David Sandoval

Marco teórico

Teorema de Green

Previa caracterización de los campos conservativos, hemos visto que un campo irrotacional puede no ser conservativo. Tenemos por tanto una condición fácil de comprobar, que es necesaria para que un campo sea conservativo, pero no es suficiente. En particular, para un campo vectorial F :Ω→R2, diferenciable en un dominio Ω⊆R2, puede ocurrir que el rotacional escalar rotF sea idénticamente nulo en W sin que F sea conservativo en W. Sin embargo, bajo ciertas condiciones sobre el dominio W sí se puede asegurar que todo campo vectorial diferenciable e irrotacional en W es conservativo en W. La explicación de este tipo de resultado se encuentra en una importante fórmula integral descubierta por el científico británico George Green (1793-1841) en su estudio de los campos electromagnéticos. La fórmula de Green, o si se prefiere, el Teorema de Green, relaciona una integral de línea con una integral doble y, aparte de su utilidad en el estudio de los campos conservativos en dominios de R2 , tiene otras aplicaciones interesantes.

Curvas de Jordan

En lo que sigue vamos a trabajar con un tipo particular de caminos, que reciben el nombre de caminos simples. Intuitivamente un camino es simple cuando no tiene auto-intersecciones, es decir, un móvil que lo recorre no pasa dos veces por un mismo punto. Esto invita a decir que un camino γ : [a, b] →Rn es simple cuando γ es una función inyectiva, es decir, para s, t ∈[a, b] con s< t no podría ocurrir que γ (s) = γ (t). Sin embargo un camino cerrado nunca podría verificar esta condición. Relajamos entonces la hipótesis de inyectividad, sólo para permitir que pueda ser γ (a) = γ (b). Por tanto, decimos que un camino γ : [a, b] →Rn es simple cuando cumple la siguiente condición:

s, t ∈ [a, b], s < t , γ (s) = γ (t) ⇒ s = a ; t = b (1)

A partir de ahora nos concentramos en el caso n = 2. La curva recorrida por un camino simple cerrado en R2recibe el nombre de curva de Jordan.

Así pues, una curva de Jordan es un conjunto Γ= γ (t): a ≤ t ≤ b donde γ : [a, b] →R2 es un función continua, con γ (a) = γ (b), y verificando la condición (1). El siguiente teorema lleva el nombre del matemático francés C. Jordan (1838-1922), aunque la primera demostración enteramente correcta fue publicada en 1905 por el norteamericano O. Veblen (1880-1960).

Teorema de la Curva de Jordan

Si Γ es una curva de Jordan, su complemento R2\Γ es unión de dos dominios disjuntos, cuya frontera común es Γ ; uno de ellos está acotado y recibe el nombre de región interior a Γ y el otro, no acotado, es la región exterior a Γ .

Consideremos como ejemplo, la elipse, definida en forma implícita por:

Para ver que es una curva de Jordan, basta usar el camino γ : [0, 2π] →R2 dado por:

Es fácil comprobar que γ es un camino cerrado y simple que recorre la elipseΓ . Las regiones interior y exterior, D y G, a la elipse Γ son:

Observamos que en este ejemplo, como en la mayoría de los que se utilizan en la práctica, la tesis del teorema anterior se puede comprobar directamente sin dificultad. Es claro que D es un dominio acotado, G es un dominio no acotado,

Recordemos que caminos muy diferentes pueden recorrer una misma curva, lo cual sigue siendo

cierto aunque consideremos solamente caminos simples. Intuitivamente es claro, por ejemplo, que la circunferencia centrada en un punto (xo ; yo)∈ R2 con radio ρ0 > 0 es una curva de Jordan C que puede recorrerse en sentido anti-horario, mediante el camino simple cerrado σ definido por:

Y puede también recorrerse en sentido horario, mediante el camino opuesto σ op que también es cerrado y simple. Observamos que al recorrer la circunferencia C mediante el camino, la región interior a C queda a la izquierda. Suele decirse que σ está orientado positivamente, mientras que σop tiene orientación negativa. Pues bien, esta noción de orientación puede extenderse a caminos cerrados simples cualesquiera. La formulación matemática rigurosa de esta noción de orientación no es sencilla así que no vamos a exponerla, conformándonos con la idea intuitiva: diremos que un camino cerrado y simple γ recorre una curva de Jordan Γ con orientación positiva cuando lo hace en sentido anti-horario, mientras que γ estará orientado negativamente cuando recorra la curva Γ en el sentido de las agujas del reloj. Equivalentemente, γestá orientado positivamente cuando recorre la curva Γ dejando a la izquierda su región interior.

Enunciado del TeoremaPodemos ya enunciar el resultado principal de esta lección:

Teorema de Green: Sea γ un camino en R2, regular a trozos, cerrado y simple, que recorre una curva de Jordan Γ con orientación positiva. Sea D la región interior a Γ y F Ω→R2, un campo

vectorial de clase C1 en un abierto Ω⊆R2tal que D∪G ⊆ W. Entonces, la integral de línea de F a lo largo del camino γ coincide con la integral doble sobre D del rotacional escalar de F:

Más explícitamente, si F = (P, Q) en Ω, el teorema afirma que:

Es costumbre usar una notación que permite recordar con facilidad las hipótesis del teorema

anterior. Puesto que la curva de Jordan Γ coincide con la frontera del dominio D, Γ = ðD, resulta sugestivo denotar al camino γ por ðD+ para resaltar que dicho camino recorre la curva ðD y está orientado positivamente. La fórmula de Green toma entonces la siguiente forma:

Donde también hemos modificado el símbolo de la integral de línea para resaltar que el camino es cerrado.

Demostración Notase que el Teorema de Green quedará demostrado si se prueba que 1

Y

2

Para demostrar la ecuación 1 expresemos D como una región tipo I:

Donde y son funciones continuas. Esto permite calcular la doble integral del lado derecho de la ecuación 1 como sigue:

3

Donde en el último paso se sigue el teorema fundamental del cálculo.

Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuación 1 descomponiendo como la unión de las cuatro curvas , , y como se muestra en la figura. en tomamos como el

parámetro y escribimos las ecuaciones para-métricas como y

.

Entonces:

Observe que va de derecha a izquierda, pero va de izquierda a derecha, de modo que

podemos escribir las ecuaciones para-métricas de como y . Por lo tanto:

En y , es constante, de modo tal que y

Por lo tanto,

Comparando esta expresión con la de la ecuación 3, vemos que,

La ecuación 2 se puede probar en forma muy semejante al expresar D como una región tipo II. Entonces sumando las ecuaciones 1 y 2, obtenemos el Teorema de Green.

El teorema de Green se cumple aún para regiones que tengan uno o más hoyos, siempre que cada parte de la frontera esté orientada de modo que quede siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su dirección positiva. Basta con descomponerla en regiones ordinarias.

Cálculo de áreas mediante la fórmula de GreenPara un campo con rotacional escalar constantemente igual a 1, la integral doble que aparece en la fórmula de Green es el área de la región interior a una curva de Jordan, luego podemos calcular tal área mediante una integral de línea. Disponemos de varias elecciones posibles para el campo

vectorial, ya que es fácil dar ejemplos de campos vectoriales de clase C1 en todo el plano con rotacional escalar constantemente igual a 1. Concretamente, podemos usar cualquiera de los

campos F = (P, Q):R2 →R2definidos, para todo (x; y) ∈ R2por:

En cualquiera de los tres casos F es un campo vectorial de clase C∞ R2y se verifica que

Por tanto, aplicando el Teorema de Green obtenemos:

Corolario: Sea γ un camino enR2, regular a trozos, cerrado y simple, que recorre una curva de Jordan Γ con orientación positiva. Entonces el área de la región D interior a Γ viene dada por:

Obsérvese que el resultado anterior permite confirmar la orientación del camino γ , puesto que cualquiera de las integrales que aparecen en el segundo miembro de la igualdad anterior debe tener un valor estrictamente positivo. Si al evaluar cualquiera de esas integrales obtuviésemos un valor negativo, detectaríamos que el camino está orientado negativamente.

En la práctica, entre las fórmulas obtenidas para el cálculo del área, se elige lógicamente la que nos lleve a una integral de línea más fácil de evaluar. La tercera posibilidad, que parece la más

artificiosa, es con frecuencia la más conveniente, por la simetría que presenta. Veamos por ejemplo el cálculo del área delimitada por una elipse, más concretamente, de la región D definida por:

Con α ,β>0. Usando el camino γ de ecuaciones paramétricas

Tenemos inmediatamente

PROBLEMAS DE TEOREMA DE GREEN

1) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar ∫C

x4 dx+xydx, donde C es la

curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.

SOLUCIÓN:

La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos: y = 1 - x

1

1

y

x

P( x ; y )=x4 ⇒∂P∂ y

=0

Q( x ; y )=xy⇒∂Q∂ x

= y

Por lo tanto:

∫C

x4 dx+xydx=∬D

(∂Q∂ x−∂ P

∂ y )dA=∫0

1

∫0

1− xydydx=∫0

1

(1

2y2|0

1− x )dx=∫0

1 1

2(1−x )2 dx=

¿−16

(1−x )3|01=1

6

Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales con las correspondientes parametrizaciones.

2) Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial

r(t) = cos3t i + sen3t j , 0 t 2

SOLUCIÓN:

De la parametrización de la curva tenemos:

x = cos3t x2/3 = cos2t

y = sen3t y2/3 = sen2t

Sumando miembro a miembro tenemos:

x2/3+ y2 /3=1⇒ y=±(1−x2/3 )3/2⇒ A=∫−1

1

∫−(1−x 2/3 )3 /2+ (1− x2 /3)3 /2

dydx=∫−1

12 (1−x2 /3 )3 /2

dx

-1

-1

1

1x

y

Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos permite transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:

El área de una región D viene dada por A=∬

D

1dA . Por lo tanto, para aplicar Green deberíamos

encontrar funciones P, Q /

∂Q∂ x

−∂P∂ y

=1 . Un par de funciones sencillas que cumplen esta

condición son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrización, escribimos:

x = cos3t dx = -3 cos2t sent dt

y = sen3t dy = 3 sen2t cost dt

Luego:

A=∬D

(∂Q∂ x −∂P∂ y )dA=∫

C

Pdx+Qdy=∫0

2 πcos3 t 3 sen2 t cos tdt=3∫0

2 πcos4 t sen2 tdt=

¿3∫0

2 πcos2 t

sen22 t4

dt=3∫0

2 π (1+cos2 t2 )sen2 2 t

4dt=3

8 ∫0

2π(sen2 2 t+sen22t cos2 t )dt=

¿ 3

8 ∫0

2 π (1−cos4 t2

+sen2 2 t cos 2t)dt=3

8 [1

2t−sen 4 t

8+sen3 2t

6 ]|02 π=38π

De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región encerrada por una curva cerrada, que se suma al método en coordenadas polares visto en Análisis II y al cálculo por integral de área que ejecutamos cuando tenemos la expresión cartesiana de la curva.

3) Aplicación del teorema de Green a un problema físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros.

SOLUCIÓN:

Determinaremos el momento de inercia respecto al diámetro colineal con el eje x. De Física sabemos que:

I x=∬D

ρy2dA

Donde es la densidad superficial de la arandela, supuesta constante dado que es homogénea.

Esta región no es simplemente conexa pero, como se vio en la teoría, se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:

∬D

(∂Q∂ x −∂P∂ y )dA=∫

C1

Pdx+Qdy−∫C2

Pdx+Qdy

Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para ello debemos encontrar funciones P, Q tales que:

(∂Q∂ x −∂P∂ y )= y2 ; tomamos, por ejemplo: Q=0 ; P= 1

3y3

Aplicando Green con esta función tenemos:

I x=∬D

ρy2dA= ρ[∫C1

−13y3dx+0dy−∫

C2

−13y3dx+0dy ]=ρ [∫C1

−13y3dx+∫

C2

13y3dx ]

(1)

C1

C2

bax

y

Parametrizando estas curvas tenemos

C1x=bcos t⇒dx=−b sen ty=b sen t⇒dy=bcos t

, 0≤t≤2π

C2x=acos t⇒dx=−a sen ty=a sen t⇒dy=acos t

, 0≤t≤2π

Reemplazando con esto en (1) tendremos:

I x=ρ [∫0

2 π−1

3b3 sen3 t (−b sen t )dt+∫0

2 π 13a3 sen3 t(−a sen t )dt ]= ρ 1

3(b4−a4 )∫0

2 πsen 4 tdt=

=ρ13

(b4−a4)∫0

2 πsen2 t (1−cos2 t )dt=1

3ρ (b4−a4 )∫0

2 π (sen2 t−sen22 t4 )dt=

¿ 13ρ (b4−a4 )∫0

2π (1−cos t2

−1−cos4 t8 )dt=1

4ρ (b4−a4 )π=1

4(b2+a2 )ρπ (b2−a2)=

¿ 14

(b2+a2)M

Ésta es la manera estándar de expresar un momento de inercia: como el producto de una longitud o suma de longitudes al cuadrado por la masa del rígido.

Referencias:

www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap11.pdfhttp://es.wikipedia.org/wiki/George_GreenTeorema de Green, por WikiMatematica.org

http://www.youtube.com/watch?v=KTrO_CYnsCw