TRANSFER FONKSİYONLARINDAKİ SIFIR VE KUTUPLARIN ANLAMI VE KUTUPLARIN YER EĞRİSİ TEKNİĞİ

Amaç:Transfer fonksiyonlarındaki sıfır ve kutupların anlamı ve kutupların yer eğrisi yöntemiyle sıfır ve kutupların belirlenmesi

Yaklaşım:*Transfer fonksiyonu nedir ve nasıl bulunur? *Sıfır ve kutup nedir? *Kararlılık ve koşulları nelerdir? *Kutup ve sıfırların belirlenebileceği yöntemler nelerdir? *Routh-Hurwitz Kriteri *Kutupların yer eğrisi yöntemi

Yöntem:Örnek bir devre üzerinde bir bilgisayar programı(Matlab gibi) kullanarak devrenin kutup ve sıfırlarının incelenmesi ve problemin yorumlanması.

Kaynak:*Otomatik Kontrol Sistemleri - Kemal SARIOĞLU *Modern Control Engineering - K. Ogata *Kontrol Sistemleri Tasarımı - Prof. Galip Cansever

Projeyi Yapanlar:Emrah Yüksel Oğuzhan Cengiz Samet Hiçsönmez Faruk Baran

Sistemler

Nedensel sistemler: Çıkışın sadece geçmiş giriş ve çıkışlara ve şuan ki girişe bağlı olduğu sistemlerdir.

Zamanla Degismeyen Sistem:Bir deney dusunelim, bu deneyi ne zaman yaparsak yapalim, ayni sonucu veriyorsa zamanla degismeyen sistemdir. Yani sistem parametreleri zamandan bagimsizdir.

Lineer sistemler:Superpozisyon, homejenlik ve toplamsallik, ilkesini saglayan sistemlere lineer sistemler denir.

x1 (t) y1 (t)

x2 (t) y2 (t)

a. x1 (t) a. y1 (t)

a. y1 (t) + b. y2 (t)a. x1 (t) + b. x2 (t)

x(t) y(t)

x(t+1) y(t+1)

x(t+∆) y(t+∆)

Transfer Fonksiyonu: İmpuls cevabının Laplace dönüşümü olarak tanımlanır.Lineer sistemlerde ilk koşullar sıfır alınarak giriş ve çıkış işaretinin Laplace dönüşümü alınır ve oranlanırsa transfer fonksiyonu bulunmuş olur.

y(t)= ∫ x(t-ζ).g(ζ).dζ y(t)=x(t)*g(t)

X(s)= L{x(t)}=∫ x(t).exp(-st).dtY(s)=L{y(t)}= ∫ y(t).exp(-st).dt => G(s)=Y(s) / X(s)G(s)=L{g(t)}

Kutup ve Sıfırların Anlamı

Sıfır:Transfer fonksiyonun payının köklerine transfer fonksiyonun sıfırı denir.Devre için tanımı ise devrede frekansa bağlı elemanlar bulunabilir.Öyle frekans değeri vardır ki devrenin girişi 0 dan farklı olmasına karşın çıkışında 0 görülür.İşte bu frekans değerlerine devrenin sıfırı denir.

Kutup: Transfer fonksiyonun payının köklerine transfer fonksiyonun kutbu denir. Yine devrede frekansa bağlı elemanlar bulunur öyle frekanslar ardır ki devrenin girişinde sonlu bir işaret olmasına karşın çıkışında sonsuz bir işaret görülür. İşte bu frekans değerlerine devrenin kutbu denir.

x(t) y(t)g(t)

G(s) =Y(s)X(s)

sıfır

kutup

Örneğin: transfer fonksiyonu olan sistemin

Sıfırı=-1, Kutupları S1=S2=0 dır.

Kararlılık: İki türlü kararlılık vardır.

1.Sınırlı Giriş Sınırlı Çıkış Kararlılığı:

Bir sistemin girişine uygulanan sınırlı girişler için çıkışı da artan t zamanı ile sınırlı kalıyorsa sistem sınırlı giriş için sınırlı çıkış anlamında kararlıdır denir.

2.Asimptotik Anlamda Kararlılık:

Bir sisteme hiçbir giriş uygulanmadığı halde, herhangi sınırlı ilk koşul değeri için sistemin durumları ve çıkışları t sonsuza giderken x(t) 0 oluyorsa, sistem asimptotik anlamda kararlıdır denir.

Kararlı bir sistem, uyarılmadıkça herhangi bir işaret üretemez ve bir işaret ile uyarıldığında ise uyarılan işarete bağlı olarak bir işaret gözlemlenir.Bazı kararlılık yöntemleri vardır.Routh-Hurwitz de bunlardan birisidir.

Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri:

Bu kriter sayesinde karakteristik denklemin [ 1+G(s)H(s)=0 ] köklerinin sağ yarım düzlemde olup olmadığını ve jw ekseni üzerinde kökünün bulunup bulunmadığını saptamaya yarar.

Not: Routh tablosunun hesaplanan bir satırının bütün elemanlarının sıfır olması halinde jw ekseni üzerinde imajiner kökler vardır.

x(s) y(s)g(s)

h(s)

+

Köklerin Yer Eğrisi Tekniği

Tanım: Bir kapalı çevrim kontrol sisteminin karakteristik denkleminin köklerinin değişimini, açık çevrim G(s)H(s) transfer fonksiyonunun kutup ve sıfırlarını kullanarak, sistem kazanç parametresi değişimine göre s düzleminde çizmeye köklerin yer eğrisi yöntemi denir.

Açık çevrim transfer fonksiyonunun kutup ve sıfırları bilindiğine göre, kazanç ve sistem zaman sabitlerinin parametre olarak değiştirilmesi halinde, karakteristik denklemin köklerinin s düzleminde değişimini gösteren eğriye köklerin yer eğrisi denir.

Kapalı çevrim transfer fonksiyonu karakteristik denklemi 1+G(s).H(s)=0 olsun. G(s).H(s) açık çevrim transfer fonksiyonunun içinde, sistemin kazancı, kutupları ve sıfırları bulunmaktadır. Amaç karakteristik denklemin köklerini bulmak ve sistem parametreleri değiştiğinde, bu köklerin değişimini gösteren yer eğrisini s düzleminde çözmektir.

Kök Yer Eğrisi Çizim Aşamaları

1.Kök eğrilerinde kol sayısıK=-∞’dan + ∞’ a giderken bir kokun yer egrisinde izledigi yola ‘kol’ denir. Kutup

sayısı kadar kol vardir.2.K=0 ve K=±∞’ da kok egrisi *Kök eğrisi K=0’da G(s)’in kutuplarında yer alır. *K=±∞’ da kok egrisi acik cevrim sistemin (G(s)) sifirlarinda yer alir.3. Simetri: *Kök eğrisi reel eksene gore simetriktir.4.Kök eğrilerinde asimptot açıları: Sonsuza uzanan kolların davranışı asimptotlar tarafından belirlenir. Toplam (kutup sayısı)-(sıfır sayısı) kadar asimptot vardir. (k>0 icin)

k>0 icin asimptot açıları θ=(2i+1).180/[kutup - sıfır]5.Asimptotlarin kesisim noktasi *Asimptotlar reel eksen uzerinde

X= [ ∑ Re(kutuplar) - ∑ Re(sıfırlar) ] / (n-m) n= kutup sayısı m= sıfır sayısı6.Gercel eksendeki kök eğrileri *Gercel eksenin belirli bir kısmında sağ tarafta yer alan toplam kutup ve sıfır sayısı tek ise bu kısım kök eğrisi üzerinde yer alır.7.Kok egrilerinin giris ve cikis acilari *Kok egrilerinin giris ve cikis acilari, bu noktalara yakin teget acilari olup aci kosulundan bulunur.

Açı kosulu: ∑ (s-zi) - ∑ (s-pi) = 180+i.360

G(s)=-(θ1+2+ θ3+ θ4)=180+360.i

8. Kok egrilerinin sanal ekseni kesme noktalari Routh – Hurwitz’ ten bulunur.9. Kok egrilerinde kopma noktalari G(s) in turevinin turevinin sifir oldugu yerlerdir. Kok egrisinin iki kolun karsilasma ve ayrilmasinin oldugu noktalardir.

*dG(s)/ds=0. Bu noktalar ‘Gercel eksendeki kok egrileri’ uzerindeyse alinir.

ÖRNEK: İçin kök yer eğrisini çiziniz?

Adım I:s düzleminde eksenleri çizilir, kökler “x” ile sıfırlar “0”ile işaretlenir.

Adım II:Reel eksen üzerinde sağında sıfır ve kutup sayısı toplamı tek olan doğruyu çiziniz.

Adım III: α’da merkezlenen ve Φl açıları ile ayrılan asimtotlar çizilir. n-m=2-1= 1asimptot var. Φl=180 /(2-1) Φl=180 olur.

Adım IV:Ayrılma açıları kutuplardan ve geliş açıları sıfırlardan hesaplanır.s=0 daki kutuplar için bu kutuplar etrafında bir çember çizelim.

İki kutuptan olan açılar eşittir ve sıfırdan olan açıda neticede sıfırdır,(kökler sıfırın sağında kaldığı için) böylece açı şartı:

-2 Φl + 0 =180 + 360*l Φl=+,-90

Eğri bir kolu yukarı bir kolu aşağı olacak şekilde ayrılır.

Adım V:İmajiner ekseni kesme noktaları hesaplanır. (Bu adım bazı çizimler için gerekli olmaya bilir.)

Karakteristik denklem: S2+Ks+K=0

K>0için birinci kolon elemanlarının hepsi pozitif olduğu için bütün kökler sol yarı düzlemdedir ve kök yer eğrisi imajiner ekseni kesmez.Adım VI:Katlı köklerin yerleri belirlenir, özellikle reel ekseni ve geliş, ayrılış açıları belirlenir. İki parçalı kök yer eğrisi 180derecede bir araya gelir ±90derecede ayrılır. Üç parçalı yer eğrileri 120derecede bir araya gelir 60derece dönerek ayrılır.

Kök yer eğrisi koşulu:

s=0 kök yer eğrisinin G(s)’in iki kökünün K=0 da olduğunu gösterir. II. Adımda s=-2 noktasının kök yer eğrisi üzerinde olduğunu gördüğümüzden s=-2 kök yer eğrisinin katlı köküne işaret eder.

Adım VII:Eğrini tamamlanır.

REFERANSLAR

1.Otomatik Kontrol Sistemleri - Kemal SARIOĞLU

2.Modern Control Engineering - K. Ogata

3.Kontrol Sistemleri Tasarımı - Prof. Galip Cansever