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Tema 1: movimiento oscilatorio

Oscilaciones y OndasOscilaciones y Ondas

Fundamentos físicos de la ingeniería

Ingeniería Industrial

Primer CursoPrimer Curso

Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010

Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

1

ÍÍndice Introducción: movimiento oscilatorio Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleraciónE í d l MAS Energía del MAS

Sistemas oscilantes: Muelle vertical Muelle vertical Péndulo simple Péndulo físico

Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas: resonancia



2

Movimiento oscilatorio

Movimiento periódico Ejemplos: Ejemplos: Barcas sobre el agua Bandera al viento Bandera al viento Péndulo de un reloj Moléculas en un sólido Moléculas en un sólido V e I en circuitos de corriente alterna

En general cualquier objeto desplazado En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio



3

Movimiento oscilatorio

Forma más básica de movimiento oscilatorio: movimiento armónico simple (MAS)movimiento armónico simple (MAS)

¿Por qué estudiar el MAS?Ej l ill d i i t il t i Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio

Aproximación válida en muchos casos de i i t il t imovimiento oscilatorio

Componente básico de la ecuación del d l i t d i i t il t i ádesplazamiento de movimientos oscilatorios más complejos



4






5

Representación matemática del MAS: dinámica del MAS

Cuerpo unido a un muelle

F kx • k : constante del muelleF

0 0x

x• Signo: fuerza restauradora

0

• Segunda ley de Newton:

kF ma kx

kxa

m Condición de MAS

para la aceleración



6

Representación matemática del MAS

Segunda ley de Newton:F ma kx

2

0d x

m kx F ma kx2

0m kxdt

2

2 22

0 con: d x k

x

Solución:

2co :

dt m

( ) cos( )x t A t Solución: ( ) cos( )x t A t

sen( )dx

A tdt

• Comprobación:dt

22 2

2cos( )

d xA t x

dt



7

dt

Representación matemática del MAS

Significado físico de las constantes:( ) cos( )x t A t

A Amplitud (m)

Frecuencia angular (rad/s)

( ) cos( )x t A t

Frecuencia angular (rad/s)

Constante de fase (rad)

Determinación de A y

(0) cos( )x A Dos ecuaciones(0) sen( )v A (0) cos( )x A Dos ecuaciones

con dos incógnitas



8

Representación matemática del MAS: Ejemplo

0t

x

0t

(0) sen( ) 0v A 0(0) cos( )x A A

(0) sen( ) 0v A

A A0A

02ASolución: 0

0

A A

0

( ) ( )t A t

x0A

0( ) cos( )x t A t t

A



9

0A

Representación matemática del MAS: Resumen

Fuerza que provoca un MAS:F kx Ley de Hooke

Ecuación diferencial del MAS

F kx Ley de Hooke

22

20

d xx

dt

Ecuación del MAS

( ) cos( )x t A t



10

Representación del MAS:periodo y frecuencia

Periodo (T): Tiempo necesario para cumplir un ciclo completoun ciclo completo

( ) ( )x t x t T

( ) cos( )x t T A t T 2T x

T

t2

T

T

TUnidades: segundos (s)



11

Representación del MAS:periodo y frecuencia

Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones por unidad de tiempo (ciclos por segundo)unidad de tiempo (ciclos por segundo)

-11 Unidades: s Hzf

Para el resorte:

2f

T

22

mT

k

k La frecuencia

d d d1 1

2

kf

T m

m

no depende de la amplitud



12

2T m

Representación del MAS: aplicaciones

El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependa de laoscilaciones del resorte no dependa de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de Medida de masas a partir de periodo de

oscilación

El astronauta Alan LEl astronauta Alan L. Bean midiendo su masa durante el segundo viaje del Skylab (1973)



13

viaje del Skylab (1973)

Representación del MAS: aplicaciones

El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de laoscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de Medida de masas a partir de periodo de

oscilación

Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda del instrumento o la tecla de un pianocuerda del instrumento o la tecla de un piano.



14

Representación del MAS: velocidad y aceleración

( ) cos( )x t A t Posición:

Velocidad:( ) sen( )

dxv t A t

dt

Velocidad:

k

El signo indica el sentidodt

Aceleración:maxv A (para el resorte)

kA

m

22 2

2( ) cos( ) ( )

d xa t A t x t

Aceleración:

El signo indica el sentido2

( ) ( ) ( )dt

2maxa A (para el resorte)

kA

sentido



15

m

Representación del MAS: velocidad y aceleración

( ) cos( )x t A t A x ( ) cos( )x t A t

• Suponemos =02T 3

2TT

( ) sen( )v t A t cos( )2

A t

-A

A ( )v t

2 2

• Desfase /2 con x(t)2

2T 3

2TT

2( ) cos( )a t A t 2 cos( )A t -A

A2 ( )a t• Desfase /2 con v(t)

• Desfase con x(t)2T 3

2TT



16

( )

-A2

Representación del MAS:

A xvelocidad y aceleración

0t 0

2T 3

2TT

x0t 0v

2a A

-AA ( )v t

2 2

x

T

2T 3

2TT x

4Tt

v A 0a

-A

A2 ( )a t x

2T 3

2TT

x2Tt

0v 2a A



17-A2-A2

x a A

Representación del MAS:

A xvelocidad y aceleración

2Tt

0

2T 3

2TT

x2 0v

2a A

-AA ( )v t

2 2

3T

x

2T 3

2TT x

34Tt

v A 0a

-A

A2 ( )a t x

2T 3

2TT

x

t T0v

2a AJoaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010


18-A2

x a A






19

Energía del MAS

Si no hay rozamiento: energía mecánica constante cteE E U constante

Energía cinética:

ctecE E U

21E mv

Energía potencial:2cE mv

g p

0

( ) (0)x

muelleU x U W Fdx 0

x

Kx dx 21

2kx

0 0 2

21( )

2U x kx



20

2

Energía del MAS

Energía mecánica:

( ) cos( )x t A t 1 1 ( ) cos( )con:

( ) sen( )

x t A t

v t A t

2 21 1

2 2E mv kx

2 2 2 2 21 1sen ( ) cos ( )

2 2E mA t kA t

2 2

Usando: (para un resorte)2m k

2 2 2 21 1(sen ( ) cos ( ))

2 2E kA t t kA



21

1

Energía del MAS

21

2E kA

2

¡ No depende de la masa ! 21E kA

• La energía se trasvasa continuamente de cinética a

cE2

E kA

2max

1x A E U kA

potencial y viceversa

max 2x U k

2 2max max

1 10

2 2cx E E mv kA Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010


22

,max max2 2c

Energía del MASC l i tí l d l li t d Cualquier partícula que se desplaza ligeramente de su equilibrio sufre un MAS ya que cualquier curva puede aproximarse cerca del mínimo con unapuede aproximarse cerca del mínimo con una parábola:

U(x) para una partícula en el f d d fé i



23

fondo de un cuenco esférico






24

Sistemas oscilantes: muelle vertical

Supongamos muelle vertical

Definimos eje y hacia abajoj y j

Fuerza del muelle

F k

yF kyu

y



25


Añadimos una masa m

Aparece una fuerza adicional, el peso:

Se puede hallar el alargamiento del yP mgu

muelle ( y0 ):

Condición de equilibrio: 0F P

0mg ky

P d0

mgy

k Puede usarse

para medir kk



26


Hacemos oscilar el sistema:

D fi img ky ma

Definimos: 0y y y

0

mgy y y y

mg ky ky 2 2

0y y y yk

2 2

2 2

d y d yma m m

dt dt

2

2

d ym ky

dt



27

dt


2

2

d y ky

dt m

Ecuación diferencial

de un MAS

Solución:

dt m de un MAS

cos( )y A t ( )y

k

2; 2

mT

m ; 2T

k

El ú i f t d d lEl único efecto de m es desplazar la posición de equilibrio



28






29

Sistemas oscilantes: péndulo simple

Objeto de masa m

Suspendido de una cuerda ligera (mc<<m) de longitud L

Extremo superior fijo

Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos:

il ioscilaciones

¿Es un M.A.S.?



30


Segunda Ley de Newton:

2d ssenmg ma

g y

2sen

d smg m

dt usando: s L

2dL

2seng L

dt

Si sen Si sen 2

2

d g

2dt L

Ecuación diferencial de un MASJoaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010


31

Ecuación diferencial de un MAS


22

2

d g

dt L

Solución:

cos( )t g0 cos( )t con:

g

L

Periodo del péndulo simple:

22

LT

g

g

¡ T no depende de m !

¡ T no depende de !Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010


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¡ T no depende de !

Péndulo simple: aplicaciones

El hecho de que el periodo de oscilación de un péndulo simple no dependa de la masa niun péndulo simple no dependa de la masa ni de la amplitud (para amplitudes pequeñas) resulta llamativo y tiene interesantesresulta llamativo y tiene interesantes aplicaciones:

Técnica sencilla para calcular la aceleración de la Técnica sencilla para calcular la aceleración de la gravedad.

M did d l ti é d l d l j Medida del tiempo: péndulo de un reloj



33






34

Sistemas oscilantes: péndulo físico

Objeto rígido de masa m

Oscila alrededor de un eje jfijoEje

Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: equ b o y o so ta ososcilaciones

¿Es un M.A.S.?¿Es un M.A.S.?



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senM mgD M D P

Segunda Ley de Newton Eje

g ypara una rotación:

2dM I

senmgD 2i

M Idt

senmgD

Si sen S se 2

2

d mgD

2dt I

Ecuación diferencial de un MASJoaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010


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Ecuación diferencial de un MAS


22

2

d mgD

dt I

EjeSolución:

cos( )t mgD0 cos( )t con:

g

I

Periodo del péndulo simple:

22

IT

mgD

g

• Puede usarse para medir I

• Si I=mD2: T del pendulo simpleJoaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010


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• Si I=mD2: T del pendulo simple






38

Oscilaciones amortiguadas

Las oscilaciones en sistemas oscilantes reales no son permanentes: rozamiento

kp

Este efecto puede incluirse en los cálculos:

t tb

k

constante con:

velocidad

bR bv

v

Fuerza resistiva:

Segunda Ley de Newton:

Amortiguamiento lineal (muy habitual)

g y

kx bv ma 2

2

dx d xkx b m

dt dt



39

dt dt

Oscilaciones amortiguadas2d x dx

20

d x dxm b kx

dt dt Ecuación:

Solución: 2( ) cos( )b

tmx t Ae t

2 220 ;

k b b 0

k

m

0 ;2 2m m m

m

Frecuencia natural(corresponde a b=0) (corresponde a b 0)

0 El sistema oscila con frecuencia menor

que si no hubiera rozamiento (b=0)Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010


40

que si no hubiera rozamiento (b=0)


2( ) cos( )b

tmx t Ae t

La amplitud decrece exponencialmente

decrece más rápido cuanto mayor es b



41


La solución propuesta es válida para 02b m 2

2 b Si t b ti d

Si l i t il

20 2

b

m

Sistema subamortiguado

2b Si : el sistema no oscila02b m

Críticamente amortiguado 0( 2 )b m g

Sobreamortiguado0( )

0( 2 )b m

Cuanto mayor sea bCuanto mayor sea bmás tarda en alcanzar el

equilibrio



42

q






43

Oscilaciones forzadas

En un sistema amortiguado la energía decrece con el tiempoenergía decrece con el tiempo

Para mantener las oscilaciones es precisooscilaciones es preciso suministrar energía de forma

ticontinua

Esto precisa la acción de una fuerza externa

0 cos( )eF F t Joaquín Bernal MéndezCurso 2009/2010


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0 ( )e

Oscilaciones forzadas: resonancia

Movimiento del oscilador forzado: Estado inicial transitorio Estado inicial transitorio

Estado estacionario: Oscila con y A( ) Oscila con e y A(e)

Energía es constante (suministrada=disipada)

Resonancia: ocurre cuando Resonancia: ocurre cuando 0e

El sistema oscila con amplitud y energía máximas



45

Resonancia: ejemploPuente de Tacoma Narrows

• El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puente colgante de Tacoma Narrows (Washington, USA) debido a las vibraciones provocadas por el vientoa las vibraciones provocadas por el viento.

• El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses.



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Resonancia: ejemploPuente de Tacoma Narrows



47

Resonancia: ejemploBahía de Fundy La bahía de Fundy se conoce por registrarLa bahía de Fundy se conoce por registrar

la máxima diferencia en el nivel del agua entre la marea alta y la bajamar (alrededor de 17 metros).

Se cree que el nombre “Fundy” data del siglo XVI, cuando exploradores portugueses llamaron a la bahía "Rio Fundo“ (río

f d )profundo). El folklore popular afirma que las mareas

son causadas por una ballena gigante que chapotea en el aguachapotea en el agua.

Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a la resonancia, como resultado de la coincidencia entre el tiempo que necesitacoincidencia entre el tiempo que necesita una gran ola para penetrar hasta el fondo de la bahía y regresar y el tiempo entre mareas altas (12.4 horas).



48

mareas altas (12.4 horas).

Resonancia: ejemploBahía de Fundy



49

Resumen del tema El MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una El MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una

fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio.

La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidal

La energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimientoconstante del movimiento.

Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del cuerpo oscilante.cuerpo oscilante.

Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza externa: oscilaciones forzadas.

Cuando la frecuencia de la fuerza externa es similar a la frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de las oscilaciones es máxima: resonancia



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