Capıtulo 7

Forma de Jordan

En este capıtulo continuaremos estudiando la estructura de los endomorfismos de un espaciovectorial de dimension finita.

Veremos que si V es un K-espacio vectorial de dimension finita y f es un endomorfismode V , bajo ciertas condiciones, existe una base de V en la cual la matriz de f es de una formaparticular que nos permite clasificar los endomorfismos y tambien trabajar mas facilmentecon ellos. Esto, en particular, resuelve el problema de decidir si dos matrices complejas sonsemejantes o no, o sea si son las matrices de la misma transformacion lineal en distintas bases.

Comenzaremos estudiando algunos casos particulares y luego extenderemos los resultadosobtenidos al caso general.

7.1 Transformaciones lineales nilpotentes

7.1.1 Definiciones y propiedades basicas

Empezamos con el caso en que la transformacion lineal tenga como polinomio caracterısticoa una potencia de X (notar que en este caso, usando el Teorema de Hamilton-Cayley, elpolinomio minimal de la transformacion lineal tambien es una potencia de X y su unicoautovalor es el 0). Esto significa que existe una potencia de f que da cero, lo que motiva lasiguiente definicion.

Definicion 7.1 Sea V un K-espacio vectorial. Una transformacion lineal f : V → V se dicenilpotente si existe k ∈ N tal que fk = f ◦ f ◦ . . . ◦ f︸ ︷︷ ︸

k veces

= 0.

Analogamente, se dice que una matriz A ∈ Kn×n es nilpotente si existe k ∈ N tal queAk = 0.

Observacion 7.2 Si V es un K-espacio vectorial de dimension finita y f : V → V unatransformacion lineal, entonces f es nilpotente si y solo si para cualquier base B de V , |f |B

164 Forma de Jordan

es una matriz nilpotente.

Definicion 7.3 Sea f : V → V una transformacion lineal nilpotente. Se define el ındice denilpotencia de f como min{j ∈ N / f j = 0}.

Analogamente, se define el ındice de nilpotencia de una matriz nilpotente A ∈ Kn×n comomin{j ∈ N / Aj = 0}.

Lema 7.4 Sea V un K-espacio vectorial de dimension finita y sea f : V → V una transfor-macion lineal. Entonces f es nilpotente de ındice k si y solo si mf = Xk.

Demostracion. Si f es nilpotente de ındice k, se tiene que fk = 0 y fk−1 6= 0. La primeracondicion implica que el polinomio Xk anula a f , y en consecuencia, mf | Xk. Luego,mf = Xj para algun j ≤ k. Ahora, como fk−1 6= 0, resulta que mf = Xk.

Recıprocamente, es claro que si mf = Xk, entonces fk = 0 y fk−1 6= 0, con lo cual f esnilpotente de ındice k. ¤

Notar que, con las mismas hipotesis del lema anterior, como el grado del polinomio minimalde f es siempre menor o igual que la dimension n de V , tendremos que f es nilpotente si ysolo si fn = 0 (comparar con el Ejercicio 14 de la Seccion 3.8).

Proposicion 7.5 Sea V un K-espacio vectorial de dimension n y sea f : V → V unatransformacion lineal nilpotente de ındice k. Entonces

{0} ⊂ Nu(f) ⊂ Nu(f2) ⊂ . . . ⊂ Nu(fk) = V

y todas las inclusiones son estrictas.

Demostracion. Siendo k el ındice de nilpotencia de f , se tiene que fk = 0, de donde Nu(fk) =V . Ademas, es claro que valen las inclusiones. Veamos que son estrictas.

En primer lugar, observamos que si Nu(f i) = Nu(f i+1) para algun i ∈ N0, entoncesNu(f i+1) = Nu(f i+2): Si v ∈ Nu(f i+2), se tiene que f i+2(v) = 0, de donde f i+1(f(v)) = 0.Luego, f(v) ∈ Nu(f i+1) y, como por hipotesis Nu(f i+1) = Nu(f i), entonces f(v) ∈ Nu(f i).Esto dice que f i+1(v) = f i(f(v)) = 0, es decir, v ∈ Nu(f i+1).

Luego, si Nu(f i0) = Nu(f i0+1) para algun i0 ∈ N0, se tiene que Nu(f i) = Nu(f i+1) paratodo i ≥ i0. Pero como el ındice de nilpotencia de f es k, Nu(fk−1) 6= V = Nu(fk), y enconsecuencia debe ser i0 ≥ k. ¤

Notacion. Para cada matriz A ∈ Kn×n, notaremos Nu(A) al nucleo de la transformacionlineal fA : Kn → Kn definida por fA(x) = A.x, es decir, al conjunto {x ∈ Kn : A.x = 0}.

Con esta notacion, como consecuencia de la Proposicion 7.5 se tiene que si A ∈ Kn×n esuna matriz nilpotente de ındice k, entonces

{0} ⊂ Nu(A) ⊂ Nu(A2) ⊂ . . . ⊂ Nu(Ak) = Kn

y todas las inclusiones son estrictas.

7.1 Transformaciones lineales nilpotentes 165

7.1.2 Existencia de forma de Jordan para una transformacion linealnilpotente

Comenzamos estudiando un caso particular de endomorfismos nilpotentes: los de ındice denilpotencia maximo (o sea, aquellos en los que el polinomio minimal coincide con el carac-terıstico):

Sea V un K-espacio vectorial de dimension n y sea f : V → V una transformacion linealnilpotente de ındice n (es decir, mf = X f = Xn).

Sea v ∈ V tal que fn−1(v) 6= 0, es decir v ∈ V − Nu(fn−1) (existe un elemento conesta propiedad porque por hipotesis fn−1 6= 0). Como mv divide a mf = Xn, resulta quemv = Xk con 1 ≤ k ≤ n. Como fn−1(v) 6= 0, resulta que mv = Xn y, por lo tanto, elconjunto

B = {v, f(v), f2(v), . . . , fn−1(v)}es una base de V . Ademas,

|f |B =

0 0 . . . 0 01 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 0

.

Este tipo de matrices aparecera en nuestra clasificacion y les daremos un nombre:

Definicion 7.6 Sea J ∈ Kn×n. Se dice que J es un bloque de Jordan nilpotente si

J =

0 0 . . . 0 01 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 0

.

A continuacion probaremos que para cualquier transformacion lineal nilpotente f : V → V ,donde V es un K-espacio vectorial de dimension n, es posible encontrar una base donde lamatriz este formada unicamente por bloques de Jordan nilpotentes ubicados sobre la diagonaly ceros en los demas lugares.

Teorema 7.7 Sea V un K-espacio vectorial de dimension n, y sea f : V → V una transfor-macion lineal nilpotente de ındice k. Entonces existe una base B de V tal que

|f |B =

J1 0 . . . 0

0 J2

......

. . . 00 . . . 0 Jr

donde, para cada 1 ≤ i ≤ r, Ji ∈ Kni×ni es un bloque de Jordan nilpotente y k = n1 ≥ n2 ≥. . . ≥ nr.

166 Forma de Jordan

Para la demostracion de este teorema, usaremos el siguiente resultado tecnico:

Lema 7.8 Sea V un K-espacio vectorial de dimension finita. Sea f : V → V una transfor-macion lineal y sea i ∈ N. Sea {v1, . . . , vr} ⊆ V un conjunto linealmente independiente talque Nu(f i)∩< v1, . . . , vr > = {0}. Entonces {f(v1), . . . , f(vr)} es linealmente independientey Nu(f i−1) ∩< f(v1), . . . , f(vr) > = {0}.

Demostracion. Supongamos que v = α1f(v1) + · · ·+ αrf(vr) ∈ Nu(f i−1). Entonces

0 = f i−1(v) = f i(α1v1 + · · ·+ αrvr),

de donde α1v1 + · · · + αrvr ∈ Nu(f i). Como Nu(f i) ∩ < v1, . . . , vr > = {0}, resulta queα1v1 + · · ·+ αrvr = 0, y como v1, . . . , vr son linealmente independientes, α1 = . . . = αr = 0.

Luego, v = 0.De la misma demostracion se deduce que si α1f(v1) + · · · + αrf(vr) = 0, entonces α1 =

. . . = αr = 0, con lo cual {f(v1), . . . , f(vr)} es linealmente independiente. ¤

Demostracion del Teorema 7.7. Como f es nilpotente de ındice k se tiene que

{0} Nu(f) Nu(f2) . . . Nu(fk−1) Nu(fk) = V.

Lo que haremos a continuacion es construir conjuntos de vectores en Nu(f j) recursivamente,comenzando en j = k hasta j = 1, utilizando el lema anterior y de forma tal que la union deesos conjuntos sea una base de V .

Sea Bk−1 una base de Nu(fk−1), y sea

Ck = {v(k)1 , . . . , v(k)

rk} ⊂ Nu(fk) = V

un conjunto linealmente independiente tal que Bk−1 ∪ Ck es una base de Nu(fk) = V . Porconstruccion, Ck es un conjunto linealmente independiente y

Nu(fk−1)⊕< Ck > = Nu(fk) = V.

Para fijar ideas, hagamos el paso siguiente de la recursion:Por el lema anterior f(Ck) ⊂ Nu(fk−1) es un conjunto linealmente independiente tal

que Nu(fk−2) ∩ f(Ck) = {0}. Sea Bk−2 una base de Nu(fk−2). Completamos el conjuntolinealmente independiente Bk−2 ∪ f(Ck) a una base de Nu(fk−1) con {v(k−1)

1 , . . . , v(k−1)rk−1 }.

Luego, si llamamos

Ck−1 = f(Ck) ∪ {v(k−1)1 , . . . , v(k−1)

rk−1} ⊂ Nu(fk−1),

tenemos que Ck−1 es un conjunto linealmente independiente y vale

Nu(fk−2)⊕< Ck−1 > = Nu(fk−1).

7.1 Transformaciones lineales nilpotentes 167

Notar que, por lo tanto,

Nu(fk−2)⊕< Ck−1 >⊕< Ck > = V.

Pasemos ahora al paso j-esimo de la recursion:Sea j con 1 ≤ j < k. Supongamos construidos los conjuntos linealmente independientes

Cj+1 ⊂ Nu(f j+1), . . . , Ck ⊂ Nu(fk) tales que f(Ch) ⊂ Ch−1 ∀ j + 2 ≤ h ≤ k, Nu(f j) ⊕< Cj+1 > = Nu(f j+1) y

Nu(f j)⊕< Cj+1 >⊕ . . .⊕< Ck > = V.

Por el lema anterior, f(Cj+1) ⊂ Nu(f j) es un conjunto linealmente independiente yNu(f j−1) ∩ < f(Cj+1) > = {0}. Consideremos una base Bj−1 de Nu(f j−1). EntoncesBj−1 ∪ f(Cj+1) ⊂ Nu(f j) es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, exis-ten v

(j)1 , . . . , v

(j)rj ∈ Nu(f j) tales que Bj−1 ∪ f(Cj+1) ∪ {v(j)

1 , . . . , v(j)rj } es una base de Nu(f j).

SeaCj = f(Cj+1) ∪ {v(j)

1 , . . . , v(j)rj} ⊂ Nu(f j).

Es claro que Cj ⊂ Nu(f j) es un conjunto linealmente independiente (puesto que, por cons-truccion, es un subconjunto de una base de Nu(f j)) y que

Nu(f j−1)⊕< Cj > = Nu(f j).

Por lo tanto,Nu(f j−1)⊕< Cj >⊕ . . .⊕< Ck > = V.

Al terminar la recursion tendremos que

< C1 >⊕ . . .⊕< Ck > = V,

y como cada conjunto Cj para cada 1 ≤ j ≤ k es linealmente independiente, resulta quek⋃

j=1

Cj es una base de V .

Consideremos la base B de V obtenida reordenando esta base como sigue:

B = {v(k)1 , f(v(k)

1 ), . . . , fk−1(v(k)1 ), . . . , v(k)

rk, f(v(k)

rk), . . . , fk−1(v(k)

rk), . . . ,

v(j)1 , f(v(j)

1 ), . . . , f j−1(v(j)1 ), . . . , v(j)

rj, f(v(j)

rj), . . . , f j−1(v(j)

rj), . . . , v(1)

1 , . . . , v(1)r1}.

Se puede verificar que |f |B tiene la forma del enunciado del Teorema. ¤

Definicion 7.9 Una matriz A ∈ Kn×n se dice una forma de Jordan nilpotente si

A =

J1 0 . . . 0

0 J2

......

. . . 00 . . . 0 Jr

con Ji ∈ Kni×ni bloques de Jordan nilpotentes (1 ≤ i ≤ r) y n1 ≥ n2 ≥ . . . ≥ nr.

168 Forma de Jordan

El Teorema 7.7 nos dice entonces que para todo endomorfismo nilpotente f : V → V ,donde V es un K-espacio vectorial de dimension finita, existe una base B de V tal que |f |Bes una forma de Jordan nilpotente. A una tal base B la llamaremos una base de Jordan paraf y a la matriz |f |B , una forma de Jordan para f .

Aplicando este teorema a la transformacion lineal fA : Kn → Kn asociada a una matrizA ∈ Kn×n, obtenemos el analogo para matrices:

Teorema 7.10 Sea A ∈ Kn×n una matriz nilpotente. Entonces A es semejante a una formade Jordan nilpotente.

A una base B de Kn tal que |fA|B = JA es una forma de Jordan nilpotente la llamaremosuna base de Jordan para A, y a la matriz JA una forma de Jordan para A.

Ejemplo. Hallar una forma de Jordan y una base de Jordan para A ∈ R6×6, siendo

A =

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0−1 −1 0 0 0 00 1 0 0 1 0−1 0 0 0 0 01 0 0 0 −1 0

.

Como XA = X6, A es una matriz nilpotente.Calculemos mA, que sera de la forma mA = Xk para algun k con 1 ≤ k ≤ 6. Como

A2 =

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0−1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0

y A3 = 0,

resulta que mA = X3.Sea E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} la base canonica de R6. Entonces,

B1 = {e3, e4, e6}, B2 = {e3, e4, e6, e2, e5} y B3 = {e3, e4, e6, e2, e5, e1}son bases de Nu(A), Nu(A2) y Nu(A3) respectivamente.

Construimos una base de Jordan para A siguiendo la demostracion del Teorema 7.7 (dondela transformacion lineal nilpotente que consideramos es fA : R6 → R6): Tenemos que

{0} Nu(A) Nu(A2) Nu(A3) = R6.

Extendemos la base B2 de Nu(A2) a una base de Nu(A3) = R6, por ejemplo, agregando elvector e1 que completa B3. Consideramos A.e1 = (0, 1,−1, 0,−1, 1) ∈ Nu(A2). Se tiene:

{0} Nu(A) Nu(A2) Nu(A3) = R6

A.e1 e1

7.1 Transformaciones lineales nilpotentes 169

Ahora consideramos la base B1 de Nu(A), tomamos el conjunto B1 ∪ {A.e1} ⊂ Nu(A2), yextendemos este conjunto a una base de Nu(A2). Para esto podemos elegir, por ejemplo,el vector e5 ∈ Nu(A2). Multiplicando por A los vectores A.e1 y e5 se obtiene el conjuntolinealmente independiente {A2e1, A.e5} = {(0, 0,−1, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0,−1)} ⊂ Nu(A2):

{0} Nu(A) Nu(A2) Nu(A3) = R6

A2.e1 A.e1 e1

A.e5 e5

Finalmente, extendemos el conjunto {A2.e1, A.e5} a una base de Nu(A), por ejemplo, con elvector e3. Obtenemos:

{0} Nu(A) Nu(A2) Nu(A3) = R6

A2.e1 A.e1 e1

A.e5 e5

e3

Entonces, una base de Jordan para A es

B = {e1, A.e1, A2.e1, e5, A.e5, e3}= {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1,−1, 0,−1, 1), (0, 0,−1, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 0, 1, 0),

(0, 0, 0, 1, 0,−1), (0, 0, 1, 0, 0, 0)}.y una forma de Jordan de A es JA = |fA|B , es decir:

JA =

0 0 01 0 00 1 0

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 0

0 01 0

00

0 0 0 0 0 0

.

7.1.3 Unicidad de la forma de Jordan nilpotente. Semejanza

A continuacion probaremos que la forma de Jordan de una transformacion lineal nilpotentees unica. Este resultado, junto con la existencia de forma de Jordan para matrices nilpotentesprobada en la seccion anterior, nos permitira resolver el problema de decidir si dos matricesnilpotentes son semejantes o no.

La demostracion de la unicidad consiste en mostrar que la cantidad de bloques de Jordande cada tamano que aparecen en una forma de Jordan de una transformacion lineal f estaunıvocamente determinada por f .

Comenzamos probando un resultado auxiliar.

Lema 7.11 Sea J ∈ Km×m un bloque de Jordan nilpotente. Entonces rg(J i) = m− i paracada 1 ≤ i ≤ m.

170 Forma de Jordan

Demostracion. Se puede verificar inductivamente que J i = (eti+1 | . . . | et

m | 0 | . . . | 0 ), dondeej denota el j-esimo vector de la base canonica de Kn (es decir que al elevar un bloque deJordan nilpotente a la i, los unos bajan i− 1 lugares).

En consecuencia, rg(J i) = dim < ei+1, . . . , em > = m− i. ¤

Este resultado nos permite calcular la cantidad de bloques de cada tamano que aparecenen una forma de Jordan usando los rangos de las potencias de la matriz.

Proposicion 7.12 Sea A ∈ Kn×n una forma de Jordan nilpotente de ındice k. Entoncesel bloque de Jordan mas grande que aparece en A es de tamano k × k. Ademas, para cada0 ≤ i ≤ k−1 la cantidad de bloques de Jordan nilpotentes de tamano mayor que i que aparecenen A es

bi = rg(Ai)− rg(Ai+1).

En particular, la cantidad de bloques de Jordan que aparecen en A es b0 = n − rg(A) =dim(Nu(A)).

Demostracion. Como el ındice de nilpotencia de A es k, se tiene que mA = Xk.Sean J1, . . . , Jr los bloques de Jordan que aparecen en A con J` ∈ Kn`×n` para cada

1 ≤ ` ≤ r (ver Definicion 7.9). Entonces

mA = mcm{mJ1 , . . . , mJr} = mcm{Xn1 , . . . , Xnr} = Xn1 .

Luego, n1 = k, es decir, el bloque de Jordan mas grande que aparece en A es de k × k.Para cada 1 ≤ i ≤ k, sean ci la cantidad de bloques de Jordan nilpotentes de tamano i× i

que aparecen en A y bi la cantidad de bloques de tamano mayor que i.Si A esta formada por r bloques de Jordan nilpotentes, resulta que rg(A) = n− r ya que

este rango es la suma de los rangos de los distintos bloques de Jordan. En consecuencia, lacantidad de total de bloques de Jordan que forman A es b0 = n− rg(A).

Sea 1 ≤ i ≤ k − 1. Observamos, por el lema anterior, que para un bloque de JordanJ ∈ Kj×j se tiene que J i = 0 si j ≤ i o rg(J i) = j − i si j > i. Ademas, rg(Ai) es la suma delos rangos de los bloques que aparecen en la diagonal. En consecuencia

rg(Ai)− rg(Ai+1) =k∑

j=i+1

cj . (j − i)−k∑

j=i+2

cj . (j − (i + 1)) =k∑

j=i+1

cj = bi. ¤

Tenemos entonces el siguiente resultado:

Corolario 7.13 Sea A ∈ Kn×n una forma de Jordan nilpotente de ındice k. Entonces, paracada 1 ≤ i ≤ k, la cantidad de bloques de Jordan nilpotentes de tamano i× i que aparecen enA es

ci = rg(Ai+1)− 2 rg(Ai) + rg(Ai−1).

7.1 Transformaciones lineales nilpotentes 171

Demostracion. Observamos que ck = bk−1 = rg(Ak−1) − rg(Ak) = rg(Ak+1) − 2 rg(Ak) +rg(Ak−1), puesto que Ak = 0.

Sea 1 ≤ i ≤ k − 1. Entonces

ci = bi−1 − bi

= (rg(Ai−1)− rg(Ai))− (rg(Ai)− rg(Ai+1))= rg(Ai+1)− 2 rg(Ai) + rg(Ai−1). ¤

Ejemplo. Decidir si existe una matriz A ∈ R15×15 tal que rg(A) = 10, rg(A4) = 3 yrg(A5) = 0.

Si rg(A5) = 0 y rg(A4) = 3, entonces A5 = 0 y A4 6= 0, de donde A es nilpotente de ındice5. Entonces A es semejante a una forma de Jordan nilpotente JA cuyo bloque de tamano masgrande es de 5× 5.

Ahora, por la Proposicion 7.12, JA tiene rg(A4) − rg(A5) = 3 bloques de 5 × 5 y, comoJA ∈ R15×15 estos son los unicos bloques que aparecen.

Pero la cantidad de bloques de Jordan en JA debe ser 15− rg(A) = 15− 10 = 5, contradi-ciendo lo anterior.

Luego, no existe una matriz A ∈ R15×15 que satisfaga las condiciones del enunciado.

El Corolario 7.13 nos permite probar el siguiente resultado:

Lema 7.14 Sean J y J ′ formas de Jordan nilpotentes. Si J ∼ J ′, entonces J = J ′.

Demostracion. Segun lo que hemos visto, las cantidades de bloques de cada tamano queaparecen en una forma de Jordan nilpotente solo dependen de los rangos de sus potencias.Por otro lado, si J ∼ J ′, entonces para cada 1 ≤ i ≤ k, se tiene que rg(J i) = rg((J ′)i). Enconsecuencia, la cantidad de bloques de Jordan de cada tamano es la misma en J que en J ′.Luego, J = J ′. ¤

A partir de este lema, se deduce la unicidad de la forma de Jordan en el caso nilpotente:

Teorema 7.15 Sea V un K-espacio vectorial de dimension n. Sea f : V → V una transfor-macion lineal nilpotente. Entonces existe una unica forma de Jordan nilpotente J ∈ Kn×n

tal que |f |B = J para alguna base B de V .

Demostracion. Si B y B′ son bases de V tales que |f |B = J y |f |B′ = J ′ con J y J ′ formasde Jordan nilpotentes, entonces J ∼ J ′ y, por el lema anterior, J = J ′. ¤

Por lo tanto, se obtiene este resultado sobre semejanza de matrices nilpotentes:

172 Forma de Jordan

Teorema 7.16 Sean A,B ∈ Kn×n matrices nilpotentes. Sean J y J ′ formas de Jordannilpotentes tales que A ∼ J y B ∼ J ′. Entonces

A ∼ B ⇐⇒ J = J ′.

Demostracion.

(⇒) Si A ∼ B, como por hipotesis A ∼ J y B ∼ J ′, teniendo en cuenta que ∼ es una relacionde equivalencia, resulta que J ∼ J ′. Luego, por el Lema 7.14, J = J ′.

(⇐) Si J = J ′, siendo A ∼ J , B ∼ J ′ y por ser ∼ una relacion de equivalencia, se deduceque A ∼ B. ¤

Ejemplos.

1. Sean A, B ∈ R4×4 dos matrices tales que mA = mB = X3. Probar que A ∼ B.

Por el teorema anterior, el problema es equivalente a probar que A y B tienen la mismaforma de Jordan. Luego, basta ver que existe una unica forma de Jordan nilpotenteJ ∈ R4×4 tal que mJ = X3.

Si mJ = X3, entonces J tiene (al menos) un bloque de Jordan nilpotente de 3 × 3.Como J ∈ R4×4, la unica posibilidad es entonces que J este formada por un bloque de3× 3 y otro de 1× 1, es decir

J =

0 0 01 0 00 1 0

000

0 0 0 0

.

2. Sean A, B ∈ R7×7 las matrices

A =

0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0

y B =

0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0

Observamos que XA = X7 = XB , mA = X3 = mB y rg(A) = rg(B), pero A 6∼ B puestoque son dos formas de Jordan nilpotentes distintas.

7.2 Caso general

En esta seccion generalizaremos lo anterior para endomorfismos en un K-espacio vectorial dedimension finita cuyos polinomios minimales se factorizan linealmente (es decir, con todas susraıces en K).

7.2 Caso general 173

7.2.1 Forma de Jordan de una transformacion lineal

Primero veremos un caso particular, en el que el polinomio minimal del endomorfismo sefactoriza linealmente pero tiene una unica raız.

Sea V un K-espacio vectorial de dimension n y sea f : V → V una transformacion linealtal que mf = (X − λ)k para algun k ≤ n. Se tiene entonces que (f − λ. idV )k = 0 y(f − λ. idV )k−1 6= 0, con lo cual f − λ. idV es nilpotente de ındice k.

Por el Teorema 7.7, existe una base B de V tal que |f − λ. idV |B ∈ Kn×n es una formade Jordan nilpotente, es decir,

|f − λ. idV |B =

J1 0 . . . 0

0 J2

......

. . . 00 . . . 0 Jr

donde, para cada 1 ≤ i ≤ r, Ji ∈ Kni×ni es un bloque de Jordan nilpotente y k = n1 ≥ n2 ≥. . . ≥ nr.

Observamos que |f |B = |f − λ. idV |B + |λ. idV |B = |f − λ. idV |B + λ. In, de donde

|f |B =

J(λ, n1) 0 . . . 0

0 J(λ, n2)...

.... . . 0

0 . . . 0 J(λ, nr)

donde, para cada 1 ≤ i ≤ r,

J(λ, ni) =

λ 0 . . . 0 01 λ . . . 0 00 1 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 λ

∈ Kni×ni

y k = n1 ≥ n2 ≥ . . . ≥ nr.

Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 7.17 Sea λ ∈ K. Se llama bloque de Jordan asociado al autovalor λ de tamanon a la matriz J(λ, n) ∈ Kn×n

J(λ, n) =

λ 0 . . . 0 01 λ . . . 0 00 1 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 λ

.

174 Forma de Jordan

La idea de la forma de Jordan general es, como en el caso nilpotente, encontrar una basedonde la matriz del endomorfismo considerado tenga una forma particular (bloques de Jordanen la diagonal).

La demostracion de la existencia de forma de Jordan se basa en el siguiente lema, quepermite descomponer el espacio en suma directa de subespacios invariantes, en cada uno delos cuales la transformacion lineal tiene un solo autovalor.

Lema 7.18 Sea V un K espacio vectorial de dimension finita. Sea f : V → V una transfor-macion lineal tal que mf = P.Q con (P, Q) = 1. Entonces:

• Nu(P (f)) y Nu(Q(f)) son subespacios invariantes por f ;

• V = Nu(P (f))⊕Nu(Q(f));

• mf|Nu(P (f))= P y mf|Nu(Q(f))

= Q.

Demostracion.

• Nu(P (f)) y Nu(Q(f)) son invariantes por f :

Sea P =r∑

i=0

aiXi y sea x ∈ Nu(P (f)). Entonces P (f)(x) = 0. Aplicando f se obtiene

f(P (f)(x)) = 0. Luego

0 = f( r∑

i=0

aifi(x)

)=

r∑

i=0

aifi+1(x) =

( r∑

i=0

aifi)(f(x)),

de donde f(x) ∈ Nu(P (f)). Por lo tanto, Nu(P (f)) es invariante por f .

De la misma manera, Nu(Q(f)) es invariante por f .

• V = Nu(P (f))⊕Nu(Q(f)):

Puesto que (P, Q) = 1, existen R,S ∈ K[X] tales que 1 = R.P + S.Q, de donde

idV = R(f) ◦ P (f) + S(f) ◦Q(f).

Sea x ∈ Nu(P (f)) ∩Nu(Q(f)). Entonces

x = idV (x) = R(f)(P (f)(x)

)+ S(f)

(Q(f)(x)

)= R(f)(0) + S(f)(0) = 0.

Luego, Nu(P (f)) ∩Nu(Q(f)) = {0}.Por otro lado, para cada x ∈ V se tiene que

x = (R(f) ◦ P (f))(x) + (S(f) ◦Q(f))(x).

Ahora, teniendo en cuenta que Q(f) ◦ R(f) = (Q. R)(f) = (R.Q)(f) = R(f) ◦ Q(f),resulta que

Q(f)((R(f) ◦ P (f))(x)) = (Q(f) ◦R(f) ◦ P (f))(x) = R(f)((Q(f) ◦ P (f))(x)

)=

= R(f)(mf (f)(x)) = R(f)(0) = 0,

7.2 Caso general 175

de donde (R(f) ◦ P (f))(x) ∈ Nu(Q(f)). Analogamente, (S(f) ◦Q(f))(x) ∈ Nu(P (f)).

En consecuencia, Nu(P (f)) + Nu(Q(f)) = V .

• mf|Nu(P (f))= P y mf|Nu(Q(f))

= Q:

Sean f1 y f2 las restricciones de f a Nu(P (f)) y Nu(Q(f)) respectivamente. ComoV = Nu(P (f))⊕Nu(Q(f)), se tiene que mf = mcm(mf1 ,mf2).

Si P =r∑

i=0

aiXi, para cada x ∈ Nu(P (f)), se tiene que

P (f1)(x) =( r∑

i=0

aifi1

)(x) =

r∑

i=0

aifi1(x) =

r∑

i=0

aifi(x) = P (f)(x) = 0,

con lo cual mf1 | P . Analogamente, mf2 | Q.

Como P y Q son coprimos, resulta que mf1 y mf2 tambien lo son y, por lo tanto,

P.Q = mf = mcm(mf1 ,mf2) = mf1 . mf2

de donde mf1 = P y mf2 = Q. ¤

Definicion 7.19 Diremos que J ∈ Kn×n es una matriz de Jordan o una forma de Jordan si

J =

J1 0 . . . 0

0 J2

......

. . . 00 . . . 0 Js

donde, para cada 1 ≤ i ≤ s, Ji es de la forma

Ji =

J(λi, n(i)1 ) 0 . . . 0

0 J(λi, n(i)2 )

......

. . . 00 . . . 0 J(λi, n

(i)ri )

con n(i)1 ≥ . . . ≥ n(i)

ri

y λi 6= λj para i 6= j, o sea, cada Ji esta formada por (varios) bloques de Jordan de autovalorλi ubicados sobre la diagonal.

Demostremos ahora el resultado principal de esta seccion:

Teorema 7.20 Sea V un K-espacio vectorial de dimension finita. Sea f : V → V unatransformacion lineal tal que mf se factoriza linealmente sobre K. Entonces existe una baseB de V tal que |f |B es una forma de Jordan.

176 Forma de Jordan

Con la notacion anterior, a una base B con la propiedad del teorema la llamaremos unabase de Jordan para f y a la matriz |f |B una forma de Jordan para f .

Demostracion. Probaremos el teorema por induccion en n = dim V .Para n = 1, no hay nada que hacer.Supongamos que el teorema vale para toda transformacion lineal definida en un K-espacio

vectorial de dimension m < n y sea f : V → V una transformacion lineal definida en un K-espacio vectorial V de dimension n.

Si mf = (X − λ)k, estamos en el caso analizado al comienzo de esta seccion, para el queel teorema vale.

Supongamos entonces que f tiene al menos dos autovalores distintos. Si λ1 es uno de losautovalores de f , entonces mf = (X − λ1)k1 . Q con gr(Q) ≥ 1 y ((X − λ1)k1 , Q) = 1. Por elLema 7.18, Nu

((f − λ1. idV )k1

)y Nu(Q(f)) son subespacios f -invariantes de V y

V = Nu((f − λ1. idV )k1)⊕Nu(Q(f)).

Ademas, como λ1 es autovalor de f pero no el unico, {0} ⊂ Nu((f − λ1.idV )k1

) ⊂ V y lasinclusiones son estrictas. En particular, 0 < dim(Nu((f−λ1. idV )k1)) < dim V = n. Entoncestambien vale 0 < dim Nu(Q(f)) < dim V = n.

Consideremos las restricciones de f a Nu((f − λ1. idV )k1

)y Nu(Q(f)):

f1 : Nu((f − λ1. idV )k1) → Nu((f − λ1. idV )k1) y f2 : Nu(Q(f)) → Nu(Q(f)).

Por hipotesis inductiva, existen una base B1 de Nu((f − λ1.I)k1

)y una base B2 de

Nu(Q(f)), tales que |f1|B1 y |f2|B2 son formas de Jordan. Entonces, tomando B = B1 ∪ B2

obtenemos una base de V tal que

|f |B =( |f1|B1 0

0 |f2|B2

).

Observamos que, de acuerdo al Lema 7.18, mf1 = (X − λ1)k1 y mf2 = Q. Entonces |f1|B1

esta formada por bloques de Jordan de autovalor λ1 y, como λ1 no es raız de Q, |f2|B2 estaformada por bloques de Jordan de autovalor λ con λ 6= λ1. En consecuencia, |f |B es unaforma de Jordan. ¤

Observemos que, con las notaciones del teorema anterior, si mf =r∏

i=1

(X − λi)ki con

λi 6= λj si i 6= j, la demostracion nos permite dar una forma constructiva de obtener unaforma de Jordan de f . Como

V = Nu((f − λ1. idV )k1)⊕ · · · ⊕Nu((f − λr. idV )kr ),

podemos obtener una forma de Jordan para cada una de las restricciones de f a estos subes-pacios invariantes Nu((f − λi. idV )ki) y las bases de Jordan Bi correspondientes. EntoncesB = B1 ∪ · · · ∪Br resulta ser una base de V y |f |B resulta una forma de Jordan de f .

El resultado del teorema se puede enunciar tambien para matrices complejas.

7.2 Caso general 177

Teorema 7.21 Sea A ∈ Cn×n. Entonces A es semejante a una forma de Jordan.

A una base B de Kn tal que |fA|B es una forma de Jordan, la llamaremos una base deJordan para A, y a la matriz |fA|B una forma de Jordan para A.

Demostracion. Consideremos la transformacion lineal fA : Cn → Cn definida por fA(x) =A.x. Observamos que mfA

= mA ∈ C[X] se factoriza linealmente en C[X]. Por el teoremaanterior, existe entonces una base de Cn tal que la matriz JA = |fA|B es una forma de Jordan,semejante a A. ¤

Ejemplo. Hallar una forma de Jordan semejante a A y una base de Jordan para A, siendo

A =

1 0 0 22 −1 0 22 0 −1 20 0 0 1

∈ C4×4.

Se tiene que XA = (X − 1)2(X + 1)2, luego los autovalores de A son 1 y −1.Calculemos mA = mcm{me1 ,me2 , me3 ,me4}, donde {e1, e2, e3, e4} es la base canonica de

C4:Puesto que A.e1 = e1 + 2e2 + 2e3 (luego {e1, A.e1} es l.i.) y A2e1 = e1, se tiene que

me1 = X2 − 1.Por otro lado, A.e2 = −e2, con lo cual me2 = X + 1. De la misma manera, me3 = X + 1.Finalmente, para e4 tenemos que A.e4 = 2e1 +2e2 +2e3 + e4 (y entonces {e4, A.e4} es l.i.)

y A2e4 = 4e1 + 4e2 + 4e3 + e4 = 2. A.e4 − e4. Luego me4 = X2 − 2X + 1.En consecuencia, mA = mcm{X2 − 1, X + 1, X2 − 2X + 1} = (X − 1)2(X + 1).Sabemos entonces que

C4 = Nu((A− I)2)⊕Nu(A + I),

y si f1 : Nu((A− I)2) → Nu((A− I)2) y f2 : Nu(A + I) → Nu(A + I) son las restricciones defA a Nu((A− I)2) y Nu(A + I) respectivamente, una forma de Jordan para A es

JA =(

J1 00 J2

)

donde J1 y J2 son formas de Jordan de f1 y f2 respectivamente. Mas aun, si B1 y B2 sonbases de Jordan para f1 y f2, entonces B = B1 ∪B2 es una base de Jordan para A.

• Base y forma de Jordan de f1 : Nu((A− I)2) → Nu((A− I)2).

Se tiene que mf1 = (X − 1)2, luego f1 − idNu((A−I)2) es nilpotente de ındice 2. Ademas

A− I =

0 0 0 22 −2 0 22 0 −2 20 0 0 0

y (A− I)2 =

0 0 0 0−4 4 0 0−4 0 4 00 0 0 0

,

178 Forma de Jordan

de donde Nu(A − I) = < (1, 1, 1, 0) > y Nu((A − I)2) = < (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1) >.Consideramos el vector e4 = (0, 0, 0, 1) que extiende una base de Nu(A − I) a una deNu((A− I)2). Obtenemos

{0} Nu(A− I) Nu((A− I)2)(A− I).e4 e4

Luego, una base de Jordan para f1 es B1 = {e4, (A− I).e4} = {(0, 0, 0, 1), (2, 2, 2, 0)} ysu forma de Jordan es

|f1|B1 =(

1 01 1

).

• Base y forma de Jordan de f2 : Nu(A + I) → Nu(A + I).

Sabemos que mf2 = X − 1, luego f2 es diagonalizable. Se tiene que

A + I =

2 0 0 22 0 0 22 0 0 20 0 0 2

.

Luego, una base de Nu(A + I) (que sera tambien una base de Jordan para f2) esB2 = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} y la forma de Jordan de f2 es

|f2|B2 =(−1 0

0 −1

).

En consecuencia, una base de Jordan para A es

B = B1 ∪B2 = {(0, 0, 0, 1), (2, 2, 2, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}y una forma de Jordan semejante a A es

JA =

1 01 1

0 00 0

0 00 0

−1 00 −1

.

7.2.2 Unicidad de la forma de Jordan

Veremos ahora que la forma de Jordan asociada a una transformacion lineal f : V → V ,donde V es un K-espacio vectorial de dimension finita, es unica salvo por el orden en queaparecen los bloques de Jordan correspondientes a autovalores distintos.

Teorema 7.22 Sea V un K espacio vectorial de dimension n, y sea f : V → V una transfor-macion lineal tal que mf se factoriza linealmente sobre K. Entonces existe una unica formade Jordan J ∈ Kn×n (salvo por el orden de sus bloques) tal que para alguna base B de V ,|f |B = J .

7.2 Caso general 179

Demostracion. Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V tal que |f |B es una forma de JordanJ ∈ Kn×n,

J =

J1(λ1) 0 . . . 0

0 J2(λ2)...

.... . . 0

0 . . . 0 Js(λs)

,

donde para cada 1 ≤ i ≤ s, Ji(λi) ∈ Kdi×di denota la matriz formada por todos los bloquesde Jordan de autovalor λi que aparecen en J y λi 6= λj si i 6= j.

Se tiene que Xf = XJ =s∏

i=1

(X − λi)di . Entonces λ1, . . . , λs son los autovalores de f y,

para cada 1 ≤ i ≤ s, di = mult(λi,Xf ).

Ahora, para cada 1 ≤ i ≤ s, se tiene que mJi(λi) = (X − λi)ki para algun 1 ≤ ki ≤ di.

Entonces mf = mJ =s∏

i=1

(X − λi)ki , con lo que, para cada 1 ≤ i ≤ s, ki = mult(λi,mf ).

Sea λ uno de los autovalores de f y sea k = mult(λ,mf ). Sin perdida de generalidad,supongamos que λ = λ1. Observamos que

J − λ. In =

J1(0) 0 . . . 0

0 J2(λ2 − λ)...

.... . . 0

0 . . . 0 Js(λs − λ)

,

de donde

(J − λ. In)k =

0 0 . . . 0

0 (J2(λ2 − λ))k...

.... . . 0

0 . . . 0 (Js(λs − λ))k

Puesto que (Ji(λi − λ))k es inversible para cada 2 ≤ i ≤ s, entonces Nu((J − λIn)k

)=

< e1, . . . , ed1 >. Teniendo en cuenta que J = |f |B , resulta que J − λ.In = |f − λ.idV |B , conlo que

Nu((f − λ. idV )k) = < v1, . . . , vd1 >.

Consideremos la restriccion

f1 = (f − λ. idV )|Nu((f−λ. idV )k): Nu((f − λ. idV )k) → Nu((f − λ. idV )k).

La restriccion f1 resulta una transformacion lineal nilpotente y, por lo tanto, tiene una unicaforma de Jordan nilpotente J1 asociada.

Sea B1 = {v1, . . . , vd1}, que como vimos, es una base de Nu((f − λ. idV )k

). Observamos

que|f1|B1 =

∣∣∣f|Nu(f−λ. idV )k

∣∣∣B1

− λ.Id1 = J1(0).

180 Forma de Jordan

Como J1(0) es una forma de Jordan nilpotente, debe ser la forma de Jordan J1 de f1.En consecuencia, J1(λ1) = J1 + λ1.Id1 esta unıvocamente determinada por f . (Notar que

el subespacio invariante Nu((f − λ. idV )k) y la restriccion f1 = (f − λ. idV )|Nu((f−λ. idV )k)solo

dependen de f y no de una base.)

Haciendo lo mismo para cada λi con 1 ≤ i ≤ s, resulta que, Ji(λi) ∈ Kdi×di satisface:

Ji(λi) = Ji + λi. Idi,

donde di = mult(λi,Xf ) y, si ki = mult(λi,mf ), Ji es la forma de Jordan nilpotente de larestriccion

(f − λi. idV )|Nu((f−λi. idV )ki )

: Nu((f − λi. idV )ki) → Nu((f − λi. idV )ki).

Por lo tanto, la forma de Jordan de f esta unıvocamente determinada por f (salvo elorden de los bloques correspondientes a los distintos autovalores de f). ¤

El hecho que todo polinomio se factorice linealmente en C[X] nos permite demostrar elsiguiente resultado sobre semejanza de matrices en Cn×n.

Teorema 7.23 Sean A,B ∈ Cn×n, y sean JA y JB las formas de Jordan de A y B respecti-vamente. Entonces

A ∼ B ⇐⇒ JA = JB (salvo el orden de los bloques).

Demostracion.

(⇒) Sabemos que A ∼ JA y B ∼ JB . Si A ∼ B, como ∼ es una relacion de equivalencia,resulta que JA ∼ JB . Entonces existe una transformacion lineal f : Kn → Kn y basesB1 y B2 de Kn tales que |f |B1 = JA y |f |B2 = JB .

Por el teorema anterior, la forma de Jordan de una transformacion lineal es unica salvoel orden de los bloques correspondientes a los distintos autovalores. Luego JA = JB

salvo el orden de los bloques.

(⇐) Se deduce inmediatamente de que ∼ es una relacion de equivalencia. ¤

Ejemplo. Sean A,B ∈ C3×3. Probar que A ∼ B ⇐⇒ XA = XB y mA = mB . ¿Vale elmismo resultado para matrices en C4×4?

Ya sabemos que vale (⇒). Probemos la otra implicacion. Por el Teorema 7.23, A y Bson semejantes si tienen la misma forma de Jordan (salvo el orden de los distintos autovalo-res). Luego, basta ver que la forma de Jordan de una matriz en C3×3 queda unıvocamentedeterminada por su polinomio caracterıstico y su polinomio minimal.

Sea J ∈ C3×3 una forma de Jordan. Entonces XJ es un polinomio monico de grado 3 enC[X], luego puede escribirse de alguna de las siguientes formas:

7.2 Caso general 181

(i) XJ = (X − λ1)(X − λ2)(X − λ3) con λ1, λ2, λ3 ∈ C y λi 6= λj si i 6= j.

(ii) XJ = (X − λ1)2(X − λ2) con λ1, λ2 ∈ C y λ1 6= λ2.

(iii) XJ = (X − λ)3 con λ ∈ C.

Para cada una de las opciones anteriores, veremos que existe una unica J para cada polinomiominimal posible.

(i) Si XJ = (X − λ1)(X − λ2)(X − λ3) con λ1, λ2, λ3 ∈ C y λi 6= λj si i 6= j, J esdiagonalizable y, por lo tanto, tiene un bloque de 1 × 1 para cada autovalor. Luego(salvo el orden de los autovalores)

J =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

.

(ii) Si XJ = (X −λ1)2(X −λ2) con λ1, λ2 ∈ C y λ1 6= λ2, entonces mJ = (X −λ1)(X −λ2)o mJ = XJ .

• Si mJ = (X − λ1)(X − λ2), J es diagonalizable y, por lo tanto, cada bloque en Jes de 1× 1. Luego

J =

λ1 0 00 λ1 00 0 λ2

,

salvo el orden de los autovalores.

• Si mJ = (X − λ1)2(X − λ2), entonces J tiene un bloque de 2× 2 con autovalor λ1

y uno de 1× 1 con autovalor λ2. Luego (salvo el orden de los autovalores),

J =

λ1 0 01 λ1 00 0 λ2

.

(iii) Si XJ = (X − λ)3 con λ ∈ C, entonces mJ = (X − λ)k para k = 1, 2 o 3.

• Si mJ = (X − λ), entonces J es diagonalizable y solo tiene bloques de 1 × 1, esdecir,

J =

λ 0 00 λ 00 0 λ

.

• Si mJ = (X−λ)2, entonces el bloque mas grande de J es de 2×2, luego solo puedetener un bloque de 2× 2 y uno de 1× 1:

J =

λ 0 01 λ 00 0 λ

.

182 Forma de Jordan

• Si mJ = (X − λ)3, entonces J tiene un bloque de 3× 3 y, por lo tanto

J =

λ 0 01 λ 00 1 λ

.

El resultado no vale en C4×4. Por ejemplo, las matrices

A =

0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 1 0

y B =

0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

verifican XA = XB = X4 y mA = mB = X2, pero A 6∼ B, porque son dos formas de Jordandistintas.

7.3 Aplicacion: Calculo de las potencias de una matriz

En diversas aplicaciones, por ejemplo en la resolucion de sistemas de ecuaciones diferencialeslineales de primer orden, surge la necesidad de calcular las potencias de una matriz dada. Enesta seccion veremos que esto puede hacerse utilizando la forma de Jordan de la matriz.

En primer lugar, observamos que es posible calcular las potencias de una matriz a partirde las potencias de una matriz semejante:

Si A ∼ B, existe C ∈ GL(n,K) tal que A = C. B. C−1. Entonces, para cada k ∈ N,Ak = C.Bk. C−1 (ver Observacion 6.26).

A partir de esta observacion vemos que, si una matriz A ∈ Kn×n es diagonalizable,entonces se puede calcular facilmente Ak para cada k ∈ N: Basta hallar C ∈ GL(n,K) yD ∈ Kn×n diagonal tales que A = C. D. C−1 y tener en cuenta que

D =

λ1 0 . . . 0

0 λ2

......

. . . 00 . . . 0 λn

=⇒ Dk =

λk1 0 . . . 0

0 λk2

......

. . . 00 . . . 0 λk

n

∀ k ∈ N.

Utilizando la igualdad Ak = C. Dk. C−1 se obtienen las potencias de A.Consideremos ahora el caso de una matriz A ∈ Kn×n que no sea diagonalizable. Si

A ∼ M =

M1 0 . . . 0

0 M2

......

. . . 00 . . . 0 Mr

con Mi ∈ Kni×ni (1 ≤ i ≤ r)

7.3 Aplicacion: Calculo de las potencias de una matriz 183

existe C ∈ GL(n,K) tal que A = C.M.C−1. Entonces, para cada k ∈ N, Ak = C.Mk. C−1 y,multiplicando por bloques, resulta que

Mk =

Mk1 0 . . . 0

0 Mk2

......

. . . 00 . . . 0 Mk

r

.

Por lo visto en las secciones anteriores, si mA se factoriza linealmente en K, se puedehallar una matriz M (la forma de Jordan de A) en la que cada Mi es un bloque de Jordan deautovalor λi para algun λi ∈ K. Luego, para calcular las potencias de A basta poder calcularJ(λ, m)k.

Se puede probar inductivamente (ver Lema 7.11) que

J(0,m)k =

0k×(m−k) 0k×k

Im−k 0(m−k)×k

.

Si λ 6= 0, escribimos J(λ,m) = λ. Im + J(0,m). Puesto que λ. Im y J(0,m) conmutan,podemos calcular las potencias de λ. Im+J(0,m) aplicando la formula del binomio de Newton:

J(λ,m)k = (λ. Im + J(0, m))k =k∑

i=0

(k

i

)(λIm)k−i. J(0,m)i

=k∑

i=0

(k

i

)λk−i.

(0i×(m−i) 0i×i

Im−i 0(m−i)×i

)

=k∑

i=0

(0i×(m−i) 0i×i

(ki

)λk−i. Im−i 0(m−i)×i

)

=

λk 0 . . . . . . 0

(k1

)λk−1 λk . . .

...

(k2

)λk−2

(k1

)λk−1 λk . . .

...

.... . . . . . . . . 0

(k

m−1

)λk−(m−1) . . .

(k2

)λk−2

(k1

)λk−1 λk

.

(Consideramos(

kh

)= 0 si h > k.)

Esto nos da una formula para el calculo de las potencias de un bloque de Jordan deautovalor λ. Usando las observaciones anteriores podemos calcular las potencias de A.

184 Forma de Jordan

7.4 Ejercicios

Ejercicio 1. Dadas las matrices A y A′ en Kn×n

A =

0 0 . . . 0 01 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...

. . ....

0 0 . . . 1 0

y A′ =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

. . ....

0 0 0 . . . 10 0 0 . . . 0

i) Probar que ambas son nilpotentes y que A es semejante a A′.

ii) Dar bases B y B′ de Rn−1[X] tal que la matriz de la derivacion en la base B sea A yen la base B′ sea A′.

iii) Sea B una base de Kn y sea f : Kn → Kn tal que |f |B = A. Probar que no existensubespacios propios f -invariantes S y T de Kn tales que Kn = S ⊕ T .

Ejercicio 2. Sean Ai (1 ≤ i ≤ 6) matrices en C8×8 nilpotentes tales que mAi = X3

(1 ≤ i ≤ 6). ¿Es cierto que necesariamente dos de estas matrices son semejantes?

Ejercicio 3. Sean A, B ∈ C6×6 son matrices nilpotentes tales que mA = mB y rg(A) =rg(B). Probar que A y B son semejantes. ¿Es cierto esto en C7×7?

Ejercicio 4. Hallar la forma y una base de Jordan de la matriz A ∈ C9×9:

A =

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 01 1 0 0 0 0 0 0 0

Ejercicio 5. Hallar la forma y una base de Jordan de la matriz A = (aij) ∈ Cn×n donde

aij ={

0 si i ≤ j1 si i > j

Ejercicio 6.

i) Decidir si existe A ∈ C8×8 nilpotente tal que rg(A) = 6, rg(A2) = 4, rg(A3) = 3,rg(A4) = 1 y rg(A5) = 0 simultaneamente. En caso afirmativo, exhibir una.

ii) Decidir si existe A ∈ R16×16 tal que mA(X) = X5, rg(A) = 9, rg(A2) = 5, rg(A3) = 3,rg(A4) = 1 y rg(A5) = 0 simultaneamente. En caso afirmativo, exhibir una.

7.4 Ejercicios 185

Ejercicio 7. Sea f : C7 → C7 una transformacion lineal y sea B una base de C7 tal que

|f |B =

2 0 0 0 0 0 01 2 0 0 0 0 00 1 2 0 0 0 00 0 0 2 0 0 00 0 0 1 2 0 00 0 0 0 0 3 00 0 0 0 0 0 3

.

i) Hallar Xf y mf .

ii) Sea λ un autovalor de f tal que mult(λ,Xf ) = m. Se definen Eλ = {v ∈ C7/ f(v) = λ.v}y Vλ = {v ∈ C7/ (λ. Id− f)m(v) = 0} = Nu

((λ. Id− f)m

).

¿Para que autovalores λ de f se tiene que Eλ = Vλ?

iii) Para cada autovalor λ de f , ¿cual es la menor potencia k tal que Vλ = Nu((λ. Id−f)k

)?

iv) Si λ es un autovalor de f , se nota fλ a la restriccion de f a Vλ. Calcular dim(Im(fλ))y dim(Im(f2

λ)) para cada λ.

Ejercicio 8. Sea V un K-espacio vectorial, sea f : V → V una transformacion lineal y seaP ∈ K[X].

i) Probar que Nu(P (f)) e Im(P (f)) son subespacios invariantes por f .

ii) Probar que si un autovalor λ de f es raız de P , entonces Eλ ⊆ Nu(P (f)).

iii) Probar que si un autovalor λ de f no es raız de P , entonces Eλ ⊆ Im(P (f)).

Ejercicio 9. Hallar la forma y una base de Jordan de A ∈ C n×n en cada uno de los siguientescasos:

1 1 −1−3 −3 3−2 −2 2

;

3 0 83 −1 6−2 0 −5

;

−4 2 10−4 3 7−3 1 7

;

−2 8 6−4 10 64 −8 −4

1 −1 23 −3 62 −2 4

;

3 1 0 0−4 −1 0 07 1 2 1−17 −6 −1 0

;

1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1

Ejercicio 10. Sea A ∈ R4×4 la matriz

A =

3 0 8 a3 −1 6 0−2 0 −5 00 0 0 −1

.

186 Forma de Jordan

i) Para cada a ∈ R, calcular XA, mA y hallar la forma de Jordan de A.

ii) Para a = 2, hallar una base de Jordan para A.

Ejercicio 11. Sea V ⊆ C∞(R) el subespacio V = < ex, x. ex, x2.ex, e2x >. Sea δ : V → Vla transformacion lineal definida por δ(f) = f ′. Hallar la forma y una base de Jordan para δ.

Ejercicio 12. Sean A , B ∈ C 4×4 las matrices

A =

2 0 0 00 0 −1 −10 1 1 00 0 1 2

, B =

0 −1 −1 01 2 1 00 0 1 00 0 0 2

Decidir si A y B son semejantes.

Ejercicio 13. Sean A, B ∈ C5×5 tales que XA = XB = (X − 1)3.(X − 3)2 y mA = mB .Decidir si, necesariamente, A es semejante a B.

Ejercicio 14. Encontrar todas las formas de Jordan posibles de la matriz A ∈ Cn×n en cadauno de los siguientes casos:

i) XA(X) = (X − 2)4(X − 3)2 ; mA(X) = (X − 2)2(X − 3)2

ii) XA(X) = (X − 7)5 ; mA(X) = (X − 7)2

iii) XA(X) = (X − 2)7 ; mA(X) = (X − 2)3

iv) XA(X) = (X − 3)4(X − 5)4 ; mA(X) = (X − 3)2(X − 5)2

Ejercicio 15. Sea A ∈ C15×15 una matriz con autovalores λ1, λ2 y λ3 y que cumple, simul-taneamente:

rg(A− λ1.I) = 13, rg(A− λ1.I)2 = 11, rg(A− λ1.I)3 = 10, rg(A− λ1.I)4 = 10,

rg(A− λ2.I) = 13, rg(A− λ2.I)2 = 11, rg(A− λ2.I)3 = 10, rg(A− λ2.I)4 = 9,

rg(A− λ3.I) = 13, rg(A− λ3.I)2 = 12, rg(A− λ3.I)3 = 11.

Hallar su forma de Jordan.

Ejercicio 16. Dar la forma de Jordan de una matriz A ∈ C14×14 que verifica, simultanea-mente:

mA = (X − λ1)2.(X − λ2).(X − λ3)2.(X − λ4)3 (con λi 6= λj si i 6= j),

rg(A− λ1.I) = 11, rg(A− λ1.I)2 = 10, rg(A− λ3.I) = 12, rg(A− λ3.I)2 = 10 y

rg(A− λ4.I) = 13.

7.4 Ejercicios 187

Ejercicio 17. Hallar la forma de Jordan de la matriz A ∈ Cn×n:

2 3 4 5 . . . n + 10 2 3 4 . . . n0 0 2 3 . . . n− 10 0 0 2 . . . n− 2

......

0 0 0 0 . . . 2

Ejercicio 18. Sean x, y ∈ Cn y A ∈ Cn×n, A = (aij) con aij = xi.yj .

i) Calcular todos los autovalores y autovectores de A.

ii) Calcular las posibles formas de Jordan de A.

Ejercicio 19. Sea A ∈ Cn×n. Probar que A y At son semejantes.

Ejercicio 20. Sea A ∈ C6×6 una matriz tal que mA = X6 y sea {v1, v2, v3, v4, v5, v6} unabase de Jordan para A. Calcular la forma y una base de Jordan para las matrices A2, A3, A4

y A5.

Ejercicio 21. Dada la matriz A =

5 1 4−1 3 −10 0 1

, encontrar B ∈ Q3×3 tal que B2 = A.

Ejercicio 22. Sean α, β ∈ R. Se define la sucesion {an}n∈N0 de la siguiente manera:{

a0 = α , a1 = βan+2 = 4.an+1 − 4.an ∀ n ∈ N0

Hallar una formula general para el termino an, ∀n ∈ N0.

Sugerencia: Ver el razonamiento del Ejercicio 8 de la Seccion 6.5 e intentar modificarlo con-venientemente utilizando el calculo de potencias de una matriz de la Seccion 7.3.

Ejercicio 23. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

x′1(t) = 3 x1(t)− x2(t)x′2(t) = x1(t) + x2(t)x′3(t) = −x2(t) + 2 x3(t)

con condiciones iniciales x1(0) = 1, x2(0) = 2, x3(0) = 1.

Sugerencia: Ver Ejercicio 9 de la Seccion 6.5.