TEORA DE JUEGOS

La teora de juegos es un rea de la matemtica aplicada que utiliza modelos para estudiar

interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y llevar a cabo

procesos de decisin. Sus investigadores estudian las estrategias ptimas as como el

comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interaccin

aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo

tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.1

Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el comportamiento de

la economa, la teora de juegos se usa actualmente en muchos campos, como en la

biologa, sociologa, psicologa y filosofa. Experiment un crecimiento sustancial y se formaliz por

primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante

la Guerra Fra, debido sobre todo a su aplicacin a la estrategia militar, en particular a causa del

concepto de destruccin mutua garantizada. Desde los setenta, la teora de juegos se ha aplicado

a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la seleccin natural. A raz de

juegos como el dilema del prisionero, en los que el egosmo generalizado perjudica a los

jugadores, la teora de juegos ha atrado tambin la atencin de los investigadores en informtica,

usndose en inteligencia artificial y ciberntica.

Aunque tiene algunos puntos en comn con la teora de la decisin, la teora de juegos estudia

decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras palabras, estudia la eleccin de la

conducta ptima cuando los costes y los beneficios de cada opcin no estn fijados de antemano,

sino que dependen de las elecciones de otros individuos. Un ejemplo muy conocido de la

aplicacin de la teora de juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el

matemtico Albert W. Tucker, el cual tiene muchas implicaciones para comprender la naturaleza

de la cooperacin humana. La teora psicolgica de juegos, que se arraiga en la escuela

psicoanaltica del anlisis transaccional, es enteramente distinta.

Los analistas de juegos utilizan asiduamente otras reas de la matemtica, en particular

las probabilidades, las estadsticas y la programacin lineal, en conjunto con la teora de juegos.

Adems de su inters acadmico, la teora de juegos ha recibido la atencin de la cultura popular.

La vida del matemtico terico John Forbes Nash, desarrollador del Equilibrio de Nash y que

recibi un premio Nobel, fue el tema de la biografa escrita por Sylvia Nasar, Una mente

maravillosa (1998), y de la pelcula del mismo nombre (2001). Varios programas de televisin han

explorado situaciones de teora de juegos, como el concurso de la televisin de Catalua (TV3) Sis

a traci (Seis a traicin), el programa de la televisin estadounidense Friend or foe? (Amigo o

enemigo?) y, hasta cierto punto, el concurso Supervivientes.2

Representacin de juegos

Los juegos estudiados por la teora de juegos estn bien definidos por objetos matemticos. Un

juego consiste en un conjunto de jugadores, un conjunto de movimientos (o estrategias)

disponible para esos jugadores y una especificacin de recompensas para cada combinacin de

estrategias. Hay dos formas comunes de representar a los juegos.

Forma normal de un juego

La forma normal (o forma estratgica) de un

juego es una matriz de pagos, que muestra los

jugadores, las estrategias, y las recompensas (ver

el ejemplo a la derecha). Hay dos tipos de

jugadores; uno elige la fila y otro la columna.

Cada jugador tiene dos estrategias, que estn

especificadas por el nmero de filas y el nmero

de columnas. Las recompensas se especifican en

el interior. El primer nmero es la recompensa

recibida por el jugador de las filas (el Jugador

1 en nuestro ejemplo); el segundo es la

recompensa del jugador de las columnas

(el Jugador 2 en nuestro ejemplo). Si el jugador

1 elige arriba y el jugador 2 elige izquierda

entonces sus recompensas son 4 y 3, respectivamente.

Cuando un juego se presenta en forma normal, se presupone que todos los jugadores actan

simultneamente o, al menos, sin saber la eleccin que toma el otro. Si los jugadores tienen

alguna informacin acerca de las elecciones de otros jugadores el juego se presenta

habitualmente en la forma extensiva.

Tambin existe una forma normal reducida. sta combina estrategias asociadas con el mismo

pago.

El jugador 2

elige

izquierda

El jugador 2

elige derecha

El jugador 1

elige arriba 4, 3 -1, -1

El jugador 1

elige abajo 0, 0 3, 4

Un juego en forma normal

EQUILIBRIO DE NASH

El equilibrio de Nash o equilibrio de Cournot o equilibrio de Cournot y Nash o equilibrio del

miedo es, en la teora de los juegos (1 y 2) un concepto de solucin para juegos con dos o ms

jugadores (3), el cual asume que:

Cada jugador conoce y ha adoptado su mejor estrategia, y

Todos conocen las estrategias de los otros.

Consecuentemente, cada jugador individual no gana nada modificando su estrategia mientras los

otros mantengan las suyas. As, cada jugador est ejecutando el mejor "movimiento" que puede

dados los movimientos de los dems jugadores.

En otras palabras, un equilibrio de Nash es una situacin en la cual todos los jugadores han puesto

en prctica, y saben que lo han hecho, una estrategia que maximiza sus ganancias dadas las

estrategias de los otros. Consecuentemente, ningn jugador tiene ningn incentivo para modificar

individualmente su estrategia.

Es importante tener presente que un equilibrio de Nash no implica que se logre el mejor resultado

conjunto para los participantes, sino slo el mejor resultado para cada uno de ellos considerados

individualmente. Es perfectamente posible que el resultado fuera mejor para todos si, de alguna

manera, los jugadores coordinaran su accin.

En trminos econmicos, es un tipo de equilibrio de competencia imperfecta que describe la

situacin de varias empresas compitiendo por el mercado de un mismo bien y que pueden elegir

cunto producir para intentar maximizar su ganancia.

Ejemplo

Quizs el mejor ejemplo de un equilibrio de Nash es la variacin del conocido dilema del

prisionero modificado a fin de resaltar los efectos descritos. En esta versin hay varios jugadores

(ms de tres). El resultado sera mejor para todos si todos cooperaran entre ellos y no declararan,

pero, dado que cada cual persigue su propio inters, y ninguno puede confiar en que nadie

declarar, todos deben adoptar la estrategia de declarar, lo que termina en una situacin

(equilibrio) en la cual cada uno minimiza su posible prdida.

Modificaciones adicionales permiten repetir el juego de forma indefinida (por ejemplo, con los

jugadores repartiendo un botn, etc.). En todas esas situaciones resulta que la estrategia de no

cooperar es la que minimiza el riesgo de prdidas y otorga una ganancia media pero segura para

cada jugador individual, pero la cooperacin maximizara la ganancia tanto a nivel individual como

de grupo.

Historia

El concepto de equilibrio de Nash comienza su desarrollo con Antoine Augustin Cournot y su

trabajo sobre oligopolios (1838). En ste se plantea el modelo de varias empresas que compiten

por el mercado de un mismo bien y que pueden elegir cunto producir para intentar maximizar su

ganancia en funcin de la produccin de las otras. Se establece un equilibrio de Cournot cuando la

produccin de cada empresa maximiza sus beneficios, dada la produccin de las otras empresas, lo

que es una situacin de estrategia pura en el equilibrio de Nash.

Los equilibrios de Nash en estrategias puras son limitados en muchos aspectos y fue con el

desarrollo de la teora moderna de juegos que surgen los equilibrios en estrategias mixtas (aquellas

en las que los jugadores pueden elegir aleatoriamente entre varias estrategias). El concepto de

equilibrio para este tipo de estrategias fue introducido por John von Neumann y Oskar

Morgenstern en su libro Theory of Games and Economic Behavior (1944), aunque slo trataron los

equilibrios para el caso especial de juegos de suma cero.

Fue John Forbes Nash quien en su tesis de doctorado (1951) define los equilibrios que hoy llevan su

nombre, tratando de manera general las estrategias mixtas y demostrando que cualquier juego

con un nmero finito de estrategias tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas.

Nash ganara posteriormente un premio Nobel por la amplia gama de aplicaciones que tuvo este

concepto en diversas ramas de las ciencias.

Posteriormente se encontraron algunos casos en los que los equilibrios de Nash no llevaban a

predicciones totalmente adecuadas para los comportamientos de los jugadores, o

comportamientos estables que no se podan encontrar como equilibrios de Nash, lo que dio paso a

la bsqueda y desarrollo de nuevos equilibrios (muchas veces como refinamientos de los equilibrios

de Nash) y conceptos de solucin de un juego.

Referencias:

1. Para la definicin como "equilibrio de Cournot", vase, por ejemplo: Hermides

Martnez A: Teora de juegos (pgina 2) seccin Equilibrio Nash y ptimo.

2. Para la definicin como "equilibrio de Cournot y Nash", vase, por ejemplo: Elvio

Accinelli, Edgard Carrera (2006) : Unicidad del equilibrio de Nash-Cournot con

correspondencias de mejor respuesta contractivas

3. Un concepto de solucin es una regla formal que predice las estrategias que los

participantes adoptarn a fin de obtener los mejores resultados, prediciendo los

resultados del juego.