Elementi della teoria della diffusione

Per ottenere informazioni sulla struttura della materia, dai nuclei ai solidi, si studia la diffusione(scattering) di particelle: elettroni, particelle alfa, protoni, neutroni, fotoni, ecc.. Dallo studio delladiffusione di particelle alfa, emesse da sostanze radioattive, su un bersaglio di oro Rutherford fu ingrado di scartare il modello atomico di Thompson (nucleo costituito da una distribuzione estesa dicarica positiva Ze contenente all’interno Z elettroni puntiformi) e di proporre il cosidetto modelloplanetario dell’atomo in cui la carica positiva e concentrata all’origine e gli elettroni ruotano intorno.

Uno studio rigoroso dovrebbe considerare il pacchetto d’onda, descrivente la particella incidente,di dimensioni finite e grandi rispetto alle dimensione della zona in cui gli effetti del’interazionecon il bersaglio sono rilevanti, ma piccole rispetto alle altre dimensioni spaziale (es. la distanza trabersaglio e rivelatore). Per semplicita studiamo la diffusione considerando gli autostati dell’equazionedi Schrodinger per il potenziale centrale V (r), limitandoci solo a qualche osservazione sulla trat-tazione in termini di pacchetti d’onda. Consideriamo solo la diffusione da potenziale centrale V (r)con la condizione all’infinito

V (r)r→∞ −→ r−1−ε ε > 0 (1)

Inoltre richiediamo che l’eventuale singolarita di V (r) all’origine sia del tipo

V (r)r→0 −→ r−2+ε ε > 0 (2)

Abbiamo gia visto nello studio degli stati legati dell’atomo di idrogeno come un processo di interazionea due corpi, quindi descritto da un potenziale V |~r1 − ~r2| dove ~ri denota la posizione della i − maparticella di massa mi (i = 1, 2) puo essere ricondotto allo studio di una particella di massa ridottam

1

m=

1

m1

+1

m2

(3)

in presenza di un potenziale centrale V (r) con r = |~r1 − ~r2|.

1 Sezione d’urto di diffusione

La sezione d’urto differenziale (denotata con dσ/dΩ ≡ σ(Ω) ≡ σ(θ, φ)) e definita come il numerodi particelle diffuse, per unita di tempo, nell’elemento di angolo solido dΩ = sin θdθdφ nella direzione(θ, φ) diviso per il numero di particelle incidenti, per unita di tempo, (Nin) per cm2

dσ

dΩ=dN(Ω)

NindΩ(4)

dove dN(Ω) indica il numero di particelle diffuse nell’elemento di angolo solido dΩ.La sezione d’urto totale si ottiene integrando la sezione d’urto differenziale su tutto l’angolo

solido

σtot =∫ dσ

dΩdΩ =

∫ π

0

∫ 2π

0σ(θ, φ) sin θdθdφ (5)

La sezione d’urto ha le dimensioni di una superficie e l’unita di misura usata e il barn

1 barn = 10−24 cm2 (6)

1

La sezione d’urto differenziale dipende dal sistema di riferimento in cui si considera il processo didiffusione. Di solito si usano il sistema del laboratorio, σLAB(Ω), in cui la particella bersaglio esupposta inizialmente ferma. ed il sistema del centro massa, σCM(Ω′), in cui la quantita di motototale e nulla. La relazione tra le due sezioni d’urto e data da

σLAB(Ω) = σCM(Ω′)dΩ′

dΩ(7)

dΩ′

dΩ=

[1 + τ cos θ

(1 + 2τ cos θ + τ 2)3/2

]−1

τ =m1

m2

(8)

Si assume che le seguenti condizioni sono soddisfatte:

1. Le particelle del fascio non interagiscono tra di loro (fasci non intensi).

2. Nella definizione della sezione d’urto abbiamo implicitamente fatto l’ipotesi che una particellaincidente sia diffusa da un solo centro diffusore. Questo richiede che la distanza tra i centridiffusori sia maggiore del raggio in cui gli effetti del centro diffusore sulle particelle incidentisono sensibili e che il bersaglio sia sottile, in modo che la diffusione multipla sia trascurabile.

3. Consideriamo urti elastici che implica conservazione dell’energia cinetica della particella in-cidente, quindi la collisione non eccita livelli interni nel bersaglio. Comunque il concetto disezione d’urto non e limitato al coso di urti elastici.

4. La sorgente del fascio incidente ed i rivelatori siano poste a distanza tali che le particelle possonoessere considerate libere al momento dell’emissione e della rivelazione.

5. Le particelle incidenti e le particelle del bersaglio non hanno spin. Questa ipotesi semplifica latrattazione, ma non implica che lo spin non sia importante nei processi di diffusione.

6. Gli effetti di coerenza tra le onde delle differenti particelle diffuse sono trascurabili, quindi nonconsideriamo tutta una classe di fenomeni importanti, quali, per esempio, la diffusione di raggiX da cristalli (diffrazione di Bragg).

2 Onde di diffusione stazionarie

Consideriamo una particella incidente di massa (ridotta) m, energia cinetica E > 0 ed impulso ~p =

h ~k. La sezione d’urto differenziale puo essere calcolata in funzione delle soluzioni ψ~k(~r) dell’equazionestazionaria di Schrodinger

H ψ~k(~r) =

[~p2

2m+ V (r)

]ψ~k(~r) = E ψ~k(~r) (9)

il cui comportamento all’infinito all’infinito e della forma

ψ~k(~r) ∼ ei~k·~r + fk(Ω)

eikr

r(10)

Non cercheremo di dimostrare la forma dell’eq.(10), che chiameremo onda stazionaria di diffu-sione, ma daremo solo degli argomenti di plausibilita per la forma scelta. Per giustificare l’eq.(10),notiamo che:

2

• si ha (4 denota il laplaciano) (r 6= 0)

[4 + k2 ]eikr

r= 0 (11)

Siccome la diffusione e in generale anisotropa moltiplichiamo il termine eikr/r per una funzionedell’angolo fk(Ω) = fk(θ, φ). L’eq.(11) diventa

[4 + k2 ] fk(θ, φ)eikr

r= 0 +O(1/r3) (12)

Ricordiamo che in coordinate sferiche il laplaciano si scrive

4 =1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂ϕ2(13)

• per l’ipotesi fatta sull’andamento del potenziale all’infinito, l’eq.(9), per r molto grande, siscrive

[4 + k2 ] ψ~k(~r) = 0 (14)

Quindi l’espressione scritta nell’eq.(10) soddisfa asintoticamente l’eq.(9).

Nell’eq.(10) appaiono due termini: il primo puo essere interpretato come l’onda piana incidenteed il secondo rappresenta un’onda sferica di densita |fk(Ω)|2/r2 avente origine all’origine. Dalladefinizione generale di corrente di Schrodinger (Im denota la parte immaginaria)

~j =h

i2m(ψ∗ 5 ψ − ψ 5 ψ∗) =

h

mIm(ψ∗ 5 ψ) (15)

la corrente incidente jin e data da, sostituendo nella definizione eq.(15) il primo termine dell’eq.(10),

~jin =h

i2m(Ψ∗0 5Ψ0 − Ψ0 5Ψ∗0)

=h

i2m(e−i

~k·~r 5 ei~k·~r − ei

~k·~r 5 e−i~k·~r)

=h~k

m(16)

dove Ψ0 e la soluzione dell’equazione di Schrodinger libera ed e interpretabile come un fascio diparticelle incidente di impulso h~k e di densita 1.

NOTA - Abbiamo usatoψ0(~r) = ei

~k·~r (17)

ma in effetti Ψ0 andrebbe rappresentata da un pacchetto d’onda normalizzato

Ψ0(~r) =1

(2π)3/2

∫d3k′ ei

~k′·~r a(~k′) (18)

con a(~k′) centrata intorno al valore ~k′ = ~k.

3

La densita di corrente dell’onda diffusa jr nella direzione ~e~r, che si calcola inserendo nelladefinizione eq.(15) il secondo termine dell’eq.(10), e

jr =h

mIm

(f ∗kre−ikr

∂

∂r

fkreikr

)

=hk

m

|fk(Ω)|2

r2(19)

ed e interpretabile come il fascio di particelle diffuse radialmente. In accordo con questa inter-pretazione, esprimendo la sezione d’urto differenziale in termini della densita di corrente diSchrodinger si ha, essendo il numero di particelle incidenti per unita di tempo (flusso incidente)

Nin = jin · e~k (20)

ed il numero di particelle rilevate nell’unita di tempo nella superficie infinitesima dS = r2 dΩ nelladirezione Ω

dN(Ω) = jr r2 dΩ (21)

dσ

dΩ= σ(Ω) = |fk(Ω)|2 (22)

f(Ω) e chiamata ampiezza di diffusione.

Calcolando la corrente della funzione d’onda eq.(10), oltre a i due termini jin e jr, appare un termine

di interferenza tra il 1 (ei~k·~r) ed il 2 termine (fk(Ω) eikr/r). Abbiamo trascurato questo termine

perche nella trattazione con il pacchetto d’onda le espressioni corrispondenti al pacchetto incidenteed al pacchetto diffuso rilevato sono non nulle in regioni spaziali diverse, se consideriamo i rivelatoriposti in una direzione con θ > 0.

Sebbene il secondo termine dell’eq.(10) dipenda anche da (θ, φ), non abbiamo preso in conto lecomponenti della corrente neIle direzioni ~eθ e ~eφ perche sono trascurabili rispetto a jr, nel limiter →∞. Infatti si ha, essendo

(5)θ =1

r

∂

∂θ(5)φ =

1

r sin θ

∂

∂φ(23)

jθ =hk

m

1

r3Im

(f ∗k (θ, φ)

∂

∂θfk(θ, φ)

)

jφ =hk

m

1

r3 sin θIm

(f ∗k (θ, φ)

∂

∂φfk(θ, φ)

)(24)

4

3 Decomposizione in onde parziali

Nel seguito supponiamo che il fascio incidente sia diretto lungo l’asse z, quindi ~k · ~r = kr cos θ.Con questa ipotesi, essendo il potenziale centrale, il problema della diffusione diventa un problema asimmetria cilindrica (lungo l’asse z) e quindi possiamo eliminare la dipendenza dall’angolo φ. Quindil’ampiezza di diffusione dipende solo dall’angolo θ e da k. Nel seguito non scriviamo esplicitamentela dipendenza da k o da ~k in quanto consideriamo processi di diffusione ad energia fissata. Per lacompletezza dei polinomi di Legendre si ha

f(θ) =∞∑l=0

fl Pl(cos θ) (25)

Utilizzando lo sviluppo di un’onda piana in armoniche sferiche, che, per la configurazione scelta, euno sviluppo in termini dei polinomi di Legendre, vedi Appendice A,

ei~k·~r = eikr cos θ = eikz =

∞∑l=0

(2l + 1) il jl(kr) Pl(cos θ) (26)

l’eq.(10) si scrive

ψ(~r) ∼∞∑l=0

((2l + 1) il jl(kr) + fl

eikr

r

)Pl(cos θ) (27)

Inserendo nell’eq.(27) lo sviluppo asintotico delle funzioni di Bessel jl(kr)

jl(kr)kr→∞ ∼sin(kr − lπ/2)

kr=ei(kr−lπ/2) − e−i(kr−lπ/2)

2ikr=

(−i)l eikr − (i)l e−ikr

2ikr(28)

dove abbiamo usatoe±ilπ/2 = (±i)l (29)

si ha

r ψ(~r) ∼∑l

[(−1)l+1 2l + 1

2ike−ikr +

(2l + 1

2ik+ fl

)eikr

]Pl(cos θ) (30)

Con la scelta degli assi fatti, possiamo scrivere ψ(~r) = ψ(r, θ) ed, espandendo in serie di polinomi diLegendre

ψ(r, θ) =∞∑l=0

yl(r)

rPl(cos θ) (31)

dove yl(r) sono le soluzioni che si annullano all’origine (yl(r = 0) = 0) dell’equazione radiale diSchrodinger [

d2

dr2+

(ε− U(r)− l(l + 1)

r2

)]yl(r) = 0 (32)

con

ε =2m

h2 E U(r) =2m

h2 V (r) (33)

Per r →∞ l’eq.(32) si riduce [d2

dr2+ k2

]yl(r) = 0 (34)

5

La soluzione generale dell’eq.(34) e

yl(r) = al sin(kr − βl) (35)

Siccome il comportamento asintotico della soluzione dell’eq.(32) per la particella libera e esprimibilein termini della funzione di Bessel

jl(kr)r→∞ ∼sin(kr − lπ/2)

kr(36)

conviene riscrivere l’eq.(59) nella forma

yl(r) = al sin(kr− lπ/2+δl) = alei(kr−lπ/2+δl) − e−i(kr−lπ/2+δl))

2i= al

(−i)l eikr+iδl − (i)l e−ikr−δl

2i(37)

dove δl, chiamato sfasamento nell’onda di momento angolare l, ha la proprieta:δl → 0 se V (r) = 0.La conoscenza degli sfasamenti permette di calcolare l’ampiezza di diffusione. Infatti, inserendol’eq.(37) nell’eq.(31), dal confronto con l’eq.(30) si deduce

al = (i)l2l + 1

keiδl

fl =2l + 1

keiδl sin δl (38)

L’eq.(38), corrispondente al coefficiente di eikr ell’eq.(30), si deriva utilizzando la prima espressionedell’eq.(38)

2l + 1

2ik+ fl =

(−i)l al eδl)

2i→ fl =

2l + 1

2ik(e2iδl − 1) (39)

Sostituendo l’eq.(38) questa espressione nell’eq.(25) si ottiene

f(θ) =1

k

∞∑l=0

(2l + 1) eiδl sin δl Pl(cos θ) =∞∑l=0

al (−i)l Pl(cos θ) (40)

La sezione d’urto differenziale si trova, vedi eq.(22), calcolando il modulo quadro di f(θ) datadall’eq.(40)

dσ

dΩ=

1

k2

∑l,l′

(2l + 1)(2l′ + 1) eiδl e−iδl′ sin δl sin δl′ Pl(cos θ)Pl′(cos θ) (41)

Integrando sull’angolo solido, usando le relazioni di ortonormalita dei Polinomi di Legendre, eq.(154)per la sezione d’urto totale si ottiene la seguente espressione

σtot =4π

k2

∞∑l=0

(2l + 1) sin2 δl =∞∑l=0

σl (42)

dove

σl =4π

k2(2l + 1) sin2 δl (43)

rappresenta il contributo alla sezione d’urto dell’onda di momento angolare l

sin2 δl ≤ 1 −→ σl ≤4π

k2(2l + 1) (44)

6

Il valore massimo di σl si ha per

δl = (n+1

2)π −→ sin2 δl = 1 (45)

Nell’eq.(42) la sezione d’urto totale e espressa come una somma infinita di sezioni d’urto parzialiσl. In pratica la serie si puo limitare ad una somma su un numero finito di l perche le onde parziali conalti valori di l non contribuiscono alla sezione di diffusione non risentendo degli effetti del potenziale.Questo si deduce dall’andamento nelle vicinanze dell’origine, r = 0, della densita di probabilitaradiale, data r2 per il modulo quadro della parte radiale della funzione di momento angolare l, cioer2 |jl(kr)|2. In effetti il comportamento all’origine della funzione di Bessel e ((n+1)!! = 1.3. . . . (n+1))

jl(ρ)ρ→0 ∼ρl

(2l + 1)!!−→ |r jl(kr)|2r→0 ∼ r2 (kr)2l

(2l + 1)!!2(46)

quindi la probabilita vicino all’origine decresce al crescere di l. Tale effetto e la traduzione quantisticodi un analogo effetto classico. Infatti, se si considera la diffusione classica di una particella di impulsop e parametro d’impatto b (il parametro d’impatto e la distanza minima della particella incidentedal centro diffusore), la particella ha momento angolare l = pb. Al crescere del momento angolare laparticella si trovano ad una distanza ≥ b dal centro diffusore e, quindi, risente di meno o per nientedell’effetto dell’interazione.

Dall’eq.(41) possiamo dedurre l’andamento in θ della sezione d’urto diffrenziale tipico dell’ondaparziale che domina il processo di diffusione. In tal modo si puo ”fittare” la sezione d’urto sperimen-tale in funzione di un numero finito di parametri. Si ha

• Se il processo di diffusione e dominato dal termine con l = 0 (onda S), cioe fl = 0, l 6= 0,

dσ

dΩ=

1

k2sin2 δ0 (47)

quindi la sezione d’urto non dipende da θ, cioe e isotropa,

• Se il processo di diffusione e dominato dal termine con l = 1 (onda P), cioe fl = 0, l 6= 1,

dσ

dΩ=

9

k2sin2 δ1 cos2 θ (48)

quindi la sezione d’urto dipende dal quadrato di θ.

• Se il processo di diffusione e dominato dal termine con l = 0, 1 (onda S e P), cioe fl = 0, l 6= 0.1,

dσ

dΩ=

1

k2(A+B cos θ + C cos2 θ)

A = sin2 δ0 B = 6 sin δ0 sin δ1 cos(δ0 − δ1) C = 9 sin2 δ1 (49)

Se δ1 ∼ 0, sviluppando in serie cos δ1 e sin δ1 a meno di termini in δ21 si ha

dσ

dΩ≈ 1

k2(sin2 δ0 + 3δ1 sin 2δ0 cos θ) (50)

7

4 Rappresentazione integrale degli sfasamenti

Consideriamo l’equazione radiale di Schrodinger per due potenziali diversi V1(r) e V2(r) relativi aparticella di stessa energia [

d2

dr2+

(ε− U1(r)− l(l + 1)

r2

)]y1,l(r) = 0 (51)

[d2

dr2+

(ε− U2(r)− l(l + 1)

r2

)]y2,l(r) = 0 (52)

Moltiplichiamo l’eq.(51) (l’eq.(52)) per y2,l(r) (rispettivamente per y1,l(r)) e sottraendo la secondaequazione dalla prima, si ha, denotando con l’apice la derivata rispetto a r:

d

dr[y2,l(r)y1,l(r)

′ − y2,l(r)′y1,l(r)] = y2,l(r) (U1(r)− U2(r)) y1,l(r) (53)

Integrando il lato sinistro dell’eq.(53)1 tra 0 e ∞ ed usando la condizione yi,l(r = 0) = 0, i = 1, 2,condizione che deve essere soddisfatta in quanto le yi,l(r) sono soluzioni dell’equazione radiale diSchrodinger, e il comportamento asintotico delle funzioni y1,l(r) e y2,l(r), vedi eq.(35), si ottiene∫ ∞

0

d

dr[y2,l(r)y1,l(r)

′ − y2,l(r)′y1,l(r)] dr = y2,l(r)y1,l(r)

′ − y2,l(r)′y1,l(r)]

∞0

= limR→∞ k [sin(kR− l/2π + δ2,l) cos(kR− l/2π + δ1,l)− cos(kR− l/2π + δ2,l) sin(kR− l/2π + δ1,l)]

= limR→∞ k sin(kR− l/2π − kR + l/2π + δ2,l − δ1,l) = k sin (δ2,l − δ1,l) (54)

Integrando il lato destro dell’eq.(53) ed uguagliando all’eq.(54) si ottiene

sin (δ2,l − δ1,l) = −1

k

∫ ∞0

y2,l(r) (U2(r)− U1(r)) y1,l(r) dr (55)

Questa equazione vale qualunque siano i potenziali V1(r) e V2(r), purche soddisfino le condizionieq.(1) ed eq.(2). In particolare se V2(r) = 0, quindi δ2,l = 0 e y2,l(r) = krjl(kr), l’eq.(55) si ottienel’equazione integrale per lo sfasamento

sin δl = −∫ ∞

0jl(kr)U(r)y1,l(r) rdr (56)

Se assumiamo che U2(r)−U1(r) = ∆U(r) sia piccolo (=⇒ δ2,l−δ1,l = ∆δl << 1) e y2,l(r) ≈ y1,l(r) =yl(r), sviluppando sin (δ2,l − δ1,l) in serie, l’eq.(55) diventa

∆δl = −1

k

∫ ∞0

∆U(r)y2l (r) dr (57)

Se ∆U(r) ha lo stesso segno per tutto i valori di r ne segue che la variazione ∆δl ha il segno opposto.Questo ci permette di rimuovere l’ambiguita nella definizione di δl che, come ogni fase, e definita ameno di 2πn. Infatti facendo variare ∆U(r) con continuita da 0 ad un valore U(r) δl varia da 0 adun certo valore δl. Inoltre se U(r) e repulsivo (attrattivo) per ogni valore di r deduciamo che δl e,rispettivamente, negativo e positivo.

1L’espressione in parentesi quadra viene chiamata il Wronskiano di y2,l(r), y1,l(r) ed e, di solito, denotata comeW (y2.l(r), y1,l(r)).

8

5 Diffusione da potenziale a range finito

Studiamo in dettaglio il caso di diffusione da potenziale V (r) a range finito

V (r) 6= 0 r ≤ a V (r) = 0 r > a (58)

In questo caso l’equazione radiale di Schrodinger eq.(32) si scrive[d2

dr2+

(k2 − U(r)− l(l + 1)

r2

)]yl(r) = 0 r ≤ a (59)[

d2

dr2+

(k2 − l(l + 1)

r2

)]yl(r) = 0 r > a (60)

L’eq.(60) ammette come soluzione

yl(kr) = Bl kr jl(kr) + Cl kr nl(kr) (61)

dove jl(kr) e nl(kr) denotano rispettivamente le funzioni di Bessel di primo e secondo tipo (funzionidi Neumann) il cui comportamento asintotico e dato dall’eq.(36) e da

nl(kr)kr→∞ ∼cos(kr − lπ/2)

kr(62)

L’eq.(61) asintoticamente si scrive

yl(kr)kr→∞ ∼ sin(kr − lπ/2 + δl) (63)

dove si e posto al = 1 nell’eq.(35) e Bl = cos δl e Cl = sin δl2. Si noti che il comportamento

asintotico dell’eq.(61) e tipico del comportamento asintotico della soluzione dell’equazione radiale diSchrodinger, vedi eq.(35). L’eq.(56) in questo caso diventa

sin δl = −∫ a

0jl(kr)U(r)yl(r) rdr (64)

Nell”eq.(64) appare la funzione incognita yl(r) soluzione dell’eq.(59). In generale, non siamo in gradodi calcolare la soluzione esatta dell’eq.(59), ma possiamo calcolarne una soluzione approssimata, vedila Sez. 6.

Talvolta e conveniente parametrizzare lo sfasamento in funzione della derivata logaritmica3 dellasoluzione dell’equazione radiale di Schrodinger. Indichiamo con yIl (r) e yIIl (r) rispettivamente lasoluzione dell’eq.(59) e dell’eq.(60). Per la continuita della funzione d’onda e della sua derivata lederivate logaritmiche delle due funzioni, calcolate per r = a, devono essere uguali (per comodita dicalcolo, come si vedra, si e inserito il fattore costante a)

qIl (k) ≡ a yIl (a)′

yIl (a)=a yIIl (a)′

yIIl (a)≡ qIIl (k) (65)

2Il segno di Cl dipende dalla convenzione sul segno della funzione nl(kr).3Per derivata logaritmica della funzione f(x) si denota il rapporto 1

f(x)df(x)dx

9

Esempio - Consideriamo il potenziale

V (r) = −V0 r ≤ a V (r) = 0 r > a (66)

In questo caso il problema e esattamente risolubile perche l’eq.(59) diventa

[d2

dr2+

(k2 − l(l + 1)

r2

)]yl(r) = 0 k =

√2m(E + V0)

h2 =√ε+ U0 (67)

la cui soluzione eyl(r) = Al kr jl(kr) r ≤ a (68)

Facciamo il calcolo in dettaglio per la diffusione in onda S (l = 0). Ricordiamo che

j0(ρ) =sin ρ

ρn0(ρ) =

cos ρ

ρ(69)

Ne segue che (ρ = kr)qI0 = k a cot k a (70)

La soluzione dell’equazione eq.(60) si scrive, usando l’eq.(61) per l = 0, e B0 = a0 cos δ0 e C0 =a0 sin δ0 per l = 0

yIl(r) = a0 sin(kr + δ0) (71)

Quindi si haqII0 = ka cot(ka+ δ0) (72)

Nel caso che stiamo considerando, uguagliando la soluzione e la sua derivata prima nella regioneI e nella regione II per r = a, la soluzione esatta e, a meno della costante arbitraria a0 nondeterminabile non essendo la funzione y(r) normalizzabile,

y(r) = a0k√

k2 + k20 cos2 k a

sin k r r < a

y(r) = a0 sin(kr + δ0) r > a (73)

Uguagliando l’eq.(142) e l’eq.(72) si trova

k a tan(ka+ δ0) = ka tan ka (74)

Quindi

δ0 = arctan

(k

ktan ka

)− ka (75)

Nel limite k −→ 0 =⇒ k =√

2mV0/h2 = k0 e l’eq.(75) diventa

δ0|k→0 ≈ k(

1

k0

tan k0a− a)

(76)

10

Quindi la sezione d’urto differenziale in onda S diventa

σ(0) =1

k2sin2 δ0 ≈

1

k2δ2

0 =(

1

k0

tan k0a− a)2

(77)

Studiamo in piu dettaglio la diffusione a bassa energia. Espandiamo tan ka in serie di Taylor in kconsiderando anche il primo termine in k

tan ka = tan(a√k2 + k2

0) = tan k0a+ak2

k0 cos2 k0a+ . . . (78)

L’eq.(75) diventa, trascurando potenze in k di ordine superiore a k2 nello sviluppo di k,

δ0 ≈ arctan

k

k0

(1− k2

2k20

)[tan k0a+

ak2

k0 cos2 k0a

]− ka (79)

Ricordiamo lo sviluppo in serie di

tanx ≈ x+x3

3+ . . . (80)

arctanx ≈ x− x3

3+ . . . (81)

Se k0a << 1 possiamo sviluppare tan k0a al primo ordine e l’eq.(79) diventa, trascurando i terminidi ordine superiore a k3,

δ0 ≈ arctan

[ka− k3a

2k20

+ak3

k20 cos2 k0a

]− ka (82)

Sviluppando arctan ai primi due ordine e conservando solo i termini di ordine k3 l’eq.(82) diventa

δ0 ≈ k3a

(1

k20 cos2 k0a

− 1

2k20

− a2

3

)(83)

Per studiare la variazione dello sfasamento δ0 in funzione dell’energia della particella incidente, riscriv-iamo l’eq.(75) usando l’eq.(142)

δ0 = arctan

(ka

qI0

)− ka (84)

qI0 , eq.(142), e una funzione decrescente dell’energia e varia molto velocemente intorno ai valorika ≈ nπ. La differenza di energia ∆E tra due asintoti vicini (o tra due zeri vicini)‘e, supponendo k2 << k2

0,

nπ = ak0

√√√√1 +

(k

k0

)2

≈ k0

1 +1

2

(k

k0

)2 (n+ 1)π = ak0

√√√√1 +

(k′

k0

)2

≈ k0

1 +1

2

(k′

k0

)2

π =a

2k0

(k′2 − k2

)=⇒ ∆E ≡ h2

2m

(k′2 − k2

)∼ πV0

k0a(85)

11

Per studiare la variazione di qI0 con l’energia con uno sviluppo in serie, calcoliamo la derivata

dqI0dE

=ma2

h2

(cot ka

ka− 1

sin2 ka

)(86)

Dall’eq.(84) si vede che il massimo valore dello sfasamento si ha per qI0 → 0 −→ ka→ (2n+ 1)π/2.Definiamo l’energia di risonanza Er il valore dell’energia E tale che ka→ (2n+ 1)π/2. Si ha

qI0]E=Er

= 0

dqI0dE

]E=Er

= −ma2

h2 (87)

Facendo uno sviluppo di Taylor di qI0 al primo ordine in E intorno a Er si ha

qI0 ≈ −ma2

h2 (E − Er) (88)

Usando le identita

tan(α + β) =tanα + tan β

1− tanα tan β(89)

ei2δ0 =1 + i tan δ0

1− i tan δ0

−→ i tan δ0 =1 + ei2δ0

ei2δ0 − 1(90)

e la definizione

i tan ka =1 + e−i2ξ

e−i2ξ − 1(91)

l’eq.(74) assume la forma

ei2δ0 = ei2ξqI0 + ika

qI0 − ika−→E∼Er ei2ξ

E − Er − iΓE − Er + iΓ

(92)

dove

Γ = −kh2

ma(93)

In un esempio specifico, abbiamo visto le caratteristiche della diffusione di risonanza ed introdottola parametrizzazione alla Breit-Wigner.

Per particelle quantistiche e potenziali che vanno a zero per r → ∞ come r−n (n > 2) possiamodeterminare un valore di r = a tale che il potenziale puo essere considerato nullo per valori r > a.Infatti se consideriamo una particella descritta da un pacchetto d’onda di indeterminazione ∆rlocalizzata nel punto r, dobbiamo richiedere ∆r << r. Le relazioni di indeterminazione tra ∆r e∆pr sono ∆r∆pr ≥ h/2. L’energia cinetica della particella soddisfa le seguenti disuguaglianze

Ecin ≥∆2pr2m

≥ h2

8m∆2r>>

h2

mr2= E (94)

Se consideriamo un potenziale V (r) = C r−n, esiste un punto a tale che

V (a) = E =⇒ C

an=

h2

ma2−→ a =

(C m

h2

) 1n−2

(95)

12

Per r > a l’energia cinetica della particella e sicuramente molto maggiore dell’energia potenziale(Ecin >> V (r)) e quindi possiamo considerare trascurabile l’effetto del potenziale.

6 Approssimazione di Born per gli sfasamenti

Per potenziali non troppo intensi, possiamo fare uno sviluppo della funzione yl(r) che appare nell’equazioneintegrale eq.(64)

yl(r) ≈ r jl(kr) + O(V ) (96)

in cui il primo termine (ordine zero nel potenziale) e la soluzione per V = 0 ed i termini successividipendono dal potenziale. L’approssimazione di Born consiste nel sostituire nell’eq.(64) la funzioneyl(r) con la sua funzione all’ordine zero, cioe rjl(kr)

sin δl = −2mk

h2

∫ ∞0

V (r) j2l (kr) r

2 dr (97)

L’eq.(120) e un integrale in quanto nel lato destro non appare piu la funzione yl(r) = f(δl).Dall’eq.(120) si deduce che, per potenziali con segno definito per ogni valore di r, lo sfasamentoδl, in approssimazione di Born, e negativo per potenziali repulsivi (V (r) > 0 ∀r) e positivo perpotenziali attrattivi (V (r) < 0 ∀r).

Esempio - Come esempio calcoliamo in approssimazione di Born la sezione d’urto differenziale perl’onda l = 0 (onda S) per il potenziale

V (r) = V0 e−αr, V0 costante (98)

L’eq.(120) si scrive

sin δ0 = −V02mk

h2

∫ ∞0

e−αr j20(kr) r2 dr

= −V02m

h2k

∫ ∞0

e−αr sin2(kr) dr

= −V0m

h2kα

(1− 1

1 + 2(k/α)2

)(99)

Calcolo dell’integrale che appare nel lato destro dell’equazione precedente∫∞0 e−αr sin2(kr) dr = −1/4

∫∞0

[e−αrei2kr + e−αre−i2kr − 2

]dr

= −14

[1

α−2ik+ 1

α+2ik− 2

α

]= 1

2α− 1

2α+8k2/α(100)

Studiamo l’espressione eq.(100) nei limiti di bassa ed alta energia

1

2α− 1

2α + 4k2/αk/α→0

∼ 1

2α

[1−

(1− 2k2

α2

)]=

1

α

2k2

α2(101)

13

1

2α− 1

2α + 4k2/αk/α→∞∼ 1

2α

(1− α2

2k2

)∼ 1

2α(102)

Inserendo l’espressione di δ0 nell’eq.(38) per l = 0 si trova per k >> α

|f0|2 =1

k2sin2 δ0 = V 2

0

(m

h2k2α

)2

(103)

Quindi la sezione d’urto totale, nell’ipotesi che il contributo in onda S sia il solo rilevante alladiffusione, e dall’eqs.(42)-(43)

σtot = σ0 =4π

k2sin2 δ0 =

4π

k4V 2

0

(2m

h2α

)2

(104)

Esempio - Come esempio calcoliamo in approssimazione di Born la sezione d’urto differenziale perl’onda l = 0 (onda S) per la buca di potenziale

V (r) = −V0 r ≤ a V = 0 r > a (105)

L’eq.(120) si scrive

sin δ0 = −V02mk

h2

∫ a

0j2

0(kr) r2 dr

= −V02m

h2k

∫ a

0sin2(kr) dr

= −V02m

h2k

∫ a

0

1

2(1− cos 2kr) dr

= −V02m

h2k

[a

2− sin 2ka

4k

](106)

Studiamo l’espressione eq.(106) nei limiti di bassa energia ka→ 0

sin δ0 ≈ka→0 −V02m

h2k

[a

2− a

2+

(2ka)3

4k3!

]= −V0

2mka3

3h2 (107)

quindi

|f0(θ)| = 1

k| sin δ0| = V0

2ma3

3h2 (108)

7 Teorema Ottico

Prendendo la parte immaginaria (Im) dell’eq.(40) per θ = 0, essendo Pl(cos θ = 1) = 1, si ha

Im f(0) =1

k

∞∑l=0

(2l + 1) sin2 δl =k

4πk σtot (109)

dove abbiamo usato l’eq.(42). Tale espressione e chiamata teorema ottico e collega la sezione d’urtototale elastica alla parte immaginaria dell’ampiezza di diffusione nella direzione (θ = 0). Si noti chein questa relazione la sezione d’urto fisicamente misurabile e collegata alla parte immaginaria dif(θ → 0), anche se nella direzione avanti l’ampiezza di diffusione non e misurabile in quanto in taledirezione troviamo la maggior parte di particelle non diffuse. Il teorema ottico e una conseguenzadella conservazione della densita di probabilita e nella sua dimostrazione dobbiamo prendere in conto,nel calcolo della corrente di densita di probabilita, l’interferenza tra corrente incidente e la correntediffusa, termine che abbiamo trascurato nel calcolo in Sezione 2.

14

8 Equazione integrale per l’ampiezza di diffusione

L’equazione stazionaria di Schrodinger eq.(9) puo essere trasformata in un’equazione integrale conl’uso della funzione di Green e la funzione d’onda di diffusione, cioe il secondo termine dell’eq.(10)soddisfa l’equazione integrale

ψS(~r) = − 2m

4πh2

∫d3r′ V (r′)

eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|ψ(~r′) (110)

dove abbiamo usato l’espressione della funzione di Green ricavata in Appendice B.Ricordiamo che (α ≡ angolo tra ~r e ~r′)

|~r − ~r′| =√r2 + r′2 − rr′ cosα = r

(1 +

r′2

r2− 2r′ cosα

r

)1/2

≈r>>r′ r − ~er · ~r′ (111)

|~r − ~r′|−1 =∞∑l=0

r′l

rl+1Pl(cosα) (r > r′) (112)

Se ~r = r ~n(β, γ) e ~r′ = r′ ~n′(β′, γ′) si ha

cosα = cos β cos β′ + sin β sin β′ cos(γ − γ′) (113)

e, usando il cosidetto teorema di somma delle armoniche sferiche,

Pl(cosα) =4π

2l + 1

l∑m=−l

Ylm(β, γ)Y ∗lm(β′, γ′) (114)

Considerando r >> r′, prendendo il termine l = 0 dell”eq.(112), possiamo sostituire nell’eq.(110)

|~r − ~r′|−1 ≈ r−1 eik|~r−~r′| ≈ eikr e−ikr

′ cos θ (115)

dove θ e l’angolo tra ~r || ~k e ~r′.

ψS(~r) = − 2m

4πh2

eikr

r

∫d3r′ V (r′) e−ikr

′ cos θψ(~r′) (116)

9 Approssimazione di Born per l’ampiezza di diffusione

Nell’approssimazione di Born sostituiamo nell’eq.(116) la funzione d’onda con la funzione d’ondalibera cioe con l’onda piana. Sia

ψS(~r) = − 2m

4πh2

∫d3r′ V (r′)

eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|ei~k0·~r′ (117)

Per calcolare l’eq.(117) consideriamo che r, posizione del rivelatore, e molto piu grande dei valori di r′

che danno un contributo non trascurabile all’integrale (a causa della presenza di V (r′) che all’infinitova a zero rapidamente) quindi possiamo usare l’eq.(115) e troviamo

ψS(~r) ==eikr

r

(− 2m

4πh2

∫d3r′ V (r′) e−ik ~er·

~r′ ei~k0·~r′

)=eikr

rf(θ) (118)

15

dove

f(θ) = − 2m

4πh2

∫d3r′ V (r′) ei(

~k0−~k)·~r′ (119)

con ~k = k~er. Integrando sull’angolo solido l’eq.(119) si ottiene

f(θ) = −2m

h2

1

q

∫ ∞0

V (r) sin qr r dr (120)

~q = ~k0 − ~k |~k0| = |~k| q = 2k sin θ/2 (121)

Si noti che f(θ) calcolata con l’eq.(120) e reale, mentre, per il teorema ottico sappiamo che f(θ) deveessere complessa.

Esempio - Calcoliamo l’ampiezza di diffusione in approssimazione di Born per la buca di potenzialeeq.(66). L’eq.(120) diventa

f(θ) =2m

h2

V0

q

∫ a

0sin qr r dr (122)

Calcolo l’integrale∫ a

0sin qr r dr = − cos qr r

q

]a0

+1

q

∫ a

0cos qr dr = −cos qa a

q+

sin qa

q2(123)

Quindi

f(θ) =2mV0

h2q2

(sin qa

q− a cos qa

)(124)

Per k → 0 si ha

f(θ)k→0 ≈2mV0

h2q2

(a− q2a3

3!− a+ a

q2a2

2!. . . O(q4)

)=

2mV0a3

3h2 (125)

Confrontare l’equazione precedente con l’eq.(108).

Esempio - Calcoliamo l’ampiezza di diffusione in approssimazione di Born per il potenziale

V (r) = Ce−λr

rλ > 0 (126)

L’eq.(120) diventa

f(θ) =2m

h2

C

q

∫ ∞0

e−λr sin qr dr (127)

Calcolo l’integrale

1

2i

∫ ∞0

e−λr(eiqr − e−iqr

)dr =

1

2i

e(−λ+iq)r

−λ+ iq

]∞0

− 1

2i

e−(λ+iq)r

−λ− iq

]∞0

=q

λ2 + q2(128)

Quindi

f(θ) =2mC

h2(λ2 + q2)(129)

Se C = −Z1eZ2e e considero il limite λ −→ 0 troviamo l’ampiezza di diffusione per scatteringcoulombiano

f(θ) = −2mZ1Z2e2

h2q2=⇒ dσ

dω=

1

16

(Z1Z2e

2

E

)21

sin4 θ/2(130)

16

10 Approssimazione di Born per la diffusione da potenziale

elettrostatico

Nel calcolo, in approssimazione di Born, dell’ampiezza di diffusione prodotta da un potenziale gen-erato da una distribuzione di carica conviene usare la seguente identita.Proposizione: Sia V (r) il potenziale elettrostatic generato dalla densita di carica finita ρ(r), cioesoluzione dell’equazione di Poisson

∇2 V (r) = −4πρ(r) (131)

si ha ∫ ∞0

r V (r) sin qr dr = − 1

q2

∫ ∞0

(d2rV (r)

dr2

)sin qr dr (132)

Prova: Per l’eq.(119) l’ampiezza di diffusione per un potenziale elettrostatico, schermato con untermine alla Yukawa, puo essere scritta:

f(θ) = − 2m

4πh2

∫d3r V (r) ei~q·~r −→ − 2m

4πh2

∫d3r V (r) ei~q·~r e−λr ≡ − 2m

4πh2 I (133)

Nell’integrale I introduco le trasformate di Fourier

e−λr =1

(2π)3

∫d3t Fλ(~t) e

−i~t·~r (134)

V (r) =1

(2π)3

∫d3z V (~z) e−i~z·~r (135)

L’integrale I del lato destro dell’eq.(132) diventa

I =∫d3r ei~q·~r

1

(2π)3

∫d3t Fλ(~t) e

−i~t·~r 1

(2π)3

∫d3z V (~z) e−i~z·~r (136)

Inserendo l’eq.(135) nell’eq.(131) si ottiene

∇2 1

(2π)3

∫d3z V (~z) e−i~z·~r = − 1

(2π)3

∫d3z z2 V (~z) e−i~z·~r = −4πρ(r) (137)

Moltiplicando l’equazione precedente per ei~z′·~r ed integrando in d3r si ottiene

− 1

(2π)3

∫d3r

∫d3z z2 V (~z) ei(

~z′−~z)·~r = −∫d3z z2 V (~z) δ(~z′ − ~z) = − z′2 V (~z′)

= −4π∫d3r ρ(r) ei

~z′·~r −→ V (~z) =4π

z2

∫d3r ρ(r) ei~z·~r (138)

Inserendo la precedente espressione nell’eq.(136) si ottiene

I =∫d3r ei~q·~r

1

(2π)3

∫d3t Fλ(~t) e

−i~t·~r 1

(2π)3

∫d3z

4π

z2

∫d3r′ ρ(r′) ei~z·

~r′ e−i~z·~r (139)

Integrando in d3r si ottiene

I =1

(2π)3

∫d3t Fλ(~t)

∫d3z

4π

z2

∫d3r′ ρ(r′) ei~z·

~r′ δ(~q − ~t− ~z) (140)

17

integrando in d3z si ottiene

I =1

(2π)3

∫d3t Fλ(~t)

4π

|~q − ~t|2∫d3r′ ρ(r′) ei(~q−

~t)·~r′ (141)

L’integrale in d3r′ e ben definito qualunque sia il valore di ~q e ~t, quindi posso fare il limite λ→ 0 −→Fλ(~t)→ (2π)3 δ(~t) e otteniamo

I =4π

q2

∫d3r′ ρ(r′) ei~q·

~r′ (142)

Inserendo l’eq.(142) nell’eq.(133), nel limite λ→ 0, si ottiene:

f(θ) = −2m

h2

1

q2

∫d3r ρ(r) ei~q·~r = −2m

h2

4π

q3

∫ρ(r) sin qr r dr (143)

che e l’eq.(132), osservando che, per una distribuzione di carica ρ(r) a simmetria sferica, scrivendo illaplaciano in coordinate sferiche si ha

d2rV (r)

dr2= −4π r ρ(r) (144)

11 Lunghezza di diffusione

Per una larga classe di potenziali, a bassa energia, la diffusione in onda S, l = 0, da il contributodominante alla sezione d’urto che quindi sara isotropa. Definiamo la lunghezza di diffusione(scattering length)4

a = −limk→0δ0(k)

k≈ −limk→0 f0(k) ≈ −limk→0 f(k) (145)

dove abbiamo usato l’eq.(38) e l’eq.(40) e lo sviluppo in serie al primo ordine in δ0 di eiδ0 sin δ0.La scelta del segno − e convenzionale. Possiamo calcolare la lunghezza di diffusione usandol’approssimazione di Born per l’ampiezza eq.(120), e sostituendo sinq→0 qr ≈ qr, otteniamo

a ≈ 2m

h2

∫ ∞0

V (r) r2 dr =m

2πh2

∫d3r V (r) (146)

A bassa energia la sezione d’urto totale elastica e determinata dalla lunghezza di diffusione

σTot k→0 ≈ 4πa2 (147)

12 Diffusione di particelle identiche

Se consideriamo un processo di diffusione di due particelle non identiche nel sistema del centro dimassa (CM) ed i rivelatori non sono in grado di distinguere le particelle la probabilita che un rivelatoreposto nella direzione θ riveli una particella nell’unita di tempo e dato da I(θ) = |f(θ)|2 + |f(π− θ)|2.

4In alcuni testi la lunghezza di diffusione e definita come a = −limk→0tan δ0(k)

k o a = −limk→0sin δ0(k)

k . Questadefinizioni sono equivalenti tra di loro ed equivalente a quella data sopra per δ0 << 1.

18

Se le particelle sono identiche la funzione d’onda del sistema deve essere simmetrica per particelle dispin intero (bosoni) o anti-simmetrica per particelle di spin semi-intero (fermioni).Nel CM la funzioned’onda Ψ per la diffusione di due particelle di spin S si scrive, asintoticamente

Ψ =

ei~k·~r ± e−i~k·~r +

eik

r[f(θ)± f(π − θ)]

· χspin (148)

dove il segno ± nella prima espressione dve essere scelto in modo che tenendo conto della simmetriadella funzione di spin χspin la funzione d’onda Ψ abbia la corretta proprieta di simmetria. La sezioned’urto differenziale sara data da

σ(θ) = |f(θ)± f(π − θ)]|2 (149)

Lo spin totale St del sistema e compreso tra 0 e 2S. Dalla composizione dei momenti angolarisappiamo che gli stati di St = 2S, 2S − 2, 2S − 4, . . . sono simmetrici mentre gli stati con St =2S − 1, 2S − 3, 2S − 5, . . . sono anti-simmetrici. Si ha La somma degli stati da il corretto numero distati totale (2S + 1)2. Per bosoni quando χspin e simmetrica (anti-simmetrica) la prima espressionenell’eq.(148) deve essere simmetrica (rispettivamente anti-simmetrica), mentre per i fermioni avvieneil contrario. Se quindi consideriamo la rivelazione di particelle bosoniche non polarizzate dobbiamosommare l’espressione data dall”eq.(149) con il segno ”+” moltiplicata per la frazione di stati diχspin simmetrici e con il segno ”-” per la frazione di stati di χspin anti-simmetrici ed il contrario perparticelle fermioniche

I(θ) =S + 1

2S + 1|f(θ) + f(π − θ)]|2 +

S

2S + 1|f(θ)− f(π − θ)]|2

= |f(θ)|2 + |f(π − θ)]|2 +2

2S + 1Re[f(θ)f ∗(π − θ)] Bosoni (150)

I(θ) =S + 1

2S + 1|f(θ)− f(π − θ)]|2 +

S

2S + 1|f(θ) + f(π − θ)]|2

= |f(θ)|2 + |f(π − θ)]|2 − 2

2S + 1Re[f(θ)f ∗(π − θ)] Fermioni (151)

19

A Sviluppo di onde piana

Ricaviamo l’eq.(26). L’equazione libera di Schrodinger in 3 dimensioni ammette come autofunzioni(non normalizzabili) corrispondenti all’energia E = (hk)2/2m, scrivendo il laplaciano in coordinate

cartesiane, le onde piane ei~k·~r o, scrivendo il laplaciano in coordinate sferiche, il prodotto delle

funzioni di Bessel di primo tipo per le armoniche sferiche jl(kr)Ylm(θ, ϕ). Di conseguenza, perla completezza delle autofunzioni, e possibile espandere le onde piane in termini delle soluzioni inccordinate sferiche

ei~k·~r =

∑lm

clm jl(kr)Ylm(θ, ϕ) (152)

Nel caso in cui ~k e diretto lungo l’asse z si ha ~k · ~r = kr cos θ , non c’ e dipendenza dall’angolo ϕ el’eq.(152) diventa

ei~k·~r = eikr cos θ =

∑l

cl jl(kr)Yl0(θ) =∑l

cl

√2l + 1

4πjl(kr)Pl(cos θ) (153)

Determiniamo i coefficienti numerici cl. Moltiplicando l’eq.(153) a sinistra per Pl′(cos θ) ed inte-grando su cos θ, utilizzando la ortogonalita dei polinomi di Legendre∫ +1

−1Pl(cos θ)Pl′(cos θ) d cos θ =

2

2l + 1δll′ (154)

si ottiene

cl

√1

π(2l + 1)jl(kr) =

∫ +1

−1Pl(cos θ) eikr cos θ d cos θ (155)

Il coefficiente numerico cl non dipende da r, quindi per calcolarlo possiamo considerare il limiter −→ 0 e prendere il termine dominante nello sviluppo asintotico. Ricordiamo che

1.

jl(kr)kr→0 ≈(kr)l

(2l + 1)!!=

(kr)l

(2l + 1)!2ll! (156)

dove abbiamo usato l’identita

(2l + 1)! = (2l + 1)!!(2l)!! = (2l + 1)!! l! 2l (157)

2.(cos θ)k =

∑l≤k

Al Pl(cos θ) (158)

Usando l’espressione dei polinomi di Legendre

Pl(cos θ) =(−1)l

2ll!

dl sin2l θ

d cos θl=

(−1)l

2ll!

dl (1− cos2 θ)l

d cos θl(159)

si ricava facilmente il coefficiente della potenza piu alta in cos θ

Pl(cos θ) =(−1)l

2ll!

(−1)l2l!

l!cosl θ + · · ·

(si ricordi

dl x2l

dxl=

2l!

l!

)(160)

quindi

Ak = 2kk!k!

2k!(161)

20

Sviluppando l’esponenziale del lato destro del’eq.(155) in serie di potenze, usando l’eq.(158) e losviluppo asintotico eq.(156) si ha

cl

√1

π(2l + 1)

(kr)l

(2l + 1)!2ll! =

∞∑n=0

∫ +1

−1Pl(cos θ)

(ikr cos θ)n

n!d cos θ

(162)

=∞∑n=0

∑m≤n

∫ +1

−1Pl(cos θ)

(ikr)n

n!Am Pm(cos θ) d cos θ (163)

Per l’ortogonalita dei polinomi di Legendre solo il termine con m = n = l contribuisce al lato destrodell’eq.(163) e, usando l’eq.(154) e l’eq.(161) si ha

cl

√1

π(2l + 1)

(kr)l

(2l + 1)!2ll! =

(ikr)l

l!2ll!

l!

2l!

2

2l + 1=⇒ cl = (i)l

√4π(2l + 1) (164)

e sostituendo nell’eq.(153) si ottiene l’l’eq.(26).

B Funzione di Green per l’equazione di Schrodinger

Si consideri l’equazione differenziale inomogena per la funzione ψ(x), D operatore differenziale,

Dψ(x) = Φ(x) (165)

La funzione di Green G(x, x′) associata a D e definita dall’equazione

DG(x, x′) = δ(x− x′) (166)

Utilizzando la funzione di Green G(x, x′) si puo trovare la soluzione generale dell’eq.(165) perqualunque termine inomogeneo Φ(x)

ψ(x) = ψ0(x) +∫dx′G(x, x′) Φ(x′) (167)

dove ψ0(x) e la soluzione dell’equazione differenzile omogenea

Dψ(x) = Φ(x) (168)

che soddisfa le condizioni iniziali.Nei processi di diffusione dobbiamo risolvere l’equazione di Schrodinger, vedi eq.(9)

[4 + k2 ] ψ(~r) = U(r)ψ(~r) (169)

Cerchiamo la la funzione di Green G(~r − ~r′) dell’operatore differenziale [4 + k2 ], dove abbiamousato l’invarianza per traslazione nello scrivere l’argomento di G. Per definizione dobbiamo risolverel’equazione

[4 + k2 ] G(~r − ~r′) = δ(~r − ~r′) (170)

21

Scriviamo la funzione G come trasformata di Fourier

G(~r − ~r′) =1

(2π)3

∫d3q ei~q·(~r−

~r′) G(~q) (171)

Sostituendo l’eq.(171) nell’eq.(170) otteniamo

1

(2π)3

∫d3q (−q2 + k2) ei~q·(~r−

~r′) G(~q) = δ(~r − ~r′) (172)

Moltiplicando l’eq.(172) per ei~q′·~r′ ed integrando in d3r′, utilizzando la rappresentazione integrale

della funzione di Dirac1

(2π)3

∫d3r′ ei(

~q′−~q)·~r′ = δ(~q′ − ~q) (173)

l’eq.(172) diventa∫d3q′ (−q′2 +k2) ei

~q′·~r δ(~q′−~q)G(~q′) = ei~q·~r (−q2 +k2)G(~q) = ei~q·~r =⇒ G(~q) = (−q2 +k2)−1 (174)

Per calcolare esplicitamente G(~r − ~r′) inseriamo l’eq.(174) nell’eq.(171) e effettuiamo l’integrazionesu dΩ

G(~r − ~r′) =1

(2π)3

∫ ∞0

q2dq∫ π

0sin θdθ

∫ 2π

0dϕ ei~q·(~r−

~r′) 1

−q2 + k2

=1

(2π)2

∫ ∞0

q2dq∫ π

0sin θdθ eiq|~r−

~r′| cos θ 1

−q2 + k2

=1

(2π)2

∫ ∞0

qdqeiq|~r−

~r′| − e−iq|~r−~r′)|

i|~r − ~r′|1

−q2 + k2

=1

(2π)2

∫ ∞−∞

qdqeiq|~r−

~r′)|

i|~r − ~r′|1

−q2 + k2(175)

L’integrale eq.(175) non e definito in quanto il denominatore dell’integrando si annulla per q = ±k.Per evitare le singolarita introduciamo un parametro reale ε e sostituiamo

1

−q2 + k2−→ 1

−q2 + k2 ± iε2(176)

Secondo la scelta del segno i poli si troveranno nei punti q = ±(k± iε). Possiamo usare l’arbitrarietadella scelta del segno di ε per fare in modo che la funzione di Green riproduca le condizioni iniziali.Una volta effettuato il calcolo mandiamo ε a zero. Introdotto il fattore ε possiamo calcolare l’integraleeq.(175) estendendo la variabile q dall’asse reale al piano complesso e chiudendo l’integrale con unsemicerchio nel semipiano superiore o nel semipiano inferiore. Questo procedimento e equivalente adeformare il percorso di integrazione sull’asse reale in due modi diversi: lungo il cammino Γ+ (Γ−)che include la singolarita nel punto q = +k (q = −k) ed esclude la singolarita a q = −k (q = +k)e chiudendo l’integrale con un semicerchio nel semipiano superiore (inferiore, scrivendo nell’eq.(175)l’esponenziale con −q). In questo modo si ottengono due funzioni di Green, G±(~r − ~r′), denotaterispettivamente funzione di Green ritardata ed avanzata. Noi consideriamo solo la funzione di Green

22

G+ e nel seguito ometteremo il pedice +. Applicando il teorema dei residui, annullandosi il contributoall’integrale del semicerchio nel piano superiore per |q| → ∞, si ha

G(~r − ~r′) =1

(2π)2

∫Γ+

q dqeiq|~r−

~r′|

i|~r − ~r′|1

(−q + k)(q + k)= − 1

i(2π)2|~r − ~r′|2πi q→k

[q(q + k)−1 eiq|~r−

~r′|]

= − 1

4π

1

|~r − ~r′|eik|~r−

~r′| (177)

La funzione di Green si puo scrivere (H0 ≡ hamiltoniana libera di Schrodinger)

G(~r − ~r′) =h2

2m< ~r | 1

E −H0

| ~r′ > (178)

In effetti si ha

G(~r − ~r′) =h2

2m

1

(2π)3

∫d3p

1

(2π)3

∫d3p′ < ~r|~p >< ~p | 1

E −H0

| ~p′ >< ~p′|~r′ >

=h2

2m

1

(2π)3

∫d3p

1

(2π)3

∫d3p′ < ~r|~p > 1

E − E ′0< ~p|~p′ >< ~p′|~r′ >

=1

(2π)3

∫d3p

1

(2π)3

∫d3p′ ei~p·~r

1

k2 − p′2(2π)3 δ(~p− ~p′)e−i~p′·~r′ (179)

Integrando in d3p′ otteniamo, tenendo conto dell’eq.(174), l’eq.(171).

C Normalizzazione di ket posizione e momento

Normalizzando i ket posizione nel modo seguente

< ~x|~x′ >= δ(~x− ~x′) (180)

e definendo< ~x~p > = ei~p·~x (181)

si ha

1 =∫d3x |~x >< ~x| −→ 1 =

1

(2π)3

∫d3p |~p >< ~p| (182)

In effetti

< ~x|~x′ >= δ(~x− ~x′) =∫d3p < ~x|~p >< ~p|~x′ >=

1

(2π)3

∫d3p ei~p·(~x−

~x′) (183)

e analogamente

< ~p|~p′ >=∫d3x < ~p|~x >< ~x|~p′ >=

∫d3x ei~x·(~p−

~p′) = (2π)3 δ(~p− ~p′) (184)

23

D Equazione di Schrodinger in potenziale centrale

Studiamo l’equazione di Schrodinger per un potenziale centrale V (~r) = V (r)

H =~p 2

2m+ V (r) = − h2

2m4 +V (r) (185)

Si verifica facilmente che la hamiltoniana commuta con il momento angolare ~l

[~l, H] = 0 (186)

cioe la hamiltoniana e a simmetria sferica. Infatti si la

[li, r2] =

3∑j=1

[li, r2j ] =

3∑j=1

([li, rj] rj + rj [li, rj])

= ihεijk(rk rj + rj rk) = 0 (187)

in quanto l’espressione in parentesi e simmetrica in j e k mentre il tensore di Levi-Civita e antisim-metrico. In maniera analoga si dimostra [li, p

2] = 0. Quindi esiste una base di autostati comune a

H, ~l 2 e lz = l3. Dalla definizione dell’operatore momento angolare (h = 1)

~l = ~r ∧ ~p =⇒ ~l 2 = ~r 2 ~p 2 − (~r · ~p) 2 + ih~r · ~p (188)

Nella precedente equazione abbiamo tenuto conto della non commutativita degli operatori ~r e ~p, li elj. Il calcolo esplicito e (in seguito useremo la convenzione che gli indici ripetuti vanno sommati da1 a 3)

~l 2 =3∑i

l 2i = εijk rjpk εimn rmpn

= rjpkrjpk − rjpkrkpj

= ~r 2~p 2 − ih(~r · ~p) − rjrkpkpj + 3ihrjpj

= ~r 2~p 2 − ih(~r · ~p) − rjpjrkpk − ihrjpj + 3ihrjpj (189)

Dove abbiamo usato:εijkεimn = δjmδkn − δjnδkm (190)

rjpj = pjrj + 3ih (191)

rkpkpj = pjrkpk + ihδjkpk (192)

Dall’eq.(188) dividendo per r2 ed usando

~r · ~p = −ih~r · ~5 = −ihr ∂∂r

(193)

si trova

~p 2 =~l 2

r2− h2 1

r2

(r ∂∂r

)2

+ r∂

∂r

(194)

24

Il lato destro dell’eq.(194) e, a parte il fattore moltiplicativo −h2, il laplaciano in coordinate sferiche.Il secondo termine dell’eq.(194) si puo scrivere:

1

r

∂

∂rr∂

∂r+

1

r

∂

∂r=

∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r=

(1

r

∂

∂rr

)2

=1

r

∂

∂r

∂

∂rr (195)

Definiamo il momento radiale pr

pr = −ih 1

r

∂

∂rr = −ih

(∂

∂r+

1

r

)(196)

che soddisfa[r, pr] = ih (197)

Dimostriamo che la forma dell’operatore momento radiale pr e quella che ci aspetta applicandole relazioni di quantizzazione al momento radiale classico, che e definito come la proiezione sulladirezione ~r del momento classico

pr = ~p · ~er = ~p · ~rr

(198)

Per quantizzare pr dobbiamo riscrivere l’eq.(198) in forma simmetrica e quindi sostotuire alle variabileclassiche gli operatori corrsipondenti

pr =1

2

(~p · ~r

r+~r

r· ~p)

(199)

Dimostriamo che la relazione di commutazione dell’operatore eq.(199) con la variabile r soddisfal’eq.(197) e quindi pr e l’operatore momento coniugato a r:

[r, pr] =1

2

r~p · ~r1

r+ ~r · ~p− ~p · ~r − 1

r~r · ~pr

=

1

2

3ih+ r~p · ~r1

r− 1

r~p · ~rr − 3ih

=

1

2r

r2 ~p · ~r 1

r2− ~p · ~r

r

= − 1

2r

~p · ~r −

(2ihr2 + ~p · ~rr2

) 1

r2

r = ih (200)

Nell’eq.(200), il secondo rigo e stato ricavata dal primo usando l’eq.(191) e l’ultimo rigo usandol’identita

r2i pj = ih δij 2ri + pjr

2i (201)

Una dimostrazione alternativa dell’eq.(200) e la seguente

[r, pr] =1

2r~p · ~er − ~p · ~err + r~er · ~p− ~er · ~pr

=1

2r(~p · ~er) + r~er · ~p− (~p · ~er)r − ~er · (~pr)− ~err · ~p+ r~er · ~p− ~er · (~pr)− ~err · ~p

=1

2−2~er · (~pr)

=

ih∑j

xjr

(∂

∂xjr)

= ih∑j

xjr

xjr

= ih (202)

25

Mostriamo adesso che l’eq.(199) e equivalente all’eq.(196).

1

2

(pjxjr

+xjrpj

)= −ih 1

2

(∂

∂xj

(xjr

)+xjr

∂

∂xj

)(203)

Sommando su j si ha1

2

(3

r− 1

r+ 2

~r

r· ~5

)=

(∂

∂r+

1

r

)(204)

L’operatore pr e hermitiano se rψ(r)r→0 −→ 0. Infatti si ha∫ ∞0

ψ∗(r)

[−i(∂

∂r+

1

r

)ψ(r)

]r2dr

= ψ∗(r)ψ(r)r2|∞0 +∫ ∞

0

[−i(∂

∂r

)ψ(r)

]∗ψ(r) r2dr + i

∫ ∞0

ψ∗(r)ψ(r) rdr

=∫ ∞

0

[−i(∂

∂r+

1

r

)ψ(r)

]∗ψ(r) r2dr (205)

Dove abbiamo usato le condizioni rψ(r)r→0 −→ 0 e ψ(r)r→∞ −→ 0 per annullare il primo terminedel lato destro dell’equazione precedente. L’operatore −i ∂

∂rnon e hermitiano. Infatti si ha∫ ∞

0ψ∗(r)

(−i ddrψ(r)

)r2dr

= ψ∗(r)ψ(r)r2|∞0 +∫ ∞

0

(−i ddrψ(r)

)∗ψ(r) r2dr + i2

∫ ∞0

ψ∗(r)ψ(r) rdr

=∫ ∞

0

(−i ddrψ(r)

)∗ψ(r) r2dr + i2

∫ ∞0

ψ∗(r)ψ(r) rdr (206)

L’eq.(194) puo essere riscritta

~p 2 =~l 2

r2+ p2

r (207)

Sostituendo l’eq.(207) nell’eq.(185) l’equazione di Schrodinger stazionaria si scrive− h2

2m

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r

)+

~l 2

2mr2+ V (r)

ψnlm(r, θ, φ) = Enl ψnlm(r, θ, φ) (208)

dove abbiamo usato la proprieta dell’esistenza di una base comune per gli operatori H, ~l 2 e lz ,conseguenza dell’eq.(186), e abbiamo scritto un indice n discreto perche in seguito siamo interessatiagli stati legati, descritti da uno spettro discreto. Inoltre abbiamo usato l’invarianza eq.(186) perdedure che gli autovalori Enl non possono dipendere da m, degenerazione dei livelli di ordine 2l + 1.Infatti si ha

Hl± ψnlm = h√l(l + 1)−m(m± 1)H ψnl,m±1

= h√l(l + 1)−m(m± 1)Enl,m±1 ψnl,m±1 = l±Hψnlm

= Enl,m l± ψnl,m = Enl,m h√l(l + 1)−m(m± 1)ψnl,m±1

=⇒ Enl,m = Enl,m±1 = Enl (209)

26

La soluzione ψnlm deve soddisfare la condizione di essere a quadrato integrabile∫|ψnlm(r.θ, ϕ)|2 r2dr dΩ < ∞ (210)

Per risolvere l’eq.(208) procediamo per separazione di variabile e, esplicitando le autofunzioni di ~l 2,scriviamo

ψnlm(r, θ, φ) = χnl(r)Ylm(θ, φ) (211)

L’eq.(208) diventa quindi un’equazione differenziale nella variabile r, detta equazione di Schrodingerradiale: [

− h2

2m

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r

)+l(l + 1)

2mr2+ V (r)

]χnl(r) = Enl χnl(r) (212)

Introducendo la funzioneunl(r) = r χnl(r) (213)

ed facendo uso della normalizzazione delle armoniche sferiche l’eq.(210) diventa∫ ∞0|unl(r)|2 dr < ∞ (214)

L’eq.(212) per la funzione unl(r) diventa[− h2

2m

d2

dr2+h2l(l + 1)

2mr2+ V (r)

]unl(r) = Enl unl(r) (215)

Quindi l’equazione di Schrodinger in tre dimensioni con un potenziale centrale e stata ridotta adun’equazione in una solo variabile con un potenziale effettivo dato da

Veff (r) = V (r) +h2l(l + 1)

2mr2(216)

Il secondo termine viene usualmente chiamato il termine di potenziale centrifugo o di barriera cen-trifuga perche e diverso da zero per l 6= 0 e cresce con il crescere di l, quindi con l’aumentare del valoredel momento angolare. La differenza tra l’eq.(215) e l’equazione di Schrodinger in una dimensionesta nella normalizzaione. In una dimensione richiediamo∫

dx|ψ(x)|2 <∞ (217)

in tre dimensioni ∫dV |ψ(r)|2 =

∫r2 dr

|u(r)|2

r2<∞ (218)

Ne segue che, per gli stati legati, si ha

limr→∞

|u(r)| ≤ M

r1/2+εM = cost ε > 0 (219)

Inoltre dobbiamo richiedere che, per V (r) 6= δ(~r) , u(r)r→0 −→ 0. In effetti si ha all’origine

4ψ = 4 u(r)

r= δ(~r)u(r → 0) (220)

27

L’eq.(215) e esattamente risolubile in pochi casi, tra cui l’oscillatore armonico tridimensionale e ilpotenziale coulombiano che sono di fondamentale importanza in fisica. Possiamo fare delle osser-vazioni generali sul tipo di soluzioni dell’eq.(215), studiandone i limiti r → 0 e r →∞ . Nel limiter → ∞ il termine centrifugo l(l + 1)/r2 → 0 e puo essere trascurato. Se rV (r)r→∞ → 0, possiamotrascurare anche il termine di potenziale e l’eq.(215) diventa

− h2

2m

d2

dr2unl(r) = Enl unl(r) (221)

Le cui soluzioni sono

• E > 0 - La soluzione e una funzione esponenziale immaginaria, con comportamento oscillatorioall’infinito, non a quadrato integrabile. Lo spetto di energia e continuo.

• E < 0 - La soluzione accettabile e una funzione esponenziale reale

unl(r)r→∞ −→ e−kr k =

√2m|E|h

(222)

In questo caso si dimostra che lo spettro e discreto.

Nel limite r → 0 , se rV (r)r→0 → cost., possiamo trascurare il termine di potenziale ed il termine in1/r rispetto al termine centrifugo e l’eq.(215) si scrive[

− d2

dr2+l(l + 1)

r2

]unl(r) = 0 (223)

ed ammette due soluzioniunl(r) ∝ rl+1 unl(r) ∝ r−l (224)

La seconda soluzione non e accettabile perche la funzione unl(r) all’origine puo al piu andare comeuna costante. Nel caso di E < 0 la funzione unl(r), si annulla all’origine ed all’infinito, quindi deveammettere almeno un punto di massimo, essendo unl(r) continua con derivata prima continua (sisusspone che V (r) abbia al piu discontinuita finite). In conclusione la forma della funzione unl(r),per E < 0, e del tipo

unl(r) = rl+1 e−kr f(r) (225)

dove la funzione f(I) e determinata dalla natura dettagliata del potenziale V (r).Introducendo la funzione

fl(ρ) =ul(ρ)

ρ(226)

L’eq.(212) assume la forma [d2

dρ2+

2

ρ

d

dρ+

(1 − l(l + 1)

ρ2

)]fl(ρ) = 0 (227)

L’eq(227) e nota nella letteratura matematica come equazione di Bessel (vedi Messiah - Vol. 1 -App. B). La soluzione generale dell’eq(227) si esprime come combinazione lineare di due soluzioniparticolari:

28

1. jl(ρ), detta funzione di Bessel di prima specie

2. nl(ρ), detta funzione di Bessel di seconda specie o funzione di Neumann.

Esplicitamente si ha per le funzioni di Bessel di ordine 0 5

j0(ρ) =sin(ρ)

ρn0(ρ) =

cos(ρ)

ρ(228)

Le espressioni esplicite delle funzioni di ordine successive si calcolano dalle formule 6

jl(ρ) = (−ρ)l(

1

ρ

d

dρ

)lj0(ρ) nl(ρ) = (−ρ)l

(1

ρ

d

dρ

)ln0(ρ) (229)

Ci interessano i comportamenti di queste funzioni all’origine ed all’infinito:

jl(ρ)ρ→0 ∼ρl

(2l + 1)!!nl(ρ)ρ→0 ∼ ρ−l−1 (2l + 1)!!

(2l + 1)(230)

jl(ρ)ρ→∞ ∼sin(ρ− lπ/2)

ρnl(ρ)ρ→∞ ∼

cos(ρ− lπ/2)

ρ(231)

Sono utili le funzioni di Hankel che sono combinazioni lineari delle funzioni di Bessel 7

h(±)(ρ) = nl(ρ)± ijl(ρ) (232)

h(±)(ρ)ρ→∞ ∼1

ρe±i(ρ−lπ/2) (233)

La richiesta di un comportamento regolare della funzione d’onda all’origine, ul(0) = 0 =⇒ fl(0) finita,ci va scartare le funzioni nl come soluzioni accettabili. Quindi si ha

fl(ρ) = Al jl(ρ) Al = cost. (234)

e la soluzione dell’eq.(208) eψ(k)lm(r, θ, φ) = Al jl(kr)Ylm(θ, φ) (235)

E Buca di potenziale sferica

Nel seguito, assumendo che il potenziale V (r) assume un valore costante in una regione limitata,studiamo varie situazioni.

5In alcuni testi la funzione di Bessel di secondo tipo n0(ρ) e definita con un segno negativo.6Il fattore (−1)l e convenzionale.7In alcuni testi il fattore moltiplicativo i e posto dinanzi la funzione nl.

29

1. Consideriamo il caso di una particella confinata in una sfera, cioe il potenziale costante datoda

V (r) =

∞ r > a0 r < a

Studiamo gli autovalori e le autofunzioni dell’hamiltoniana eq.(208) per valori dell’energia E >0.

L’eq.(208) diventa l’equazione di Schrodinger in coordinate polari per una particella libera conle condizioni al contorno:

ψ(r ≥ a, θ, φ) = 0 (236)

Definiamok =√

2mE ρ = kr (237)

Quindi la soluzione dell’eq.(208) e (per r < a)

ψ(k)lm(r, θ, φ) = Al jl(kr)Ylm(θ, φ) (238)

dove i valori di k sono tali da soddisfare l’eq.(236) che implica

jl(ka) = 0 (239)

Siccome la funzione di Bessel per ogni valore di l ha un numero infinito di zeri, per ogni valoredi l esistono un numero infinito (numerabile) di valori di k e quindi dell’energia che soddisfanol’eq.(239). Discutiamo piu in dettaglio il caso l = 0 usando la funzione di Bessel di ordine 0data dall’ eq.(228). Quindi l’eq.(239) ha soluzione per

kn =nπ

an ∈ Z+ =⇒ En =

(nπ)2

2ma2(240)

La costante di normalizzazione A0 si calcola da∫r2 dr dΩ |ψn00(r, θ;φ)|2 =

∫ a

0dr |A0|2

(sin(knr))2

k2n

= 1 (241)

dove abbiamo usato l’ortonormalizzazione delle armoniche sferiche, in particolare Y00 = 1√4π

.Effettuando l’integrale si trova, scegliendo la fase in modo che A0 sia reale

A0 =

√2nπ

a(242)

2. Studiamo gli stati legati prodotti da una buca sferica

V (r) =

0 r > a−V0 r < a

Dobbiamo risolvere l’eq(208) per valori dell’energia −V0 < E < 0 Definiamo:

κ =√

2m|E| k0 =√

2mV0 k =√

2m(V0 − |E|) (243)

30

L’equazione radiale di Schrodinger, eq.(215) , assume la forma:

a > r

[d2

dr2− l(l + 1)

2mr2+ k2

]ul(r) = 0 (244)

r > a

[d2

dr2− l(l + 1)

2mr2− κ2

]ul(r) = 0 (245)

Trasformando l’equazione radiale in equazione di Bessel come nel caso precedente, si trova chele soluzioni dell’eq.(244) e dell’eq.(245), che sono rispettivamente regolari nell’origine e vannoa zero all’infinito, sono:

ul(r) = Al kr jl(kr) a > r ul(r) = Bl , kr h(1)l (iκr) r > a (246)

dove h(1)l e la funzione di Hankel di primo tipo (vedi Messiah, Vol. I - App. B)

h(1)l (z) = nl(z) + i jl(z) (247)

Le costanti Al e Bl sono determinate dalle condizioni di continuita della funzione d’onda edella sua derivata (o dalla continuita della derivata logaritmica) al punto r = a e dalla nor-malizzazione. Studiamo il caso l = 0. Le derivate logaritmiche della funzione sul punto r = adall’interno e dall’esterno sono rispettivamente (denotiamo con f ′(a) la derivata della funzionef(r) rispetto alla variabile r calcolata nel punto r = a)

j′0(ka)

j0(ka)= k cot ka − 1

a(248)

h(1)0 (iκa)

h(1)0 (iκa)

= −1 + κa

a(249)

dove abbiamo usato l’eq.(228) e

h(1)0 (iκr) = n0(z) + i j0(z)

=cos(iκr)

iκr+ i

sin(iκr)

iκr=e−κr

iκr(250)

Uguagliando le due espressioni si ottiene l’equazione trascendente

cot ka = −κk−→ κ = − k

tan ka(251)

la cui soluzione grafica o numerica determina i valori dell’energia degli stati legati con l = 0(onda s). La costante di normalizzazione si determina dall’integrale∫ a

r2 dr|A0|2 (j0(kr))2 +∫ ∞

0r2 dr|B0|2 |h(1)

0 (iκr)|2 = 1 (252)

usandoA0 j0(ka) = B0 h

(1)0 (iκa) (253)

31

dove i valori di k e κ soddisfano l’eq.(251) Esiste una formula che determina il numero di statilegati in onda s. Da questa formula, che non calcoliamo qui, si deduce che, contrariamenteal caso unidimensionale in cui esiste sempre almeno uno stato legato, in 3 dimensioni esistonocasi in cui non ci sono stati legati. Possiamo renderci conto di questo fatto da uno studiodell’eq.(251). Dall’eq.(243) si ha

k = (2mV0 − κ2)1/2 −→ κ2 + k2 = 2mV0 (254)

Nel piano k (ascissa), κ (ordinata) l’eq.(254) rappresenta il primo quadrante di una circon-ferenza (k, κ ≥ 0). L’eq.(251) ammette soluzione se la curva − k

tan ka, che ha un numero

infinito di discontinuita nei punti ka = nπ, ha uno o piu punti di intersezione con il quad-rante della circonferenza, per ka ≥ π/2, modulo π. La circonferenza interseca l’asse k delleascisse nel punto k =

√2mV0 (per κ = 0). La curva k

tan kainterseca l’asse delle ascisse per

tan ka =∞ → ka = π/2 (scegliendo il valore piu piccolo di k). Quindi se

V0 <1

2m

(π

2a

)2

(255)

la curva ktan ka

interseca l’asse delle ascisse in un punto k > 2mV0 e quindi l’eq.(251) non hasoluzione e non ci sono stati legati in onda s.

ReferenzeA. Messiah - Quantum Mechanics - Vol.IJ. Sakurai - Modern Quantum MechanicsK. Gottfried - Quantum Mechanics - Vol.I: Fundamentals

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