BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
-
Upload
tengku-putri-al-majida -
Category
Documents
-
view
246 -
download
1
Transcript of BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
1/31
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Distribusi Poisson1
2.1.1.Defenisi Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu
banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau
disuatu daerah tertentu, sering disebut percobaan poisson. Selang waktu tersebut
dapat beberapa saja panjangnya, misalnya semenit, sehari, seminggu, sebulan,
atau bahkan setahun. Dengan demikian suatu percobaan poisson dapat saja
membangkitkan pengamatan-pengamatan bagi peubah acak X yang menyatakan
banyaknya dering telfon perhari disuatu kantor, jumlah hari sekolah ditutup
karena turunnya salju dimusim dingin, atau banyaknya pertandingan yang
tertunda karena hujan selama satu musim kompetisi sepakbola. Daerah tertentu
yang dimaksudkan di atas dapat saja berubah disuatu ruas garis, suatu luasan,
suatu volume, atau saja sepotong bahan. Dalam hal demikian ini, X mungkin sajamenyatakan banyaknya tikus sawah perhektar, banyaknya bakteri dalam suatu
kultur biakan, atau banyaknya kesalahan ketik perhalaman.
Percobaan poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut
!. "anyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu
daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi
pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
#. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang
singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang
selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada
banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar selang waktu atau daerah
tersebut.
1$onald %. &alpole.!'((. Pengantar Statistika Edisi Ke-3.)*akarta P+. ramedia
Pustaka tama h.!/0-!/1
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
2/31
0. Peluang bahwa jelih dari suatu hasil percobaan akan terjadi dalam selang
waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut, dapat
diabaikan.
"ilangan X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu
percobaan poisson disebut peubah acak poisson dan sebaran peluangnya disebut
sebaran poisson. 2arena nilai-nilai peluangnya hanya bergantung pada μ yaitu
rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah
yang diberikan.maka kita akan melambangkannya dengan p ( x ; μ ) . Penurunan
rumus dari p ( x ; μ ) berdasarkan ciri-ciri percobaan poisson yang dirincikan
diatas, ada diluar cakupan pada buku ini.
2.1.2. Gambaran Umum Distribusi Poisson
Sebaran peluang bagi peubah acak poisson X yang menyatakan
banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah
tertentu adalah
p )34 µ 5 e-µ µ-36 37, untuk 3 5 !,#,0,......,
Sedangkan dalam hal ini µ adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan
yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan dan e 5
#,/!(#(.
Sebaran poisson dan binom memiliki histogram yang bentuknya hampir
sama bila n besar dan p kecil )dekat dengan nol. 8leh karena itu, bila kedua
kondisi itu dipenuhi, sebaran poisson dengan µ 5 np dapat digunakan untuk
menghampiri peluang binom. "ila p nilainya dekat dengan !, kita dapat saling
menukarkan apa yang telah kita defenisikan sebagai keberhasilan dan kegagalan
dengan demikian mengubah p menjadi suatu nilai yang dekat dengan nol.
2.1.3. Apliasi Distribusi Poisson !alam Te"ri Antrian2
2 Sukaria Sinulingga. #99(. Pengantar Teknik Industri ):ogyakartaraha ;lmu h. #1#-
#10
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
3/31
Proses poisson lebih mudah dijelaskan melalui contoh berikut.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
4/31
ƒ (T )= ƛe− T ƛ
Disini ƒ (T ) adalah suatu fungsi padat dari T dan T sendiri adalah
sebuah peubah sembarang )random variable.
2.2.Distribusi Eksponensial 3
2.2.1.Defenisi Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial negatif merupakan suatu distribusi random yang
variabelnya berdiri bebas tanpa memori masa lalu. Distribusi ini merupakan suatu
distribusi yang banyak digunakan dalam sistem antrian.
Distribusi eksponensial ini memudahkan analisis matematisnya, namun
sama sekali tidak menghilangkan sifatnya. Dalam hal ini apabila suatu produk
mempunyai lifetime )umur produk dengan distribusi eksponensial , maka produk
ini walaupun sudah dipakai selama n waktu akan tetap sama saja baiknya dengan
bila produk baru dikurangi sisa waktu kerusakan produk tersebut.
Suatu Continous Random Variables 3 disebut mempunyai suatu distribusi
ekponensial dengan parameter λ, dimana λ @ 9. >pabila fungsi densit probabilit
diberikan sebagai berikut
f ( x )=
{ λ e
− λx
0 { x ≥0, λ>0
¿ x yang lain
Dan kumulatif fungsi distribusinya
A )3 5 ∫−∞
x
f ( y ) dy={1−e x
untuk x>00 yanglainnya
$ata-rata )mean dari distribusi ekponensial % )3 dinyatakan sebagai berikut
3 +homas * 2akiay. #99B. !asar Teori "ntrian untuk Ke#idupan Cyata ):ogyakarta
>ndi h. ##-#0.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
5/31
% )3 5 ∫−∞
∞
xf ( x ) dx
2.2.2. Gambaran Umum Distribusi Eksponensial 4
Distribusi eksponensial memiliki sifat-sifat sebagai berikut
!. Suatu random variable 3 dikatakan tidak mempunyai memori )ingatan ke
belakang lagi )memor test$ apabila P3@sEt63@tF 5 P3@tF untuk semua s,t@9
#. >pabila dianggap 3 adalah distribusi dari umur suatu benda ) produ%t$ maka
probabilitas di atas menunjukkan benda atau produ%t tersebut akan tahan
)hidup6baik paling sedikit )sEt jam di mana daya tahannya sebanyak t jam
adalah sama dengan probabilitas semula yang tahan paling sedikit s jam.
0. Dengan kata lain apabila produk tersebut hidup6tahan selama waktu t maka
distribusi dari sejumlah sisa waktunya yang bisa bertahan ) survive adalah
sama dengan original lifetime distribusinya, yang mana produk tersebut tidak
lagi diingat bahwa sudah digunakan di dalam waktu t jam.
B. Distribusi eksponensial bilamana random variabel dari distribusi eksponensial
tidak mempunyai ingatan ke belakang lagi, yang dirumuskan dengan e
-G)sEt
5e
-
Gs.- Gt
2.2.3.Apliasi Distribusi Eksponensial !alam Te"ri Antrian#
Eksponensial merupakan hal khusus dari distribusi gamma. 2eduanya
mempunyai terapan yang luas. Distribusi eksponensial dan gamma memainkan
peran yang penting dalam teori antrian dan teori keandalan )reliabilitas. *arak
antara waktu tiba di fasilitas pelayanan )misalnya bank dan loket tiket kereta api,
dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang dan alat listrik, sering
menyangkut distribusi eksponensial .
4 $onald %. &alpole. !''#. Ilmu Peluang dan Statistika &ntuk Insinur dan Ilmu'an
)"andung ;+" h. #1.
5 Ibid.( h. !('
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
6/31
2.3.Te"ri Antrian$
+eori antrian merupakan suatu alat analisis yang sangat membantu dalam
memecahkan masalah antrian. +eori ini mencakup studi matematika yang
menghasilkan informasi penting yang dibutuhkan dalam pengambilan keputusan
dengan bantuan peramalan berbagai karakteristik barisan antri.
Sistem antrian terdiri dari barisan antrian dan stasiun pelayan. Pelanggan
yang membutuhkan pelayanan berasal dari suatu sumber yang disebut %alling
population masuk ke dalam sistem antrian dari waktu ke waktu. Para pelanggan
datang ke sistem dan bergabung membentuk barisan antrian. Pada waktu tertentu,
salah satu anggota dari barisan antri ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan
didasarkan pada aturan tertentu yang disebut displin pelayanan. Pelayanan
diberikan kepada pelanggan melalui mekanisme pelayanan dan setelah selesai
dilayani, pelanggan tersebut meninggalkan sistem antrian.
Sistem antrian memiliki H )enam eleman utama yaitu
!. Sumber )Populasi
Salah satu karakteristik dari sumber yang perlu diketahui adalah ukuran
populasi yaitu jumlah pelanggan yang memerlukan pelayanan dari waktu ke
waktu. yang berkewajiban
melakukan melakukan pembayaran rekening listrik setiap bulan di kantor
wilayah tersebut. kuran populasi dikatakan terbatas apabila jumlah anggota
dari populasi relatif kecil atau dapat dihitung. Sebaliknya, ukuran populasi
tidak terbatas apabila jumlah anggota cukup besar atau tidak diketahui secara
persis karena jumlahnya yang besar. 2arena pengertian kecil dan besar sangat
relatif maka satu-satunya cara penentuan yang dipakai ialah ada-tidaknya pengaruh dari jumlah pelanggan yang sedang berada dalam sistem terhadap
jumlah kedatangan anggota berikutnya masuk ke dalam sistem. Populasi
dikatakan terbatas apabila jumlah pelanggan dalam sistem mempengaruhi
besarnya kedatangan berikutnya dan sebaliknya, populasi dikatakan tidak
terbatas apabila jumlah pelanggan dalam sistem tidak mempengaruhi besarnya
kedatangan berikutnya.
6 Sukaria Sinulingga, )p.%it.( h. #B'-#1#
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
7/31
#. 2edatangan Pelanggan
Pola distribusi kedatangan pelanggan ke dalam sistem menentukan pola
besarnya kedatangan pelanggan dalam sistem. Suatau anggapan yang bisa
dibuat adalah kedatangan pelanggan ke dalam sistem selalu mengikuti proses
Poisson. Ial ini benar apabila kedatangan pelanggan terjadi secara random
dengan kecepatan kedatangan rata-rata tertentu. >nggapan lain ialah distribusi
probabilitas dari selang waktu antara kedatangan mengikuti distribusi
eksponensial. Selang waktu antar dua kedatangan pelanggan yang berurutan
disebut selang waktu kedatangan.
0. "arisan >ntrian
Suatu antrian selalu ditandai dari besarnya jumlah pelanggan yang ada dalam
sistem antrian untuk mendapatkan pelayanan. +ergantung dari kapasitas sistem,
jumlah maksimum dari pelanggan yang dapat ditampung oleh sistem dapat
terbatas atau tidak terbatas. >ntrian disebut terbatas apabila jumlah pelanggan
yang dibenarkan masuk ke dalam sistem dibatasi sampai jumlah tertentu. "ila
pembatasan jumlah tidak ada, maka antrian tersebut tidak terbatas.
B. Displin Pelayanan
Displin pelayanan adalah suatu aturan yang dikenakan dalam memilih
pelanggan dari barisan antrian untuk segera dilayani.
7>da 1 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan, yaitu
a. *irst In *irst )ut +*I*)$ atau *isrt Come *irst Served +*C*S$ merupakan
suatu peraturan di mana yang akan dilayani terlebih dahulu adalah
pelanggan yang datang terlebih dahulu. Jontohnya dapat dilihat pada
antrian di loket-loket penjualan karcis kereta api.
b. ,ast In *irst )ut +,I*)$ atau ,ast Come *irst Served +,C*S$ merupakan
antrian di mana yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal
atau paling dahulu. Jontohnya adalah pada sistem bongkar muat barang di
dalam truk, dimana barang yang masuk terakhir justru akan keluar terlebih
dahulu.
7 +homas * 2akiay, )p.%it.( h. !#
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
8/31
c. Servi%e In Random )rder +SIR)$ dimana pelayanan dilakukan secara acak.
Jontohnya adalah pada arisan, di mana pelayanan atau servi%e dilakukan
berdasarkan undian )random
d. Priorit Servi%e +PS$( di mana pelayanan didasarkan prioritas khusus.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
9/31
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil,
panggilan telepon untuk dilayani, dan lain L lain. nsur ini sering dinamakan
proses input . Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan
%alling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan
variabel acak. Kariabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa
saja sebagai hasil dari percobaan acak. Kariabel acak dapat berupa diskrit atau
kontinu. "ila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja,
maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila nilainya
dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai variabel acak
kontinu.
#. Pelayan
Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan,
atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. +iap L tiap fasilitas pelayanan kadang L
kadang disebut sebagai saluran )%#annel . Jontohnya, jalan tol dapat memiliki
beberapa pintu tol. ntri
;nti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri. +imbulnya antrian terutama
tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan. *ika tak ada antrian
berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas pelayanan.
2.3.2. Steady State System9
*ika sistem antrian telah mencapai kondisi stead state )kedaan tunak,
maka probabilitas Pn)tF menjadi konstan dan independen terhadap waktu. Solusi
stead state untuk Pn ini bisa didapat dengan menetapkand Pn(t )dt 5 9
>sumsikanlimt→∞
Pn(t ) 5 Pn sehingga
9 Diah Puspitasari. "plikasi Sistem "ntrian dengan Saluran Tunggal pada &nit Pelaksana Teknis
+&PT$ Perpustakaan &niversitas egeri Semarang. Diakses pada tanggal #9
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
10/31
limt→∞
{d Pn (t)dt } 5 9ntuk t MN maka persamaan di atas menjadi
ntuk n 59 maka diperoleh
9 5 L )G 9 E O9 P9 )t E O! P! E G -! P-!
2arena G -! 5 9 dan O9 5 9 maka persamaan di atas menjadi
9 5 - G 9 P9 E O! P! ,
⇔ P! 5
λ0
μ1
P0 )!
ntuk n @ 9 diperoleh
9 5 -)G n E On Pn )t E OnE! PnE! )t - )G n-! E On-! Pn-! )t
⇔ Pn E! 5
λn
μn+1 Pn+
λn Pn− λn−1 Pn−1
μn+1 )#
Pada persamaan )#, perhatikan ruas kanan yang kedua. *ika n @ ! maka
On Pn G n !Pn -! 5 On
[ λ n−1
μn Pn−1+
λn−1 Pn−1− λn−2 Pn−2 μn ]−¿
G n !Pn -!
5 On-! Pn-! G n #Pn -#
langi perhitungan dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga diperoleh
On Pn G n -!Pn -! 5 O!P! G 9 P9
dari persamaan untuk )! diperoleh
Pn 5
λn−1
μn Pn−1
5
λn−1
μn [ λ n−2
μn−1 Pn−2]
sehingga diperoleh
Pn 5
λn−1 λn−2… λ0
μn μn−1… μ1 P0
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
11/31
kuran-ukuran kinerja yang terpenting dari situasi antrian setelah
mencapai kondisi stead state yang dipergunakan untuk menganalisis situasi
antrian adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu dalam antrian )Q R,
rata-rata waktu menunggu yang diperkirakan dalam antrian )&R, dan persentase
pemanfaatan sarana pelayanan yang diperkirakan.
Dengan mempertimbangkan sarana pelayanan sebanyak s pelayan
paralel, maka dari definisi Pn diperoleh
Q 5 ∑n=0
∞
n Pn
QR 5 ∑n=0
∞
(n−s ) Pn
Iubungan yang lain adalah sebagai berikut.
& 5 L
λ
&R 5
Lq
λ
G adalah laju kedatangan rata-rata dalam jangka waktu yang panjang dimana
´ λ 5 ∑n=0
∞
λn Pn
Persentase pemanfaatan sebuah sarana pelayanan dengan s pelayan yang paralel
dapat diperoleh sebagai berikut.
Persentase pemanfaatan 5 λ
s μ 3 !99
Solusi stead state ini diturunkan dengan asumsi bahwa parameter-
parameter G n dan On adalah sedemikian sehingga kondisi stead state dapat
tercapai. >sumsi ini terjadi jika 5 λ
s μ T !.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
12/31
2.3.3.'"!el(m"!el Sistem Antrian1)
>da beberapa model pada sistem antrian diantaranya adalah sebagai
berikut
2.3.3.1. Single Channel – Single Phase
Single C#annel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem
pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single P#ase berarti hanya ada satu
pelayanan.
Gambar 2.1. '"!el Single Channel – Single Phase
2.3.3.2. Single Channel – Multi Phase
;stilah /ulti P#ase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang
dilaksanakan secara berurutan )dalam p#ase-p#ase. Sebagai contoh pencuci
mobil.
Gambar 2.2. '"!el Single Channel – Multi Phase
2eterangan < 5 >ntrian
S 5 Aasilita Pelayanan
2.3.3.3. Multi Channel – Single Phase
Sistem /ulti C#annel 0 Single P#ase terjadi kapan saja dimana ada dua
atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, sebagai contoh model ini
adalah antrian pada teller sebuah bank.
10 ; Cyoman ( )p. %it ., h. B-H
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
13/31
Gambar 2.3. '"!el Multi Channel – Single Phase
.3.3.*. Multi Channel – Multi Phase
Sistem /ulti C#annel 0 /ulti P#ase ditunjukkan dalam gambar berikut.
Sebagai contoh, registrasi para mahasiswa di universitas, pelayana kepasa pasien
di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai
pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan
pada setiap tahapnya.
Gambar 2.*. '"!el Multi Channel – Multi Phase
2.3.*. N"tasi !an Termin"l"+i Antrian11
+erminologi dan notasi yang digunakan dalam sistem antrian adalah
sebagai berikut
2eadaan sistem *umlah pelanggan pada sistem antrian.
Panjang antrian *umlah pelanggan yang menunggu pelayanan
%n 2eadaan dimana ada n pelanggan pada sistem antrian.
Pn)t 2emungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem
antrian pada saat t
s *umlah pelayan pada sistem antrian.
11 Diah Puspitasari. )p. Cit ., h. ##-#B.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
14/31
Gn Qaju kedatangan rata-rata )ekspektasi jumlah kedatangan per
satuan waktu dari pelanggan baru jika ada n pelanggan
dalam sistem.
On Qaju pelayanan rata-rata )ekspektasi jumlah pelanggan yang
dapat selesai dilayani per satuan waktu jika ada n pelanggan
dalam sistem.
*ika G n adalah konstan untuk semua n, maka dapat ditulis sebagai G .
*ika On konstan untuk semua n U !, maka dapat ditulis sebagai O . Disini O n 5 s O
jika n U s sehingga seluruh pelayan )sejumlah s sibuk. Dalam hal ini1
λ
menyatakan ekspektasi waktu diantara kedatangan, sedangkan1
μ menyatakan
ekspektasi waktu pelayanan. V5 λ
s μ adalah faktor penggunaan )utilisasi untuk
fasilitas pelayanan, yaitu ekspektasi perbandingan dari waktu sibuk para pelayan.
*ika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem )jumlah
unit dalam sistem akan sangat dipengaruhi oleh state )keadaan awal dan waktu
yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem dikatakan dalam kondisi
transien. +etapi, lama kelamaan keadaan sistem akan independen terhadap state
awal tersebut, dan juga terdapat waktu yang dilaluinya. 2eadaan sistem seperti ni
dikatakan berada dalam kondisi stead state. +eori antrian cenderung memusatkan
pada kondisi stead state, sebab kondisi transien lebih sukar dianalisis.
Cotasi-notasi berikut ini digunakan untuk sistem dalam kondisi stead
state
Pn 2emungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem antrian.
Q $ata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem.
QR $ata-rata panjang antrian.
& $ata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam sistem.
&R $ata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam antrian.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
15/31
&)t Peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t
dalam sistem.
&R)t Peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t
dalam antrian.
"erikut ini akan di uraikan hubungan antara Q dan &. >sumsikan bahwa
G n adalah konstan untuk semua n sehingga cukup ditulis G .
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
16/31
Cotasi baku yang mengganti simbol a dan b untuk distribusi kedatangan
dan keberangkatan sebagai berikut.
< Distribusi kedatangan atau keberangkatan berdistribusi Poisson )waktu antar
kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial .
D &aktu antar kedatangan atau waktu pelayanan yang konstan atau
deterministik.
%k &aktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi %rlang atau
amma dengan parameter k.
; Distribusi independen umum dari kedatangan.
Distribusi umum dari keberangkatan.
Cotasi baku yang mengganti simbol d untuk peraturan pelayanan adalah
umum )D dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat P
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
17/31
0.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
18/31
dan
a. "ila 9 W n W s
Pn 5(λ /µ )
n
n! P0
b. "ila n U s
Pn 5(λ /µ )
n
s!sn-s
P0
Pn5 Probabilitas n pelanggan yang menunggu
s 5 "anyaknya server dalam satu jalur
G 5 *umlah kedatangan rata-rata per satuan waktu
5 *umlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu pada setiap jalur
2.3.$.1. Rata(Rata Tin+at ,e!atan+an %elan++an
2edatangan langganan ke dalam sistem selalu menurut proses Poisson,
yaitu banyaknya langganan yang datang sampai pada waktu tertentu mempunyai
distribusi Poisson. >nalisis sistem antrian untuk tingkat kedatangan )λ
didasarkan pada jumlah rata-rata kedatangan pelanggan pada interval waktu yang
tetap, sebagai berikut
I
- # =λ
Dimana
C 5 *umlah kedatangan historis
; 5 *umlah interval waktu pengamatan
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
19/31
2.3.$.2. Rata(Rata Tin+at %ela-anan
+ingkat pelayanan yang dinyatakan dengan notasi adalah jumlah
kendaraan atau manusia yang dapat dilayani oleh satu tempat pelayanan dalam
satu satuan waktu tertentu, biasa dinyatakan dalam satuan kendaraan6jam atau
orang6menit )&P.
℘= 1❑
Dimana
&P 5 +ingkat Pelayanan
µ 5 *umlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu pada setiap jalur
Selain itu dikenal juga notasi V yang didefinisikan sebagai nisbah antara
tingkat kedatangan )G dengan tingkat pelayanan ) dengan persyaratan bahwa
nilai tersebut selalu harus lebih kecil dari !
V5 G6 T !
*ika nilai V @ !, hal ini berarti bahwa tingkat kedatangan lebih besar dari
tingkat pelayanan. *ika hal ini terjadi, maka dapat dipastikan akan terjadi antrian
yang akan selalu bertambah panjang.
2.3.$.3. Tin+at Utilitas Sistem
Dalam faktor utilitas dikenal istilah )under saturated 4ueue untuk V T !,
yaitu bila tingkat kedatangan kurang dari maksimum tingkat pelayanan. >pabila
kondisi sebaliknya disebut dengan )over saturated 4ueue, dimana V @ ! akan
terjadi suatu antrian yang semakin lama semakin panjang, bila sumber input atau
kedatangan menunjukkan angka yang tak terhingga sehingga akibatnya akan
terjadi antrian yang tidak akan habis. Pada kondisi )under saturated 4ueue, laju
kedatangan dapat diatasi oleh tingkat kemampuan pelayanan, sehingga akan
tercapai suatu kondisi ) stead state, yaitu suatu kondisi dimana terjadi
keseimbangan antara laju kedatangan dengan tingkat pelayanan suatu fasilitas.
+ingkat utilitas sstem dapat ditentukan dengan persamaan sebagai
berikut
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
20/31
V 5 λ
k μ
Dimana
V 5 +ingkat utilitas sistem
λ 5 +ingkat kedatangan
μ 5 +ingkat pelayanan
2.3.$.*. Rata(Rata umla/ %en+un0un+ !alam Antrian L1#
$ata-rata jumlah pegunjung dalam antrian )QR dirumuskan sebagai
berikut
QR 5P0 (λ/µ)
sρ
s! (1-ρ)2
QR5 *umlah rata-rata pegunjung dalam antrian
s 5 "anyaknya server dalam satu jalur G 5 *umlah kedatangan rata-rata per satuan waktu
5 *umlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu pada setiap jalur
r 5 tilisasi server 5 l6s.m
QR 5 rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian
2.3.$.#. Rata(Rata umla/ %en+un0un+ !alam Sistem L
$ata-rata jumlah pegunjung dalam sistem )Q dirumuskan sebagai
berikut
Qs 5 QR Eλ
µ
Qs 5 *umlah rata-rata pegunjung dalam sistem
QR 5 *umlah rata-rata pegunjung dalam antrian
G 5 *umlah kedatangan rata-rata per satuan waktu
15 Ibid.( h. 01
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
21/31
5 *umlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu pada setiap jalur
2.3.$.$. Rata(Rata 4atu %en+un0un+ !alam Antrian 4
$ata-rata waktu pegunjung dalam antrian )&R dapat diformulasikan
sebagai berikut
&R 5Lq
λ
QR 5 *umlah rata-rata pegunjung dalam antrian
G 5 *umlah kedatangan rata-rata per satuan waktu
&R 5 $ata-rata waktu pegunjung dalam antrian
2.3.$.5. Rata(Rata 4atu %en+un0un+ !alam Sistem 4
$ata-rata waktu pegunjung dalam sistem )& dapat diformulasikan
sebagai berikut
&s 5 &R E1
µ
&s 5 $ata-rata waktu pegunjung dalam sistem
5 *umlah rata-rata yang dilayani per satuan waktu pada setiap jalur
&R 5 $ata-rata waktu pegunjung dalam antrian
2.*. Softwae Easy!it
2.*.1. 6un+si !an Se0ara/ Easy!it 1"
Eas*it membantu dalam urusan dengan ketidakpastian dan membuat
keputusan dengan menganalisis data probabilitas yang telah dibuat dan memilih
distribusi yang memiliki fitting terbaik. Eas*it memungkinkan untuk dengan
mudah masuk sejumlah besar distribusi yang diperoleh dalam hitungan detik,
menghemat waktu dan mencegah kesalahan analisis.
16
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
22/31
2.*.2. Simb"l(simb"l -an+ Di+unaan !alam %en+"la/an Easy!it
Simbol dalam pengolahan Eas*it dapat dilihat pada ambar #.1.
berikut.
Gambar 2.#. Simb"l !alam Easy!it
2.*.3. Lan+a/(lan+a/ %en+u0ian Distribusi !en+an Softwae Easy!it
Qangkah-langkah pengolahan soft'are easfit adalah sebagai berikut
!. Pilihlah software easfit yang ada pada dekstop
#.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
23/31
2.#. Softwae #in$S% 15
2.#.1. 6un+si !an Se0ara/ #in$S%
Soft'are YS" )7uantit Sstem for business atau umumnya juga
dikenal dengan nama I7S2 )YS" yang berjalan pada sistem operasi &indows
merupakan software yang mengandung algoritma problem solving untuk riset
operasi )operational resear%# dan untuk ilmu manajemen. Soft'are ini
dikembangkan oleh :ih-Qong Jhang. Soft'are ini terdapat beberapa submodul
yang dapat membantu menyelesaikan permasalahan umum dalam menajemen
bagi manajer dan masalah bisnis umumnya.
I7S2 sendiri terdapat beberapa modul yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan masalah masalah operation resear%# dan ilmu manajemen seperti
analisis Sampling, >gregat dalam sistem Produksi, >nalisis 2eputusan,
Pemrograman dinamis, goal programming , +ata letak fasilitas, peramalan
permintaan, Sistem inventor, Penjadwalan kerja, Pemrograman Qinier dan
Integer , Pernencanaan kebutuhan material )
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
24/31
Sampling )JhSP-!, Continuous Sampling )JSP-! dan Skip-lot Sampling )S
kS P-#.
b. "ggregate Planning
"gregate Planning atau perencanaan agregat sering kali digunakan dalam
divisi Planning Produ%tion Inventor Control )PP;J atau dalam sistem
produksi. "gregate planning yaitu menggabungkan dan mengalokasikan
kapasitas produksi yang ada . >da pun permasalahan yang terdapat dalam
agregasi ini meliputi model sederhana, permasalahan transportasi, dan model
,inear programming . Kariabel yang dimasukkan yaitu kapasitas produksi
dihitung dengan &;CYS" ini dengan mengisi variabel kapasitas part-time,over time( ba%k order( lost sales( umber of Planning Periods( Capa%it
Re4uirement per Produ%t6Servi%e( Initial umber of Planning Resour%e (Initial
lnventor( 2a%korder of Produ%t6Servi%e sehingga nanti bisa menghitung
perencanaan agregasi dalam sistem produksi.
c. !e%ision "nalsis
ntuk menganalisis dari beberapa alternatif keputusan yang diambil sehingga
keputusan yang diambil bisa tetap. I7S2 juga bisa melakukan perhitungan
seperti ini. >dapun permasalahan yang bisa dianalisis meliputi 2esian
"nalsis( Paoff Table "nalsis( T'o-plaer( ;ero-sum
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
25/31
penjualan. Dengan Program I7S2 ini dapat menganalisis data untuk
peramalan time series dan peramalan regresi. ed-)rder-7uantit )s. Y, Sistem Continuous Revie' )rder-&p-To )s. S,
Periodi% Revie' *i>ed-)rder-Interval )$. S, Periodi% Revie' )ptional
Replenis#ment )$. s. S.
i. ?ob S%#edulling
?ob s%#edulling bisa melakukan penjadwalan kerja sesuai dengan jumlah
sumber daya yang terbatas baik itu mesin, manusia dan jumlah operasi dalam
pekerjaan. ?ob s%#edulling ini untuk mendapatkan waktu dan alokasi yang
optimal.
j. ,inear and Integer Programming
,inear dan Integer Programming merupakan bagian dari riset operasi. "anyak
permasalahan perusahaan yang dirumuskan kedalam linear dan Integer
programming . +ujuan dari ini adalah untuk mendapatkan nilai yang optimal
dengan memperhatikan keterbatasan sumber daya.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
26/31
2.#.3. Lan+a/(Lan+a/ %en+"la/an1&
Qangkah L langkah pegolahan data pada model antrian dengan Soft'are
in7S2 adalah sebagai berikut
:. "uka aplikasi dengan cara klik Start @ Program @ in7S2 @ 7ueuing "nalsis
Gambar 2.5. 'embua Apliasi #in$S%
8. 2emudian, akan muncul tampilan awal dari in7S2 dan pilih *ile @ e'
Problem atau klik i%on ne' folder .
Gambar 2.&. #in$S% &ew Po'lem
3. >kan muncul pilihan menu Simple /6/ sstem dan
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
27/31
Gambar 2.8. Po'lem Spe(ifi(ation
B. ;si kolom dengan nilai yang sesuai dengan kasus yang akan diselesaikan.
Gambar 2.1). 'asuan Nilai e Dalam ,"l"m
1. 2emudian pilih menu Solve and "nal=e @ Solve T#e Performan%e atau klik
icon dari Solve T#e Performan%e.
Gambar 2.11. %ili/ Sol)e *he Pefoman(e
A. 2emudian akan muncul tampilan hasil analisis in7S2.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
28/31
Gambar 2.12. Tampilan 7asil Analisis #in$S%
2.$. Simulasi Antrian18
2.$.1. Tu0uan Simulasi
Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan
menggunakan model dari satu sistem nyata. Simulasi merupakan suatu model
pengambilan keputusan dengan mencontoh atau mempergunakan gambaran
sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya
pada keadaan yang sesungguhnya. +ujuan simulasi dengan server optimum adaah
untuk mengetahui apakah dengan adanya penambahan atau pengurangan server
suatu sistem akan semakin baik atau buruk.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
29/31
untuk masa lebih singkat dari masa perencanaan.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
30/31
#.
-
8/17/2019 BAB II MODUL D TEORI ANTRIAN
31/31
0. jilah model dan bandingkan tingkah lakunya dengan tingkah laku sistem
nyata.
B. $ancang percobaan-percobaan simulasi.
1. *alankan simulasi dan analisis data.