TRABAJO DE MATEMATICAS

5/15/2018 TRABAJO DE MATEMATICAS - slidepdf.com

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UNIREM

“UNIVERSIDAD DE LAREPUBLICA MEXICANA”

Asignatura: Fundamentos deMatemáticas.

Alumno: Esquivel Pulido FranciscoEduardo.

Matricula: A312210239.

Grupo: 101V.

Profesora: Cortes Hernández AngélicaSofía.

Tema: Resumen de la unidad II “LA

LINEA RECTA”



INDICE

1. Introducción………………………………………………………………..……………3

2. La Línea Recta…………………………………………………………………..………4

2.1 Distancia entre dos puntos…………………………………………….….…….7

2.2 Pendiente……………………………………………………………….………………8

2.3 Formas para obtener la ecuación de la recta……………..…………….10

2.3.1 Conociendo dos puntos……………………………………...………..……..10

2.3.2 Conociendo un punto y la pendiente…………………..…….…………12

2.4 Formas de ecuación de la recta………………………………..…….………14

2.4.1 Forma canoníca……………………………………………………..…………...14

2.4.2 Forma general……………………………………………………….……………19

2.4.3 Forma simétrica………………………………………………………………….21

2.5 Transformación de la ecuación de la recta en sus diferentesformas………………………………………………………………………………….……23

2.6 Perpendicularidad y paralelismo………………………………………….…26

2.7 Desigualdades lineales gráficas……………………………………………...31

3. Bibliografía…………..……….………………………………………………………..32



INTRODUCCION

EL PROPÓSITO EN ESTE TRABAJO, ES PRESENTAR LAS DIFERENTESFORMAS DE LA LÍNEA RECTA, SE PRESENTAN ALGUNOSCONCEPTOS PRELIMINARES COMO SON EL DE DISTANCIA ENTREDOS PUNTOS, PENDIENTE, FORMAS PARA OBTENER ECUACIONESDE LA RECTA, FORMAS DE ECUACIÓN DE LA RECTA,PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO Y DESIGUALDADES LINEALES

GRAFICAS.

TODOS ESTOS TEMAS SE EXPLICAN CON EL FIN DE ENTENDERMEJOR LOS DIFERENTES TEMAS DERIVADOS DE LA LÍNEA RECTA YTENER MÁS CONOCIMIENTO Y COMPRENSIÓN DE LOS TEMASSEÑALADOS.

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2. “LA LINEA RECTA”

La recta o línea recta, se extiende en una misma dirección, existe enuna sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta deinfinitos segmentos línea más corto que. También se describe comola sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, osea, no posee principio ni fin. Las rectas se suelen denominar con unaletra minúscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación deltipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha

expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y estárelacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par deejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "términoindependiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en elcual la recta corta al eje vertical en el plano.

4

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea

http://es.wikipedia.org/wiki/Min%C3%BAscula

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n


http://es.wikipedia.org/wiki/Min%C3%BAscula

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)



Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = esta dadapor:

(1)

Demostración 4.1.

En la figura 4.1. Hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta

fig. 4.1.

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Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela aleje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulorectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica:

Pero: ; y

Luego,

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2.1 “DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS”

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en unarecta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al

valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en unarecta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al

valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntosse encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, ladistancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1, y1) yB(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo

rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

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2.2 “PENDIENTE”

La pendiente de una recta en un sistema de representaciónrectangular (de un plano cartesiano), suele ser representado por laletra , y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y divididopor el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En lasiguiente ecuación se describe:

La pendiente en las ecuaciones de la recta

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es lapendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de lasiguiente manera:

Entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de puede serinterpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y,es decir, el valor de cuando . Este valor también es llamadocoordenada de origen.

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Si la pendiente de una recta y el punto de la recta sonconocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontradausando:

La pendiente de la recta en la fórmula general:

Está dada por:

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Graph_of_sliding_derivative_line.gif








2.3 “FORMAS PARA OBTENER LA ECUACION DE LA RECTA”

2.3.1 “CONOCIENDO DOS PUNTOS”

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2,y2)

Sea la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámesem1 su pendiente.

Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, setiene de acuerdo a 4.4.3, que

y – y1 = m1 (x – x1) (1)

Representa la ecuación de dicha recta.

Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface suecuación.

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Esto es y2 – y1 = ; de donde (2)

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3)

La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de laecuación de la recta.

Observaciones

i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de lapendiente m y la ecuación(3) también puede escribirse en la forma:

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene

dado por:

ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada porP1(x1y1) entonces laecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma dedeterminante, así:

= 0

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2.3.2 “CONOSIENDO UN PUNTO Y LA PENDIENTE”

Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuyapendiente m también es conocida.

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y , entonces laecuación de l , viene dada por:

y = mx + b (1)

Como P1(x1, y1) l , entonces satisface (1) y en consecuencia setiene:

y1 = mx1 + b (2)

fig. 4.8

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina elparámetro b que se desconoce y se obtiene:

y – y1 = m(x – x1) (3)

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La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTEde la ecuación de la recta.

Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en laforma:

y = mx + (y1 – mx1).

Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por:

b = y1 – mx1

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2.4 “FORMAS DE ECUACIÓN DE LA RECTA”

2.4.1 “FORMA CANÓNICA”

La ecuación canónica o segmentaria de la recta es laexpresión de la recta en función de los segmentos queésta determina sobre los ejes de coordenadas.

a es la abscisa en el origen de la recta.

b es la ordenada en el origen de la recta.

Los valores de a y de b se se pueden obtener de laecuación general.

Si y = 0 resulta x = a.

Si x = 0 resulta y = b.

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Una recta carece de la forma canónica en lossiguientes casos:

1Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n

2Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k

3Recta que pasa por el origen, que tiene deecuación y = mx.

Ejemplos

Una recta determina sobre los ejes coordenados,segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallarsu ecuación.

Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa porP (−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4).

Hallamos la ecuación en forma continua:

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Pasamos a la general:

−4x −8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0

Si y = 0 x = −5/4 = a.

Si x = 0 y = −5/3 = b.

La recta r ≡ x − y + 4 = 0 forma con los ejes untriángulo del que se pide su área.

La recta forma un triángulo rectángulo con el origeny sus catetos son la abscisa y la ordenada en el origen.

Si y = 0 x = −4 = a .

Si x = 0 y = 2 = b.

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La ecuación canónica es:

El área es:

Una recta pasa por el punto A (1. 5) y determina conlos ejes de coordenadas un triángulo de 18 u 2 de

superficie. ¿Cuál es la ecuación de la recta?

Aplicamos la ecuación canónica:

El área del triángulo es:

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Resolvemos el sistema:

Hallar la ecuación de una recta que determina sobrelos ejes coordenados, segmentos de doble longitud enel eje de abscisas, que en el de ordenadas, sabiendoque pasa por el punto A (3, 2).

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2.4.2 “FORMA GENERAL”

La ecuación GENERAL de una línea recta tiene la forma:

y = mx + b

¿Qué significa?

Gradiente Intersección Y

y = cuánto arribax = cuán lejos

m = gradiente o pendiente (cuán inclinada es la línea)

b = la intersección Y (donde la línea se cruza con el eje Y)

Sabiendo esto podemos encontrar la ecuación de una línea recta:

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http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/gradiente.html


http://www.disfrutalasmatematicas.com/y_intercept.html






“Ejemplo de formula general”

m =2

1= 2

b = 1

Por lo tanto y= 2x +1

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2.4.3 “FORMA SIMÉTRICA”

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b , a la abscisa alorigen se le puede llamar a . Si se plantea como problema encontrarla ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada alorigen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son:

y

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primerose debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación y 2? y 1 = m (x 2 ? x 1), usandocualquiera de los dos puntos, en este caso (a ,0):

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el términoindependiente ab :

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http://www.xuletas.es/ficha/ecuaciones-de-la-recta-2/

http://www.xuletas.es/ficha/ecuaciones-de-la-recta-2/



Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Estaecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta delaque se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir dela ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicharecta intercepta a los ejes.

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2.5 “TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN SUSDIFERENTES FORMAS”

“FORMA EXPLÍCITA”

De la forma general, se despeja "y".

by = -ax - c

y = (-a/b) x - c/b. . . . (se pasó "b" dividiendo)

Si m = -a/b, h = -c/b, la ecuación queda

y = mx + h <----- FORMA EXPLÍCITA

(m: pendiente, h: ordenada al origen)

EJEMPLO. Expresar en forma explícita la ecuación 5x + 2y - 8 = 0

2y = -5x + 8

y = (-5/2) x + 8/2

y = (-5/2) x + 4

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“FORMA SEGMENTARIA”

De la forma general, pasamos el término independiente al segundomiembro.

ax + by = -c

Dividimos ambos miembros por -c para que en el segundo miembroquede un 1.

ax/-c + by/-c = -c/-c

Para dejar "x" e "y" solas, pasamos "a" y "b" al denominador.

x/(-c/a) + y/(-c/b) = 1

Llamando p = -c/a, q = -c/b, queda,

x/p + y/q = 1 <------ FORMA SEGMENTARIA

Significado de "p" y "q". (p, 0) y (0, q) son los puntos de intersecciónde la recta con los ejes coordenados.EJEMPLO. Expresar en forma segmentaria la ecuación 3x - 5y - 6 = 0

3x - 5y = 63x/6 - 5y/6 = 6/6x/ (6/3) + y/ (6/-5) = 1x/2 + y/ (-5/6) = 1

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“FORMA GENERAL”

Tenemos Ax+By+C=0

Dividimos toda la ecuación dentro de -C:

(A/-C)x+(B/-C)y-1=0

Ahora sumamos a cada lado +1: (A/-C)x+(B/-C)y=1

Tenemos que 1/a = A/-C ; 1/b = B/-C ; Por lo tanto:

x/a + y/b = 1 ; a= -C/A ; b=-C/B

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2.6 “PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO”

“PERPENDICULARIDAD”

La perpendicularidad de una línea recta o plano, es la que formaángulo recto con la dada.

La relación de perpendicularidad se puede dar entre:

Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al

cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada unade los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección dedos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellasen la otra.

o Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuandoconforman ángulos rectos teniendo o no el mismo puntode origen.

Planos: dos planos son perpendiculares cuando conformancuatro ángulos diedros de 90º.o Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando

conforman ángulos diedros de 90°; generalmente,compartiendo la misma recta de origen. Además, puedeexistir una relación de perpendicularidad entre los cuatroelementos anteriores, tomados de dos en dos.

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http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_recta

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta

http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_diedro

http://es.wikipedia.org/wiki/Semiplano

http://es.wikipedia.org/wiki/Semiplano

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_diedro

http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_recta



Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, sonperpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse formanángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Loslados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinandos planos perpendiculares).

27

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_adyacentes

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Perpendicular-coloured.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_adyacentes



“CONSTRUCCIÓN DE LA PERPENDICULAR A UNA RECTA POR UNPUNTO DADO”

Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto Pusando regla y compás, procede como sigue:

Paso 1 (rojo): dibuja un círculo con centro en P para crear lospuntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P.

Paso 2 (verde): dibuja dos círculos centrados en A' y B', pasandolos dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estos doscírculos.

Paso 3 (azul): une P y Q para obtener la perpendicular PQ.

Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el teorema decongruencia SSS para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar quelos ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el teorema decongruencia SAS para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar quelos ángulos POA y POB son iguales.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1s

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia#Distancia_.28geometr.C3.ADa.29

http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(geometr%C3%ADa)#Congruencia_de_tri.C3.A1ngulos




http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7c/Perpendicular-construction.svg





http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia#Distancia_.28geometr.C3.ADa.29

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_y_comp%C3%A1s



“CON RELACIÓN A LÍNEAS PARALELAS”

Si dos líneas (a y b ) son perpendiculares a una tercera línea (c ), todoslos ángulos formados en la tercera línea son ángulos rectos. Por lotanto, en Geometría euclidiana, cualquier par de líneas que sonperpendiculares a una tercera línea son paralelas entre sí, debido alquinto postulado de Euclides. Por el contrario, si una línea esperpendicular a una segunda línea, también es perpendicular acualquier línea paralela a la segunda línea.

En la figura, todos los ángulos naranjas son congruentes entre sí y

todos los ángulos verdes son congruentes entre sí, porque losángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulosalternos interiores formados por un corte transversal de líneasparalelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b sonparalelas, cualquiera de las conclusiones siguientes conduce a todaslas demás:

Uno de los ángulos del diagrama es un ángulo recto. Uno de los ángulos naranja es congruente con uno de los

ángulos verdes. La línea c es perpendicular a la línea a . La línea c es perpendicular a la línea b .

29

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana

http://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_opuestos_por_el_v%C3%A9rtice

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_entre_paralelas


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/Perpendicular_transversal_v3.svg




http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_opuestos_por_el_v%C3%A9rtice

http://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana




“PARALELISMO”

El paralelismo es una relación que se establece entre cualquiervariedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos,hiperplanos y demás).

En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son losequidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no puedenencontrarse.

30

http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_cl%C3%A1sica

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Two_parallel_lines_a_b.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_cl%C3%A1sica

http://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_lineal



2.7 “DESIGUALDADES LINEALES GRÁFICAS”

Desigualdades linealesOtra manera de extender los conceptos de una ecuación lineal escambiar el signo de igualdad por un signo de menor o de mayor. Sihace esto, está expresando que las dos expresiones no sonequivalentes.Este capítulo introduce las desigualdades lineales en las cuales unade las variables tiene un valor conocido, tal como 5 _ 2a _ Taldesigualdad tiene un número infinito de soluciones y usted lo puedevisualizar en una recta numérica. Al igual que el par de números que

satisface una ecuación puede representarse por una recta en unagráfica, los pares de números que satisfacen una desigualdad puedenrepresentarse en una gráfica. Estos aparecen como todos los puntosa un lado de la recta que representan la ecuación correspondiente.Para una desigualdad estricta, tal como y _ 2x _1, los puntos en larecta fronteriza y _ 2x _1 hacen falsa la desigualdad, así que la rectaestá entrecortada para mostrar que sólo la porción sombreada de la

gráfica, y no la recta fronteriza, representa la solución.

Los métodos matemáticos llamados programación lineal (linear

programming ) aplican a muchas situaciones reales. Estos métodosdependen de sistemas de desigualdades lineales. Se puedenvisualizar las soluciones a estos sistemas gráficamente como laregión que contiene sólo los puntos que satisfacen todas las

desigualdades en el sistema.

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