UFES Cortes (cut-sets). UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas Em um grafo conexo G, um...
Transcript of UFES Cortes (cut-sets). UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas Em um grafo conexo G, um...
UFES
Cortes (cut-sets)
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por arestas
• Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse conjunto também desconecte G
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por arestas
• rank de um grafo: r = n - (G)
• Subconjunto minimal de arestas de maneira a garantir a conexidade de cada componente do grafo
• corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção reduz o rank de um grafo de uma unidade.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por arestas
• corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção acarreta uma partição no grafo.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por Aresta (Bondy & Murty)
• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Corte por Aresta (Bondy & Murty)
• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´
• Seja C um subconjunto de E da forma [S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V-S
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Corte de arestas (bond)
• Se C é minimal, então C é um corte de arestas de G.
• Se G é conexo, então C é um subconjunto minimal de E tal que G-C é desconexo.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Propriedades
• Todo corte de arestas de um grafo conexo G deve conter pelo menos uma aresta de toda árvore geradora de G;
• Em um grafo conexo G, qualquer conjunto minimal de arestas contendo pelo menos uma aresta de qualquer árvore geradora de G é um corte de arestas;
• Todo ciclo possui um número par de arestas em comum com qualquer corte de arestas
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
b
a
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
b
a Conjunto de arestasque desconecta o grafo!
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
b
aMas não é minimal!!!
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo:
G
b
aÉ um corte de arestas (bond)!!
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Cotree
• Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H é o subgrafo G-E(H).
• Se G é conexo, e T é uma árvore geradora de G, então T é dita cotree de G
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Teorema:
Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de T. Então:
a) a cotree T não contém corte de aresta de G;
b) T + a contem um único corte de arestas de G.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Prova
• Exercício!!!!!!!!!!
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Corte de vértices
• Subconjunto minimal de vértices V´ V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo.
• G – V´: desconexo ou nulo e subconjunto próprio V´´ V´, G – V´´ é conexo e não nulo.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade e Separabilidade
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade de arestas
• Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G))
• K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade.
• K´(T) = ????, onde T é uma árvore.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade de vértices
• O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G))
• K(T) = ????, onde T é uma árvore.
• Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Conectividade de vértices
• K´(G) = K(G) = 0, G desconexo
• K(G) n – 2, G Kn
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Grafo separável
• Um grafo G é dito separável quando
K(G) = 1.
• Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Articulação
• Vértice cuja remoção desconecta o grafo.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Teorema
Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então:
a) Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y v, tais que todo caminho entre x e y passa por v;
b) Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G.
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Exemplo
Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas,
e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua
destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais?
Maior conectividade de vértices e arestas
UFES
Exemplo
n = 8 e m = 16
K(G) = ?K'(G) = ?
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Teorema
A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o
menor grau de G
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Prova
• Seja w o vértice de grau mínimo de G ()
• É possível desconectar G, removendo-se as arestas incidentes a w.
• ≥ K´(G)
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Teorema
A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de
arestas de G
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Questão
Sejam G = (V,E) um grafo e
E´ um corte de arestas de G.
É sempre possível encontrar
um corte de vértices V´
tal que |V´| |E´|?
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
G, K(G) K´(G)
UFESTeoria dos Grafos(INF 5037)
Corolário
Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém
pelo menos duas arestas
UFESTeoria dos Grafos
Teorema
O valor máximo de K(G) de um grafo
G = (V,E), com n vértices e m arestas
(m ≥ n-1) é 2m/n