İTÜ Elektrik-Elektronik FakültesiElektronik Mühendisliği

Devre ve Sistem Analizi DersiProje Çalışması

Projenin Adı: Bir Devrenin Durum Denklemlerinin Çözümü İle Sürekli Sinüzoidal Haldeki Çözümünün Karşılaştırılması

Projenin Amacı: Sürekli Sinüzoidal Hal’de elde edilen çözüm ile tam çözümün arasındaki farkın belirlenmesi

Öğretim Görevlileri: Yrd. Doç. Dr. Neslihan Serap ŞengörMüh. Özkan Karabacak

Hazırlayanlar: Sadık Sayim Oğuz Yelbey Ali Pala Mustafa Dursun

1

BİR DEVRENİN DURUM DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ İLE SÜREKLİ SİNÜZOİDAL HALDEKİ ÇÖZÜMÜNÜN KARŞILAŞTIRILMASI

Amaç: Sürekli Sinüzoidal Hal’de elde edilen çözüm ile tam çözümün arasındaki farkın belirlenmesiGiriş: Bir elektrik devresi için elde edilen durum denklemlerindeki durum değişkenlerinin sayısına o devrenin karmaşıklık mertebesi adı verilir. Durum değişkenleri ise seçilen ağaç yapısına göre dallardaki kondansatörlerin gerilimleri ile kirişlerdeki endüktansların akımlarıdır. n. mertebeden bir devrenin durum denklemlerinin genel yapısı, aşağıdaki diferansiyel denklem sistemi gibidir.

(1.1)

Burada , ….… terimleri dal kapasite gerilimleri ve kiriş endüktans akımlarıdır. A ve B matrislerinin elemanları devredeki direnç, kapasite ve endüktans gibi elemanların değerlerinin fonksiyonlarıdır. vektörü ise kaynaklara ilişkin değerleri içerir.

Durum denklemlerinin çözümleri incelenirken, çözüm ifadelerinde iki ayrı terim bulunmaktadır. Bunlardan ilki, devrede kaynaklar yokken, kapasitelerin ilk gerilimleri ve endüktansların ilk akımları nedeniyle ortaya çıkan, devrenin “öz çözümü”dür. İkinci terim ise, devrede bulunan kaynaklar nedeniyle elde edilen, devrenin “zorlanmış çözümü”dür. “Tam çözüm” öz ve zorlanmış çözümün toplamıdır.

(1.2)Elde edilen diferansiyel denklem sisteminin çözümü şu şeklindedir.

(1.3)Bu çözümde için oluyorsa, öz çözüm sıfıra, zorlanmış çözüm de

özel çözüm ’ye uzanmaktadır. Bu özelliğe sahip olan devrelere asimptotik kararlı

devreler adı verilir. Asimptotik olarak kararlı bir devrenin öz çözümü geçici

çözüm; özel çözümü sürekli çözüm adını almaktadır. Sürekli Sinüzoidal Hal: Lineer zamanla değişmeyen ve asimptotik kararlı olan devreler, herhangi bir başlangıç durumu için bağımsız frekanslı sinüzoidal

2

kaynaklar ile uyarıldıklarında, devredeki elemanların akım ve gerilimleri için üstel olarak frekanslı sinüzoidal dalga şeklini alırlar. Bu duruma sürekli sinüzoidal hal denir. Sürekli sinüzoidal halde çalışan devredeki akım ve gerilimler başlangıç koşullarından bağımsızdır.

Sürekli Sinüzoidal Hal’de çözüm yöntemi mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunun nedenleri, birçok devrenin Sürekli Sinüzoidal Hal’de çalışması ve yöntemin sadece elektrik devrelerinin çözümünde değil; kontrol sistemleri, kuantum elektroniği ve elektromanyetik gibi diğer alanlarda da kullanılmasıdır.

Sürekli Sinüzoidal Hal’de çözüm, elektrik devrelerindeki değişken gerilim ve akım değerlerinin; uygun genliği, frekansı ve fazı olan sinüzoidal bileşenlerin toplamı olarak ifade edilmesi fikrine dayanır. Durum Denklemleri’nin Analitik Olarak Çözümü

Lineer zamanla değişmeyen elektrik devrelerinin durum denklemlerinin elde edilmesi zaman tanım bölgesinde yapılır. İçinde lineer elemanlar bulunan devrelerin çözümünde, belirli yöntemlerin izlenmesiyle devre denklemleri birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemi biçiminde yazılabilir. Bu denklem sistemine devrenin durum denklemleri ve içindeki bilinmeyen büyüklüklere durum değişkenleri denir. Durum denklemlerinin elde edilmesinde en önemli husus denklem kurma ağacının uygun seçilmesidir. Buna göre denklem kurma ağacı;

— Gerilim kaynaklarına ilişkin bütün graf elemanlarını içermeli,— Kapasitelere ilişkin en çok sayıda graf elemanını içermeli, — Endüktanslara ilişkin en az sayıda graf elemanını içermeli,— Akım kaynaklarına ilişkin hiçbir graf elemanını içermemelidir.

Uygun olarak seçilen denklem kurma ağacı ile kurulan n. mertebeden devrelere ilişkin durum denklemleri genel halde

(1.4)

biçimindedir. Burada vektörü içinde durum değişkenleri olarak kapasite gerilimleri ve endüktans akımları vardır. Eğer devrede kaynak yoksa (1.4) denklemi homojen denklem denilen

(1.5)

şeklini alır. Homojen denklemin aralığındaki çözümü ile gösterilirse, devrede kaynak olmadığından bu çözüm devredeki durum değişkenlerinin genel olarak sıfırdan farklı olduğu varsayılan başlangıç anındaki değerlerin nedeniyle ortaya çıkar. Daha açıkçası, homojen denklemin çözümü devrenin kendine özgü

3

davranışını belirler. (1.5) ifadesinde iki tarafında entegrali alınırsa denklemin çözümünün

= (1.6)

biçiminde olduğu görülür. Burada C vektörü entegrasyon sabitlerinden oluşmaktadır. Eğer çözüm [0,t) aralığında aranıyorsa, çözümün tek olarak belirlenebilmesi için

’nin başlangıç anındaki değerinin de verilmiş olması gerekir. değerine başlangıç değeri ya da ilk koşul denir. Çözümün bu ilk koşulu sağlaması gerektiğinden,

(1.7)

bağıntısından C= olduğu görülür. Sonuçta (1.5) homojen denkleminin çözümü

(1.8)

biçimini alır. Bulunan fonksiyonuna devrenin öz çözümü denir. Bundan sonra genel çözümün bulunabilmesi için parametrelerin değişimi yöntemi kullanılabilir. Bu yöntemde (1.6) ile verilmiş çözüm ifadesindeki sabit katsayılardan oluştuğunu varsaydığımız C vektörünün, zamana bağlı bir fonksiyon olduğu varsayılır. Bu durumda fonksiyonu (1.4) denkleminde yerine konulursa

(1.9)

ifadesi elde edilir. Bulunan (1.9) ve (1.7) ifadeleri denklemde yerine konulursa diferansiyel denklemin ilk koşulu da sağlayan çözümü aşağıdaki biçimde elde edilir.

, (1.10)

Bu ifadede ilk terim, homojen kısmın ilk koşulu da sağlayan çözümü (öz çözüm) olur. Devredeki kaynak fonksiyonu nedeniyle ortaya çıkan ikinci terim ise devrenin zorlanmış çözümü adını alır.

Başka bir yöntemle bu diferansiyel denklem takımı şu şekilde de çözülebilir. Homojen kısmın çözümü ile diferansiyel denklemin bir özel çözümünün toplamı tam çözümü vermektedir. , ifadelerinden

4

elde edilir. Bu durumda

(1.11)ifadesi elde edilir. Burada ilk terim öz çözüm; ikinci terim zorlanmış çözümdür. Lineer zamanla değişmeyen devrelerde matrisi durum geçiş matrisine karşı düşer.

matrisinin özdeğerlerinin değerlerine göre devre kararlı, asimptotik kararlı veya karasızdır. durumunda

devre asimptotik kararlıdevre kararlıdevre kararsız olur.

Durum Denklemlerinin Sürekli Sinüzoidal Haldeki Çözümü Durum denklemleri (1.1) ifadesiyle verilmiş bulunan bir devrede bütün akım

ve gerilim kaynaklarının aynı frekanslı sinüzoidal fonksiyonlar olduklarını varsayalım. Bu nedenle devredeki herhangi bir akım veya gerilim kaynağı zamanın fonksiyonu olarak,

(1.12)

biçiminde değiştirilebilir. Bu ifadelerde ve sırasıyla k. akım kaynağının ve r.

gerilim kaynağının efektif değerini ve de, sırasıyla yine bu kaynakların, belirli bir referansa göre sahip oldukları faz açılarını göstermektedir. Durum denklemlerinin genel ifadesi (1.1)’deki gibidir. Sinüzoidal bir akım ya da gerilim fonksiyonunun genel ifadesi, olduğundan Euler formülleri yardımıyla bu fonksiyon,

= (1.13)

biçiminde yazılabilir. Burada yazılırsa ifade r(t)= =f(t)+ (t)

şeklini alır. Bu ifadede f(t)=ρ.e kompleks değerli ve t’ye bağlı bir fonksiyondur.

(1.14)

5

şeklindeki kaynak vektörü aşağıdaki şekilde yazılabilir.

(1.15)

Bu durumda özel çözüm;

(1.16)

şeklinde alınabilir. Durum vektörünün ifadesi şeklinde yazılırsa;

(1.17)

biçiminde olur. Bu ifadenin zamana göre türevi alınarak

bağıntısı elde edilir. Yukarıdaki bağıntılardan faydalanarak;

(1.18)

şeklini alır. Bağıntıda bilinmeyen c vektörüdür ve bütün t değerlerinde geçerli olması için gerek ve yeter koşul ve şartlarının

sağlanmasıdır. Böylece c vektörü, olur. ve

yerlerine konursa, elemanları fazör büyüklükleri olan,

(1.19)

6

sütun matrisleri elde edilir. Sütun matrislerinin yerlerine konulmasıyla,

(1.20)

denklemi elde edilir. Bu ifadenin, t tanım bölgesine geçildiğinde, özel çözüme eşit olduğu görülür. Asimptotik Kararlılık Koşulu ve Rezonans

Lineer zamanla değişmeyen bir elektrik devresinin herhangi bir elemanının akım veya gerilim ifadesi, çeşitli yöntemlerle elde edilebilir. Durum değişkenleri dal kapasitelerinin gerilimleri ve kiriş endüktanslarının akımlarıdır. t tanım bölgesinde izlenilecek olan diferansiyel denklem çözüm yönteminde, devrenin özdeğerlerine bağlı olarak birden fazla genel çözüm ifadesi elde edileceğinden s tanım bölgesine geçilecektir. Bu ifadenin Laplace Dönüşümü alınıp yerine (1.10) ifadesindeki

çözüm konulursa ve alınırsa;

(1.21)

ifadesi elde edilir. Ayrıca ’nın ifadesi şeklinde olup, ;

matrisinin indirgenmiş ek matrisidir. ise genel halde

biçimindedir ve (i=1,2,….m)ler A matrisinin özdeğerleridir. Sonuçta (1.19) ifadesi

(1.22)

olarak yazılabilir. Bu bağıntıda, parantez içindeki matrisin bütün elemanları s’nin çokterimlileri biçimindedir. Demek ki, durum değişkenlerinin genel ifadesi

(1.23)biçiminde verilebilir. Buradaki çokterimlisi, kaynak vektöründeki elemanların paydaları nedeniyle ortaya çıkmaktadır. A, B, C, D katsayılar matrisleri reel olduklarından, rasyonel fonksiyonu reel katsayılıdır. matrisi

kutuplarına ilişkin rezidü matrislerinin toplamı olarak yazılırsa, (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... k) matrisleri sağdan B matrisiyle çarpılarak ve ayrıca bu ifadeye D sabit matrisini ekleyerek, denklemler aşağıdaki gibi elde edilir.

7

(1.24)

Bu ifade şu şekilde tekrar düzenlenebilir. kaynak vektörü nedeniyle ortaya çıkan polinomunun özellikleri bellidir. Devreyi uyaran kaynaklara ilişkin fonksiyonlar

sınırlı türdendir. Bu nedenle bunların Laplace Dönüşümleri genellikle

biçiminde olup ’nin derecesi ’ninkinden küçüktür. Örneğin, kaynak

fonksiyonları arasında , , fonksiyonları

bulunuyorsa, de , , çarpanları bulunacaktır. ’lerin sırasıyla 0, a ve ’dan farklı olmaları halinde, (1.22) ifadesi basit kesirlere ayrılarak;

(1.25)

haline getirilebilir. Burada ’ler, minimum çokterimlisinin sıfırları ve

’ler de bunların katlılıklarıdır. Devrede ilgilenilen akım ya da gerilimin zaman tanım bölgesindeki ifadeleri Ters Laplace Dönüşümü alınarak bulunabilir.

(1.26)

Burada ikinci terim kaynaklardan dolayı oluştuğundan, ’ye kaynak fonksiyonları cinsinden terimler getirir. İlk terim ise, devrenin yapısı nedeniyle ortaya çıktığından bunun ve ’ye olan katkısı incelenmelidir. Dönüşümler yapılırsa ilk terim aşağıdaki gibi olur.

(1.27)

Sonuçta ve ’nin ifadelerinde biçimindeki fonksiyonların lineer

kombinezonu yer alacaktır. Görüldüğü gibi, ise, zamanla artan bir

fonksiyondur. fonksiyonunun genliği de ’ye bağlıdır. biçiminde oldu-ğundan,

(1.28)

yazılabilir. ’nin modülü 1'e eşit olduğundan zamanla değişmez. , reel ve

pozitif bir fonksiyon olduğundan, davranışı, için 'nin değerine göre ortaya çıkar.

8

a. durumu

’nin modülü zamanla artacağından ve ’nin genlikleri zamanla sınırsız olarak artacaktır. Bu fiziksel durumu belirlemek üzere, bu tür davranışı gösteren devrelere kararsız devreler adı verilir. durumu, minimum

çokterimlisinin sıfırının kompleks düzlemin sağ yarısında olduğunu ifade eder. Yani çokterimlisinin kompleks düzlemin sağ yarısında sıfırları varsa, ilgilenilen devre

kararsız bir devredir. b. durumu

sanal eksen üzerindedir. Bu durumda ’nin modülü t den bağımsız olup,

1'e eşittir. ve ’nin modüllerinin zamanla artıp artmaması artık tam sayısına bağlıdır. Eğer ise genlikler zamanla artar ve devrenin kararsız olduğu söylenebilir. Devrenin kararlı olması için koşulu sağlanmalıdır. Bunun anlamı, ya sanal eksen üzerinde ’nin sıfırı yoktur ya da varsa bu sıfır basit bir sıfırdır.

’nin sanal eksen üzerinde basit sıfırlarının olması halinde fonksiyonunun genliği zamanla sıfıra gitmeyeceğinden, devre kararlı olmakla birlikte artık asimptotik olarak kararlı değildir. Çözümde kaynakların etkisinin yanı sıra başka sinüzoidal bileşenler de gelecektir. Dolayısıyla için öz çözüme ulaşılamaz.c. durumu

Bu durumda yazılabileceğinden, olur. ’nin kuvvet

serisine açınımı göz önüne alınırsa, fonksiyonu,

(1.29)

biçiminde yazılabilir. Bu ifadenin payı ve paydası ile bölünür ve için limiti

alınırsa, bu limitin sıfır olduğu görülür. Demek ki halinde ve fonksiyonlarının modülleri sonlu olup, için sıfır değerine erişirler. Dolayısıyla, devredeki akım ve gerilimlerin genlikleri sonludur ve için hepsi sıfıra yaklaşırlar. Bu davranışı gösteren devrelere asimptotik olarak kararlı devreler adı verilir. Asimptotik kararlı devrelerde geçici ve sürekli çözüm bulunur. Başka bir deyişle,

çokterimlisinin sıfırlarının tümü, katlılıkları ne olursa olsun, kompleks s-düzleminin sol yarısında bulunuyorsa, buna ilişkin devre asimptotik olarak kararlı bir devredir.

9

Özetlemek gerekirse veya ’nin sonlu genlikte olmaları, çokterimlisinin sıfırlarının kompleks düzlemdeki konumlarına

bağlıdır. Yukarıda değinildiği üzere, kaynak fonksiyonları genellikle sonlu değişimler gösteren sinüzoidal, basamak fonksiyonu, üstel fonksiyonlar v.b. türünden olduklarında ’nin sağ yarı-düzlemde sıfırları söz konusu olmaz ve devrenin

kararlılığını çokterimlisi belirler. Bu nedenle, ’nin sıfırları olan kompleks sayılarına, ’nin ilişkin olduğu devrenin öz frekansları adı verilir. Devrede kaynaklar yokken olacağından

(1.30)

ifadesi elde edilir. Bu ifade de herhangi bir akım veya gerilimin, bir reel rasyonel fonksiyonla belirlenebileceğini gösterir. Görüldüğü gibi içinde kaynaklar bulunmayan, ancak ilk koşullar nedeniyle davranış gösteren bir devredeki akım ve gerilimlerin biçimleri, sadece çokterimlisinin sıfırlarına bağlıdır. Bu nedenle, ’nin ile gösterilen sıfırlarına devrenin öz frekansları denilmektedir. Öte yandan, yukarda görüldüğü üzere, çokterimlisi, karakteristik çokterimlisinin bir çarpanı olup, ’ler A matrisinin öz değerleridir. Bazı durumlarda kaynaklara ilişkin

çokterimlisinin sıfırları, devreye ilişkin çokterimlisinin sıfırlarıyla

(devrenin öz frekansıyla) çakışabilir. sol yarı-düzlemde olduğunda, ’nin

katlılığından bağımsız olarak, devre asimptotik kararlıdır. Ancak sanal eksen

üzerinde ise, ’nin de basit bir sıfırı olmasına rağmen, ’nin

de iki katlı bir sıfırı olur ve devre kararsız duruma girer. Bu özel halde, daha açıkçası, sanal eksen üzerinde öz frekansı bulunan bir devrede kaynaklardan bazılarının bu öz frekansa sahip sinüzoidal fonksiyonlar olmaları halinde, devredeki bazı akım ve gerilimlerin genlikleri zamanla sınırsız olarak artacaktır. Bu olay, devrenin rezonans durumuna gelmiş olması biçiminde yorumlanır.

Rezonans: Elektrik biliminde 19. yüzyılın son çeyreğinde Nikola Tesla; AC akımı pratikte anlamlı kılmasından sonra yaptığı deneylerde, çalıştığı devrelerin farklı frekans değerlerinde farklı direnç gösterdiğini ve bir frekans değerinde direncin minimum olduğunu görmüştür. Daha sonra elektromanyetik enerji yayınımını toprağın minimum direnç gösterdiği frekans değerinde oluşturduğunda, çok güçlü yerel depremler meydana getirmeyi başarmıştır. Rezonans temel anlamda devrenin sanal direncinin sıfır olduğu frekans değeridir. Bunu pratikte bir salıncak örneği ile

10

açıklayabiliriz. Bir salıncağın itildiğini düşünelim. Eğer salıncağın ve iten kişinin frekansı ve fazı aynı olursa, malzemenin direnci durumunda bir direnç kalmayacak ve iten kişinin bu direnci aşan her kuvveti, salıncağın daha da yükselmesini sağlayacaktır. Örneğin Boğaz Köprüsü’nün rezonans frekansında, bir titreşim yayarsak, malzemenin sabit iç direncinin dışında, kuvvet tamamen köprünün malzemesini bozulmaya zorlayacak, bu biriktikçe bir noktadan sonra köprü çökecektir. Tesla’nın Tesla Makinesi ile yaptığı depremlerin teorisi de bundan ibarettir. Dolayısı ile rezonans frekansı malzeme kavramının olduğu her bilim ve uygulamada karşımıza çıkmaktadır.

Örnek Alınan Devrenin Analitik Olarak Çözülmesi

Devrede olarak verilmiştir.İlk olarak uygun ağaç yapısı seçilmelidir. Bu durumda uygun ağaç gerilim kaynağını ve kondansatörü içerecek biçimde seçilebilir. Buradan durum denklemleri aşağıdaki gibi elde edilir.

Devre üzerindeki değerler yerlerine konulursa;

elde edilir.

Devrenin Öz Çözümü Karakteristik denklem

olarak bulunur. Buradan özdeğerler çözülürse bulunur. Özdeğerler sıfırdan küçük olduğuna göre devre asimptotik kararlıdır. Homojen kısmın çözümü

11

biçimindedir. Bu çözüm homojen denklemi sağlayacağından olmalıdır. Buna göre,

elde edilir. Burada ’dir. Ayrıca olduğundan,

durum geçiş matrisine eşittir. Bu yüzden öz çözüm

olur. için olduğundan, devre asimptotik olarak kararlıdır ve öz çözüm devrenin geçici çözümüdür.

Devrenin Özel ve Zorlanmış ÇözümleriGerilim kaynağına ilişkin fonksiyon olarak verildiğinden

kapasite geriliminin ve endüktans akımının özel çözümleri de genlikleri ve faz açıları farklı sinüzoidal fonksiyonlar biçimindedir. Demek ki;

olarak yazılabilir. Bu ifade ilk başta elde edilen durum denklemini sağlayacağından

olarak bulunurlar. Buna göre devrenin zorlanmış çözümü

ve tam çözümü

olarak bulunur. için ve olacaktır. Sonuçta

olarak bulunur. Sürekli durumda ve aralarında faz farkı bulunan sinüs fonksiyonları olacaklardır. Devredeki öteki bütün akım ve gerilim büyüklükleri durum değişkenlerinin ve kaynak fonksiyonlarının doğrusal kombinezonları olarak yazılabildiklerinden, bunlar da ya sinüs fonksiyonları ya da bir sabit eklenmiş sinüs fonksiyonları şeklinde olacaklardır.

12

Örnek Alınan Devrenin Sürekli Sinüzoidal Hal’de ÇözülmesiVerilen devre asimptotik kararlı olduğundan, sürekli halde devrenin zorlanmış

çözümü, özel çözümüne eşit olur. Bu çözüm ise

’dir.

katsayısı devredeki sinüzoidal gerilim kaynağının maksimum değerini göstermektedir. Eğer bu sonuç fazör büyüklükleriyle elde edilmek istenirse w=2 olmak üzere,

yazılabilir. Eğer

ve alınırsa

bulunur. Bu ifadeyi yeniden t tanım bölgesinde yazarsak;

ifadesi elde edilir. Bu ise devrenin özel çözümüdür. Buradan da görüldüğü gibi Sürekli Sinüzoidal Halde elde edilen çözüm devrenin özel çözümüne eşittir.

Devrenin parametrelerini , , , , , , olarak alındığında çözümler aşağıdaki şekillerdeki gibi

olmaktadır.

13

0 50 100 150 200 250 300-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

End

ükta

ns A

km

Zaman

Tam Çözüm

0 50 100 150 200 250 300-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Zaman

Kap

asite

Ger

ilim

i

Tam Çözüm

14

0 50 100 150 200 250 300-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Zaman

Kap

asite

Ger

ilim

i

Zorlanmis Çözüm

0 50 100 150 200 250 300-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

End

ükta

ns A

km

Zaman

Zorlanmis Çözüm

15

0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Kap

asite

Ger

ilim

i

Zaman

Öz Çözüm

0 100 200 300 400 500 600-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

End

ükta

ns A

km

Zaman

Öz Çözüm

16

Kaynaklar: 1. Devre Analizi Dersleri – Kısım 1, Y. Tokad, İTÜ Yayınları, 19772. Devre Analizi Dersleri – Kısım 2, Y. Tokad, Çağlayan Kitabevi, 19873. Devre Analizi Dersleri – Kısım 4, Y. Tokad, Çağlayan Kitabevi, 19874. Linear and Non-linear Circuits, L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh, McGraw-Hill, 1987

17