Tópicos de óticaTópicos de ótica

Física de materiais com índice de refração negativo

Antônio Carlos Fontes dos Santos

LEMBRANDO..FASE E VELOCIDADE DE FASELEMBRANDO..FASE E VELOCIDADE DE FASE

ψ (x,t) = A sen (kx±ωt +ε)

Fase ϕ = kx±ωt +εωϕ=

∂∂

Variação da fase com o tempo Fase ϕ = kx±ωt +ε

Constante de fase

kv

dt

dx

dt

dxk

dt

d

kx

t

ω

ωϕ

ϕ

ω

±==

=±=

=∂∂

=∂

0

Variação da fase com o tempo

Variação da fase com a posição

fase constante

velocidade de fase

LEMBRANDO....VELOCIDADE DE GRUPOLEMBRANDO....VELOCIDADE DE GRUPO

Em meios dispersivos a velocidade de fase depende do comprimento de onda .

dk

dvg

ω=dk

A moduladora, ou sinal, propaga-se a uma velocidade vg , que pode ser superior, igual ou inferior à velocidade de fase da transportadora, v

dk

dvkvv

kv

g +=

=ωcomo

então

Em particular em meios não dispersivos em que v não

depende de λ,

dv/dk =0 e vg = v

Em meios dispersivos onde n = n(k) , ω =kv =kc/nvg pode ser escrito na forma:vg pode ser escrito na forma:

−=

−=

dk

dn

n

kvv

dk

dn

n

kc

n

cv

g

g

1

2

−=

−=

dk

dn

n

kvv

dk

dn

n

kc

n

cv

g

g

1

2

Em meios óticos e em regimes de dispersão normal, o índice de refração aumenta com a frequência(dn/dk > 0 ), logo vg < v. (dn/dk > 0 ), logo vg < v.

Podemos definir então um índice de refração de grupo,

ng = c/vg

A velocidade de grupo é frequentemente vista como avelocidade na qual a energia e a informação são transportadasna onda.

No entanto, se a onda está atravessando um meio absorverdor,isto nem sempre é verdade. Vários experimentos mostram queé possível que a velocidade de grupo de uma luz laser em certosmateriais podem exceder a velocidade da luz no vácuo!

Mas a comunicação superluminal não é possível, pois aMas a comunicação superluminal não é possível, pois avelocidade do sinal permanece menor do que a velocidade daluz. É possível também reduzir a velocidade de grupo da luz azero, parando o pulso, ou ter uma velocidade de grupo negativa,parecendo que o pulso se propaga para trás.

Mas, em todos estes casos, os fótons continuam se propagandocom a velocidade da luz no meio.

Atenção!Atenção!

No caso em que n < 0 :

Dispersão é uma característica primordial de metamateriais. Não levar este fato em conta leva a resultados sem sentido.

t

EH

t

HE

∂∂

=×∇

=∂∂

+×∇r

rr

rr

rr

µε

µ 0

Na ausência de fontes

tH

∂=×∇ µε

A troca do sentido do transporte de energia pode ser entendida como: trocar o sentido de ε e µ é equivalente a trocar o sinal do campo magnético, mas manter o mesmo vetor de onda. As soluções ficam exatamente iguais ao sistema positivo.

O índice de refração é definido como:

A partir das equações de Maxwell, obtemos:

Para materiais corriqueiros, podemos tirar a raiz quadrada sem problemas. Embora fosse

Reconhecido que o índice de refração fosse complexo, para descrever a absorção pelo meio,

E mesmo um tensor, em meios não isotrópicos, o sinal foi sempre tido como positivo,

Pelo menos até 1967, quando Veselago considerou materiais com índices de refração

negativos.

εµ±=n

εµ+=n

Materiais ordinários

εµ−=n

Materiais com ε< 0 e µ< 0

Causalidade força a escolha do sinal negativo

εµ

εµ

−−

==Z

εµ±=n

εε −==Z

A impedânica é a mesma !

Podemos escrever

µ= |µ|*exp(iπ)

ε= |ε|*exp(iπ)

e

n = [|ε|* |µ|*exp(i2π)]1/2 = [|ε|* |µ|]1/2 *[exp(i2π)]1/2 = - [|ε|* |µ|]1/2n = [|ε|* |µ|*exp(i2π)]1/2 = [|ε|* |µ|]1/2 *[exp(i2π)]1/2 = - [|ε|* |µ|]1/2

n = Re(n)+iIm(n)

Na prática, Im > 0 porquê sempre há perda

ε

µ ε> 0; µ>0

Materiais ordinários

‘Right hand’

Permite propagação de onda

E

Hk

ε<0; µ>0

Muitos metais

Onda evanescente

εE

H

k

ε< 0; µ<0

Metamateriais artificiais

‘Left hand’

(não confundir com moléculas quirais)

Permite propagação de onda

ε> 0; µ<0

Alguns materiais magnéticos naturais

Onda evanescente

ε

µk

EHk

EH

kE

H

E

H

E

εk

EH

k

EH

k

E

E

H

n>0 n<0

n>0n<0

Água com n= 1,33 (gerada por computação)

n = 0,99

n = -1.33 ( o fundo parece estar acima da borda)

Vácuo

εr =1; µr=1

Vácuo

εr =1; µr =1

metamaterial

εr =-1; µr=-1

Uma lente perfeita!

almetamateri

o

ovácuo ZZ =Ω== 377

εµ Não há reflexão!

Sem aberração!

Lente convencional metamaterial

Considere as equações de Maxwell para uma onda plana

)( wtrkie −⋅rr

E

H

k

nc

nn

vnk ˆˆˆ

2 ωωλπ

===r

rr×Vetor unitário na direção HE

rr×

HESrrr

×=

kr

n>0

HESrrr

×=

kr

n<0

E como fica o Principio de Fermat ?

O caminho percorrido pela luz para ir

de um ponto a outro é o de duração

mínima.

Fata Morgana (miragem devido a inversão de temperatura)

Green flash

θ1

A

C

Tempo entre A e B:

t = AC/v1 + CB/v2

dt/dθ =

θ2

C

B

Princípio de Fermat ao revés

O caminho ótico é dado por (OPL):

A

B

O tempo gasto pela luz para ir de A até B é proporcional ao caminhoótico. O princípio da mínima ação afirma que a trajetória maisprovável é a fase estacionária, que corresponde ao extremo naderivada espacial do tempo total de trajetória de todos as trajetóriaspossíveis.

Este extremo poderia ser um máximo, um mínimo ou um ponto de inflexão. O princípio de Fermat afirma que é um mínimo.

n1 n2 > 0

θ1

θ2

Com n2 < 0 , a segunda derivada muda de sinal,

n1 n2 < 0

θ1 θ2

derivada muda de sinal, apontando para uma conclusão não intuitiva de que temos um máximo e não um mínimo em tempo.Metamateriais são causais em energia mas não em tempo!

O principio de Fermat precisa ser reformulado!

Materiais dielétricos negativos (εεεε<0)

Metais e plasmons em frequências óticas:

Onda incidente

amortecimento

Polarização por unidade de volume

Frequência de plasmaFrequência de plasma

d → dimensão do objeto

Limites em óticaLimites em ótica

Ótica geométricaÓtica geométricaÓtica físicaÓtica física

Física atômicaFísica atômica

Descrição efetiva do meioDescrição efetiva do meioAtravés de Através de εεεεεεεε, , µµµµµµµµ, n, n

d/λ ∞d >>λd ~λd << λ

Lentes, sombras, etc..

Interferência, difração,..

Ex: metamateriais,Meios anisotrópicos,Birrefrigência,

Um metamaterial é um arranjo de elementos de forma a ter propriedades eletromagnéticas não usuais.

µετα = meta = além

Material natural com seus átomos Metametarial com seus “átomos” artificiais

Numa escala de comprimento muito maior do que a separação entre átomos, tudo o que precisamos saber sobre o sistema é dado por ε e µ.

O mesmo vale para metamateriais, em uma escala muito maior do que o tamanho das unidades constituintes, as propriedades são determinadas por εeff e µeff . Isto significa que o tamanho das unidades deve ser muito menor do que o comprimento de onda da radiação.

Metamaterial com ε < 0 : uma estrutura periódica composta de uma infinidade de fios finos arranjados em uma rede cúbica imita a resposta de um plasma. Um plasma é um gás de partículas carregadas, assim como em um metal onde as partículas são os elétrons livres.

r ~ 10 µma ~ mmωp ~ GHz

Exemplo de metamaterial

Taça de Licurgo

Feito em vidro (séc. IV DC), mostra orei licurgo sendo arrastado para osubmundo.

Quando iluminado pordentro , apresenta umvermelho brilhante. Osromanos adicionavampequenos fragmentos demetal ao vidro para fazê-locheio de cor.Mas poucositens apresentam estamudança de cor

Microscopia eletrônica revela nanopartículas de ouro com resposta em color diferente do ouro no material (bulk).

Primeiro? Metamaterial (feito em Roma) com nanopartículas de ouro.

Pode ser alcançado com uma monocamada de grafite (grafeno)

No grafite, os átomos de carbonoestão arranjados como folhas dehexágonos planos, cada átomo estáligado por três ligações aos seusvizinhos. A ligação entre camadas éfraca, de modo que o grafite éfacilmente cisalhado, o que o faz umótimo lubrificante.

O grafeno é uma monocamada de grafite.

Um pulso de elétrons na banda de valência do grafeno, a velocidade de grupo será antipararalela ao vetor de onda kk

InvisibilidadeInvisibilidade

Pode-se controlar e dirigir o campo eletromagnético:uma lente de vidro em uma câmera produz umaimagem, uma gaiola de Faraday blinda seu interior decampos externos. Em materiais homogêneos, odesign ótico é uma questão de escolha da interfaceentre dois materiais. Por exemplo, uma lente éentre dois materiais. Por exemplo, uma lente éotimizada alterando sua forma de modo a minimizaraberrações.

No caso de materiais eletricamente não homogêneosoferecem uma alternativa diferente de controlar a luz:a introdução de gradientes específicos no índice derefração de um material pode ser usado para criarlentes e outros elementos óticos.

Foto do homem invisível

As propriedades óticas dos metamateriais deve-se aos detalhes da sua estrutura no nível microscópico (d<<λ) ao invés da sua composição química.

Pode-se produzir propriedades difíceis ou impossíveis de se encontrar de forma natural.

x

y

u

v

Imagine que o sistema está imerso em um meio elástico que pode ser puxado, esticado conforme desejarmos.

A distorção pode ser vistas como uma transformação de coordenadas:u=u(x,y,z) , v= v(x,y,z), w = w(x,y,z)

Suponha que queiramos esconder um objeto qualquer em um dadovolume do espaço; observadores externos não sabem que algo foiescondido deles. Nosso plano é camuflar o objeto com ummetamaterial cuja função é defletir os raios que atingiriam o objeto,guiá-los em torno do objeto, depois deixá-los seguir a sua trajetóriaoriginal.

O que acontece com as equações de Maxwell neste novo sistema de coordenadas ?

As equações têm exatamente a mesma forma em qualquer sistema decoordenadas, mas o índice de refração (ε e µ) assumem uma novaforma.

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxxt

εεεεεεεεε

ε =

'''

'

ED

ED

wwwvwu

vwvvvu

uwuvuu

zzzyzx

rtr

rtr

t

ε

ε

εεεεεεεεε

ε

εεε

=

=

=

Nenhuma radiação pode entrar e nenhuma radiação pode sair do volume.Um observador conclui que o volume está vazio!

Escolhemos que o objeto a ser escondido seja uma esfera de raio R1 e a região camuflada R1 < r < R2 .

A transformação que leva ao resultado desejado pega todos os campos na região r < R2 e os comprime na região R1 < r < R2 .

Ou seja,

r’ = R1 + r(R2 – R1)/R2

θ’ = θθ’ = θ

ϕ’ = ϕ

L∆Z

C∆Z

L→ indutância por unidade de comprimento;

C→ capacitância por unidade de comprimento;

∆I

∆Z

Queda de tensão em um indutor: V = -Ldi/dtCorrente através do capacitor: q = CV→ i = CdV/dt

∆V = - L ∆I/ ∆t∆I = -C ∆V/ ∆t

Antimatéria óticaDois meios complementares,Aniquilam o efeito do outro.Efetivamente, tudo ocorre como se removesse o meio com espessura 2d.

½ + (- ½ )= 0 ½ + (- ½ )= 0

Analogia para o efeito Doppler

Efeito Doppler reversoEfeito Doppler reverso

A fase da onda é um invariante!

Supondo uma fonte que emite radiação com frequência ω e se move com velocidade v com respeito ao meio. A frequência medida pro um detetor no referencial do meio é

ω’ = γ(ω + k.vk.v ) onde γ = (1 – v2 /c2 )

Mas kk = (nω/c )nn

Red shift Blue shift

n >0 n < 0

Radiação de Radiação de CerenkovCerenkov

kk

θ

SS

A B

θ

vv

cosθ = vluz/v = c/vn

A B

kk

θ

vv

SS

n > 0

A B

kk

θ

vv

SSn < 0

Resumo dos efeitos“sinistros”:

Efeito Doppler

Radiação de Cerenkov

Velocidade de grupo e de fase