Teoremas de Circuitos Eltricos Disciplina: Circuitos Eletricos I Professor: Davi Correia ENE-FT-UnB Sumrio Superposio Dualidade Transformao de Fonte Teorema de Thevenin Teorema de Norton Mxima Transferncia de Potncia Anlise de Sensibilidade Superposio O teorema da superposio vlido somente para circuitos lineares Essencialmente ele diz: Seja um circuito com N elementos lineares conectados em uma topologia arbitraria a K fontes de tensao e/ou corrente independentes A resposta deste circuito a K fontes independentes e equivalente a soma das respostas de K circuitos aonde em cada um K-1 fontes diferentes foram colocadas em repouso. ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ... (3 2 1 3 2 1 k kv G v G v G v G v v v v G I + + + + = + + + + =Superposio Como o circuito linear podemos nos valer da propriedade de superposicao da linearidade para resolver o circuito Como: vamos supor um circuito com duas fontes independentes quaisquer. O que o teorema diz e que a resposta do circuito a estas duas fontes e igual a soma das respostas dos circuitos aonde cada uma das fontes foi desligada alternadamente Exemplo Superposio Podemos resolver este circuito atravs de superposio Fica mais fcil de utilizar os mtodos que j conhecemos = Superposio Portanto o princpio da superposio pode ser utilizado com fontes independentes e transformar o problema de vrias fontes diferentes em um problema mais simples Sem o uso do supern ou da supermalha Superposio Vamos exemplificar com um circuito Superposio Se utilizarmos laos teremos as equaes Isto realizado atraves da equao de restrio Vamos agora determinar a superposio ( )2 1 2 4 3 2 1 2V V i R R R i R + = + + + Ai i =1Superposio Quando desligamos a fonte de corrente a corrente IA se torna zero portanto o circuito se transforma Aplicando laos ( )2 1 4 3 2V V i R R Rx+ = + +Superposio Quando desligamos as fontes de tenso o circuito se torna Aplicando ns ( )( ) 003 4 3 2 33 3 2 3 2 1 1 12 1 1 1= + + = + + + = v G G v Gv G v G G G v Gi v G v GASuperposio Resolvendo os dois circuitos podemos encontrar a resposta final como a soma das duas respostas! Dualidade A dualidade um resultado que diz que se as equaes montadas para a tenso tm uma forma e as equaes para a corrente tem a mesma forma, entao os circuitos sao duais. Em outras palavras se eu substituir I por V, R por G eu terei o mesmo resultado. Exemplo fonte de tenso real e fonte de corrente real V Ri VS= i Gv iS= Transformao de Fonte O que leva a outra pergunta Sabemos que os circuitos so duais. Mas sob que condies os dois so equivalentes para uma carga genrica R No caso da fonte de corrente - ela precisa apresentar a mesma tenso da fonte de tenso No caso da fonte de tenso - ela precisa apresentar a mesma corrente da fonte de corrente Transformao de Fonte A tenso que R apresenta para as fontes : De modo similar a corrente que R apresenta para as fontes e SxVR RRV+=SyyiR RRRV+=xSR RVi+=SyyiR RRi+=Transformao de Fonte Portanto as duas fontes so iguais se e somente se: Portanto se as resistncias das fontes forem iguais e a tenso da fonte de tenso for igual ao produto da corrente da fonte de corrente pela resistncia da fonte As duas so iguais! S y Si R V=y xR R=Transformao de Fonte Qual a vantagem deste teorema? Podemos transformar uma fonte de tenso em uma fonte de corrente e vice-versa Isto permite simplificar alguns dos circuitos que analisamos Transformao de Fonte Por exemplo: Como fazer? Teorema de Thvenin O teorema de Thvenin um dos mais importantes de circuito: Qualquer circuito linear resistivo com fontes independentes pode ser substituido por uma combinao srie de uma fonte de tenso Voc e resistencia Req, onde Voc a tenso de circuito aberto entre seus terminais e Req e a resistncia equivalente vista de seus terminais quando todas as fontes independentes esto em repouso Teorema de Thvenin Isto muito importante pois diz que qualquer circuito linear com fontes independentes pode ser substituido por Onde R Req Onde Vs Voc Teorema de Thvenin A prova deste teorema envolve uma srie de passos Circuito A Circuito B Teorema de Thvenin Queremos substituir o circuito A por seu equivalente de Thevenin Para tanto precisamos Determinar qual a tenso da fonte de tenso que iremos utilizar Determinar o carregamento do circuito A sobre o circuito BTeorema de Thevenin Para determinarmos a fonte de tenso vamos colocar a fonte em srie com o circuito A O circuito B consome uma determinada corrente Quando a fonte em srie prover esta mesma corrente, ento ela ser a fonte em questo Teorema de Thevenin Colocando a fonte em serie Circuito A Circuito B Teorema de Thevenin Se a fonte ajustvel, podemos ajust-la para que a corrente produzida por ela seja igual em mdulo e de sentido oposto a corrente que vai de A para B. Neste caso, no ir fluir corrente de A para B Como no flui corrente, ento a fonte de corrente TEM de ter o valor da tenso de circuito aberto do circuito A Teorema de Thevenin Portanto agora podemos colocar todas as fontes independentes dentro de A em repouso Como o circuito puramente resistivo ento O circuito A com as fontes desligadas pode ser substituido por uma resistncia equivalente Teorema de Thevenin Portanto o circuito A pode ser substituido por Onde R e Req Onde Vs e Voc Teorema de Norton O teorema de Norton o dual do teorema de Thevenin e diz que: Qualquer circuito linear resistivo com fontes independentes pode ser substituido por uma combinao paralela de uma fonte de corrente Isc e resistencia Req, onde Isc e a corrente de curto circuito entre seus terminais e Req e a resistncia equivalente vista de seus terminais quando todas as fontes independentes esto em repouso Teorema de Norton Se prestarmos ateno veremos que o teorema de Norton o dual do teorema de Thevenin Ele explica para uma fonte de corrente o que j foi mostrado para uma fonte de tenso O ponto mais interessante diz a respeito de como podemos calcular o equivalente de Norton e de Thevenin de um circuito Teorema de Norton Da mesma forma que Thevenin, qualquer circuito linear com fontes independentes pode ser substituido por Onde Is e Isc Onde R e Req Teorema de Norton A vantagem dos teoremas de Norton e Thevenin est em simplificar o clculo de circuitos Mas como aplic-los na prtica? Teorema de Norton Ora sabemos que os dois so equivalentes portanto isto so vlido se e somente se Ou seja se calcularmos a corrente de curto circuito e a tenso de circuito aberto temos a resistncia equivalente Sc eq Oci R V =ScOceqiVR =Teorema de Norton Vamos aplicar a uma caso prtico Qual o Thevenin em relao a terminal AB Teorema de Norton Vamos aplicar a uma caso prtico Passo 1 calcular tenso de circuito aberto Divisor de tenso simples S ocVR RRV2 12+=Teorema de Norton Vamos aplicar a uma caso prtico Passo 2: calcular a corrente de curto-circuito Ligamos atraves de um fio o terminal AB e calcularmos a corrente que passa por ele 1RVISsc =Teorema de Norton Vamos aplicar a uma caso pratico Passo 3: calcular a resistencia equivalente Dividimos a tensao de circuito aberto pela corrente de curto circuito 2 12 112 12R RR RRVVR RRIVRSSscoceq+=+= =Teorema de Norton Agora podemos obter tanto Thevenin como Norton do circuito pois temos Tensao de Circuito aberto Corrente de Curto Circuito Resistencia equivalente Mxima Transferncia de Potncia O teorema da mxima transferencia de potencia um dos mais uteis de circuitos. Ele diz A maxima transferencia de potencia da fonte para uma carga RL ocorre quando a carga igual a resistencia equivalente de Thevenin Req Maxima Transferencia de Potencia Para provar este teorema consideremos um circuito generico que e substituido pelo seu equivalente de Thevenin Maxima Transferencia de Potencia Ora a tenso e corrente na carga R so Portanto a potencia e SeqVR RRV+=R RVIeqS+=( ) ( )22SeqVR RRVI P+= =Maxima Transferencia de Potencia Fazendo Temos eqRR= o( ) ( )221SV Poo+=Maxima Transferencia de Potencia Ora: o pode variar de zero ate infinito O maior valor de potencia sera encontrado derivando a equacao em relacao a o e igualando a zero. Fazendo isto temos ( ) ( )( ) ( )( )( ) 011 2 1124222=++ +=+=S SV VddPoo o ooooMaxima Transferencia de Potencia A solucao e claro e o=+1 e o=-1 A segunda solucao resulta em potencia infinita e apenas indica que a carga esta gerando energia propria A primeira solucao diz que a resistencia R deve ser igual a Req para que a potencia transferida seja maxima eqeqR RRR= = = 1 oMaxima Transferencia de Potencia Outro ponto interessante saber qual o valor desta potencia Substituindo ( ) ( )22221 11|.|

\|=+=SSVV PMaxima Transferencia de Potencia Um conceito interessante ligado a maxima transferencia de potencia e os equivalentes de Thevenin e Norton e a reta de carga A reta de carga indica qual e a maxima corrente e a maxima tensao que um circuito pode fornecer ao outro Maxima Transferencia de Potencia Da equacao do circuito de Thevenin Obviamente o maior valor de tensao que pode ser fornecido e Voc Utilizando a relacao entre o equivalente de Norton e o equivalente de Thevenin mostra que a maior corrente que pode ser fornecida e Isc V i R Veq oc= Maxima Transferencia de Potencia Portanto podemos plotar um grafico Esta e: Reta de Carga I V Conclusoes Nesta aula vimos alguns teoremas de circuitos e suas aplicacoes nos problemas que devemos resolver Vimos como a superposicao permite transformar circuitos com fontes mistas em circuitos mais simples Vimos como os teoremas de Thevenin e Norton podem simplificar partes do circuito Vimos o conceito de reta de carga e seu relacionamento com a maxima potencia