Terza Lezione

Applicazioni del teorema di Gauss, Teorema di Gauss in forma differenziale, concetti di potenziale e gradiente

Riassunto della lezione precedente Dipolo Esperienza di Millikan Effetto della materia ed alcune classificazioni Vettore D Teorema di Gauss in forma integrale

Esercizio: Distribuzione di carica coassialeSi supponga di avere un cavo coassiale infinitamente lungo, in cui il cilindro interno è uniformemente carico, con densità lineare di carica . Lo spazio tra i due cilindri è riempito da un mezzo con costante dielettrica . Si calcoli il campo tra i due conduttori.

Si applica Gauss ad superficie cilindrica intermedia r di lunghezza l; il campo elettrico è solo radiale

a

b

r

D

r

DE

lrlD

Qds

rr

r

S

2

2

nDD

Stesso risultato in assenza di conduttore esterno

Esercizio: Elettrodi SfericiElettrodi sferici separati da due strati di materiale dielettrico

Simmetrie radiale: campo radiale

a

bc

12 Sfera interna: Q; sfera esterna -Q Applichiamo il th. Di Gauss ad una

sfera intermedia tra le due

24 r

QDr

crbser

QE

braser

QE

r

r

22

12

4

4

Conseguenze Teorema di Gauss

In un conduttore, all’equilibrio non vi è campo: quindi all’equilibrio non vi sono cariche: del resto le cariche si respingono, “fuggono” le une dalle altre e si dispongono alla massima distanza

In prossimità della superficie vi è una carica s Applichiamo il th. Di Gauss

++

++

+

++

++

+S

rr ES

SE

Esercizio: carica in un guscio sfericoAll’interno di un guscio metallico è posta una carica di 1 nC. Qual’è la carica indotta all’esterno? Cosa succede se il guscio è posto momentaneamente a massa?

I Teorema di Gauss applicato su una superficie interna dell’anello: E=0, Q=0. La superficie interna ha carica totale -1nC. La superficie esterna +1nC. NON DIPENDE DALLA POSIZIONE DELLA CARICA. Inoltre il campo nel conduttore è nullo: le cariche all’esterno si dispongono in modo indipendente

+

S

-

--

-

-

--

-

Se poi si mette momentaneamente a massa l’esterno del guscio le cariche esterne vengono rimosse: il campo esterno diviene nullo (la carica interna è “schermata”)

+

+

+

++

+

+

+

Gabbia di Faraday Da quanto detto, risulta possibile creare uno schermo elettrostatico in un campo elettrico uniforme (detto gabbia di Faraday) utilizzando come schermo un involucro metallico (schermo elettrostatico)

Sono presenti cariche elettriche indotte sulla superficie esterna dello schermo

(La carica totale è nulla)

 Il campo elettrico all’interno dello schermo è nullo

(Le linee di campo all’esterno sono modificate)

Lo schermo elettrostatico protegge dalle scariche elettriche

++++

+++

+

---

----

-

E = 0

Sistemi a simmetria pianaSuperficie gaussiana = cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra

Il flusso vale:

Il teorema di Gauss dice che:

Quindi, usando la densità superficiale di carica, si ha:

EAEdSS

E 2

0

2Q

EA

02

E

GIA’ LO SAPEVAMO: calcolato come caso limite per in disco carico molto grande

Doppia Piastra

Come nel caso precedente, si sceglie come superficie gaussiana un cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra. All’interno del cilindro la carica totale è nulla (essendo le due densità di carica uguali ed opposte) per cui esternamente al doppio strato E=0. Tra le due piastre, invece, si ha un contributo di campo elettrico E=/20 diretto da sinistra a destra (perché uscente) dovuto alla piastra carica positivamente ed un contributo di campo elettrico E=/20 diretto ancora da sinistra a destra (perché entrante) dovuto alla piastra carica negativamente. Per cui, il campo totale vale E= 0

Si considerino due piastre infinite, una con carica superficiale + ed una con carica - e le si avvicinino come in (c)

Piano conduttore carico

Evidentemente la superficie del cilindretto immersa nel conduttore ha flusso nullo: l’unico contributo non nullo è attraverso la superficie superiore, per cui, il campo totale vale E= 0

Consideriamo ora un piano metallico con distribuzione di carica In pratica, a differenza di prima, dove consideravamo una lamina o un foglio, ora immaginiamo il piano conduttore estendersi indefinitamente

+ + + + + + + + + + + +

Cilindretto su cui applichiamo il th di GaussE

Simmetria Sferica Campo elettrico esterno indistinguibile

da quello che si avrebbe se tutta la carica fosse concentrata nel centro (analogo gravitazionale)

Campo elettrico interno, caso distribuzione uniforme di volume

ErrEAdAEEdAdrArArA

E2

)()()(

4)( AE

rr r

rVdVdVrq0

3

0 3

4)()('

304 R

rqE

tuttavia 3

3

4RQ

3

3

4/ RQ 3/)(' RrQrq

Teorema di Gauss in forma differenziale

xy

z

n=xn’=-x

E

E’dx

dy

dv

dzdyEdsd xx nE

1

dzdyEd xx '2 dzdyEEdd xxxx )'(21

dvx

Edxdydz

x

EdzdydE xx

x

0

z

E

y

E

x

E

dv

d zyxtot

0

)(

EE

Div DD

)( invece Dper Div

00

dvdQ

dvz

E

y

E

x

Ed zyx

tot

Teorema della Divergenza

QdvdvVV

D

dvdsVS

DnD

Integriamo a destra e a sinistra il teorema di Gauss in forma differenziale

Confrontiamo con il teorema di Gauss in forma integrale e otteniamo

Esercizio Dato un campo vettoriale F(r), calcolarne il flusso attraverso la

superficie di un cubo di lato 2a centrato nell’origine e verificare che il teorema della divergenza è soddisfatto

Flusso non nullo solo sulle due faccez

x

y

2a

xuF x

322 84)(4)( aaaFaaFdsS

nF

1

Fx

F

38aVdvV

F

Conservatività del Campo Elettrostatico Calcoliamo il lavoro per portare q2 da A a B, essendo q2 nel

campo prodotto da q1. Se definiamo dl un tratto infinitesimo del percorso, tale da poterlo considerare localmente rettilineo:

r

dr l

A

B

q1

q2

dl

lFddW

AB

B

A

r

B

A

AB

rrqq

r

drqq

r

dqqW

11

4

1

4

1

4

1

21

0221

0

221

0

lu

B

A

AB dW lF

Dipende solo dai punti A e B e non dal percorso seguito

Potenziale Per un campo conservativo è sempre possibile definire un POTENZIALE, ovvero una grandezza che dipende solo dalla posizione nello spazio

Se esiste una ddp tra due punti, siamo in presenza di un campo si misura in Volt [V]=[J/C]; nota che E è misurato in N/C cioè V/m

UUUdW BA

B

A

AB lF

ticoElettrosta Potenziale / 1qUV

1q

UVVVd

q

WBA

B

A

AB lE

Superfici Equipotenziali

Sono definiti come luogo dei punti a potenziale costante

sono sempre ortogonali alle linee di forza

Campo uniforme Carica puntiforme dipolo

Il concetto di Gradiente Calcoliamo il prodotto scalare di E ed elemento infinitesimo di

spostamento, per esempio lungo x

Il campo elettrico diviene funzione di uno scalare!!

dVdxEdxEd x cosxE

dx

E

Exdx

dVE x

... ;y

VE

x

VE yx

VEEE zzyyxx

uuuE

Promemoria

Fin qui abbiamo definito due “operatori differenziali”: La Divergenza (indicata con Div oppure )

essa associa ad un campo vettoriale una funzione scalare

zyx Fz

Fy

Fx

F

Il gradiente (indicato con Grad oppure “nabla”) essa associa ad una funzione scalare un campo vettoriale

zyx z

V

y

V

x

VV uuu

PromemoriaNotate come il simbolo della divergenza sia molto informativo: Nel calcolare facciamo effettivamente un prodotto scalare tra l’operatore gradiente ed il campo: infatti il gradiente è una sorta di vettore speciale (un operatore appunto…) che ha bisogno di avere qualcosa alla sua destra su cui “operare”: ha tre componenti che sono in realtà derivate

zzyyxx FFF uuuF

F

zyx zyx

uuu

zyx Fz

Fy

Fx

F

Alcune note Gli operatori differenziali che abbiamo introdotto,

sono stati scritti in coordinate rettangolari (x,y,z) Essi assumono forme diverse nei diversi sistemi di

riferimento (cilindrico, sferico ecc.) In generale li trovate tabellati, da usare

all’occorrenza, o ve li fate spiegare da un professore di analisi

Gli operatori sono potenti strumenti matematici, con un’algebra simile a quella delle matrici

Potenziale per una carica puntiforme

B

ABA dVV rE

B

A

drr

q24

A

B

r

q

4

AB r

q

r

q

44

Hanno senso solo differenze di potenziale Uno dei due potenziali è preso come “riferimento” In questo caso un riferimento comodo è B all’infinito

r

qrV

4)(