Teoría Electromagnética - · PDF fileFundamentos de Teoría...

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  • José Morón

    Fundamentos de

    Teoría Electromagnética

    I. Campos Estáticos

    2013

  • Índice General

    CAPÍTULO 1

    Introducción al Análisis Vectorial

    1.1 Introducción 1

    1.2 Escalares y Vectores 1

    1.3 Multiplicación Vectorial 5

    1.4 Vectores Base y Componentes Vectoriales 10

    1.5 Vectores Unitarios Ortogonales en un Sistema de Coordenadas Cartesianas 11

    1.6 Vectores Ortogonales Unitarios en un Sistema de Coordenadas Cilíndricas 13

    1.7 Sistema de Coordenadas Esféricas. Vectores Ortogonales Unitarios 16

    1.8 Producto Punto (Escalar) y Producto Cruz (Vectorial) 19

    1.9 El Gradiente de una Función Escalar de la Posición 22

    1.10 La Divergencia y el Rotacional en Coordenadas Cartesianas 25

    1.11 Integrales de Línea, Superficie y Volumen 27

    1.11.1 Integrales de Línea 27

    1.11.2 Integrales de Superficie 36

    1.12 Definición General del Gradiente de una Función Escalar 39

    1.13 Definición General de la Divergencia de una Función Vectorial 40

    1.14 La Divergencia en Coordenadas Cartesianas 43

    1.15 El Teorema de la Divergencia; Tubos de Flujo 45

    1.16 Definición General del Rotacional de una Función Vectorial 51

    1.17 Teorema de Stokes 55

    1.18 Puntos de Fuente y Puntos del Campo 62

  • ii

    1.18.1 Fuentes Puntuales 63

    1.19 El Teorema de Green y el Teorema de la Unicidad 65

    1.20 Coordenadas Curvilíneas Ortogonales 67

    1.11.1 El Gradiente 69

    1.11.2 La Divergencia 69

    1.11.3 El Rotacional 70

    1.11.4 El Laplaciano 71

    1.21 El Teorema de Helmholtz 72

    1.22 Integración de la Ecuación de Poisson 76

    1.23 Ángulos Sólidos 81

    1.24 Resumen de las Definiciones Generales para el Gradiente, la Divergencia y el Rotacional 83

    1.25 Identidades Vectoriales 84

    PROBLEMAS 88

    CAPÍTULO 2

    Campos Eléctricos Estáticos

    2.1 Introducción 93

    2.2 Ley de Coulomb 93

    2.3 Intensidad de Campo Eléctrico 99

    2.4 Campos Eléctricos Producidos por Distribuciones de Cargas 105

    2.5 Líneas de Flujo y Gráficas de los Campos 112

    2.6 Densidad de Flujo Eléctrico 114

    2.7 Ley de Gauss 117

    2.8 Aplicaciones de la Ley de Gauss 120

    2.9 El Potencial Eléctrico 128

  • iii

    2.10 El Potencial Escalar de una Distribución de Carga 130

    2.11 Relación entre E y V 133

    2.12 El Dipolo Eléctrico 141

    2.13 Densidad de Energía en el Campo Electrostático 144

    PROBLEMAS 150

    CAPÍTULO 3

    Medios Materiales en Campos Eléctricos Estáticos

    3.1 Introducción 157

    3.2 Propiedades de los Materiales y Tipos de Corrientes 157

    3.3 Conductores 161

    3.4 Polarización en Dieléctricos 168

    3.5 Constante y Resistencia Dieléctricas 173

    3.6 Dieléctricos Lineales, Isótropos y Homogéneos 175

    3.7 La Ecuación de Continuidad y el Tiempo de Relajación 177

    3.8 Condiciones de Frontera 179

    3.9 Condiciones de Frontera para la Densidad de Corriente 183

    3.10 Capacitancia y Capacitores 184

    3.11 Relación Resistencia – Capacitancia 189

    3.12 Energía en el Campo Electrostático 191

    PROBLEMAS 198

  • iv

    CAPÍTULO 4

    Solución de Problemas Electrostáticos

    4.1 Ecuaciones del Campo y del Potencial 203

    4.2 Distribuciones Axiales de Carga 210

    4.3 El Dipolo 213

    4.4 Formulación de Problemas con Valores de Frontera en Electrostática 216

    4.5 Unicidad de la Solución 218

    4.6 Solución de la Ecuación de Laplace 219

    4.7 Soluciones Formales de la Ecuación de Laplace en Coordenadas Cilíndricas 226

    4.8 Soluciones Formales de la Ecuación de Laplace en Coordenadas Esféricas 232

    4.9 El Método de Imágenes 238

    PROBLEMAS 247

    Capítulo 5

    Magnetostática

    5.1 Introducción 254

    5.2 Ley de Biot−−−−Savart 254

    5.3 Ley de Ampere 257

    5.4 Relación entre J y H 262

    5.5 Densidad de Flujo Magnético 263

    5.6 El Potencial Vectorial Magnético 267

    5.7 Fuerzas y Pares Magnéticos 272

  • v

    5.7.1 Fuerza sobre un Elemento de Corriente 275

    5.7.2 Pares o Momentos de Torsión Magnéticos 277

    5.7.3 El Dipolo Magnético 279

    5.8 Magnetización y Corrientes de Magnetización 280

    5.9 Condiciones de Frontera 285

    5.10 El Potencial Magnético Escalar 286

    5.11 Problemas de Frontera en Magnetostática 288

    5.12 Inductancia e Inductores 292

    5.13 Energía Magnética 297

    PROBLEMAS 302

    CAPÍTULO 6

    PRINCIPIOS GENERALES

    Y LAS

    ECUACIONES DE MAXWELL

    6.1 La Intensidad del Campo Eléctrico 307

    6.1.1 Experimento 1 308

    6.2 La Corriente Eléctrica 310

    6.3 Algunas Propiedades de la Intensidad del Campo Eléctrico 314

    6.3.1 Experimento 2 314

    6.3.2 La Ley de Gauss y la Densidad del Campo Eléctrico 317

    6.4 El Campo Magnético 321

    6.4.1 Experimento 4 321

    6.4.2 La Densidad del Campo Magnético 322

    6.5 La Primera Ecuación de Maxwell 323

    6.5.1 Experimento 5 323

  • vi

    6.5.2 La Ley de Faraday 324

    6.6 La Intensidad del Campo Magnético 326

    6.6.1 Experimento 6 327

    6.7 La Segunda Ley de Maxwell 329

    6.8 Propiedades Macroscópicas de la Materia 334

    6.9 Polarización Eléctrica y Magnética 335

    6.10 Medios Conductores 337

    6.11 Los Potenciales Electromagnéticos Vectoriales y Escalares 339

    6.12 Condiciones de Frontera 341

    6.13 Flujo de Energía en el Campo Electromagnético 343

    6.14 Ondas Electromagnéticas 346

    PROBLEMAS 347

    BIBLIOGRAFÍA 350

    Apéndice 351

    Sistema de Unidades 351

  • Capítulo 1

    Introducción al Análisis Vectorial

    1.1 Introducción

    La deducción de las relaciones entre las componentes del campo electromagnético se simplifica considerablemente si se usa análisis vectorial. Un vector es una cantidad que requiere de tres números para representarlo en un sistema de coordenadas dado. Los tres números se denominan las componentes escalares del vector. Una ecuación vectorial representa tres ecuaciones que relacionan las componentes escalares en una forma que es independiente de cualquier sistema de coordenadas en particular. Además de su elegancia matemática, el análisis vectorial también permite dar una interpretación geométrica a las ecuaciones. Se verá que esto es de gran importancia en la formulación de las leyes de la teoría electromagnética. En este capítulo se presenta una revisión del análisis vectorial con énfasis en la notación, teoremas y ecuaciones usadas en capítulos subsiguientes. 1.2 Escalares y Vectores Para nuestros propósitos, una cantidad escalar es aquella cuya descripción es completa al dar un solo número; por ejemplo, si se dice que una caja mide de alto 1,5 m, se ha especificado completamente su altura. En particular, aunque un escalar puede ser positivo, negativo o cero, no involucra la idea de una dirección en el espacio; por ejemplo, si se dice que la masa de un cuerpo es, digamos, igual a 10 kilos, a esta afirmación no se le puede agregar nada para que la descripción de esa masa sea más completa. Por ello, la masa es un escalar. En forma similar, la carga eléctrica neta situada en un cuerpo es un escalar, que puede ser positivo, negativo o cero. La coordenada x del centro de masa de un cuerpo con relación a un marco de referencia (sistema de coordenadas) dado – por ejemplo 2 metros – es un escalar. Así pues, un escalar tiene magnitud y solamente magnitud.

    Si el valor numérico de un escalar no depende de la selección del sistema de coordenadas que se esté usando, a este escalar se le denomina un escalar invariante. De acuerdo con esto, la masa de un cuerpo y la carga eléctrica en un cuerpo son escalares invariantes. Por otro lado, la coordenada x de un punto, dada arriba como 2 metros, no es un escalar invariante, porque

  • 2

    no tiende a permanecer igual a 2 metros si se cambia el marco de referencia. Una cantidad invariante puede variar con el tiempo y puede ser diferente en puntos diferentes del espacio, pero no es afectada si se cambia el marco de referencia. Una vez que un escalar ha sido identificado como invariante, se le referirá simplemente como un escalar.

    Las cantidades escalares asociadas con puntos individuales en el espacio (dentro o fuera de cuerpos materiales) se denominan “funciones escalares de la posición” o “campos escalares” (más adelante se da un tratam