Test Proby Estad Mendoza

7/25/2019 Test Proby Estad Mendoza

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Probabilidad y EstadsticaFacultad Regional Mendozahttp://web.frm.utn.edu.ar/estadistica

Autoevaluacin UT1

Estadstica descriptiva y anlisis de datos 1

Unidad Temtica 1Estadstica descriptiva y anlisis de datos

Responda verdadero o falso.Coloque una letra V a la izquierda del nmero del tem si aceptala afirmacin enunciada, o una F si la rechaza.

1. Definiciones preliminares, tipos de datos y variables

1. Desde el punto de vista estadstico, laspoblacionespueden serfinitaso infinitas.

2. Si se ha recopilado la informacin deseada para los elementos de un subconjuntoque representa a una poblacin objeto de estudio, se est en presencia de un censo.

3. Si el Ministro de Educacin est interesado en el rendimiento de los estudiantes

argentinos, medido por el promedio de calificaciones, las unidad de anlisisson losestablecimientos educativos del pas.

4. La rama de la estadstica que se ocupa de utilizar datos de una muestrapara hacerinferencias acerca de lapoblacinen estudio, se conoce con el nombre deestadstica descriptiva.

5. El nivel de estudios o escolaridad de los empleados de una empresa es una variablecuantitativa.

6. El nmero de hijos de los trabajadores de una fbrica es una variable cuantitativacontinua.

7. El color de ojos de las personas es una variable cualitativa que se mide en unaescala nominal.

8. Una escala nominal consiste en categoras mutuamente excluyentes que no implicanun orden jerrquico entre ellas.

9. El cargo que ocupa un empleado en la empresa, es una variable cualitativa y semide en escala ordinal.

10. La antigedad de un empleado en una institucin pblica es una variable numricaque se mide en una escala nominal.

11. La escala de intervalo es una forma de medida ms completa que la escala ordinal,ya que permite discernir no slo qu valor observado es el ms grande, sino tambin

por cunto.

12. Los datos primariosson siempre de mejor calidad que los datos secundarios.

13. Los censos, en general, resultan muy costosos, difciles de realizar e incluso enalgunos casos pueden resultar imposibles de llevar a cabo.

14. El nmero del piso desde el que es llamado un ascensor de un edificio en altura, esuna variable numricacontinua.

15. Elpromediode los resultados obtenidos al lanzar dos dados, es una variablenumricacontinua.

16.

Cuando el conjunto de valores que puede tomar una variable esfinito, es decir, sepuede contar, se dice que la variable es discreta.


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17. Las variables continuasson aquellas en que los datos resultantes de las mediciones,pueden tomar cualquiera de los valores de una escala continua, en el rango para elcual est definida la variable. De otro modo, pueden tomar el continuo de valoresentre el mnimo y el mximo observado.

18.

Las grficas circulares y grficas de barras, son herramientas tiles para descripcingrfica de conjuntos de datos cuantitativos.

19. Las grficas circulares tambin se las conoce con el nombre de grficas de pastel,grficas de torta o grficas de sectores.

20. Las grficas de barras pueden representarse tanto con barras verticales comohorizontales.

21. En el diagrama de Pareto, las categorasde la variable cualitativa deben disponerseen orden decreciente por altura (o frecuencia) y se muestra una poligonalacumulativa superpuesta a las barras.

22.

Para representar las grficas de barras o las circulares, se pueden emplear tantofrecuencias absolutas como relativas.

23. La representaciones de las grficas de barras y grficas circulares en escala relativa(proporcin o porcentaje), tienen la ventaja de independizarse del tamao de lamuestra a partir de la cual se obtuvo la informacin.

24. Las grficas de sectores resultan ms apropiadas, es decir, ms cmodas de leer,cuando se tiene variables cualitativas con una gran cantidad de categoras, porejemplo 26.

25. Cuando se tiene una variable cualitativa, las categoras en que se agrupan los datos

para representarlos mediante una grfica de barras, son mutuamente excluyentes.26. En las grficas de barras, las barras no deben pegarse una a otras.

27. Si la poblacin estudiantil de una Universidad es de 12.000 alumnos, pararepresentar grficamente el turnoen que cursan los estudiantes (maana, tarde onoche), se puede utilizar tanto una grfica de sectores como una grfica de barras.

28. La grfica de puntos encuentra su mejor aplicacin en el caso de conjuntos de datospequeos.

29. Las distribuciones de frecuenciassacrifican algunos detalles, pero ofreceninformacin acerca delpatrn de comportamiento de los datos.

30.

El histograma es una representacin grfica que se utiliza para representar variablesnumricas; no se utiliza para variables cualitativas.

31. Al agrupar los datos en tablas de frecuencias, un dato particular del conjunto dedatos, debe pertenecer a una y slo una clase o categora, por lo que se dice que lasclases son completamente inclusivas.

32. La organizacin de los datos por categoras o clases permite identificarpatrones decomportamientosevidentes de los mismos.

33. A partir de una distribucin de frecuencias, se puede reconstruir una lista con latotalidad de los datos observados a partir de la cual se construy dicha tabla.


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34. Una distribucin de frecuenciases una tabla en la que organizamos los datos enclasesy se muestra el nmero de observaciones del conjunto de datos que caen encada una de las clases.

35. Las clases en que se agrupan los datos en una tabla de frecuencias, deben sercompletamente inclusivas, esto significa que, los datos que ms se repiten debenincluirse en una misma clase.

36. Las clasesde una distribucin de frecuencias deben ser mutuamente excluyentes ycompletamente inclusivas.

37. De ser posible, convieneque todas las clases de una distribucin de frecuenciastengan el mismo ancho; de lo contrario, tendramos una distribucin mucho msdifcil de interpretar.

38. Para construir las distribuciones de frecuencias, como regla general, los estadsticosaconsejan utilizar entre 20 y 25 clases.

39.

El nmero de clasesque se utiliza para construir la distribucin de frecuencias esindependiente de la cantidad de datos disponibles.

40. La frmula de Sturges, da el nmero de clases de una distribucin de frecuencias ypuede utilizarse para iniciar la exploracin a partir de la misma: k= 1 + 3,3 log n.

41. Sea cual sea el conjunto de datos que se desea representar grficamente, paradeterminar el nmero de clases, es indistinto emplear la frmula de Sturges o lafrmula n.

42. Las grficas de distribuciones de frecuencias simples y de distribuciones defrecuencias relativas resaltan y aclaran lospatronesque no se pueden distinguir

fcilmente en las tablas.43. Los histogramasse pueden construir utilizando tanto las frecuencias absolutas

como las frecuencias relativas.

44. La frecuencia relativa simple de cualquier clase particular, se obtiene calculando elcociente entre el nmero de observaciones que entran en la clase y el nmero totalde observaciones realizadas.

45. En una distribucin de frecuencias, la suma de todas lasfrecuencias relativasdetodas las clases, es igual al nmero total de observaciones realizadas.

46. Cuando el histogramase construye utilizando frecuencias relativas, resulta fcil

comparar los datos de muestras de tamaos diferentes.47. La marca de clasede una distribucin de frecuencias se calcula haciendo la

diferencia entre el lmite superior y el lmite inferior de la clase correspondiente.

48. Lospolgonos de frecuenciasslo se pueden utilizar para representar lasdistribuciones de frecuencias relativas.

49. El polgono de frecuencias construido con las frecuencias simples absolutas, tienela misma forma que el polgono de frecuencias simples relativasconstruido a partirdel mismo conjunto de datos, pero con una escala diferente en los valores del ejevertical.

50.

La representacin grfica de la distribucin de frecuencias acumuladas medianteuna poligonal, se conoce con el nombre de ojiva.


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51. La ojivaes una representacin grfica que se puede construir utilizando frecuenciasacumuladas absolutas o relativas, indistintamente.

52. La ojivase construye uniendo los puntos dados por los pares ordenados (puntomedio de clase; frecuencias acumuladas de clase), con trazos rectos que dan lugar auna poligonal.

53. En una distribucin de frecuencias, la notacin Frise refiere a las frecuencias declase relativas acumuladas.

54. Dada la representacin grfica de una ojiva, a partir de la misma es posiblereconstruir los datos originales exactos con los que se construy la misma.

55. Si la lectura de la ojivapara la variable en estudio en la clase (12 ; 14] de una tablade frecuencias arroja el valor 30%, debe interpretarse que el 30% de los datos estncomprendidos en el intervalo (12 y 14].

56. Si la lectura de la ojivapara la variable en estudio en la clase(2,5 ; 3,5] de una tablade frecuencias arroja el valor 60%, debe interpretarse que el 40% de los datos sonmayores que 3,5.

57. Para describir en palabras elpatrn de comportamientode los datos, se puede hacerreferencia a la simetra o asimetra de la distribucin, a la presencia o no de modasen la distribucin, as como al lugar en que tienden a agruparse los datos en laescala de la variable.

En la Tabla 1 se presenta la distribucin de frecuenciaspara el peso, en gramos, de 35monedas de diez centavos.

Tabla 1. Distribucin de frecuencias para el peso de 35 monedas de diez centavos.

Lmites de Clase Punto Frecuencias Simples Frecuencias AcumuladasClase (Inferior Superior] Medio Absoluta Relativa Absoluta Relativa

...............................................................................................................................................................1 (2,13 2,16] 2,145 2 0,0571 2 0,05712 (2,16 2,19] 2,175 3 0,0857 5 0,14293 (2,19 2,22] 2,205 5 0,1429 10 0,28574 (2,22 2,25] 2,235 15 0,4286 25 0,71435 (2,25 2,28] 2,265 8 0,2286 33 0,94296 (2,28 2,31] 2,295 1 0,0286 34 0,97147 (2,31 2,34] 2,325 1 0,0286 35 1,0000

58. El 14,29% de las monedas de la muestra pes ms de 2,19 gramos, pero no superlos 2,22.

59. El 71,43% de las monedas de la muestra tiene un peso que no pasa de 2,25 gramos.

60. Hay 10 monedas en la muestra cuyo peso est por encima de los 2,25 gramos.

61. Ocho monedas de la muestra tienen un peso que en la distribucin de frecuenciasqueda representado por el valor 2,265 gramos.

62. Las frecuencias de clase simples relativas de la Tabla 1 estn expresadas enporcentaje.


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63. De acuerdo a la informacin de la Tabla 1, la moneda ms liviana de la muestrapesa 2,13 gramos.

64. El nmero de clases que se ha adoptado en la Tabla 1 concuerda con el propuestopor la frmula de Sturges: k= 1 + 3,3 log n.

65. El nmero de clases que se ha adoptado en la Tabla 1 concuerda con el propuestopor la frmula n.

66. Uno de los puntos de la representacin grfica de la ojivacorrespondera al parordenado (x; F): (2,25 ; 33).

67. En la muestra se observaron 8 monedas con un peso igual a 2,265 gramos.

2. Descripcin de un conjunto de datos: Mtodos numricos.

68.

La media aritmticade un conjunto de datos siempre coincide con alguno de losvalores centrales del conjunto de valores observados.

69. La media aritmticasiempre est comprendida entre los valores mximo y mnimoobservados.

70. La media aritmticaresulta siempre la mejor medida de tendencia central de unconjunto de datos numricos.

71. En todo conjunto de datos numricos, la mediaes un valor mayor o igual que cero.

72. La media aritmticaes la mejor medida de tendencia central de un conjunto dedatos categricos.

73. Si la mediaopromediode las calificaciones de un examen de Estadstica, en laescala del cero al diez, resulta exactamente igual a diez puntos, el rango de talescalificaciones debe ser igual a cero.

74. Doce alumnos rinden un examen de Estadstica, son calificados en la escala del ceroal diez y la medianade las calificaciones es igual a seis. En tales condiciones,

podra ocurrir que ms de cinco alumnos obtuvieran una calificacin de siete puntoso ms.

75. La suma de las desviaciones respecto de la media aritmtica es siempre igual a cero.

76. Dado un conjunto numrico de datos de tamao n> 1, la mediana puede o noexistir.

77. La mediana es una medida de tendencia central sensible a los datos apartados de lamuestra.

78. La mediana del siguiente conjunto de datos {2, 5, 7, 1, 3} es igual a 7.

79. La moda puede no existir y cuando existe no necesariamente es nica.

80. Dado un conjunto de mediciones resultantes de un experimento, la modapuede nocoincidir con alguno de los valores observados.

81. La moda del siguiente conjunto de datos {3, 3, 3, 3, 3} es igual a 3.

82.

El valor de la media aritmtica de un conjunto de datos categricos es siempremenor que la moda de los mismos.


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83. En todo conjunto de datos numricos, la moda es un valor mayor o igual que cero.

84. Si un conjunto de datos no tiene moda, debe interpretarse que el valor numrico dela moda es igual a cero.

85.

La modaes una medida de tendencia central que puede calcularse tanto para datosnumricos como para datos categricos.

86. Si se tiene un conjunto de datos resultantes de medir la temperatura en el ParqueGeneral San Martn a la hora 8, podra suceder que se observe ms de una moda.

87. La mediana es una medida de la variabilidad de un conjunto de datos numricos.

88. La media aritmtica es la medida que mejor describe la posicin central delsiguiente conjunto de datos {1; 2; 3; 3; 1; 2; 2; 1; 312}.

89. En el siguiente conjunto de datos{2, 1, 0, 1,x},xpodra asumir un valor tal quela mediasea menor que la mediana.

90.

Es suficiente calcular las medidas de tendencia central de una muestra, paraproporcionar un resumen apropiado y acabado del conjunto de datos del cualproviene.

91. El rango del conjunto de datos siguiente {6, 2, 0, 2, 6} es igual a cero.

92. El rango de un conjunto de datos, siempre y sin restriccin alguna, es un valormayor o igual que cero.

93. Si el rango del conjunto de datos siguiente {1, 2, 3,x, 3, 2, 1} es igual a tres, elvalor dexslo podra asumir el valor cero.

94. El rangoes una medidapobrede la variabilidad, en particular si el tamao de la

muestra es grande; considera slo los valores extremos y no nos dice nada acerca dela distribucin de los valores intermedios.

95. La varianzadel siguiente conjunto de datos {1, 1, 1, 1, 1} es igual a 1 .

96. Cuando la desviacin estndarde un conjunto de datos numrico es menor quecero, debe interpretarse que todos los datos son menores que la media aritmtica.

97. La desviacin estndarde un conjunto de datos, nunca puede resultar mayor que lamediadel mismo conjunto de datos.

98. Si la desviacin estndarde la estatura de los alumnos de la Universidad es igual a9 centmetros y la desviacin estndardel promedio de calificaciones de los

mismos alumnos es de 3 puntos, se debe concluir que la dispersin de lascalificaciones es menor que la dispersin de las estaturas.

99. Si el rendimiento de un grupo de alumnos que es evaluado en Estadstica resultaptimo, digamos que todos obtienen por lo menos ocho puntos sobre diez, nadaimpide que la desviacin estndar de las calificaciones resulte igual a 4 puntos.

100. Si la unidad de medidade la desviacin estndar de una variable se expresa enmetros, la varianza lo estar en metros cuadrados.

101. El coeficiente de variacinpermite comparar la dispersin o variabilidad deconjuntos de datos diferentes, incluso medidos en unidades diferentes.

102.

El coeficiente de variacinde cualquier conjunto de datos numricos, expresado enporcentaje, est comprendido entre cero y cien.


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103. Si la desviacin estndardel caudal delRo Xes de 45 m/s y la desviacinestndardel caudal delRo Y es de 240 m/s, se debe concluir que los caudales del

Ro Y estn ms dispersos que los delRo X.

104. Si una distribucin tiene sesgo positivo, es asimtrica a derecha.

105. En cualquier conjunto de datos numricos distribuidos simtricamente, media,mediana y moda son coincidentes.

106. Si una distribucin de frecuencias de clase relativas resulta simtrica, la distribucinde frecuencias acumuladas tambin lo ser.

107. Si el tercer cuartil de un conjunto de datos observados es igual a 35, el 25% de losdatos del conjunto es mayor que 35.

108. Si el valor del sexto decil de un conjunto de datos es igual a 8, significa que la sextaparte de los datos son iguales o inferiores a 8.

109.

El percentil cincuenta de un conjunto de datos siempre coincide con el segundocuartil.

110. Dado el conjunto de datos {1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 5, 5, 5, 5} se cumple que el segundodecil es menor que el tercer cuartil.

111. Si se sabe que el percentil diez de un conjunto de datos es igual a 10, el primer decilser igual a 1.

112. En algunos conjuntos de datos, podra encontrarse que el percentil 22 resulte mayorque el cuartil inferior.

113. Si un fabricante de puertas para viviendas debe decidir qu altura darle a las mismas

para una produccin estndar, se le debe sugerir que adopte para las puertas, unaaltura igual a la estatura media de las personas adultas del mercado en el que sevendern dichas puertas.

114. Las estadsticas obtenidas de las muestras nos proporcionan informacin acerca dela tendencia central de los datos y de su dispersin, mientras que la presentacingrfica de los datos agrega informacin adicional en trminos de imagen.

115. El grfico de caja y extensin es una representacin que muestra, para muestrasrazonablemente grandes, el centro de la localizacin, la variabilidad y el grado deasimetra de los datos.

116. Los grficos de caja y extensin no permiten realizar comparaciones visuales entre

muestras.117. Los datos apartados (valores extremos) se deben identificar especficamente tanto

en los grficos de caja y extensin como los histogramas de frecuencias.

118. Tres de los datos necesarios para construir un grfico de caja y extensin son: elprimer cuartil, la mediana y el percentil setenta y cinco.

119. Datos apartados son aquellos que se encuentran por encima del tercer cuartil y pordebajo del primer cuartil, ms all de 1,5 veces el rango intercuartil.

120. Los grficos de caja y extensin NO proporcionan informacin sobre la variabilidadde los datos.


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121. El grfico de caja mltiple se puede utilizar para comparar la misma variable enmuestras distintas.

122. Si el grfico de caja es perfectamente simtrico, la varianza del conjunto de datoscon que se construy es igual a cero.

123. En el grfico de caja, la caja siempre encierra exactamente el 50% de lasobservaciones.

124. Si se tiene un conjunto de cuarenta datos numricos, el diagrama de tallos y hojasofrece una informacin ms detallada que el histograma de frecuencias.

125. Si se tiene un conjunto de cuarenta mil datos numricos, el diagrama de tronco yhojas resultara una representacin ms apropiada que el histograma de frecuencias,ya que da una informacin ms detallada.

126. El valor Zdebe estar comprendido entre 1 y +1.

127.

Si el valorZque le corresponde a una observacin particular de la muestra,x, esnegativo, debe interpretarse que el valor dexes menor que cero.

128. Si Pedro rindi una prueba de Estadstica y obtuvo una calificacin tal que el valorZcorrespondiente es igual a 2, debe interpretarse que Pedro aprob el examen.

129. Pedro y Juan son estudiantes de la clase de Estadstica. Pedro tiene una estatura quecoincide con la estatura promedio del grupo, mientras que a la estatura de Juan lecorresponde un valor Zigual a 2,95. Debe interpretarse entonces que Juan tieneuna estatura apenas por debajo de la de Pedro.

130. La mediade los valores Zde un conjunto de datos numricos es siempre igual a 0.

131.

La desviacin estndarde los valores Zde un conjunto de datos numricos, puedearrojar un valor comprendido entre 0 y 1.

3. Aspectos ticos

132. Debe distinguirse entre una mala presentacin de los datos y una presentacin quecarece de tica.

133. La conducta NO TICA se da cuando el analista oculta hechos a propsito y/odistorsiona tablas o grficos; tambin, cuando no incluye los hallazgos pertinentes.

134.No entregar un trabajo en trmino por estar enfermo, es una conducta NO TICA.


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Probabilidad 9

Unidad Temtica 2Probabilidad


1. El experimento que consiste en lanzar un dado legal y observar el resultado obtenido,es un experimento estadstico.

2. El experimento que consiste en seleccionar al azar una semana cualquiera del aocalendario y observar el da de la semana que sigue al da lunes, es un experimentoestadstico.

3. Se denomina espacio muestral, al conjunto de todos los resultados posibles de unexperimento estadstico.

4.

Dado un experimento estadstico, slo es posible definir un eventoo sucesode intersen el mismo.

5. Dados los resultados de un experimento estadstico, es posible definir un subconjuntodel espacio muestral, , denominado conjunto vacoy que no contiene elementoalguno.

6. El conjunto vaco, , slo es posible definirlo para algunos experimentosestadsticos.

7. La interseccinde dos eventos GyHda por resultado un evento que contiene a todoslos elementos que pertenecen a G,que pertenecen aH,o que pertenecen a ambos.

8.

Un eventoo suceso,est formado por una coleccin de puntos muestrales, queconstituye un subconjunto del espacio muestral.

9. Dados dos eventos no excluyentes e independientes,AyB, si P(A) = 0,15 y P(B) =0,40, entonces se cumplir que P(AB) = 0,55.

10. Dados dos eventos complementarios,DyE, se cumple siempre que P(D) + P(E) = 1.

11. Si despus de lanzar un dado legal diez veces se obtienen los siguientes resultados:{2, 3, 5, 1, 5, 4, 1, 3, 4, 2}, se puede afirmar que la probabilidad de que el resultadode un nuevo lanzamiento sea el 6, es igual a 1/6.

12. Si se cumple que: P(M) + P(N) = 1, se debe concluir entonces que los eventosMyNson complementarios.

13.No se puede calcular probabilidades de eventos que consideren datos categricos.

14. Laprobabilidadde que al lanzar una moneda legal dos veces se obtenga una cara, esigual a 0,5.

15. Laprobabilidadde que al lanzar una moneda legal tres veces se obtenga una cara, esigual a la probabilidad de que al lanzarla tres veces, se obtengan dos caras.

16. En determinadas situaciones particulares, por ejemplo, cuando al realizar unexperimento estadstico la ocurrencia de un evento dado es fsicamente imposible, elclculo de la probabilidad de ocurrencia de tal evento, puede arrojar valores menoresque cero.


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Probabilidad 10

17. El teorema de la probabilidadtotal exige que el espacio muestral est constituido poruna particin de subconjuntos mutuamente excluyentes.

18. Se sabe que la probabilidad de que llueva el primer lunes de junio en Mendoza esigual a 0,03. Tambin se sabe que la probabilidad de que promocionen el curso deEstadstica ms de la mitad de los alumnos inscriptos, es igual a 0,20. Dado quellueve el primer lunes de junio en Mendoza, la probabilidad de que ms de la mitadde los alumnos inscriptos promocionen el curso de Estadstica, es igual a 0,006.

19. Dado un experimento estadstico en el que pueden ocurrir los eventosHy K, sepuede verificar que: P(KH) = P(K).P(K|H).

20. Se sabe que una moneda est cargada y que la P(CARA) = 2/3 y la P(CRUZ) = 1/3.Se puede afirmar entonces que, laprobabilidadde que al lanzarla dos veces seobtengan dos caras, es igual a 4/9.

21. Si arrojamos un dado legal dos veces, el espacio muestral es finito y est compuesto

por 36 eventos simples.22. Laprobabilidadde que la sumade los resultados obtenidos al lanzar dos dados

legales sea igual a dos, es igual a 2/36.

23. Si dos eventos VyLson complementarios, se cumplir siempre que P(VL) = 0.

24. Dados dos eventosAyBdefinidos en el mismo espacio muestral, si P(A|B) = 2/3 yP(A) = 1/3, entonces los eventosAyBson independientes.

25. SiAyBson dos eventos cualesquiera, definidos en el mismo espacio muestral,entonces se cumple siempre que P(AB) = P(A) + P(B).

26. Se dice que dos eventos definidos en el mismo espacio muestral,AyB, sonindependientes,si se cumple la siguiente igualdad: P(AB) = P(A) + P(B).

27. Si dos eventosJy Kdefinidos en el mismo espacio muestral son independientes, secumple que: P (J|K) = P(J) . P(K).

28. Una regla multiplicativa importante est dada por el teorema que dice que si en unexperimento aleatorio pueden ocurrir los eventosMyN, entonces se cumple que:P(MN) = P(M|N) . P(N).

29. Si una moneda es insesgada, laprobabilidadde que al realizar un lanzamiento seobtenga cara, es igual a laprobabilidadde que al realizar un lanzamiento se obtengauna cruz, y vale 0,25.

30.

Para calcular la probabilidad de obtener un seis al lanzar un dado legal, se deberecurrir a la definicin deprobabilidad frecuencial.

31. Dados dos eventosAyBno excluyentes e independientes, con probabilidad deocurrencia de cada uno de ellos P(A) = 0,45 y P(B) = 0,35, entonces se cumple que laP(A|B) = 0,45.

32. Dados dos eventos definidos en el mismo espacio muestral,Jy K, mutuamenteexcluyentes, con P(J) = 0,20 y P(K) = 0,10, se cumple que la P(JK) = 0,02.

33. Dados tres eventos mutuamente excluyentes,A,By C, definidos en un mismoespacio muestral, se cumple que: P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C).


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Autoevaluacin UT2

Probabilidad 11

34. Dados dos sucesos disjuntosAyB, de un mismo espacio muestral, con P(A) = 0,30 yP(B) = 0,20, entonces se cumplir que: P(AB) = 0,60.

35. La probabilidad de ocurrencia de un evento cualquiera A vara entre y +.

Opcin Mltiple

Seleccione con una X la opcin que considere correcta. Tenga en cuentaque cada tem ha sido construido de modo tal que slo una de las cuatroopciones es correcta. No obstante, podra ocurrir que las tres primerasopciones sean correctas y que la cuarta opcin indique Todas lasanteriores; en tal caso, debe seleccionar slo la cuarta opcin.

36. Cul de las siguientes opciones es una afirmacin correcta?

a) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, se dice tambin que son

incompatibles.b) Si dos eventos son independientes, son tambin incompatibles.c) Si dos eventos son disjuntos, se dice tambin que son compatibles.d) Si dos eventos son NO mutuamente excluyentes, se dice tambin que son

disjuntos.

37. Si la probabilidad de ocurrencia de un eventoAno se ve afectada por la ocurrencia deotro eventoB, se dice que los eventosAyBson:

a) Dependientes.b) Independientes.c) Mutuamente excluyentes.

d)

Complementarios.38. Dados dos eventos definidos en un mismo espacio muestral,AyB, con P(A) > 0 y P(B)

> 0, si la P(AB) = 1, puede suceder que:

a) AyBsean mutuamente excluyentes.b) Las reas en el diagrama de Venn se solapen.c) P(A) = P(B)d) Todas las anteriores.

39. La probabilidad de que un valor escogido al azar de una poblacin determinada seamayor o igual que la mediana de la poblacin es igual a:

a)

0,25b) 0,50c) 1,0d) No se puede responder con la informacin disponible.

40. Los eventos resultantes de lanzar al aire una moneda insesgadason mutuamenteexcluyentes porque:

a) El resultado de cualquier lanzamiento no se ve afectado por los resultados delos lanzamientos que le anteceden.

b) La probabilidad de obtener cara es igual a la probabilidad de obtener cruz.c) No se pueden presentar cara y cruz como resultado del mismo lanzamiento.

d)

Ninguna las anteriores.


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Probabilidad 12

41. SiAyBson eventos mutuamente excluyentes y se representan en un diagrama de Venn:

a) Las regiones deAy deBquedan solapadas.b) Las reas encerradas por las regiones deAy deBson siempre iguales.c) La regin deBdebe quedar incluida en la regin deA.d)

Ninguna de las anteriores.

42. Suponga que se lanza un dado legal una vez. Cules de las siguientes afirmaciones sonverdaderas?

a) La probabilidad de obtener un nmero mayor que uno, es igual a: [ 1 P(obtener uno) ].

b) La probabilidad de obtener un treses igual a [ 1 P(obtener uno, o dos, ocuatro, o cincooseis) ].

c) La probabilidad de obtener un cincoo un seises igual a la probabilidad deobtener un treso un cuatro.

d)

Todas las anteriores.43. SiAyBson eventos nomutuamente excluyentes, la P(AB) se obtiene de la siguiente

manera:

a) Calculando P(A) + P(B).b) Restando P(AB) a la suma de las probabilidades [ P(A) + P(B) ].c) Calculando la diferencia: {1 [ P(A) + P(B) ]}d) Sumando P(AB) a la suma de las probabilidades [ P(A) + P(B) ].

44. Se lanza un dado no cargado dos veces consecutivas y usted debe trazar el diagrama derbol de probabilidades que muestre todos los resultados posibles de los doslanzamientos. Cuntas ramas tendr su rbol? Tenga en cuenta a todas las ramas del

rbol.a) 6

b) 12c) 36d) 42e) 48

45. Se colocan en una urna diez esferas numeradas del uno al diez. Las esferas numeradasde 1 a 4 son verdes y las numeradas de 5 a 10 son azules. Cul es la probabilidad deque una esfera seleccionada al azar de dicha urna sea azul?

a)

0,1b) 0,4c) 0,6d) 0,8

46. Se colocan en una urna diez esferas numeradas del uno al diez. Las esferas numeradasde 1 a 4 son verdes y las numeradas de 5 a 10 son azules. Cul de las siguientesafirmaciones resulta verdadera?

a) P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) = 0,1b) P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) < 0,1c) P(la esfera seleccionada sea la #2 / se saca una esfera verde) > 0,1

d)

P(la esfera seleccionada sea verde / se saca la esfera #2) = 0,4


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Autoevaluacin UT2

Probabilidad 13

47. Simblicamente, una probabilidad condicional es:

a) P(AB)

b)

P(AB)c) P(A|B)d) P(AxB)

48. Cules de las siguientes condiciones de aplicacin corresponden al teorema o regla deBayes?

a) Independencia.b) Un evento observadoAocurre con cualquiera de keventos mutuamente

excluyentes y exhaustivos.c) Hay keventos mutuamente excluyentes y exhaustivos que tienen idntica

probabilidad de ocurrencia.

d)

Todos los anteriores.49. SiAyBson eventos mutuamente excluyentes se cumple que:

a) AB= b) P(AB) = 0c) P(AB) = P(A) + P(B)d) Todas las anteriores.

50. Dado un eventoAy su complementoA, entonces se cumple que:

a) 0 < [ P(A) + P(A) ] < 1b) P(A) = P(A)

c)

P(A) se puede calcular a partir de la P(A)d) Todas las anteriores.

51. Cul de las condiciones siguientes se debe dar para calcular una probabilidadfrecuencial?

a) Es suficiente realizar una vez el experimento aleatorio.b) No es necesario realizar previamente el experimento aleatorio.c) Es necesario basarse en la subjetividad.d) Ninguna de las anteriores.

52. Dados dos eventosAyBindependientes, con P(A) > 0 y P(B) > 0, se cumple que:

a)

P(AB) = 0b) P(A|B) = P(B)c) P(AB) = P(A) . P(B)d) P(B|A) = P(B)

53. Dados los eventosAyB, se cumple que P(AB) = P(A).P(B) cuando:

a) AyBson independientes.b) P(A|B) = P(A)c) P(B|A) = P(B)d) Cualquiera de las anteriores.


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Autoevaluacin UT2

Probabilidad 14

54. Se tiene dos eventos cualesquiera definidos en el mismo espacio muestral,AyB, conP(A) = 0,6 y P(B) = 0,4. Cules de las siguientes afirmaciones son correctas?

a) AyBson eventos complementarios.b) AyBson eventos compatibles.c)

AyBson eventos independientes.d) No hay informacin suficiente para responder.

55. Cul de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Si P(A) = 1 P(B) entoncesAyBson eventos complementarios.b) Si P(A/B) = P(B) entoncesAyBson eventos independientes.c) SiAyBson eventos incompatibles, entonces P(AB) = d) Ninguna de las anteriores.


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Autoevaluacin UT3

Variable aleatoria 15

Unidad Temtica 3UT3-1: Variable Aleatoria


1. Una variable aleatoria es una funcin que asigna un nmero real a cada resultado enel espacio muestral de un experimento estadstico.

2. Por convencin, las variables aleatorias se denotan con una letra mayscula denuestro alfabeto, por ejemploX, y los particulares valores de la misma, con sucorrespondiente letra minscula, en este ejemplox.

3. Slo es posible definir una variable aleatoria para cada espacio muestral.

4. El nmero de valores que puede tomar una variable aleatoria discretaes contable (yasea finito o infinito numerable).

5. Una variable aleatoria discretaslo puede tomar valores enteros.

6. Una variable aleatoria discretaslo puede asumir valores positivos.

7. El volumen de nafta que se pierde por evaporacin durante el llenado del tanque decombustible, es una variable aleatoria discreta.

8. El nmero de molculas raras presentes en una muestra de aire es una variablealeatoria continua.

9. Las variables aleatorias continuasrepresentan datos que se obtienen continuamente,

mientras que las variables aleatorias discretasrepresentan datos que se obtienen devez en cuando.

10. En la mayora de las aplicaciones prcticas, las variables aleatorias continuasrepresentan datos medidos, mientras que las variables aleatorias discretasrepresentandatos contados.

11. El nmero de artculos defectuosos en una muestra de kartculos es una variablealeatoria discreta.

12. Si se toma el registro de la temperatura ambiente en una estacin de mediciones deuna localidad determinada en tres momentos del da, la temperatura media diaria esuna variable aleatoria discreta.

13. El nmero de sismos que ocurren por ao en un lugar determinado, es una variablealeatoria discreta.

14. El nmero de conexiones soldadas que no cumplen con ciertos estndares de calidad,de las 800 que tiene un circuito impreso, es una variable aleatoria discreta.

15. El tiempo que tardan los alumnos en resolver su examen final de Estadstica, es unavariable aleatoria continua.

16. El conjunto de pares ordenados [x, f(x)] se llamafuncin de probabilidad,funcinmasa de probabilidad,funcin de cuantao distribucin de probabilidadde lavariable aleatoria discretaX.


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Autoevaluacin UT3


17. Algunos autores expresan, que la distribucin de probabilidadpara una variablealeatoria discreta X,es una tabla, grfica o frmula que da la probabilidadf(x)asociada a cada posible valorx.

18. La probabilidad de que la variable aleatoria discretaXtome valores menores oiguales que el particular valorx, est dada por el valor de la funcin masa de

probabilidadf(x).

19. La funcin de probabilidadf(x)de una variable aleatoria discretaX, siempre y sinrestricciones, asume valores iguales o mayores que cero.

20. Tanto en el caso de variables aleatorias discretascomo continuas, la probabilidad deque la variable aleatoria Ytome el particular valory, est dado por el valor def(y).

21. La distribucin acumulada F(x), de una variable aleatoria discretaX, se define slopara los valores que toma la variable aleatoria en estudio.

22. La distribucin acumulada F(x)de una variable aleatoria discretaX, con distribucinde probabilidadf(x), toma valores entre y +.

23. La grfica de barras para representar una distribucin de probabilidad de una variablealeatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [x, f(x)], uniendo los puntos al eje

x, ya sea con una lnea punteada perpendicular al eje o con una lnea slida. Lasdistancias de los puntos al eje estn dadas por las probabilidadesf(x), medidas en eleje de ordenadas.

24. El histograma de probabilidad para representar la distribucin de probabilidad de unavariable aleatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [x, f(x)], de modo quesus bases, de igual ancho, se centren en cada valor dex, y sus alturas sean iguales alas probabilidades,f(x).

25. La distribucin acumuladaF(x),de una variable aleatoria discretaX, es una funcinescalonada que se obtiene graficando los puntos [x, F(x)].

26. Dada una variable aleatoria discretaXcon funcin de probabilidadf(x), se cumplesiempre la siguiente igualdad: P (X


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Autoevaluacin UT3


33. Dada una variable aleatoria continuaXcon funcin de densidad de probabilidadf(x),se cumple siempre que la P(X u1son particulares valores de la variablealeatoria U.

41. Si se tiene una variable aleatoria continua Vcon funcin de densidad de probabilidadf(v), siempre se cumple que: P(a V < b) = P(a V b), donde ay bsonparticulares valores de la variable aleatoria V.

42.

La funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continuaXsiemprepodr definirse slo para los valores positivos de la variable.

43. Si se tiene una variable aleatoria continuaXcon funcin de densidad de probabilidadf(x), en la representacin grfica def(x)en funcin dex, la probabilidad de que lavariable tome el particular valorx1se lee en el eje de ordenadas para el particularvalorx1.

44. La funcin de la distribucin acumulada F(x)de una variable aleatoria continuaXnotoma valores menores que cero.

45. Dada una variable aleatoria discretaX, si F(7)= F(5), entoncesf(7)=f(5).

46.

SiXes una variable aleatoria continua que toma valores slo en el intervalo [2; 4],entonces la funcinf(x)= 0,5 puede ser la funcin de densidad de probabilidad de lavariableX.

47. El polgono de frecuencias, construido a partir del histograma de frecuencias relativasde una variable aleatoria continuaX,resulta muy til para ajustar una estimacin dela funcin de densidad de probabilidadf(x).

48. La mediana de una variable aleatoria continuaX, se puede obtener a partir de lafuncin de distribucin acumulada, para el valor particular dex= 0,5.

49. La variable aleatoriaX, definida como el promedio de los resultados obtenidos al

lanzar dos dados legales, es una variable aleatoria discreta.50. Dada una variable aleatoria continuaX, con funcin de densidad de probabilidadf(x)


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Autoevaluacin UT3


definida en el intervalo [3; 6], se cumplir siempre que la P(X3) = 1.

1. Clasificar las variables aleatorias en discretas o continuasPara responder los siguientes tems escriba, a la izquierda del nmero del tem, la letra D siconsidera que se trata de una variable aleatoria discretao la letra C si considera que escontinua.

51. Resistencia a traccin de las barras de acero del tipo ADM-420 (N), en MN/m.

52.Nmero de vehculos controlados por da, en el acceso a Mendoza por Desaguadero.

53. Produccin diaria de agua potable en la planta de tratamiento Alto Godoy, Mendoza,en miles de m/da.

54.

La seccin de una viga de madera puede formarse abulonando dos escuadras. Sedispone de secciones individuales de (3"x 2"); (3"x 3") y (3"x 4"). SeaXla variable aclasificar, definida como la altura total de la seccin obtenida, de base igual a 3".

55. Tiempo de secado de una pintura de secado rpido, observado en el panel de ensayo.

56.Nmero de permisos de construccin de edificios, por ao, otorgados por lamunicipalidad de Godoy Cruz, en la provincia de Mendoza.

57. Superficie implantada con frutales en la provincia de Mendoza, en Ha, declaradacada ao.

58. Consumo de energa elctrica por tipo de actividad productiva en la provincia de

Mendoza, en MWh / ao.59. Cantidad de lneas telefnicas instaladas, por ao, en la provincia de Mendoza.

60. Superficie construida por ao, en la ciudad Capital de Mendoza, en m / ao.

61.Nmero de accidentes de trnsito por ao, en rutas argentinas.

62. Volumen anual de efluentes cloacales tratados por la planta depuradora de CampoEspejo, en hm / ao, en la provincia de Mendoza.

63.Nmero de instalaciones elctricas inspeccionadas anualmente por la municipalidadde Guaymalln.

64.

Gas entregado anualmente en la provincia de Mendoza, por tipo de usuario, en milesde m / ao.

65. Una empresa comercializa entablonados de madera en espesores de 1/8, 1/4 o 3/8 depulgada. La variable aleatoria es el espesor del entablonado solicitado en dos pedidosrecibidos.


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Autoevaluacin UT3


2. Esperanza, varianza y combinaciones lineales de variables aleatorias


66. Es comn entre los estadsticos, referirse a la media como la esperanza matemtica oel valor esperado de la variable aleatoriaXy denotarla comoE(X).

67. La frmula para calcular el valor esperado de variables aleatorias continuas, es lamisma que se utiliza para calcular el valor esperado de las variables aleatoriasdiscretas.

68. El valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3,5.

69. Si el valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3,5, debeinterpretarse que los resultados que ms se repiten son el 3 y el 4.

70. El valor esperado de una variable aleatoria, describe cmo se distribuye la funcin deprobabilidad en su rango.

71. El valor esperado de la variable aleatoria Y= 2X 1, es igual al doble del valoresperado de la variable aleatoriaX.

72. La media o valor esperado de una variable aleatoriaXresulta de especial importanciaen estadstica, pues describe el lugar donde se centra la distribucin de probabilidad.

73. Si el valor esperado de una variable aleatoria asume un valor menor que cero, debeinterpretarse que, fsicamente, es imposible que la variable tome ese particular valor.

74. Si una variable aleatoria tiene una varianza pequea, esperaramos que la mayor partede las observaciones se agrupen cerca y alrededor de la media.

75. La varianza de la variable aleatoria Y= 2X 1, es cuatro veces mayor que la varianzade la variable aleatoriaX.

76. SeaXla variable aleatoria definida como las calificaciones de los estudiantes deIngeniera en Estadstica; y sea Yla misma variable en lgebra. Si se cumple queE(X) = E(Y) y que la V(X) > V(Y), dado el valor de la media deXy un intervaloalrededor de la misma, se cumplir que la probabilidad de que la variable Y tomevalores dentro de dicho intervalo, es mayor.

77. Si se tiene un histograma simtrico de una distribucin discreta de probabilidad, se

debe concluir que la variabilidad en la distribucin es nula.78. La varianzade una variable aleatoria con distribucin de probabilidadf(x), es el

valor esperadodel cuadrado de las desviacionesrespecto de su media.

79. Una forma de obtener la varianzade una variable aleatoriaXes, haciendo ladiferencia entre el valor esperado del cuadrado de la variable, y el valor esperado dela variableelevado al cuadrado.

80. El valor esperado de una constantees siempre igual a cero.

81. El valor esperado delproducto de una constante por una variable aleatoria, es igualal producto de la constantepor el valor esperado de la variable aleatoria.

82.

El valor esperado de la suma algebraicade dos variables aleatorias, es siempre iguala la suma de los valores esperados de las mismas.


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Autoevaluacin UT3


83. El valor esperado delproducto de dos variables aleatorias, es igual al producto delos valores esperados de las mismas, siempre y sin excepcin.

84. La varianza de una constantees siempre igual a la constanteelevada al cuadrado.

85.

La varianza de una constante por una variable aleatoria, es igual al cuadrado de laconstante multiplicado por la varianza de la variable aleatoria.

3. Teorema de Chebyshev

86. La proporcin de valores que toma una variable aleatoria entre dos valores simtricosalrededor de la media, est relacionada con la desviacin estndar de la variablealeatoria.

87.

El teorema de Chebyshev, proporciona una estimacin conservadora de laprobabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de kdesviacionesestndar de su media, para cualquier nmero real k.

88. El teorema de Chebyshev encuentra su ms plena aplicacin, cuando la variable enestudio se distribuye normalmente.

89. Segn el teorema de Chebyshev, la probabilidad de que una variable aleatoriacualquiera, tome un valor dentro de kdesviaciones estndar de la media, esexactamente igual a: 1 1/k.

90. SiXes una variable aleatoria cuya funcin de densidad de probabilidadf(x)es

conocida y se desea saber la probabilidad de que la variable asuma valores en elintervalo 2, es el caso ms apropiado para utilizar el teorema de Chebyshev.


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Autoevaluacin UT3-2

Distribuciones de variables aleatorias discretas 21

Unidad Temtica 3UT3-2: Distribuciones de probabilidad de variables

aleatorias discretas


1. Distribucin uniforme discreta

1. En la distribucin de probabilidad uniforme discreta, la variable aleatoria toma cadauno de sus valores con idntica probabilidad.

2. El parmetro de la distribucin de probabilidad uniforme discreta, viene dado por la

inversa de la cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria.3. La variable aleatoria que describe el nmero de caras obtenidas al lanzar dos

monedas legales sigue una distribucin de probabilidad uniforme.

4. La media de una variable aleatoria discreta uniforme,f(x; k), siempre coincide conuno de los valores para los cuales est definida la variable.

5. La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme,f(x; k), NO est relacionadacon el nmero de valores que puede tomar la variable.

2. Distribucin binomial

6. En la distribucin binomial las pruebas que se repiten pueden ser dependientes oindependientes.

7. El nmeroXde xitos obtenidos en nexperimentos de Bernoulli se denominavariable aleatoria binomial.

8. La media de la distribucin binomial de parmetros nyp, viene dada por el productonp.

9. El rango de valores de una variable aleatoria binomial va de cero ap.

10.

Los resultados del experimento que da lugar a la generacin de una variable aleatoriabinomial, son independientes.

11. La varianza de la distribucin binomial puede calcularse en funcin de laprobabilidad con que ocurre cada xito y del nmero de veces que se realiza laprueba en el experimento.

12. El espacio muestral de un experimento Bernoulli puede representarse de maneragenrica, como {xito, fracaso}.

13. Dado un valor de npequeo, para valores pequeos del parmetrop, digamosmenores de 0,05 por ejemplo, la distribucin binomial ser sesgada a la izquierda.

14.

Cuando la probabilidad de xito en un proceso Bernoulli es de 0,20, la grfica de ladistribucin binomial resultante al realizar el experimento cinco veces es simtrica.


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Autoevaluacin UT3-2


15. El nmero de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces, sigue unadistribucin binomial.

16. Se tiene un examen de opcin mltiple que contiene diez preguntas; cada preguntatiene cuatro opciones y slo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar,el nmero de respuestas correctas sigue una distribucin binomial.

17. Los valores que puede tomar una variable aleatoria que sigue una distribucinbinomial, siempre estn comprendidos entre cero y uno, inclusive.

18. Las distribuciones binomiales para valores del parmetrop= 0,5 tienen unarepresentacin grfica simtrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de lamedia de la distribucin.

19. Para un valor fijo de n, la distribucin se vuelve ms simtrica a medida que elparmetropaumenta desde 0 hasta 0,5, o disminuye desde 1 hasta 0,5.

20. Para un valor fijo dep, la distribucin binomial se vuelve ms simtrica a medida quenaumenta.

21. La media y la varianza de una variable aleatoria binomial, dependen slo de losparmetros nyp.

22. SiX~ binomial (x; n,p), para n= 10 yp= 0,98, la representacin grfica de lafuncin masa de probabilidad, resultar sesgada a la izquierda.

23. Sip= 0,4 en un proceso Bernoulli, entonces el clculo de: 7C3. (0,4) . (0,6) da laprobabilidad de obtener tres o ms xitos en 7 ensayos.

24. Una variable aleatoria binomial asume valores entre el y el +.

25.

El nmero de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces sigue unadistribucin binomial y la representacin grfica de la distribucin es simtricarespecto del valorx= 1.

26. Si una mquina que tiene la herramienta desgastada produce 1% de piezasdefectuosas, el nmero de piezas defectuosas en las siguientes 25 que produzca, sigueuna distribucin binomial, cuyos parmetros son: n = 100yp = 0,25.

27. Un examen de opcin mltiple est formado por 10 preguntas; cada pregunta tiene 5opciones y slo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar, el nmerode respuestas correctas sigue una distribucin binomial, cuyos parmetros son: n= 50yp= 0,10.

3. Distribucin hipergeomtrica

28. La distribucin hipergeomtrica es de suma utilidad en aplicaciones en el campo delcontrol de calidad, donde el muestreo de aceptacin se realiza con ensayosdestructivos.

29. La variable aleatoria hipergeomtrica NO asume valores negativos.

30. El modo en que se realiza el muestreo (con o sin reposicin), genera diferencias entre

la distribucin binomial y la distribucin hipergeomtrica.31. Tanto en la distribucin binomial como en la hipergeomtrica, se debe repetir el


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Autoevaluacin UT3-2


experimento hasta encontrar el primer xito.

32. Tanto en la distribucin binomial como en la hipergeomtrica, las pruebas sonindependientes.

33.

En un experimento hipergeomtrico, se selecciona, con reemplazo, una muestraaleatoria de tamao nde un lote deNartculos, donde kde losNartculos se puedenclasificar como xitos y (N k)se pueden clasificar como fracasos.

34. El nmero de xitos (elementos defectuosos) de un experimento hipergeomtrico, enel que se selecciona una muestra aleatoria de tamao tres, de un lote de tamao veinteque tiene cinco elementos defectuosos, vara entre cero y cinco.

35. En un experimento hipergeomtrico, la probabilidad de no encontrar xitos en unamuestra aleatoria, es siempre igual a cero.

36. Cuando el tamao de la muestra, n, es suficientemente pequeo en relacin al tamaodel lote,N, la distribucin binomial permite calcular, de manera aceptable,

probabilidades de la distribucin hipergeomtrica.

37. La expresin (N n) / (N 1)se conoce como factor de correccin de poblacinfinita.

38. Para calcular probabilidades de la distribucin hipergeomtrica, se puede utilizar ladistribucin binomial, si el factor de correccin para poblaciones finitas (N n) / (N 1)es cercano a cero.

39. El muestreo con reemplazo es equivalente al muestreo de una poblacin infinita, enla que se acepta que la proporcin de xitos permanece constante para cualquierensayo del experimento.

4. Distribucin geomtrica

40. Los parmetros de la distribucin geomtrica son nyp.

41. Los valores que puede asumir una variable geomtrica van de cero a n.

42. El parmetro de la distribucin geomtrica est dado por la probabilidad de obtenerun xito en una prueba cualquiera del experimento, valor que permanece constante encada prueba.

43.

En la distribucin geomtrica las pruebas son independientes.44. La media de una variable aleatoria que sigue una distribucin geomtrica est dada

por la inversa del parmetro de la misma.

45. Si se define a la variable aleatoriaXcomo el nmero de lanzamientos que se debenhacer con un dado legal hasta que salga el seis,E(X)= 6.

46. Se sabe que una persona tiene una probabilidad de dar en el blanco de 0,90. En talcondicin, la probabilidad de que en los prximos diez disparos que realice, recin den el blanco en el cuarto, es igual a 0,0009.


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5. Distribucin de Poisson

47. La representacin grfica de la distribucin de Poisson siempre tiene forma simtrica.

48.

Dada una variable con distribucin binomial de parmetros nyp, para valoressuficientemente grandes de ny pequeos dep, las condiciones se aproximan a las del

proceso de Poisson, con parmetro igual al producto np.

49. Una de las propiedades del proceso de Poisson, es que la probabilidad de que ocurraun solo resultado durante un intervalo es independiente de la longitud del intervalo.

50. En el proceso de Poisson, el nmero de resultados que ocurren en un intervalo oregin especfica, es independiente del nmero de ocurrencias que se producen en losintervalos o regiones adyacentes al considerado.

51. La media de una distribucin de Poisson es igual a su desviacin estndar.

52.

La variable aleatoria de Poisson slo puede tomar valores comprendidos en elintervalo [0 ; ], siendo su parmetro.

53. La variable aleatoria de Poisson puede tomar valores menores que cero, slo cuandola tasa de ocurrencia sea menor que uno.

54. SiX~ Poisson (x; ), para valores suficientemente grandes del parmetro, ladistribucin tiende a ser simtrica.

6. La distribucin de Poisson como forma limitante de la binomial

55. SeaXuna variable aleatoria binomial con distribucin de probabilidad b(x; n, p).Siempre y en cualquier caso es posible utilizar la distribucin de Poisson como formalimitante de la distribucin binomial, es decir, b(x; n, p)p(x;).

56. Para una distribucin binomial dada, con nsuficientemente grande yppequea, lascondiciones se aproximan a las del proceso de Poisson, con parmetro igual a laconstante np.

57. Cuandopsea un valor cercano a la unidad, de ninguna manera ser posible utilizar ladistribucin de Poisson para aproximar probabilidades binomiales.


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Autoevaluacin UT3-2


7. Opcin Mltiple

Seleccione con una X la opcin que considere correcta. Tenga en cuentaque cada tem ha sido construido de modo tal que slo una de las cuatroopciones es correcta. No obstante, podra ocurrir que las tres primeras

opciones sean correctas y que la cuarta opcin indique Todas lasanteriores; en tal caso, debe seleccionar slo la cuarta opcin.

Descripcin del problema:

Los componentes de un sistema se envan a destino en lotes de 8 unidades. El control decalidad del producto establece que se seleccionen aleatoriamente dos unidades de cada lote yse acepte el lote si no se encuentran unidades defectuosas en la muestra. Suponga que el lotetiene 3 unidades defectuosas.

58. El nmero de unidades defectuosas en la muestra sigue una distribucin:

e) Binomial

f)

Hipergeomtricag) Poissonh) Geomtrica

59. Los parmetros de la distribucin son:

a) n,pb) N, n, kc) td) p

60. Los valores que puede asumir la variable aleatoria en estudio son:

a)

x= 0, 1, , nb) x= 0, 1, , kc) x= 0, 1, , td) x= 1, 2,

61. De acuerdo a la informacin disponible, la variable aleatoria en estudio:

a) Sigue una distribucin hipergeomtrica que se aproxima a la binomial.b) Sigue una distribucin binomial que se aproxima a la de Poisson.c) Sigue una distribucin hipergeomtrica que se aproxima a la de Poisson.d) Ninguna de las anteriores.

62. SiXes el nmero de unidades defectuosas en la muestra, el planteopara calcular la

probabilidad de que el lote sea aceptado, es:

a) P(X< 3)b) P(X< 2)c) P(X= 0)d) Ninguna de las anteriores.

63. La probabilidad de que el lote sea aceptado, es:

a) 0,642857b) 0,375000c) 0,357143

d)

Ninguna de las anteriores. El valor correcto es: .


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Autoevaluacin UT3-3

Distribuciones de variables aleatorias continuas 26

Unidad Temtica 33-3: Distribuciones de probabilidad de variables

aleatorias continuas

Atencin!Para responder los tems que comienzan con un asterisco (*) debe

utilizar las tablas estadsticas. Para responder los otros tems debe

ensar en las propiedades de la distribucin y responderlos sin

utilizar tablas.

En el caso particular de la distribucin normal, antes de responder

la autoevaluacin debe memorizar las reas que encierra la curva

alrededor de: ; 2; 3.Es suficiente recordar hastael tercer decimal.


1. Distribucin uniforme continua

1. Si una variable aleatoria continuaXest distribuida uniformemente en el intervalo

[A; B], la probabilidad de que tome valores en intervalos de igual longitud dentro desu rango, es la misma.

2. Dado que la funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria uniformecontinuaXen el intervalo [A; B] es constante, tiene varianza nula.

3. El valor esperado de una variable aleatoria continua, distribuida uniformemente en elintervalo [1; 3], es igual a 1.

4. La funcin de densidad de una variable aleatoria continua distribuida uniformementeen el intervalo [A; B], es simtrica respecto de un eje vertical que pase por la media.

5. SiXes una variable aleatoria continua distribuida uniformemente, cuartil inferior ycuartil superior son coincidentes.

2. Distribucin normal

6. Los parmetros de la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria normalson su media y la desviacin estndar (o su varianza).

7. Siempre y sin restriccin alguna, la curva de la funcin de densidad de probabilidadde una variable aleatoria normal, es simtrica respecto de un eje vertical que pasa porla media.

8.

Para algunos valores particulares de los parmetros de la distribucin normal, lacurva de la funcin de densidad de probabilidad puede presentar ms de una moda.


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Autoevaluacin UT3-3


9. SiXN (x;, ), media, mediana y moda son coincidentes.

10. La curva de la distribucin normal tiene sus puntos de inflexin en correspondenciacon los valores de la variable ubicados alrededor de la media, a una distancia de

una vez la desviacin estndar.11. La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con

media y varianza , tome valores entre 3, es igual a 0,997.

12. La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, conmedia y varianza , tome valores entre 2, es igual a 0,955.

13. La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, conmedia y varianza , tome valores entre 1, es igual a 0,683.

14. La funcin de distribucin acumulada F(x), de cualquier variable aleatoriaXdistribuida normalmente, es igual a 0,5 para el valor dexigual a la media.

15.

Una variable aleatoriaXdistribuida normalmente est definida slo para valorespositivos de la misma.

16. Si graficamos dos curvas normales con la misma desviacin estndar y mediasdiferentes, las curvas tendrn la misma forma, pero estarn centradas en posicionesdiferentes a lo largo del eje de la variable.

17. La funcin de densidad de una variable aleatoria normal es ms chata y se extiendems sobre el eje de la variable (horizontal), mientras mayor sea su varianza.

18. La probabilidad de que una variable aleatoria normal tome el particular valorx1, sepuede leer en el eje de ordenadas, enf(x1).

19.

La probabilidad de que una variable aleatoriaXN (x;, ), tome valores entre losparticulares valoresx = x1yx = x2, est representada por el rea bajo la curva de lafuncin de densidad de probabilidad comprendida entrex1yx2.

20.No cualquier variable aleatoriaXN (x;, ) se puede transformar en otra variablealeatoriaZN(z; 0, 1).

21. La distribucin de una variable aleatoria normal con media cero y varianza uno, sellama distribucin normal estndar.

22. La probabilidad de que una variable aleatoriaXN (x; = 4, = 2) tome valoresentre 4,5 y 5,5 es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria normal estndar

tome valores entre 0,25 y 0,75.23. La probabilidad de que una variable aleatoria normal, con media seis y desviacin

estndar igual a dos, tome valores menores que seis, es igual a la probabilidad de quela misma variable tome valores menores o iguales que seis.

24. La curva de la funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria normal, essimtrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media.

25. La funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria normal, siempre y sinrestriccin alguna, toma el valor 0,5 para el valor particular de la variable igual a lamedia de la distribucin.

26.

* El percentil sesenta y siete de la una variable normal estndar es igual a 0,44.27. El quinto decil de una variable normal estndar es igual a 0,5.


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28. El percentil treinta y tres de cualquier variable aleatoria normal es igual a 0,44.

29. La probabilidad de que una variable aleatoria normal estndar tome valores mayoresque uno, es igual a 0,841.

30.

Cuando se mantiene constante el valor de la media, a medida que la desviacinestndar aumenta, la curva de la distribucin normal va perdiendo simetra.

3. Aproximacin normal a la distribucin binomial a la normal

31. Dado que la distribucin binomial siempre resulta simtrica, siempre se puedenobtener buenos resultados, calculando probabilidades binomiales utilizando ladistribucin normal.

32. Algunas veces, cuando la distribucin binomial adquiere forma de campanasimtrica, la distribucin normal es una buena aproximacin de la binomial.

33. La distribucin binomial se aproxima bien por la normal cuando el tamao de lamuestra es suficientemente grande.

34. La aproximacin normal es excelente para evaluar probabilidades binomiales cuandones suficientemente grande, y muy buena, para valores pequeos de n, sipesrazonablemente cercano a 0,5.

35. En la prctica, si se cumple que np5 y nq5, la aproximacin normal para evaluarprobabilidades binomiales ser aceptable.

36. Si Xbinomial (x; n = 15, p = 0,4) y se dan las condiciones para aproximar elclculo de probabilidades utilizando la distribucin normal, entonces se puedeverificar que P(4 X< 8) = P(-1,318


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forma: de sesgada a la derecha tiende a la simetra.

45. Para cualquier = constante y positivo, la distribucin gamma resulta sesgada a laderecha.

5. Distribucin Ji Cuadrada

46. La distribucin ji-cuadrada se genera sumando variables aleatorias independientesdistribuidas uniformemente.

47. La distribucin ji-cuadrada es un caso particular de la distribucin gamma.

48. La media y la desviacin estndar de la distribucin ji-cuadrada sony 2,respectivamente, siendoel nmero de g.d.l..

49.

Si graficamos dos funciones de densidad de probabilidad de variables aleatorias condistribucin ji-cuadrada, donde la mediade la primera es menorque la mediade lasegunda, la curva de la segunda ser ms baja y se extender ms lejos.

50. La distribucin ji-cuadrada tiene un papel importante en la metodologa y en la teorade la inferencia estadstica.

51. Los parmetros de la distribucin ji-cuadrada son dos: el tamao de la muestra, n, yel nmero de g.d.l.,.

52. La distribucin ji-cuadrada est definida, con valores distintos de cero, para valoresde la variable aleatoria comprendidos entre y + .

53.

La probabilidad de que una variable aleatoria con distribucin ji cuadrada, deparmetro igual a 30, tome valores menores que (13,787), es igual a 0,995.

54. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribucin ji cuadrada, deparmetro igual a 25, tome valores mayores que (2), es igual a uno.

55. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribucin ji cuadrada, deparmetro igual a 10, tome valores menores o iguales que la media, es igual a 0,5.

56. La suma de nvariables aleatorias independientes distribuidas normalmente, generauna variable aleatoria con distribucin ji cuadrada de parmetro igual a n.

6. Distribucin logartmica normal

57. La distribucin logartmica normal se aplica en casos donde una transformacin delogaritmo natural tiene como resultado una distribucin normal.

58. La variable aleatoria continuaXtiene una distribucin logartmica normal si lavariable Y = ln (X)tiene una distribucin normal con media y desviacin estndar.

7. Distribucin de Weibull


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59. Los parmetros de la distribucin de Weibull son su media y su varianza.

60. La confiabilidadde un componente o producto, se define como la probabilidad deque funcione apropiadamente por lo menos un tiempo especfico, bajo condicionesexperimentales especficas.

61. Una de las distribuciones de aplicacin en problemas de confiabilidad decomponentes que forman los sistemas, es la distribucin de Weibull.

62. La funcin de densidad de una variable aleatoria con distribucin de Weibull, essiempre simtrica respecto de un eje vertical que pasa por la media.

8. Distribucin t

Abrev. g.d.l.: grados de libertad

63.

SeaZuna variable aleatoria normal estndar y sea Vuna variable aleatoria que sigueuna distribucin ji cuadrada cong.d.l. SiZy Vson independientes, entonces ladistribucin de la variable aleatoria Tse conoce como la distribucin t, cong.d.l.,

donde

V

ZT= .

64. Una variable aleatoria con distribucin tse define como el cociente entre una variablealeatoria normal estndar y la raz cuadrada del cociente entre una variable aleatoriacon distribucin ji cuadrada y su nmero de g.d.l., siendo las variables

independientes.65. La distribucin de una variable aleatoria T, con distribucin t, difiere de la

distribucin de una variable normal estndarZ, en que la varianza de Tdepende deltamao de la muestra ny siempre es mayor que uno. Slo cuando el tamao de lamuestra tiende a infinito (n ) las dos distribuciones coincidirn.

66. Si bien la distribucin de Ty la distribucin deZtiene forma de campana, ladistribucin de tes ms variable que la deZ, debido al hecho de que los valores de Tdependen de las fluctuaciones de dos cantidades, Xy S, mientras que los valores de

Zdependen slo de los cambios de Xde una muestra a otra.

67.

Si graficamos dos variables aleatorias con distribucin t, donde1es el nmero deg.d.l. de la primera y2el de la segunda, y1


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9. Distribucin F


71.

La estadsticaF

se define como el cociente entre dos variables aleatorias ji cuadradasindependientes, divididas, cada una, por su nmero de g.d.l..

72. Si Uy Vson variables aleatorias normalmente distribuidas, con1y2g.d.l.,respectivamente, entonces la estadstica F = [(U/1) / (V/2)] tiene una distribucin F,con1g.d.l. en el numerador y2g.d.l. en el denominador.

73. Para graficar la funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria Fsenecesita conocer el nmero de g.d.l. del numerador,1, y el nmero de g.d.l. deldenominador,2.

74. * Utilizando la notacin (f ;1;2), dondefes un valor particular de una variablealeatoria que sigue una distribucin F, con1g.d.l. en el numerador y2g.d.l. en eldenominador, que deja a su derecha un rea bajo la curva igual a , se puede verificarque f0,05; 15; 10= 2,85.

75. * Utilizando la notacin (f ;1;2), dondefes un valor particular de una variablealeatoria que sigue una distribucin F, con1g.d.l. en el numerador y2g.d.l. en eldenominador, que deja a su derecha un rea bajo la curva igual a , se puedeverificar que f0,95; 19; 20= 0,463.

76. * Utilizando la notacin (f ;1;2), dondefes un valor particular de una variablealeatoria que sigue una distribucin F, con1g.d.l. en el numerador y2g.d.l. en eldenominador, que deja a su derecha un rea bajo la curva igual a , se puede

verificar que f0,01; 24; 12= 3,03.77. Algunas aplicaciones de la distribucin Ftienen que ver con la comparacin de

varianzas muestrales y con la inferencia acerca de las varianzas poblacionales.

78. La estadstica Fse define como la suma del cuadrado de variables normales estndarindependientes.

79. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribucin Fque tiene 5 g.d.l. enel numerador y siete en el denominador, tome valores menores que 3, es igual a uno.

80. * La probabilidad de que una variable aleatoria con distribucin Fcon1= 10 y2=8 tome exactamente el valor 3,35 es igual a 0,05.


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Autoevaluacin UT3-4

Combinaciones lineales de v.a. - Probabilidad conjunta 32

11. Combinaciones lineales de variables aleatorias


81.

La distribucin normal posee la propiedad reproductiva, esto es, la suma de variablesaleatorias independientes distribuidas normalmente, es una variable aleatoria normal.

82. SiX1,X2,X3, ,Xi, ,Xn, son variables aleatorias independientes que tienen,respectivamente, distribuciones ji cuadrada con1,2,3, ,i, ,n, g.d.l.,entonces la variable aleatoria que resulta de la suma de las variables independientes:W = X1+X2+X3+ +Xi+ +Xn, tiene una distribucin normal con media iguala la suma de las medias de las variables y varianza igual a la suma de las varianzas delas variablesXi.

83. La suma del cuadrado de variables aleatorias normales estndar independientes, tieneuna distribucin ji cuadrada, con parmetro igual al nmero de variables normales

estndar cuyos cuadrados se suman.84. Dada la variable aleatoriaXdistribuida normalmente con media igual a 50 y

desviacin estndar igual a 2, y la variable aleatoria Ydistribuida normalmente conmedia igual a 20 y desviacin estndar igual a 4, siendoXe Yvariables aleatoriasindependientes, entonces la variable W = X Y tendr una distribucin normal conmedia igual a 30 y desviacin estndar igual a 6.

85. Dada la variable aleatoriaXque tiene una distribucin ji cuadrada con 3 g.d.l. y lavariable aleatoria Yque tiene una distribucin ji cuadrada con 5 g.d.l., siendoXe Yvariables aleatorias independientes, entonces la variable W = X + Y tendr unadistribucin ji cuadrada con media igual a 8 y varianza igual a 16.

12. Distribuciones de probabilidad conjunta


86. Los resultados de un experimento estadstico pueden dar lugar al estudio de una oms variables aleatorias.

87. Para el caso de dos variables aleatorias discretas,Xe Y, la funcin de probabilidadconjuntaf(x,y), da la probabilidad de que ocurran los valoresxeyal mismo tiempo.

88.

Sea Yla variable aleatoria que da el nmero de licencias por enfermedad solicitadaspor los empleados de una empresa en un mes cualquiera del ao, yZel mes del aoen que la solicitan, expresado en nmeros del uno al doce. Si la funcin de

probabilidad conjunta de YyZtoma el valorf(5,12) = 0,45, debe interpretarse que laprobabilidad de que cinco empleados soliciten licencia por enfermedad en el mes dediciembre, es por lo menos igual a 0,45.

89. Cualquier funcinf(x,y)que cumpla la condicin de quex0y quey0, es funcin deprobabilidad conjunta de las variables aleatorias discretasXyY.

90. Si las variables YyZson variables aleatorias continuas, con funcin de densidadconjuntaf(y,z), la representacin grfica de la misma dar una superficie sobre el

planoyz, y se puede medir la P[(Y,Z)A], dondeAes cualquier regin en el planoyz, en la escala graduada de un eje perpendicular al planoyz.


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Autoevaluacin UT3-4

Combinaciones lineales de v.a. - Probabilidad conjunta 33

91. Las variables aleatorias continuas YyZ, con funcin de densidad conjuntaf(y,z), nopueden tomar valores menores que cero.

92. Dada la distribucin de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretasXyY, es posible obtener las distribuciones marginales deXyY, a partir def(x,y).

93. Sean YyZvariables aleatorias discretas con funcin de probabilidad conjuntaf(y,z).Siempre se cumple que la suma de los valores de la distribucin marginal decualquiera de las variables sobre todos los valores de la misma, es igual a uno.

94. Las distribuciones marginales de las variables aleatorias continuasYyZ, son enrealidad las distribuciones de probabilidad de las variables individuales YyZsolas.

Independencia estadstica

95. La simbologaf(x, y)debe leerse: probabilidad de que la variable aleatoriaXtome el

particular valorxy que la variable aleatoria Ytome el particular valory.96. La simbologaf (xy) debe leerse: probabilidad de que la variable aleatoriaXtome el

particular valorx, dado que la variable aleatoria Ytoma el particular valory.

97. Cuandof (yz) depende dez, la distribucin condicional de la variable aleatoria Ydado queZ=z, es igual a la distribucin marginal de la variable aleatoria Y.

98. Sif (xy) no depende dey, se cumple quef (xy) = g(x)y f(x, y) = g(x). h(y).

99. Las variables aleatorias discretas YyZson estadsticamente independientes, si y slosi, la funcin de distribucin de probabilidad conjunta de las mismas es igual al

producto de las distribuciones marginales, para toda (y,z) dentro de sus rangos.

100.

Si se verifica algn punto (y,z) para el quef(y,z)g(y).h(z), las variables aleatoriasdiscretas YyZno son estadsticamente independientes.

101.Si se cumple quef(x, y) = P(X=x , Y=y), para todo (x,y), entonces las variablesaleatorias discretasX, Y, son estadsticamente independientes.

102.Dadas las variables aleatorias discretas YyZ, conf(2,1) = 7/5; g(2)=4/5 y h(1)=3/5,se puede afirmar que las variables aleatorias discretas YyZson estadsticamenteindependientes.


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Autoevaluacin UT4

Distribuciones fundamentales del muestreo 34

Unidad Temtica 4Distribuciones fundamentales del muestreo


1. Muestreo aleatorio

1. En Estadstica, el trminopoblacinse usa para referirnos al conjunto de personasque constituyen el grupo en estudio.

2. Siempre ser posible y no habr dificultades en disponer del conjunto de todas lasobservaciones que constituyen lapoblacinestudiada.

3.

Cualquier subconjunto de unapoblacin, constituye una muestrarepresentativa de lapoblacin en estudio.

4. Cualquier procedimiento de muestreo que produzca inferencias que sobreestimen osubestimen de forma consistente alguna caracterstica de la poblacin, se dice queest sesgado.

5. En un muestreo aleatorio, las observaciones se obtienen de manera independiente yal azar.

6. Cualquier conjunto de datos seleccionados de una poblacin, permite hacerinferencias confiables acerca de los parmetros de la poblacin de la cual proviene.

7.

La distribucin de probabilidad de una estadsticase llama distribucin muestral.

8. La distribucin de probabilidad de una estadsticadepende del tamao de lapoblacin y es independiente del tamao de las muestras.

9. La distribucin muestral deX, es la distribucin que resulta cuando un experimentose lleva a cabo una y otra vez, probando siempre con muestras de distintos tamaos.

2. Distribuciones muestrales de medias y diferencia de medias

10. Si tomamos muestras de unapoblacin normalcon media y varianza conocida,la distribucin muestral deX ser normal con media y varianza /n, donde nes eltamao de la muestra, sin importar qu tan pequeo sea el tamao de las muestras.

11. Si tomamos muestras de unapoblacin no normal o desconocida, con media yvarianza conocida, la distribucin muestral de Xser normal, con media yvarianza /n, donde nes el tamao de la muestra, siempre que el tamao de lamuestra sea suficientemente grande.

12. La aproximacin normal para la distribucin de la media muestral, en general serbuena si n30, sin importar la distribucin de la poblacin.


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Autoevaluacin UT4

Distribuciones fundamentales del muestreo 35

13. El teorema del lmite centralafirma que la forma lmite de la distribucin de la mediamuestral de una poblacin cualquiera, con media y varianza , es la normal, conmedia y varianza /n, cuando el tamao de la muestra ntiende a infinito.

14.

Las aplicaciones de teorema del lmite central giran alrededor de las inferencias sobrela media de una poblacin o de la diferencia entre las medias de dos poblaciones.

15. SiXes una variable de una poblacin que sigue una distribucin exponencial, lamedia muestral de dicha variable, se distribuye normalmente cuando el tamao de lasmuestras seleccionadas es suficientemente grande.

16. Si se extraen al azar muestras independientes de tamao n1y n2de dospoblacionescualesquiera, sean discretas o continuas, con medias 1y 2y varianzas 1 y 2,respectivamente, entonces la distribucin muestral de las diferencias de las medias( 21 XX ), est distribuida normalmente con media (1 2) y varianza (1/n1+2/n2), sin condicin alguna.

17.

La distribucin muestral de las diferencias de las mediases til cuando se comparanlas medias desconocidas de dos poblaciones.

3. Distribucin muestral de la varianza de una muestra: S

18. Si S es la varianza de una muestra aleatoria de tamao n, que se extrae de unapoblacin cualquiera que tiene varianza , entonces la estadstica = (n1) S/,sigue una distribucin ji cuadrada con= n 1 grados de libertad.

19.

SiX es la media muestral de nvariables aleatorias independientes distribuidasnormalmente, con la misma media, , e idntica varianza, , entonces la variable

aleatoria nS

XT

=

, tiene una distribucin tcon= n 1 g.d.l., donde Ses la

desviacin estndar de la muestra, sin condicionamientos para el tamao de lamuestra.

20. La distribucin tse utiliza ampliamente en problemas que tienen que ver con lainferencia acerca de la varianza de una poblacin o en problemas que implicancomparaciones de las varianzasde dos muestras.

21.

El uso de la distribucin ty la consideracin del tamao de la muestra noserelacionan con el teorema de lmite central. El uso de la distribucin normal estndarZen lugar de Tpara n 30slo implica que Ses un estimador suficientemente buenode .


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Estimacin de parmetros 36

Unidad Temtica 5Estimacin de parmetros: medias, varianzas y

proporciones


1. Estimacin. Estimadores. Propiedades.

1. La teora de la inferencia estadsticaconsiste en aquellos mtodos mediante loscuales se realizan inferencias o generalizaciones acerca de unapoblacin, a partir dela informacin de una muestra aleatoriaextrada de dicha poblacin.

2.

En el mtodo clsicode estimacin de un parmetro de la poblacin, las inferenciasse basan de manera estricta, en la experiencia personal y subjetiva que una personatiene sobre la poblacin que se estudia.

3. La estadstica inferencialque veremos en nuestro curso, se refiere a dos reasimportantes: estimacin de parmetros y pruebas de hiptesis.

4. Genricamente, es un estimador cuyo valor es una estimacin puntual de algnparmetro poblacional desconocido .

5. Casi siempre, el valor numrico de una estimacin puntualcoincide exactamente conel valor numrico delparmetroa estimar.

6.

En general, se espera que las estimaciones del parmetro poblacional obtenidasmediante un buen estimador, estn muy alejadas del valor real del parmetro.

7. Nunca debe utilizarse la medianade la muestra de una poblacin para estimar elverdadero valor de la mediade dicha poblacin.

8. El estimador varianza muestral, siempre producir estimaciones puntuales mscercanas a la media de la poblacin de la cual proviene la muestra, que lasestimaciones puntuales del estimador media muestral.

9.

Una de las propiedades deseables que debe reunir un estimador, es que seainsesgado.

10.

Se dice que un estimador es insesgadocuando proviene de una poblacin cuyafuncin de densidad de probabilidad es simtrica.

11. Una estadstica es un estimador insesgado del parmetro poblacional , si el valoresperado de la estadstica es igual al parmetro estimado.

12. La varianza muestrales un estimador sesgadode la varianza poblacional.

13. Todas las estadsticas son estimadores insesgados del parmetro poblacional.

14. La desviacin estndar muestrales un estimador sesgadode la desviacin estndarpoblacional, aunque el sesgo es insignificante en muestras grandes.

15.

Se puede demostrar queE(S)= .


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Autoevaluacin UT5

Estimacin de parmetros 37

16. Dividimos por (n 1) en lugar de ncuando se estima la varianza de una poblacin,porque en esta condicin la varianza muestral es un estimador insesgado delparmetro estimado.

17.

De los todos los posibles estimadores de algn parmetro poblacional , se denominaestimador ms eficientede , al de menor varianza.

18.

El estimador ms eficientede un parmetro poblacional es el que cumple lacondicin de tener varianza nula.

19.

Si consideramos a la media muestral y la mediana muestral como estimadores de lamedia poblacional, , es posible demostrar que la medianamuestral es un estimadorms eficienteque la mediamuestral.

20. En poblaciones normales, la mediamuestral y la medianamuestral son estimadoresinsesgadosde la media de la poblacin ; adems, tienen la misma varianza.

21.

Para obtener el estimador ms eficientede algn parmetro poblacional , essuficiente seleccionar aquel que tenga menor varianza.

22. Las estimaciones puntualesque se obtienen con un estimador insesgado, resultaniguales y coinciden con el valor numrico del parmetro estimado.

23. Cuando se estima un parmetro poblacional con el estimador insesgadomseficiente, se espera que la estimacin puntual coincida con el valor del parmetro aestimar.

2. Estimacin por intervalos de confianza

24. Dado que es poco probable que el estimador insesgado ms eficiente estime alparmetro poblacional con exactitud, es preferible determinar un intervalo y esperar,con una confianza dada, que contenga al verdadero valor del parmetro.

25. Al construir un intervalo de confianza para estimar la mediade una pob

Test Proby Estad Mendoza

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