MA211 - C´alculo II

MA211 - Calculo II

Segundo semestre de 2020

Turmas D/E

Ricardo M. Martins

[email protected]

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 3: Derivadas parciais

Exemplo

Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(3,7)

6− 2x − 3y + xy

21− 7x − 3y + xy.

Exemplo

Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(3,7)

6− 2x − 3y + xy

21− 7x − 3y + xy.

Note que

6− 2x − 3y + xy = (x − 3)(y − 2)

21− 7x − 3y + xy = (x − 3)(y − 7)

Logo6− 2x − 3y + xy

21− 7x − 3y + xy=

(x − 3)(y − 2)

(x − 3)(y − 7)=

y − 2

y − 7

Agora e facil ver que o limite nao existe, certo?

Coordenadas polares

Lembre-se que o sistema de coordenadas polares e dado por

�x = r cos(θ),

y = r sen(θ).

Limites em coordenadas polares

Em alguns casos, trocar de coordenadas cartesianas para

coordenadas polares ajuda no calculo do limite.

Desta forma, quando (x , y) → (0, 0) teremos r → 0+

(independente do angulo - cuidado).


Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2.


Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2.

� Se x = y entao ficamos com

lim(x ,x)→(0,0)

2x3

2x2= lim

(x ,x)→(0,0)x = 0,

entao nosso primeiro chute e que o limite de zero.

� Testando varios outros caminhos sempre obtemos o mesmo

limite 0.


Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2.

� Usando coordenadas polares


Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2.

� Usando coordenadas polaresx = r cos(t), y = r sen(t) temos

lim(x ,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2= lim

r→0

r3 cos3(t) + r3 sen3(t)

r2 cos2(t) + r2 sen2(t)

= limr→0

(r cos3(t) + r sen3(t))

= 0


Exemplo

Calcule

lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y2.

Derivadas de funcoes R → Rn

Se f : I ⊂ R → Rn, dizemos que f e uma curva. Note que

f (t) = (f1(t), . . . , fn(t)

para certas funcoes fj : I ⊂ R → R, j = 1, . . . , n.

As nocoes de limite e continuidade sao herdadas do caso R → R,aplicadas nas funcoes fj .

Derivadas de funcoes R → Rn

O mesmo acontece com o conceito de derivada a derivada de f (t) e

f �(t) = (f �1(t), . . . , fn(t)),

e ja sabemos como definir f �j (t) pois cada fj e uma funcao R → R.

Derivadas de funcoes Rn → R

O caso de funcoes Rn → R e um pouco diferente. O primeiro

conceito que apresentaremos e o derivada parcial e iremos nos

inspirar no caso R → R.

Se f : U ⊂ R2 → R, vamos fazer o seguinte: primeiro cortamos o

grafico de z = f (x , y) por um plano π da forma x = a ou da forma

y = b.

A intersecao do grafico com o plano nos dara uma curva contida

no plano π. Esta curva sera o grafico de uma funcao no plano π

(no caso, o grafico de z = f (x , b) ou de z = f (a, y)).

Vamos definir a derivada parcial de f (x , y) com respeito a x (ou y)

no ponto (a, b) como sendo a derivada desta curva na projecao do

ponto (a, b).


Formalmente, a derivada parcial de f : U ⊂ R2 → R no ponto

(a, b) com respeito a x e dada pelo limite

limh→0

f (a+ h, b)− f (a, b)

h

quando ele existe, e denotada por fx(a, b) ou∂f

∂x(a, b). Ja a

derivada parcial de f : U ⊂ R2 → R no ponto (a, b) com respeito a

y e dada pelo limite

limk→0

f (a, b + k)− f (a, b)

k

quando ele existe, e denotada por fy (a, b) ou∂f

∂y(a, b).


E bastante util definir a derivada como uma funcao, assim como

fazermos com funcoes de uma variavel.

Para isto, definimos

fx(a, b) = limh→0

f (a+ h, b)− f (a, b)

h

e

fy (a, b) = limk→0

f (a, b + k)− f (a, b)

k.

Vamos fazer alguns exemplos.


Exemplo

Seja

k(x , y) = sen(x) + y2.

Calcule fx e fy .


Exemplo

Seja

f (x , y) = sen

�x

x2 + y2

�.

Calcule fx e fy no ponto p = (1, 1).


Exemplo

Seja

f (x , y) = sen

�x

x2 + y2

�.

Calcule fx e fy no ponto p = (1, 1).

Seja g(x) = f (x , y) = sen

�x

x2 + y2

�. Assim g �(x) = fx(x , y) e:

g �(x) = fx(x , y) = cos

�x

x2 + y2

�· 1 · (x

2 + y2)− x · (2x)(x2 + y2)2

= cos

�x

x2 + y2

�· y2 − x2

(x2 + y2)2

Logo fx(1, 1) = 0.


Exemplo

Seja f (x , y) = sen

�x

x2 + y2

�. Calcule fx e fy no ponto p =

(1, 1).

Seja h(y) = f (x , y) = sen

�x

x2 + y2

�. Assim h�(y) = fy (x , y) e:

h�(y) = fy (x , y) = cos

�x

x2 + y2

�· −x · (2y)(x2 + y2)2

= − cos

�x

x2 + y2

�· 2xy

(x2 + y2)2

Logo fy (1, 1) = cos�1/2

�24.


Exemplo

Seja

f (x , y) =

xy(x2 − y2)

x2 + y2, (x , y) �= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0).

Calcule fx(0, 0) e fy (0, 0).


Exemplo

Seja

f (x , y) =

xy(x2 − y2)

x2 + y2, (x , y) �= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0).


Temos

fx(0, 0) = limh→0

f (h, 0)− f (0, 0)

h= lim

h→0

0

h2= 0

e

fy (0, 0) = limk→0

f (0, k)− f (0, 0)

k= lim

k→0

0

k2= 0


Exemplo

Seja

f (x , y) =

x2 + y4

x3 + y3, (x , y) �= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0).



Exemplo

Seja

f (x , y) =

x2 + y4

x3 + y3, (x , y) �= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0).


Temos

fx(0, 0) = limh→0

f (h, 0)− f (0, 0)

h= lim

h→0

h2

h3= lim

h→0

1

h� ∃

e

fy (0, 0) = limk→0

f (0, k)− f (0, 0)

k= lim

k→0

k4

k3= 0

Derivadas de ordem superior

Se as derivadas parciais fx(x , y) e fy (x , y) sao funcoes, elas podem

ser derivadas. Aqui temos um problema.

A funcao fx(x , y) pode ser derivada tanto em x como em y .

Assim, teremos dois tipos de derivadas de segunda ordem:

(fx)x(x , y) = fxx(x , y) e (fx)y (x , y) = fxy (x , y).

O mesmo vale para a derivada fy : temos mais duas derivadas:

(fy )x(x , y) = fyx(x , y) e (fy )y (x , y) = fyy (x , y).


Exemplo

Se f (x , y) = exy entao temos:

� fx(x , y) = yexy ,

� fy (x , y) = xexy ,

� fxy (x , y) = xyexy + exy ,

� fyx(x , y) = xyexy + exy .

Note que fxy = fyx neste caso. Sera que e sempre assim? Claro

que nao.


ExercıcioMostre que se

f (x , y) =

xy(x2 − y2)

x2 + y2, (x , y) �= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0)

entao f e contınua, as derivadas parciais de primeira ordem sao

contınuas, mas fxy (0, 0) �= fyx(0, 0) (em particular, fxy e fyx nao

sao contınuas na origem).

Dica: coordenadas polares.


ExercıcioMostre que se

f (x , y) =

x2y2

x2 + y2, (x , y) �= (0, 0),

0 , (x , y) = (0, 0)

entao as derivadas de segunda ordem nao sao contınuas na origem.


Teorema de Clairaut-Schwartz

Seja f (x , y) uma funcao definida numa regiao aberta U com

(a, b) ∈ U. Se fxy e fyx sao contınuas em U, entao fxy = fyx .

Ou seja, se f e de classe C 2 entao as derivadas parciais de segunda

ordem sao iguais.

MUITO IMPORTANTE: fxy = fyx SOMENTE CASO ESTAS

FUNCOES SEJAM CONTINUAS. NAO E A FUNCAO f QUE

PRECISA SER CONTINUA, SAO AS DERIVADAS DE SEGUNDA

ORDEM.

Aplicacao: ajude a formiga

Aplicacao: ajude a formiga

Exemplo

Seja

T (x , y) =180

1 + x2 + y2

a funcao que indica a temperatura num ponto (x , y) de uma chapa

de metal. Uma formiga acabou de cair nesta chapa, bem no ponto

(1, 2).

� Qual a temperatura no ponto onde a formiga caiu?

� Formigas nao gostam de calor. Para que direcao ela deve

correr?

Proxima aula: Diferenciais, aproximacoes lineares e planos

tangentes.

Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.

Fique em casa.

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