Tema2 estática de partículas.teoría

Extracto de los textos:

“ MECANICA VECTORIAL para INGENIEROS-Estática” Beer, Johnston y Eisenberg. 8ª Edición.

“ MECANICA para INGENIEROS-Estática” Russell C. Hibbler. 6ª Edición.

2.ESTÁTICA DE PARTÍCULAS

Resumen de Teoría

1 TECNO ACADEMY- PP RUBIO

Mecánica-Estática. Ingeniería Civil

Estática de partículas.

Introducción. Objetivo del tema.


Estudiar el efecto de las fuerzas sobre las partículas.

Sustituir dos o mas fuerzas por una sola fuerza equivalente o fuerza RESULTANTE.

Relaciones necesarias entre las fuerzas para el EQUILIBRIO de la partícula.



Vectores.


• Vector: Se define por su magnitud , dirección y sentido, y se

suman siguiendo la regla del paralelogramo. Ejemplos:

Fuerzas, desplazamientos, velocidades, aceleraciones.

• Vectores Iguales tienen la misma magnitud y dirección.

• Clasificación de vectores:

- Fijos: Su punto de aplicación no puede ser modificado sin

afectar al resultado.

- Libres: Pueden moverse libremente en el espacio sin afectar

al resultado.

- Deslizantes: Pueden aplicarse en cualquier punto de su línea

de acción sin afectar al resultado.

• El Vector Negativo de un vector dado tiene la misma magnitud

y dirección opuesta.



Resultante de 2 fuerzas

Las fuerzas son cantidades vectoriales que se

caracterizan por un punto de aplicación, una

magnitud, una dirección y un sentido. Se suman de

acuerdo con la ley del paralelogramo. La magnitud y

dirección de la resultante R de dos fuerzas P y Q se

pueden determinar ya sea gráficamente (la diagonal

del paralelogramo) o por trigonometría, utilizando

sucesivamente la ley de los cosenos y la ley de los

senos.




Componentes de una fuerza

Cualquier fuerza dada que actúe sobre una partícula puede

descomponerse en dos o mas componentes, es decir, se

puede reemplazar por dos o mas fuerzas que tengan el

mismo efecto sobre la partícula.

Se puede descomponer una fuerza F en dos componentes

P y Q al dibujar un paralelogramo que tenga a F por su

diagonal; entonces, las componentes P y Q son

representadas por los dos lados adyacentes del

paralelogramo y se pueden determinar ya sea en gráficas o

por trigonometría.




Componentes rectangulares. Vectores unitarios.


Se dice que una fuerza F se ha dividido en dos componentes

rectangulares si sus componentes Fx y Fy son perpendiculares

entre si y se dirigen a lo largo de los ejes coordenados. Al

introducir los vectores unitarios i y j a lo largo de los ejes x e y,

respectivamente, se escribe

F x = Fx i Fy= Fy j y F = Fxi + Fy j

donde Fx y Fy son las componentes escalares de F. Estas

componentes, que pueden ser positivas o negativas, se definen

por las relaciones

Fx = F cos θ Fy = F sen θ (1)

Cuando se dan las componentes rectangulares Fx y Fy de una

fuerza F, el ángulo θ que define la dirección de la fuerza se

puede obtener al escribir

La magnitud F de la fuerza se puede obtener al resolver una de

las ecuaciones (1) o al aplicar el teorema de Pitágoras y escribir

Fy

Fxtan

22 FyFxF




Ejemplo de expresión vectorial de una fuerza.

Determinar las componentes x e y de F1 y F2 de la figura (a).

Exprese cada fuerza como una expresión vectorial.




Solución

Notación escalar. Ya que F1 actúa a lo largo del eje y

negativo y la magnitud de F1 es 100 N, las componentes

escritas en forma escalar son .

F1x = 0, F1y = -100 N Resp.

Por la ley del paralelogramo, F2 se resuelve en

componentes x e y, figura (b). La magnitud de cada

componente se determina por trigonometría. Ya que F2x

actúa en la dirección –x y F2y actúa en la dirección +y,

tenemos,

F2x = -200 sen 60° N = -173 N Resp.

F2y= 200 cos 60° N = 100 N Resp.

Notación vectorial. Habiendo calculado las magnitudes

de las componentes de F2 figura (b), podemos expresar

cada fuerza por sus componentes rectangulares.

F1 = 0i + 100 N(-j)= (-100j) N Resp.

F2 = 200 sen 60° N(-i) + 200 cos 60° N(j)

= (-173i + 100j)N Resp




Ejemplo de componentes rectangulares de una fuerza.

Exprese la fuerza F que actúa sobre el gancho de

la figura a por sus componentes rectangulares.




Solución

En este caso, los ángulos de 60° y 30° que definen la

dirección de F no son ángulos directores coordenados.

Mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del

paralelogramo, sin embargo, F puede resolverse en sus

componentes x, y y z como en la figura b. Primero, del

triángulo vertical

F' = 4 cos 30° = 3.46 kN

Fz = 4 sen 30° = 2.00 kN

Después, usando F' y el triángulo horizontal, Por tanto;

Fx = 3.46 cos 60° = 1.73 kN

Fy = 3.46 sen 60° = 3.00 kN

F = (1.73i + 3.00j + 2.00k) kN Resp . .



Resultantes de varias fuerzas coplanares.


Cuando tres o mas fuerzas coplanares actúan sobre una partícula, las

componentes rectangulares de su resultante R se pueden obtener al

sumar en forma algebraica las componentes correspondientes de las

fuerzas dadas.

R = P + Q + S

Si se descompone cada fuerza en sus componentes rectangulares, se

escribe

Rxi + Ryj = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Sxi + Syj

= (Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy)j

o, en forma breve,

FxRx FyRy



Fuerzas en el espacio.


Una fuerza F en un espacio tridimensional se puede descomponer en componentes

rectangulares Fx, Fy y Fz. Al simbolizar por medio de θx, θy y θz, respectivamente, los

ángulos que F forma con los ejes x, y y z, se tiene

Fx = F cos θx Fy = F cos θy Fz = F cos θz



Cosenos directores.


Los cosenos de θx, θy y θz se conocen como los cosenos directores de la fuerza F. Con la

introducción de los vectores unitarios i, j y k a lo largo de los ejes coordenados, se escribe

F=Fx i + Fy j + Fz k o F=F(cosθxi +cosθyj + cosθzk)

Lo que demuestra que F es el producto de su magnitud F y del vector unitario λ

λ =cosθxi +cosθyj + cosθzk

Puesto que la magnitud de λ es la unidad, se tiene que

cos2θxi +cos2θyj + cos2θzk = 1

Si conocemos las componentes rectangulares Fx, Fy y Fz de una

fuerza F, la magnitud o módulo F se obtiene de

222 FzFyFxF

y los cosenos directores de F serán

cosθx=Fx/F cosθy=Fy/F cosθz=Fz/F




Cuando una fuerza F se define en un espacio

tridimensional por medio de su módulo F y de

dos puntos M y N sobre su línea de acción, sus

componentes rectangulares se obtienen:

1.Expresando el vector MN por sus componentes

rectangulares dx , dy y dz.

2.Se determina el vector unitario de MN, λMN de

la línea de acción de MN y F

(d= módulo de MN)

3. Como F=FλMN

de lo que se desprende que las

componentes escalares F son:

222

)(

zyx

zyx

MN

ddd

kdjdid

d

MN

kjid

F zyx dddF

d

xx

FdF

d

y

y

FdF

d

zz

FdF



Resultante de fuerzas en el espacio.


Cuando dos o más fuerzas actúan sobre una partícula en el espacio

tridimensional, las componentes rectangulares de su resultante R se pueden

obtener al sumar en forma algebraica las componentes de las fuerzas. Se tiene:

La magnitud y dirección de R se pueden determinar:

cosθx = Rx/R cosθy = Ry/R cosθz = Rz/R

xx FR yy FR zz FR

2

z

2

y

2

x RRRR



Equilibrio de una partícula.


Se dice que una partícula está en equilibrio cuando la

resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella

es cero. La partícula entonces permanecerá en reposo

(si originalmente se encuentra en reposo) o se moverá

con velocidad constante en una línea recta (si se

encontraba originalmente en movimiento).



Diagrama de cuerpo libre.


Para resolver un problema que se refiera a una partícula en equilibrio, primero

se deberá dibujar un diagrama de cuerpo libre de la partícula que muestre

todas las fuerzas que actúan sobre ella. Si solo actúan tres fuerzas coplanares

sobre la partícula, se puede dibujar un triangulo de fuerzas para expresar que la

partícula se encuentra en equilibrio. Este triangulo se puede resolver

graficamente o por trigonometria para no más de dos incógnitas. Si se incluyen

más de tres fuerzas coplanares, se deberán utilizar y resolver las ecuaciones de

equilibrio

Estas ecuaciones pueden ser usadas para no más de dos incógnitas

0 xF 0 yF



Equilibrio en el espacio.


0 xF 0 yF 0 zF

Cuando una partícula esta en equilibrio en el espacio tridimensional, deberán

usarse y resolverse las tres ecuaciones de equilibrio

Estas ecuaciones se pueden resolver para no más de tres incógnitas.



Ejemplo de equilibrio de 3 fuerzas concurrentes coplanares.


Determine la tensión en las cuerdas AB y

AD para el equilibrio de la caja de 10 kg de

la figura 3.6a.



Solución


El diagrama de cuerpo libre de la caja se muestra en la

figura b. Aquí el peso de la caja es (10 kg)(9.81 m/s2) =

98.1N. En consecuencia, la fuerza de la cuerda CA sobre

la caja debe también ser igual a 98.1 N para que esté en

equilibrio.

Por la tercera ley de Newton es igual pero opuesta en

sentido al actuar en la cuerda CA, figura C y, por tanto, la

cuerda se mantiene en equilibrio por la fuerza de 98.1 N

del anillo.

La fuerza en las cuerdas AB y AD podrá obtenerse ahora

investigando el equilibrio del anillo en A, porque esta

"partícula“ está sujeta a la acción de esas dos fuerzas.





Como se aprecia en la figura d, hay tres fuerzas

concurrentes que actúan sobre el anillo. Las tensiones TB

y TD tienen magnitudes desconocidas pero direcciones

conocidas. La cuerda AC ejerce una fuerza hacia abajo en

A que es igual a 98.1 N .




Ecuaciones de equilibrio. Ya que las ecuaciones de

equilibrio requieren sumas de las componentes x y las

componentes y de cada fuerza, TB debe descomponerse en

sus componentes correspondientes.

Estas componentes, que aparecen en línea punteada en el

diagrama de cuerpo libre, tienen magnitudes de TB cos30°

y TB sen30°, respectivamente. Si se aplican las ecuaciones

de equilibrio, tenemos

Fx=0 TB cos 30° - TD = 0 (1)

Fy=0 TB sen 30° - 98.1 = 0 (2)

Al resolver la ecuación (2) en TB y sustituir en la ecuación

(1) para obtener TD, se tendrá

TB = 196 N TD =170N Resp.




Ejemplo de equilibrio de una partícula en el espacio.

Determine la fuerza desarrollada en cada uno de los

cables que sostienen la caja de W=40 lb de la figura a.




Solución


Como se muestra en la figura b, se considera el diagrama de

cuerpo libre A para "exponer" las tres fuerzas desconocidas en los

cables y obtener por ese medio sus magnitudes.

Ecuaciones de equilibrio.

F=0; FB+FC+FD+W=0 (1)

Ya que las coordenadas de los puntos B y C son B (-3, -4, 8) y

C (-3,4,8), tenemos

= -0.318FBi-0.424FBj+0.848FBk

222B

843-

8k4j-3iF BF




222C

843-

8k4j3iF CF

=-0.318FCi+0.424FCj+0.848FCk

FD=FDi

W=-40k

Al sustituir estas fuerzas en la ecuación (1) se tiene

-0.318FBi-0.424FBj+0848FBk-0.318FCi+0.424FCj

+0.848FCk+FDi-40k

Si se igualan las respectivas componentes i, j, k a cero:

Fx=0; -318FB-0.318FC+FD=0

Fy=0; -0.424FB+0.424FC=0

Fz=0; 0.848FB+0.848FC-40=0

Resolviendo el sistema

FB=FC=23.6 lb FD=15.0 lb Resp.


Extracto de los textos:

“ MECANICA VECTORIAL para INGENIEROS-Estática” Beer, Johnston y Eisenberg. 8ª Edición.

“ MECANICA para INGENIEROS-Estática” Russell C. Hibbler. 6ª Edición.

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