Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación

Universidad Fermín ToroVicerrectorado Académico

Facultad de Ingeniería

Integrantes:Víctor Rodríguez C.I 24550364

Profesor:Domingo Méndez

Sección:Saia

Integrales Definidas

Notación Sigma

Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.

La sumatoria se denota…Mediante la letra griega sigma (Σ), en cuya parte inferior y superior se especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará. Estos números reciben el nombre de índice inferior e índice superior.

Se representa así:

Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el inferior. La expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá a la variable, en este caso es "Xk".

El desarrollo de la expresión mostrada anteriormente queda así:

Ejemplo:

Propiedades de la sumatoria.Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra las once que se relacionan a continuación, cuya demostración se realiza utilizando el procedimiento matemático de Inducción Completa.

Propiedad #1: 

Demostración:

Propiedad #2:

Demostración:

Propiedad #3:

Demostración:

Propiedad #4:

Demostración:

Propiedad #5:

Demostración:

Generalidades de la notación sigma.Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se denota como sigue:

Donde:S: Magnitud resultante de la suma.T: Cantidad de valores a sumar.k: Índice de la suma, que varía entre h y h+th: Punto inicial de la sumatoriah+t: Punto final de la sumatoriank: Valor de la magnitud objeto de suma en el punto kUn tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→ ∞, que se conoce como serie y se representa de la manera siguiente:

Suma Superior e inferior

Área bajo la curva

Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.

Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.

En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real. Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

Integral definidaSi la integral tiene definidos los límites de integración es "definida". En caso de que no aparezcan la integral es "indefinida".Desde el punto de vista del análisis la integral definida, como funcional, va del espacio de las funciones en el cuerpo. Es un elemento del dual del espacio de las funciones.La integral indefinida va desde el espacio de las funciones en sí mismo.En criollo, una te manda a números, porque evalúas la función en los límites que te dice la integral (esto es la definida). La otra te manda a funciones, queda indefinida por la constante que se agrega en virtud del teorema fundamental del cálculo integral.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

Suma de riemann

La integral de Riemann es una operación sobre una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto.

Donde n es la cantidad de subintervalos.

Normalmente se nota como:

El símbolo , es una "S" deformada. En el caso en que la función f tenga varias variables, el dx especifica la variable de integración.la integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área bajo la curva de la función.Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf={(x, y)|0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir.

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudaran a evaluarlas con más facilidad.

#1 donde c es una constante. 

2# Si y son integrables en y es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(Se puede generalizar para más de dos funciones)

#3 Si está definida para entonces:

Si es integrable en entonces #4

#5 Propiedad de Aditividad del intervalo:

Si es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por y entonces:

Aplicar e interpretar geométricamente el T.V.M. para integrales.

Teorema de Valor Medio para Integrales Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces existe en ´este un punto  α tal que severifique la siguiente igualdad:

Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una fusión f tal que f(x) ≥0, para todos los valores de  x en el intervalo [a, b]. Entonces es el ´área de la región limitada por la curva con ecuación , el eje x ylas rectas con ecuaciones  x = a,  x = b

Debido a la propiedad que establece que existe numero α en [ a,b] tal que el área del rectángulo a QS b, cuya altura es f(α) y que tiene ancho de (b − a) unidades, es igual al ´área de la región a PR  b. El valor de α no es necesariamente único

Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la aplicación de los métodos de sustitución y cambios de variables.

Calcule las siguientes integrales definidas:Cambio de variable

Siguiente lamina->

Este es el resultado de la integral, aplicando el teorema fundamental del calculo.