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CAPITOLO 3• LA LEGGE DI GAUSS

Premessa

• TEOREMA DI GAUSS

• Formulazione equivalente alla legge di Coulomb

• Trae vantaggio dalle situazioni nelle quali vi è una SIMMETRIA nella

distribuzione delle cariche

• Mette in relazione i campi elettrici su superfici chiuse

(superfici gaussiane) e le cariche da esse racchiuse

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 2

Flusso di un campo vettoriale

• Concetto di flusso ricavabile partendo dai FLUIDI:

• Si consideri un fluido in scorrimento

• Definizione di FLUSSO (attraverso una sezione del tubo):

«quantità in volume o portata volumetrica del fluido stesso»

• Flusso MASSIMO: sezione del tubo ortogonale alla velocità (o alle linee

di corrente)

• Flusso MINIMO (nullo): sezione del tubo parallelo alla velocità



• Si consideri la superficie infinitesima 𝒅𝜮, posta in una regione in cui è definito

un generico campo vettoriale 𝒗

Definizione analitica di FLUSSO del campo 𝒗 attraverso la superficie 𝒅𝜮

𝒅𝜱 𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒅𝜮

• 𝒅𝜮 = vettore superficie infinitesima

• Modulo: 𝒅𝜮 = area della

superficie infinitesima

• Direzione: ෝ𝒖𝒏, perpendicolare

al piano della superficie stessa)

• Quindi:

𝒅𝜱 𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒅𝜮 = 𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮 = 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜮 = 𝒗𝒏 𝒅𝜮

• 𝒗𝒏 = componente del campo nella direzione di ෝ𝒖𝒏


𝒗𝒗𝒏

ෝ𝒖𝒏

𝜽

𝒅𝚺


• Si estenda il ragionamento ad una superficie finita 𝜮, suddivisa in tanti

elementi infinitesimi 𝒅𝜮𝒊

• Per ciascun elemento, si può calcolare il flusso infinitesimo:

𝒅𝜱 𝒗𝒊 = 𝒗𝒊 ∙ ෝ𝒖𝒊,𝒏 𝒅𝜮𝒊

• Sommando i contributi si ottiene un INTEGRALE DI SUPERFICIE

𝜱 𝒗 = න𝚺

𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺


ෝ𝒖𝒏

𝒗

𝜽

𝚺


• Si estenda il ragionamento ad una superficie CHIUSA

𝜱 𝒗 = ර𝚺

𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺

• Per convenzione, ෝ𝒖𝒏 si orienta

verso l’ESTERNO della superficie

• Considerazioni:

• Se 𝒗 è diretto verso l’esterno contributi positivi (𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 > 𝟎)

FLUSSO «USCENTE»

• Se 𝒗 è diretto verso l’interno contributi negativi (𝒗 ∙ ෝ𝒖𝒏 < 𝟎)

FLUSSO «ENTRANTE»

• Se l’integrale di circuitazione risulta nullo: il flusso entrante eguaglia in

modulo il flusso uscente


ෝ𝒖𝒏

𝒗𝜽

𝚺

Flusso del campo elettrostatico

• Il concetto introdotto si può definire per

QUALUNQUE CAMPO VETTORIALE

• La parola «FLUSSO» deriva dalle

applicazioni IDRODINAMICHE

• Flusso di materia attraverso una superficie

• Definizione di flusso di un campo vettoriale: CONCETTO MATEMATICO

Nel caso del campo ELETTROSTATICO si considerano sempre

superfici «GAUSSIANE», ovvero superfici chiuse


La legge di Gauss

Relazione tra il flusso netto del campo elettrico attraverso

una superficie chiusa con la carica racchiusa al suo interno

𝜱 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝟏

𝜺𝟎

𝒊

𝒒𝒊

𝒊𝒏𝒕

• Il flusso del campo elettrico 𝑬 prodotto da un sistema di cariche 𝒒𝒊

attraverso una superficie chiusa 𝚺 è uguale alla SOMMA ALGEBRICA

di tutte le cariche (con segno) contenute ALL’INTERNO della superficie,

divisa per 𝜺𝟎.


• Somma delle cariche negativa Flusso di 𝑬 negativo

• Somma delle cariche positiva Flusso di 𝑬 positivo

La legge di Gauss

• Nel caso di distribuzioni CONTINUE di carica:

𝜱 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝟏

𝜺𝟎න𝝉

𝒅𝒒

• Integrale esteso al volume 𝝉

racchiuso dalla superficie 𝜮

FORMULAZIONE GENERALE della LEGGE DI GAUSS

𝜱 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝒒

𝜺𝟎

Unità di misura per il flusso del campo elettrostatico:

[𝜱] = Volt ∙ metro


ෝ𝒖𝒏

𝑬𝜽

𝝉 +++

+ ++

𝒒

UNITÀ

DI MISURA

Vm

Dimostrazione della legge di Gauss

• Si consideri la situazione di una carica puntiforme 𝒒

che produce un campo elettrostatico

𝑬 =𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐ෝ𝒖𝒓

• Ci interessa calcolare il contributo del

flusso infinitesimo 𝒅𝜱 𝑬 attraverso una

qualunque superficie orientata nello spazio 𝒅𝚺,

posta a distanza 𝒓 dalla carica

• 𝜽: angolo fra la direzione normale della superficie ෝ𝒖𝒏

e la direzione ෝ𝒖𝒓 del campo elettrico 𝑬


𝑬ෝ𝒖𝒏𝜽

𝒅𝚺

𝒒


• Occorre proiettare 𝒅𝚺 (in blu)

sul piano 𝒅𝚺𝟎 (in arancione)

• 𝒅𝚺𝟎 elemento infinitesimo di superficie

perpendicolare a ෝ𝒖𝒓

• ෝ𝒖𝒓 = versore di 𝒓, descrive la direzione

del campo 𝑬 prodotto dalla carica 𝒒

• Calcolo del flusso infinitesimo:

𝒅𝜱 𝑬 = 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐ෝ𝒖𝒓 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝚺

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎 𝒓𝟐𝒅𝚺 𝒄𝒐𝒔𝜽

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎

𝒅𝚺𝟎𝒓𝟐


𝒅𝚺

ෝ𝒖𝒏

ෝ𝒖𝒓 𝒅𝜮𝟎

𝑬𝜽

𝒒


• Definizione di ANGOLO SOLIDO

𝒅𝛀 ≡𝒅𝚺𝟎𝒓𝟐

Corrisponde all’estensione nello spazio del concetto di angolo piano

• Angolo piano:

Angolo sotteso da 𝒅𝒔 rispetto a 𝑶 è dato da

𝒅𝜽 =𝒅𝒔

𝒓


𝑶


• Angolo solido

Misura della parte di spazio compresa entro un

fascio di semirette uscenti da 𝑶

• Si consideri l’area di un elemento

di calotta sferica in coordinate polari

𝒅𝜮𝟎 = 𝑨𝑩 ∙ 𝑨𝑫

= 𝒓 𝒅𝜽 𝒓 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝝓 = 𝒓𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝝓

• Quindi:

𝒅𝛀 ≡𝒅𝜮𝟎𝒓𝟐

= 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝝓


𝑶

𝑶′ 𝒅𝝓

𝑨

𝑩

𝑫

𝑪

𝒅𝜽

𝜽

𝒅𝜮𝟎

𝒓

𝒅𝛀 NON DIPENDE dal RAGGIO 𝒓

𝑶𝑨 = 𝒓

𝑶′𝑨 = 𝒓𝒔𝒆𝒏 𝜽


• Per una superficie finita, l’angolo solido è dato dall’integrale:

𝛀 = න𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝝓

• Integro separatamente in 𝒅𝝓 e in 𝒅𝜽:

𝛀 = න𝟎

𝝅

𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 න𝟎

𝟐𝝅

𝒅𝝓 = 𝟐 ∙ 𝟐𝝅 = 𝟒𝝅

Risultato valido per una superficie di qualsiasi forma che contenga O

• L‘angolo solido sotto cui un punto interno ad una superficie chiusa

vede la superficie è sempre 𝟒𝝅, che è il valore massimo di 𝛀

• Unità di misura dell’angolo solido: STERADIANTE



• Ritornando all’espressione del flusso del campo elettrico, si trova che:

𝒅𝜱 𝑬 =𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝒅𝛀

• Il flusso di una carica puntiforme

dipende solo dall’ANGOLO SOLIDO

• NON DIPENDE da superficie nè

dalla distanza dalla carica!


𝒅𝚺𝟎

𝒅Σ

ෝ𝒖𝒏

𝑬

ෝ𝒖𝒏

𝒒

𝒓Tracciando delle semirette da 𝒒 che

definiscono un cono infinitesimo con vertice in

𝒒, il flusso di 𝑬 è lo stesso per qualsiasi

superficie il cui contorno si appoggi sulle

superfici laterali del cono stesso


• Flusso attraverso una superficie FINITA

𝜱 𝑬 = න𝜮

𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎න𝒅𝜴

=𝒒

𝟒 𝝅 𝜺𝟎𝜴

• 𝛀 = angolo solido sotto cui è visto

il contorno della superficie 𝜮

dalla carica 𝒒


𝒒

𝜴

𝜮

𝑬ෝ𝒖𝒏


• Flusso attraverso una superficie CHIUSA

1. Carica INTERNA alla superficie

𝜱 𝑬 =𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎ර 𝒅𝛀 =

𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎𝟒𝝅 =

𝒒

𝜺𝟎

2. Carica ESTERNA alla superficie

𝒅𝜱𝟏 𝑬 = 𝑬𝟏 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮𝟏 = −𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎𝒅𝜴

𝒅𝜱𝟐 𝑬 = 𝑬𝟐 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝜮𝟐 =𝒒

𝟒𝝅𝜺𝟎𝒅𝜴

𝒅𝜱𝟏 𝑬 + 𝒅𝜱𝟐 𝑬 = 𝟎

𝚽 𝑬 = ර 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 = 𝟎


ෝ𝒖𝒏

𝑬𝜽

𝒒

A

ෝ𝒖𝒏𝑬𝟐

𝒒

ෝ𝒖𝒏

𝑬𝟏

B

𝒅𝜮𝟐

𝒅𝜮𝟏


• Estendendo al caso di un sistema DISCRETO di cariche puntiformi si ottiene:

𝜱 𝑬 =

𝒊

ර 𝑬𝒊 ∙ ෝ𝒖𝒏 𝒅𝚺 =𝟏

𝜺𝟎

𝒊

𝒒𝒊

𝒊𝒏𝒕

• Somma estesa a tutte e sole le CARICHE INTERNE alla superficie 𝜮

• Nel caso di una distribuzione CONTINUA di carica:

𝜱 𝑬 =𝟏

𝜺𝟎න𝝉

𝒅𝒒

• Integrale esteso al volume 𝝉 racchiuso dalla superficie 𝜮

• Rappresenta la carica totale contenuta all’interno della superficie 𝜮


Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss

CONSIDERAZIONI:

1. Il campo 𝑬 che compare nella legge di Gauss è generato da TUTTE LE

CARICHE, interne ed esterne alla superficie 𝜮

2. Il flusso del campo attraverso 𝜮 dipende solo dalle cariche INTERNE

3. La dimostrazione della legge di Gauss si basa sul fatto che la dipendenza

del campo elettrico 𝑬 dalla distanza dalla carica va come 𝟏

𝒓𝟐

• La legge di Gauss = formulazione alternativa della legge di Coulomb


Considerazioni e applicazioni della legge di Gauss

APPLICAZIONI:

• Con la legge di Gauss è possibile determinare il campo 𝑬

• Nei casi di ELEVATO GRADO DI SIMMETRIA della distribuzione di carica

(Es. sferica, cilindrica, piana) si individuano superfici chiuse nei cui punti il

campo è parallelo o ortogonale alla superficie stessa

1. Campo PARALLELO alla superficie: 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮 = 𝟎

contributo nullo

2. Campo PERPENDICOLARE alla superficie: 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮 = 𝑬 𝒅𝚺

𝜱 𝑬 = ׯ 𝑬 ∙ ෝ𝒖𝒏𝒅𝜮 = 𝑬ׯ 𝒅𝜮 = 𝑬 𝜮 =𝒒

𝜺𝟎

Nel caso della carica puntiforme si ricava 𝑬 =𝒒

𝜺𝟎 𝜮=

𝒒

𝜺𝟎 𝟒𝝅𝒓𝟐


Esercizio 3.1

• Una carica 𝒒 è distribuita con densità superficiale 𝝈 costante su una superficie

sferica di raggio 𝑹.

1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti all’interno

(per 𝒓 < 𝑹) e all’esterno (per 𝒓 > 𝑹) della superficie.


O r

𝑹 P

𝝈

Esercizio 3.2

• Una carica 𝒒 è distribuita con densità di carica volumetrica 𝝆 uniforme nel

volume di una sfera di raggio 𝑹.

1. Calcolare il campo elettrostatico e il potenziale nei punti

all’interno (per 𝒓 < 𝑹) e all’esterno (per 𝒓 > 𝑹) della superficie.


O r

𝑹 P

𝝆

Riepilogo campo elettrostatico

• Il campo elettrostatico può essere calcolato in 3 MODI DIFFERENTI:

1. Dalla definizione diretta

• Calcolo può implicare 3 integrali di volume

2. Come gradiente del potenziale elettrico

• Calcolo può implicare un integrale (per il calcolo del potenziale) ed

un’operazione di derivazione per ogni componente spaziale

3. Dal teorema di Gauss

• Calcolo più immediato, ma applicabile solo in condizioni

di un elevato grado di simmetria del sistema


Esercizio 3.3

• Calcolare il campo elettrostatico e

il potenziale elettrostatico

generato da una carica distribuita

con densità lineare 𝝀 su un filo

indefinito.


Esercizio 3.4

• Calcolare il campo elettrostatico e il

potenziale elettrostatico

generato da una carica distribuita

con densità superficiale 𝝈

su una lamina isolante.


Esercizio 3.5

• Si considerino due piani indefiniti paralleli, distanti tra loro 𝒅 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎, carichi

con densità uniformi 𝝈𝟏 = 𝝈 = 𝟏𝟕. 𝟕 × 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 e 𝝈𝟐 = 𝝈/𝟐.

Determinare:

1. Il campo elettrico nello spazio compreso tra i due piani e nello spazio

esterno ai piani;

2. Il potenziale in un punto a distanza 𝒙 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎 dall’origine 𝑶 (posta

nel punto di mezzo tra i due piani), assumendo 𝑽𝑶 = 𝟎.


Esercizio 3.6

• Si consideri un guscio sferico di raggio interno 𝒂 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e raggio esterno

𝒃 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎, caricato con densità uniforme 𝝆 = 𝟏 𝝁𝑪/𝒎𝟑.

1. Determinare l’andamento del campo elettrostatico in tutti I punti dello

spazio, quindi per 𝒓 < 𝒂, 𝒂 < 𝒓 < 𝒃 e 𝒓 > 𝒃, assumendo nullo il

potenziale all’infinito.

2. Calcolare il valore del campo elettrostatico per 𝒓 = 𝒃 e per

𝒓 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎.


𝒃

𝝆

O r

𝒂

Esercizio 3.7

• Si considerino due cariche 𝒒𝟏 = 𝟐 𝝁𝑪, posta nell’origine, e 𝒒𝟐 = −𝟔 𝝁𝑪,

posta ad una distanza di 𝟑𝒎 lungo l’asse 𝒚, come in figura.

Determinare:

1. Il potenziale elettrico totale nel punto 𝑷 posto a 𝟒𝒎 lungo l’asse 𝒙.

2. Il lavoro svolto dal campo per portare una carica di prova 𝒒𝟎 = 𝟑 𝝁𝑪

dall’infinito al punto 𝑷.


Esercizio 3.8

• Si consideri una distribuzione rettilinea di carica infinita che genera un campo

di 𝑬 = 𝟒. 𝟓 × 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 ad una distanza di 𝒅 = 𝟐𝒎, come in figura.

1. Si calcoli la densità di carica lineare 𝝀 della distribuzione.


𝑬

𝒅𝑷

𝝀

Esercizio 3.9

• Si consideri un cubo carico di lato 𝑳 = 𝟏. 𝟒 𝒎 il cui centro sia posto nell’origine

del sistema di riferimento, che genera un campo che vale rispettivamente (a)

𝑬 𝒚 = 𝒃 𝒚 ෝ𝒖𝒚 e (b) 𝑬 𝒙, 𝒚 = −𝒂 ෝ𝒖𝒙 + 𝒄 + 𝒃𝒚 ෝ𝒖𝒚 , con 𝒂 = 𝟒 𝑵/𝑪, 𝒃 =

𝟑 𝑵/𝑪𝒎 e 𝒄 = 𝟔 𝑵/𝑪.

Determinare:

1. Il flusso del campo elettrico attraverso le pareti del cubo nei due casi;

2. La carica racchiusa all’interno del cubo per ciascuno dei due casi.


𝒛

𝒙

𝒚

Esercizio 3.10

• Si considerino due lunghi cilindri coassiali carichi con raggi 𝑹𝟏 = 𝟑 𝒄𝒎 e 𝑹𝟐 =

𝟔 𝒄𝒎. La densità di carica lineare è 𝝀𝟏 = 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪/𝒎 sul cilindro interno e

𝝀𝟐 = −𝟕 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪/𝒎 su quello esterno.

1. Determinare il valore del campo elettrico ad una distanza radiale

(a) 𝒓 = 𝟒 𝒄𝒎 e (b) 𝒓 = 𝟖 𝒄𝒎 dall’asse centrale.


Esercizio 3.11

• Una particella dotata di carica 𝒒 e massa 𝒎 si trova in prossimità di un piano

orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme 𝝈 in cui è praticato

un foro circolare di raggio 𝑹 e centro 𝑪.

1. Si calcoli l’altezza 𝒉𝟎 rispetto a 𝑪 del

punto lungo l’asse del foro in cui

la particella è in equilibrio.

2. Se la particella è inizialmente ferma

lungo l’asse ad un’altezza 𝒉𝟎

𝟐rispetto

a 𝑪, osservando che la particella

attraversa il centro del foro,

quale sarà la sua velocità?

(𝒒 = 𝟏 𝒏𝑪, 𝒎 = 𝟏𝒎𝒈, 𝝈 = 𝟏𝝁𝑪

𝒎𝟐, 𝑹 = 𝟏𝒎)


𝑪𝑹

𝒒

𝝈

Esercizio 3.12

• Nel modello di Bohr dell’atomo di Idrogeno, l’elettrone compie un’orbita

circolare di raggio 𝒓 = 𝟎. 𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟏𝟎𝒎 attorno al protone.

1. Calcolare quanta energia è richiesta per ionizzare l’atomo di idrogeno,

cioè per rimuovere l’elettrone dal nucleo in modo che la separazione sia

effettivamente infinita.


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