Teori grafesh – bitbit.uni.cc Teori Grafesh - 4...

Teori grafesh – bitbit.uni.cc

1

Teori Grafesh

1.1 Koncepti i grafit dhe disa nocione shoqeruese

Shpeshherë për të lehtësuar veten ne shtrimin dhe analizën e mjaft problemeve që dalin në veprimtarinë

tonë, ndërtojmë skema të ndryshme. Kështu për shembull, nëse duam të bëjmë një udhëtim drejt një qyteti të

largët, duhet të shohim hartën e zonës ku paraqitet rrjeti rrugor. Praktikisht aty vëmë re qendrat e banuara si

dhe praninë ose jo të rrugëve midis tyre. Mbi një skemë të tillë gjykojmë përzgjedhjen e rrugës që do të

bëjmë në përshtatje me vetë qëllimin.

E zëmë se na është dhënë një bashkësi segmentesh mbi drejtëzën reale që po e shënojmë: � � ��; ��; … ; ��. Në varësi nga vlerat e skajeve këta të fundit mund të kenë prerje jo-boshe ose boshe. Po e

zëmë se për arsye të veçanta jemi të interesuar të bëjmë më të dukshëm relacionin ndërmjet këtyre

intervaleve. Për të realizuar këtë qëllim, një mënyrë do të ishte të ndërtojmë një skemë ku çdo intervali nga

bashkësia e dhënë t’i vëmë në korrespondencë një pikë në plan dhe për çdo çift intervalesh qe kanë prerje jo-

boshe të vizatojmë një vijë që i bashkon. Për ilustrim, le të kemi: � � ��1. .4�; �6. .7�; �2. .8�, �3. .9�, ��2. .1��. Skema:

Megjithëse në përmbajtjen konkrete të problemeve që

trajtohen në këto skema bie në sy një ndryshueshmëri e

madhe, mund të vëmë re një tipar karakteristik të

përbashkët. Ky tipar është: Të gjitha këto skema

pasqyrojnë një sasi objektesh që vihen në një farë lidhjeje

ndërmjet tyre.

Perkufizim: Graf quhet një çift G=(V ; E), ku V është një nënbashkësi elementesh dhe E një bashkësi

nënbashkësishë me nga dy elemente nga bashkësia V.

Elementet e bashkësisë V quhen kulme, ndërsa elementët e bashkësisë E quhen brinjë të grafit G.

Kulmet dhe brinjët e një grafi G=(V ; E) i shënojmë përkatësisht V(G) dhe E(G).

Për një brinjë (i : j) ∈ E, kulmet i, j quhen skaje të saj. Nëse një brinjë e ∈ E ka për skaj kulmin i, atëherë

thuhet se brinja e është incidente me kulmin i.

Çdo kulm paraqitet me një shenjë në plan (pikë, rreth i vogël, trekëndësh etj.), ndërsa brinjët

paraqiten me vija që bashkojnë skajet e tyre. Në fig.1 është skicuar grafi G=(V ; E) me � � �1; 2; … ; 6�

(bashkësi kulmesh) dhe � � ��1: 3�; �1: 4�; �2: 3�; �2: 4�; �2: 6�; �3: 4�; �3: 6�; �4: 5�; �5: 6��.

Për një graf G=(V ; E), numrin e kulmeve |V| do ta quajmë rend, ndërsa numrin e brinjëve do ta quajmë përmasë. Kur rendi i grafit është i fundëm, atëherë vetë grafi quhet graf i

fundëm, në të kundërt do të quhet i pafundëm. Për një graf bosh G = (ϕ, ϕ) do të përdorim thjeshtë shenjën ϕ. Grafe të rendeve 0 dhe 1 quhen grafe triviale.

Kur dy kulme, i dhe j, janë skaje të së njërës brinjë, thuhet se ata janë fqinjë. Bashkësinë e kulmeve fqinjë të një kulmi të caktuar i në një graf të dhënë G=(V ; E) do ta shënojmë me simbolin N(i). Gjithashtu, edhe dy


2

brinjë që kanë një skaj të përbashkët quhen atëherë grafi G quhet graf i plotë. Një graf i plot

Le të jetë G=(V ; E) dhe G’=(V’

dhe shkruhet G ~ G’, ne qoftë se ekziston njφ: V → V’ � i, j ∈ E ⇒ φ(i), φ(j) ∈ E’

kemi të bëjmë me automorfizëm, ësht Shembull: Grafi G dhe G’ të vizatuar nëfig. 2 janë izomorf. Një izomorfizëm qëe vendos këtë fakt është: φ(1) = 1, φ(2) = 3, φ(3) = 2, φ(4) = 4, φ (5) = 5, φ (6)=6.

Në qoftë se bashkësia e kulmeve dhe ajo e brinj

bashkësive përkatëse të një grafi G, atëherëG’. Në raste të tilla shënohet G’ ⊆ G.

Në qoftë se G’ është nëngraf i grafit G dhe atëherë G’ quhet nëngraf i induktuar i grafit Grafi G mund të quhet graf dyanësor nX dhe Y, ku ((X ∪ Y) = V dhe (X ∩Y ) =

tjetri bashkësisë Y. Shpeshherë një graf i till Një graf dyanësor quhet i plotë në qoftëqoftë se numri i elementeve të X: |X| = n

. Në fig.2 G’ është dyanësor.

t quhen brinjë fqinje. Në qoftë se kulmet e nje grafi jangraf i plotë me n kulme shënohet Kn.

’ ; E’) dy grafe të dhëna. Thuhet se grafi G dhe grafi se ekziston një bijeksion:

E’ , ∀ i, j ∈ V. Një pasqyrim i tillë quhet izomorfiz

ë automorfizëm.

ë ë

sia e kulmeve dhe ajo e brinjëve të një grafi G’ = (V’ ; E’ )

atëherë G’ quhet nëngraf i grafit G, kurse grafi G

dhe G’ përmban të gjitha brinjët E’ {i, j} ∈ E

i grafit G.

ë qoftë se bashkësia V e kulmeve mund të copë) = ϕ), në mënyrë që ∀ (i : j) ∈ E, njëri skaj i takon bashk

graf i tillë shënohet G = (X ∪ Y; E).

ë se ai përmban brinjë me skaje i dhe j, ∀ i ∈ X n1 dhe |Y| = n2, atëherë grafi i plotë me dy anë sh

Le të jetë dhënë grafi G = (V ; E

me bosht të kulmeve V i tillë q

vetëm atëherë kur e ∉ E quhe

grafit G=(V ; E). (fig 3)

Grafi prej brinjësh i një grafi

shënohet me simbolin L(G) është

të cilit përfaqësojnë brinjët e grafit

kulme janë fqinje atëhere dhe vetëm atëhere kur

brinjët korresponduese në grafin

një skaj të përbashkët.

Shembull: Fig. 4 Brinjët e G

Meqë G ka 7 brinjë, L(G) do të ketë 7 kulme.

se kulmet e nje grafi janë çift e çift fqinje,

dhe grafi G’ janë izomorf,

izomorfizëm. Kur G = G’ ,

= (V’ ; E’ ), janë nënbashkësi të G quhet supergraf i

/ i ∈ V’ dhe j ∈ V’,

ëtohet në dy bashkësi ri skaj i takon bashkësisë X dhe

X dhe ∀ i ∈ Y . Në shënohet me simbolin

V ; E) dhe ,

që e ∈ , atëherë dhe

quhet graf plotësues i

një grafi G = (V; E) që

është një graf, kulmet e

të cilit përfaqësojnë brinjët e grafit G, në të cilin dy

kulme janë fqinje atëhere dhe vetëm atëhere kur

brinjët korresponduese në grafin G = (V; E) kanë

G janë kulme të L(G).

do të ketë 7 kulme.

1.2 Strirje të konceptit të grafit

Një nga shtrirjet më të natyrshme tpërftohet duke lejuar praninë e më shumkulmesh. Me fjalë të tjera, një nënbashkpërcaktojnë një brinjë, të mund të jetë duke marrë me çdo prezencë të saj njpërftohet koncepti i multigrafit. Në fig. 5 paraqitet njkulme.

Një tjetër shtrirje e konceptit të grafit merret duke lejuar n(bashkësia e brinjëve), nënbashkësi me dy element identik. Rjquhen laqe (lak), dhe një graf i tillë quhet

Ka shumnjëanshë

nënkupton lidhje tkoceptit t

Nga pikpamja formale graf i orientuar

shoqëruar me dy pasqyrime: φ: V → E

një kulm mbarim. Brinjët e orientuara zakonisht do t’i quajmbarabartë me i, dhe mbarimi është i barabartKulmi j quhet pasardhës i kulmit i, ndëshënohet me simbolin a(i), ndërsa ajo e paraardhPër grafet e orientuar përdoret simboli 1.3 Fuqitë e kulmeve

Le të jetë dhënë grafi G = (V ; E), njbrinjëve incidente në atë kulm. Ajo shënohet me simbolinizoluara të tij e kanë fuqinë 0. Për njëpërkatësisht gjysëm-fuqi dalëse (shënohet me simbolinsimbolin ).

Fuqia e kulmit përcaktohet si shumë:

Fuqi minimum quhet numri δ(G)= min

∆(G) = max{d(i) / i ∈ V }. Në qoftë G = (V; E ) quhet K-rregullor ose thjesht Numri: quhet fuqi mesatare e

Sipas kuptimeve të vetë simboleve do të

Një karakteristikë grafit, e afërt me fuqin

Teori grafesh

natyrshme të konceptit të grafit është ajo që shumë se një lidhjeje ndërmjet një çifti

nbashkësi me dy elemente { i , j} ∈ V, që e përsërithshme në bashkësinë E

saj një pamje të re. Me këtë zgjerim fig. 5 paraqitet një multigraf me 5

grafit merret duke lejuar në bashësinë E

si me dy element identik. Rjënjë të tilla quhet pseudo-graf (fig. 6).

Ka shumë situata në të cilat lidhjet ndërmjet objekteve kanëm, në kuptimin që, lidhja e një elementi i

nkupton lidhje të elementit j me elementin i (fig. 7). Kjo gjkoceptit të grafit të orientuar, ndryshe quhet digraf.

graf i orientuar është një çift G = (V; E) bashkësish (kulmesh dhe brinj

dhe ψ: E → V, që caktojnë përçdo brinjë e ∈ E

t e orientuara zakonisht do t’i quajmë harqe. Në qoftë se fillimi i nji barabartë me j, atëherë harku perkatës shënohet me simbolin

ërsa kulmi i paraardhës i j. Bashkësia e pasardhrsa ajo e paraardhësve shënohet me simbolin b(i). rdoret simboli G = (V ; A), në vend të simbolit G = (V; E).

një graf jo-bosh. Fuqi e një kulmi i, i ∈ V ne grafin nohet me simbolin . Kur grafi është i nënkuptueshë digraf G, numri i harqeve që dalin dhe i atyre q

nohet me simbolin ) dhe gjysëm-fuqi hyr

{d(i) / i ∈ V }, kurse fuqi maksimum quhet numri

se të gjithë kulmet e një grafi kanë të njëjtën fuqi ose thjesht graf i rregullt.

quhet fuqi mesatare e G.

ë kemi mos-barazimet: δ(G) ≤ d(G) ≤ ∆(G).

rt me fuqinë e kulmeve është herësi: ε(G) = |E| / |V|.


3

rmjet objekteve kanë vetëm efekt të me elementin j nuk

(fig. 7). Kjo gjë con në futjen e

sish (kulmesh dhe brinjësh) i

E një kulm fillim dhe fillimi i një brinje është i

nohet me simbolin (i ; j). sia e pasardhësve të një kulmi i

ne grafin G quhet numri i nkuptueshëm, kulmet e

dalin dhe i atyre që hyjnë quhen fuqi hyrëse (shënohet me

numri

n fuqi K, atëherë grafi


4

Teoremë 1: Për çdo graf G= (V; E) me n-kulme dhe m-brinjë, është i vërtetë barazimi: 8 9�:� � 2;< ∈ =

Vërtetim: Çdo brinje të pranishme në një graf të dhënë i shtohet një njësi fuqisë së dy kulmeve që janë skaje të saj. Prania e m-brinjëve e bën shumën e përgjithshme të fuqive të kulmeve të barabartë me 2m. Shpesh herë shtrohet pyetja: për një varg jo-rritës me n numra të plotë jo negativ 9� > 9� >. . 9, a ekziston ndonjë graf me n kulme që të ketë si fuqi të tyre numrat e dhënë? -Një varg i tillë që realizohet në këtë mënyrë do ta quajmë varg grafik.

1.4 Shtigjet dhe ciklet

Jepet një graf G = (V ; E), dhe një varg i alternuar kulmesh e brinjësh i = :?, @�, :�,…, @A= j, i tillë që çdo

brinjë ek e vargut ka për skaje ik-1 : ik. Ky i fundit quhet udhëtim (i-j-udhëtim), kurse kulmet i dhe j quhen

skaje të udhëtimit.

Janë dhënë vargjet:

B�: 1, @C, 2, @C, 3, @�, 4, @D, 5 B�: i, @C, 3, @E, 4, @D, 5, @D BC: i, @C, 5, @E, 3, @F, 2.

Këto janë udhëtime në grafin e paraqitur (fig. 8), nga të cilat i pari është 1-5-udhëtim. Një udhëtim në të cilin

nuk përsëritet ndonjë brinjë e tij, quhet udhë në grafin G.

Perkufizim: Një udhëtim në të cilin nuk përsëritet ndonjë kulm, përjashtuar skajet do ta quajmë shteg.

Numri i brinjëve të një shtegu quhet gjatësi shtegu. Gjatësia e shtegut më të shkurtër, që bashkon dy kulme,

quhet largesë ndërmjet tyre. Largesa maksimale për të gjitha çiftet e ndryshëm të kulmeve quhet diametër i

tij.

Në qoftë se në një digraf G= (V; A), një varg i alternuar kulmesh dhe harqesh, i = :?, G�, :�,… G�, :H = j

i tillë që çdo hark GI ka si fillim dhe mbarim përkatësisht kulmet :I – 1 ; :I dhe asnjë prej harqeve të grafit

nuk përsëritet, atëherë këtë do t’a quajmë rrugëtim në të cilin nuk përsëritet ndonjë kulm. Rrugë quhet

rrugëtimi pa fillimin dhe mbarimin.

Përkufizim: Një udhë në një graf G = (V ; E), quhet cikël në qoftë se skajet i dhe j janë i njëjti kulm. Një

shteg me skaje të njëjtë ne një graf G = (V ; E) quhet cikël elementar.

Përkufizim: Numri i brinjëve të një cikli, apo një cikli elementar, quhet gjatësi e ciklit.

Cikli me gjatësi minimale, në një graf quhet cikël i belit, dhe vetë gjatësia e tij quhet beli i grafit dhe shënohet g(G).

Përkufizim: Një brinjë e një grafi G që nuk është brinjë e një cikli dhe skajet i ka në kulmet e ciklit, quhet kordë e tij.

Pohim (pa vërtetim): Çdo cikël i induktuar në një graf G nuk përmban kordë.

Teoremë 2: Çdo i - j - udhë në një graf G=(V ; E) përmban një i - j - shteg.

Vërtetim: Le të jetë U një i - j - udhë në grafin kulmi i fillimit është dhe kulmi i mbarimit), do atë që e përbën vetëm kulmi i.

E zëmë se U është një udhë e hapur e trajtës

vënë një shenjë çdo kulmi që ndeshim.

përsëri në kalimin në udhën U, kjo do të thotë se ekziston një përsëritje kulme> r. Largojmë nga udha U kulmet i=ir…is-

udhën U. Në qoftë se këtë udhë të re e shënojmë me shtegu i kërkuar. Në rast të kundërt bëhet përsëri përsëritjaështë një varg i fundëm, atëherë mbas disa hapash do cilin nuk hasim kulme që përsëriten më shumë se nj Perkufizim: Një graf jobosh G=(V ; E)

skaje në ato kulme.

2.1 Ciklet Euleriane

Përkufizim: Një udhë në grafin G=(V ; E)

brinjët e këtij grafi.

Përkufizim: Një udhë euleriane me fillim dhe

Një graf i lidhur G=(V ; E) quhet graf eulerian

eulerian në grafin G=(V ; E). Për një graf të palidhur do të themi se është eulerian në qoftë se çdo komMe kuptimin e ciklit eulerian lidhet problemi i mëposhtëm. Më poshtë në fig.8 kemi paraqitur grafikisht

problemin “7 Urat e Königsberg-ut ”. Në skemën më poshtë është paraqitur një lumë që përshkon qytetin e

Königsberg-ut. Lumi kalohet nga 7 ura, dhe në rrjedhë e tij ka dy ishuj në mes. Problemi: A mund të gjendet

një menyrë, duke u nisur nga cilado pikë, që të mund të përshkohet i gjithë qyteti duke kaluar në secilën urë

1 dhe vetëm 1 herë? Po të përfaqësohet çdo breg me një

kulmesh, sa herë që ndërmjet brigjeve që ata përfaqësojnë ekziston një udhë, atëherë përftohet grafi i fig.

Teoremë 3: Një graf i lidhur G=(V ; E),

të tij është numër çift.

Teori grafesh

në grafin G=(V; E). Në qoftë se udha U është e mbyllur, (kulmi i fillimit është dhe kulmi i mbarimit), do të themi se i = j. Atëherë në rolin e shtegut marrim thjeshtë

hapur e trajtës i=i0, i1,……, ik=j. Bëjmë një kalim nëpër udhën

vënë një shenjë çdo kulmi që ndeshim. Në qoftë se një kulm ir që ne e kemi hasur më përpara

, kjo do të thotë se ekziston një përsëritje kulmesh, që e shënojmë me

-1. Pasi largohet një grup i tillë kulmesh përfto

këtë udhë të re e shënojmë me U1 , dhe U1 nuk ka përsëritje kulmeshhet përsëri përsëritja e proçedurës më mësipërme

atëherë mbas disa hapash do të merret një i - j – udhë, që pocilin nuk hasim kulme që përsëriten më shumë se nje herë, pra si përfundim përftohet i -

E) quhet i lidhur në qoftë se ∀ i, j ∈ V(G) ekziston një shteg

G=(V ; E), do ta quajmë udhë euleriane në qoftë se ajo i përmban të gjitha

Një udhë euleriane me fillim dhe mbarim në të njëjtin kulm quhet cikël eulerian

graf eulerian në qoftë se brinjët mund të përshkohen sipas një cikli

Për një graf të palidhur do të themi se është eulerian në qoftë se çdo komponent i tij është eulerian. Me kuptimin e ciklit eulerian lidhet problemi i mëposhtëm. Më poshtë në fig.8 kemi paraqitur grafikisht

ut ”. Në skemën më poshtë është paraqitur një lumë që përshkon qytetin e

mi kalohet nga 7 ura, dhe në rrjedhë e tij ka dy ishuj në mes. Problemi: A mund të gjendet


Po të përfaqësohet çdo breg me një kulm dhe të vendoset një brinjë ndërmjet dy

që ata përfaqësojnë ekziston një udhë, atëherë përftohet grafi i fig.

Pra pyetja e mësipërme do të

riformulohej: A ekz

e Fig. 9 një udh

, është cikël eulerian atëherë dhe vetëm atëherë kur fuqia e çdo kulmi


5

është e mbyllur, (pra skaji ose tëherë në rolin e shtegut marrim thjeshtë

një kalim nëpër udhën U duke i

që ne e kemi hasur më përpara e rindeshim

që e shënojmë me is , ku s

përftohet një udhë e re në

nuk ka përsëritje kulmesh, atëherë përftohet me. Përderisa udha U

që po shënojmë Uq , në të - j - shteg.

ekziston një shteg P me

në qoftë se ajo i përmban të gjitha

cikël eulerian.

në qoftë se brinjët mund të përshkohen sipas një cikli

ponent i tij është eulerian. Me kuptimin e ciklit eulerian lidhet problemi i mëposhtëm. Më poshtë në fig.8 kemi paraqitur grafikisht

ut ”. Në skemën më poshtë është paraqitur një lumë që përshkon qytetin e

mi kalohet nga 7 ura, dhe në rrjedhë e tij ka dy ishuj në mes. Problemi: A mund të gjendet


kulm dhe të vendoset një brinjë ndërmjet dy

që ata përfaqësojnë ekziston një udhë, atëherë përftohet grafi i fig.9.

Pra pyetja e mësipërme do të

riformulohej: A ekziston në grafin

e Fig. 9 një udhë euleriane?

eulerian atëherë dhe vetëm atëherë kur fuqia e çdo kulmi


6

Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Le të jetë C një cikël eulerian në grafin G=(V ; E) dhe i ∈ V një kulm çfarëdo. Është e qartë që gjatë një kalimi të ciklit C çdo brinjë që të çon në kulmin i mund ta shoqërojmë në çift me brinjën e ciklit sipas së cilës dilet nga kulmi i. Prej këtej rrjedh se d(i) (fuqia) është numër çift.

Kondita është e mjaftueshme: Shënojmë me U= i0,e0 ,i1,……,er-1,ir një udhë me gjatësi maksimale në grafin G=(V ; E), i cili e ka fuqinë e çdo kulmi numër çift. Meqë udha është maksimalja atëherë të gjitha brinjët incidente me kulmin ir janë të përfshira në udhën U. Nga ana tjetër në qoftë se do të ishte ir e ndryshme nga i0 ( ir ≠ i0 ) atëherë kulmi ir do të ishte kulmi i mbërritjes dhe fuqia e tij di do të ishte numër tek. Kjo gjë kundërshton vetinë e grafit G=(V ; E) prandaj mbetet që ir=i0 dhe kështu udha U është e mbyllur. Le të supozojmë që udha U nuk është cikël eulerian. Atëherë grafi G=(V ; E) do ketë të paktën një brinjë e’ jashtë udhës U, dhe në bazë të lidhshmërisë ekziston një brinjë e me skajin ij mbi udhën U. Në këto kushte do përftohet udha U*

: i,e,i1,ej,……ej-1,ij e cila ka të njëjtën gjatësi sa udha U. Në këtë rast arrijmë në një kundërthënie, pra supozimi bie poshtë.

Sidoqë më sipër u përcaktuan kushtet e nevojshme dhe mjaftueshme për ekzistencën e cikleve euleriane, mënyra konkrete e vargëzimit të brinjëve për të formuar një cikël të tillë mbetet një problem më vehte. Një nga algoritmet që zgjidh këtë problem është algoritmi Hierholzer. Ideja e këtij algoritmi është gjetja e një copëtimi bashkësish E në cikle dhe pastaj një mënyrë e lidhjes së tyre njëri pas tjetrit që lejon të formohen cikle me më shumë brinjë derisa të përfshihen të gjitha brinjët që ndodhen në grafin G.

Algoritmi Hierholzer

Jepet një graf i lidhur G=(V ; E) me fuqi d(i), ∀ i ∈ V (G).

1. Zgjidhet një kulm i ∈ V. Duke u nisur nga ky kulm ecet nëpër brinjë të pakaluara më parë, derisa të mbyllet një cikël që po e shënojmë C0. Marrim k:=0.

2. Në qoftë se E (Ck) = E (G) atëherë ndalu, Ck është një cikël eulerian. Përndryshe zgjidhet një kulm j në ciklin Ck që është skaj i një brinje që nuk ndodhet në ciklin Ck. Ndërtohet një cikël C* duke u nisur nga kulmi j me brinjë nga E - E(Ck) deri në mbërritjen përsëri të kulmit j.

3. Ndërtohet cikli Ck+1 që përmban brinjët e ciklit Ck dhe ato të ciklit C* duke u nisur nga kulmi j - 1 paraardhës i kulmit j në ciklin Ck duke përshkuar brinjët e tjera derisa të arrihet kulmi j, duke kaluar pas kësaj të gjithë ciklin C* dhe duke e mbyllur së fundmi me kalimin nëpër brinjën j : j - 1. Kalo në hapin 2.

-Gjithmonë mbi bazën e teoremave më sipër mund të gjenden mënyra të ndryshme të copëtimit të grafit eulerian në cikle dhe të vargëzimit të tyre në një cikël eulerian.

3.1 Hapësirat e cikleve dhe të ko-cikleve

Një tjetër kuptim shumë i rëndësishëm në studimin e grafeve , i lidhur ngushtë me atë të cikleve nëpërmjet një numri pohimesh, është edhe ai i prerjeve:

Përkufizim: Le të jetë S = ϕ, një nënbashkësi e përpiktë kulmesh të grafit G = (V ; E) dhe = V – S plotësi i bashkësisë S. Prerje, ose ko-cikël, në grafin G = (V ; E), që do t’a shënojmë me simbolin [S; ], quhet bashkësia e brinjëve që njërin skaj e ka në bashkësinë S kurse skajin tjetër e ka në bashkësinë .

Në vecanti bashkësia S mund të jetë edhe një kulm i vetëm i ∈ V(G). Në këtë rast ko-cikli i përcaktuar prej tij do të shënohet me simbolin D�i�. Nga vetë kuptimi i ko-ciklit dhe i veprimit “+” marrim pohimin e mëposhtëm: Pohim: Ko-cikli D, i përcaktuar nga një nënbashkësi S kulmeshtë grafit, është shumë e ko-cikleve të elementeve përbërës të tij. (barazimi 1)


7

TUVUWXYX Z: �[ ; � � 8 \�:�: ∈ S

Gjithashtu edhe nga vetë përkufizimi i ko-ciklit merret barazimi: [S; ] = [ ; S ].

Teoremë 4: Bashkësia e prerjeve (ko-cikleve) te një grafi G=(V ; E) bashkuar me ϕ përcaktojnë një nën-hapësirë C*(G) në hapësirën e brinjëve Η(G) (lexohet “eta”).

Vëëëërtetim: Për të treguar se C*(G) formon një nënhapësirë në hapësirën e Η(G) duhet të trgojmë përmbyllshmërinë e veprimit të mbledhjes në këtë bashkësi. Pra të tregojmë që përçdo dy ko-cikle D, D’’’’ ∈ C* kemi të vëtetë përkatësinë D + D’’’’ ∈ C*. (Pra D, D’’’’ ∈ C* ⇒ D + D’’’’ ∈ C*). Meqë ∀ D ∈ C* janë të vërteta barazimet D + D = ϕ dhe D + ϕ = D. Për mëposhtë, po supozojmë që D dhe D’ janë prerje të ndryshme dhe jo-boshe. Le të jetë D = [S1 ; 1] dhe D = [S2 ; 2] si në figurën 10. Në bazë të diferencës simetrike shuma D + D’ do të përmbahet nga të gjitha brinjët që i përkasin vetëm njërës prej prerjeve, por duke përjashtuar çdo brinjë që i përket të dyjave. (Pra brinjët që janë të përbashkëta nuk merren parasysh). Thënë ndryshe, D + D’ përmban brinjët që njërin skaj e kanë në S3 = [S1∩ S2]∪[ 1∩ 2] dhe skajin tjetër në bashkësinë 3 = [ 1 ∩ S2]∪[S1∩ 2]. Pra nuk përmban asnjë brinjë kryqëzuese, që do të thotë, brinjë që i kanë skajet [ 1 ∩ S2] dhe [ 1 ∩ 2] ose [ 1 ∩ S2] dhe [S1∩ 2]. Nga fakti se D ≠ D’ rrjedh që D + D’ është bashkësi jo-boshe (D + D1 ≠ ϕ), arrijmë në përfundimin se D + D1= [S3 ; 3], e cila është një prerje tjetër. Pra D + D’ ∈ C*.

Teoremë 5: ∀ G = (V; E) me p-komponente të lidhura është i vërtetë barazimi: dim C*(G) = |V| - p, dhe vetë nën-hapësira C* përftohet nga ko-ciklet e grafit G = (V ; E).

Vertetim: Le të shënojmë me H1, H2,….., Hp komponentet e lidhura të grafit G. Bashkësia e kulmeve të të

cilave janë V(G) = {v1, v2,...., vp}. Nuk ngushtohet problemi po të pranojmë se p – kulmet e para

shpërndahen përkatësisht në komponentet e mbetura H1,..,Hp. Bashkësia e kulmeve të mbetura B = {vp+1,....,

vn} dhe komponentet e mbetura i kemi shpërndarë nëpër komponentet e mbetura H1, H2,….., Hp. Le të

marrim në shqyrtim bashkësinë β = {D(v1)….D( vp)} të ko-cikleve të përcaktuar nga secili prej kulmeve të

bashkësisë B. Do të trgojmë sëpari se bashkësia e ko-cikleve β* është linearisht e pavarur në hapësirën Η

(lexohet eta). Në këtë hapësirë, çdo kombinim vektorësh është në të vërtetë shuma e atyre që kanë koeficientët jo-zero në

atë kombinim. Nga se kemi vërejtur më lart, çdo shumë elementësh nga β* është ko-cikël i përcaktuar nga një bashkësi kulmesh S ⊆ B. Le të pranojmë se ko-cikli [S ; ] ≠ ϕ, dhe S ≠ ϕ. Nga kjo e fundit rrjedh se përçdo nënbashkësi të përpiktë dhe jo-boshe T ⊂ S0 do të kemi [T ; ] ≠ ϕ. Me këto cilësi që ka nënbashkësia S0 rezulton se nën-grafi i induktuar prej saj të jetë njëra nga komponentet e lidhura Hj ⊂ G. Por nga mënyra e përcaktimit të bashkësisë B, asnjë nënbashkësi e saj nuk plotëson bashkësinë e kulmeve të ndonjë komponenteje të lidhur sepse një kulm i çdo komponenteje ndodhet jashtë B, pra [S ; ] = ϕ

ndodh vetëm po të jetë S = ϕ. Rrjedhimisht bashkësia e ko-cikleve β* është linearisht e pavarur.

Tani le të marrim ko-ciklin e përcaktuar nga një kulm vn ∉ β*, dmth nga njëri prej kulmeve v1, v2,...., vp . Në bazë të barazimit 1 dhe të faktit se [S; ] = [ ; S ], do të kemi

\�b<� � 8 \cbIdbI ∈ Vf � bf


8

Ku Vi është bashkësia e kulmeve të komponentes Hi. Prej këtij rezultati rrjedh se ko-cikli i çdo kulmi të

grafit G = (V ; E) përfotohet prej nënbashkësisë β* dhe në bazë të barazimit 1, prej saj përftohet edhe çdo ko-cikël i grafit G = (V ; E), pra dhe çdo element i C* . Vërtetuam teoemën.

Teoremë 6: Hapësira C(G) e cikleve të një grafi G = (V ; E) dhe ajo e ko-ciklit C* vërtetohet barazimi: C =

C* ⊥⊥⊥⊥ . �bashkësia e cikleve ortogonale) Vërtetim: Le të jetë grafi G = (V ; E) një graf i dhënë. Është e qartë se çdo cikël elementësh si dhe çdo cikël i grafit G ka një numër çift brinjësh të përbashkëta me çdo ko-cikël të atij grafi. Prej këtej rrjedh përfshirja C ⊆ C* ⊥⊥⊥⊥.... Le të jetë F një nënbashkësi brinjësh të grafit G dhe GF = (V; F), grafi i përcaktuar prej saj. Kemi treguar se

çdo komponente e lidhur e grafit GF do të jetë një cikël atëherë dhe vetëm atëherë kur fuqia e çdo kulmi vi ∈ V në këtë nëngraf të jetë çift. Për rrjedhojë, për çdo nënbashkësi brinjësh që nuk është cikël kemi: F ∈ C ⇒ ∃ vi ∈ V / ( vi) = nr tek.

Por duke ditur se D(vi) ∈ C*, barazimi i fundit tregon se F ∈ C ⇒ F ∉ C* ⊥⊥⊥⊥ është një implikim i vërtetë, dhe po ashtu edhe ekuivalentja e tij F ∈ C* ⊥⊥⊥⊥ ⇒ F ∈ C (F është cikël). Gjë që vërteton se C* ⊥⊥⊥⊥ ⊆ C . Përkufizim: Përmasa e hapësirës së cikleve të një grafi G = (V ; E) quhet numër ciklomatik dhe shënohet ν(G), (ν lexohet “nju”). Kurse përmasa e hapësirës së ko-cikleve quhet numër ko-ciklomatik i atij grafi dhe shënohet λ(G). (λ lexohet “lambda”) Teoremë 7(pa vërtetim): Në çdo graf G = (V ; E) me p-komponente të lidhur, numri ciklomatik dhe ai ko-ciklomatik janë

përkatesisht ν(G) = dim C(G) = |E| - |V| + p dhe λ (G) = dim C*(G) = |V| - p. 4.1 Drutë, vetitë kryesore të tyre

Përkufizim: Dru quhet çdo graf T i lidhur dhe pa cikël. Përkufizim: Kulmet me fuqi 1 të një druri quhen gjethe, ose kulme

fundore, ndërsa kulmet e tjera quhen kulme të brëndshme. Përkufizim: Një graf me më shumë se një komponent të lidhur quhet pyll në qoftë se çdo komponent i tij në vetvete është një dru. Në figurën 11 është treguar një dru. Teoremë 8: Çdo dru jo-trivial ka të paktën 2 gjethe.

Vërtetim: Le të jetë Pi = i1, i2,...., ir një shteg me gjatësi maksimale ne T. Skajet i1 dhe ir janë patjetër me fuqi 1. Përndryshe në bazë të parimit të shtegut maksimal, çdo brinjë tjetër në këta kulme do të kishte përsëri skajin tjetër në shtegun P, e kështu edhe në drurin T. Si rrjedhojë e kësaj do të mbyllej një cikël. Pra arritëm në përfundimin që çdo dru jo-trivial ka të paktën 2 gjethe. Teoremë 9: Kulmeve të një druri T gjithmonë mundemi ti japim v1, v2…vn në lidhje me treguesin i, e tillë

që vi për i ≥ 2, të ketë vetëm 1 kulm fqinj me bashkësinë

{v1,v2…vi-1}. Vërtetim: Kulmet e një grafi G = (V ; E) të lidhur gjithmonë mund të numërohen në mënyrë të tillë që përçdo i = 1, 2 … |V(G)| nëngrafët e induktuar Gi = G[v1, v2… vi] të jenë të lidhur. Është e qartë se në këtë


9

rast kulmi me nëngrafin e lidhur Gi-1 të indoktuar nga kulmet v1, v2… vi-1. Pikërisht ngaqë në vetvete ky

nëngraf është i lidhur, kulmi vi nuk mund të ketë dy kulme fqinjë, sepse në rast të tillë nëngrafi i përcaktuar nga kulmet v1, v2… vi-1, vi do të formonte cikël. Pra arritëm në një kundërthenie. Teoremë 10: Për një graf T me të paktën dy kulme, pohimet e mëposhtme janë ekuivalente:

1) T është dru. 2) Përçdo dy kulme nga T ekziston 1 dhe vetëm 1 shteg që bashkon këto dy kulme. 3) T është i lidhur minimal. (Do të thotë se T është i lidhur, por nëngrafi T-e është i palidhur, e ∈ ∈ ∈ ∈ T) 4) T është pa cikle minimale. (T është pa cikle, por T + xy është me cikël, ku xy është brinjë e

përcaktuar nga brinjët x, y ∈ T ) Vërtetim:

1) => 2) (Po vërtetojmë se nga pohimi i parë rrjedh i dyti) Në qoftë se do të kishim një çift kulmesh i, j ∈ T të cilët lidhen me dy shtigje të ndryshme, atëherë duke filluar nga kulmi i gjejme të parin kulm r ku shtigjet ndahen, dhe pastaj të parin kulm s ku shtigjet ribashkohen. Pjesët e dy shtigjeve nga r dhe s, që në fakt nuk kanë ndonjë brinjë të përbashkët, përcaktojnë një cikël në T. Pra kundërthënie.

2) => 3) Supozojmë se ekziston ndonjë brinjë e = ij, e tillë që nëngrafi T’ = T - ij të jetë i lidhur. Si rezultat në T’ do të ekzistonte shtegu që i përket edhe T. Sëbashku me shtegun që përcakton vetë brinja e ,do të bëheshin dy shtigje me skaje në kulmin i dhe në kulmin j. Arritëm në një kundërthenie.

3) => 4) Në qoftë se grafi T do të përmbante ndonjë cikël, lidhshmëria nuk do të cënohej. (kundërthënie) Pra T nuk përmban cikle. Nga ana tjetër, nga lidhshmëria e grafit T rrjedh se për çdo dy kulme jo-fqinje i, j ∈ V�T), ekziston një shteg që i bashkon. Duket qartë se po të shtohet vetë brinja ij do të formohej një cikël. Edhe kjo pikë u vërtetua.

4) => 1)

Duke qenë se T është pa cikle dhe maksimal, rrjedh se çdo dy kulme i dhe j janë të lidhura. Vërtetuam se T është dru. Teoremë 11: Konditë e nevojshme dhe mjaftueshme që grafi i lidhur T = (V ; E) të jetë dru është që |E| =

|V| - 1.

Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Duke qenë se grafi T është dru, ai e ka numrin ciklomatik ν(T) = 0 dhe nga lidhshmëria e vet, numri i komponeteve të tij është p = 1. Në bazë të formulës dim C(G) = |E| - |V| + p do të kemi:

ν(T) = 0 = dim C(G) = |E| - |V| + 1 |E| - |V| + 1 = 0 |E| = |V| - 1 Kondita është e mjaftueshme: Për një graf të lidhur T = (V ; E), p = 1 dhe me numër brinjësh |E| = |V| - 1, numri ciklomatik është: ν(T) = |E| - |V| + p. Meqë kemi të dhënë se |E| = |V| - 1, kemi ν(T) = | V| - 1 - |V| -

1 = 0. Meqë T është i lidhur dhe nuk ka cikle, si rezultat kemi që T është dru. Teoremë 12: Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që grafi pa cikle T = (V ; E) të jetë dru, duhet që |E| =

|V| - 1 Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Vërtetohet si tek teorema më sipër.


10

Kondita është e mjaftueshme: Përderisa grafi T është pa cikle, kjo sjell që numri ciklomatik ν(T) = 0. Duhet të tregojmë se numri i komponenteve të lidhura të grafit T të jetë p = 1. Për kushtet e dhëna kjo rrjedh nga barazimi i mëposhtëm: ν(T) = 0 = |E| - |V| + p = (|V| - 1) - |V| + p = 0 = -1 + p => p = 1. Pra grafi T është i lidhur. Teoremë 13: Në qoftë se T është një dru me |V(T)| = q kulme dhe dhe G është një graf me δ(G) ≥ q – 1 atëherë G përmban një nëngraf izomorf në drurin T. Vërtetim: Shënojmë me V1: i1, i2,.., in kulmet e grafit G dhe bëjmë një rinumërim të kulmeve të drurit T (sipas teoremës 9) j1, j2,.., jq. Do të tregojmë me anë të induksionit të plotë matematik se çdo nëngraf Tk i grafit T (nëndru), i përcaktuar nga bashkësia e kulmeve { j1,.., jk} k ≤ q, ka në grafin G izomorfin e vet. Për k = 1 i vëmë në korrespondencë kulmit i1 kulmin j1. Është e qartë se pohimi i ndërmjetëm është i vertetë. E zëmë se për një vlerë k < j ekziston në G izomorfi Gk i nëndrurit Tk dhe marrim në shqyrtim nën-drurin Tk+1. Në bazë të teoremës 9 kulmi jk+1 ka vetëm një fqinjë në nën-drurin Tk, që po e shënojmë me jr , të cilit i korrespondon, sipas izomorfizmit, një kulm ir në nëngrafin Gk. Duke qenë se fuqia e kulmit ir në grafin G është të paktën δ(G), atëherë kulmi ir në grafin G ka të paktën një fqinjë të papërfshirë në Gk. Njërin prej tyre e shënojmë ik+1 dhe ia vëmë në korrespondencë jk+1. Tani shënojmë Gk+1 nëngrafin Gk + irik+1 i cili është izomorfi i nëndrurit Tk+1. Përkufizim: Për një graf të dhënë G thuhet se nëngrafi i tij T është dru përfshirës në qoftë se T është dru dhe numri i kulmeve të G është i barabartë me numrin e kulmeve të T. ( pra |V(G)| = |V(T)| ) Teoremë 14: Një graf G përmban një dru përfshirës T atëherë dhe vetëm atëherë kur G është i lidhur. Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Kjo rrjedh nga lidhshmëria e drurit përfshirës T. Kondita është e mjaftueshme: Në qoftë se grafi G është në vetvete një dru, atëherë ai vetë është druri përfshirës. Përndryshe nga grafi G heqim brinjë njëra pas tjetrës derisa të përftohet një graf T i lidhur minimal. Në bazë të teoremës 10, nëngrafi T është një dru përfshirës. Teorema u vërtetua. Le të jetë T një dru përfshirës në një graf të lidhur G. Brinjët e grafit G që ndodhen në grafin T do t’i quajmë brinjë të brendshme ndërsa të tjerat brinjë

të jashtme. Në figurën 12 është dhënë një graf përfshires i grafit të dhënë. Brinjët e brendshme janë vizatuar me vija të pandërprera, ndërsa të jashtmet me vija të ndërprera. Teoremë 15: Në qoftë se T është një dru përfshirës në grafin G atëherë çdo brinjë e jashtme e grafit G e lidhur me grafin T përcakton përcakton një cikël elementar në G dhe bashkësia e cikleve të tjera është një bazë ciklesh linearisht të pavarura në G. Vërtetim: Vërejmë sëpari se në bazë të teoremës 14 grafi G ka p = 1 komponente të lidhura. Le të jetë e = ij një brinjë e jashtme. Në bazë të teoremës 10 pika 2, kulmet i dhe j lidhen me një shteg të vetëm p në grafin T, që i mbyllur me brinjën ij përcakton një cikël elementar P+ij në G. Bashkësia e të gjitha cikleve elementare të formuara, që po e shënojmë me CT, është linearisht e pavarur. Ky pohim është i vërtetë sepse çdo cikël i tillë, duke patur një brinjuë që nuk e kanë ciklet e tjera të kësaj bashkësie, nuk mund të përftohet si kombinim linear i tyre. Nga ana tjetër bashkësia CT përmban aq cikle elementare sa është numri i brinjëve të jashtme. Pra | CT | = |E| - |V| + 1, numër ky i barabartë me numrin ciklomatik për një graf të lidhur i cili është vetë grafi G.

5.1 Shkurret, vetitë kryesore të tyre Le të jetë grafi G një digraf i dhënë,. Pdo të marrim parasysh edhe grafet që përcaktohet nga skajet përkatëse. Këta të Përkufizim: Do të quajmë rrënjë në digrafin i në j. Vërejmë se kur një graf përmban një rrëi një digrafi i lidhur fort është një rrënjë Përkufizim: Një digraf T quhet shkurre

mbështetës i tij është dru. Në figurë treguhet nj Teoremë 16: Për një digraf T = (V ; A) me t

1) T është një shkurre. 2) Digrafi T ka një rrënjë r dhe ∀ i ∈3) Digrafi T është i lidhur, ka një kulm

4) T është pa cikle: ka një kulm r me

Vërtetim: 1) => 2) Ekzistenca e një rruge ng(është shkurre). Në qoftë se për ndonjëkulmin r, atëherë në grafin mbështetëkundërshtim me faktin se T është shkurre.

2) => 3) Lidhshmëria e T rrjedh nga ekzistenca e rrtë ekzistonin 2 harqe të trajtës ( j ; i ) dhe ( rrugëve Pr,j dhe Pr,k të cilat të zgjatura pndryshme nga r në i. (kundërthënie) Në qoftë se do të kishim një hark ( i ; r ndodhet edhe vetë kulmi r. Vërehet kushtu se ppërbërë vetëm nga kulmi r dhe tjetra cikli i pranish 3) = > 4) Numri i harqeve të një digrafi T

= |V| - 1, ndërsa numri i komponenteve tciklomatik është: ν(T) = |V| - 1 - |V| + 1 = 0. 4) => 1) Për kushtet e pikës 4, sikurse mtjetër duke qënë se ν(T) = 0, prej formul0 = |V| - 1 - |V| + p => p =1. Pra GT ështëështë |V| - 1, rrjedh që GT është dru.

Le të jetë i ≠ r një kulm çfarëdo. Meqë d

harku ( r ; i ) është rruga që lidh kulmin ( i2 ; i1 ). Në qoftë se i ≠ r atëherë vazhdojmqë harqet ( ij ; ij-1 ) për j = 1..k janë të pranishme në ndonjë element sepse kjo do të implikonte praninë dhe kështu shpejt a vonë do të kemi ik ndryshme merret një rrugë nga r në i.

Teori grafesh

,. Për të lehtësuar futjen e disa koncepteve të cilat lidhen me digrafet përftohen prej tyre duke zëvendësuar çdo hark me një fundit do t’i quajmë grafe mbështetëse të grafit p

digrafin D çdo kulm i ∈ V me cilësi: ∀ j ∈ V ekziston n

një atëherë ai është i lidhur. Nga vetë përkufizimi rrjedh se e tij.

hkurre në qoftë se ka një rrënjë dhe grafi treguhet një shkurre me rrënjë në kulmin r:

me të paktën dy kulme pohimet e mëposhtmë jan

∈ V ekziston një rrugë e vetme nga r në i. kulm r dhe d

-(r) = 0, ndërsa d

-(i) = 1, ∀ i ∈ V – {r

me d-(r) = 0 dhe d

-(i) = 1, ∀ i ∈ V – {r}.

rruge nga kulmi r në çdo kulm tjetër i ∈ V vjen nga fakti se ë kulm i ∈ V do të ekzistonin dy rrugë të ndryshme me fillim nës GT të digrafit T do të ishte i pranishëm nj

shkurre.

rrjedh nga ekzistenca e rrënjës, në qoftë se i ≠ r do të kishim ) dhe ( k ; i ) ku j ≠ k. Nga fakti që është rrënjë

zgjatura përkatësisht me harqet ( j ; i ) dhe ( k ; i ) pë

) ∈ T atëherë nga fakti që r është rrënjë, rrjedh prania e njrehet kushtu se për kulmin r ekzistojnë dy rrugë që të cojn

dhe tjetra cikli i pranishëm.

T me cilësi të pikës 3 është rsa numri i komponenteve të lidhura është p = 1. N

| + 1 = 0.

s 4, sikurse më sipër, gjejmë që numri i harqeve të T është ) = 0, prej formulës së numrit ciklomatik për grafin mbështetës

ë graf i lidhur. Duke qënë se numri i brinjëve të

d-(i) = 1 ekziston një hark ( i1 ; i ) ∈ T. Në qoft

lidh kulmin r me kulmin i. Përndryshe, meqë d-(i1)

vazhdojmë procesin duke përftuar kështu një varg kulmesh janë të pranishme në T. Në vargun e mësipërm të kulmeve nuk përsëritet

ndonjë element sepse kjo do të implikonte praninë e ndonjë cikli. Ndërkohë numri i kulmeve është i fundëm = r. Prej vetë mënyrës së vargut, duke e përshkuar atë me kahe të


11

cilat lidhen me digrafet hark me një brinjë që

grafit përkatës.

ekziston në D një rrugë nga

rkufizimi rrjedh se çdo kulm

janë ekuivalente:

r}.

vjen nga fakti se T ka rrënjë ndryshme me fillim në

m një cikël. Kjo bie në

kishim d-(i) ≥ 2, atëherë do

ë, rrjedh ekzistenca e ërcaktojnë 2 rrugë të

, rrjedh prania e një cikli ku cojnë vetë tek r. Njëra e

= 1. Në këto kushte numri

m = |V| - 1. Nga ana s GT rrjedh implikimi grafit mbështetës GT

qoftë se i1 = r atëherë

)=1 ekziston një hark varg kulmesh i, i1,.., ik të tilla

. Në vargun e mësipërm të kulmeve nuk përsëritet e ndonjë cikli. Ndërkohë numri i kulmeve është i fundëm

. Prej vetë mënyrës së vargut, duke e përshkuar atë me kahe të


12

(Mungon Teorema 17!) 6.1 Pemët, druri me peshë minimum

E zëmë se në bashkësinë e brinjëve të një grafi G = (V ; E) është përcaktuar një funksion ω: E → R. Përkufizim: Vlera ω(e) e një funksioni, që i përgjigjet brinjës e quhet peshë ose gjatësi e brinjës. Kurse vete ω quhet funksion i peshave, ose i gjatësive të brinjëve. Në këtë pjesë do të shqyrtojmë vetëm grafet e lidhura. Le të jetë T një dru përfshirës i grafit G. Madhësinë: ω�T� � 8 k�@�

l ∈m

do ta quajmë peshë e drurit T. Problemi që shtrohet është: Të gjendet një dru T* në bashkësinë Τ të drurëve përfshirës të grafit G, i tillë që

ω(T) ≤ ω( Τ ) , ∀ T ∈ Τ. Po e ilustrojmë me një shembull: -Në një zonë të gjerë do të ndërtohet një rrjet i tensionit të lartë që do të shërbejë për furnizimin e një numri qendrash të banuara. Për arsye të mirmbajtes, lehtësisë së ndërtimit etj. linjat shkojnë në afërsi të rrugëve ekzistuese. Mbi këtë bazë mund të bëhen përllogaritje mbi koston e ndërtimit të segmenteve të veçanta të linjës. Po të marrim parasysh grafin që pasqyron sistemin ekzistues të rrugëve të rajonit në shqyrtim, atëherë çdo brinjë e grafit i shoqërohet kështu një numër që mund ta shohim si gjatësi ose peshë të tij. Çdo rrjet linjash përcakton një dru në atë graf. Aspekti ekonomik i problemit shtron kërkesën e përcaktimit të sistemit të linjave që ka koston më të vogël. Nga ana matematike ky problem konkret ri-formulohet kështu: Në grafet korrespondues të rrjetit rrugor të gjendet një dru përshirës me peshë minimum. Për këtë arsye duhet që të shfrytëzohen brinjët me gjatësi sa më të vogël, por sigurisht marrja e tyre duhet të shoqërohet me kujdesin që të mos formohen cikle, për këtë shërben algoritmi Kruskal: Algoritmi Kruskal: Jepet një graf G = (V; E) i lidhur, dhe funksioni ω: E → R.

1. Rinumërohen brinjët e grafit në rendin jo-zbritës të peshave: ω(e1) ≤ ω(e2) ≤ .. ≤ ω(em), F = φ.

2. Për i nga 1 në m bëj: Në qoftë se grafi T = (V ;F ∪{ e1}) nuk përmban cikle,atëherë F: F ∪ { e1}. Fund në qoftë se. Fund Për.

Fund. Teorema 18: Grafi T= (V; F) që përftohet kur ndalet algoritmi Kruskal është një dru përfshirës me peshë minimum në grafin G. Vërtetim: Nga mënyra e ndërtimit, grafi TA i përftuar në fund të algoritmit është pa cikle dhe maksimal. Nga kjo rrjedh se TA është një dru përfshirës në G dhshënojmë F = { e1; e2;…; en-1} bashkësinë e brinjëve të TA të numëruara sipas rendit të përfshirjes së tyre nga algoritmi. Pra kemi ω(ei) ≤ ω(ej) për i < j. Nga i gjithë koleksioni i drurëve përfshirës me peshë minimum në G, le të shënojmë T* një prej tyre, me cilësinë që numri i brinjëve të tij të përbashkëtë me TA të jetë maksimum. Në qoftë se TA nuk do të ishte një dru përfshirës me peshë minimum në G, atëherë TA dhe T* nuk mund të jenë identike. Le të ei e para në listën e brinjëve që ndodhet tek TA që nuk ndodhet tek T*. Po e përfshijmë ei në T*, përftohet një graf H që përmban një cikël α (alfa) që nuk ndodhet në TA. Grafi H – { e’} është gjithashtu një dru përfshirës i grafit G dhe pesha e tij është: ω(H - e’) = ω(T*) + ω(ei) - ω(e’). Nga mosbarazimi ω(T*) ≤ ω(H - e’), rrjedh se ω(e’) ≤ ω(ei). Por në bazë të algoritmit, brinja ei është brinjë me peshë minimum, e tillë që nëngrafi i përcaktuar nga bashkësia e brinjëve Fi = { e1; e2;… ; ei - 1; ei} është pa cikle. Ndërkohë brinjët { e1; e2;… ; ei-1; e’ } duke qenë

nënbashkësi e brinjëve të T* nuk përcaktojndëshmon vërtetësinë e mosbarazimit: ω(Nga na tjetër grafi T’ = H – {e’} është mësipërm është: ω(T’) = ω(T*) + ω(ei) -Kemi gjetur gjetur kështu një dru përfshirmë shumë se çka T*. Kundërthenie. Teorema 19: Një dru përfshirës T* në grafin

brnjë e ∈ T* është me peshë më të vogël n Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Supozojmë tij marrim mosbarazimin: ω(T’) = ω(T*

Kondita është e mjaftueshme: Le të jetëminimum në G me cilësi që druri T ka numrin maksimal tpohimi është i vërtetë. E zëmë se T ≠ T*. Marrim një brinjë e ∈ T në dy komponente të lidhura T1 e T

atëherë mbyllet një cikël Ce i cili, duke patur njpërkasin drurit minimum T*, por jo drurit T. Le tω(e*) ≤ ω(e).

6.1 Kuptimi i lidhshmërisë sipas kulmeve dhe sipas

brinjëve

-Dy grafet e paraqitura në fig. 15 jannjëjtin numër kulmesh. Në qoftë se secili prej tyre do të paraqiatëherë shihet se rrjeti A ka një shkallë se rrjeti B. Në qotë se heqim nga rrjeta A nyjen 6 atndërpret mundësinë e ndërlidhjes. Perkufizim 1: Lidhshmëria e një grafi G sipas kulmeve, qkulmeve, largimi i të cilave e kthen në graf tPër një graf jo të lidhur, k(G)=0 ndërsa pPërkufizim 2: Lidhshmëria sipas brinj

cilave e kthen atë në graf të palidhur.

Teori grafesh

rcaktojnë ndonjë cikël. Fakti që algoritmi ka zgjedhur brinj(ei) ≤ ω(e’) dhe si pasojë kemi ω(ei) = ω(e’). përsëri një dru përfshirës, gjatësia e të cilit, në- ω(ei) = ω(T*).

shirës me peshë minimum T’ i cili ka të përbashk

grafin G është me peshë minimum atëherë dhe vet

l në bashkësinë e brinjëve të ko-ciklit De të përcaktuara prej saj.

të kundërtën: Le të jetë T* një dru përfshirës në*) + ω(e’) - ω(e) < ω(T*). Kundërthënie.

ë T një dru që plotëson kushtin e teoremës dhe ka numrin maksimal të brinjëve të përbashkëta. N

∈ T por që nuk ndodhet në T*. Largimi i brinjës T2 dhe përcakton ko-ciklin De. Po t’ia shtojmë

duke patur një brinjë e të përbashkët me të, përveç brinj*, por jo drurit T. Le të jetë e* një prej tyre. Sipas kushteve t

Si në teoremën 18, kemi që grafi T’= Tnjë dru përfshirës dhe sigurisht pesha emosbarazimin ω(T’) ≤ ω(T*), prej të cilit rrjedh: ω(e) ≤ ω(e*). Nga dy relacionet e peshave të brinjëve barazimin: ω(e) = ω(e*), e për pasojë: Kemi gjetur kështu një tjetër dru me peshë minimum ka të përbashkët me T edhe një brinjë më tepër. Kundërthënie.

sipas kulmeve dhe sipas

fig. 15 janë të lidhur dhe me të

paraqiste një rrjet telegrafik lidhshmërie më të ulët

se heqim nga rrjeta A nyjen 6 atëherë ky rrjet del plotësisht jashtë. Në B një

grafi G sipas kulmeve, që po e shënojmë me k(G), quhet numri minimal i graf të palidhur ose në një kulm të vetëm.

rsa për grafin e plotë kemi k(Kn) = n-1. ria sipas brinjëve, që shënohet λ(G), quhet numri minimal i brinj


13

algoritmi ka zgjedhur brinjën ei ,

ë bazë të barazimit të

rbashkët në TA një brinjë

dhe vetëm atëherë kur çdo

rcaktuara prej saj.

ë G dhe për peshën e

s dhe T* një dru me peshë ta. Në qoftë se T = T*

s e = rs e ndan drurin ë brinjën e drurit T*

përveç brinjës e të tjerat i prej tyre. Sipas kushteve të teoremës kemi

T* ∪ {e} – {e*} është s dhe sigurisht pesha e tij do të vërtetojë

Nga dy relacionet e peshave të brinjëve e dhe e* marrim , e për pasojë: ω(T’) = ω(T*).

Kemi gjetur kështu një tjetër dru me peshë minimum T’ që a të përbashkët me T edhe një brinjë më tepër.

ë ndodhi e tillë nuk e

, quhet numri minimal i

), quhet numri minimal i brinjëve, largimi i të


14

Thuhet se grafi G është q-lidhor sipas kulmeve në qoftë se k(G) ≥ q, dhe q-lidhor sipas brinjëve në qoftë se λ(G) ≥ q. Një nënbashkësi kulmesh (brinjësh) quhet bashkësi ndarëse, në qoftë se heqja e tyre rrit numrin e komponenteve të lidhur në të. Në qoftë se bashkësia ndarëse përbëhet nga një kulm i vetëm, atëherë ky i fundit quhet kulm ndarës ose nyje. Kur një brinjë e vetme është bashkësi ndarëse, ajo quhet urë. Teorema 20: Në një graf të lidhur G=(V; E) me |V| ≥ 3, një kulm i ∈ V është nyje atëherë dhe vetëm atëherë kur ekzistojnë 2 kulme j, k ∈ V (j, k ≠ i) të tilla që çdo shteg p nga j në k kalon nëpër kulmin i. Vërtetim: Kondita është e nevojshme: Marrim 2 kulme j, k në 2 komponente të lidhura të ndryshme të grafit G – {i}. Sigurisht grafi G – {i} nuk përmban shteg nga j në k. Ndërsa grafi G, duke qenë i lidhur, përmban shtegun nga j në k. Pra kulmi i ndodhet në çdo shteg që bashkon j me kulmin k. Kondita është e mjaftueshme: Supozojmë se ekziston kulmi j dhe k në grafin G, i tillë që në çdo shteg që bashkon këto 2 kulme, ndodhet kulmi i. Po të hiqet kulmi i, atëherë në grafin G – {i} nuk do të ekzistonte shtegu që bashkon j me k. Grafi i fundit rezulton jo i lidhur, pra kulmi i është nyje. Teorema 21 (pa vërtetim): Në një graf të lidhur G me |V| ≥ 3, një brinjë e ∈ E është urë atëherë dhe vetëm atëherë kur ekzistojnë 2 kulme j, k ∈ V të tilla që çdo shteg nga j në k përmban brinjën e. Teorema 22: Për çdo graf G janë të vërteta mosbarazimet: k(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G) Vërtetim: Ndalemi së pari në vërtetimin e mosbarazimit të dytë. Në qoftë se G është i palidhur, atëherë λ(G) = 0 ≤ δ(G). Në qoftë se G është i lidhur, atëherë, marrim një kulm i me fuqi d(i) = δ(G). Largimi i brinjëve incidente me kulmin i mjafton që G të kthehet në graf të palidhur, prandaj λ(G) ≤ δ(G). Kthehemi në vërtetimin e mosbarazimit të parë. Në qoftë se G është i palidhur, ose trivial, atëherë shihet se k(G) = λ(G) = 0. Kur G është i lidhur dhe përmban një urë ij, gjithashtu vihet re se k(G) = λ(G) = 1. Le ta zëmë se për grafin e lidhur G kemi λ(G) ≥ 2. Në këtë rast , nga vetë kuptimi i λ(G), gjenden λ(G)-1 brinjë, largimi i të cilave sjell shfaqjen e një ure ij në grafin e përftuar. Për secilin nga λ(G) – 1 brinjë, brinjët e larguara marrin njërin nga skajet me kusht që të i ndryshëm nga i dhe j. Nga mënyra e marrjes së këtyre kulmeve, sasia e tyre do të jetë jo më e madhe se λ(G) – 1. Në qoftë se bashkësia Q e atyre kulmeve është ndarëse, atëherë relacioni vërtetohet në formën e mosbarazimit. Në rast të kundërt grafi i përftuar është i lidhur dhe ka një urë ij. Kuptohet se bashkësitë Q ∪ {i}, Q ∪ {j} janë ndarëse, e për rrjedhojë kemi k(G) ≤ | Q ∪ {i}| ≤ λ(G) + 1 – 1 = λ(G). Pohim: Në qoftë se G është një graf me k(G) = k dhe Vk = {v1,…,vk} ⊂ V një nënbashkësi ndarëse prej k kulmesh të tij, atëherë lidhshmëria e grafit Gx, që përftohet duke shtuar një kulm x, dhe të gjitha brinjët xv1…xvk, është k(Gx) = k(G). Vërtetim: Është e qartë se për Gx ekziston një nënbashkësi ndarëse prej k kulmesh (Vk). Le të jetë bashkësia A ⊂ V, e tillë që |A| < k. Dallojmë dy raste:

I) x ∈ A. Në këtë rast grafi G’ që përftohet nga heqja e kulmeve A është ai që përftohet nga heqja prej grafit G kulmet A’ = A – {x}, që janë më pak se k, dhe prandaj është i lidhur.

II) x ∉ A. Në këtë rast heqja e kulmeve të bashkësisë A nuk cënon lidhshmërinë e grafit G dhe për pasojë as atë të Gx pasi kulmi x mbetet i lidhur me të paktën njërin nga kulmet e Vk.

Si përfundim do të kemi k(Gx) = k(G). 6.2 Kuptimi i grafeve planare, disa veti të tyre.

-Një nga problemet shumë të përhapura formulohet si më poshtë:

Secila nga 3 vilat v1, v2, v3 do të furnizohet me gaz, energji elektrike dhe me ujpërkatëse v4, v5, v6. A është e mundur qpika dhe lidhjet bashkë me tubacionet paraqitet me vija) ttë mos ndërpritet jashtë skajeve të tyre? Problemi i shtruar më sipër është i lidhur me k

Përkufizim: Grafi G është graf planar nparaqiten me pika në plan, ndërsa brinjëmos kenë pika të përbashkëta , përjashtuar rastin kur ato jan Kur një paraqitje e tillë është arritur, thuhet se dhe vetë grafi quhet graf planar. (shembull fig 17) Linjur me një graf planar, çdo zonë maksimale e planit, e tillthyer që nuk takon asnjë brinjë, quhet faqe e grafit. Ke kufizuar nga një bashkësi brinjësh. Të gjitha brinjët që tërësisht ndeshen në të përbëhet nga brinjë ciklesh të ndryshme si dhe nga brinjgjithmonë e pakufizuar, në këtë rast do ta quajm

Ekziston njatij t

Teorema 23: Në qoftë se G = (V ; E) vërtetë barazimi: n – m + f = 2. Vërtetim: Sipas metodës së induksionit tPër m =0, duke qenë se grafi është i lidhur, ai do tMe këto parametra barazimi 1 është i vëE zëmë se pohimi është i vërtetë për çdo Le të jetë grafi G një graf planar i lidhur me numështë dru, atëherë n = m + 1 (nga teorema) dhe parametra barazimi është i vërtetë. Shqyrtojmë rastin kur G nuk është dru Le tNë qoftë se shënojmë me G’ = G – e grafin qi cili ka m-1 brinjë dhe f ’ = f – 1 faqe. Nbarazimin: n – ( m – 1 ) + ( f - 1) = 2. Nbrinjë më shumë se grafi G’ dhe po ashtu nj

n - Përkufizim: Grafi G është graf planar maksimal

Teorema 24: Në qoftë se grafi G është planar maksimal Vërtetim: Në një graf planar maksimal ndodhet në kufirin e dy faqeve , si rrjedhojdyfishi i numrit të brinjëve dhe kemi:

Teori grafesh

furnizohet me gaz, energji elektrike dhe me ujë, nga nyjet shpe mundur që skema e lidhjeve (ku vilat dhe nyjet e shpërndarjes paraqiten me

me tubacionet paraqitet me vija) të vizatohet në letër në mënyr (fig 16)

hur me kategori të rëndësishme grafesh.

në qoftë se është e mundur që kulmet e tija të t me vija në mënyrë të tillë që dy nga dy ato të

uar rastin kur ato janë fqinje.

arritur, thuhet se është bërë ngulim planar i grafit G , (shembull fig 17)

maksimale e planit, e tillë që çdo dy pika të bashkohen me nj, quhet faqe e grafit. Kështu një faqe përfytyrohet si një zon

një faqe të caktuar për-bejnë kufirin e asaj faqe. Kufiri i faqes mund ndryshme si dhe nga brinjë ura (fig 18). Për çdo graf plan

rast do ta quajmë faqe e pafundme.

Ekziston një lidhje ndërmjet numrit të kulmeve, numrit tatij të faqeve të një grafi planar, si ajo që është formula e Eulerit

është graf i lidhur me n-kulme, n-brinjë dhe f

induksionit të plotë matematik: i lidhur, ai do të ketë n = 1 kulme dhe si faqe vetë

ërtetë. çdo graf planar të lidhur me më pak se m brinjë.

graf planar i lidhur me numër kulmesh |V| = m dhe brinjësh |E| = + 1 (nga teorema) dhe është e qartë se grafi G ka 1 faqe të vetme, p

dru Le të jetë C një cikël dhe një brinjë e e po këtij cikli. grafin që merret nga heqja e brinjës e, atëherë G’ do t

1 faqe. Në bazë të pohimit të induksionit të plotë matematik, p1) = 2. Në qoftë se e rivendosim përsëri brinjën e përftohet grafi G q

se grafi G’ dhe po ashtu një faqe më tepër. Për këtë graf, ana e majtë mund t- m + f = n - (n - 1) + f – 1 = 2

graf planar maksimal në qoftë se përçdo brinjë xy ∉ E , G +

planar maksimal atëherë m = 3n – 6.

graf planar maksimal çdo faqe ka në kufirin e vet 3 brinjë. Nga ana tjetkufirin e dy faqeve , si rrjedhojë shuma e brinjëve që lidhen me kufirin e të gjitha faqeve


15

, nga nyjet shpërndarëse rndarjes paraqiten me

nyrë që asnjë çift vijash

bashkohen me një vijë të zonë e lidhur e planit

n e asaj faqe. Kufiri i faqes mund graf planar, një faqe është

ulmeve, numrit të brinjëve dhe formula e Eulerit.

f-faqe atëherë është i

ëm atë të pafundmen.

| = n. Në qoftë se grafi vetme, përsëri me këto

tij cikli. ’ do të jetë graf i lidhur

matematik, për G’ kemi rftohet grafi G që ka një

mund të shkruhet :

+ xy nuk është planar.

. Nga ana tjetër çdo brinjë gjitha faqeve është sa


16

3o � 2; ⇒ f � 23 m

Rizëvendësojmë tek formula n – f + f = 2 dhe marrim:

p � ; + 23 ; � 2 ⇒ ; � 3p � 6 q9b. Për një graf planar me f-faqe do të shënojmë me fi numrin e faqeve që kanë në kufirin e tyre saktësisht i-brinjë. Në qoftë se T është bashkësia e numrit të brinjëve për të gjithë bashkësinë e faqeve, atëherë është i vërtetë barazimi: 8 o<< ∈ r

� o �2�

Në qoftë se grafi planar nuk përmban ura, atëherë çdo brinjë ndodhet në kufirin e 2 faqeve, prej këtu rrjedh barazimi: 8 :o<< ∈ r

� 2; �3� Terorema 25: Në çdo graf palnar G të rendit n, ku beli g vërteton barazimin 3 < g < ∞ numri m(G) i brinjëve plotëson kushtin:

; s max u gg � 2 �n � 2� ; n � 1v �4�

Vërtetim: Kemi rastet: 1) g = ∞. Grafi është pa cikle dhe dihet se m ≥ n -1. 2) g < ∞. Sigurisht do të kemi g ≤ n. Në këtë rast vlera më e vogël e mundshme e n është g. Grafi

kthehet në një cikël të vetëm me m = n = g dhe shihet se vërtetësia e barazimit (4) lehtë vërtetohet për numër kulmesh më të vogla se n, ku n > g.

Vërtetësia e pohimit nuk ngushtohet po të pranojmë se grafi G është graf i lidhur. Verejmë se n për 3 ≤ g ≤ n maksimumi në barazimin (4) arrihet në termin e parë. Kjo ndodh sepse ai term zvogëlohet me rritjen e g dhe kështu marrim:

u ww � 2 �p � 2� x pp � 2 �p � 2� � p > p � 1v

Le ta zëmë se grafi G përmban një urë. Si rrjedhojë me heqjen e saj përftohen 2 nëngrafe planare të lidhura G1, G2 me numër kulmesh n1 e n2 , numër brinjësh g1 ≥ g dhe g2 ≥ g. Në bazë të pohimit të induksionit mund të shkruajmë:

; � ;� + ;� + 1 s ;Gy u z�z� � 2 �p� � 2� ; �p � 1�v + ;Gy u w�w� � 2 �p� � 2�; �p� � 1�v + 1

Për rastin tonë të shumtën njëri nga grafet G1 , G2 mund të jetë dru. Le të analizojmë rastin kur G2 është dru. Mund të marrim mosbarazimin e mëposhtëm:

; s ;Gy u ww � 2 �p� � 2� ; �p� � 1�v + �p� � 1� + 1

� ;Gy u ww � 2 �p� � 2� ; �p� + p� � 1�v s ;Gy u ww � 2 �p� � 2� + ww � 2 p� ; �p � 1�v

� ;Gy { ||} � �p � 2� ; �p � 1�~


17

Kur të dy palët G1 , G2 nuk janë drurë, vazhdojmë më tej mosbarazimin (6) duke shfrytëzuar (5) dhe pastaj mosbarazimin g1 ≥ g; g2 ≥ g dhe marrim:

; s ;Gy u w�w� � 2 �p� � 2� ; �p� � 1�v + ;Gy u w�w� � 2 �p� � 2� ; �p� � 1�v

� w�w� � 2 �p� � 2� + w�w� � 2 �p� � 2� s ww � 2 �p� + p� � 4� � ww � 2 � p � 2 �

Ndalemi së fundmi në rastin kur G ka ndonjë urë. Këtu në bazë të barazimit (2) dhe (3) gjejmë: 2p � 8 :o<< ∈ r

� 8 :o<< � � x 8 wo<< ∈ r

� wo

Në bazë të formulës sëEulerit mund të shkruajmë :

; � 2 s p + o s p + 2;w Në bazë të kësaj arrijmë në përfundimin: ; s ww � 2 �p � 2�

6.3 Ngjyrimi i kulmeve Do të themi se është bërë një ngjyrim i kulmeve të një grafi G në qoftë se çdo kulmi të grafit i është caktuar një nghyrë e vetme në mënyrë të tillë që çdo 2 kulme fqinje të kenë ngjyra të ndryshme. Nëse ngjyrat e përdorura i numërojmë dhe bashkësia e indekseve të tyre është {1, 2.., r} (r ngjyra), atëherë një ngjyrim i grafit G është një pasqyrim C : V → {1, 2.., r} që plotësohet kushti: ij ∈ E ⇒ c(i) ≠ c(j) Një ngjyrim që përmban k ngjyra quhet k-ngjyrim, ndersa vetë grafi quhet k-ngjyrues. Përkufizim: Numri minimal i ngjyrave me të cilat mund të realizohet një ngjyrim i grafit G quhet numër

kromatik dhe shënohet X(G). Gjetja e numrit kromatik të një grafi është një nga problemet e teorisë së grafeve. Po sjellim një shembull: Kryesia e një parlamenti ka planifikuar mbledhjen tek të gjitha komisionet e tija ku duhet të marrin pjesë të gjithë anëtarët përkatës. Çdo komision do të mblidhet vetëm një ditë. Duke ditur se ka parlamentarë që janë anëtarë të disa komisioneve kërkohet një planifikim. -Ndërtojmë një graf me bashkësi të kulmeve me bijeksion me komisionet e parlamentit. Një brinjë e tij në bashkësinë E do të përfshihet në tëatëherë dhe vetëm atëherë kur ka një parlamentar që është anëtar i komisioneve i dhe j. Në grafin e ndërtuar çdo ngjyrim i kulmeve do të përcaktonte një numër ditësh që lejon të zhvillohen mbledhjet sipas kushtit të pjesmarrjes së parlamentarëve. Ngjyrimi i kulmeve të grafit me X(G) ngjyra zgjidh përfundimisht problemin e mësipërm. Në një ngjyrim të një grafi bashkësinë e kulmeve që kanë të njëjtën ngjyrë do ta quajmë klasa-ngjyrë. Teorema 26: Në qoftë se G është një graf i rendit n atëherë janë të vërteta mosbarazimet:

1) X(G) α(G) ≥ n. 2) X(G) + α(G) ≤ n + 1.

Ku me α(G) shënohet kardinalin e një bashkësie të pavarur maksimum në grafin G.


18

Vërtetim: Le të shënojmë me β = {S1, S2 .., SX(G)} copërtimin e bashkësisë së kulmeve V në nënbashkësi të pavarura për të cilat përcaktohet nga një ngjyrim i grafit me numër kromatik të ngjyrave, duke ditur se: ∀ Si / i = 1, 2, .. X(G) kemi barazimin |Si| < α(G). Me këto të dhëna vërtetohet mosbarazimi i parë. (detyrë) Për mosbarazimin (2), le të jetë S një nënbashkësi e pavarur maksimum në grafin G. Ngjyrosim kulmet S me ngjyrën 1. Pas kësaj do të kenë mbetur të pangjyrosura kulmet: |V| - S, për të cilat janë të mjaftueshme n – α(G) ngjyra të tjera. Për rrjedhojë të kësaj, numri kromatik vërteton mosbarazimin: X(G) ≤ [n - α(G)] + 1 ⇔ X(G) + α(G) ≤ n + 1. Pika (2) u vërtetua. Disa nocione dhe tregues që lidhen me problemin e ngjyrimit mbeten jo plotësisht të përcaktuara. Kështu për shembull klasat e ngjyrave mund të variojnë brenda të njëjtës bashkësi ngjyrash.

Siç tregohet ne shembullin e figurës 19, edhe vetë klasat e ngjyrave janë të ndryshme. Në këtë graf sipas ngjyrimit (a) klasat e ngjyrave janë {v1; v3; v7}, {v2; v4; v6}, {v5}, kurse sipas ngjyrimit (b) kemi {v1; v4}, {v2; v5; v7} {v3; v7}. Vërejmë gjithashtu se për pak raste të veçanta, pa asnjë vështirësi përcaktohet numri kromatik përkatës.

Ndëmjet tyre mund të përmendim: 1) Grafi G është një cikël elementar C2q, atëherë numri kromatik X(G) = 2. 2) Grafi G është një cikël elementar tek C2q+1 = X(G). 3) Grafi G është graf i plote Kn, atëherë X(Kn) = n. 4) Grafi G është i plotë me p-anë, numri kromatik do të jetë X(Kn1, n2..np) = p.

Duke mos qenë i mundur përcaktimi saktëssiht i numrit kromatik, atëherë do të përqendrohemi në përcaktimin e kufinjve të sipërm të tij. Pohim: Në çdo graf G me m-brinjë është i vërtetë mosbarazimi i mëposhtëm:

� � �� s 12 + �2; + 14

Vërtetim: Le të jetë c një ngjyrim i kulmeve të grafit G me k = X(G) ngjyra. Në qoftë se Si dhe Sj janë dy klasa në këtë ngjyrim, atëherë është e qartë se të paktën ndërmjet një çifti kulmesh x ∈ Si dhe y ∈ Sj ekziston një brinjë që i bashkon. Përndryshe klasat Si dhe Sj do të bashkoheshin në një të vetme. Prej këtej rrjedh se numri i brinjëve është jo më i vogël se numri i kombinimeve dy e nga dy të klasave. Kemi n ≥ ½ k(k-1), zgjidhet inekuacioni në lidhje me k dhe vërtetohet pohimi. -Për të realizuar një ngjyrim të një grafi mund të përdoret algoritmi i tipi “gëlltitës”. Realizimi i një ngjyrimi sipas kësaj proçedure tregon edhe se në rradhitjen më të favorshme të kulmeve ai nuk përdor më shumë se ∆(G) + 1 ngjyra. Ky numër është një kufi i sipërm i numrit kromatik. 7.1 Çiftëzimi, disa nocione themelore

Koncepti i grafit ngrihet mbi dy elemente bazë: një bashkësi elementesh dhe një relacion në atë bashkësi. Përkufizim: Një nënbashkësi kulmesh apo brinjësh të një grafi G quhet e pavarur në qoftë se asnjë çift elementesh prej saj nuk është fqinje. Një nënbashkësi brinjësh të pavarura, që po e shënojmë më shkronjën W quhet ndryshe çiftëzim në atë graf. Lidhur me një çiftëzim W, një kulm vi ∈ V quhet i çiftëzuar në qoftë se është skaj i ndonjë brinje e ∈ W, përndryshe kulmi vi quhet i lirë, ose i paçiftëzuar. Një çiftëzim quhet i përsosur kur prej tij janë të çiftëzuara të gjitha kulmet e grafit. I lidhur ngushtë me kuptimin e çiftëzimit është ai i mbulimit.

Përkufizim: Një nënbashkësi M ⊆ V quhet skaj në M. Do të quajmë k-faktor në një graf G çdoçiftëzim në atë graf. Çdo brinjë e vetme e ∈ G është një çiftëmbulim në të. Për të dyja rastet triviale të çiftëzimit dhe tmëposhtme:

1. Në grafin G të gjendet një çiftëçiftëzimit maksimum.

2. Në grafin G të gjendet një mbulim me kardinalin mmbulimit minimum.

Lemë 1: Për çdo çiftëzim W dhe çdo mbulim |W| ≤ |M| Vërtetim: Çdo brinjë e ∈ E dhe njëkohënuk ka ndonjë çift brinjësh nga W me skaje tRrjedhim: Në qoftë se W dhe M janë grafin G, atëherë W është një çiftëzim maksimal dhe Përkufizim: Një shteg P quhet i alternuar

fillon me një kulm të lirë dhe përmban n Përkufizim: Një shteg P quhet shteg i alternuar rrit

alternuar dhe dy skajet janë të lira. Pështigjet: P1: 1, 2, 4, 3, 6, 8 P2: 1, 3, 6, 7 P3: 1, 2, 4, 5, 8 Në qoftë se W është një çiftëzim në G dhe W’ = W ⊕ P është një çiftëzim i ri φ me kardinal | Lemë 2: në qoftë se W1 dhe W2 janë dy përfshirës H me bashkësi brinjësh : E(H) = (W1 – W2) ∪ (W2 – W1) është një

1. Kulm i izoluar 2. Cikël çift me brinjë të alternuara n3. Shteg me brinjë të alternuara në

çiftëzimeve në W1 dhe W2 . Vërtetim: Është e lehtë të dallohet se ∆(një brinjë nga çdo çiftëzim. Pra komponentja e grafit Marrim në shqyrtim një komponente të tillë, shteg ose cikël, brinjët duhet të jenkëtej rrjedh që kur komponentja është njTani të shqyrtojmë rastin kur komponentja është i lirë saktësisht ndaj njërit prej çiftëprej njërit prej çiftëzimeve, psh W1 .

Teori grafesh

quhet mbulim në grafin G në kur çdo brinjë e ∈ E

çdo nëngraf përfshirës k-rregullor. Çdo 1-faktor në

çiftëzim dhe është e qartë se e gjithë bashkësia e kulmeve

zimit dhe të mbulimit vjen natyrshëm shtrimi i dy problemeve t

çiftëzim me kardinal më të madhin e mundshëm. Ky quhet

mbulim me kardinalin më të vogël të mundshëm. Ky quhet

mbulim M në një graf të dhënë G, është i vërtetë mosbarazimi:

ësisht çdo e ∈ W ka të paktën njërin skaj në bashkme skaje të përbashkëta, atëherë mbulimi M ka jo më

përkatësisht një çiftëzim dhe një mbulim me kardinale tzim maksimal dhe M është një mbulim minimal.

i alternuar lidhur me një çiftëzim W me një graf G nrmban në mënyrë të alternuar brinjë nga E – W dhe W.

i alternuar rritës kur është shteg i ër shembull, Në fig.20 të tilla janë

dhe P është shteg i alternuar rritës, atëherë mbetja simetrike zim i ri φ me kardinal |W’| = |W| + 1.

dy çiftëzime në një graf G1 atëherë çdo komponent i lidhur i n

ëri prej tipeve të mëposhtme:

alternuara në W1 dhe W2 W1 dhe W2 , çdo skaj i të cilit është i lirë saktë

dallohet se ∆(H) ≤ 2, përderisa çdo kulm nuk mund të jetë fqinj me mzim. Pra komponentja e grafit H mund të jetë shteg, cikël, ose kulm i izoluar.

H që nuk është një kulm i izoluar. Shihet se njenë të alternuara, përndryshe do të cënohej kuptimi i një cikël, atëherë ajo duhet të ketë një numër çift

rastin kur komponentja është shtegu P. Në këtë rast duhet të tregojmçiftëzimeve. Është e qartë se çdo kulm skajor ësht


19

∈ E ka të paktën njërin

ë një graf G është një

a e kulmeve V është një

m shtrimi i dy problemeve të

m. Ky quhet problemi i

m. Ky quhet problemi i

mosbarazimi:

bashkësinë M. Por meqë ë pak elementë se W.

lim me kardinale të njëjta në

në qoftë se shtegu P

mbetja simetrike

onent i lidhur i nëngrafit

ësisht ndaj njërit prej

fqinj me më shumë se l, ose kulm i izoluar.

kulm i izoluar. Shihet se në çdo komponente të nohej kuptimi i çiftëzimit. Prej

brinjësh. tregojmë që çdo skaj i tij

shtë fqinj me një brinjë


20

Po të provojmë se ai kulm është fqinj edhe me çiftëzimin W2, atëherë shtëgu P do të mund të shtrihej edhe më tej, përderisa bëhet fjalë për komponente të lidhura. Ky fakt bie në kundërthënie me faktin që kulmi eshtë skajor. Kushtë ngelet që të jetë i vërtetë njëri prej 3 rasteve më sipër. Teorema 27: Një çiftëzim W në grafin G është maksimum atëherë dhe vetëm atëherë kur nuk ekziston w-

shteg rritës në të. Vërtetim: KN: Le të jetë W një çiftëzim në grafin G dhe supozojmë se grafi G përmban një w-shteg rritës P: v0 , v1 … vk . Sigurisht k është numër tek si në çdo shteg rritës. Nuk është e vështirë të vërehet se bashkësia e brinjëve: W1 = ( W – { v1v2 , v3 v4 .. vk-2vk-1 } ) ∪ �v0v1 , .. , vk-1vk } është një çiftëzim i ri në grafin G i cili ka më shumë brinjë se W . Arrijmë kështu në një kundërthënie në zgjidhjen e çiftëzimit W si një çiftëzim maksimum në grafin G. KM (anasjellas): E zëmë se në grafin G ekziston një shteg rritës dhe pranojmë se çiftëzimi W nuk është çiftëzim maksimum. Shënojmë në grafin G çiftëzimin W1 si çiftëzimin maksimum në G dhe shqyrtojmë nëngrafin përfshirës H ku E(H) është diferenca simetrike e W me W1 : E(H) = W ⊕ W1 = (W - W1) ∪ (W1 - W ). Në Lemën më sipër janë treguar 3 mundësitë strukturore të komponenteve të lidhura te H-së. Duke marrë parasysh natyrën e tyre , si dhe faktin që |W1| > |W| rrjedh se të paktën njëri nga komponentet e lidhura do të jetë një shteg i alternuar P që do të përmbajë më shumë brinjë prej shtegut W1 sesa prej shtegut W1. Prej kësaj rrjedh që P është një shteg rritës në G (kundërthënie). 7.2 Çiftëzimet dhe grafet dy-anësore.

Janë të shumtë problemet nga fushat e ndryshme të prodhimit dhe të studimit që matematikisht modelohen mbi bazën e grafeve dy-anësore. Disa shembuj që zgjidhen nëpërmjet grafeve dy-anësore:

a. problemi i martesave

b. problemi i caktimeve

c. problemi i përfaqësimeve

Problemi i përfaqësimeve: Jepen nje familje bashkësish jo-boshe S1, S2, … Sn ku secila i ka elementet nga e njëjta bashkësi E. Nëse një element x ∈ E ndodhet në njërën nga bashkësitë Si, ai mund të konsiderohet edhe si një përfaqësues i saj. Në këto kushte kërkohet të gjendet nëse ekziston një koleksion prej n elementesh nga bashkësia E që të jenë përfaqësues të ndyshëm të bashkësive Si...Sn. Ky koleksion emërtohet ndryshe sistemi i përfaqësuesve. Ky problem mund të formulohet edhe në teorinë e grafeve, ku së pari ndërtohet një graf që pasqyron tërësisht të gjitha kushtet e problemit. Për këtë qëllim ndërtohet një graf dy-anësor me nënbashkësi kulmesh X dhe Y përkatësisht në bijeksion në familjen e nënbashkësive Si dhe vetë bashkësisë E. Një brinjë ej = xjyj vendoset në grafin G atëherë dhe vetëm atëherë kur ej ∈ Si. Sic shihet N(xj) = { yj / ej ∈ Si }. Tani është e kuptueshme se gjetja e një sistemi përfaqësuesish është e vlefshme me gjetjen e një çiftëzimi W që përfaqëson të gjitha kulmet e X në anën Y. Teorema 28 (Teorema König 1931): Kardinali i një çiftëzimi maksimum në një graf dy-anësor G = (X ∪ Y ; E) është i barabartë me atë të një mbulimi minimum në atë graf. Vërtetim: Le të jetë W një çiftëzim me kardinal maksimal në grafin G. Ndërtojmë një nënbashkësi kulmesh M duke përfshirë në të vetëm njërin prej skajeve të brinjëve ab ∈ W (a ∈ X, b ∈ Y) duke zbatuar rregullin e mëposhtëm: -Në qoftë se lidhur me çiftëzimin W ekziston ndonjë shteg i alternuar me fillim në një kulm nga bashkësia X që mbaron në kulmin b, atëherë kulmi b futet në bashkësinë M, përndryshe në M futet kulmi a (fig. 21.a).

Është e qartë vërtetësia e barazimit |W| = |G, atëherë në bazë të rrjedhimit të Lem

teorema. Le të jetë e = ab ∈ E një brinjë cfarëdo e grafit G. Në qoftë se e ∈ W atëherë nga vetë ndërtimi i bashkësisë M, njëri nga skajet e saja ndaodhet në këtë bashkësi, pra brinja e mbulohet prej M. Shqyrtojmë tani rastin kur e = ab ∈ W. Meqë W është çiftëzim maksimum, atpërbashkët me brinjën e. Analizojmë dy rastet e mundshme:

1. Kulmi a është i paçiftëzuar. Në ki alternuar që mbaron në kulmin bashkësia M.

2. Kulmi a është i çiftëzuar (fig 21.c). Në qoftë se për brinjën a’b’ skaji a’ ∈ rrjedhojë b’ ∈ M. Në këtë rast një shteg i ab’. Në qoftë se kulmi b ndodhet në këbrinja ab mbulohet nga M. Nëse b ∉ M atëherë detyrimisht kulmi kundërtën, që kulmi nuk është i çiftëzuar, atbrinjën ab do të përftohej një shteg i alternuar rritmaksimum. Tani duke qenë se b është kulm i alternuar, që arrin në kulmin e çiftëzuar b, do t Përkufizim: Për një bashkësi kulmesh Aqoftë se ekziston një çiftëzim W që si skaje n Terorema 29 (Hau 1935): Në një graf dyvetëm atëherë kur vërtetohet mosbarazimi: | Vërtetim: Le të jetë M = A’ ∪ B’ një mbulim minimal me kulme B’⊂ Y. Nëse grafi G nuk përmban çiftëzim tkemi: |A| + |B| = |M| < |X| dhe rrjedhimisht, sic shihet edhe n|X - A’| (2) Në bazë të përkufizimit të bashkësisë brinjë me skaje X – A’ ∧ Y – B’ prandaj shfrytëzuar barazimin (2) gjendet mosbarazimi: |cili bie në kundërshtim me kushtin e teorem 7.2 Ciklet Himiltoniane. Në vitin 1865 William Hamilton, në njPërmbajtja e saj ishte si më poshtë:

Teori grafesh

| = |M|. Në qoftë se mundemi të provojmë që M Lemës 1, ai do të jetë mbulim minimum, dhe kështu do t

zim maksimum, atëherë ai përmban një brinjë e’ = a’b’ që njdy rastet e mundshme:

këtë rast do të kemi që kulmi b = b’ dhe vetë brinja ab kulmin b, dhe si rrjedhojë kulmi b ∈ M, pra brinja ab mbulohet nga

zuar (fig 21.c).

∈ M, atëherë do të kemi që edhe a ∈ M. Supozojmshteg i alternuar me fillim në një kulm nga bashkësia

ëtë shteg atëherë kulmi b është element i bashk

detyrimisht kulmi b duhet të jetë kulm i çiftëzuar. Vërtetë, po tzuar, atëherë nga shtegu P i vazhduar me brinjën

shteg i alternuar rritës, gjë që kundërshton faktin qkulm i çiftëzuar, dhe se shtegu P’ = P ∪ {a’b’,

zuar b, do të kemi përfundimin që b ∈ M.

A ⊆ X në një graf dyanësor G = (X ∪ Y ; E ) thuhet se si skaje në X ka elementet nga bashkësia A.

graf dy-anësor, ekziston një çiftëzim W që pasqyron rtetohet mosbarazimi: |N(A)| ≥ |A|.

mbulim minimal me kulme A’ ⊂ X dhe zim të X, atëherë në bazë të teoremës 28

| dhe rrjedhimisht, sic shihet edhe në fig.22, |B’| < |X| - |A’| =

M (si mbulim) grafi G nuk përmabn prandaj N(X – A’) ⊆ B’, prej këtej, dhe duke

zuar barazimin (2) gjendet mosbarazimi: |N(X – A’)| ≤ |B’| < |X – A’|, i rshtim me kushtin e teoremës.

një letër dërguar një miku të tij, formuloi një loj


21

M është një mbulim në shtu do të vërtetohej

njërin skaj e kanë të

brinja ab është një shteg , pra brinja ab mbulohet nga

. Supozojmë se a’ ∉ M, si sia X vjen deri tek kulmi

element i bashkësisë M dhe përsëri

, po të supozonim të n b’a’ dhe pastaj me

rshton faktin që W është çiftëzim , ab} është një shteg i

) thuhet se çiftëzohet në

pasqyron X në Y atëherë dhe

lojë që pastaj e shiti.


22

-Një dymbëdhjetë-faqësh, kulmet e të kunjash bashkues, përfaqësonte vend-banimet mkohe. Thelbi i lojës ishte të përcaktohej një rrugtë kaloheshin nëpër të gjitha vendbanimet vetpikënisje. Në trajtë të hapur, 12-faqëshi paraqitet nproblemi shtohen konceptet e mëposhte:

Përkufizim: Një cikël në grafin G që kalon njHamiltonian. Përkufizim: Shteg Hamiltonian në grafin Përkufizim: Grafi që përmban një cikël Hamiltonian

Teorema 30 (Ore 1860): Nëse grafi G ëq është i vërtetë mosbarazimi: dG(p) + dG

Vërtetim: Do të përdorim supozimin e kundformuluara në teoremë, ai nuk është graf Hamilbrinjë të reja, me kusht që grafi që përftohet tpërftohet si më sipër. Pra grafi G’ ka cilpo t’i shtojmë një brinjë e = pq, grafi G’ + pq formon njCH : p = j1 ; j2 … jn-1 ; jn = q ; p. Nëse këtij cikli i heqim brinjën pq përftohet njMeqë brinja pq është një brinjë që shtohet, kulmet në grafin G. Le të vërejmë vërtetësinë e këtij pohimi tpara-ardhësi i tij nuk është fqinj me kulmin q. Pra është për t’u vërtetuar implikimi:

Kështu arritëm në një kundërthënie. Shshtegun ZH. Kardinali i saj është |B| = dG’ përfshihen në N – B – {q}. Për rrjedhojë do të kemi: dG’(q) ≤ |N – B Duke përdorur edhe këtë relacion për shumdG’(p) + dG’(q) ≤ n-1. Arritëm në një kund Përkufizim: Do të quajmë mbyllje të njëpërftohet prej grafit G duke bashkuar me njfuqive të të cilave është të paktën n = |

cilit ishin prej sferash druri, brinjët prej banimet më të rëndësishme në botë të asaj

rrugë lëvizjeje nëpër brinjët e 12-faqëshit që gjitha vendbanimet vetëm një herë dhe të përfundohej në

shi paraqitet në fig. 23. Në bazë të këtij poshte:

kalon një herë dhe vetëm një herë në çdo kulm t

grafin G quhet çdo shteg që përmban të gjitha kulmet e grafit.

l Hamiltonian quhet Graf Hamiltonian.

është një cikël i rendit n ≥3, dhe për çdo çift kulmesh jo fqinjG(q) ≥ n. (1)

rdorim supozimin e kundërt. Pranojmë se ekziston një graf G që megjithgraf Hamiltonian. Le t’i shtojmë grafit G sa herrftohet të mos Hamiltonian. Shënojmë me G’ nj

r. Pra grafi G’ ka cilësinë që po t’i shtojmë një brinjë cfarëdo kthehet ne = pq, grafi G’ + pq formon një cikël Hamiltonian.

rftohet një shteg Hamiltonian i formës: ZH : p = jshtohet, kulmet p dhe q janë jo-fqinje në grafin G’, dhe si rrjedhoj

tij pohimi të ndërmjetëm kur një kulm në shtegun ZH ështj me kulmin q.

rtetuar implikimi: ji ∈ N(p) ⇒ ji-1 ∉ N(q) (2) Vërtetë po të ndodhë e kundërta, për një indeks i do t∈ N(p) ⋀ ji-1 ∉ N(q). Në këto kushte mund të pohohet se në grafin G’ mbyllet njcikël Hamiltonian (fig 24). p = j1 , j2 … ji-1

nie. Shënojmë me B bashkësinë e paraardhësve të fqinjdG(p). Nga vërtetësia e implikimit (2) rrjedh se fqinj

B – {q}| = |N| - |B| - 1 = |N| - dG’(p) – 1 = n – dG’(p) – 1 ∴ dG’(q) + dG’(p) ≤ n -1

r shumën e fuqive të kulmeve p⋀q gjendet barazimi: dkundërthënie nga kushtet e teoremës.

ë grafi G, që shënohet me simbolin V(G) = mbydhja

duke bashkuar me një brinjë në mënyrë të vazhdueshme kulmet jo= |V(G)|

kulm të grafit quhet Cikël

gjitha kulmet e grafit.

kulmesh jo fqinjë p dhe

megjithëse gëzon vetitë e sa herë që është e mundur

një graf maksimum që do kthehet në graf Ham. Pra

j1 ; j2 … jn-1 ; jn = q . , dhe si rrjedhojë edhe

shtë fqinj me kulmin p,

indeks i do të kishim ji

grafin G’ mbyllet një ; q = jn ; …. ji ; j1 =p

fqinjëve të kulmit p në se fqinjët e kulmit q në

gjendet barazimi: dG(p) + dG(q) ≤

mbydhja, çdo graf të ri që vazhdueshme kulmet jo-fqinje, shuma e


23

Teorema 31: Në qoftë se grafet G’ dhe G” janë dy grafe që janë marrë në mënyrë të vazhdueshme duke futu brinjë bashkuese ndërmjet kulmesh jo-fqinje me shumë të fuqive të paktën n sa herë është e mundur një gjë e tillë, atëherë G’ = G”. Vërtetim: Shënojmë me e1, e2 …, ei dhe 1, 2, … i vargjet e brinjëve të futura në grafin G për të përftuar përkatësisht dy mbylljet G’ ⋀ G”. Do të shënojmë në mënyrë të tillë që të tregojmë se çdo brinjë ep bën pjesë në G” dhe çdo brinjë p bën pjesë në G’. Le të jetë brinja ep = xy brinja e parë në vargun e1, e2, … ei që nuk ndodhet ne G”. Marrim në shqyrtim grafin Gp-1 = G + {e1, … , ep-1} Nga përkufizimi i grafit G’ rrjedh që dGp-1(x) + dGp-1(y) ≥ n. Nga ana tjetër nga mënyra e zgjedhjes së brinjës ek grafi Gp-1 do të jetë një nëngraf i grafit G”, për pasojë do të merret mosbarazimi: dG’(x) + dG”(y) ≥ n. Ky mosbarazim bie në kundërthënie në faktin se kulmet x dhe y kanë mbetur jo-fqinje në grafin G”, në mënyrë të ngjashme tregohet se q bën pjesë në G’ dhe përfundimisht marrim barazimin: G’ = G”. Kontribut vullnetar nga E.Cuni. Ndihmoi A.Berdica. Uroj që ky dokument te përdoret me të njëjtën frymë të mirë me të cilën u krijua. Leksionet janë marrë nga profesoresha e lëndës. Përfunduar në Qershor 2010.

Teori grafesh – bitbit.uni.cc Teori Grafesh - 4...

Documents

Transcript of Teori grafesh – bitbit.uni.cc Teori Grafesh - 4...