Exercicios de CDI3 - Integrais de Linha e Teorema de Green

7/29/2019 Exercicios de CDI3 - Integrais de Linha e Teorema de Green

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Instituto Superior TecnicoDepartamento de Matematica

Seccao de Algebra e Analise

Exerccios Resolvidos

Integrais de Linha. Teorema de Green

Exerccio 1 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha recta. Qual eo comprimento da trajectoria descrita por um ponto do aro entre um contacto com o solo e aproxima vez que se encontra a mesma altura que o centro?A curva descrita por um ponto do aro chama-se cicloide

Resolucao: Podemos colocar o aro no plano xOy a rolar ao longo do eixo Ox de tal forma que, noincio do movimento, o centro se encontra no ponto (0, 1) e o ponto do aro em questao se encontrana origem.

O facto de o aro rolar sem deslizar significa que quando o centro se desloca uma dist ancia s aolongo do eixo Ox, o ponto no aro descreve, em relacao ao centro do aro, um arco de circunferencia decomprimento s. Em particular, num quarto de volta do aro, o centro deslocar-se- a um comprimentototal de 2 .

0 x

s

s

y

1

2

Figura 1: Esboco da cicloide

O movimento do ponto do aro pode-se decompor em dois: o movimento do centro do aro e omovimento do ponto em relacao ao centro.

Se usarmos a distancia percorrida pelo aro como parametro, a trajectoria do centro e descritapelo caminho g1 : [0,

2

] R2 definido por

g1(s) = (s, 1)

Por outro lado, a trajectoria do ponto no aro em relacao ao centro e descrita pelo caminhog2 : [0,

2

] R2 definido por

g2(s) = (cos( 2

s), sen(2

s))= ( sen s, cos s)

ja que o vector que une o centro ao ponto do aro comeca por fazer um angulo de

2

com o eixo

Ox e roda no sentido dos ponteiros do rel ogio.

1
http://www.math.ist.utl.pt/~gpires/AMIII/Textos/linha.pdfhttp://www.math.ist.utl.pt/~gpires/AMIII/Textos/Green.pdfhttp://www.math.ist.utl.pt/~gpires/AMIII/Textos/Green.pdfhttp://www.math.ist.utl.pt/~gpires/AMIII/Textos/linha.pdf


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Portanto, a trajectoria descrita pelo ponto no aro e dada pela soma destes dois caminhos:g : [0, 2 ] R2 definido por

g(s) = g1(s) + g2(s)= (s sen s, 1 cos s)

O comprimento deste caminho e dado pela expressao (onde C = g([0, 2 ]))C

1 =

2

0

||g(s)||ds

Comog(s) = (1 cos s, sen s)

temos

||g(s)|| = 1 2cos s + cos2 s + sen2 s=

2(1 cos s)

e portanto

C

1 =

2

0

2(1 cos s)ds

=

10

2(1 u) du

1 u2

=

2

10

du1 + u

= 22(2 1)onde na passagem da primeira para a segunda linha se fez a mudan ca de variavel u = cos s.

2


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Exerccio 2 Um aviao a helice desloca-se em linha recta a uma velocidade constante igual a 1.

Se a helice do aviao tem raio r e roda a velocidade constante, vezes por unidade de tempo, quale o comprimento da trajectoria descrita por um extremo da helice quando o aviao se desloca Lunidades de comprimento?

Resolucao: Podemos colocar o aviao a deslocar-se ao longo do eixo Ox e de tal forma que noinstante inicial o centro da helice se encontra na origem. Entao uma parametrizacao da trajectoriapercorrida pelo centro da helice e dada pelo caminho g1 : [0, L] R3, definido por

g1(t) = (t, 0, 0)

Por outro lado, a helice roda a uma velocidade constante em relacao ao centro, num plano per-pendicular ao eixo Ox.

Na figura 2 apresenta-se a trajectoria do extremo da helice e a respectiva projeccao no planox = 0.

x

zz

yy

x = 0

Figura 2: Trajectoria do extremo da helice

Assim, uma parametrizacao da trajectoria do extremo da helice em relacao ao centro e dadapelo caminho g2 : [0, L] R3, definido por

g2(t) = (0, r cos(2t), r sen(2t))

A trajectoria do extremo da helice e descrita pela soma dos dois caminhos em R3. Isto e, porg : [0, L]

R3, definido por

g(t) = (t, r cos(2t), r sen(2t))

O comprimento deste caminho e dado pela expressao (onde C = g([0, L]))C

1 =

L0

||g(t)||dt

Comog(t) = (1, 2r sen(2t), 2r cos(2t))

temos

||g(t)

||= 1 + 42r22 sen2(2t) + 42r22 cos2(2t)=

1 + 42r22

3


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e portanto

C

1 = L1 + 42r22

4


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Exerccio 3 Um fio C, com densidade de massa (x,y,z) = |x(y + 1)|, tem a configuracao dainterseccao das superfcies

S = {(x,y,z) R3 : z =

x2 + y2}

P = {(x,y,z) R3 : y +

2z = 1}

Calcule a massa de C.

Resolucao: A massa do fio e dada pelo integral de linha

m = C

.

Para calcular este integral de linha precisamos de determinar uma parametrizacao para a curvaC. Comecemos por determinar a equacao da projeccao, C, de C no plano xOy:

z =

x2 + y2

z = 12

(1 y) x2 + y2 = 1

2 y + y2

2

x2 + (y+1)22

= 1.

Portanto a projeccao C e uma elipse centrada no ponto (0, 1, 0) com eixo maior de comprimento2 e eixo menor de comprimento 1. Uma parametrizacao para C pode ser definida por

g(t) = (cos(t),

2sen(t) 1,

2 sen(t)), t [0, 2],

onde se usou o facto de que, quando t percorre o intervalo [0, 2], a funcao (cos(t), 2sen(t)1, 0)percorre a projeccao C e que o unico ponto de C por cima de (cos(t),

2sen(t) 1, 0) tem

coordenada z dada por

z =1

2(1 y(g(t))) = 1

2(1 (

2sen(t) 1)) =

2 sen(t).

Temos

g(t) = ( sen(t),

2 cos(t), cos(t))

||g(t)|| =

sen2(t) + 2 cos2(t) + cos2(t) =

1 + 2 cos2(t)

(g(t)) =

|cos(t)(

2 sen(t)

1 + 1)

|=

1

2 |sen(2t)

|,

logo

m =

20

(g(t))||g(t)||dt = 12

20

| sen(2t)|

1 + 2 cos2(t)dt

=4

2

2

0

sen(2t)

1 + 2 cos2(t)dt

=4

3

2

(1 + 2 cos2(t)) 32

2

0

=4

3

2(3

3

2 1).

5


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Exerccio 4 Um filamento electrico C, com densidade de carga electrica

(x,y,z) =

5 8(x + 1)(y + 1)

tem a configuracao da interseccao das superfcies

S = {(x,y,z) R3 : x2 + y2 = z}

P = {(x,y,z) R3 : 2x + 2y + z = 1}

Calcule a carga electrica de C.

Resolucao: A carga electrica do filamento e dada pelo integral de linha

q =

C

.

Para calcular este integral de linha precisamos de determinar uma parametrizacao para a curvaC. Comecemos por determinar a equacao da projeccao, C, de C no plano xOy:

z = x2 + y2

z = 1 2y 2x 1 2y 2x = x2 + y2

(x + 1)2 + (y + 1)2 = 1.

Portanto a projeccao C e uma circunferencia de raio 1 centrada no ponto (1, 1, 0). Umaparametrizacao para C pode ser definida por

g(t) = (cos(t) 1, sen(t) 1, 3 2 cos(t) 2 sen(t)), t [0, 2]

onde se usou o facto de que, quando t percorre o intervalo [0, 2], (cos(t)1, sen(t)1, 0) percorrea projeccao C. Para alem disso, o unico ponto de C por cima de (cos(t) 1, sen(t) 1, 0) temcoordenada z dada por

z = 1 2(sen(t) 1) 2(cos(t) 1) = 3 2 cos(t) 2 sen(t).

Temos

g(t) = ( sen(t), cos(t), 2 sen(t) 2 cos(t))

||g(t)|| = sen2(t) + cos2(t) + (2 sen(t) 2 cos(t))2 = 5 8 sen(t)cos(t)(g(t)) =

5 8(x(g(t) + 1)(y(g(t) + 1) =

5 8cos(t)sen(t)

logo

q =

20

(g(t))||g(t)||dt =20

(5 8 cos(t)sen(t))dt

= [5t + 2 cos(2t)]20

= 10.

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Exerccio 5 Resolva as seguintes questoes.

1. Parametrize as curvas:

a) Um segmento de recta percorrido desde o ponto (1, 0, 1) ate ao ponto (0, 0, 1),b) O arco da circunferencia de raio 1 centrada no ponto (0, 0, 1) e contida no plano z = 1,

percorrida no sentido que visto da origem e o dos ponteiros do relogio, desde o ponto(1, 0, 1) ate ao ponto (1, 0, 1),

c) A porcao da curva de interseccao das superfcies x = y2 e x2 + y2 + z2 = 1 contida naregiao z 0, percorrida da esquerda para a direita quando vista da origem.

2. a) Calcule as coordenadas do centro de massa de um filamento com a forma da curva daalnea 1.b), se a funcao densidade de massa for dada por f(x,y,z) = x2 + z2.

b) Considere o campo vectorial F : R3

\ {(0, 0, 0)

} R3 definido por

F(x,y,z) =1

x2 + y2 + z2(x,y,z).

Determine o valor do integral

F dg

para as curvas das alneas 1.a) e 1.b) percorridas no sentido indicado.

Resolucao:

1. a) Para o caso deste segmento de recta, obtemos

g1(t) = (1, 0, 1) + t[(0, 0, 1) (1, 0, 1)]com t [0, 1]. Ou seja,

g1(t) = (1 t, 0, 1 2t)b) Dado que o arco de circunferencia esta contido no plano z = 1, esta ultima coordenada

aparecera constante na parametrizacao. Como a curva e percorrida no sentido dosponteiros do relogio vista da origem, obtemos:

g2(t) = (cos t, sin t, 1)

A variacao do parametro t deduz-se dos pontos inicial (1, 0, 1) e final (1, 0, 1) e, por-tanto, t

[

, 0].

c) Para esta curva podemos tomar y como variavel independente, ou seja, como parametro.Como a curva e percorrida da esquerda para a direita quando vista da origem, y devedecrescer ao longo dessa curva. Assim, obtemos:

y = tx = y2 = t2

z =

1 x2 y2 =

1 t4 t2Note-se que, de acordo com o enunciado, z deve ser sempre positivo.

Para descobrir os limites do intervalo da parametrizacao, resolvemos, para z = 0, osistema

x2 + y2 + z2 = 1x = y2

7


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Tirando o valor de y, obtemosy4 + y2 = 1

donde concluimos quey2 =

5 12

ou seja, y =

512

ou y =

512

.

Portanto,

g3(t) = (t2, t,

1 t4 t2)

com t [

512 ,

512 ].

2. a) Escrevendo (xCM, yCM, zCM) para as coordenadas do centro de massa, podemos con-cluir imediatamente por simetria que zCM = 1 e, uma vez que a funcao de densidade demassa e o filamento sao simetricos em relacao ao plano yz , que xCM = 0. A coordenada

yCM e dada pela formula:

yCM =

2

yf(x,y,z)ds2

f(x,y,z)ds

Tem-seg2(t) = ( sin t, cos t, 0) ||g2(t)|| = 1,

Entao,

2

y(x2 + z2)ds =

0

sin t(1 + cos2 t)dt = ( cos t 13

cos3 t)

0

= 8

3,

e 2

(x2 + z2)ds =0(1 + cos

2 t)dt = +0

1 + cos 2t

2 dt =3

2

ou seja,

yCM = 169

,

e, portanto, as coordenadas do centro de massa sao

(0, 169

, 1).

b) Por definicao, temos

1

F

dg = 10

F(g1

(t))

g1

(t)dt

=

10

F(1 t, 0, 1 2t) (1, 0, 2)dt

=

10

1

(1 t)2 + (1 2t)2 (1 t, 0, 1 2t) (1, 0, 2)dt

=

10

5t 35t2 6t + 2 dt

=1

2log |5t2 6t + 2||t=1t=0

=

1

2 [log 1 log 2] = log2

2 .

8


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Para a segunda curva, obtemos

2 F dg =

0

F(g2(t)) g2(t)dt

=

0

F(cos t, sin t, 1) ( sin t, cos t, 0)dt

=

0

1

2(cos t, sin t, 1) ( sin t, cos t, 0)dt

=

0

0dt = 0.

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Exerccio 6 Considere o caminho g : [0, 1] R2 definido por

g(t) = (et cos(2t), et sen(2t)).

a) Calcule o comprimento L(g) do caminho g.

b) Calcule a coordenada x do centroide da curva representada por g.

c) Calcule o trabalho da forca f(x, y) = (x, y) ao longo de g.

Resolucao:

a) Para calcular o comprimento precisamos de calcular a derivada de g:

g(t) = (et cos(2t) 2et sen(2t), et sen(2t) + 2et cos(2t))

e a respectiva norma

||g(t)|| =

1 + 42 et

Portanto,

L(g) =

10

||g(t)||dt =10

1 + 42etdt =

1 + 42 (e 1)

b) Por definicao de centroide temos:

x =1

L(g)

1

0

x(g(t))||

g(t)||

dt =1

(e 1) 1

0

e2t cos(2t)dt

Integrando por partes duas vezes obtemos

x =e2 1

2(e 1)(1 + 2)

c) O trabalho e dado por

W =

10

f(g(t)) g(t)dt =10

(et cos(2t), et sen(2t)) g(t)dt =10

e2tdt =e2 1

2

10


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Exerccio 7 Considere a curva C R3 parametrizada pelo caminho g : [0, 2] R3 definido por

g() =

3 cos(), 3 sen(), 22 3/2

.

a) Calcule o comprimento do caminho g.

b) Seja a densidade de massa de C dada por (x,y,z) = , constante. Calcule o momento deinercia de C em relacao ao eixo z.

c) Considere que C esta mergulhada num campo electrico dado pela expressao

f(x,y,z) = (y, x, z)

SeC for a trajectoria de uma partcula pontual de carga electrica unitaria, calcule o trabalho

realizado pela forca electrica ao longo dessa trajectoria.

Resolucao:

a) Temos

g() =3sen() + 3 cos(), 3sen() + 3 cos(), 3

2

e, portanto,||g()|| = 3(1 + )

Assim, o comprimento de C e dado por

Lg =

2

0

3(1 + )d = 6(1 + ).

b) A distancia dum ponto (x,y,z) ao eixo dos z e dada por d(x,y,z) =

x2 + y2. Logo,

d(g())2 = 92

e, portanto, o momento de inercia pedido sera

I =

20

92||g()||d = 2720

2(1 + )d = 273(8/3 + 4).

c) Temosf(g()) = (3 sen(), 3 cos(), 2

2 3/2)

Logo,f(g()) g() = 32

e o trabalho sera dado por

W =

20

f(g()) g()d =20

32d = 83.

11


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Exerccio 8 Investigue se o campo vectorial

F(x,y,z) =

2x

(x2 y2)2 ,2y

(x2 y2)2 , z2

e gradiente no seu domnio de definicao. Em caso afirmativo, de a expressao geral do potencial.Em qualquer caso, calcule

C

F

onde C e a curva parametrizada por

g(t) = (et, sen t, t)

com0 t 2

.

Resolucao: O domnio de definicao do campo F e o conjunto

{(x,y,z) R3 : x = y}

que e a uniao de 4 conjuntos em estrela, limitados pelos planos x = y e x = y.

x

y

x = y

x = y

Figura 3: Esboco do domnio do campo F

Como F e gradiente no domnio se e so se for gradiente em cada uma destas regioes conexaspor arcos, e suficiente ver que F e fechado:

y

2x(x2y2)2

= 8xy(x2y2)3 = x

2y

(x2y2)2

z

2x

(x2y2)2

= 0 = x

z2

z

2y

(x2y2)2

= 0 = y

z2

Portanto F e um campo gradiente.

12


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Para determinar um potencial V(x,y,z) para F temos as equacoes:

Vx

=

2x

(x2

y2)2

Vy =

2y(x2y2)2

Vz = z

2

Da primeira obtemos,

V(x,y,z) =1

x2 y2 + C(y, z)

Substituindo V na segunda,C

y(y, z) = 0 C(y, z) = D(z)

e finalmente da terceira equacao obtemos

D(z) = z2 D(z) = z3

3+ E

Portanto o potencial tem a forma

V(x,y,z) =1

x2 y2 +z3

3+ E

onde E e uma constante.No entanto, uma vez que a regiao onde o campo esta definido nao e um conjunto conexo por

arcos, a constante pode variar de componente para componente. Assim, a express ao geral para opotencial e dada por

V(x,y,z) =

1x2y2 + z3

3 + E1 se x > |y|1

x2y2 +z3

3+ E2 se y > |x|

1x2y2 +

z3

3+ E3 se x < |y|

1x2y2 +

z3

3+ E4 se y < |x|

com Ei R.Finalmente, pelo teorema fundamental do calculo (que podemos aplicar porque o caminho g

esta inteiramente contido na regiao em que x > |y|), uma vez que

g(0) = (1, 0, 0)

g( 2

) = (e

2 , 0, 2

)

temos C

F = V(e

2 , 0,

2) V(1, 0, 0)

= e +3

24 1

13


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Exerccio 9 Considere o campo definido emR2 {(0, 0)} por

F(x, y) =

y

x2 + 4y2, x

x2 + 4y2

Calcule o integral de linha de F ao longo da circunferencia de raio 1 centrada na origem e per-corrida no sentido directo.

Resolucao: Se tentarmos calcular o integral de linha pela definicao verificaremos imediatamenteque nao e uma tarefa facil. Em vez disso podemos tentar utilizar o teorema de Green. O campoF e fechado:

y y

x2 + 4y2 =x2 4y2

(x2 + 4y2)2=

x x

x2 + 4y2Consideremos uma regiao S, limitada pela circunferencia de raio 1 centrada na origem e per-

corrida no sentido directo e por outra linha L regular, fechada e percorrida no sentido directo, emque seja possvel aplicar o Teorema de Green.

Sendo F um campo fechado, aplicando o Teorema de Green obtemosC

F =

L

F

em que C designa a circunferencia de raio 1 centrada na origem e percorrida no sentido directo.Portanto, em vez de calcular o integral de F em C podemos calcular o integral de F em L.Assim, devemos escolher L de tal forma que o integral

L

F seja simples.

x1

2

4

y

C

L

Figura 4: Esboco da regiao S limitada por C e por L

A expressao do campo sugere que consideremos curvas onde x2 + 4y2 seja constante, isto eelipses. Consideremos, por exemplo, o caminho

h(t) = (4 cos t, 2sen t), 0 t 2que percorre a elipse x2 + 4y2 = 16 uma vez no sentido directo como se mostra na figura 4.

14


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Portanto, o integral de linha de F ao longo de L e dado por

F.dh =

20

sen t4cos2 t + 4 sen2 t ,

2cos t

4cos2 t + 4 sen2 t

.(4sen t, 2cos t)dt

=

20

14

dt

= 2

15


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Exerccio 10 Considere o campo vectorial f : R3 R3 definido por

f(x,y,z) = (yzexyz ,xzexyz ,xyexyz)

a) Sabendo quef define uma forca conservativa, encontre um potencial para f.

b) Calcule o trabalho de f ao longo da espiral parametrizada pelo caminho

g(t) = (5 cos(t), 5 sen(t), t2)

comt [0, /4].

Resolucao:

a) O potencial satisfaz a condicao = f, ou seja verifica as equacoes

x= yzexyz

y= xzexyz

z= xyexyz

Integrando a primeira equacao, obtem-se

(x,y,z) = exyz + g(y, z)

onde g(y, z) e arbitraria.

Substituindo na segunda e terceira equacoes obtemos

g

y=

g

z= 0

pelo que g e uma constante que podemos tomar como sendo zero. (Recorde-se que o potencial esta definido a menos de uma constante.)

Conclumos, assim, que podemos tomar (x,y,z) = exyz .

Nota: Em geral e preciso cuidado quando se tenta calcular o potencial deste modo. Quandonao sabemos a partida se o campo vectorial f e conservativo, e muito importante verificarse o potencial obtido esta bem definido e e de classe C1 na regiao em que esta definido oproblema. So nesse caso temos a garantia que f e conservativa.

Tambem e possvel encontrar recorrendo ao teorema fundamental do calculo para integraisde linha, segundo o qual, sendo f conservativa e escolhendo-se um ponto base p0, se tem

(p) =

L

f,

onde o integral e calculado ao longo de um caminho diferenciavel L qualquer que ligue p0 aum ponto generico p = (x,y,z). No nosso caso podemos escolher p0 = 0 e o caminho comosendo o segmento de recta entre p0 e p, parametrizado por h(t) = (tx,ty,tz), com t [0, 1].

16


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Obtemos entao,

(x,y,z) =10 f(h(t)) h(t)dt =

=

10

(t2yzet3xyz , t2xzet

3xyz ,xyt2et3xyz) (x,y,z)dt =

=

10

3xyzt2et3xyzdt =

= exyz 1

que, a menos de uma constante, e o resultado obtido acima.

b) Para calcular o trabalho de f ao longo da espiral vamos utilizar o teorema fundamental docalculo,

W =

f dg =

= (g(/4)) (g(0)) =

= (5

2/2, 5

2/2, 2/16) (5, 0, 0) =

= e252/32 1

Note-se que seria muito mais difcil fazer este calculo directamente utilizando a definicao detrabalho.

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Exerccio 11 Determine quais dos seguintes campos F sao gradientes no domnio indicado. Se

F for um gradiente determine um potencial. Caso contrario, determine uma curva fechada Ccontida no domnio do campo tal queCF dg = 0.

1. F : R2 R2 definido por F(x, y) = (sin y + y, x cos y + x + 3y2),2. F : R3 R3 definido por F(x,y,z) = (x, z, y),3. F : R3 R3 definido por F(x,y,z) = (2xyz,x2z + 2yz2, x2y + 2y2z),4. F : R3 \ {(0, 0, z) : z R} R3 definido por

F(x,y,z) = ( yx2 + y2

,x

x2 + y2, z2).

Resolucao:

1. A funcao F e de classe C1. Calculando as derivadas cruzadas, obtemos

(sin y + y)

y= cos y + 1 =

(x cos y + x + 3y2)

x

logo F e um campo fechado. Uma vez que R2 e um conjunto em estrela, concluimos que Fe um gradiente. Para calcular um potencial (x, y), resolvemos o sistema

x = sin y + y

y = x cos y + x + 3y2

(x, y) = x sin y + xy + C(y)x cos y + x + C(y) = x cos y + x + 3y2

Resolvendo a segunda equacao do segundo sistema obtem-se C(y) = y3 + C onde C R euma constante. Conclui-se que um potencial para F e dado, por exemplo, por

(x, y) = x sin y + xy + y3.

2. O campo F nao e fechado uma vez que

F2z

= 1 = 1 = F3y

portanto nao e um gradiente. Para determinar uma curva fechada ao longo do qual o integralde F e nao nulo, notamos que as componentes y e z do campo sao (z, y), o que significa queo campo e tangente a qualquer cilindro com eixo igual ao eixo Ox. Assim, se calcularmoso integral de linha do campo ao longo de uma circunferencia com centro no eixo dos xx econtida num plano perpendicular ao eixo dos xx, o integral sera nao nulo. Por exemplo,podemos tomar a circunferencia C parametrizada por

g(t) = (0, 10 cos t, 10sint) 0 t 2

e obtemos C

F dg =20

F(0, 10 cos t, 10 sin t) (0, 10 sin t, 10 cos t)dt

=20 100(cos

2

t + sin

2

t)dt = 200 = 0.

18


19/32

3. O campo F e de classe C1. Calculando as derivadas cruzadas obtemos

F1

y= 2xz =

F2

x

F1z

= 2xy =F3x

F2z

= x2 + 4yz =F3y

pelo que o campo e fechado. Uma vez que R3 e um conjunto em estrela, concluimos que Fe um gradiente. Para achar um potencial (x,y,z) resolvemos o sistema

x

= 2xyz

y = x

2z + 2yz2

z = x

2y + 2y2z

(x,y,z) = x2yz + C1(y, z)

(x,y,z) = x2yz + y2z2 + C2(x, z)

(x,y,z) = x2yz + y2z2 + C3(x, y)

donde se conclui que um potencial e dado, por exemplo, por

(x,y,z) = x2yz + y2z2.

4. O campo F e de classe C1 e calculando as derivadas cruzadas vemos que e um campo fechado.No entanto, uma vez que R3 \ {(0, 0, z) : z R} nao e um conjunto simplesmente conexo,nada podemos concluir quanto a F ser ou nao um gradiente.

Para decidirmos se F e ou nao um gradiente, temos portanto de determinar se existe ou naouma curva fechada ao longo da qual o integral de F e nao nulo. Para isso devemos tentarperceber qual e o aspecto geometrico do campo. As duas primeiras componentes mostramque F e tangente aos cilindros com eixo igual ao eixo dos zz pelo que se calcularmos umintegral ao longo de uma circunferencia centrada num ponto do eixo dos zz e paralela aoplano xy o integral de F sera nao nulo. Podemos, por exemplo, calcular o integral ao longoda circunferencia parametrizada por

g(t) = (cos t, sin t, 0) 0 t 2

e obtemos F dg =

20

F(cos t, sin t, 0) ( sin t, cos t, 0)dt =

2

0

cos2 t + sin2 tdt = 2 = 0.

Conclui-se que o campo F nao e um gradiente.

19


20/32

Exerccio 12 Calcule P dx + Qdy

onde(P, Q) =

y3 + 1 + 2x2 yex2 cos y2 , x3 + xex2 cos y2 2y2 sin y2

e e a circunferencia de raio 1, centrada na origem e percorrida uma vez no sentido directo.

Resolucao: Pelo teorema de Green,

P dx + Qdy =

S

Q

x P

y

dxdy

onde S e o crculo de raio 1 centrado na origem. Como

Q

x= 3x2 +

1 + 2x2

ex

2 cos

y2 2y2 sin y2 ;

P

y= 3y2 + 1 + 2x2 ex2 cos y2 2y2 sin y2 ,

concluimos que

P dx + Qdy =

S

3x2 + 3y2

dxdy

= 1

0

2

03r2 rddr

= 2

3r4

4

10

=3

2.

Nota: Note-se que o calculo deste integral de linha pela definicao seria bastante mais complicado.

20


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Exerccio 13 Seja F : R2 \ {(1, 0), (1, 1), (0, 0)} R2 o campo vectorial F = (P, Q) definidopor

P(x, y) =y

(x + 1)2 + y2 y 1

(x 1)2 + (y 1)2 +5x

x2 + y2

Q(x, y) = x + 1(x + 1)2 + y2

+x 1

(x 1)2 + (y 1)2 +5y

x2 + y2.

1. Calcule o integral C

P dx + Qdy

onde C e a elipse x2

9+ y

2

16= 1 percorrida uma vez no sentido directo (isto e no sentido

contrario ao dos ponteiros do relogio).

2. Indique justificadamente se o campo F e um gradiente no conjunto

R2 \

{(x, y) R2 : y = 1

2x +

1

2, 1 x 1}

{(0, 0)}

.

Resolucao:

1. Se definirmos

F1(x, y) =

y

(x + 1)2 + y2, x + 1

(x + 1)2 + y2

,

F2(x, y) =

y 1(x 1)2 + (y 1)2 ,

x 1(x 1)2 + (y 1)2

,

F3(x, y) =

5x

x2 + y2,

5yx2 + y2

,

temosF = F1 + F2 + F3

e portanto C

F dg =C

F1 dg +C

F2 dg +C

F3 dg.

O campo F3 e o campo radial F(r) = 5er (onde er designa o vector unitario que aponta

na direccao radial) e portanto e um gradiente (com potencial V(x, y) = 5r = 5

x2 + y2).Conclui-se que

CF3 dg = 0.

O campo F1 obtem-se do campo

G(x, y) =

y

x2 + y2,

x

x2 + y2

fazendo a substituicao x x (1) e multiplicando por 1, enquanto que F2 se obtemfazendo a substituicao x x 1, y y 1. Portanto, tal como G, F1 e F2 sao camposfechados mas nao gradientes.

Para calcular o integral de F1 ao longo de C podemos aplicar o teorema de Green a regiao

D = {(x, y) R2 : (x + 1)2 + y2 1, x2

9+ y

2

16 1}

21


22/32

para concluir que o integral ao longo de C coincide com o integral ao longo da circunferenciade raio 1 centrada em (1, 0) percorrida no sentido directo. Uma parametrizacao destacircunferencia e dada por

g(t) = (1 + cos t, sin t), 0 t 2,

logo C

F1 dg =20

F1(1 + cos t, sin t) ( sin t, cos t)dt

=

20

1dt = 2.

Da mesma maneira, podemos aplicar o teorema de Green para concluir que o integral de F2ao longo de C coincide com o integral de F2 ao longo de uma circunferencia de centro em

(1, 1) e de raio 1 percorrida no sentido directo. PortantoC

F2 dg =20

F2(1 + cos t, 1 + sin t) ( sin t, cos t)dt

=

20

1dt = 2

e concluimos finalmente queC

P dx + Qdy = 2 + 2 + 0 = 0.

2. O campo F e um gradiente no conjunto S indicado sse

F dg = 0

para toda a curva fechada contida em S. Podemos, como na alnea anterior, escreverF = F1 + F2 + F3, e uma vez que F3 e um gradiente, precisamos apenas de decidir se F1 + F2e um gradiente em S.

F1 + F2 esta definido e e fechado em

S {(0, 0)} = R2 \ {(x, y) R2 : y = x2

+1

2, 0 x 1}

e qualquer curva em S {(0, 0)} e homotopica ou a um ponto, ou a elipse C percorridaum certo numero de vezes (ou no sentido directo ou no sentido dos ponteiros do rel ogio).Portanto o teorema de Green garante que se da k voltas a origem,

(F1 + F2) = k

C

(F1 + F2) = 0.

Conclui-se que F1 + F2 e um gradiente em S {(0, 0)}, o que por sua vez implica que F eum gradiente em S.

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Exerccio 14 Indique se o campo vectorial

F(x, y) =

y

(x2 + y2)+

y 1(x 1)2 + (y 1)2 ,

x

(x2 + y2) x 1

(x 1)2 + (y 1)2

e gradiente no seu domnio de definicao. CalculeC

F

onde C e a circunferencia de raio 3, centrada no ponto (1/2, 1/2) e percorrida no sentido anti-horario.

Resolucao: O domnio de definicao do campo F e o conjuntoR2

\ {(0, 0), (1, 1)}.E facil deverificar que xFy = yFx, pelo que F e um campo fechado. No entanto, R

2 \ {(0, 0), (1, 1)} naoe um conjunto em estrela (nem e simplesmente conexo). Consequentemente, nao podemos decidirimediatamente se F e ou nao um gradiente no seu domnio.

Observemos que F = F1 + F2, com

F1(x, y) =

y

(x2 + y2),

x

(x2 + y2)

F2(x, y) =

y 1

(x 1)2 + (y 1)2 , x 1

(x 1)2 + (y 1)2

e, acilmente se verifica, que F1 e F2 sao campos fechados.Seja C1 a circunferencia de raio 1/10 (esta e so uma escolha possvel) centrada na origem,

percorrida no sentido anti-horario. Seja C2 a circunferencia de raio 1/10 centrada no ponto (1, 1),percorrida no sentido anti-horario. Temos que

C1

F1 = 2 ;

C2

F1 = 0.

O primeiro resultado segue de um calculo directo imediato. O segundo obtem-se do Teorema deGreen, porque F1 e fechado e nao tem singularidades no interior do disco cuja fronteira e C2.

Do mesmo modo, temos que C1

F2 = 0 ;

C2

F2 = 2.

A primeira igualdade resulta do Teorema de Green, porque F2 e fechado e nao tem singularidades

no interior do disco cuja fronteira e C1. A segunda igualdade segue por um calculo directo imediato.Podemos entao aplicar o Teorema de Green na regiao interior a C e exterior a C1 e C2. Como

F e fechado o integral duplo de xFy yFx e nulo, e do teorema de Green concluimos queC

F =

C1

F +

C2

F = 2 2 = 0.

Recorde-se que F e gradiente no seu domnio se e so se o trabalho for zero ao longo de qualquercaminho fechado. Ora temos, por exemplo, que

C1

F =

C1

F1 = 2

logo F nao e gradiente no seu domnio.

No entanto, F ja seria um gradiente, por exemplo, no conjunto exterior a C.

23


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Exerccio 15 Considere o campo vectorial f : R2 {(0, 0)} R2 definido por

f(x, y) = (x/(x2 + y2), y/(x2 + y2)).



g(t) = (2t cos(t), 2t sen(t))

comt [, 2].c) Calcule o trabalho def ao longo do quadrado de vertices (1, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 1) percor-

rido no sentido anti-horario. Sera f um gradiente no seu domnio ?

Resolucao:

a) O potencial satisfaz a condicao = f, ou seja, verifica as equacoes

x= x/(x2 + y2)

y= y/(x2 + y2)


(x, y) = (1/2)ln(x2 + y2) + g(y)

onde g(y) e arbitraria.

Substituindo na segunda equacao obtemos

g

y= 0


Conclumos, assim, que podemos tomar (x, y) = (1/2)ln(x2 + y2).

Nota: Em geral e preciso cuidado quando se tenta calcular o potencial deste modo. Quandonao sabemos a partida se o campo vectorial f e conservativo, e muito importante verificar

se o potencial obtido esta bem definido e e de classe C1

na regiao em que esta definido oproblema. So nesse caso temos a garantia que f e conservativa.

Tambem e possvel encontrar recorrendo ao teorema fundamental do calculo para integraisde linha, que diz que sendo f conservativa e escolhendo-se um ponto base p0, se tem

(p) =

L

f,

onde o integral e calculado ao longo de um caminho seccionalmente regular qualquer L queligue p0 a p = (x, y).

No nosso caso podemos escolher esse caminho da seguinte forma: Tomamos por exemplo,p0 = (1, 0) e ligamos o ponto p = (x, y) a p0 seguindo primeiro um segmento de recta

radial ate a circunferencia de raio 1 centrada na origem. Depois seguimos um arco dessacircunferencia ate p0.

24


25/32

x

y

p

p0

Figura 5: O campo f e perpendicular as circunferencias centradas na origem

O trabalho de f ao longo da segunda parte da trajectoria e nulo porque f, sendo radial, eperpendicular as circunferencias centradas na origem tal como se ilustra na figura 5. Bastaentao tomar o caminho g(t) = (tx,ty) onde t [1, 1/

x2 + y2] que liga o ponto p = (x, y)

a circunferencia de raio 1 centrada na origem. Temos entao

(x, y) =

1/x2+y21

(tx/((tx)2 + (ty)2),ty/((tx)2 + (ty)2)) (x, y)dt =

= 1/x2+y2

1

1/tdt =

= (1/2)ln(x2 + y2)

que concorda com o que obtivemos acima.

b ) Para calcular o trabalho de f ao longo da espiral vamos utilizar o teorema fundamental docalculo,

W =

f dg =

dg = (g(2)) (g()) =

= (4, 0) (2, 0) =

= (1/2)(ln(162) ln(42)) =

= ln(2)


c) O trabalho de f ao longo do quadrado e zero porque f = e o quadrado e uma curvafechada. Evidentemente que f e um gradiente, pois como vimos temos f = com bemdefinida em todo o domnio de f.

25


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Exerccio 16 Considere o campo vectorial f : R3 R3 definido por f(x,y,z) = (y2z, 2xyz,xy2).



g(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), t)

comt [0, /4].c) Seja C uma curva regular fechada emR3. O que pode dizer sobre o trabalho de f ao longo

de C ?

Resolucao:

a) O potencial satisfaz a condicao = f, ou seja, verifica as equacoes

x= y2z

y= 2xyz

z= xy2


(x,y,z) = xy2z + g(y, z)

onde g(y, z) e arbitraria.

Substituindo na segunda e terceira equacoes obtemos

g

y=

g

z= 0


Conclumos assim que podemos tomar (x,y,z) = xy2z.

Nota: Em geral e preciso cuidado quando se tenta calcular o potencial deste modo. Quando

nao sabemos a partida se o campo vectorial f e conservativo, e muito importante verificarse o potencial obtido esta bem definido e e de classe C1 na regiao em que esta definido oproblema. So nesse caso temos a garantia que f e conservativa.

Tambem e possvel encontrar recorrendo ao teorema fundamental do calculo para integraisde linha, que estabelece que sendo f conservativa e escolhendo-se um ponto base p0, se tem

(p) =

L

f,

onde o integral e calculado ao longo de um caminho seccionalmente regular qualquer L queligue p0 a p. No nosso caso podemos escolher p0 = 0 e o caminho como sendo o segmentode recta que une p a origem, parametrizado por h(t) = (tx,ty,tz), com t [0, 1]. Obtemos

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entao,

(x,y,z) =10 f(h(t)) h(t)dt

=

10

(t3y2z, 2t3xyz,t3xy2) (x,y,z)dt

=

10

4xy2zt3dt

= xy2z

que e o resultado obtido acima.

b) Para calcular o trabalho de f ao longo da espiral vamos utilizar o teorema fundamental do

calculo,

W =

f dg =

dg = (g(/4)) (g(0))

= (

2,

2,

4) (2, 0, 0)

=

2

2


c) Seja p um ponto da curva C e l(t), com t

[a, b], um caminho que parametrize C e tal quel(a) = l(b) = p. Entao, pelo teorema fundamental do calculo temos

f dl =

dl = (l(b)) (l(a)) = (p) (p) = 0.

Logo, o trabalho da forca conservativa f ao longo de uma curva fechada e zero.

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Exerccio 17 Considere o campo vectorial F : R2 \ {(0, 0), (0, 1)} R2 definido por

F(x, y) =

y

x2 + y2 y 1

x2 + (y 1)2 ,x

x2 + y2+

x

x2 + (y 1)2

Determine o integral de linha do campo F ao longo do caminho que descreve a fronteira doquadrado com vertices nos pontos (2, 2), (2, 2), (2, 2), (2, 2) no sentido directo (contrario aodos ponteiros de um relogio).

Resolucao: Designemos por o caminho que descreve a fronteira do quadrado e sejamg1 : [0, 2] R2 e g2 : [0, 2] R2 os caminhos definidos por

g1(t) = (

1

4 cos t,

1

4 sen t)

g2(t) = (1

4cos t,

1

4(sen t + 1))

ou seja, g1 descreve a circunferencia C1 de raio 1/4 e centro na origem no sentido positivo e g2descreve a circunferencia C2 de raio 1/4 e centro no ponto (0, 1) no sentido positivo tal como seilustra na figura 6.

x

y

C1

C2

Figura 6: As linhas , C1, C2

O campo F pode ser decomposto na soma de dois campos F = F1 + F2 em que

F1(x, y) =

y

x2 + y2,

x

x2 + y2

F2(x, y) =

y 1

x2 + (y 1)2 ,x

x2 + (y 1)2

Facilmente se verifica que os campos F1 e F2 sao fechados, ou seja, o campo F e fechado.Portanto, aplicando o teorema de Green a regiao limitada pelas circunferencias C1 e C2 e pelafronteira do quadrado, obtemos

0 =

F d C1

F dg1 C2

F dg2

28


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ou seja,

F d = C1(F1 + F2) dg1 + C2(F1 + F2) dg2Por outro lado, o crculo limitado pela circunferencia C2 nao contem a origem e, portanto

temos C2

F1 dg2 = 0

Do mesmo modo, o crculo limitado pela cicunferencia C1 nao contem o ponto (0, 1) e, por-tanto, concluimos que

C1

F2 dg1 = 0

Assim, temos

F d =C1

F1 dg1 +C2

F2 dg2

Da definicao de integral de linha de um campo vectorial obtemosC1

F1 dg1 =20

( sen t, cos t) ( sen t, cos t)dt = 2C2

F2 dg2 =20

( sen t, cos t) ( sen t, cos t)dt = 2

Portanto,

F d = 2 + 2 = 4

29


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Exerccio 18 Considere o campo vectorial

f(x, y) =

y(x + 1)2 + y2

+3(x 1)

(x 1)2 + y2 ,x + 1

(x + 1)2 + y2+

3y

(x 1)2 + y2 + x

.

Calcule o trabalho de f ao longo da elipse de equacao x2/25 + y2/16 = 1 percorrida no sentidoanti-horario.

Resolucao: Para facilitar a analise decompomos o campo f em tres partes: f = h + g + l onde

h(x,y,z) = (y

(x + 1)2 + y2,

x + 1

(x + 1)2 + y2)

g(x,y,z) = (3(x 1)

(x 1)2 + y2,

3y

(x 1)2 + y2)

l(x,y,z) = (0, x)

O campo h e fechado, e singular no ponto (1, 0) (que portanto nao pertence ao seu domnio),e nao e um gradiente. De facto, seja C a circunferencia de raio 1 centrada em (1, 0). Facilmentese verifica que o trabalho de h ao longo se C percorrida no sentido anti-horario e 2, pelo que hnao e conservativo.

x

y

E

C C

Figura 7:

O campo g e radial com centro no ponto (1, 0) que nao pertence ao seu domnio. E fechado.Seja C a circunferencia de raio 1 centrada em (1, 0). O trabalho de g ao longo de C e nulo porqueg e perpendicular a C. Pelo teorema de Green conclui-se que o integral de g ao longo de qualquercurva regular fechada em R2 {(1, 0)} e zero, pelo que g e um gradiente nesse conjunto.

Seja E a elipse do enunciado que vamos considerar percorrida no sentido anti-horario.Aplicando o teorema de Green a regiao contida entre as curvas C e E, sendo h fechado,

conclumos que E

h =

C

h = 2.

Por outro lado, como g e gradiente em R2 {(1, 0)} temosE

g = 0.

30


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So falta agora calcularE

l. O campo l = (0, x) e de classe C1 na regiao A contida no interiorda curva E. Logo, pelo teorema de Green temos

E

l =A

(1l2 2l1)dxdy =A

(1)dxdy = (area da elipse) = 20

Obtemos finalmenteE

f =E

h +E

g +E

l = 2 + 0 + 20 = 22.Note-se que teria sido extraordinariamnte mais longo, difcil e aborrecido fazer este calculo

directamente atraves da definicao.

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Exerccio 19 Calcule P dx + Qdy

onde

(P, Q) =

y + 1 x

2 + y2 2xy(1 + x2 + y2)2

, cos(x) +1 + x2 y2 2xy

(1 + x2 + y2)2

e e a fronteira do quadrado

S =

(x, y) R2 : |x| < 1, |y| < 1percorrida uma vez no sentido directo.

Resolucao: Pelo teorema de Green,

P dx + Qdy =

S

Q

x P

y

dxdy

Como

Q

x= sen(x) + (2x 2y)

1 + x2 + y2

2 4x 1 + x2 + y2 1 + x2 y2 2xy(1 + x2 + y2)4

;

P

y= 1 + (2y 2x)

1 + x2 + y2

2 4y 1 + x2 + y2 1 x2 + y2 2xy(1 + x2 + y2)4

,

concluimos que

Q

x P

y= sen(x) + 1 + 4 (x y)

1 + x2 + y2

4 x + x3 + xy2 y yx2 y3(1 + x2 + y2)3

= sen(x) + 1

e que portanto

P dx + Qdy =

S

( sen(x) + 1) dxdy = 4

(ja que sen(x) e mpar e portanto o seu integral em [1, 1] e zero).Note-se que o calculo deste integral de linha pela definicao seria bastante mais complicado.

Exercicios de CDI3 - Integrais de Linha e Teorema de Green

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