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TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE FÍSICAFÍSICA
6 - Oscilações
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Pequenas oscilações
Aplicações em Acústica, espectros moleculares, vibrações em mecanismos, circuitos elétricos acoplados, etc.
Se os desvios do equilíbrio estável são pequenas, pode-se descrever por sistemas de osciladores harmônicos acoplados.
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Revisão de oscilador harmônicoMassa m sobre superfície sem atrito presa a
uma mola de constante k fixa numa parede.
A mola, quando deformada, reage com uma força F dada pela lei de Hooke
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Revisão de oscilador harmônicoDa 2ª Lei de Newton,
e, assim,
ou com
e solução
ou com
02
02
2
xdt
xd
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Equilíbrio
No equilíbrio,
Pode ser
Estável
Instável
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Próximo ao equilíbrio
Fazendo
Expandindo o potencial em série de Taylor,
(c/ Σij)
Mas e e
Então
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Próximo ao equilíbrio
Para a energia cinética,
com
Como T é quadrática nas velocidades,
com
e a Lagrangeana fica
com as EM
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Próximo ao equilíbrio
As EM devem ter soluções da forma
que, substituídas nas EM, resultam
(equações de autovalores),
as quais só podem ter solução NT se
chamada equação característica.
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Próximo ao equilíbrio
Reescrevendo as equações de autovalores,
onde a é uma matriz coluna de autovetores e λsão os correspondentes autovalores (reais).
Demonstra-se que a é tal que diagonaliza T e V.
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Oscilador harmônico composto
Duas massas iguais M e uma massa m entre elas, ligadas por molas ideais com a mesma constante k.
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Oscilador harmônico composto
As equações de movimento são
para as quais, procuramos soluções em que as três massas oscilam com a mesma frequência angular, isto é, os modos normais de vibração
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Oscilador harmônico composto
Substituindo as soluções ,
obtemos a equação de autovalores
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Oscilador harmônico composto
A equação característica fica, então,
que equivale a
com raízes
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Oscilador harmônico composto
Para o primeiro autovalor ,
por diagonalização,
ou
que corresponde ao sistema em repouso, sem deformação das molas nem oscilação.
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Oscilador harmônico composto
Para o autovalor ,
ou
em que as massas M oscilam em sentidos opostos e a massa m fica em repouso
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Oscilador harmônico composto
Para o autovalor ,
ou
em que as massas M oscilam com o mesmo sentido e amplitude e a massa m oscila em sentido contrário com amplitude 2 M /m da das outras.
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2º Oscilador harmônico compostoTrês massas iguais M , ligadas entre si e à
paredes por molas iguais k.
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2º Oscilador harmônico compostoAs equações de movimento são
para as quais procuramos os modos normais de vibração
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2º Oscilador harmônico compostoSubstituindo as soluções ,
obtemos a equação de autovalores
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2º Oscilador harmônico compostoA equação característica fica, então,
que equivale a
com raízes
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2º Oscilador harmônico compostoPara o primeiro autovalor ,
por diagonalização,
ou
que corresponde à massa central em repouso e as outras duas com a mesma amplitude, mas em sentidos contrários.
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2º Oscilador harmônico compostoPara o autovalor ,
ou
em que as massas externas oscilam com o mesmo sentido e amplitude e a massa central oscila em sentido contrário com amplitude da das outras.
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2º Oscilador harmônico compostoPara o autovalor ,
ou
em que as três massas oscilam com o mesmo sentido, as externas com a mesma amplitude e a massa central com amplitude da das outras.
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3º Oscilador harmônico compostoDuas massas iguais M e uma massa m entre
elas, ligadas por molas iguais k, sujeitas a uma força periódica F atuando na primeira massa.
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3º Oscilador harmônico compostoAs equações de movimento são
para as quais procuramos os modos normais de vibração.
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3º Oscilador harmônico compostoAs equações de movimento são
para as quais procuramos os modos normais de vibração.
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3º Oscilador harmônico compostoSubstituindo as soluções ,
obtemos a equação de autovalores
ou
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3º Oscilador harmônico compostoCom solução
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3º Oscilador harmônico compostoComparando com o 1º exemplo, com
autovalores , e ,
vê-se que, caso a frequência da força tenda a um desses valores, as amplitudes de oscilação crescerão ilimitadamente!
Este é o fenômeno da ressonância.
É a base dos fornos de micro-ondas e causa de acidentes, tais como a Tacoma Narrow’sBridge.
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RUMO AO CAOSRUMO AO CAOS
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Roleta
sabendo θ0 e v0 da bolinha e da roda
pode ser modelizadamatematicamente: qual a 1ª casa
qual a 2ª casa,
etc., até parar
mas só se θ0 e v0 com precisão infinita!
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História
Teoria das Perturbações: pequenas perturbações pequenos efeitos
problema de muitos corpos sistema Solar (Poincaré)
Teoria das Perturbações não se aplicava
Sistema Solar é caótico!!!
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Caos
Caos não é desordem!
Desordem: indeterminado e imprevisível
Ordem: determinado e previsível
Caos: determinado mas imprevisível!!
Caos: estado intermediário entre desordem e ordem
Caos: determinista e imprevisível
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Sistemas reais não-lineares
Pêndulo caótico
Trapézio espacial
Pêndulo esférico
a mancha vermelha de Júpiter
a corrente do Golfo
El Niño?
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Caos na Natureza
populações são caóticas
saúde humana é caótica
guerras são caóticas
etc.
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Equação logística
x=r*x(1-x)
p/ r=2,7, p.ex, x tende a um ponto de equilíbrio
para r>3, oscilações e caos
0,02
0,0529
0,1353
0,3159
0,5835
0,6562
0,6092
0,6428
0,6199
0,6362
0,6249
...
0,6296
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Bifurcação
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Pêndulo simples
Transformando em coordenadas generalizadas posição e momento linear,
Equivalente a dois osciladores harmônicos desacoplados com frequências angulares 1 e 2
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Diagrama de fase (1= 2)
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Com pouco atrito
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Com muito atrito
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Pêndulo duplo
Diagrama em espaço de fase: px
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Pequenas oscilações
Para pequenas oscilações
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Grandes oscilações
Alta sensibilidade a condições iniciais
Separação entre trajetórias cresce exponencialmente com o tempo com
= expoente de Lyapunov
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Pêndulo magnético
ponto azul: pêndulo terminará no ímã ‘azul’, etc.
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Caos e complexidade
Sistemas caóticos são um subconjunto de sistemas complexos
Complexidade × entropia (aleatoriedade, imprevisibilidade)
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Cálculo da complexidade
(Crutchfield)
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Exemplos
Cristal: previsível: um único estado que se repete indefinidamente uma única classe de equivalência (P() = 1 log2 P() = 0 C = 0)
Moeda: imprevisível: um estado não dá informações sobre o estado anterior todos os estados são equivalentes uma única classe de equivalência (P() = 1log2 P() = 0 C = 0)
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Exemplos
Relógio (tic-tac): após o estado inicial arbitrário, após um tic, vem certamente um tac (P() = 1/2 log2 P() = -1 C = 1)
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Caos e complexidade
Ponto crítico
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Bibliografia
dos SANTOS, Renato P. Oscilador Harmónico Composto. In: A. Carreira; G. Pinto (Eds.), Cálculo Matricial. v. 3, p. 237–251. Lisboa: Instituto Piaget, 1999. Disponível em: <http://www.fisica-interessante.com/files/capitulo-oscilador_harmonico_composto.pdf>.
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Bibliografia
GLEICK, James. Caos : A Construção de uma nova Ciência. Campus, 1989.
SILVEIRA, Fernando L. da. Determinismo, Previsibilidade e Caos. Caderno Catatarinense de Ensino de Física, v.10, n.2: p.137-147, ago.1993. Disponível em <http://www.fsc.ufsc.br/cbef/port/10-2/artpdf/a4.pdf>. Acesso em 18 abr. 2007.
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Bibliografia
LEVIEN, R. B.; TAN, S. M.. Double pendulum: An experiment in chaos. American Journal of Physics, v. 61, n. 11, p. 1038-1044, Nov. 1993.
CRUTCHFIELD, James P. Between order and chaos. Nature Physics, v. 8, n. 1, p. 17-24, Dec 2011.