transformaciones isometricas

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Colegio Seminario Conciliar Depto de Matemática

La Serena Prof. E. Geraldo

4º Medio A

Septiembre 2011

GUIA DE EJERCICIOS TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICASOBJETIVO:- Relacionan y analizan propiedades de las figuras geométricas en contextos de embaldosamiento de una

superficie plana.

- Caracterizan la traslación, la simetría y la rotación de figuras en un plano.

- Describen los cambios que observan entre una figura y su imagen por traslación, rotación o simetría.- Construyen , utilizando regla y compás o un programa computacional , figuras simétricas , trasladadas y

rotadas .

- Diseñan composiciones sencillas que incorporen traslaciones, simetrías y rotaciones

- Describen patrones que se observan en la aplicación de simetrías, rotaciones y traslaciones en un

sistema de coordenadas.

Una transformación implica un cambio, es decir de alguna manera ella es alterada o sometida a

algún cambio, en una transformación geométrica se debe tener en cuenta tres elementos:

• La figura original• Cual es la operación que describe el cambio

• Que figura se obtiene después de dicho cambio

Decimos que la figura que se obtiene después del cambio es la imagen de la figura original a través

de la transformación. Nos ocuparemos de tres tipos importantes de transformaciones geométricas,las llamadas transformaciones isométricas.

Transformaciones Isométricas

Definición: Se llama transformación isométrica o isometría de una figura a las transformaciones

que no la alteran en su forma ni su tamaño, es decir cuando sólo cambia de posición (orientación y

sentido) En otras palabras, Isometrías son transformaciones del plano en el plano que conservandistancia. Así si dos puntos A y B están a una distancia d(A,B) = d , sus imágenes

T(A) = A’ ; T(B) = B’ cumplen que su distancia es la misma d(A’,B’) = d.

Ejemplos de isometrías son:

1.- Las traslacionesTodos los puntos se mueven una misma distancia y en una misma dirección, es decir la figura se

desliza o mueve en línea recta, manteniendo su forma y tamañoEn una traslación distinguimos tres elementos:

• Dirección: (horizontal, vertical, u oblicua)

• Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo.• Magnitud del desplazamiento: es la distancia que hay entre la posición inicial y final de la

figura

Ejemplo 1.- Trasladar un punto A en una magnitud de 5 cm., en la dirección horizontal, y en sentido

a la izquierda

El punto A´ es la imagen del punto A, a través de la traslación descrita.

Ejemplo 2.- La siguiente figura muestra como el triangulo ABC se traslada a la derecha en

dirección horizontal, la magnitud de 10 cm.

El vértice A´ es la imagen del vértice A y esta a 10 cm. de distancia

El vértice B´ es la imagen del vértice B y esta a 10 cm. de distanciaEl vértice C´ es la imagen del vértice C y esta a 10 cm. de distancia

Los triángulos ABC y A´B´C´ son congruentes





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Ejemplo 3.- En el siguiente ejemplo determine la dirección, el sentido y la magnitud de la siguiente

traslación.

Traslaciones en un sistema de ejes coordenados

Cuando trasladamos respecto de un sistema de ejes coordenados se necesita de un vector de

traslación. Este se representa por un par ordenado (x,y), donde x representa el desplazamientohorizontal e y representa el desplazamiento vertical Respecto de la abscisa (primera coordenada), el

signo positivo indica el movimiento hacia la derecha y el signo negativo, hacia la izquierda.

Respecto de la ordenada (segunda coordenada), el signo positivo indica el movimiento hacia arribay el signo negativo, hacia abajo.

Ejemplo: 1.- En un sistema de coordenadas rectangulares, trasladar el punto de coordenadas A(1,3)

3 unidades a la izquierda, ¿Cuáles son las nuevas coordenadas?

La traslación se realizó según el vector (-3, 0), por lo tanto, el punto A(1,3) se traslado ahora al

punto B(-2,3), (1,3) + (-3,0) = (-2,3)

Ejemplo: 2.- En un sistema de coordenadas rectangulares, trasladar el segmento AB (de

coordenadas A(2,1) ; B(1,5) ) según el vector (2, -3) es decir 2 unidades a la derecha y 3 unidades

hacia abajo ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los extremos del segmento? Y dibujar el nuevo

segmento A´B´





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Ejercicios propuestos

1.- En un sistema de coordenadas rectangulares, trasladar el triángulo ABC (de coordenadas A(1,1); B(3,5) ) , C(4,2) (según el vector (-3, 2) es decir 3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia

arriba ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices del triangulo? Dibujar el nuevo triángulo

A´BĆ´

2.- En un sistema de coordenadas rectangulares, trasladar el cuadrilátero ABCD(de coordenadas

A(1,2) ; B(3,5) ) , C(5,5), D(6,2) (según el vector (-1, -1) es decir 1 unidades a la izquierda y 1unidades hacia abajo ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices del cuadrilátero? Y dibujar

el nuevo cuadrilátero A´BĆ´D¨

3.- En un sistema de coordenadas rectangulares, trasladar el triángulo ABC (de coordenadas A(1,3)

; B(2,5) ) , C(3,2) (según el vector (-2, -2) es decir 2 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia

abajo ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices del triangulo? Y dibujar el nuevo

triángulo A´BĆ´

Traslaciones sucesivasSi a una figura cualquiera se le aplica una traslación según un determinado vector u(a,b), y luego a

la figura obtenida se le aplica una nueva traslación según el vector w(c,d), se obtiene la imagen de

la figura original, trasladada según el vector (u + w) de coordenadas (a+c, b+d)

Ejemplo.- En un sistema de coordenadas rectangulares, trasladar el triángulo ABC (de coordenadas

A(1,0) ; B(2,3) ) , C(3,1) (según el vector v(-1, -2) es decir 1 unidades a la izquierda y 2 unidades

hacia abajo, luego trasladar el triángulo que se obtiene según el vector u(3,-1) ¿Cuáles son las

nuevas coordenadas de los vértices del triangulo final? Y dibujarlo

2.- Rotaciones o girosEn este caso, todos los puntos se mueven girando en un mismo ángulo (ángulo de rotación) , en

torno de un punto fijo llamado centro de rotación.

En una rotación se distinguen tres elementos:

El punto de rotación (o centro de rotación) es el punto en torno al cual se efectúa la rotación

La magnitud de la rotación, es la medida del ángulo determinado por un punto p cualquiera de la

figura original, el punto centro de rotación (como vértice del ángulo), y el punto imagen pćorrespondiente en la figura obtenida después de la rotación.El sentido del giro que puede ser positivo (en sentido contrario a como giran las agujas del reloj) o

negativo (en el sentido que giran las agujas del reloj).

Observación En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de lafigura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de

la figura original y el centro de rotación





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Ejemplo 1El triángulo ABC se ha girado en torno de su vértice B en un ángulo de 90º en sentido positivo

Observación. También se puede considerar la rotación anterior como un giro de 270º en sentidonegativo.

Ejemplo 2El cuadrilátero ABCD (fig A) se ha rotado en torno del vértice B en 180º y se obtiene el

cuadrilátero A´BC´D´( fig B)

Ejercicios propuestos:Los siguientes dibujos muestran la rotación de la fig A, y se obtiene como imagen la fig B,identificar en la rotación: a) punto de rotación b) magnitud de la rotación y c) sentido de la rotación





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Rotaciones o giros en torno a un punto interior de la figuraEn la figura siguiente se ve una rotación en torno al punto O de la figura en línea llena, la figura

punteada es la rotada ¿QUE GIRO se ha efectuado, diga cuál es la magnitud y el sentido?

Rotaciones o giros en torno a un punto exterior de la figuraEn la figura siguiente se ve una rotación en torno al punto O fuera de la figura en línea llena, la

figura punteada es la rotada ¿QUE GIRO se ha efectuado, diga cuál es la magnitud y el sentido?

En el dibujo que sigue la figura A se giró en torno al punto O en un ángulo de 35º hasta coincidir

con la fig B, luego esta nueva figura se giró en 47º en torno al punto O, hasta coincidir con la fig C,

ambos giros en el mismo sentido (negativo, en el sentido de los punteros del reloj)

Observación: Si al girar determinado segmento AB y se obtiene el segmento A´B´, donde A´ es la

imagen de A y B´ es la imagen de B, entonces el centro O de rotación se encuentra en la

intersección de las simetrales de AA´ y BB´.





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Y además se tiene que los triángulos ABO y A´BO son congruentes por lo tanto AO = A`O ; BO =

B´O ; AB = A´B´ y en consecuencia ´ 'OAB OA B

Por lo tanto, si sabemos que una determinada figura A se transforma por rotación en una figura B,

podemos determinar su centro de rotación simplemente escogiendo dos puntos M y N cualquiera de

la figura A y sus respectivas imágenes M´ y N´ en la figura B , el centro de rotación será la

intersección de las simetrales de los segmentos MM´ y NN´ como mostramos a continuación en eldibujo.

3.- Reflexiones o Simetrías

Podemos pensar en una reflexión como el efecto que se produce el mirarse al espejo

Reflexión respecto de un eje (simetría axial)La reflexión de una figura geométrica respecto de un eje, llamado eje de simetría es el movimiento

que transforma la figura, de tal manera que cada punto Q y su imagen o simétrico Q´ equidistan deleje de simetría y el segmento QQ´ es perpendicular al eje de simetría

Es decir uno puede pensar que el eje de simetría actúa como un “espejo” en el que se refleja la

figura original para obtener la figura reflejada, como mostramos a continuación:





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La figura 1 ha sido reflejada respecto de la recta L (eje de simetría), para obtener la figura 2

Reflexión respecto de un punto (simetría central)

La reflexión de una figura respecto de un punto O es el movimiento que transforma cada punto M

de la figura original en un punto M´, tal que O es punto medio del segmento MM´Los siguientes dibujos muestran la reflexión de la figura 1 en la figura 2 con punto de reflexión O.

Ejercicios:I Traslaciones

1. Dado un segmento PQ trasladarlo en dirección vertical, hacia arriba 8 cm., luego en

dirección horizontal a la derecha,12 cm., posteriormente en dirección vertical hacia abajo 5

cm. y finalmente en dirección horizontal hacia la izquierda 8 cm., obteniendo el segmento

P´Q´, hallar la distancia entre P y P´.

2. Dado un cuadrilátero ABCD trasladarlo en dirección horizontal a la derecha 8 cm.,

posteriormente en dirección vertical hacia abajo 6 cm., ¿Qué distancia se desplazo cada

punto del cuadrilátero?

II Traslaciones sucesivas y rotaciones

1. Dibujar un segmento y trasladarlo 3 cm. hacia arriba en dirección vertical, y luego

trasladarlo 4 cm. a la izquierda en dirección horizontal

2. Dibujar un triángulo y trasladarlo 2 cm. hacia abajo en dirección vertical, y luego

trasladarlo 3 cm. a la derecha en dirección horizontal

3. * Dibujar un rombo y trasladarlo 4 cm. a la izquierda en dirección horizontal y luego

trasladarlo 6 cm. en dirección vertical hacia arriba.

4. Dibujar un cuadrilátero y trasladarlo 7 cm. hacia la derecha en dirección horizontal y

luego trasladarlo5 cm. por la vertical hacia arriba

5. * Dibujar un segmento y rotarlo en sentido positivo, en 30º en torno de un punto Operteneciente al segmento.

III Reflexiones respecto de un punto y de un eje de simetría.

1. Construir un romboide y hacer una reflexión respecto de un eje de simetría que esté fuera del

romboide.

2. Construir un rombo y hacer una reflexión respecto de un eje de simetría que corte al rombo.

3. * Construir un triángulo y hacer una reflexión respecto de un eje de simetría que contenga a

un lado del triángulo.

4. Construir un romboide y hacer una reflexión respecto de un punto de que esté fuera del

romboide.

5. * Construir un rombo y hacer una reflexión respecto de un vértice.

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