Skaičiavimo sistemos

Skaičiavimo sistema – tai skaičių vaizdavimo būdas skaitmenų pagalba.

Skaičiavimo sistemospozicinės (arabiškoji)nepozicinės

Nepozicinės skaičiavimo sistemos

Senovės graikų skaičiavimo sistema naudoja grupavimą – tai iteracinė skaičiavimo sistema – nepozicinės pavyzdys.

Romėniškoji skaičiavimo sistema

Tai nepozicinė skaičiavimo sistema.

Turi iteracinės sistemos bruožų:I II III X XX1 2 3 10 20

Turi pozicinės sistemos bruožų:IV VI IX XI4 6 9 11

Pozicinės skaičiavimo sistemos

Skaitmens vertė priklauso nuo jo pozicijos skaičiuje.Bet kurį skaičių galima užrašyti taip:

am-1

Pm-1+ am-2Pm-2+…+ a1P

1+ a0P0+ a-1P

-1+ a-2P-2+

…+ a-sP-s

čia ai – i-tasis skaičiaus skaitmuo,m – skaitmenų kiekis sveikojoje skaičiaus dalyje,s – skaitmenų kiekis trupmeninėje skaičiaus dalyje,P – skaičiavimo sistemos pagrindas.

Skaičiavimo sistemos pagrindas P parodo, kiek kartų i-tosios skilties “svoris” didesnis už (i-1) skiltį.

Maksimalus galimas pavaizduoti skaičius yra Pm-1.

Galimas tikslumas – minimalus vaizduojamas skaičius yra P-s .

Iš viso galima užrašyti Pm+s skirtingų skaičių.

Pozicinės skaičiavimo sistemos - 2

Populiarios kompiuterijoje pozicinės skaičiavimo sistemos

Dvejetainė – pagrindas 2. Galimi skaitmenys 0, 1.

Dvejetainį skaičių 101110,1012 pervertus į dešimtainę sistemą, gausime

1*25+0*24+1*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3 = 46,62510

Šešioliktainė sistema patogi, nes galima skaičiuoti pusbaičiais 28=162.

Skaitmenys 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Aštuntainėje 23=8 .Skaitmenys 0,1,2,3,4,5,6,7.

Sveikųjų skaičių saugojimas

1 baitu (byte) galima saugoti 0-255, t.y. 256 reikšmes.

Neigiamus skaičius galima būtų saugoti – sutarus, kad kairysis bitas nurodo ženklą:

00000001 = 110000001 = -1

Problema: 127+2 = -101111111 + 00000010 = 10000001

Taigi, kaip su neigiamais skaičiais?

Naudojant pirmąjį iš kairės bitą ženklo vaizdavimui dviejuose baituose galima būtų pavaizduoti skaičius nuo +0 iki +32 767 ir nuo -0 iki - 32 767, tačiau tokiu atveju 0 būtų vaizduojamas dviem skirtingais būdais (plius nulis ir minus nulis) , o tam reikėtų specialios aritmetikos, dirbančios su dviem nuliais.

Todėl teigiamų skaičių vaizdavimui naudojamas tiesioginis kodas (vaizduojamas pats skaičius x, t.y. vaizduojamas taip pat kaip ir skaičius be ženklo, tik vienas bitas rezervuojamas ženklui).

O neigiamų skaičių vaizdavimui naudojamas papildomas kodas (vietoje skaičiaus -x vaizduojamas skaičius 2N - x, kur N - skiriamų skaičiui pavaizduoti bitų kiekis).

Sveikieji neigiami skaičiai

Papildomas kodas gaunamas tokiu būdu:

1.  Pavaizduojamas atitinkamas teigiamas skaičius.

2.  Visi bitai invertuojami, t.y. 0 keičiamas 1 ir atvirkščiai.

3.  Pridedamas 1.

Panagrinėkime, pavyzdžiui, kaip bus pavaizduotas skaičius -5  

1. 5 - 00000000 00000101   

2. Bitai invertuojami 11111111 11111010   

3. Pridedamas 1 11111111 11111011

Naudojant tokį vaizdavimo formatą visų neneigiamų skaičių kairiausias bitas yra 0, o neigiamų - 1.

Papildomas kodas

Sveikųjų skaičių tipai

Byte – 1 baitas. 0÷255 be ženklo -127÷127 su ženklu

Short integer – 2 baitai 0÷65535 be ženklo -32767÷32767 su ženklu

Long integer – 4 baitai 0÷4294967295 be ženklo -2147483647÷2147483647 su ženklu

Realiųjų skaičių kodavimas

Kiekvieno tipo duomenims koduoti skiriamas baigtinis bitų skaičius, o kiekvienas bitas gali įgyti tik vieną iš dviejų reikšmių, todėl galima užkoduoti tik baigtinę reikšmių aibę, t.y. gali būti užkoduoti tik diskretiniai duomenys. Tai reiškia, kad kompiuteryje negalima įrašyti, pavyzdžiui, visų atkarpos taškų.

Dėl šių priežasčių kyla problemos, naudojant kompiuterio atmintyje realiuosius skaičius. Tarp bet kurių dviejų realiųjų skaičių yra be galo daug tarpinių realiųjų skaičių ir jie visi negali būti įrašyti kompiuterio atmintyje.

Tačiau reikia turėti galimybę atlikti skaičiavimus, kuriuose operuojama su plataus spektro realiaisiais skaičiais: tiek su labai mažais, pavyzdžiui, elektrono masė; tiek su labai dideliais, pavyzdžiui, atstumas iki žvaigždės.

Skaičiai su fiksuotuoju kableliu

Galimi skaičių saugojimo būdai: natūrali forma (taikoma tik sveikiesiems

skaičiams) su fiksuotuoju kableliu (pvz., decimal(10,5))

Trūkumas – labai siauras galimų verčių diapazonas. Atliekant aritmetines operacijas rezultato reikšmė gali išeiti iš to diapazono ribų ir fiksuojama perpildos klaida.

Slankaus kablelio skaičiaiŠios problemos sprendimui praverčia mokslinis

formatas (angl. scientific notation): kiekvieną skaičių galima užrašyti tokia forma

N = ±M*P±r

M – mantisė

R – eilė (sveikas skaičius)

P – skaičiavimo sistemos pagrindas.

Pastebėkime, kad toks užrašas nėra vienareikšmis - keičiant taško poziciją mantisėje ir tuo pačiu metu eilės reikšmę, pats skaičius nesikeičia, pavyzdžiui:

-1.75 * 100 = -17.5 * 10-1 = -0.175 * 101

Vaizduojant realų skaičių 4-iuose baituose:0-22 bitai mantisei,23-30 bitai laipsniui,31 bitas – ženklas (iš viso – 4 baitai).Skaičiaus ilgis paprastai būna – 4, 6, 8 baitai.Tikslumas atitinkamai 7-8, 11-12, 15-16 reikšminių

skaitmenų.Taigi, realus skaičius -1.75 keturiuose baituose būtų

pavaizduotas taip:

1 00000001 0000000 00000000 10101111Ženklas eilė mantisė

(1 bitas) (8 bitai) (23 bitai)

Beveik visada realūs skaičiai negali būti pavaizduoti tiksliai, tam kad pavaizduoti kompiuterio atmintyje, jie apvalinami, t.y. gaunama apvalinimo paklaida (angl. roundoff error).

Nors slankaus kablelio formato skaičių kitimo diapazonas labai platus (maždaug nuo 10-45 iki 1038), bet vaizduojant 4-iuose baituose (kai mantisei skiriami 23 bitai), tiksliai pavaizduojami tik 6-7 dešimtainiai skaitmenys.

Pastebėkime, kad slankaus kablelio skaičiai išsidėstę labai netolygiai: arti 0 labai tankiai, o kuo toliau nuo 0 tuo rečiau - todėl absoliuti vaizdavimo (apvalinimo) paklaida priklauso nuo skaičiaus (jo modulio) dydžio.

Mašininis ξ (epsilon) – pats mažiausias skaičius, tenkinantis sąlygą:

1+ξ>1,nes, jei jis bus mažesnis

1+ξ=1

Tekstiniai (simboliniai) duomenysDabar kompiuteriai daugiau dirba ne su skaičiais, bet ir su tekstais (simboliais).

Norint simbolius vaizduoti kompiuterio atmintyje, reikia sudaryti simbolių kodų lentelę, kuri vienareikšmiškai susietų visus reikalingus simbolius su bitų rinkiniais.

Kyla klausimas, kiek bitų reikia simbolių vaizdavimui. Anglų kalboje yra 26 didžiosios ir 26 mažosios raidės, 10 skaitmenų ir apie 35 specialius simbolius, naudojamus skyrybai ir pan. - iš viso apie 100 simbolių. Be to, dar reikia specialių "valdančių simbolių", kurie turi specialią prasmę tekstų redaktoriams (pavyzdžiui, nutrinti simbolį) arba kompiuterio įrenginiams (pavyzdžiui, cyptelti). Šešių bitų nepakanka (26 = 64), taigi minimaliam kodui reikia 7 bitų (27 = 128).

Dauguma kodų naudoja 8 bitus, įtraukdami daugiau specialių, grafinių simbolių arba kontrolei, todėl tradiciškai kompiuteriai skiria 8 bitus, t.y. vieną baitą, simbolių vaizdavimui.

Simboliniai duomenų tipai

Kintamo ilgio laukai – iki 256 baitų.

Simboliams koduoti naudojamos kodavimo sistemos:

ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

ANSI (American National Standart Institute) ISO (International Standard Organisation) UNICODE ...

ASCII kodai

Kadangi kompiuterijos vystymosi lyderė buvo JAV, tarptautiniu mastu įsitvirtino ten sukurti standartai ir, būtent, ANSI (Amerikos nacionalinis standartų institutas) standartas ASCII ( Amerikos standartinis kodas informacijos pasikeitimui).

Jį sudaro dvi lentelės: 7 bitų ilgio kodų – bazinė ir 8 bitų (1 baito) išplėstoji.

Bazinėje lentelėje kodų reikšmės yra nuo 0 iki 127, išplėstojoje – nuo 128 iki 255.

ASCII kodai

Pirmi 32 bazinės lentelės kodai (0-31) skirti kompiuterių įrangos gamintojams koduoti valdymo signalus.Kodai, kurių reikšmės nuo 32 iki 127, panaudoti užkoduoti anglų kalbos raides kitus specialius rašybos simbolius bei skaitmenis. Trijų pagrindinių grupių - skaitmenys, didžiosios raidės ir mažosios raidės - simboliai grupėse eina iš eilės be praleidimų. Pvz.: A - 6510 – 010000012 - 4116; g – 10310 - 011001112 - 6716; ženklas > - 6210 – 001111102 - 3E16 ; skaitmuo 1 - 4910 - 001100012 - 3116 ir t. t. Kiti specialūs simboliai - skirtukai, operacijų ženklai, skliaustai ir pan. išbarstyti likusiose vietose. Pavyzdžiui, simbolio " " (tarpas) kodas 32, "[" (atidarantis laužtinis skliaustelis) - 91, "{" (atidarantis riestinis skliaustelis) - 123.

7-baitė ASCII kodų lentelė

Nacionalinių rašmenų kodavimui naudojama antroji arba išplėstoji ASCII kodų lentelės dalis, kurios kodų reikšmės yra nuo 128 iki 255. Standartiniame variante joje yra įvairūs psiaudo-grafikos ženklai.

Kadangi šių rašmenų įvairovė labai didelė, todėl ir kodavimo lentelių atsirado labai daug. Pvz. Lietuvoje lietuviškoms raidėms koduoti atsirado keli variantai. Visa tai kėlė nemažai problemų ir programų kūrėjams ir jų vartotojams. Skirtingos kodų lentelės naudojamos ir skirtingose operacijų sistemose (DOS, Windows).

2000-ųjų pradžioje buvo priimti standartai, įvedę šioje srityje tam tikrą tvarką. Rašto ženklų kodavimą 8 bitais apibrėžė tarptautinių standartų serija ISO/IEC 8859.

Ją sudaro atskiros dalys (standartai), skirtos tam tikrų kalbų grupių rašto ženklams koduoti. Standartų serija yra atvira, t. y. ji gali būti papildyta naujomis dalimis. Dabar joje yra 15 dalių.

Nacionalinių rašmenų kodavimas

Serijos 13-oji dalis ISO/IEC 8859-13 apibrėžia ženklų rinkinį, turintį lietuviškus rašto ženklus ir vadinamąją 7-ąją lotynų abėcėlę.

Šis standartas pripažintas ir Lietuvos standartu, jam suteiktas žymuoLST ISO/IEC 8859-13-2000.

Jo kodų lentelė kompiuteriuose žymima trumpiau –ISO-8859-13.

Šis standartas kaip ir kiti šios serijos standartai nepriklauso nuo operacijų sistemos ir naudojami duomenų mainams tarp įvairių OS, interneto, elektroninio pašto srityje.

Lietuvių kalba turi išskirtiną savybę – kirčiuotas raides, todėl yra sudarytas ir kirčiuotų raidžių standartas LSTISO/IEC 8859-13, dalį užsienio kalbų raidžių ir specialiųjų ženklų pakeitus lietuviškomis kirčiuotomis raidėmis.

Nacionalinių rašmenų kodavimas (2)

UNICODE kodai

Simbolis koduojamas dviem baitais.I baitas – kodų lentelėII baitas – simbolio kodas

Privalumas – viename dokumente galima naudoti įvairius simbolius.

Trūkumas – užima daugiau vietos.

WinWord 6.0 – ANSI kodavimasWord 97, Word 2000, … - UNICODE

Kiti duomenų tipai

Data Laikas Masyvai Dideli nestruktūrizuoti laukai Struktūriniai duomenų tipai ...

Duomenų mato vienetai kompiuterijoje

Dvejetainių skilčių skaičius Mato vieneto pavadinimas

1 bitas, b

8 baitas, B

16 žodis

8*1024 kilobaitas, KB

8*10242 megabaitas, MB

8*10243 gigabaitas, GB

8*10244 terabaitas, TB

Loginiai kompiuterio veikimo pagrindaiKompiuterių veikimą galime nagrinėti techniniu bei programiniu aspektais. Techninis kompiuterio veikimas remiasi “trimis banginiais”:

- dvejetaine abėcėle;

- logikos algebra;

- elektroninėmis schemomis.

Kaip jau įsitikinome, visa kompiuteriuose apdorojama informacija išreiškiama dviem simboliais – 0 ir 1.

Su dviem priešingybėmis susiduriama ir logikoje – moksle apie mąstymo dėsnius ir jo formas. Logikos tikslas – nustatyti, ar nagrinėjami samprotavimai, įrodymai, išvados yra teisingi, ar klaidingi. Taigi, galima sakyti, kad logika operuoja dviem simboliais: teisingas ir klaidingas.

Elementari samprotavimų dalis, apie kurią galima pasakyti, kad ji yra teisinga arba klaidinga, logikoje vadinama teiginiu. Kiekvienas teiginys turi vieną iš dviejų loginių reikšmių: teisingas arba klaidingas.

Logikos abėcėlę, apibūdinančią teiginių teisingumą, sudaro du simboliai (loginės reikšmės). Jie žymimi įvairiai:

teisingas klaidingastrue falseT F1 0

Logikos algebra – tai logikos mokslo šaka, nagrinėjanti operacijas su loginėmis reikšmėmis bei tų operacijų savybes.

Logikos algebra dar vadinama Būlio algebra. Ją sukūrė anglų mokslininkas Džoržas Būlis (George Boole) devyniolikto šimtmečio viduryje.

Logikos algebra

Logikos algebra (2)

Loginės reikšmės 0 ir 1 yra pastovūs dydžiai, arba loginės konstantos.

Be šių konstantų, dar vartojami, loginiai kintamieji dydžiai arba dar trumpiau - loginiai kintamieji. Juos žymėsime raidėmis, pvz., a, b, x.

Loginiai kintamieji gali įgyti logines reikšmes 0 ir 1.Skaičiavimo technikos schemos atlieka veiksmus,

atitinkančius logikos algebros operacijas. Vadinasi, logikos algebra natūraliai aprašo skaičiavimo

technikos elementų veikimą. Norint suvokti elementarius veiksmus, kuriuos atlieka

kompiuteris, pravartu detaliau susipažinti su logikos algebra. Programuojant taip pat neapsieinama be logikos algebros operacijų.

Loginės operacijos

3 pagrindinės operacijos:1. Loginė sudėtis OR (arba), disjunkcija (+, V).

Rezultatas 0, kai abu operandai lygūs 0

2. Loginė daugyba AND (ir), konjunkcija (*, ). Rezultatas 1, kai abu operandai lygūs 1

3. Neigimo operacija NOT (ne), inversija (¬,ā)

Bulio algebros dėsniai

1. Jungimo dėsnis: (aVb)Vc=aV(bVc); (a b)

c=aV(bVc)

2. Perstatymo dėsnis: aVb=bVa; a b=b a

3. Paskirstymo dėsnis: a (bVc)=a bVa c;

Bulio algebros savybės

a a=a a a=a a a b=a a b=a, jeigu a>=b a b=b, jeigu a>=b

Loginiai reiškiniai Loginės operacijos argumentas gali būti ne tik teiginio reikšmė (konstanta, kintamasis ), bet ir kitos loginės operacijos rezultatas.

1 p a v y z d y s. Konjunkciją: a b paneikime, t.y. jos rezultatą laikykime neigimo operacijos argumentu. Tam dedame neigimo brūkšnį virš viso paneigiamo reiškinio:

a b.

2 p a v y z d y s. Dviejų konjunkcijų a b ir c d disjunkcija:

a b c d.

3 p a v y z d y s. Dviejų disjunkcijų a b ir c d konjunkcija:

( a b ) ( c d ).

Visi pateikti pavyzdžiai yra loginiai reiškiniai.

Loginį reiškinį sudaro loginės konstantos (0 ir 1 ), loginiai kintamieji, loginių operacijų ženklai ir lenktiniai skliaustai.

Loginiai reiškiniai (2)

4 p a v y z d y s. Tarkime, kad skelbimo turinys toks:

“Perku dviejų arba trijų kambarių butą. Buto pirmame aukšte nesiūlyti “.

Užrašykime loginį reiškinį, apibūdinantį pageidaujamą butą. Pažymėkime buto savybes šitaip:

k2 - dviejų kambarių butas,

k3 - trijų kambarių butas,

p - butas pirmame aukšte.

Tuomet keitėją tenkins toks butas, kurį atitiks reiškinio

( k2 k3 ) p

reikšmė.

Loginės schemosPagrindinis Būlio algebros panaudojimo tikslas – loginių schemų (LS) struktūrinis-funkcinis aprašymas.

Jei LS įsivaizduosime kaip tam tikrą “juodąją dėžę” su n įėjimų ir vienu išėjimu, jos elgseną galima apibrėžti logine funkcija F(x1, x2,…xn) su n loginių kintamųjų.

X1

X2

Xn

…

…

…

…

Loginė schem

a

(LS)

F(x1, x2,…xn) = YB={0, 1}Loginės F – funkcijos gali būti

užduodamos teisingumo lentelėmis arba loginiais reiškiniais.

LS, pateikiamos vienu iš šių būdų, vadinamos kombinacinėmis.

Teisingumo lentelėsKairėje jos pusėje išvardijamos visos įmanomos argumentų reikšmės, dešinėje – jas atitinkančios funkcijos reikšmės.

A B Y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

?A

B

Y

A B C Y

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

2 argumentai

3 argumentai

Loginiai elementai

ARBA

IR

NE

1

&

1

ARBA Griežtasis ARBA

a b Rez

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b Rez

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

ff(a,b) = (a b) (a b)

Griežtojo ARBA loginė schema

=1

1&

1&

a b

Vienaskiltis sumatorius

∑S

P

=1

&

S

P

a b

a b P S

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 0

RS trigeris

1

1

S

RQ

¬Q

1

1

R S Q ¬Q Būsena

0 0 0,1 1,0 Saugojimas

1 0 0 1 Trynimas

0 1 1 0 Įrašymas

1 1 ? ? Draudžiama

Algoritmas

Žodis kilęs nuo miesto Chorezmo, kur gyveno Rytų mokslininkas Mohamedas (VIII-IX a.), parašiusiam traktatą apie pozicinę skaičiavimo sistemą.

Algoritmas – griežtai ir vienareikšmiškai apibrėžta veiksmų seka.

Veiksmų metu duomenys transformuojami į prasmingą rezultatą (gaminama informacija).

Algoritmams užrašyti naudojami įvairūs formalizmai:Turing’o mašinaPost’o mašinaMarkovo algoritmaiLambda skaičiavimas

Algoritmas turi paliepimo prasmę, todėl matematinės formulės tuo tikslu netinka.

Pvz.: πe matematiškai visiškai tikslu.

Skaičiuojant kompiuteriu, paklaida kaupiasi, ir gali viršyti rezultato dydį.

Algoritmo savybės

1. Baigtinumas (kada nors turi baigtis)

2. Apibrėžtumas (rezultatas turi būti vienareikšmiškas)

3. Duomenys algoritmas rezultatas. Duomenys nėra būtini. Rezultatas būtinas.

4. Efektyvumas (laikas, veiksmų skaičius)

Programinis kompiuterio veikimo principas

Kokį veiksmą atlikti?

OPK ADRKomanda:

Su kuriais duomenimis atlikti?

OPK – operacijos kodas

ADR - adresas

Programa – tai kompiuterio procesoriui vykdyti skirtų komandų rinkinys.

Komandos struktūra:

Mašininės komandos

Mašininių komandų struktūra: vienanarės dvinarės beadresės

Sum(X,Y) – dvinarė

Sum – operacinė dalis; X, Y – adresinė dalis.

Operacinė dalis būtina!

Galimos komandos pagal operacijų tipą: Vidinis informacijos persiuntimas Aritmetinės operacijos Loginės operacijos Kreipimasis į išorinius įrenginius Valdymo perdavimas Kitos (pagalbinės) operacijos ...

1 baito ilgio komandų pavyzdžiaiTarkime operacijų kodui bus skirta 3 bitai, o adreso daliai liks 5 bitai. Toks kompiuteris gali vykdyti 23 = 8 komandas ir adresuoti 25=32 atminties ląsteles. Tegul operacijų kodai yra:

OPK Veiksmas

000 SUSTOTI

001 ĮRAŠYTI ALĮ registre A nurodytos ląstelės turinį

010 ĮSIMINTI registro A reikšmę nurodytu adresu

011 SUDĖTI registro A reikšmę su nurodytos ląstelės turiniu

100 ATIMTI iš registro A reikšmės nurodytos ląstelės turinį

101 PEREITI nurodytu adresu besąlygiškai

110 PEREITI, jei registre A nulinė reikšmė

111 PASTUMTI kairėn per vieną skiltį registro A reikšmę

Dviejų skaičių sudėties programa

Komandų seka, lemianti kompiuterio “elgesį”, vadinama programa.

Kaip ir duomenys, ji saugoma pagrindinėje kompiuterio atmintyje dvejetainiu pavidalu.

Kaip atrodytų programa ir atminties turinys atliekant elementarų dviejų skaičių sudėties veiksmą?

Pvz., sudėti skaičių 3, esantį 8-toje ląstelėje ir skaičių 7, esantį 9-oje ląstelėje. Rezultatą užrašyti į 10-tą ląstelę.

Pagrindinės atminties “vaizdas” būtų toks:

  Ląstelės numeris

Ląstelės turinys Paaiškinimas

 

0123

 

00000000010001000011

 

00101000011010010100101000000000

======= PROGRAMA ==========8-osios ląst. turinį (3) įrašyti į reg. AA turinį sudėti su 9-osios ląst. turiniu (7)Įsiminti reg. A turinį 10-ojoje lątelėjeSustoti

4…7

00100…

00111

………

======== LAISVA ATMINTIS =====

 

89

10

 

010000100101010

 

000000110000011100010011

=========== DUOMENYS =========Skaičius 3Skaičius 7Skaičius 19 (vėliau čia bus rezultatas-10)

11…31

01011…

11111

………

========= LAISVA ATMINTIS =====

Pagrindinės atminties “vaizdas”