Tiesinių nelygybių sistemos
description
Transcript of Tiesinių nelygybių sistemos
Tiesinių nelygybių su n nežinomųjų sistemos
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
sprendinys yra toks skaičių rinkinys ),,...,,( 21 nxxx
kuris tenkina kiekvieną sistemos nelygybę.
Kai nežinomųjų yra vienas, du arba trys, bet kurios tiesinių nelygybių sistemos
sprendinių aibę galima pavaizduoti
grafiškai.
Pavyzdys. Pavaizduokime grafiškai tiesinių
nelygybių sistemos sprendinių aibę X, kai :
1
1234
1052
yx
yx
yx
Iš pradžių nubrėšime tieses:
1
1234
1052
yx
yx
yx1052 yx1234 yx
1 yxTam tikslui sudarysime lenteles. Kadangi brėšime tiesę, tai užteks dviejų taškų:
(L1)
(L2)
(L3)
L1:
xy
0 5
2 0
L2:
xy
0 3
4 0
L3:
xy
0 1
1 0
Sprendžiant įvairius verslo veiklos uždavinius tenka ieškoti optimalių
ekonomikos parametrų reikšmių.
Nagrinėjant optimalaus planavimo uždavinius paprastai išskiriamos dvi esminės komponentės – ekonominės veiklos dalyvių interesai ir galimybės. Interesai išreiškiami tikslo funkcija, o galimybės – leistinąja sprendinių aibe.
Sprendžiant optimalios verslo veiklos planavimo uždavinį leistinoje sprendinių aibėje reikia rasti tokį kintamųjų rinkinį, su kuriuo tikslo funkcija įgyja optimalią (didžiausią arba mažiausią – priklausomai nuo uždavinio turinio) reikšmę.Kai turime du nežinomuosius tai leistinąją aibę ir tikslo funkciją galima pavaizduoti grafiškai.
Panagrinėsime bendrą atvejį. Tarkime
įmonė planuoja gaminti dviejų pavadinimų
21 P ir P produkciją iš žaliavų ,R,R,R 321
kurių atsargos yra atitinkamai 321 b,b,b
tam tikrų kiekio vienetų. Žaliavų sąnaudų vienam produkcijos vienetui pagaminti bei jų atsargų kiekiai pateikti lentelėje:
Pagamintos produkcijos P1 ir P2
vieneto kaina c1 ir c2 (litais). Koks turi būti gamybos planas, kad iš turimų žaliavų pagaminta produkcija duotų įmonei didžiausias pajamas?
Sudarykime matematinį uždavinio modelį:
Atsargos P1 P2
R1
R2
R3
b1
b2
b3
a11 a12
a21 a22
a31a32
Planuojamus pagaminti produkcijos P1 ir P2
kiekius pažymėkime atitinkamai x1 ir x2 , o
skaičių rinkinį ),( 21 xxx pavadinkime
gamybos planu. Įmonės pajamas, gautas pardavus šį prekių rinkinį pažymėkime P(x). Pagal uždavinio sąlygą pajamos lygios:
2211)( xcxcxP
Kadangi įmonės tikslas yra gauti didžiausias
pajamas, tai šią funkciją 2211)( xcxcxP toliau vadinsime tikslo funkcija.
Aptarsime įmonės galimybes. Žaliavų R1 ,R2 , R3 sąnaudas planui x=(x1,x2) įvykdyti pažymėkime atitinkamai s1(x), s2(x) ir s3(x). Atsižvelgę į duotą sąnaudų lentelę, jas skaičiuosime pagal šias formules:
2321313
2221212
2121111
)(
)(
)(
xaxaxs
xaxaxs
xaxaxs
Aišku, planuoti galima tik taip, kad žaliavų sąnaudos neviršytų turimų atsargų. Prasmingi tik tie planai x, kurių komponentės patenkina šią apribojimų sistemą:
0,0 21
3232131
2222121
1212111
xx
bxaxa
bxaxa
bxaxa
Jie ir sudaro gamybos optimalaus planavimo uždavinio leistinąją sprendinių
aibę X. Sprendiniui X reikia rasti porą x=(x1,x2) , su kuria tikslo funkcijos, su kuria tikslo funkcijos
2211)( xcxcxP reikšmė yra didžiausia.
Glaustai šis uždavinys – gamybos optimalaus planavimo matematinis modelis užrašomas taip:
Rasti )max( 2211 xcxc
kai
.0 ,0 21
3232131
2222121
1212111
xx
bxaxa
bxaxa
bxaxa
Tiesinio optimalaus planavimo uždavinį galima išspręsti taikant grafinį metodą arba universalų simpleks metodą.
Pavyzdys. Dviejų pavadinimų siuviniams S1 ir S2 naudojami trijų artikulų audiniai A1 , A2 ir A3. Audinių sąnaudų normos (metrais) kiekvienam siuviniui, turimos atsargos (metrais) ir pelnas (litais) už kiekvieną parduotą siuvinį pateikti lentelėje: SS11 SS22 AtsargosAtsargos
AA11 22 66 400400
AA22 22 33 200200
AA33 99 66 600600
PelnasPelnas 2525 2020
Sudarykite didžiausią pelną duosiantį siuvimo planą.
Sudarome matematinį modelį:
)max( 2211 xcxc
.0 ,0 21
3232131
2222121
1212111
xx
bxaxa
bxaxa
bxaxamax(25x1+20x2)
0 ,0
60069
20032
40062
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
Šį uždavinį spręsime grafiškai:1)Pavaizduosime leistinąją aibe X grafiškai, t.y. sudarome tiesines lygtis ir nubraižome tieses L1, L2 ir L3.
2) Nustatome apribojimų sistemos nelygybių sprendinių aibių pusplokštumes. Planų aibė X bus pusplokštumių sankirta. 3)Tikslo funkcijos (pajamų) P(x)=25x1+20x2 reikšmėms tirti leistinoje aibėje sudarome lygio lygtį 25x1+20x2 =0. 4) Brėžiame lygio lygties sprendinių aibės tiesę ir ieškome jai lygiagrečios tiesės , kuri bus liestinė sričiai X ir bus nubrėžta taip, kad visa sritis X liks po šia tiese.
)(L
)(L
)(L
3
2
1
60069
20032
40062
21
21
21
xx
xx
xx
0 ,0
60069
20032
40062
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx1)
L1:
x1 20 80
60 40x2
L2:
x1 10 40
60 40x2
L3:
60 40
10 40
x1
x2
Belieka surasti šį tašką: tai dviejų tiesių L2 ir L3 susikirtimo taškas
60069
20032
21
21
xx
xx
600692
3200
21
21
xx
xx
60062
32009
2
3200
22
21
xx
xx
60065,139002
3200
22
21
xx
xx
Didžiausią pelną gausime, kai abiejų siuvinių S1 ir S2 siusime po 40 ir tada pelnas bus:
(Lt) 180040204025