Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que...
Transcript of Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que...
![Page 1: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/1.jpg)
Teoria dos Grafos
Valeriano A. de OliveiraSocorro Rangel
Silvio A. de AraujoDepartamento de Matemática Aplicada
[email protected], [email protected], [email protected]
Cobertura, Coloração de Arestas,Emparelhamento
Preparado a partir do texto:Rangel, Socorro. Teoria do Grafos, Notas de aula, IBILCE, Unesp, 2002-2013.
![Page 2: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/2.jpg)
Cobertura de Arestas
Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
![Page 3: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/3.jpg)
Definição e ExemplosCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 3
Definição 1. Dado um grafo G(V,A), um conjunto g de arestas é umacobertura de G se todo vértice de G é extremo de pelo menos uma arestade g.
Exemplos:
- G é sua própria cobertura- Uma árvore geradora é uma cobertura de G- Um circuito hamiltoniano é uma cobertura de G
Definição 2. Cobertura minimal - é uma cobertura na qual nenhumaaresta pode ser removida.
![Page 4: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/4.jpg)
Definição e ExemplosCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 4
Exemplo:
g = {(A,C), (B,D)}
Exemplo:
Aplicação - Suponha que o grafo da Figura a seguir represente um mapadas ruas de um bairro de uma cidade. Cada um dos vértices representaum ponto de perigo potencial e deve estar sob constante vigilância deum carro patrulha. Como você designaria o menor número de carrospatrulha para manter todos os vértices cobertos?
![Page 5: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/5.jpg)
Definição e ExemplosCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 5
Queremos a cobertura minimal com o menor número possível de arestas.No caso 6 carros patrulhas (6 arestas ) são suficientes para cobrir todospontos de perigo potencial (os vértices).
![Page 6: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/6.jpg)
ObservaçõesCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 6
1. Qual é condição mínima que um grafo deve satisfazer para queexista uma cobertura? Não possuir vértices isolados.
2. Qual é o número mínimo de arestas em uma cobertura de um grafocom n vértices? ⌈n/2⌉.
3. Uma cobertura mínima pode conter um circuito? Não.
4. Qual é o número máximo de arestas em uma cobertura mínima?n− 1
![Page 7: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/7.jpg)
TeoremaCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 7
Teorema 3. Uma cobertura g de um grafo é minimal se e somente se gnão possui caminhos de comprimento maior ou igual a 3.
Prova ⇒ Por contradição suponha que numa cobertura g tenha umcaminho de comprimento 3. {v1, (v1, v2), v2, (v2, v3), v3, (v3, v4), v4}, aaresta (v2, v3) pode ser retirada sem que os vértices v2 e v3 fiquemdescobertos. Portanto g não é uma cobertura mínimal.⇐ Se a cobertura g não possui caminhos de comprimento 3, todos osseus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato deestrela).
![Page 8: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/8.jpg)
Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 8
Nenhuma aresta de um grafo estrela pode ser removida sem deixar umvértice descoberto. Portanto g é uma cobertura Minimal.Exercício
Modele, utilizando variáveis 0 ou 1, o problema de encontrar umconjunto cobertura para G com o menor número possível de arestas.
![Page 9: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/9.jpg)
Coloração de Arestas
Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
![Page 10: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/10.jpg)
MotivaçãoCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 10
Considere o seguinte problema:Problema 1 Ao final do ano acadêmico, cada estudante deve fazer umexame oral com seus professores. Suponha que existam 4 estudantes etrês professores, e que os exames que cada aluno deve fazer estejadefinido de acordo com o seguinte grafo bipartido
Os vértices representam os alunos e professores e a aresta (i,j)representam se o aluno i (i=1,2,3,4) deve ser examinado pelo professor j(j=A,B,C). Se duas arestas são adjacentes, então os exames associadosnão podem ser feitos simultaneamente. A questão é determinar onúmero de períodos necessários para que os exames ocorram.
![Page 11: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/11.jpg)
MotivaçãoCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 11
A resposta para este problema envolve a partição do conjunto de arestasde tal forma que arestas adjacentes não pertençam a um mesmoconjunto. Uma possível solução para este problema é:
Se atribuirmos uma cor diferente para as arestas de cada um destesconjuntos, obteremos uma coloração das arestas do grafo.
![Page 12: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/12.jpg)
DefiniçõesCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 12
Definição 4. Seja G(V,A) um grafo e C = {Ci} um conjunto de cores.Uma coloração das arestas de G é uma atribuição de alguma cor doconjunto C para cada aresta de A de tal modo que a duas arestasadjacentes sejam atribuídas cores diferentes. O número mínimo de coresnecessárias para se obter uma coloração das arestas de G é chamado deíndice cromático de G, χ′(G) (lembre-se que número cromático serefere a coloração dos vértices de G).
Seja ∆ o grau do vértice de maior grau do grafo G.
![Page 13: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/13.jpg)
TeoremaCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 13
Teorema 5. Teorema de Vizing - Seja G um grafo simples. Então oíndice cromático de G é: ∆ ≤ χ′(G) ≤ ∆+ 1
Exemplo: Qual o índice cromático dos seguintes grafos:
1. circuito com 3 vértices
2. circuito com 4 vértices
3. grafo completo com 4 vértices
4. grafo completo com 5 vértices
5. do grafo:
![Page 14: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/14.jpg)
Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 14
Questão: Como obter uma coloração das arestas de um grafocompleto?Vamos ilustrar o procedimento para n = 5. n = impar ⇒ n coresDesenhe o grafo na forma de um polígono regular. Use uma cor diferentepara cada uma das arestas da borda.
![Page 15: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/15.jpg)
Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 15
As arestas restantes recebem a mesma cor que as arestas da bordaparalelas a elas (Veja a seguir).
![Page 16: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/16.jpg)
Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 16
Considere agora o caso que n é par, por exemplo n = 6 (χ′(G) = 5cores).Remova um vértice de G, vk, e use o procedimento para colorir asarestas do grafo resultante, G’, (G’ possui um número ímpar de vértices).Observe a coloração das arestas incidentes em cada um dos vértices deG’. Note que em cada vértice existe exatamente uma das (n− 1) coresfaltando. Acrescente o vértice, vk retirado anteriormente, e use a cor quefalta nas arestas incidentes em cada um dos demais vértice de G, vi, paracolorir as arestas incidentes em, vk e vi (Veja a seguir).
![Page 17: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/17.jpg)
Emparelhamento
Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
![Page 18: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/18.jpg)
DefiniçõesCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 18
Observe que uma coloração de arestas em um grafo G, induz umapartição no conjunto de arestas do grafo tal que cada subconjunto dearestas não possui arestas adjacentes . Tal conjunto é chamado deconjunto independente de arestas ou emparelhamento.
Definição 6. Um emparelhamento (ou matching, ouacoplamento) em um grafo G é um conjunto de arestas tal que nãoexistem duas arestas adjacentes neste conjunto. Este conjunto também échamado de conjunto independente de arestas.
![Page 19: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/19.jpg)
DefiniçõesCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 19
Exemplo: Assim no grafo da Figura anterior temos que o conjunto{(A,B), (E,C)} é um emparelhamento.Ou ainda, no grafo a seguir:
Os conjuntos {(B,C)} e {(A,C), (B,D} são exemplos deemparelhamentos.
![Page 20: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/20.jpg)
DefiniçõesCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 20
Definição 7. Um emparelhamento é chamado de emparelhamentomaximal, se nenhuma aresta do grafo puder ser adicionada sem que apropriedade de não-adjacência entre as arestas seja destruída. Observeque um grafo pode ter vários emparelhamentos maximais. Em geral,estamos interessados no emparelhamento maximal com o maior númeropossível de arestas.
![Page 21: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/21.jpg)
ExemploCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 21
Suponha que existam 4 pessoas, a1, a2, a3 e a4 disponíveis parapreencher 6 funções vagas, p1, . . . , p6. As pessoas a1, a2 e a4 sãoqualificadas para exercer a função p2 ou p5. A pessoa a3 é qualificadapara exercer a função p1, p2, p3, p4 ou p6. A questão é: Será possívelempregar todas as pessoas de tal forma que cada pessoa desempenhe afunção para a qual esta qualificada? Se a resposta é não, qual é o maiornúmero de vagas que podem ser preenchidas? Como representar esteproblema através de um grafo?Vértices: pessoas e funções vagasArestas: existe uma aresta ligando uma pessoa às funções para as quaisela esta habilitada
![Page 22: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/22.jpg)
ExemploCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 22
No grafo acima temos os seguintes emparelhamentos:{(a1, p2), (a2, p5)}, {(a4, p2)} e {((a1, p2)(a3, p1)(a4, p5)}.Emparelhamentos estão definidos para qualquer tipo de grafo, mas sãoestudados mais amplamente no contexto de grafos bipartidos.
![Page 23: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/23.jpg)
Emparelhamentos em Grafos
BipartidosCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 23
Definição 8. Dado um grafo bipartido G(V,A) tal que V = V1 ∪ V2.Um emparelhamento completo entre os vértices do conjunto V1 e osvértices do conjunto V2 é um emparelhamento no qual existe uma arestaincidente em cada vértice de V1.
Exemplo:
{(a1, p2), (a2, p4), (a3, p1)} é um emparelhamento completo.
Ou seja, um emparelhamento completo (se existir) é o maioremparelhamento maximal, o contrário não é verdade.
![Page 24: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/24.jpg)
QuestãoCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 24
Quais são as condições necessárias para existência de umemparelhamento completo?1) Número de vértices em V1 maior ou igual número de vértices em V2.É suficiente?Não, no exemplo inicial esta condição é satisfeita e no entanto não existeum emparelhamento completo. Das 4 pessoas, 3 (a1, a2 e a4) estãoqualificadas para as mesmas funções (p1 e p5) e portanto uma daspessoas não poderá preencher nenhuma vaga.2) Qualquer subconjunto de r vértices de V1 tem que ser coletivamenteadjacente a pelo menos r vértices em V2, r = 1, 2, ..., |V1|. Esta condiçãonão é satisfeita no grafo do Problema 2 pois o subconjunto de trêsvértices {a1, a2, a4} é adjacente a apenas 2 vértices {p2, p5}. Estacondição também é suficiente.
![Page 25: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/25.jpg)
TeoremasCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 25
Teorema 9. Existe um emparelhamento completo entre V1 e V2 em umgrafo bipartido se e somente se todo subconjunto de r vértices em V1 écoletivamente adjacente a r ou mais vértices em V2, r = 1, 2, ..., |V1|.
Verifique usando o Teorema que o grafo da Figura possui umemparelhamento completo. O resultado do Teorema é muito importante,porém se o grafo é grande torna-se impraticável a verificação dacondição imposta uma vez que teríamos que examinar 2n1−1
subconjuntos de V1, considerando que existem n1 vértices em V1.
![Page 26: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/26.jpg)
TeoremasCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 26
O Teorema a seguir fornece uma condição suficiente para determinar aexistência de emparelhamentos completos (note que a condição não énecessária).
Teorema 10. Existe um emparelhamento completo entre V1 e V2 emum grafo bipartido se existe um número positivo m que satisfaz:{d(vi),∀vi ∈ V1} ≥ m ≥ {d(vj),∀vj ∈ V2}
![Page 27: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/27.jpg)
TeoremasCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 27
Exemplo:
a) No grafo da Figura a seguir temos que:{d(vi),∀vi ∈ V1} ≥ 2 ≥ {d(vj),∀vj ∈ V2}
b) No grafo do exemplo anterior temos que: d(p2) = 4, p2 ∈ V2 ed(a2) = 2, a2 ∈ V1 Isto é, a condição do Teorema 2 não é satisfeita.Exercício: 1) Encontre um grafo bipartido que não satisfaz a condiçãodo Teorema, mas possui um emparelhamento completo
![Page 28: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/28.jpg)
DefiniçãoCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 28
O Teorema ajuda a responder à primeira questão do Exemplo. O quefazer quando não existe um emparelhamento completo? Como encontrarum emparelhamento maximal? Para isso precisamos definir a deficiênciade um grafo bipartido, isto é o número de vértices que não são cobertospor um emparelhamento máximo.
Definição 11. Dado um grafo bipartido, considere que um conjunto der vértices em V1 é coletivamente adjacente a q vértices em V2. Então adeficiência do grafo bipartido (γ(G)) é dada pelo valor máximo dadiferença: γ(G) = max{(r − q), r = 1, 2, ..., |V1|}.
Lema: Existe um emparelhamento completo em grafo bipartido se esomente se γ(G) ≤ 0
![Page 29: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/29.jpg)
Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 29
Se a deficiência for positiva, temos:
Teorema 12. O número de arestas no maior emparelhamento maximalde um grafo bipartido é dado por |V1| − γ(G).
![Page 30: Teoria dos Grafos - ibilce.unesp.br · seus componentes são grafos estrelas (isto é, grafos que tem formato de estrela). Cobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento](https://reader030.fdocuments.net/reader030/viewer/2022040313/5e0d1d29b18f0a205a66d692/html5/thumbnails/30.jpg)
ExercíciosCobertura de Arestas Coloração de Arestas Emparelhamento
Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 30
1 - Calcule a deficiência dos grafos das Figuras 3 e 4.2 -Modele e resolva o seguinte problema da designação: Considere umconjunto de n pessoas e n tarefas, tal que toda pessoa deve executaruma tarefa e toda tarefa deve ser executada por uma pessoa. Seja pij aeficiência com que a pessoa i executa a tarefa j. Determine umadesignação das pessoas às tarefas que maximize a eficiência total.Referencia Adicional
Um curso de Grafos, Yoshiko Wakabayashi e alunos, disponível em:http://www.ime.usp.br/ tassio/arquivo/2012-ii/grafoes/notas-grafoes.pdf(última visita em 06/06/2016)