Teoria Della Plasticita
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Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà
MODELLI IDEALI1) ELASTICO-PERFETTAMENTE PLASTICO
2) RIGIDO - PERFETTAMENTE PLASTICO
3) ELASTICO – PLASTICO INCRUDENTE
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
E F
y
E
Fy
FE1E2
y
E1
E2
Teoria della PlasticitTeoria della PlasticitààCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
SUPERFICIE DI SNERVAMENTO
LUOGO CHE SEPARA NELLO SPAZIO TENSIONALE, IL COMPORTAMENTO ELASTICO DA QUELLO PLASTICO
2
Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà
SUPERFICIE DI SNERVAMENTO
CRITERIO DI SNERVAMENTO
Wp= lavoro di deformazione plastica
Nello spazio σ’1, σ’2 ,σ’3 la funzione individua la superficie di
snervamento che può cambiare dimensione e forma (poiché dipende anche da εp
ij)
Superficie di snervamento ≤ Superficie di rotturaCoincidono solo per mat. perfettamente plastico
Corso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2009A.A. 2009--20102010
1= a
r3=
Regione Elastica
Superfici successive di snervamento
Superficie di rottura
r3=r
a1=
a
( ) 0=pijijF εσ ,'
( )[ ] 0=pij WhF ,'σ
( )[ ] 0=pij WhF ,'σ
Teoria della PlasticitTeoria della PlasticitààCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
La superficie di snervamento deve sempre seguire l’evoluzione dello statotensionale (incrudimento) in modo che sia sempre verificata lacondizione di consistenzacondizione di consistenza(un punto (un punto rapprrappr. dello stato tensionale può trovarsi dentro o sulla sup. di sne. dello stato tensionale può trovarsi dentro o sulla sup. di snervamento)rvamento)
Condizioni di sollecitazioneCarico dF>0 def. plasticheScarico dF<0 def. elasticheNeutrale dF=0 sulla sup. di snervamento
Se la condizione di plasticità è indipendente dalla deformazione plastica (metalli…)
La superficie di plasticizzazione rimane, nel corso della deformazionePlastica, di forma e dimensioni costanti e ferma nella posizione originaria
MEZZO PERFETTAMENTE PLASTICOMEZZO PERFETTAMENTE PLASTICO
( )[ ] 0≤pij WhF ,'σ
0≤∂∂
ij
F'σ
( ) 0=ijF 'σ
3
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COMPORTAMENTO PERFETTAMENTE PLASTICOPer un mezzo perfettamente plastico si ha cheSuperficie di Snervamento = Superficie di RotturaSuperficie di Snervamento = Superficie di Rotturadi conseguenza, noto lo stato tensionale agente, conosco per ogni incremento di carico la direzione della deformazione plastica (ortogon. alla superficie di rottura)
y
( ) 0=ijF 'σ
( ) 0=ijF 'σ
Mezzo isotropo
( ) 0321 =IIIF ,,
Metalli (def. plastiche indip. da p)
( ) 032 =JJF ,
Invarianti di tensione
Invarianti del deviatore di tensione
CRITERI: - Tresca (1869)
- Von Mises (1913)
Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà
COMPORTAMENTO DEI TERRENI
CARICO produce DEFORMAZIONIche sono
REVERSIBILI IRREVERSIBILIelastiche plastiche
Espresse con la teoria della plasticità si ha:
N.B. Il legame costitutivo elastico isotropo consente di calcolare le δεePoiché, nell’ipotesi di isotropia, la direzione principale di tensione coincide con la direzione principale di deformazione, noto l’incremento di stato tensionale sono noti non solo modulo ma anche direzione del vettore δεe
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pij
eijij ddd εεε +=
4
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MATERIALI ELASTOMATERIALI ELASTO--PLASTICIPLASTICIComportamento INCRUDENTE
L’incremento della tensione di snervamentoa causa di deformazioni plastiche
x
x
x3x2
x1
O1 O2 O3
x1pl
Y1
Y2Y3
plx 1δε
= INCRUDIMENTO
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MATERIALI ELASTOMATERIALI ELASTO--PLASTICIPLASTICIComportamento RAMMOLLENTE
La riduzione della tensione di snervamentoa causa di deformazioni plastiche = RAMMOLLIMENTO
x
A
B
O1 O2
x
plx
x
xel
x
5
Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà
ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO
1) Legge costitutiva elastica
2) Superficie di snervamento: • rappresenta il limite elasto-plastico nello spazio σ’ij
3) Potenziale plastico : • descrive in che modo avvengono le def. plast. εp• definisce le componenti del vettore {εp}
4) Legge di incrudimento : •definisce l’espansione della superficie disnervamento• stabilisce come l’entità del vettore {εp} èlegata al cambiamento di dimensioni dellasuperficie di snervamento
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MATERIALI ELASTICIMATERIALI ELASTICICaratteristiche:
1) Sono materiali CONSERVATIVI:il lavoro svolto dagli sforzi esterni per un incremento di deformazione viene immagazzinato e restituito allo scarico, cioè tutte le deformazioni sono restituite se l’incremento di carico che le ha prodotte viene rimosso.
2) EFFETTI volumetrici e distorsionali DISACCOPPIATI:per mat. elastici ed isotropi effetti volumetrici e distorsionali sono disaccoppiati, quindi la relazione costitutiva può essere espressa da:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
elv
els
δε
δε
'K0
0'G3
pδ
'qδ
6
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Nella meccanica dei terreni conviene adoperare i
moduli di elasticitmoduli di elasticitàà trasversale Gtrasversale G’’ e di dilatazione cubica Kdilatazione cubica K’’(piuttosto che i moduli elastici di Young E’ e del coeff. di Poisson ν’) perché èimportante disaccoppiare gli effetti.
)'(''ν+
=12EG
)'(''ν213 −
=EK
deformazioni tangenziali = variazioni di forma
deformazioni di compressione = variazioni di volumeq
sel
3G '
Comportamento mat. elastico lineare a TAGLIO
p'
p'0
K'
elv
Comportamento mat. elastico lineare a COMPRESSIONE E RIGONFIAMENTO
Teoria della PlasticitTeoria della Plasticitàà
ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO
1) Legge costitutiva elastica
2) Superficie di snervamento: • rappresenta il limite elasto-plastico nello spazio σ’ij
3) Potenziale plastico : • descrive in che modo avvengono le def. plast. εp• definisce le componenti del vettore {εp}
4) Legge di incrudimento : •definisce l’espansione della superficie disnervamento• stabilisce come l’entità del vettore {εp} èlegata al cambiamento di dimensioni dellasuperficie di snervamento
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CRITERIO DI TRESCACRITERIO DI TRESCA (1869)Condizione di plasticità: quando la massima tensione di
taglio raggiunge il valore critico
max (σi – σj)= 2c(i,j= 1, 2, 3)2c: tensione di snervamento in trazione sempliceIl crit. di Tresca non dipende dalla tensione principale intermedia σ2.
CRITERIO DI VON MISESCRITERIO DI VON MISES (1913)Condizione di plasticità: il secondo invariante del deviatore di
tensione raggiunge un valore criticoF(J2) = costante
2c = tensione di snervamento in trazione semplice (σ2 = σ3 =0)
( ) ( ) ( )[ ] 22212
232
231 86 cK ==−+−+− σσσσσσ
crit=c
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SUPERFICIE DI TRESCASUPERFICIE DI TRESCA
SUPERFICIE DI VON MISESSUPERFICIE DI VON MISES
CONFRONTOCONFRONTO
Asse Idrostatico
Asse Idrostatico
Tresca
Von Mises
30°
8
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CRITERIO MOHRCRITERIO MOHR--COULOMBCOULOMB (1773)Condizione di plasticità: si ha quando la massima tensione di
taglio raggiunge il valore critico
c’= intercetta di coesioneφ’= angolo di attrito interno
N.B. Per φ’=0 (metalli): σ1- σ3=2c criterio di Tresca
CRITERIO DRUCKERCRITERIO DRUCKER--PRAGERPRAGER (1952)E’ il criterio di Von Mises modificato sulla base di Mohr-Coulomb permateriali aventi coesione c’ e φ’.
'tan''' φστ += c
'φsen)'σ'σ('φcos'c2'σ'σ 3131 ++=−
05021 =−+= KIIf .α )'(
'φ
φαsen
sen−
=332
)'('cos'φφ
sencK−
=33
6
c'
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SUPERFICIE DI MOHRSUPERFICIE DI MOHR--COULOMBCOULOMB
SUPERFICIE DI DRUCKERSUPERFICIE DI DRUCKER--PRAGERPRAGER
CONFRONTOCONFRONTO
Asse Idrostatico
Asse Idrostatico
L1
L2
Mohr-Coulomb
Drucker-Prager
)'('cos
φφ
senKL−
=326
1
)'('cos
φφ
senKL+
=326
2
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SUPERFICIE DI SNERVAMENTOLUOGO CHE SEPARA NELLO SPAZIO TENSIONALE, IL COMPORTAMENTO ELASTICO DA QUELLO PLASTICO
Supponiamo che il terreno abbia sup. di snervamento definita dall’equazione:
p’0 definisce la dimensione di una superficie della famiglia
In forma differenziale:
p'
q
p'0
( ) 00 == ',', pqpf
0'pδ'pfqδ
qf'pδ
'pf
00
=∂∂
+∂∂
+∂∂
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ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO
1) Legge costitutiva elastica
2) Superficie di snervamento: • rappresenta il limite elasto-plastico nello spazio σ’ij
3) Potenziale plastico : • descrive in che modo avvengono le def. plast. εp• definisce le componenti del vettore {εp}
4) Legge di incrudimento : •definisce l’espansione della superficie disnervamento• stabilisce come l’entità del vettore {εp} èlegata al cambiamento di dimensioni dellasuperficie di snervamento
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DEFINIZIONE: POTENZIALE PLASTICOSUPERFICIE CHE DEFINISCE LA DIREZIONE DEL VETTORE DELLE DEFORMAZIONI PLASTICHE
Le deformazioni plastiche prodotte sono dipendenti dallo stato tensionalein corrispondenza del quale avviene lo snervamento (non del percorso tensionale seguito)
scomposizione del vettore deformazione plastica nelle due componenti
La direzione del vettore uscente, normale alla superficie di potenziale plastico, definisce il rapporto (grandezza relativa) delle varie componenti di deformazione plastica
Splq
Y ppl
q
p'
qpl
plp
Y
Data un’espressione generale per la famiglia di curve di potenziale plastico, un membro della famiglia può essere tracciato in corrispondenza di ciascuno stato tensionale Yi al quale avviene lo snervamento.
1) per un dato stato tensionale si raggiunge lo lo snervamento, indicato dal punto Y
2) in Y si generano deformazioni plastiche:vettorecomponenti3) se Yi sono i punti di snervamento appartenenti a diverse superfici (diverse combinazioni tensionali)4) da ciascun punto di snervamento Yi si generano vettori di deformazioni plastiche
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p'
q
Y
pldεplpd 'ε pl
qdε
pldε
plq
Y ppl
pl
Diverse famiglie di potenziale plastico
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POSTULATO DI “NORMALITA’”1) Superficie di snervamento = Potenziale PlasticoIl vettore incremento di deformazioni ha direzione normale allasuperficie di snervamento
MATERIALE SEGUE UNA LEGGE DI FLUSSO ASSOCIATALEGGE DI FLUSSO ASSOCIATA
2) Superficie di snervamento ≠ Potenziale Plastico
MATERIALE SEGUE UNA LEGGE DI FLUSSO NONNON ASSOCIATA
{ }pldε
q
p'
Y
G
F
pld
pld V
d Spl
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POTENZIALE PLASTICOIl potenziale plastico può essere espresso come:
g(p’, q, ξ)
ξ = parametro che controlla la dimensione del potenziale plastico che passa in corrispondenza dello stato tensionale p’;q
Gli incrementi di deformazione plastica sono ortogonali alpotenziale plastico in corrispondenza dello stato tensionale corrente p’;q:
(1) (2)
χ = moltiplicatore scalare il cui valore sarà ricavato dalla legge diincrudimento assunta
'pgχδεpl'p ∂∂
=qgχδεplq ∂∂
=
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ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO
1) Legge costitutiva elastica
2) Superficie di snervamento: • rappresenta il limite elasto-plastico nello spazio σ’ij
3) Potenziale plastico : • descrive in che modo avvengono le def. plast. εp• definisce le componenti del vettore {εp}
4) Legge di incrudimento : •definisce l’espansione della superficie disnervamento• stabilisce come l’entità del vettore {εp} èlegata al cambiamento di dimensioni dellasuperficie di snervamento
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LEGGE DI INCRUDIMENTODETERMINA LA GRANDEZZA (SCALARE) DEGLI INCREMENTI DI
DEFORMAZIONE PLASTICA
=LEGGE DELLA “VARIAZIONE” DELLA SUPERFICIE DI
SNERVAMENTOSi ipotizza che il cambiamento di dimensione della superficie di snervamento,espresso come variazione di p’0, sia legato agli incrementi di deformazione plasticasia volumetrici dεpl
p’ che di taglio dεplq.
Nel piano q;p’ si ha:
(3)
Superficie di snervamento (4)in forma differenziale:
plqpl
q
0pl'ppl
'p
00 δε
ε'pδε
ε'p'pδ
∂∂
+∂∂
=
0'pδ'pfqδ
qf'pδ
'pf
00
=∂∂
+∂∂
+∂∂
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Relazione Generale tra: SFORZI-DEFORMAZIONI PLASTICHE
In termini di invarianti p’; q, il legame tra gli incrementi ditensione efficace dp’;dq e le deformazioni plastiche corrispondenti ediventa:
OCCORRE DETERMINARE LA MATRICE DIRIGIDEZZA [K]
[ ] ijplij 'δσKδε =
plqdεpl
pdε
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
qδ
'pδ
K
δε
δε
plq
plp
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Combinando le equazioni (1) - (4) si ottiene un’espressione per lo scalare χ
Sostituendo questa espressione di χ nelle precedenti (3) e (4) si ottiene:
Nel caso in cuiPOTENZIALE PLASTICO e SUPERFICIE DI SNERVAMENTO coincidonosi ha: f=gf=g LEGGE DI FLUSSO LEGGE DI FLUSSO
ASSOCIATAASSOCIATALa matrice delle rigidezza [K] è simmetrica
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂+
∂∂
−=
qg
ε'p
'pg
ε'p
'pf
qδqf'pδ
'pf
χ
plq
0plp
0
0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
∂∂
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
qδ
'pδ
qg
qf
qg
'pf
'pg
qf
'pg
'pf
qg
ε'p
'pg
ε'p
'pf
1
δε
δε
plq
0pl'p
0
0
plq
pl'p
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MODELLO SEMPLICEBlocco scorrevole su Comportamento plasticosuperficie con attrito dei materiali
A) Agisce solo Qx
Condizione di scorrimentoCon: µ = coeff. di attrito
P = peso proprio
B) Agiscono Qx e Qy
Condizione di scorrimentoIl corpo si muove nella direzione della risultante
Da A) e B) si ottiene la formula generale:
Analogia
xz P
Qx
P Qx
Qy
x
y
PQQ yx µ=+ 22
PQx µ=
02222 =−+= PQQf yx µ
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Condizione di scorrimento = Superficie di scorrimento nello spazio Qx, Qy, P
3D
Condizioni generalif<0 BLOCCO FERMOf=0 BLOCCO SCIVOLAf>0 NON AMMISSIBILE
Es. agisce solo Qx che provoca scorrimento in ASezione Qy=0
02222 =−+= PQQf yx µ
P
Qy
Qx
sz
xs
P
Qx
QxABO
Psx
ys Qy
0222 =−= PQf x µSezione P=cost
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Teoria della PlasticitTeoria della PlasticitààCorso diCorso diGeotecnica IIGeotecnica IIA.A. 2010A.A. 2010--20112011
Ip: esistono deformazioni elastiche di taglio xe
esistono deformazioni plastiche di scorrimento xs
1) Applico solo Qx ( O A)In A scorrimento in direzione x (Il blocco non si solleva: δz=0)
2) Dopo un certo scorrimento in direz. Xriduco il il carico di taglio: Qx=µP/2senza variare P ( A B)
3) Applico Qy: B Cscorrimento in C quando:
Qx
xxe
P
se xxx δδδ +=
C
QxABO
Psx
ys Qy
sz
xs
P
Qx
23 /PQy µ=
Qx
xxe
P
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N.B.: anche se lo scorrimento è indotto da Qy, esso avviene nella direzione della risultante del carico di taglioPertanto il vettore scorrimento, di componenti δxs :δys, èsempre ortogonale alla sezione circolare della superficie di scorrimento nel piano Qx:Qy
Si ricorda che la deformazione plastica dipende dallo stato dicarico agente e NONNON dal percorso del carico che la innesca
QY
x
C
Relazione carico-spostamento Qx:x
Relazione carico-spostamento Qy:x
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Anche se causato dall’incremento di una sola componente (Qy) la direzione dello scivolamento coincide con la direzione della risultante dei carichi, ovvero è ortogonale alla sezione circolare della superficie di snervamento f
POTENZIALE DI SCIVOLAMENTO
K= costante = ampiezza del cilindro nello spazio P:Qx:Qy
Gli spostamenti che si ottengono sono:
χ: moltiplicatore scalare
N.B. SUPERFICIE DI SCIVOLAMENTO CONOPOTENZIALE DI SCIVOLAMENTO CILINDRO
0222 =−+= KQQg yx
xx
Q2χQgχxδ ⋅=
∂∂
= yy
Q2χQgχyδ ⋅=
∂∂
= 0Pgχzδ =∂∂
=