definicióndim(ImT ): rango de la transformación T y se nota r .
dim(KerT ): nulidad y se suele denotar por ν.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [45/62]
Ejemplo
Sea la transformación lineal:
T : R4 → R3
(x1, x2, x3, x4) → (x1 + x2, x2 − x3, x1 + x3)
o en términos matriciales:
T (x) =
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
Determinemos KerT e ImT .
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [46/62]
Ejemplo
Sea la transformación lineal:
T : R4 → R3
(x1, x2, x3, x4) → (x1 + x2, x2 − x3, x1 + x3)
o en términos matriciales:
T (x) =
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
Determinemos KerT e ImT .
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [47/62]
Ejemplo
Sea la transformación lineal:
T : R4 → R3
(x1, x2, x3, x4) → (x1 + x2, x2 − x3, x1 + x3)
o en términos matriciales:
T (x) =
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
Determinemos KerT e ImT .
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [48/62]
Ejemplo
x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
=
000
Escalonando:
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
→
1 1 0 00 1 −1 00 −1 1 0
→
1 1 0 00 1 −1 00 0 0 0
x1 = −x3
x2 = x3
x3 = x3
x4 = x4
⇔
x1
x2
x3
x4
= x3
−1110
+ x4
0001
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [49/62]
Ejemplo
x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
=
000
Escalonando:
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
→
1 1 0 00 1 −1 00 −1 1 0
→
1 1 0 00 1 −1 00 0 0 0
x1 = −x3
x2 = x3
x3 = x3
x4 = x4
⇔
x1
x2
x3
x4
= x3
−1110
+ x4
0001
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [50/62]
Ejemplo
x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
=
000
Escalonando:
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
→
1 1 0 00 1 −1 00 −1 1 0
→
1 1 0 00 1 −1 00 0 0 0
x1 = −x3
x2 = x3
x3 = x3
x4 = x4
⇔
x1
x2
x3
x4
= x3
−1110
+ x4
0001
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [51/62]
Ejemplo
x ∈ KerT ⇔ T (x) = 0 equivale a
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
=
000
Escalonando:
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
→
1 1 0 00 1 −1 00 −1 1 0
→
1 1 0 00 1 −1 00 0 0 0
x1 = −x3
x2 = x3
x3 = x3
x4 = x4
⇔
x1
x2
x3
x4
= x3
−1110
+ x4
0001
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [52/62]
Ejemplo
Luego:
KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .
Con dim(KerT ) = 2.
Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:
y1
y2
y3
=
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
= x1
101
+ x2
110
+ x3
0−11
Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.
Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [53/62]
Ejemplo
Luego:
KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .
Con dim(KerT ) = 2.
Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:
y1
y2
y3
=
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
= x1
101
+ x2
110
+ x3
0−11
Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.
Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [54/62]
Ejemplo
Luego:
KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .
Con dim(KerT ) = 2.
Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:
y1
y2
y3
=
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
= x1
101
+ x2
110
+ x3
0−11
Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.
Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [55/62]
Ejemplo
Luego:
KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .
Con dim(KerT ) = 2.
Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:
y1
y2
y3
=
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
= x1
101
+ x2
110
+ x3
0−11
Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.
Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [56/62]
Ejemplo
Luego:
KerT = < {(−1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} > .
Con dim(KerT ) = 2.
Sea (y1, y2, y3) ∈ ImT , es decir:
y1
y2
y3
=
1 1 0 00 1 −1 01 0 1 0
x1
x2
x3
x4
= x1
101
+ x2
110
+ x3
0−11
Luego ImT =< {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,−1, 1)} >=< {(1, 0, 1), (1, 1, 0)} >.
Y dim(ImT ) = 2.Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [57/62]
KerT e inyectividad
TeoremaSea T : U → V una transformación lineal entonces
T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.
CorolarioT : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V ,
o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT = 0.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [58/62]
KerT e inyectividad
TeoremaSea T : U → V una transformación lineal entonces
T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.
CorolarioT : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V ,
o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT = 0.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [59/62]
KerT e inyectividad
TeoremaSea T : U → V una transformación lineal entonces
T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.
CorolarioT : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V ,
o equivalentemente dim ImT = dim V y dim KerT = 0.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [60/62]
Inyectividad y conjuntos l.i.
TeoremaSi T : U → V es inyectiva, entonces{ui}
ki=1 es ℓ.i . en U ⇒ {T (ui)}
ki=1 es ℓ.i . en V .
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [61/62]
Inyectividad y conjuntos l.i.
TeoremaSi T : U → V es inyectiva, entonces{ui}
ki=1 es ℓ.i . en U ⇒ {T (ui)}
ki=1 es ℓ.i . en V .
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [62/62]
Ejemplo
Un ejemplo importante Rn+1 ∼= Pn(R).
En efecto, seaT : Rn+1 → Pn(R) tal que:
(a0, a1, ..., an) →
n∑
i=0
aix i ∈ Pn(R)
Es un isomorfismo.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [63/62]
Ejemplo
Un ejemplo importante Rn+1 ∼= Pn(R).
En efecto, seaT : Rn+1 → Pn(R) tal que:
(a0, a1, ..., an) →
n∑
i=0
aix i ∈ Pn(R)
Es un isomorfismo.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [64/62]
Ejemplo
Un ejemplo importante Rn+1 ∼= Pn(R).
En efecto, seaT : Rn+1 → Pn(R) tal que:
(a0, a1, ..., an) →
n∑
i=0
aix i ∈ Pn(R)
Es un isomorfismo.
Transformaciones lineales
Subespacios asociados a una T.L. Semana 8 [65/62]
Ejemplo
Un ejemplo importante Rn+1 ∼= Pn(R).
En efecto, seaT : Rn+1 → Pn(R) tal que:
(a0, a1, ..., an) →
n∑
i=0
aix i ∈ Pn(R)
Es un isomorfismo.
Transformaciones lineales