FACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS.

Licenciatura en Matematicas.

TEMA:Funciones y Graficas (Calculo infinitesimal de MichaelSpivak).

El amor es la alegrıa de los buenos, la reflexion de los sabios, elasombro de los incredulos.

Profesora:Lic. Elizabeth Martınez Banfi

Alumno:Osvaldo Roman Sanchez.

Fundamentos

Yo escogı estos temas (funciones y graficas) porque estoy tomando elcurso de calculo diferencial

y, estos temas son una parte de la base de todo lo que me espera en lacarrera (Matematicas).

Aqui les dejo un pequeno dato sobre calculo diferencial:

El calculo diferencial es una parte del analisis matematico queconsiste en el estudio de como cambian las funciones cuando susvariables cambian. El principal objeto de estudio en el calculodiferencial es la derivada. Una nocion estrechamente relacionada esla de diferencial de una funcion. El estudio del cambio de unafuncion es de especial interes para el calculo diferencial, enconcreto el caso en el que el cambio de las variables esinfinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hacetan pequeno como se desee). Y es que el calculo diferencial se apoyaconstantemente en el concepto basico del lımite. El paso al lımitees la principal herramienta que permite desarrollar la teorıa delcalculo diferencial y la que lo diferencia claramente del algebra.Desde el punto de vista matematico de las funciones y la geometrıa,la derivada de una funcion en un cierto punto es una medida de latasa en la cual una funcion cambia conforme un argumento semodifica. Esto es, una derivada involucra, en terminos matematicos,una tasa de cambio. Una derivada es el calculo de las pendientesinstantaneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a laspendientes de las tangentes de la grafica de dicha funcion en suspuntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadaspara conocer la concavidad de una funcion, sus intervalos decrecimiento, sus maximos y mınimos.

2

Funciones

CAPITULO 3FUNCIONES

El concepto mas importante de todas las matematicas es, sin dudarlo, elde funcion: en casi todas

las ramas de la matematica moderna, la investigacion se centra en elestudio de funciones. No ha

de sorprender, por lo tanto, que el concepto de funcion sea de una grangeneralidad. Nos puede

servir de consuelo pensar que de momento podemos limitar nuestra aten-cion a funciones de una

clase muy especial, pero incluso esta clase tan limitada de funcionespresentara tal variedad como

para centrar nuestra atencion durante bastante tiempo. Para empezarno daremos ni siquiera una

definicion propia de funcion. De momento, una definicion provisional noscapacitara para estudiar

muchas funciones e ilustrara la nocion intuitiva de funcion, tal como laentienden los matematico.

Mas adelante consideramos y discutiremos las ventajas de la definicionmatematica moderna.

Empecemos por la siguiente:

DEFINICION PROVISIONAL

Una funcion es una regla que asigna a cada uno de ciertos numerosreales un numero real.Los siguientes ejemplos de funciones estan destinados a ilustrar y ampliar

esta definicion que, porsupuesto, necesita ponerse en claro.

Ejemplo 1. La regla que asigna a todo numero su cuadrado.

Ejemplo 2. La regla que asigna a todo numero y elnumero

3

Fundamentos

y3 + 3y + 5y2+1

(1)

Ejemplo 3. La regla que asigna a todo numero c 6= 1,−1

el numero

c3 + 3c+ 5c2−1

(2)

Ejemplo 4. La regla que asigna a cada uno de los numeros x que satisface−

176 x 6 π/3 el numero x2.

Ejemplo 5. La regla que asigna a todo numero a el numero 0 si a es

irracional y el numero 1 si a es racional.

Ejemplo 6. La regla que asigna

a 2 el numero 5,a 17 el numero 36

π ,

a π2

17 el numero 28,a 36

π el numero 28,

y a todo y 6= 2, 17, π2/17, 36/π, el numero 16 si y es de la forma a+ b√

2con

a, b ∈ Q.

Ejemplo 7. La regla que asigna a todo numero t el numero t3 + x. (Estaregla

depende por supuesto del numero x, de modo que en realidad estamosdescribiendo una

infinidad de funciones, una para cada numero x ).

4

Funciones

Ejemplo 8. La regla que asigna a todo numero z el numero de veces enque figura

el 7 en el desarollo decimal de z si este numero es finito y −π si hay unnumero infinito

de sietes en el desarrollo decimal de z.

Una cosa, por encima de todo, debe quedar clara con estos ejemplos: unafuncion es una

regla cualquiera que hace corresponder numeros a ciertos otros numeros,no

necesariamente una regla que pueda ser expresada mediante una formulaalgebraica ni siquiera

mediante una condicion uniforme aplicable a todo numero; ni es tampoconecesariamente una

regla a la que sea posible encontrar una aplicacion en la practica (nadiesabe, por ejemplo, que es

lo que hace asociar a 8 con π). Mas aun, la regla puede prescindir dealgunos numeros y puede

incluso no estar del todo claro a que numeros se aplica la funcion (intente-se determinar, por

ejemplo, si la funcion del ejemplo 6 es aplicable a π). El conjunto de losnumeros a los cuales

se aplica una funcion recibe el nombre de domino de la funcion.

No podemos pasar adelante en el estudio de las funciones, sin antesintroducir una notacion.

Puesto que en todo el libro hablaremos con frecuencia de funciones (enrealidad apenas

hablaremos de otra cosa)nos hace falta una manera conveniente de darun nombre a las funciones

y de referirnos a ellas en general. La practica corriente consiste en desig-nar una funcion mediante

una letra. Por razones obvias se emplea preferentemente la letra ((f )),lo cual hace que

sigan en orden de preferencia las letras ((g)) y ((h)), pero en fin decuentas puede

servir cualquier letra (e incluso cualquier sımbolo razonable) sin excluirla ((x )) y la

5

Fundamentos

((y)), si bien estas letras suelen reservarse para designar numeros. Si fes la

funcion, entonces el numero que f asocia con x se designa por f(x); estesımbolo

se lee ((f de x )) y se le da con frecuencia el nombre de valor de f en x.Naturalmente, si designamos una funcion por x sera preciso elegir otra

letra para designarel numero [serıa perfectamente legıtimo, aunque inadecuado, elegir ((f )),

lo cual darıa elsımbolo x(f)]. Observese que el sımbolo f(x) solamente tiene sentido

cuando xpertenece al domino de f ; para otros x el sımbolo f(x) no esta definido.

Si designamos las funciones definidas en los ejemplos 1-8 por f, g, h, r, s, θ, αxe

y, entonces podemos expresar de nuevo sus definiciones como sigue:

(1) f(x) = x2 para todo x.

(2) g(y) = y3+3y+5y2+1

para todo y.

(3) h(c) = c3+3c+5c2−1

para todo c 6= 1,−1.

(4) r(x) = x2 para todo x tal que −17 6 x 6 π/3.

(5) s(x) =

{0, x irracional.1, x racional.

(6) θ(x) =

5, x = 236π , x = 17

28, x = π2

1728, x = 36

π

16, x 6= 2, 17, π2

17 ,36π yx=a+b

Estas definiciones ilustran el procedimiento adoptado comunmente paradefinir una funcion

f , indicando el valor de f(x) para todo numero x del dominio de f .[Adviertase que esto es

6

Funciones

exactamente lo mismo que indicar f(a) para todo numero a o f(b) paratodo numero b,

etc.] En la practica se toleran algunas abreviaciones. La definicion (1)podrıa escribirse

simplemente

(1)f(x) = x2,

sobreentendiendose la frase calificativa ((para todo x)). La unica abre-viacion posible para

la definicion (4) es, por supuesto,

(4)r(x) = x2, −17 ≤ x ≤ π/3

Se entiende, generalmente, que una definicion tal como

k(x) = 1x + 1

x−1 , x 6= 0, 1

puede abreviarse poniendo

k(x) = 1x + 1

x−1 ;

en otras palabras,

formado por todos aquellos numeros para los cuales la definicion tienesentido.si el dominio no se restringe explıcitamente mas, se sobreentiende

formado por todos aquellos numeros para los cuales la definicion tienesentido.

El lector no debe encontrar dificultad en comprobar si los siguientes enun-ciados se cumplen para

las funciones antes definidas:

f(x+ 1) = f(x) + 2x+ 1;g(x) = h(x) si x3 + 3x+ 5 = 0;

r(x+ 1) = r(x) + 2x+ 1 si −17 ≤ x ≤ π3 − 1;

s(x+ y) = s(x) si y es racional;

θ(π2

17 ) = θ(36π );αx(x) = x ∗ [f(x) + 1];y(13) = 0, y(79) = −π.

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Fundamentos

Si al lector no le parece razonable la expresion f(s(a)) es que esta olvi-dando que s(a) es un

numero como cualquier otro, de modo que f(s(a)) tiene sentido. De hechose cumple que

f(s(a)) = s(a) para todo a. ¿Por que? Expresiones mas complicadasincluso que f(s(a)) no son,

una vez examinadas, mas difıciles de descifrar.

La expresion

f(r(s(θ(α3(y(13)))))),

por temible que parezca, puede ser evaluada muy facilmente con un pocode paciencia:

f(r(s(θ(α3(y(13))))))= f(r(s(θ(α3(0)))))

= f(r(s(θ(3))))= f(r(s(16)))

= f(r(1))= f(1)= 1.

Los primeros problemas al final de este capıtulo daran mas practica enel manejo de este

simbolismo.La funcion definida en (1) es un ejemplo mas bien especial de una clase

im-portantısima de funciones, las funciones polinomicas. Una funcion f es

unapolinomicafuncionpolinomica si existen numeros reales a0, ..., an tales que

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0, para todo x

[cuando se escribe f(x) en esta forma se supone tacitamenteque an 6= 0]. La potencia

8

Funciones

mas alta de x con coeficiente distinto de 0 recibe el nombre degrado de f ; por

ejemplo, la funcion polinomica f definida por f(x) = 5x6 +137x4 − π es de grado 6.

Las funciones definidas en (2) y (3) pertenecen a una clase algomas amplia de funciones, las

funciones racionales; estas son funciones de la forma p/q, don-de p y q son

funciones polinomicas (y q no es la funcion que toma siempreel valor 0). Las funciones

racionales son, a su vez , ejemplos muy especiales de una clasetodavıa mas amplia de funciones,

estudiadas muy detenidamente en analisis, que son mas sim-ples que las funciones primeramente

mencionadas en este capıtulo. Los siguientes son ejemplos deesta clase de funciones:

¿Cual es el criterio, puede uno preguntarse, que permite con-siderar como simple una

monstruosidad tal como(12)? La contestacion es que estas fun-ciones pueden ser formadas a

partir de unas pocas funciones simples, utilizando unos pocosmedios simples de combinar

funciones. Para construir las funciones (9)− (12) debemos em-pezar con la ((funcion identidad))

I, para la cual I(x) = x, y la ((funcion seno)) sen, cuyo valorsen(x) en x se escribe a

veces simplemente senx. Los siguientes son algunos de los meto-dos importantes de combinar

funciones para formar nuevas funciones.

Si f y g son dos funciones cualesquiera, podemos definir unanueva funcion f + g

denominada suma de f y g mediante la ecuacion

Observese que segun las convenciones que hemos adoptado, eldominio de f + g esta formado

9

Fundamentos

por los todos los x para los que tienen sentido ((f(x) +g(x))), esdecir, el conjunto de todos los

x que estan a la vez en el dominio de f y en el dominio de g.

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces A∩B [lease((A interseccion

B)) o ((la interseccion de A y B))] designa el conjunto de losx que estan a la vez en A y

en B; esta notacion nos permite escribir dominio (f + g) = do-minio f∩ dominio g.

De modo semejante definimos el producto f · g y el cocientefg (o f/g) de f y g por

(f · g) = f(x) · g(x)

(fg )(x) = f(x)g(x) .

Ademas, si g es una funcion y c un numero, definimos unanueva funcion c · g

mediante

(c · g)(x) = c · g(x).

Esto se convierte en un caso particular de la notacion f · g siconvenimos en que el sımbolo

c representa tambien una funcion definida por f(x) = c; una talfuncion, que tome el mismo

valor para todos los numeros x, recibe el nombre de funcionconstante.

El dominio de f · g es dominio f ∩ domino g, y el dominio dec · g es

simplemente el dominio de g. Por otra parte, el dominio de f/ges bastante complicado;

puede expresarse por dominio f ∩ domonio g ∩ {x : g(x) 6= o},donde el

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Funciones

sımbolo {x : g(x) 6= o} designa el conjunto de los numeros x talesque g(x) 6= 0. En

general, {x : ...} designa el conjunto de todos los x tales que((...)) es verdad. Ası,{x : x3 + 3 < 11} designa el conjunto de todos los numeros x

tales que x3 < 8 y enconsecuencia {x : x3 + 3 < 11} = {x : x < 2}. Cualquiera de estos

sımbolos podrıa haberse escritoigual de bien utilizando en todas partes y en lugar de x.Las

variantes de esta notacion sonfrecuentes, pero apenas requieren comentarios. Cualquiera pue-

de imaginarse que {x > 0 :x3 < 8} designa el conjunto de numeros positivos cuyo cubo es

menor que 8; podrıaexpresarse mas formalmente poniendo{x : x > 0 y x3 < 8}.

Incidentalmente, este conjuntoes igual al conjunto {x : 0 < x < 2}. Una variante de esto es

algo menos diafana, pero muy usada. Elconjunto{1, 3, 2, 4}, por ejemplo, contienen exactamente los 4

numeros 1, 2, 3 y 4; puedeser designado tambien por {x : x = 1 o x = 3 o x = 2 o x = 4}.

Algunos hechos acerca de la suma, el producto y el cociente defunciones, son consecuencias inmediatas de hechos acerca de

sumas,productos y cocientes de numeros. Por ejemplo, es muy facildemostrar

(f + g) + h = f + (g + h).

La demostracion es caracterıstica de casi todas las demostra-ciones que prueban que dos funciones

son iguales; se debe hacer ver que las dos funciones tienen elmismo dominio y el mismo valor

para cualquier numero del dominio. Por ejemplo, para demos-trar que (f + g) + h = f + (g + h),

observese que al interpretar la definicion de cada lado se ob-tiene

11

Fundamentos

[(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x)= [f(x) + g(x)] + h(x)

y

[f + (g + h)](x) = f(x) + (g + h)(x)= f(x) + [g(x) + h(x)]

y la igualdad de [f(x) + g(x)] + h(x) y f(x) + [g(x) + h(x)] es unhecho que afecta a numeros. En esta

demostracion no se ha mencionado la igualdad de los dos do-minios porque esta igualdad aparece

obvia desde el momento en que empezamos a escribir estasecuaciones: el dominio de (f + g) + h y

el de f + (g + h) es evidentemente dominio f ∩ dominio g ∩dominio h. Nosotros

escribimos, naturalmente, f + g+h por (f + g) +h, exactamenteigual que hacemos para los

numeros.

Es igualmente facil demostrar que (f · g) · h = f · (g·h), yestafuncionsedesignaporf·g · h. Las ecuaciones

f + g = g + f y f · g = g · f no deben presentar ninguna

dificultad. Utilizando las operaciones +, ·, / podemos

expresar ahora la funcion f definia en (9) por

f = I+I·I+I·sen·senI·sen+I·sen·sen

Debe quedar claro, sin embargo, que no podemos expresar lafuncion

(10) de esta manera. Nos hace falta todavıa otra manera de

combinar funciones. Esta combinacion, la composicion de dos

funciones, es con mucho la mas importante. Si f y g son dos

funciones cualesquiera, definimos una nueva funcion f ◦ g, la

composicion de f y g por

(f ◦ g)(x) = f(g(x));

12

Funciones

el dominio de f ◦ g es {x : x esta en el dominio de g y g(x)esta en el dominio de f}.

El sımbolo ((f ◦ g)) se lee a menudo ((f cırculo g)).

Comparado con la frase (( la composicion de f y g)) esto

tiene, por supuesto, la ventaja de la brevedad, pero tiene otra

ventaja de mucho mayor alcance: existe menor probabilidad de

confundir f ◦ g con g ◦ f y estas no deben ser

confundidas ya que en general no son iguales; de hecho, casitodas

las f y g elegidas al azar podran ilustrar este punto (pruebese

con f = I · I y con g = sen, por ejemplo). Para no volvernos

demasiado aprensivos acerca de la operacion de composicion,

apresuremonos a decir que la composicion es asociativa

(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)

(y la demostracion es una trivialidad); esta funcion se designapor f ◦ g ◦ h. Podemos

expresar ahora las funciones (10), (11) y (12) por

(10) f = sen ◦ (I · I),

(11) f = sen ◦ sen ◦ (I · I),

(12) f = (sen · sen) ◦ sen ◦ (sen · sen) ◦ (I · [(sen · sen) ◦ (I·I)]·sen ◦ ( I+sen◦(I·sen)I+sen ).

Un hecho habra quedado probablemente claro. Aunque este meto-do de

escribir funciones revela su (( estructura)) muy claramente, no

es breve ni conveniente. El nombre mas breve para la funcionf tal

que f(x) = sen(x2) para todo x, parece ser desgraciadamente

(( la funcion f tal que f(x) = sen(x2) para todo x. La

necesidad de abreviar esta tortuosa descripcion se ha visto cla-ro

13

Fundamentos

desde hace doscientos anos, pero ninguna abreviacion razona-ble ha

recibido universal apoyo. Por el momento, lo mas aceptado esalgo

ası como

x→ sen(x2)

(lease ((x va a sen(x2) )) o simplemente ((x flecha

sen(x2) ))=), pero tiene poca popularidad entre los autores de

textos de calculo infinitesimal. En este libro admitiremos algode

elipsis hablando de (( la funcion f(x) = sen(x2) )). Mas

popular es la totalmente drastica abreviacion: ((La funcion

sen(x2))). Por razones de precision no haremos nunca uso deesta

descripcion, la cual confunde en rigor un numero y una fun-cion, pero

apesar de todo resulta tan conveniente que es probable que ellector

termine adoptandola para uso personal. Como con cualquierconvenio,

el factor motivante es la utilidad y este criterio es razonable

siempre que las ligeras deficiencias logicas no puedan causar

confusion. En ocasiones la confusion surgira a menos que se

use una descripcion mas precisa. Por ejemplo, ((la funcionx+ t3))

es una frase ambigua; puede significar ya sea

x→ x+ t3, es decir, la funcion f tal que f(x) = x+ t3 para todo x

o bien

t→ x+ t3, es decir, la funcion f tal que f(t) = x+ t3

para todo t.

Sin embargo, como veremos, para muchos conceptos importan-tes asociados con funciones, el

14

Funciones

calculo infinitesimal dispone de una notacion que lleva la ((x→))incorporada.

El estudio que llevamos hecho de las funciones ha sido

suficientemente extenso para ponernos en condiciones de re-considerar

nuestra definicion. Hemos definido una funcion como una ((re-gla)),

pero lo que esto quiere decir no esta claro del todo. Si pregun-tamos

¿que pasa si nos saltamos esta regla?, no es facil decir si esta

pregunta es unicamente de chiste o si en realidad encierra algo

serio. Una objecion mas sustancial al uso de la palabra ((re-gla)) es

que

f(x) = x2

y

f(x) = x2 + 3x+ 3− 3(x+ 1)

son ciertamente reglas distintas, si por regla entendemos

las instrucciones que se dan para determinar f(x); sin embargo,

queremos que

f(x) = x2

y

f(x) = x2 + 3x+ 3− 3(x+ 1)

definan la misma funcion. Por esta razon, una funcion se de-fine a veces como una ((asociacion))

entre numeros; por desgracia, la palabra ((asociacion)) escapaa las objeciones hechas contra

((regla)) solamente por el hecho de que es todavıa mas vaga.

15

Fundamentos

Existe, por supuesto, una manera satisfactoria de definir fun-ciones,

pues de lo contrario no nos hubiesemos preocupado tanto dehacer la

crıtica a nuestra definicion original. Pero una definicionsatisfactoria no puede consistir en encontrar sinonimos de pa-

labrasdificultosas. La definicion que los matematicos han aceptadofinalmente para ((funcion)) es un hermoso ejemplo de los me-

dios quehan permitido incorporar las ideas intuitivas a la matematicarigurosa. Lo que de verdad importa preguntar acerca de una

funcionno es ((¿que es una regla?)), o ((¿que es una asociacion?)),

sino((¿que es lo que hace falta saber acerca de una funcion para

saberabsolutamente todo lo referente a ella?)). La contestacion a laultima pregunta es facil: para todo numero x hace falta saber

cuales el numero f(x); podemos imaginarnos una tabla que reuna

toda lainformacion que se puede desear acerca de la funcion f(x) = x2:

x f(x)

1 1-1 12 4-2 4√

2 2

−√

2 2π π2

−π π2

No es nisiquiera necesario disponer los numeros en una tabla(lo cual serıa imposible si los

quisieramos poner todos). En lugar de una disposicion en doscolumnas podemos considerar

16

Funciones

varios pares de numeros

(1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4), (π, π2), (√

2,

2),. . .

simplemente reunidos formando un conjunto. Para encontrarf(1)

tomamos simplemente el segundo numero del par cuyo primermiembro es

1; para encontrar f(π) tomamos el segundo numero del parcuyo

primer miembro es π. Parece que queramos decir que una fun-cion

podrıa ser definida como una coleccion de pares de numeros.Por

ejemplo, si nos dieran la siguiente coleccion (que contiene

exactamente 5 pares):

f = {(1, 7), (3, 7), (5, 3), (4, 8), (8, 4)},

entonces f(1) = 7, f(3) = 7, f(5) = 3, f(4) = 8, f(8) = 4 y

1,3,4,5,8 son los unicos numeros del dominio de f . Si conside-ramos

la coleccion

f = {(1, 7), (3, 7), (2, 5), (1, 8), (8, 4)},

entonces f(3) = 7, f(2) = 5, f(8) = 4; pero es imposible decir sif(1) = 7 o f(1) = 8. En otras

palabras, una funcion no puede definirse como una coleccioncualquiera de pares de numeros;

debemos excluir la posibilidad que ha surgido en este caso. Estonos lleva a la siguiente

definicion.

DEFINICION

17

Fundamentos

siguiente propiedad:Si (a,b),(a,c) pertenecen ambos a lacoleccion, entonces b = c; en otras palabras, lacoleccion no debecontener dos pares distintos con el mismo primerelemento.Una funcion es una coleccion de paresde numeros con lasiguiente propiedad:Si (a,b),(a,c) pertenecen ambos a lacoleccion, entonces b = c; en otras palabras, lacoleccion no debecontener dos pares distintos con el mismo primerelemento.

Esta es nuestra primera difinicion completa y da la idea delformato que vamos a utilizar siempre

para definir nuevos conceptos importantes. Estas definicionesson tan importantes (por lo menos

lo son tanto como los teoremas), que es esencial saber recono-cer cuando en realidad se nos

presenta una y saber distinguirlas de comentarios, que motivanobservaciones, y de explicaciones

casuales. Seran precedidas por la palabra DEFINICION, con-tendran el termino que va a ser

definido en negritas y constituiran de por sı un parrafo.

Hay otra definicion (en realidad define a la vez dos cosas) queahora puede formularse con rigor:

DEFINICION

18

Funciones

conjunto de todos los a para los que existe algunb tal que(a,b) esta en f . Si a esta en el dominio de f , sesigue de ladefinicion de funcion que existe, en efecto, unnumero bunico tal que (a,b) esta en f . Este b unico se de-signapor f(a).Si f es una funcion, el dominio de f es elconjunto de todos los a para los que existe algunb tal que(a,b) esta en f . Si a esta en el dominio de f , sesigue de ladefinicion de funcion que existe, en efecto, unnumero bunico tal que (a,b) esta en f . Este b unico se de-signapor f(a).

Con esta dfinicion hemos alcanzado nuestro objetivo: Lo im-portante de una funcion f es que el

numero f(x) este determinado para todo numero x de su domi-nio. El lector puede tener la

impresion de que hemos llegado al punto en que una definicionintuitiva ha sido sustituida por una

abstraccion que la mente puede apenas captar. Dos consuelospodemos ofrecer a esto. En primer

lugar, aunque una funcion ha sido definida como una coleccionde pares, nada impide que el lector

imagine una funcion como una regla. En segundo lugar ni ladefinicion intuitiva ni la formal nos

dan la mejor manera de representarse una funcion. La mejormanera consiste en hacer dibujos;

pero esto requiere de por sı todo un capıtulo.

APENDICE. PARES ORDENADOS

No solo en la definicion de funciones, sino tambien en otras

19

Fundamentos

partes del libro es necesario aplicar elconcepto de par ordenado de objetos. Todavıa no hemos dado

una definicion, ni siquiera hemosdicho explıcitamente cuales son las propiedades que han de te-

ner un par ordenado. La propiedadque vamos a exigir dice formalmente que un par ordenado (a, b)

debe quedar determinado pora y b y por el orden en que a y b vienen dados:

si (a, b) = (c, d), entonces a = c y b = d.

Se puede tratar muy comodamente los pares ordenados intro-duciendo simplemente (a, b) como

un termino sin definir y adoptando como axioma la propiedadbasica; al ser esta propiedad el

unico hecho importante acerca de pares ordenados, no hacefalta preocuparse demasiado acerca

de lo que un par ordenado ((realmente)) es. El lector que en-cuentre satisfactorio este tratamiento

no hace falta que lea mas.

Lo que queda de este corto apendice va dedicado a aquelloslectores que no se sientan satisfechos

si no se definen de algun modo los pares ordenados y de talmanera que la propiedad basica pase

a ser un teorema. No existe motivo alguno para que restrinja-mos nuestra atencion a los pares

ordenados de numeros; igual de razonable e igual de importantees disponer de la nocion de par

ordenado de dos objetos matematicos cualesquiera. Esto signi-fica que nuestra definicion debe

encerrar solamente conceptos comunes o todas las ramas de lamatematica. El unico concepto

comun presente en todas la zonas de la matematica es el deconjuntos, y los pares ordenados (lo

mismo que cualquier otra cosa en matematicas) puede ser de-finido en este contexto; un par

20

Funciones

ordenado resultara ser un conjunto de naturaleza bastante es-pecial.

El conjunto{a, b} que contiene a los dos elementos a y b podria

parecer lo adecuado como definicion de (a, b), pero como defi-nicion

no vale puesto que apartir {a, b} no hay manera de saber cualde

los dos a o b ha de ser tenido por primer elemento. Mas aproposito

resulta el peculiar conjunto:

{{a}, {a, b}}.

Este conjunto tiene dos elementos, cada uno de los cuales es asu vez un conjunto; un elemento es

el conjunto {a} que contiene a a como unico elemento, y el otroelemento es el conjunto

{a, b}. Aunque pueda parecer chocante, vamos a tomar a esteconjunto como definicion de

(a, b). La eleccion quedara justificada con el teorema que siguea la definicion; se vera que esta

definicion cumple su cometido y realmente ya no quedara nadaimportante que decir.

Definicion

(a, b) = {{a}, {a, b}}

TEOREMA

Si (a, b) = (c, d), entonces a = c y b = d.

DEMOSTRACION

La hipotesis significa que

{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.

21

Fundamentos

Ahora bien, {{a}, {a, b}} contiene justamente dos elementos{a} y {a, b} y a es el unico elemento comun a estos doselementos de {{a}, {a, b}}. Del mismo modo, es c el unicoelemento comun a los dos elementos de {{c}, {c, d}}. Por lotanto, a = c. Ası, pues, tenemos

{{a}, {a, b}} = {{a}, {a, d}},

y solamente queda por demostrar que b = d. Conviene distin-guir dos casos.

Caso 1. b = a. En este caso, {a, b} = {a}, de modo que el conjunto{{a}, {a, b}} tiene

en realidad un solo elemento que es {a}. Lo mismo vale para{{a}, {a, d}}, de modo que

se {a, d} = {a}, lo cual implica d = a = b.

Caso 2. b 6= a. En este caso, b pertenece a uno de loselementos de {{a}, {a, b}}, pero no al otro. Debe, por lotanto, cumplirse que b pertence a uno de los elementos de{{a}, {a, d}}, pero no al otro. Esto solamente puede ocurrirsi b pertence a {a, d}, pero no a {a}; ası, pues, b = a ob = d, pero b 6= a, con lo que b = d.

22

Funciones

CAPITULO4

GRAFICASSi a un matematico se le mencionan los numeros reales es

probable que, sin el quererlo, se forme

en su mente la imagen de una recta. Y es probable tambien queel ni rechazara ni tampoco

acogera con demasiado entusiasmo esta representacion mentalde los numeros reales. La

((intuicion geometrica)) le permitira interpretar proposicionesacerca de numeros en funcion de

esta imagen y posiblemente incluso le sugerira metodos parademostrarlas. Aunque las

propiedades de los numeros reales que se estudiaron en la parteI se prestan poco a ser

representadas por una imagen geometrica, una tal representa-cion sera muy util en la parte II.

El lector estara ya, probablemente, familiarizado con el metodoconvencional de considerar la

lınea recta como una imagen de los numeros reales, es decir,de asociar a cada numero real un

punto de una recta. Para hacer esto (figura 1) tomamos arbi-trariamente un punto al que llamamos

0 y otro punto a la derecha

al que llamamos 1. Al punto situado a distancia doble a laderecha le llamamos 2, al punto que

dista de 0 lo mismo que 1, pero situado a la izquierda de 0, lellamamos -1, etc. Con esta difinicion,

si a < b, entonces el punto correspondiente a a queda a la iz-quierda del punto correspondiente

a b. Podemos tambien dibujar numeros racionales, tales como12 , de la manera

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Fundamentos

sabida. Se puede admitir como evidente que los numeros irra-cionales encajan en este esquema,

de tal modo que todo numero real puede ser dibujado comopunto de una recta. No insistiremos

demasiado en querer justificar esta suposicion, pues que estemetodo de ((dibujar)) numeros es

unicamente un metodode representar ciertas ideas abstractas ynuestras demostraciones no se

apoyaran nunca en estas imagenes (aunque frecuentemente lasusaremos para sugerir o para

hacer mas comprensible una demostracion). Debido a que estaimagen geometrica, aun no siendo

esencial, desempena un papel tan prominente, al hablar denumeros se utiliza con frecuencia la

terminologıa geometrica; a un numero se le da , a veces, elnombre de punto, y R

recibe a veces, el nombre de recta real.

El numero |a − b| tiene una interpretacion sencilla en funcionde esta imagen geometrica: es la

distancia entre a y b, la longitud del segmento rectilıneo quetiene por extremos a y b.

Esto significa, eligiendo un ejemplo que, por la frecuencia conque se presenta merece

consideracion especial, que el conjunto de los numeros x quesatisfacen |x− a| < ε puede

ser interpretado como el conjunto de puntos cuya distancia aa es menor que ε. Este

conjunto de puntos es el ((intervalo)) de a−ε a a+ε, que puedetambien ser

descrito como los puntos correspondientes a numeros x cona− ε < x < a+ ε (figura

2).

Los conjuntos de puntos que corresponden a intervalos surgencon tanta frecuencia que es

conveniente disponer de nombres especiales para ellos. El con-junto {x : a < x < b} se designa por

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Funciones

(a, b) y es llamado intervalo abierto de a y b. Esta notacion daorigen,

naturalmente, a cierta ambiguedad, puesto que (a, b) se usatambien para designar un par de

numeros, pero queda siempre claro (o puede ser aclarado facil-mente) por el contexto, si de lo que

se habla es de un par o de un intervalo. Notese que si a ≥ b,entonces (a, b) = ∅, el

conjunto sin elementos; en la practica, sin embargo, se suponecasi siempre (explıcitamente si se

ha tenido cuidado o de otro modo implıcitamente) que siempreque se habla de un intervalo

(a, b), el numero a es menor que el b.

El conjunto {x : a ≤ x ≤ b} se designa por [a, b] y recibe el nombrede

cerradointervalocerrado de a a b. Este sımbolo se reserva por lo general para el

caso a < b, pero algunasveces se utiliza tambien para a = b. Las representaciones usua-

les para los intervalos (a, b) y[a, b] se pueden ver en la figura 3; al no haber

ninguna imagen que pueda indicar con aceptable exactitud ladiferencia entre los dos intervalos,

se han adoptado distintos convenios. La figura 3 muestra tam-bien ciertos intervalos ((infinitos)). El

conjunto {x : x > a} se designa por [a,∝), mientras que el con-junto {x : x ≥ a} se

designa por [a,∝).

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Fundamentos

Anexos

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Funciones

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Fundamentos

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Funciones

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