Tese Alisson Gomes de Moraes

ALISSON GOMES DE MORAES

Entropia mxima na modelao do fator de atrito ( f ) de escoamento forado.

Tese apresentada Escola Politcnica da

Universidade de So Paulo para obteno

do ttulo de Doutor em Engenharia.

So Paulo2010

ALISSON GOMES DE MORAES

Entropia mxima na modelao do fator de atrito ( f ) de escoamento forado.

Tese apresentada Escola Politcnica da

Universidade de So Paulo para obteno

do ttulo de Doutor em Engenharia.

rea de Concentrao:

Engenharia Hidrulica

Orientador:

Prof. Dr. Podalyro Amaral de Souza

So Paulo2010

Este exemplar foi revisado e alterado em relao verso original, sob responsabilidade nica do autor e com a anuncia de seu orientador.

So Paulo, 06 de janeiro de 2010.

Assinatura do autor ____________________________

Assinatura do orientador _______________________

FICHA CATALOGRFICA

Moraes, Alisson Gomes deEntropia mxima na modelao do fator de atrito (f) de

escoamento forado / A.G. de Moraes. -- ed.rev. -- So Paulo, 2010.

151 p.

Tese (Doutorado) - Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Departamento de Engenharia Hidrulica e Sanitria.

1. Mecnica dos fludos 2. Perda de carga 3. Escoamento4. Turbulncia 5. Entropia (Matemtica aplicada) I. Universidade de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenharia Hidrulica e Sanitria II. t.

iAGRADECIMENTOS

Este trabalho apenas foi possvel devido colaborao recebida pelo autor

vinda de diversas pessoas. A seguir so apresentadas algumas pessoas

fundamentais para a elaborao deste trabalho.

Agradecimentos ao Professor Doutor Podalyro Amaral de Souza, da Escola

Politcnica, orientador deste trabalho. Pelas dicas, sugestes e empenho para que

este trabalho se tornasse realidade.

Universidade de Princeton nos Estados Unidos, em especial ao Professor

Doutor Alexander Smits. O qual orientou e forneceu os dados necessrios para os

ajustes necessrios dos modelos desenvolvidos no captulo 4.

Tambm da Escola Politcnica, agradecimentos ao Professor Doutor Milton

Tomoyki Tsutyia (em memria). O qual inspirou a elaborao do trabalho

apresentado no captulo 5, tambm participou discretamente do desenvolvimento

deste doutorado.

Tendo participado em muitos momentos da vida do autor, este deve muitos

agradecimentos Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Em especial a

todos integrantes do Departamento de Hidrulica e Saneamento (PHD).

Outras instituies como: a Companhia de Saneamento Bsico do Estado de

So Paulo (SABESP), a Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho

(UNESP) atravs de sua Faculdade de Tecnologia de So Paulo (FATEC-SP) e ao

Centro Tecnolgico de Hidrulica (CTH). Estas tambm foram importantes para o

desenvolvimento deste trabalho.

O autor pede perdo caso tenha esquecido de algum. Porm, a todos,

deixado os mais sinceros agradecimentos.

ii

Se eu vi mais longe, foi por estar de p sobre

ombros de gigantes (Isaac Newton)

iii

RESUMO

MORAES, Alisson Gomes de. Entropia mxima na modelao do fator de atrito (

f ) de escoamento forado. 2009. 142 f. Tese (Doutorado) Escola Politcnica da

Universidade de So Paulo, So Paulo, 2009.

Esta tese apresenta um desenvolvimento do fator de atrito ( f ) para

escoamentos incompressveis. O desenvolvimento baseado no modelo clssico de

Colebrook-White e no recente modelo da Entropia Mxima. Este desenvolvimento

pode ser considerado como um modelo conceitual, porm no completamente, por

causa do relacionamento entre o nmero de Reynolds (Re ) e o parmetro de

entropia (M ) determinado atravs de ajustes numricos realizados com bons dados

experimentais.

Quatro algoritmos de clculo foram criados para simplificar a aplicao do

modelo, evidenciando sua eficcia e a eficincia.

Palavras chave: Mecnica dos fluidos, perda de carga, escoamento, turbulncia,

entropia (Matemtica aplicada)

iv

ABSTRACT

MORAES, Alisson Gomes de. Maximum entropy for modeling friction factor ( f )

from forced flow. 2009. 142 f. Thesis (Doctor) Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, So Paulo, 2009.

This thesis presents a development of friction factor ( f ) for incompressible

pipe flow calculation. The development is based on the classical Colebrook-White

model and on the recent maximum entropy model. The development cam be

considered as a conceptual one, but not completely, because the relationship that

links the Reynolds number (Re ) to the entropy parameter (M ) was determined by

numerical fitting on accurate but experimental data.

Four calculation algorithms were produced to simplify the model applications,

evidencing efficiency and effectiveness.

Keywords: Friction Factor, lose energy, flow, Maximum entropy, Universal low

vLISTA DE ILUSTRAES

FIGURA 1. DESENHO ESQUEMTICO DE ENSAIO REALIZADO. FONTE BERNOULLI (1738).......6

FIGURA 2. REPRESENTAO DA CAMADA LIMITE. FONTE: PRANDTL E TIETJENS (1934).....7

FIGURA 3. DISTRIBUIO LAMINAR DE VELOCIDADE PRXIMO A UMA ENTRADA. FONTE:

PRANDTL E TIETJENS (1934). .............................................................................7

FIGURA 4. DISTRIBUIO TURBULENTA DE VELOCIDADE. FONTE: PRANDTL E TIETJENS

(1934).......................................................................................................................8

FIGURA 5. GERAO DA DISTRIBUIO DE VELOCIDADES TURBULENTA APS A REGIO DE

ENTRADA. TESTES FEITOS POR NIKURADSE. FONTE: PRANDTL E TIETJENS

(1934).......................................................................................................................9

FIGURA 6. SUBCAMADA VISCOSA JUNTO PAREDE DO TUBO EM UM ESCOAMENTO

TURBULENTO ATRAVS DO MESMO. FONTE: PRANDTL E TIETJENS (1934). ......11

FIGURA 7. RESULTADOS OBTIDOS NOS ENSAIOS EM TODAS SITUAES DE ENSAIO. FONTE:

COLEBROOK E WHITE (1937). ..........................................................................13

FIGURA 8. DIAGRAMA DE MOODY. FONTE: MOODY (1944)..................................................15

FIGURA 9. DIAGRAMA DE ROUSE. FONTE: ROUSE (1946)......................................................18

FIGURA 10.DIAGRAMA DE LI. FONTE: SIMON (1976). ............................................................22

FIGURA 11.DIAGRAMA DO ESCOAMENTO EM TUBULAES DE ASTHANA. FONTE: SIMON

(1976).....................................................................................................................22

FIGURA 12.DIAGRAMA DE COMPARAO ENTRE A DIVISO DA PULSAO DE VELOCIDADE PELO

QUADRADO DA VELOCIDADE DE ATRITO E A POSIO RELATIVA NA TUBULAO EM

FUNO DO RAIO. FONTE FOX ET AL. (1983)..........................................................25

FIGURA 13.RELAO ENTRE A VARIVEL ( n ) E O NMERO DE REYNOLDS. FONTE: FOX ET AL.

(1983).....................................................................................................................27

vi

FIGURA 14.VARIAO DOS PERFIS DE VELOCIDADE DE ACORDO COM O PARMETRO N DA

EQUAO (14). FONTE: FOX ET AL. (1983).............................................................28

FIGURA 15.COMPARAO DO PERFIL DE VELOCIDADES ENTRE OS MODELOS DE PRANDTL-VON

KRMN E CHIU. FONTE CHIU (1987).................................................................32

FIGURA 16.COMPARAO DO PARMETRO DE ENTROPIA ENTRE OS MODELOS DE PRANDTL-VON

KRMN E CHIU. FONTE CHIU (1987).................................................................32

FIGURA 17.COMPARAO DO PERFIL DE VELOCIDADE NAS PROXIMIDADES DO FUNDO DO CANAL

ENTRE OS MODELOS DE PRANDTL-VON KRMN E CHIU. FONTE CHIU (1987). ..33

FIGURA 18.COMPARAO DO PARMETRO DE ENTROPIA COM O PERFIL DE VELOCIDADES.

FONTE: CHIU (1988) .............................................................................................35

FIGURA 19.GRFICOS DE DISTRIBUIO DO PERFIL DE VELOCIDADES ADMENSIONALIZADOS

PARA UM PLANO FSICO EM FUNO DO PARMETRO DE ENTROPIA. FONTE: CHIU ET

AL. (1993) ...............................................................................................................37

FIGURA 20.FATOR DE ATRITO EM FUNO AO PARMETRO DE ENTROPIA. FONTE: CHIU ET AL.

(1993).....................................................................................................................39

FIGURA 21.NMERO DE REYNOLDS EM FUNO AO PARMETRO DE ENTROPIA. FONTE: CHIU

ET AL. (1993)...........................................................................................................39

FIGURA 22.COMPARAO ENTRE OS MODELOS DE PERFIL DE VELOCIDADES DE ENTROPIA

MXIMA E DE NIKURADSE (1932). FONTE CHIU ET AL. (1993). .............................40

FIGURA 23.COMPARAO ENTRE GRADIENTES DOS MODELOS DE PERFIL DE VELOCIDADES DE

ENTROPIA MXIMA E FRMULA UNIVERSAL. FONTE: CHIU ET AL. (1993). ............40

FIGURA 24.COMPARAO ENTRE MODELOS BASEADOS NO PRINCPIO DA ENTROPIA MXIMA.

FONTE BARB ET AL. (1991). ................................................................................43

FIGURA 25.DIAGRAMA DE SOLUO DE PROBLEMA DA VAZO (Q). FONTE: SOUZA ET AL. (1991)

...............................................................................................................................45

vii

FIGURA 26.DIAGRAMA DE SOLUO DE PROBLEMA PERDA DE CARGA ( H ). FONTE: SOUZA ET

AL. (1991) ...............................................................................................................46

FIGURA 27.DIAGRAMA DE SOLUO DE PROBLEMA DO DIMETRO (D ). FONTE: SOUZA ET AL.

(1991).....................................................................................................................47

FIGURA 28.DIAGRAMA DE SOLUO DE PROBLEMA DO DIMETRO (D ). FONTE: SOUZA ET AL.

(1991).....................................................................................................................48

FIGURA 29.COMPARAO ENTRE VALORES MEDIDOS E CALCULADOS COM BASE NA

FORMULAO LOGARITMA. FONTE ARAJO E CHAUDHRY (1998)...................50

FIGURA 30.COMPARAO ENTRE VALORES MEDIDOS E CALCULADOS COM BASE NA

FORMULAO BASEADA NA ENTROPIA MXIMA. FONTE ARAJO E CHAUDHRY

(1998).....................................................................................................................50

FIGURA 31.GRFICO DO FATOR DE ATRITO ( f ) EM FUNO DO NMERO DE REYNOLDS (RE),

COMPARANDO OS DADOS OBTIDOS PELAS UNIVERSIDADES DE OREGON E

PRINCETON. ............................................................................................................55

FIGURA 32.GRFICO DO FATOR DE ATRITO ( f ) EM FUNO DO NMERO DE REYNOLDS (RE), 59

FIGURA 33.COMPARAO DOS DADOS EXPERIMENTAIS (ASTERISCOS) COM DADOS CALCULADOS

(LINHA) EM GRFICO DE VELOCIDADE MDIA RELATIVA VERSUS O RAIO RELATIVO

PARA O ESCOAMENTO DE GUA EM TUBULAO COM RE = 4.000 E DIMETRO

NOMINAL DE 10MM. FONTE KARPELSON (2008). ...................................................63

FIGURA 34.FLUXOGRAMA DO ALGORITMO DESENVOLVIDO POR KARPELSON (2008). ..............64

FIGURA 35.GRFICO DE AJUSTE PARA OBTENO DA CONSTANTE C. ...................................82

FIGURA 36.FLUXOGRAMA DE CLCULO DO PARMETRO DE ENTROPIA (M)..............................84

FIGURA 37.ALGORITMO DE CLCULO DO PARMETRO DE ENTROPIA (M) ESCRITO EM VISUAL

BASIC APPLICATION (VBA). ..................................................................................85

FIGURA 38.GRFICO DE AJUSTE ENTRE O NMERO DE REYNOLDS E O PARMETRO DE ENTROPIA.

...............................................................................................................................87

viii

FIGURA 39.GRFICO DE AJUSTE ENTRE O NMERO DE REYNOLDS E A FUNO EXPONENCIAL DO

PARMETRO DE ENTROPIA. .....................................................................................87

FIGURA 40.GRFICO DE AJUSTE ENTRE O NMERO DE REYNOLDS E O EXPONENCIAL DO

PARMETRO DE ENTROPIA MULTIPLICADO PELO PARMETRO DE ENTROPIA. ..........88

FIGURA 41.COMPARAO ENTRE O GRFICO DA FIGURA (21) E A EQUAO (58).....................90

FIGURA 42.GRFICO DO ADIMENSIONAL DE PRANDTL ( pC ) EM FUNO DO PARMETRO DE

ENTROPIA (M).........................................................................................................94

FIGURA 43.GRFICO DE COMPARAO ENTRE A EQUAO (71) E FIGURA (20) COM A EQUAO

(60).........................................................................................................................96

FIGURA 44.RELACIONAMENTO ENTRE O PRODUTO DO NMERO DE REYNOLDS E A RAIZ DO

FATOR DE ATRITO ( fRe ) E O NMERO DE REYNOLDS (RE). ................................101

FIGURA 45.RELACIONAMENTO ENTRE O NMERO DE REYNOLDS (RE) E O PRODUTO DO NMERO

DE REYNOLDS E A RAIZ DO FATOR DE ATRITO ( fRe ). .........................................101

FIGURA 46.RELACIONAMENTO ENTRE A DIVISO DO NMERO DE REYNOLDS E A RAIZ QUINTA

DO FATOR DE ATRITO ( 5Re/ f ) E O NMERO DE REYNOLDS (RE)...........................102

FIGURA 47.RELACIONAMENTO ENTRE A RAIZ QUADRADA DA RAZO DO NMERO DE REYNOLDS

E O FATOR DE ATRITO ( fRe/ ) PELO NMERO DE REYNOLDS (RE). ......................102

FIGURA 48.GRFICO RESUMO DOS RELACIONAMENTOS ENTRE O NMERO DE REYNOLDS ( Re ) E

AS COMBINAES ENTRE O NMERO DE REYNOLDS ( Re ) E O FATOR DE ATRITO ( f ).

.............................................................................................................................103

FIGURA 49.ALGORITMO DE CLCULO 1. .................................................................................106




FIGURA 53.COMPARAO ENTRE CLCULOS DE FATORES DE ATRITO.....................................116

ix

FIGURA 54.HARPA DE COMPARAO ENTRE MTODOS DE DETERMINAO DO FATOR DE ATRITO

(F) PARA OS REGIMES TURBULENTO MISTO E TURBULENTO RUGOSO. ....................119

FIGURA 55.GRFICO DE COMPARAO ENTRE DADOS DE ENSAIOS E DADOS CALCULADOS

ATRAVS DO ALGORITMO 1...................................................................................126

FIGURA 56.GRFICO DE COMPARAO ENTRE DADOS DE ENSAIOS E DADOS CALCULADOS

ATRAVS DO ALGORITMO 2...................................................................................126

FIGURA 57.CAMINHAMENTO DA ADUTORA.............................................................................130

FIGURA 58.PERFIL DA ADUTORA. O TRAO VERMELHO INDICA A INTERLIGAO ENTRE A

ADUTORA EXISTENTE E A PROJETADA. ..................................................................130

FIGURA 59.GRFICO DO FATOR DE ATRITO EM FUNO DO NMERO DE REYNOLDS. .............143

FIGURA 60.GRFICO DO FATOR DE ATRITO EM FUNO PARMETRO DE ENTROPIA................144

xLISTA DE TABELAS

TABELA 1. TABELA COM AS QUATRO FORMULAES EXPLICITAS DE CLCULO. FONTE: SOUZA

ET AL. (1991). .........................................................................................................44

TABELA 2. CLCULO DA FUNO DE VISCOSIDADE TURBULENTA OU APARENTE - DADOS:

LANGELANKDSVIK ET AL. (2008) ...........................................................................80

TABELA 3. CLCULO DO PARMETRO DE ENTROPIA (M).........................................................86

TABELA 4. TABELA DE COMPARAO ENTRE OS VALORES DO PARMETRO DE ENTROPIA (M).89

TABELA 5. CLCULO DO VALOR DO ADIMENSIONAL DE PRANDTL ( pC ). .................................93

TABELA 6. TABELA DE CALCULO DO FATOR DE ATRITO ( f ). ...................................................95

TABELA 7. RELACIONAMENTOS A PARTIR DO NMERO DE REYNOLDS (RE) E O FATOR DE

ATRITO (F) ............................................................................................................100

TABELA 8. COMPARAO ENTRE MODELOS MATEMTICOS PARA O FATOR DE ATRITO -

ESCOAMENTO LISO ...............................................................................................116

TABELA 9. COMPARAO ENTRE MTODOS - ESCOAMENTOS TURBULENTO MISTO E

TURBULENTO RUGOSO. .........................................................................................118

TABELA 10.TABELA DE VALIDAO DO ALGORITMO 1. COMPARAO ENTRE VAZO DE ENSAIO

E CALCULADA. ......................................................................................................122

TABELA 11.TABELA DE VALIDAO DO ALGORITMO 2. COMPARAO ENTRE PERDA DE CARGA

DE ENSAIO E CALCULADA......................................................................................123

TABELA 12.TABELA DE VALIDAO DO ALGORITMO 3. COMPARAO ENTRE DIMETRO DE

ENSAIO E CALCULADO...........................................................................................124

TABELA 13.TABELA DE VALIDAO DO ALGORITMO 4. COMPARAO ENTRE DIMETRO DE

ENSAIO E CALCULADO...........................................................................................125

TABELA 14.DADOS DE ENTRADA PARA O CLCULO DO DIMETRO DO TRECHO 1. ...................132

TABELA 15.CLCULO DO DIMETRO PARA O TRECHO 1 DA ADUTORA .....................................133

xi

TABELA 16.DADOS DE ENTRADA PARA O CLCULO DA PERDA DE CARGA NO TRECHO 1..........133

TABELA 17.CLCULO DA PERDA DE CARGA PARA O TRECHO 1 DA ADUTORA ..........................133

TABELA 18.DADOS DE ENTRADA PARA O CLCULO DO DIMETRO DO TRECHO 2. ...................134

TABELA 19.CLCULO DO DIMETRO PARA O TRECHO 2 DA ADUTORA.....................................134

TABELA 20.DADOS DE ENTRADA PARA O CLCULO DA PERDA DE CARGA NO TRECHO 2..........135

TABELA 21.CLCULO DA PERDA DE CARGA PARA O TRECHO 2 DA ADUTORA ..........................135

TABELA 22.DADOS DE ENTRADA PARA O CLCULO DA PERDA DA VAZO. ..............................135

TABELA 23.CLCULO DA PERDA DA VAZO EM AMBOS OS TRECHOS DA ADUTORA.................136

TABELA 24.CLCULO ITERATIVO DA VAZO MXIMA DA ADUTORA .......................................136

TABELA 25.COMPARAO DE RESULTADOS ENTRE MODELOS DE CLCULO PARA

DIMENSIONAMENTO DE ADUTORA.........................................................................137

xii

LISTA DE SMBOLOS

1a = Parmetro relativo ao escoamento laminar..................................... (-)

2a = Parmetro relativa ao escoamento turbulento................................. (-)

C = Constante de integrao................................................................. (-)

pC = Coeficiente de Prandtl..................................................................... (-)

d = Rugosidade da parede da tubulao............................................... m

'd = Medida do arranjo ou projeo da rugosidade................................ m

e = Base Neperiana............................................................................... (-)

f = Fator de atrito.................................................................................. (-)

g = Acelerao gravitacional..................................................................

2sm

h = Altura do escoamento em um canal................................................ m

uH = Entropia da velocidade.................................................................... (-)

XH = Entropia termodinmica................................................................... (-)

K = Constante de Von Krmn.............................................................. (-)

k = Coeficiente de perda de carga localizada....................................... (-)

L = Comprimento do tubo...................................................................... m

xiii

1L = Multiplicador de Lagrange............................................................... (-)




M = Parmetro de entropia..................................................................... (-)

m = Fator de forma................................................................................. (-)

n = Parmetro exponencial emprico de correo................................. (-)

1n = Parmetro dependente da condio do escoamento laminar......... (-)

2n = Parmetro dependente da condio do escoamento turbulento..... (-)

P = Presso............................................................................................ Pa

p = Probabilidade acumulada de um sistema estar do estado (X) ....... (-)

up = Probabilidade da varivel velocidade.............................................. (-)

Xp = Probabilidade sem o dado simples.................................................. (-)

XXp = Condio de probabilidade do sistema tomando um dados

simples............................................................................................. (-)

Q = Vazo...............................................................................................

s

m3

xiv

R = Raio do tubo.................................................................................... m

Re = Nmero de Reynolds....................................................................... (-)

aRe = Nmero de Reynolds aparente........................................................ (-)

r = Distncia do centro do tubo............................................................. m

t = Tempo.............................................................................................. s

U = Velocidade do escoamento na borda da camada limite..................

sm

u = Velocidade pontual..........................................................................

sm

u = Velocidade mdia do escoamento..................................................

sm

du = Parmetro relacionado com (M) e com a velocidade mdia........... (-)

iu = Componente velocidade..................................................................

sm

ku = Componente velocidade..................................................................

sm

maxu = Velocidade mxima do escoamento................................................

sm

*u = Velocidade de atrito do escoamento...............................................

sm

xv

'u x = Velocidade de pulsao do escoamento no eixo x.........................

sm

'u y = Velocidade de pulsao do escoamento no eixo y.........................

sm

X = Condio do sistema....................................................................... (-)

X = Erro atribudo condio do sistema.............................................. (-)

ix = Vetor unitrio do plano horizontal.................................................... m

x = Distncia no plano horizontal a partir de um ponto de referncia... m

y = Distncia da parede do tubo............................................................ m

hy = Profundidade do canal..................................................................... m

z = Eixo vertical..................................................................................... m

W = Dissipao viscosa local..................................................................

mW

p = Diferena entre presses................................................................. Pa

= Espessura da camada limite............................................................ m

= Coordenada adimensional............................................................... (-)

0 = Coordenada inicial adimensional..................................................... (-)

max = Coordenada mxima adimensional................................................. (-)

xvi

= Viscosidade dinmica do fluido.......................................................

s

m 2

= Massa especfica do fluido..............................................................

3mkg

0 = Tenso de cisalhamento do escoamento........................................ Pa

xvii

SUMRIO

1. INTRODUO........................................................................................................ 1

2. OBJETIVOS ............................................................................................................ 4

3. ANLISE BIBLIOGRFICA................................................................................ 5

4. MODELAGEM........................................................................................................ 68

4.1. COLOCAO DO PROBLEMA ........................................................................................ 68

4.2. PRINCPIOS DA FSICA ................................................................................................. 70

4.2.1. Conservao de Massa .............................................................................................. 70

4.2.2. Primeira Lei da Termodinmica ............................................................................... 71

4.3. IDENTIFICAO DAS LEIS PARTICULARES.................................................................... 72

4.3.1. Frmula Universal de perda de carga distribuda.................................................... 72

4.3.2. Equacionamento do fator de atrito elaborado por Colebrook.................................. 73

4.3.3. Equacionamento do fator de atrito baseado na Entropia Mxima ........................... 73

4.3.4. Equacionamento do fator de atrito desenvolvido por McKEON et al. (2004).......... 73

4.4. GRANDEZAS INTERVENIENTES .................................................................................... 74

4.4.1. Propriedades fsicas dos fluidos................................................................................ 74

4.4.2. Parmetros geomtricos dos condutos ...................................................................... 74

4.4.3. Grandezas hidrulicas............................................................................................... 75

4.5. HIPTESES SIMPLIFICADORAS .................................................................................... 75

4.5.1. Fluido incompressvel................................................................................................ 75

4.5.1. Velocidade mxima no eixo do tubo.......................................................................... 75

4.5.2. Gradiente de velocidade nulo no eixo do tubo. ......................................................... 76

4.5.1. Princpio da aderncia .............................................................................................. 76

4.5.2. Gradiente de velocidade diferente de zero junto s paredes do tubo........................ 76

xviii

4.5.3. Dados fornecidos por McKEON et al. (2004) e LANGELANKDSVIK et al. (2008) so

paradigmas ................................................................................................................ 76

4.6. DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMTICO ......................................................... 77

4.6.1. Anlise do Mecanismo da Turbulncia ..................................................................... 77

4.6.2. Ajuste do parmetro de Entropia .............................................................................. 83

4.6.3. Conjectura de Prandtl ............................................................................................... 91

4.6.4. Algoritmo de clculo.................................................................................................. 96

4.7. ANLISE DE CONSISTNCIA ........................................................................................ 110

4.8. VERIFICAO PRELIMINAR ......................................................................................... 114

4.9. REFORMULAO DO MODELO .................................................................................... 127

5. EXEMPO DE APLICAO DO MODELO........................................................ 128

5.1. APRESENTAO DO PROJETO ...................................................................................... 128

5.2. UTILIZAO DO MODELO MATEMTICO...................................................................... 132

5.2.1. Clculo do dimetro do trecho 1 ............................................................................... 132

5.2.2. Clculo da carga no ponto crtico do trecho 1.......................................................... 133

5.2.3. Clculo do dimetro do trecho 2 ............................................................................... 134

5.2.4. Clculo da carga do trecho 2 .................................................................................... 134

5.2.5. Clculo da vazo ....................................................................................................... 135

5.3. VALIDAO DO MODELO ............................................................................................ 137

6. DISCUSSO ............................................................................................................ 138

7. CONCLUSES........................................................................................................ 142

8. RECOMENDAES PARA FUTUROS TRABALHOS ................................... 147

9. REFERNCIAS....................................................................................................... 148

11. INTRODUO

A gua um composto vital para a sobrevivncia de todo e qualquer ser

sobre a terra. Sua disposio sobre a superfcie terrestre muito distinta, sendo que

grande parte est nos mares, onde se encontra nela diludo considervel percentual

de cloreto de sdio (sal), o que a torna imprpria para o consumo da maioria das

espcies existente sobre a terra, inclusive o homem.

A gua existente sobre os continentes de quantidade muito limitada e

cclica, variando em funo das pocas do ano e de fenmenos climticos como o El

Nio. Fica logo evidente a necessidade de se buscar gua em mananciais onde h

sua disponibilidade, os quais ficam cada vez mais distantes dos grandes centros

urbanos. Com esse objetivo foram criados, ainda na era antiga, sistemas de

abastecimento pblico e de irrigao, os quais deram origem s barragens,

aquedutos e adutoras. O crescimento populacional ocorrido aps a Idade Moderna

demandou uma necessidade maior de gua e energia, tornando um desafio para o

transporte de grande quantidade de gua a distncias cada vez mais longnquas.

Estas estruturas foram sendo construdas em tamanhos cada vez maiores,

demandando maior quantidade de energia para a sua operao.

A necessidade de transporte de outros fluidos, alm da gua, tornou-se

importante, principalmente aps o advento da Revoluo Industrial na Idade

Moderna. Para tanto, muitas vezes a energia potencial no tinha condies de suprir

a demanda de energia do escoamento e, em alguns casos, o escoamento

necessitava de energia para vencer a mesma.

2A correta determinao dos esforos a serem aplicados ao fluido para que

este pudesse escoar por dentro de uma tubulao ou canal tornou-se um ponto

crucial aos sistemas de transporte de fluidos. Dentre as vrias foras existentes

atuantes sobre o escoamento as foras tangenciais de resistncia ao escoamento

junto tubulao tm destaque especial. Essas so foras reativas fora aplicada

ao escoamento, de acordo com a Segunda Lei de Newton, as quais so dissipadas

na forma de calor, segundo a Primeira Lei da Termodinmica.

Durante muito tempo foram desenvolvidos mtodos empricos para a

determinao de tais foras, porm, os mesmos apenas podiam ser aplicados em

casos especficos, nem sempre muito teis em funo dos erros gerados pelos

mesmos. Apenas na segunda metade do sculo XIX os pesquisadores Darcy e

Weisbach desenvolveram uma formulao com fundamentos conceituais, a qual, em

virtude de sua ampla utilidade ficou conhecida como Frmula Universal. Em tal

frmula, alm dos parmetros bsicos do escoamento at ento amplamente

conhecidos, surgiu um elemento conhecido como fator de atrito ( f ).

Tal fator surge em funo das condies de escoamento, sempre sendo

associado ao nmero de Reynolds do mesmo. Apesar do grande desenvolvimento

ocorrido nas ultimas dcadas, ainda no se tem notcia do desenvolvimento de uma

formulao que atenda simultaneamente: princpio da aderncia, velocidade mxima

no centro do tubo, gradiente de velocidade nulo no eixo do tubo e gradiente de

velocidade diferente de zero junto parede do tubo.

Assim como no desenvolvimento da Frmula Universal, o desenvolvimento de

uma formulao conceitual para o fator de atrito torna-se importante, pois h um

ganho de preciso em seu resultado e possibilidade de sua generalizao. Portanto,

3ser possvel elaborar projeto de sistemas, onde os conceitos de Mecnica dos

Fluidos sejam aplicados, com mais eficincia e com menor consumo de energia. Em

poca de escassez de recursos naturais, crescente demanda por energia para as

atividades humanas, a melhoria de eficincia dos sistemas associados Mecnica

dos Fluidos torna-se de importncia extremamente relevante.

42. OBJETIVOS

Esta proposta tem como objetivos primrios:

Fazer levantamento do estado da arte.

O levantamento do estado da arte baseia-se em uma anlise bibliogrfica

abrangente sobre o tema deste trabalho atravs de consulta a livros, peridicos e

Internet. Sero analisados os trabalhos precursores, que levantaram a relevncia do

tema; os trabalhos clssicos, os quais deram as maiores contribuies no

desenvolvimento da determinao do fator de atrito; e os trabalhos mais recentes

encontrados sobre o tema.

Propor mtodo de clculo conceitual.

A proposta de mtodo de clculo conceitual tem como objetivo apresentar um

modelo desenvolvido a partir dos princpios da fsica, aplicando hipteses

simplificadoras, a fim de eliminar os termos cujas influncias no so significantes no

resultado.

Fazer crtica ao mtodo de clculo conceitual proposto.

Aps a elaborao do modelo conceitual, faz-se necessrio comprovar sua

veracidade atravs de testes de consistncia dos resultados obtidos e comparao

do resultado do mesmo com prottipos e ensaios laboratoriais, cujos dados

encontram-se na literatura existente sobre o tema objeto deste trabalho.

53. ANLISE BIBLIOGRFICA

A presente anlise bibliogrfica ser desenvolvida com enfoque cronolgico

nos trabalhos precursores, clssicos e recentes. Inicialmente sero analisados os

trabalhos precursores, os quais foram as bases para o desenvolvimento atual do

equacionamento do fator de atrito para clculo da perda de carga. Em seguida sero

analisados os trabalhos clssicos, que so trabalhos mais avanados, os quais

tratam o tema com riqueza de detalhes, tornando-se referncia aos demais trabalhos

existentes desde ento. Ao final, sero apresentadas as bibliografias recentes, as

quais do uma noo da produo cientfica atual sobre este tema. No fechamento,

sero discutidos os principais trabalhos analisados.

O problema da determinao do mecanismo da perda de carga em

tubulaes to antigo quanto prpria Hidrulica. At a edio de BERNOULLI

(1732) no existiam equacionamentos do escoamento de base conceitual.

BERNOULLI (1732) apresentou os princpios do equacionamento hidrulico

conceitual da energia. Esse equacionamento relacionou a energia potencial do

escoamento, energia cintica e perda de carga. O equacionamento da perda de

carga desde ento, passou a ser a principal incgnita a ser pesquisada para o

clculo de um escoamento.

Tomando-se como base o equacionamento desenvolvido por BERNOULLI

(1732), BERNOULLI (1738) relacionou-o com ensaios experimentais. Segundo este,

o escoamento poderia ser representado a partir de linhas de direo perpendicular

s linhas de fluxo do fluido, formando um perfil de velocidades. O comportamento do

6perfil de velocidades comporta-se de maneira similar em condutos geometricamente

semelhantes, independente de suas dimenses.

Figura 1. Desenho esquemtico de ensaio realizado. Fonte BERNOULLI (1738).

BERNOULLI (1738) descreveu a existncia de movimentos caticos entre as

partculas de fluido de um escoamento turbulento. Esses movimentos caticos

causam choques entre essas partculas. Tais choques provocam dissipao de

energia.

PRANDTL e TIETJENS (1934) focaram o trabalho no tratamento matemtico

do escoamento de um fluido em um meio qualquer. Esse trabalho apresentou a

modelao da camada limite e sua influncia sobre o perfil de velocidades. Tambm

foram apresentadas a conjectura de Prandtl e o modelo do perfil de velocidades de

Von Krmn.

7Esses autores descreveram experincias realizadas em fluidos de pequena

viscosidade ao redor de um corpo imerso. Quando em movimento em relao ao

fluido, esse corpo criava um gradiente de velocidades no fluido existente na

vizinhana. A transio da velocidade zero para a velocidade observada prximo ao

corpo, foi denominada como camada limite.

Figura 2. Representao da camada limite. Fonte: PRANDTL e TIETJENS (1934).

Figura 3. Distribuio laminar de velocidade prximo a uma entrada. Fonte: PRANDTL e

TIETJENS (1934).

8Ao entrar em um tubo qualquer, o escoamento percorre uma determinada

distncia at que se desenvolva completamente. Segundo PRANDTL e TIETJENS

(1934), o ponto o qual o escoamento completou seu desenvolvimento o local de

encontro da camada limite da parede da tubulao.

A figura (3) apresenta um perfil de velocidades no totalmente estabelecido

de um escoamento em um tubo. Nessa possvel verificar a presena, segundo

PRANDTL e TIETJENS (1934), de uma camada limite junto s paredes da

tubulao. No centro da tubulao, o deslocamento do fluido no sofre a influncia

da parede do tubo.

Figura 4. Distribuio turbulenta de velocidade. Fonte: PRANDTL e TIETJENS (1934).

Um escoamento totalmente formado apresenta um perfil similar ao mostrado

na figura (4). Segundo PRANDTL e TIETJENS (1934) o perfil de velocidades

apresenta o gradiente de velocidades igual a zero no centro do tubo. Junto s

paredes da tubulao a velocidade do escoamento zero.

STANTON e PANNELL (1914) apud PRANDTL e TIETJENS (1934)

estudaram o perfil de velocidades em funo do raio da tubulao. A figura (5)

9apresenta quatro perfis de velocidades para um escoamento de nmero de

Reynolds de 42.000. Estes so em funo da distncia relativa entre a entrada do

escoamento no tubo e seu dimetro interno.

Figura 5. Gerao da distribuio de velocidades turbulenta aps a regio de entrada. Testes feitos

por Nikuradse. Fonte: PRANDTL e TIETJENS (1934).

PRANDTL e TIETJENS (1934) relataram que o perfil de distribuio de

velocidades de um tubo com escoamento completamente formado depende do

nmero de Reynolds. Independente do dimetro da tubulao, esse perfil varia

conforme a variao do nmero de Reynolds do escoamento.

A rugosidade da parede do tubo influencia no perfil de velocidades de um

escoamento turbulento. PRANDTL e TIETJENS (1934) descreveram o efeito

produzido pela rugosidade em tubulaes. Em um tubo liso, esta influncia

observada apenas na formao de uma subcamada viscosa junto parede da

tubulao, sendo praticamente desprezvel. J em um tubo rugoso, esta provoca um

incremento na turbulncia do escoamento.

PRANDTL e TIETJENS (1934) apresentaram dois modelos de perfil de

velocidades. O primeiro foi a Lei da potncia um stimo. Em seguida foi

apresentado o perfil desenvolvido por Von Krmn.

10

A Lei da potncia um stimo foi proposta por Blasius a partir de dados

experimentais. Esta lei descreve um perfil de velocidades de um escoamento

turbulento. Esta lei foi representada matematicamente atravs da equao (1).

71

max

Ryuu (1)

Onde:

u = Velocidade pontual;

maxu = Velocidade mxima do escoamento;

y = Distncia da parede do tubo;

R = Raio do tubo.

PRANDTL e TIETJENS (1934) fizeram crtica quanto validade da Lei da

potncia um stimo. A faixa onde esta lei apresenta resultados aceitveis inicia-se

com o escoamento turbulento e vai at nmeros de Reynolds aproximadamente

50.000. Acima de tal nmero esta lei vai se transformando quando o nmero de

Reynolds chega prximo a 200.000 numa lei de variao de potncia um oitavo.

VON KRMAN (1930) apud PRANDTL e TIETJENS (1934) apresentou uma

modelao do perfil de velocidades para um escoamento turbulento totalmente

formado. Esta modelao dividiu o escoamento em duas partes.

Localizada junto tubulao, a primeira parte do escoamento seria uma

subcamada viscosa. Essa subcamada apresentada como uma reta na figura (6).

Essa subcamada no est em funo do dimetro da tubulao. Ao final da

subcamada viscosa inicia-se o escoamento turbulento existente na tubulao.

11

O escoamento do centro da tubulao foi descrito por VON KRMAN (1930)

apud PRANDTL e TIETJENS (1934) em funo do raio da tubulao. Esta se inicia

ao final da subcamada viscosa e se estende at o centro da tubulao, conforme

apresentado na figura (5).

Figura 6. Subcamada viscosa junto parede do tubo em um escoamento turbulento atravs do

mesmo. Fonte: PRANDTL e TIETJENS (1934).

E equacionamento matemtico do perfil de Von Krmn teve como base a

Conjectura de Prandtl. Esta conjectura, segundo PRANDTL e TIETJENS (1934),

relata que a relao entre a velocidade mdia, mxima e de atrito de um

escoamento um coeficiente, conforme descrito na equao (2).

PRANDTL e TIETJENS (1934) preconizam que este coeficiente seria uma

constante. Esta constante seria vlida para escoamento turbulento, determinando o

perfil de velocidades do mesmo.

12

Baseando-se nesta conjectura, VON KRMAN (1930) apud PRANDTL e

TIETJENS (1934) desenvolveu o equacionamento do perfil de velocidades

apresentado na equao (3). Este modelo do perfil uma funo da posio da

velocidade no escoamento e de uma constante, denominada de constante de Von

Krmn.

pCuuu

*

max (2)

12log1

*

max

yR

Kuuu

(3)

Onde:

pC = Coeficiente de Prandtl;

K = Constante de Von Krmn;



*u = Velocidade de atrito do escoamento;

R = Raio do tubo;

y = Distncia da parede do tubo.

PRANDTL e TIETJENS (1934) relataram que os resultados obtidos a partir

das equaes (3) e (4) so bons. A constante de Von Krmn ( K ) de

aproximadamente 0,36.

A velocidade no meio da tubulao, segundo PRANDTL e TIETJENS (1934),

tem variao, devido turbulncia. Esta tem flutuao de aproximadamente 5%.

Esta flutuao diminui rapidamente quanto mais prximo se est da parede do tubo.

Segundo COLEBROOK e WHITE (1937) em escoamento em tubos rugosos,

a rugosidade da parede do

escoamento.

COLEBROOK e WHITE (1937) estudaram o efeito da rugosidade para o

regime turbulento misto. Nesta determinao foram utilizados dados de ensaios

experimentais por eles realizados.

Os ensaios foram

tubos artificialmente rugosos. Esta rugosidade foi obtida ao se colar gros de areia

parede interna do tubo. Os ensaios foram classificados dependendo da

granulometria dos gros utilizados nos tubos.

Figura 7. Resultados obtidos nos ensaios em todas situaes de ensaio. Fo

WHITE (1937).


a rugosidade da parede do tubo exerce influncia considervel no perfil do



experimentais por eles realizados.

Os ensaios foram realizados em uma bancada de ensaios composta por



granulometria dos gros utilizados nos tubos.

Resultados obtidos nos ensaios em todas situaes de ensaio. Fo

13


tubo exerce influncia considervel no perfil do



realizados em uma bancada de ensaios composta por



Resultados obtidos nos ensaios em todas situaes de ensaio. Fonte: COLEBROOK e

14

COLEBROOK e WHITE (1937) apresentaram como resultado de seu estudo

do regime turbulento misto em diferentes nveis de rugosidade da parede do tubo.

Os resultados so apresentados na figura (7).

A figura (7) apresentou os resultados de ensaio de COLEBROOK e WHITE

(1937) em funo do logaritmo do nmero de Reynolds. possvel notar uma

depresso na transio do escoamento turbulento misto e turbulento para todas as

rugosidades. Essa depresso ocorreu devido aos ensaios terem sido realizados com

rugosidades artificiais uniformes.

COLEBROOK e WHITE (1937) abriram caminho para o trabalho realizado por

Colebrook em 1939, o qual formulou equacionamento do fator de atrito para tubos

comerciais. At o trmino da edio desta tese no foi possvel a obteno de uma

cpia deste trabalho.

COLEBROOK (1939) apud MOODY (1944) equacionou o escoamento

turbulento misto. Este equacionamento foi baseado no modelo de Prandtl ajustado a

dados experimentais. A equao resultante, equao (4), apresentou resultados de

qualidade, sendo at os dias atuais a mais empregada para determinao do fator

de atrito ( f ).

fDk

f Re51,2

71,3log21 (4)

Onde:

D = Dimetro interno do tubo;

k = Rugosidade equivalente hidrulica da parede do tubo;

15

Re = Nmero de Reynolds molecular;

f = Fator de atrito.

MOODY (1944) apresentou o diagrama da figura (8), baseado na equao

(4). Este foi elaborado visando facilitar o clculo de escoamento em tubulaes

comerciais. Tal diagrama atualmente conhecido como Diagrama de Moody.

Este diagrama relaciona o fator de atrito ( f ) ao nmero de Reynolds. Pode

ser dividido em quatro partes: Regime laminar, zona crtica, regime turbulento misto

e regime turbulento rugoso.

O regime laminar abrange uma faixa de nmero de Reynolds entre 0 e

aproximadamente 3500. Foi representado como uma reta descendente. importante

lembrar que as escalas utilizadas no diagrama da figura (8) so logartmicas.

Figura 8. Diagrama de Moody. Fonte: MOODY (1944)

16

A zona crtica uma faixa de descontinuidade entre o regime laminar e

turbulento. Esta zona representada no diagrama da figura (8) como uma hachura.

Esta hachura est na faixa de valores de nmero de Reynolds aproximadamente

entre 3000 e 4500.

Descrito no diagrama da figura (8) como zona de transio est o regime

turbulento misto. Este regime abrange a faixa entre os nmeros de Reynolds de

3000 ao infinito. Faz parte deste regime o escoamento turbulento em tubos lisos.

Segundo MOODY (1944) a separao entre o regime turbulento misto e

rugoso uma linha descrita na equao (5).

200Re

k

Df

(5)

Onde:

D = Dimetro da tubulao;

f = Fator de atrito;

k = Rugosidade hidraulicamente equivalente;

Re = Nmero de Reynolds.

Tanto nos regimes turbulentos misto e rugoso, a relao entre o nmero de

Reynolds (Re) e o fator de atrito ( f ) dividida em diferentes linhas. Estas linhas

representam a rugosidade relativa da tubulao.

ROUSE (1946) apresentou tratativas quanto ao clculo da perda de carga no

escoamento. A primeira versou sobre a influncia da subcamada viscosa na perda

de carga do escoamento. Na segunda foi apresentado um diagrama que relacionava

17

graficamente o nmero de Reynolds, o fator de atrito e a rugosidade relativa da

tubulao.

Segundo ROUSE (1946), em escoamentos no regime turbulento liso, existe

uma subcamada viscosa junto da parede do tubo. Em tubos lisos, o aumento do

nmero de Reynolds do escoamento propicia a reduo da subcamada viscosa. Em

tubos rugosos a influncia da subcamada rugosa vai at o ponto em que a

rugosidade passa ter dimenso maior que esta, gerando acrscimo de turbulncia

no escoamento.

ROUSE (1946) fez crtica acerca dos ensaios desenvolvidos por Nikuradse.

destacado que os mesmos, apesar do grande valor cientfico, no apresentam

resultados aplicveis s tubulaes comerciais. Tal fato, segundo ROUSE (1946),

deve-se utilizao de areia uniforme para artificialmente simular a rugosidade da

tubulao.

ROUSE (1946) apresentou o diagrama da figura (9) o qual relaciona o fator de

atrito ( f ) e o nmero de Reynolds para tubulaes comerciais. Este diagrama

muito similar ao diagrama apresentado por MOODY (1944).

A diferena entre o diagrama da figura (9) e o da figura (8) a introduo do

adimensional chamado nmero de Rouse. Este adimensional obtido pela

multiplicao do nmero de Reynolds pela raiz do fator de atrito ( fRe ). A escala

tambm foi anamorfoseada para que fosse possvel entrar com os quatro

adimensionais apresentados na figura (9).

18

Figura 9. Diagrama de Rouse. Fonte: ROUSE (1946).

OTTONI NETTO (1950) fez um levantamento do estado da arte at ento

existente. O autor reuniu em uma nica obra os estudos que fundamentavam o

tratamento matemtico do escoamento em tubulaes.

Em meados do sculo XIX, Hagen e Poiseuille, segundo OTTONI NETTO

(1950), realizaram os primeiros experimentos. Em 1883 Osborne Reynolds publicou

trabalho baseado em sua experincia clssica de escoamento de um filete de gua

colorida no centro de um escoamento de gua sem corante. A partir dos resultados

obtidos foi desenvolvido o adimensional que leva seu nome. Em 1904 Ludwig

Prandtl publicou um estudo realizado com placas delgadas lisas resultando na

definio da existncia da camada limite.

19

Segundo OTTONI NETTO (1950) o escoamento em tubos cilndricos, pode

ser inicialmente caracterizado atravs do desenvolvimento de uma camada limite

ocorrendo em uma placa lisa com seo em revoluo, onde depois de percorrida

uma distncia longitudinal as camadas limites se encontram no centro do tubo. O

encontro das camadas limites forma o escoamento conhecido como plenamente

desenvolvido a partir de onde as teorias tradicionais de perda de carga em

tubulaes passam a valer.

OTTONI NETTO (1950) descreve que a perda de carga em um escoamento

plenamente desenvolvido ocorre devido interao do escoamento com o tubo,

obedecendo a Segunda Lei de Newton, surgindo uma tenso de cisalhamento no

sentido contrrio ao mesmo. A frmula universal da perda de carga foi desenvolvida

a partir da estimativa dessa tenso tangencial, onde foi introduzido um termo

conhecido como fator de atrito ( f ). Esse autor descreve algumas tentativas de se

obter uma formulao para tal fator, porm todas de maneira emprica, limitadas s

condies de ensaio das mesmas.

Atravs da Teoria de Von Krmn, a qual descreve aproximadamente de

perfil de velocidades no interior de uma tubulao, OTTONI NETTO (1950)

reproduziu a demonstrao, a base utilizada para a equao generalizada da perda

de carga (6). Tal equao de origem semi-emprica e ajustada com os dados

provindos do experimento de Nikuradse para escoamento em tubos rugosos.

74,1log21

kR

f (6)

Onde:

20


R = Raio do tubo;

k = Rugosidade equivalente hidrulica da tubulao;

O petrleo produzido em poos submarinos geralmente transportado para o

continente atravs de oleodutos. Durante tal transporte, em virtude da diferena de

temperatura ambiente, a viscosidade de fluido modifica-se durante o percurso. Tal

fato torna a modelagem matemtica do escoamento de petrleo nestas tubulaes,

utilizado o equacionamento implcito de Colebrook, muito trabalhosa. A partir dessa

linha de pesquisa, SWAMEE e JAIN (1976) desenvolveram um equacionamento

explicito para o fator de atrito objetivando a otimizao dos estudos em tubulaes.

A equao (7), proposta por SWAMEE e JAIN (1976), sintetizou em uma

nica equao o clculo explcito do fator de atrito para os regimes turbulento e

turbulento misto. Tal equao apresentou maior simplicidade de clculo pelo fato de

no necessitar a identificao do regime de escoamento (laminar, ou as trs

alternativas de turbulento).

81

166

9,0

8

Re2500

Re74,5

71,3ln5,9

Re64

Dkf (7)

Onde:

D = Dimetro do tubo;


Re = Nmero de Reynolds;

k = Rugosidade da parede interna da tubulao.

21

SWAMEE e JAIN (1976) concluram que a formulao por eles proposta

superou os mtodos de determinao do fator de atrito do escoamento ( f ) em

relao s formulaes at ento existentes. Segundo os autores, a utilizao desta

formulao simplifica o clculo para determinao do fator de atrito.

Visando simplificar o clculo do escoamento, SIMON (1976) apresentou dois

mtodos no iterativos para calculo de dados do escoamento. Ambos os mtodos

so mtodos grficos.

Desenvolvido por LI (1974) apud SIMON (1976), o primeiro mtodo foi

desenvolvido tendo como base o diagrama de Moody. Os valores do fator de atrito

(f), do nmero de Reynolds (Re) e da rugosidade relativa deste diagrama foram

substitudos.

Estes adimensionais foram desenvolvidos por consideraes dimensionais.

Esta tratativa utilizou como base a equao universal da perda de carga e o

equacionamento do nmero de Reynolds (Re) em funo da vazo. O grfico da

figura (10) apresenta o diagrama de Li.

O segundo mtodo apresentado por SIMON (1976) foi o mtodo desenvolvido

por um pesquisador Etope chamado Asthana. Este pesquisador criou um novo

grfico. Este grfico, assim como no caso anterior, baseia-se em adimensionais para

o clculo direto. A figura (11) apresenta o diagrama de Asthana.

22

Figura 10. Diagrama de Li. Fonte: SIMON (1976).

Figura 11. Diagrama do escoamento em tubulaes de Asthana. Fonte: SIMON (1976).

23

Ambos os mtodos apresentados por SIMON (1976) podem ser utilizados

para o clculo do escoamento em tubulaes, evitando-se entrar em clculos

iterativos. Porm, so mtodos grficos, no podendo ser empregados em sistemas

computacionais.

STREETER e WYLIE (1982) relatam que os ensaios de perda de carga em

tubos rugosos elaborados por Nikuradse no so vlidos para tubos comerciais. Tal

fato deve-se aos ensaios terem sido realizados com areia com dimetro uniforme.

Em funo deste fato, STREETER e WYLIE (1982) recomendam a utilizao da

formulao desenvolvida por Colebrook.

Ainda segundo estes autores o fator de atrito ( f ) de um escoamento

turbulento liso funo das variveis descritas na equao (8). J quando o

escoamento o turbulento rugoso, as dimenses relacionadas com a rugosidade

das paredes internas da tubulao exercem influncia no clculo do fator de atrito

( f ), conforme equao (9).

),,,,( Duff (8)

),',,,,,( meeDuff (9)

Onde:


e = Rugosidade da parede interna da tubulao;

'e = Medida do arranjo ou projeo da rugosidade;


m = Fator de forma;

24

u = Velocidade mdia do escoamento;

= Viscosidade dinmica do fluido;

= Massa especfica do fludo.

Segundo STREETER e WYLIE (1982) rugosidades relativas da tubulao

(e/D) menores que 0,001 se aproximam da curva para os tubos hidraulicamente

lisos.

STREETER e WYLIE (1982) relatam que no escoamento turbulento misto,

subcamada viscosa suficientemente espessa para deixar apenas as imperfeies

mais protuberantes causem um acrscimo da turbulncia no escoamento. J no

escoamento turbulento rugoso, esta faz com que a subcamada viscosa tenha seu

efeito muito reduzido.

A relao entre a tenso de cisalhamento e a velocidade mdia em um

escoamento turbulento, segundo FOX et al. (1983), muito complexa. Isto se deve

existncia de flutuaes nas velocidades entre as camadas do escoamento, criando

uma tenso adicional se comparado ao escoamento laminar. O escoamento

turbulento totalmente apresentado por Reynolds apud FOX et al. (1983) pode ser

descrito pela equao (10).

''0 yx uudyud (10)

Onde:


'xu = Pulsao de velocidade do escoamento na direo x;

25

'yu = Pulsao de velocidade do escoamento na direo y;


= Viscosidade do fluido;

0 = Tenso de atrito do escoamento.

Segundo FOX et al. (1983) o produto das pulsaes de velocidade, quando

dividido pelo quadrado da velocidade de atrito do escoamento, prximo de 1. Ao

aproximar-se do centro da tubulao, o valor desta diviso vai paulatinamente

tendendo a zero, alcanando este valor no centro da tubulao. Isto demonstra a

predominncia da turbulncia nas proximidades do centro da tubulao.

Figura 12. Diagrama de comparao entre a diviso da pulsao de velocidade pelo quadrado da

velocidade de atrito e a posio relativa na tubulao em funo do raio. Fonte FOX et al. (1983).

FOX et al. (1983) apresentaram na figura (12) um relacionamento entre as

pulsaes de velocidade e sua posio relativa na tubulao.Neste grfico

possvel verificar que nas proximidades do centro e junto s paredes do tubo as

pulsaes tendem a zero. O ponto de mximo das pulsaes est nas proximidades

26

do centro do tubo. Neste ponto o produto das pulsaes de velocidades

aproximadamente igual ao quadrado da velocidade de atrito do escoamento.

Von Krmn apud FOX et al. (1983) desenvolveu um modelo de escoamento

turbulento, dividindo este em duas partes, de acordo com a teria da camada limite de

Prandtl. A primeira a subcamada viscosa, junto parede da tubulao. No centro da

tubulao, este relata a existncia de um escoamento turbulento.

A subcamada laminar pode ser representada pela equao (11). Nesta o

efeito viscoso dominante para a perda de carga do escoamento.

A faixa turbulenta de um escoamento turbulento liso pode ser representada

pela equao (12). J o escoamento turbulento rugoso pode ser representado pela

equao (13). Nesta faixa de escoamento a dissipao turbulenta o fator

predominante para a perda de carga do escoamento.

*

*

yuuu

(11)

0,5ln5,2 **

yuuu

(12)

yR

uuu

ln5,2*

max

(13)

Onde:

R = Raio do tubo;



27

*u = Velocidade de atrito do escoamento;


= Viscosidade do fluido.

FOX et al. (1983) reproduziu a equao de energia (14) para escoamentos

com regime turbulento liso, para determinao do perfil de velocidades.

n1

* Rr1

uu

(14)

Onde:

n = Parmetro emprico;

R = Raio do tubo;

r = Distncia do centro do tubo;

u = Velocidade mdia temporal do escoamento;

*u = Velocidade de atrito do escoamento.

Figura 13. Relao entre a varivel ( n ) e o nmero de Reynolds. Fonte: FOX et al. (1983).

28

O parmetro n , segundo o mesmo, dependente do nmero de Reynolds,

conforme apresentado na figura (13). Cada valor deste parmetro refere-se um

determinado perfil de velocidades, conforme apresentado na figura (14).

Figura 14. Variao dos perfis de velocidade de acordo com o parmetro n da equao (14). Fonte:

FOX et al. (1983).

CHIU (1987) desenvolveu um modelo diferente para o perfil de velocidades.

Este utilizou como ferramenta os conceitos de entropia e teoria da comunicao.

Segundo CHIU (1987) o conceito da entropia foi utilizado para fundamentar a

ligao entre o mundo determinstico e o probabilstico, sendo esse ltimo pouco

familiar para os engenheiros hidrulicos, segundo esse autor.

A teoria da comunicao quantifica matematicamente a recepo de uma

informao sobre a ocorrncia de um evento. A medida desta feita dividindo-se

dois termos relacionados com a probabilidade de um evento, depois e antes da

chegada de uma determinada mensagem, conforme equao (15). Quando a

transmisso feita sem rudo, a probabilidade de chegada da mensagem igual a

29

1. Esta funo de probabilidade descrita por uma funo logartmica, tornando-a

negativa quando a probabilidade de chegada da mensagem igual a 1.

XpX

Xp

ln (15)

Onde:

Xp = Probabilidade sem o dado simples;

X = Condio do sistema anterior a transmisso de uma informao;

X = Erro atribudo condio do sistema.

A entropia a funo de probabilidades acumuladas que mede a informao

gerada e transmitida por um evento, atravs da somatria ponderada pela

probabilidade de quantas vezes um evento ocorreu, conforme descrito nas equaes

(16) e (17). A primeira equao a definio discreta, j a segunda aplica-se para os

casos de problemas com variao contnua.

j

jj XpXpXH )(ln)()( (16)

dxXpXpXH )(ln)()( (17)

Onde:

p = Probabilidade (funo de probabilidades acumuladas);

X = Condio do sistema anterior a transmisso de uma informao;

)(XH = Entropia.

30

De acordo com o princpio da entropia, segundo CHIU (1987), no estado de

equilbrio um sistema tende a maximizar a entropia sobre a previamente contida. Ao

maximizar a entropia, estima-se que o evento de maior probabilidade o que

ocorrer. Este princpio pode ser utilizado para modelar a distribuio mais provvel

dos estados de um sistema.

A partir dos conceitos de entropia e teoria da informao, CHIU (1987)

desenvolveu equacionamentos de forma conceitual para perfil de distribuio de

velocidade, distribuio da tenso de cisalhamento e distribuio da concentrao

de sedimentos. Esse autor utilizou o mtodo de elencar a hiptese de maior

probabilidade de ocorrncia, ou seja, foi utilizado o mtodo de maximizao do

funcional de entropia para o desenvolvimento destes equacionamentos.

Tendo em vista o perfil de distribuio de velocidades, o qual objeto da

presente tese, CHIU (1987), considerando que a probabilidade a ser encontrada

seria associada ao perfil de velocidades, reescreveu a equao do mesmo para que

a probabilidade fosse em funo do mesmo, equao (18). Aps tal considerao,

foi possvel reescrever a equao da entropia para que a mesma se tornasse em

funo da velocidade, integrando-a na equao (18) no intervalo de zero

velocidade mxima na equao (19).

1

h dzduD)u(p

(18)

max

0

ln)(u

duupupuH (19)

Onde:

31

hD = Profundidade total;

uH = Entropia da velocidade;

up = Probabilidade do parmetro velocidade;

z = Eixo vertical;


maxu = Velocidade mxima do escoamento.

CHIU (1987) obteve a equao (20) para o caso de escoamento em um canal,

com velocidade mxima ( du ) na superfcie. Esse equacionamento tem do perfil de

velocidades cunho totalmente conceitual. Esse autor comparou a equao (20) com

a formulao do perfil de velocidades de Prandtl-Von Krmn e com resultados

obtidos atravs de medies.

A formulao proposta por CHIU (1987) apresentou resultados muito

prximos aos dados experimentais. Tambm apresentou maior preciso em relao

ao perfil de velocidades de Prandtl-Von Krmn, principalmente nas regies

prximas s paredes de um canal, onde esta ultima no representa a realidade com

fidelidade.

h

uMu

Dy

eMu

ud

11ln ** (20)

Onde:

hD = Profundidade total;

e = Base neperiana;

M = Parmetro de entropia;

32

y = Profundidade pontual;


du = Velocidade mxima na superfcie livre;

*u = Velocidade de atrito do escoamento.

Figura 15. Comparao do perfil de velocidades entre os modelos de Prandtl-Von Krmn e CHIU.

Fonte CHIU (1987).

Figura 16. Comparao do parmetro de entropia entre os modelos de Prandtl-Von Krmn e CHIU.

Fonte CHIU (1987).

33

Figura 17. Comparao do perfil de velocidade nas proximidades do fundo do canal entre os

modelos de Prandtl-Von Krmn e CHIU. Fonte CHIU (1987).

Fazendo uso do modelo da entropia mxima CHIU (1988) estudou a utilizao

deste com a finalidade de estimar o perfil de velocidades em uma seo de um canal

aberto. A partir de desenvolvimento da equao (21), a qual apresenta um sistema

de coordenadas isovelozes.

0max

0M

max

1e1lnM1

uu

(21)

duup

u

00max

0

(22)

Onde:

e = Base neperiana;


34

up = Probabilidade de ocorrncia da velocidade em funo da rea;

u = Velocidade do escoamento;


= Coordenada adimensional;

0 = Coordenada inicial adimensional;

max = Coordenada mxima adimensional.

CHIU (1988) tambm apresentou uma relao entre o parmetro de entropia (

M ) e o perfil de um escoamento qualquer. Na figura (18) possvel notar o

comportamento do perfil para alguns valores do parmetro de entropia. Dentre estes

valores constam os valores tericos limites: zero, o qual representa a entropia

elevada ao mximo, e infinito () o qual representaria um escoamento livre de

viscosidade.

Segundo CHIU (1988) a partir deste equacionamento possvel obter os

parmetros referentes ao atrito de diversas frmulas como universal, Chezy ou

Manning. Este equacionamento, segundo o mesmo, tambm vale para qualquer

condio de escoamento, tanto laminar quanto turbulento. CHIU (1988) concluiu a

definio e a demonstrao de utilidade do parmetro (M ) como um novo parmetro

hidrulico que mostra a importncia e o valor da informao dada pela localizao e

magnitude da velocidade mxima ( maxu ) na seo de um canal.

Segundo EINSTEIN e CHIEN (1965) apud CHIU (1989) bem conhecido

que o modelo baseado na lei logartmica de Prandtl-Von Krmn tem desempenho

pobre nas proximidades do fundo, especialmente no escoamento com sedimentos.

35

Isto posto, CHIU (1989) props a utilizao do modelo baseado no conceito da

entropia mxima para transporte de sedimentos.

Figura 18. Comparao do parmetro de entropia com o perfil de velocidades. Fonte: CHIU (1988)

Foram desenvolvidos por CHIU (1989) trs modelos para estimar o transporte

de sedimentos. Tais modelos apresentaram resultados satisfatrios, sendo

recomendados o seu uso por CHIU (1989).

CHIU et al. (1993) foi um trabalho focado em escoamento em presso. Este

teve como objetivo aplicar os conceitos desenvolvidos em CHIU (1987) e CHIU

(1988) para o escoamento em conduto forado. Visou tambm apresentar uma

alternativa s formulaes para determinao do fator de atrito ( f ) de origem

empricas.

CHIU (1988, 1989) apud CHIU et al. (1993), a partir da aplicao do conceito

de entropia mxima foi possvel modelar o perfil de velocidade para tubulaes. Para

tanto, foi substituda a integrao das probabilidades apresentado na equao (19)

por um sistema de coordenadas adimensionais radiais para uma tubulao de

36

formato circular. A partir desta substituio, foi possvel reescrever a equao (21)

generalizada apenas para tubos de seo circular, na equao (23).

2

2

max

111ln1Rre

Muu M (23)

Onde:

e = Base neperiana;


r = Posio radial;

R = Raio do tubo;



A vazo do escoamento em um tubo pode ser obtida pela integrao do perfil

de velocidade dado pela equao (23). A diviso da vazo pela rea da seo

transversal do tubo fornece uma expresso para a velocidade mdia (u ) na seo,

que depende apenas do parmetro de entropia ( M ) e da velocidade mxima ( maxu ),

equao (24).

Mee

uu

M

M 11max

(24)

Onde:

e = Base neperiana;



37


Apesar da simplicidade de tal formulao, o parmetro de entropia M

transformou-se num instrumento vital para o equacionamento da mesma, porm sem

que possusse um valor definido em termos de grandezas macroscpicas. Era bvio

que tal parmetro fosse dependente das variveis do escoamento, as quais, quando

aplicadas com correo apresentavam perfis de velocidades muito prximos a perfis

medidos em modelos fsicos.

Figura 19. Grficos de distribuio do perfil de velocidades admensionalizados para um plano fsico

em funo do parmetro de entropia. Fonte: CHIU et al. (1993)

Atravs de deduo algbrica, tendo como base a tenso de cisalhamento do

escoamento, da equao do perfil de velocidades do escoamento (23) e da frmula

universal, CHIU et al. (1993) desenvolveu o equacionamento da perda de carga (25).

A partir de tal formulao possvel isolar a equao (26) referente ao fator de atrito

da frmula universal, a qual pode ser reescrita atravs da equao (27).

38

g2

uDLuD

uu

M1e32h

2T

11

max

M

f

(25)

T

11

max

M uDu

uM

1e32f (26)

1

1Re32 2

MM

M

a eMeef (27)

Onde:


e = Base neperiana;


L = Comprimento da tubulao;


aRe = Nmero de Reynolds aparente;



= Viscosidade dinmica do fluido;

T = Viscosidade turbulenta (aparente).

39

Figura 20. Fator de atrito em funo ao parmetro de entropia. Fonte: CHIU et al. (1993).

Figura 21. Nmero de Reynolds em funo ao parmetro de entropia. Fonte: CHIU et al. (1993).

40

Figura 22. Comparao entre os modelos de perfil de velocidades de entropia mxima e de

Nikuradse (1932). Fonte CHIU et al. (1993).

Figura 23. Comparao entre gradientes dos modelos de perfil de velocidades de entropia mxima e

Frmula Universal. Fonte: CHIU et al. (1993).

41

A equao (27) apresenta o relacionamento entre fator de atrito, o nmero de

Reynolds aparente do escoamento e o parmetro de entropia. A partir deste

equacionamento, CHIU et al. (1993) utilizou-se de medies experimentais de

autores por ele citados para determinar a relao entre o parmetro de entropia ( M )

e o nmero de Reynolds ( Re ), para escoamento turbulento hidraulicamente liso

( ReRe a ).

O modelo apresentado por CHIU et al. (1993) satisfaz as premissas que se

esperaram de um escoamento: Junto s paredes a velocidade zero, no centro do

tubo apresenta o gradiente nulo de velocidade, o equacionamento pode ser utilizado

para qualquer condio de escoamento.

CHIU et al. (1995) propuseram a utilizao do modelo baseado na entropia

mxima para obteno das velocidades mdia e mxima do escoamento. Esses

concluram que o parmetro (M ) atribudo a uma seo um valor que reflete as

condies de descarga de um determinado canal estvel ou conduto forado. Ainda

segundo CHIU et al. (1995), o parmetro de entropia faz-se to importante para a

determinao das condies de escoamento em uma determinada seo quanto s

velocidades mxima e mdia do mesmo.

BARB et al. (1991) sugeriram uma modificao no desenvolvimento

elaborado por CHIU (1987). Estes sugeriram no mais desprezar uma terceira

condio de contorno, a qual representada pelo multiplicador de Lagrange ( 3L ).

No desenvolvimento da formulao do perfil de velocidade de CHIU (1987),

na equao (20), foram apresentados dois multiplicadores de Lagrange ( 1L ) e ( 2L ),

um dos quais convertido em passo posterior no parmetro de entropia (M ). Os

42

termos ( 3L ) e ( 4L ) representam respectivamente o coeficiente de Boussinesq e o

coeficiente de Coriolis, os quais so considerados no significativos.

Chydue huLuLuLL

34

2321 (28)

Onde:

C = Constante de integrao;

e = Base neperiana;

h = Altura do escoamento em um canal;

1L = Multiplicador de Lagrange;





hy = Profundidade do canal;

BARB et al. (1991) propuseram um mtodo para utilizao do ( 3L ). Segundo

o mesmo, o desenvolvimento baseou-se em uma srie de MacLaurin, obtida a partir

da expanso daquele valor. Foi obtida a equao (29) para o perfil de velocidades. A

resoluo dos multiplicadores de Lagrange indicada por BARB et al. (1991)

atravs de um intrincado sistema de equaes.

23

2

3

1

1222

23

1 2122 1221 LLL

Le

hy

LLuueLee LhuLuLL

(29)

Onde:

43

e = Base neperiana;

h = Altura do escoamento em um canal;






hy = Profundidade;

Figura 24. Comparao entre modelos baseados no princpio da entropia mxima. Fonte BARB et

al. (1991).

Segundo BARB et al. (1991) foram obtidos resultados muito superiores

quando comparado ao equacionamento logartmico do perfil de velocidades. Porm

os resultados no foram significativamente superiores ao modelo apresentado por

CHIU (1987), apesar de sua complexidade de uso. A figura (24) apresenta a

comparao entre os modelos baseados no princpio da entropia mxima

44

apresentados por CHIU (1987), BARB et al. (1991) e dados obtidos

experimentalmente.

SOUZA et al. (1991) desenvolveram quatro algoritmos de clculo para

utilizao em tarefas computacionais. Foram feitas dedues, de modo a tornar

explcita a frmula do fator de atrito ( f ), tanto para regimes laminar quanto

turbulento misto.

Tabela 1. Tabela com as quatro formulaes explicitas de clculo. Fonte: SOUZA et al. (1991).

Tipo

Adimensionais Laminar Turbulento Misto

1F

DkRe,Ff 1 Re

64f

9,0Re62,5

D71,3klog2

f1

2F

Dk,fReFf 2

2

fRe64f

fDk

f Re51,2

71,3log21

3F

kQ4,fReFf 5

1

34

5

kQ4

181f

937,05

1

042,1

kQ4

15,4

fRek

Q438,0log2

f1

4F

Vk,

fReFf

21

3 21

fRe

8f

2

32

135

21

fRe

83,18

fRe

Vk03,1log2

f1

Figura 25. Diagrama de soluo de problema da vazo (Q). Fonte: Souza Diagrama de soluo de problema da vazo (Q). Fonte: Souza et al

45

et al. (1991)

Figura 26. Diagrama de soluo de problema perda de carga (Diagrama de soluo de problema perda de carga ( H ). Fonte: Souza

46

). Fonte: Souza et al. (1991)

Figura 27. Diagrama de soluo de problema do dimetro (Diagrama de soluo de problema do dimetro ( D ). Fonte: Souza

47

). Fonte: Souza et al. (1991).

Figura 28. Diagrama de soluo de problema do dimetro (Diagrama de soluo de problema do dimetro ( D ). Fonte: Souza

48

). Fonte: Souza et al. (1991).

49

As quatro formulaes contidas na tabela (1), apresentadas por SOUZA et al.

(1991), foram desenvolvidas visando determinao de uma incgnita especfica

para cada equacionamento. O primeiro equacionamento visa a determinao da

vazo, o segundo visa a determinao da perda de carga, o terceiro e o quarto a

determinao do dimetro da tubulao. Entre a terceira e a quarta formulaes

varia o dado de entrada, sendo na terceira a vazo e na quarta a velocidade.

A partir das formulaes apresentas na tabela (1) SOUZA et al. (1991)

elaboraram os algoritmos de clculo apresentados nas figuras (25), (26), (27) e (28).

Nestes algoritmos SOUZA et al. (1991) advertem quanto ao problema referente ao

clculo de valores na transio entre os regimes laminar e turbulento.

ARAJO e CHAUDHRY (1998) compararam dois modelos para perfil de

distribuio de velocidades bidimensional. Um modelo logartmico foi comparado

com o modelo da entropia mxima e dados obtidos atravs de ensaios. Tal

comparao objetivou encontrar o mtodo de maior preciso para determinao do

perfil de velocidades.

O primeiro modelo, CHIU e CHIOU (1986) apud ARAJO e CHAUDHRY

(1998) utilizou a equao logartmica similar de Von Krmn, porm propondo um

mtodo de clculo. O segundo modelo foi proposto por CHIU (1988), atravs da

equao (27).

Os resultados obtidos por ARAJO e CHAUDHRY (1998) foram comparados

atravs de grficos contidos nas figuras (29) e (30). Nestes possvel notar que

existe maior convergncia aos dados de ensaio quando utilizado o modelo baseado-

se na entropia mxima. vlido ressaltar que os dados obtidos por experimentos

necessariamente apresentam uma margem de erro, mesmo quando obtidos com os

50

mais sofisticados equipamentos existentes. Portanto, possvel que os erros

apresentados nas figuras (29) e (30) sejam, em grande parte, atribudos ao erro

intrnseco dos ensaios laboratoriais. Os erros instrumentais so maiores quando as

grandezas medidas so menores em termos relativos.

Figura 29. Comparao entre valores medidos e calculados com base na formulao logaritma.

Fonte ARAJO e CHAUDHRY (1998).

Figura 30. Comparao entre valores medidos e calculados com base na formulao baseada na

entropia mxima. Fonte ARAJO e CHAUDHRY (1998).

51

ARAJO e CHAUDHRY (1998) concluram que o modelo baseado na

entropia mxima apresentou melhores resultados quando comparado ao perfil

logartmico de velocidades. Segundo estes autores, o estudo realizado atestou a

validade do princpio da entropia mxima aplicado Hidrulica.

LI et al. (1999) buscaram desenvolver um critrio simplificado para

modelagem matemtica do perfil de velocidades dentro de uma tubulao qualquer.

Para tanto, tais autores utilizaram uma sistemtica de clculo variacional, criando um

funcional incorporando tanto a potncia dissipada por unidade de volume, quanto a

potncia total dissipada por unidade de volume.

Um funcional, segundo ELSGOLTZ (1977), uma relao matemtica,

anloga a uma funo, que operando a partir de uma funo de entrada produz um

valor real. A aplicao do princpio do clculo variacional visa encontrar os valores

de mximo e mnimo dos funcionais, encontrando assim a funo que descreve, no

caso, o perfil de velocidades do escoamento.

O funcional criado por LI et al. (1999) resumiu-se a uma soma de dois termos.

O primeiro referente fase laminar do escoamento. J o segundo resume-se parte

turbulenta do escoamento.

LI et al. (1999) criaram a funo adotando o raio da tubulao ( R ) como

constante, e parmetros a serem determinados. Estes parmetros so encontrados

utilizando-se o princpio do clculo variacional. Encontrando os valores limites para

os mesmos, alm de fatores de correo, resultando na equao (30).

21

1

21 11n

n

Rra

Rrau

(30)

52

Onde:

1a = Parmetro relativo ao escoamento laminar;

2a = Parmetro relativo ao escoamento turbulento;

1n = Parmetro dependente da condio de escoamento laminar;

2n = Parmetro dependente da condio de escoamento turbulento;

r = Distncia do centro do tubo;

R = Raio do tubo;

u = Velocidade pontual.

Tais constantes dependem das condies de escoamento para cada tipo de

escoamento. Para determinao destes parmetros, LI et al. (1999) integraram a

frmula da dissipao viscosa local unitria (31) no raio da tubulao para

determinar a variao total da mesma.

2

)(

drdurW (31)

Onde:

r = Distncia perpendicular ao tubo ao pondo do escoamento

considerado;

u = Velocidade local no pondo considerado do raio da tubulao;

W = Funo dissipao viscosa local;

= Viscosidade dinmica do fluido.

53

A partir desta integrao e da integrao da velocidade no raio da seo da

tubulao foram encontrados os parmetros da equao (30). Segundo LI et al.

(1999) os resultados deste equacionamento foram satisfatrios.

LI et al. (1999) concluram que o perfil de velocidades do escoamento pode

ser resumido atravs de um nico equacionamento. Este equacionamento

composto por um termo laminar e outro turbulento.

A obteno de um mtodo mais eficiente para a determinao da vazo de

um rio, atravs de apenas poucos pontos de medio, foi o objetivo de MINEI

(1999). Como ferramenta para tal desenvolvimento foi utilizado o conceito de

entropia mxima.

Com base na formulao desenvolvida por CHIU (1987), MINEI (1999) props

um modelo de medio vazo em rios. Neste modelo a medio de velocidade

feita em apenas trs pontos em uma mesma vertical.

Atravs de um mtodo interativo descrito MINEI (1999), possvel obter o

perfil de velocidades verticais da seo escolhida do rio. Reduzindo-se

expressivamente a quantidade de pontos necessrios para a medio da vazo no

perfil de velocidades.

Com o objetivo de elaborar um mtodo para a determinao de transies de

sees otimizadas, onde ocorresse a mnima perda de carga, CARVALHO (2001),

utilizou como ferramenta o conceito da entropia mxima. Tendo como ponto de

partida o equacionamento do perfil de velocidades, equao (27) descrita por CHIU,

esta autora elaborou um algoritmo para dimensionamento otimizado de tomadas

dgua.

54

CARVALHO (2001) estudou a otimizao nas tomadas dgua de

hidroeltricas. Foram utilizados dados experimentais de modelos fsicos reduzidos

de 5 barragens diferentes realizados no Centro Tecnolgico de Hidrulica (Convnio

entre o Departamento de guas e Energia Eltrica e a Universidade de So Paulo).

CARVALHO (2001) props um algoritmo em forma de fluxograma e em

linguagem de programao Turbo Pascal. Os dados de entradas so apenas os

parmetros bsicos do escoamento para aquele tipo de tubulao forada:

comprimento, vazo, nmero de sees, rea mxima e rea mnima. Os

parmetros de preciso podem ser adotados: distncia entre sees e nmero de

repeties.

WALSKI et al. (2001) tm seu foco na modelao computacional de redes de

distribuio de gua. Este recomenda a utilizao do equacionamento desenvolvido

por SWAMEE e JAIN (1976) para determinao do fator de atrito ( f ) apesar de

atestar como mais preciso o equacionamento de Colebrook. Segundo os mesmos

autores, esta formulao tem sua faixa de preciso no intervalo entre

26 10D/10 , quando 83 10Re104 .

Foram realizados experimentos, utilizando-se de sistemas de preciso de

medio, pelas universidades de Princeton e Oregon, os quais so relatados por

McKEON et al. (2004). Tais experimentos utilizaram-se de diferentes tcnicas

gerando resultados com grande preciso, os quais podem ser avaliados atravs de

sua sobreposio, na figura (31).

55

Figura 31. Grfico do fator de atrito ( f ) em funo do nmero de Reynolds (Re), comparando os

dados obtidos pelas Universidades de Oregon e Princeton.

Os dados obtidos pela Universidade de Oregon, segundo SWANSON et al.

(2002) apud McKEON et al. (2004), foram obtidos a partir de ensaio realizado em

uma bancada de pequena dimenso, com peso de aproximadamente 0,0283 kgf (1

ona). Nos ensaios, para pequenos nmeros de Reynolds, foram utilizados como

fluidos diversos gases temperatura ambiente: hlio, oxignio, nitrognio, dixido de

carbono, sulfuro hexafloureto de enxofre. Para nmeros de Reynolds maiores,

utilizou-se hlio lquido.

Os ensaios realizados na Universidade de Princeton, segundo McKEON et al.

(2004), utilizaram-se de um super tubo de grande dimetro e com peso de

aproximadamente 25.000 kgf. Para a realizao do ensaio foi utilizado ar comprimido

como fluido.

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+00 1,0E+02 1,0E+04 1,0E+06 1,0E+08

Nmero de Reynolds (Re)

Fato

rde

Atrito

(f)

O regon P rinc eton

56

Das dimenses de ambas bancadas de ensaio McKEON et al. (2004)

apresentou apenas os dados reativos suas massas. Tal informao no tem

significado prtico para estudos hidrulicos. A validade dos dados de ensaios

informadas por esse autor se d por terem sidos ensaios criteriosos e com a

utilizao de instrumentao de tecnologia contempornea. A coincidncia dos

dados de a

Tese Alisson Gomes de Moraes

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