TEORI ANTRIANSuatu antrian ialah garis tunggu dari nasabah yangmemerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fa-silitas layanan). Antri adalah kejadian yang biasadalam kehidupan sehari-hari seperti menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api, me-nunggu pada pompa bensin, pada pintu tol, ketika akan keluar dari super market dan lain-lain. Sekarang ini teori antrian banyak diterapkan dalam bidang bisnis (bank, super market), industri (pelayan-an ATM, penyimpanan), transportasi (pelabuhan udara, pelabuhan laut, jasa pos) dan lain-lain.

KOMPONEN PROSES ANTRIANKomponen dasar proses antrian adalah kedatangan,pelayanan dan antri. Komponen-komponen ini disaji-kan pada gambar berikut ini.

SumberKedatangan Antrian Fasilitas Keluar pelayanan

(1). KedatanganSetiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalorang, mobil, atau panggilan telepon untuk dilayani.Unsur ini sering dinamakan proses input.

(2). PelayananPelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri darisatu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitaspelayanan. Contohnya : jalan tol dapat terdiri daribeberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapathanya terdiri dari dari satu pelayan dalam satu fasi-litas pelayanan yang ditemui pada loket seperti padapenjualan tiket di gedung bioskop. Disamping itu,perlu diketahui cara pelayanan dirampungkan, yangkadang-kadang merupakan proses rendom.(3). AntriInti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri.Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat

Kedatangan dan proses pelayanan. Penentuan antrianlain yang penting disiplin antri. Disiplin antri adalahaturan keputusan yang menjelaskan cara melayani,misalnya : datang awal dilayani dulu (FCFS = FirstCome First Served atau FIFO = First In First Out),yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar (LCFS = Last Come First Out atau LIFO = Last In First Out),panggilan didasarkan pada peluang secara random(SIRO = Service In Random Order), prioritas pelaya-nan diberikan kepada mereka yang mempunyai prio-ritas lebih tinggi dibandingkan dengan mereka yangmempunyai prioritas lebih rendah (PS = PriorityServed). Jika tidak ada antrian berarti terdapatpelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas.

STRUKTUR DASAR PROSES ANTRIAN(1). Satu Saluran Satu Tahap (Single Channel-Single Phase)

Antrian Pelayan Keluar

(2). Banyak Saluran Satu Tahap (Multi Channel- (Single Phase)

Antrian Pelayan Keluar

(3). Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel- Multi Phase)

Antrian Pelayan Pelayan Keluar

(4). Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel- Multi Phase)

Antrian Pelayan Pelayan Keluar

NOTASI MODEL ANTRIAN1. Pn = Probabilitas n pengantri dalam sistem2. L = Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem3. Lq = Rata-rata banyaknya pengantri dlm antrian4. W = Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayan)5. Wq = Rata-rata waktu antri6. I = Proporsi waktu menganggur pelayanBanyaknya analisa antrian akhirnya sampai pada per-tanyaan bagaimana merancang fasilitas pelayananatau berapa tingkat pelayanan yg seharusnya disediakan. Jika variabel adalah tingkat pelayanan, makamodel hrs mengidentifikasi hubungan antara tingkat

pelayanan dengan parameter dan variabel-variabelyg relevan. Kriteria evaluasi dari model adalah :Total Expected Cost. Hubungan variabel (tingkatpelayanan dengan kriteria evaluasi (total expectedcost) ditunjukkan pada gambar berikut.

Total Cost merupakan jumlah dari biaya pelayanandan biaya menunggu.Biaya Pelayanan : Jika tingkat pelayanan ditambah, biaya pelayanan akan bertambah. Contohnya jika dibuka dua loket,biaya akan bertambah sebesar gaji untuk penjagaloket yang kedua. Jika tingkat pelayanan bertambah,waktu menganggur pelayan diharapkan bertambah,sehingga pada tingkat pelayanan tertentu, biaya pe-layanan dalam masalah antrian hanya memasukkanbiaya waktu menganggur pelayan. Adanya waktu me-nganggur merupakan opportunity cost karena tidakmengalokasikan pelayan kegiatan produktif yang lain.

Biaya MenungguUmumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkatpelayanan dan waktu menunggu. Namun sangat sulitmenyatakan secara eksplisit biaya menunggu per unitwaktu. Biaya menunggu dapat diduga secara seder-hana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengusaha atau turunnya produktivitas bagi pekerja.Sehingga model antrian dapat dirumuskan sbb : Minimumkan : E[Cs] = I.Ci + W.CwKeterangan : E[Cs] = Total Expected Cost utk tingkat pelayanan S I = Waktu menganggur pelayanan yg diharapkan Ci = Biaya menganggur pelayan per unit waktu W = Waktu menunggu yg diharapkan utk semua kedatangan Cw = Biaya menunggu pengantri per unit waktu

Asumsi-asumsi Teori Antrian1. Model antrian adalah model probabilistik (stokas- tik) karena unsur-unsur tertentu proses antrian yg dimasukkan dlm model adalah variabel rendom. Variabel random ini sering digambarkan dengan distribusi probabilitas. Asumsi yg biasa digunakan dalam distribusi keda- tangan (banyaknya kedatangan per unit waktu) adalah distribusi Poisson :

r = banyaknya kedatangan P(r) = probabilitas r kedatangan A = tingkat kedatangan rata-rata e = logaritma natural= 2,71828

(2). Distribusi Waktu PelayananWaktu pelayanan dalam proses antrian dapat juga sesuai dengan salah satu bentuk distribusi. Asumsi ygbiasa digunakan bagi distribusi waktu pelayanan adlhdistribusi eksponensial negatif, sehingga jika waktupelayanan mengikuti distribusi eksponensial negatif,maka tingkat pelayanan mengikuti distribusi Poisson.Rumus fungsi kepadatan probabilitas eksponensialnegatif adalah :

t = waktu pelayananF(t) = probabilitas kepadatan yg berhubungan dengan tU = tingkat pelayanan rata-rata1/U = Waktu pelayanan rata-rata

(3). Dalam teori antrian, pada umumnya pengantri diasumsikan dilalayani berdasarkan FCFS.(4). Sistem yang digunakan dalam teori antrian adlh keadaan keseimbangan atau disebut dengan Stady State. Ini berarti ciri-ciri operasi seperti panjang antrian dan rata-rata waktu menunggu akan memiliki nilai konstan setelah sistem berjalan selama suatu periode waktu.(5). Tingkat pelayanan U harus melebihi tingkat ke- datangan pengantri A. Jika tidak, antrian akan makin panjang sehingga tak ada solusi keseimba- ngan. Hubungan antara tingkat kedatangan A dan tingkat pelayanan U serta panjang antrian yg diharapkan ditunjukkan pada gbr berikut.

0 0,1 0,2 0,3 1,0 A/U

MODEL ANTRIAN (M / M / 1)Pada model ini kedatangan dan keberangkatan meng-ikuti distribusi Poisson dengan tingkat A dan U.Terdapat satu pelayan, kapasitas pelayanan dansumber kedatangan tak terbatas. Ini adalah modelantri yang paling sederhana dan merupakan model ygakan dibahas.Untuk menentukan semua ukuran prestasi atau ciri-ciri operasi, dapat dilakukan dengan mudah setelahdiperoleh Pn, yaitu probabilitas n pengantri dalamsistem. Melalui penurunan matematik yang cukuppanjang, dalam kondisi steady state diperoleh : Pn = (1 - R). Rn, dimana (R=A/U) 1 , n=1,2,3,.

Bertolak dari rumus itu dapat diperoleh ciri-ciri ope-rasi lain :(1). Probabilitas terdapat k atau lebih pengantri dlm sistem adalah : Pn k = Rk.(2). Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem :

(3). Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri

(4). Rata-rata waktu menunggu dalam sistem :

(5). Rata-rata Waktu Antri :

(6). Proporsi waktu menganggur pelayan : I = 1 - R

Contoh:Penumpang kereta api pada loket dengan tingkatrata-rata 20 per jam. Secara rata-rata setiap pe-numpang dilayanan 2 menit. Setelah sistem beradadalam steady state, carilah :a. P4 b. L c. Lq d. W e. Wq

Penyelesaian :Tingkat kedatangan rata-rata A= 20 per jam, dantingkat pelayanan rata-rata U = 30 per jam (60/2=30), sehingga R = 2/3 (atau A/U = 20/30 = 2/3).a. P4 = (1 - R). R4 = (1 - 2/3). (2/3)4 = 16/192 R 2/3b. L = ------ = -------- = 2 penumpang 1 - R 1 - 2/3 R2 4/9c. Lq = ----- = ------- = 1,33 penumpang 1-R2 1-4/9d. W = 1/(U-A) = 1/(30-20) = 1/10 jam = 6 menit

e. Wq = A/(U(U-A)) = 20/((30)(30-20)) = 4 menit

Misalkan kepala stasiun mengetahui dengan mengganti penjaga loket yang ada dengan penjaga yang ter-ampil, waktu pelayanan berkurang dari rata-rata 2menit per penumpang menjadi 1,5 menit per penum-pang (40 penumpang per jam). Namun upah penjagaterampil adalah Rp 600 per jam, yang berarti duakali upah penjaga yang ada. Kepala stasiun juga mem-perkirakan biaya menunggu adalah Rp 500 per menit.Haruskah kepala stasiun mengganti penjaga yangada dengan penjaga yang lebih terampil ?