Oscilador armónico

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Oscilador armónicoSe dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc., es un oscilador

armónico si, cuando se deja en libertad fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

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La masa colgada del resorte forma un oscilador armónico.

El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación.

Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el casounidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo).

Oscilador armónico sin pérdidas[editar]

Artículo principal: Movimiento armónico simple

Se denominará   a la distancia entre la posición de equilibrio y la masa, a la que se le

dominara  . Se supondrá que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al

desequilibrio:   (ley de Hooke).   es la fuerza y   la constante elástica del resorte. El

signo negativo indica que cuando   es positiva la fuerza está dirigida hacia las  negativas.

La segunda ley de Newton nos dice:

remplazando la fuerza obtenemos:

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La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es inmediata: las

únicas funciones reales (no complejas) cuya segunda derivada es la misma función con el

signo invertido sonseno y coseno. Las dos funciones corresponden al mismo movimiento.

Escogemos arbitrariamente "coseno". La solución se escribe:

La curva de arriba da la posición del oscilador en función del tiempo. La del medio da la velocidad. Abajo

están las curvas de las energías. En azul está la energía cinética   y en rojo la energía potencial del

resorte 

 es la elongación o diferencia respecto al estado de equilibrio, sus unidades son las

de  .

 es la amplitud, máxima diferencia respecto a la posición de equilibrio.

 es la pulsación (o frecuencia angular) y   la frecuencia.

 es el tiempo.

 es la fase inicial (para  ).

Es fácil comprobar que el valor de   es:

El período de oscilación es:

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Como ya hemos dicho, durante un cuarto de una oscilación la energía potencial

se transforma en energía cinética. Durante otro cuarto, la energía cinética se

transforma en energía potencial. En la figura de la derecha se ha trazado la

posición en función del tiempo (curva de arriba), la velocidad en función del

tiempo (en medio) y las energías potenciales y cinéticas (abajo).

Oscilador armónico amortiguado[editar]

Oscilador armónico con amortiguador. La fuerza viscosa es proporcional a la velocidad.

Añadiendo pérdidas de energía, se consigue modelar una situación más próxima a la realidad.

Así, nótese que la oscilación descrita en el apartado anterior se prolongaría indefinidamente

en el tiempo (la sinusoide que describe la posición no converge a cero en ningún momento).

Una situación más verosímil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que

frena el movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el

movimiento). Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de

la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la

velocidad elevada a una potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena

proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más

simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:

Donde   es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si   es

pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como

antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección opuesta a la velocidad.

Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:

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Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden1 (contiene

derivadas segundas) y homogénea (no hay término independiente de  ). Tiene tres

tipos de soluciones según el valor de  :

Si   el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o

supercrítico)

Si   el sistema tiene amortiguamiento crítico.

Si   el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o

subcrítico)

Oscilador sobreamortiguado[editar]

Posición en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado.

curva azul: amortiguamiento crítico.

curva roja: amortiguamiento doble que el crítico.

curva verde: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crítico.

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es

de la forma:

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por

lo que no hay oscilación):

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y

 y   dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para  ).

La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las

dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una

es pequeña   y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La

segunda   es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.

Oscilador con amortiguamiento crítico[editar]

Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

La solución única es:

como antes,   y   son constantes que dependen de las condiciones iniciales. (siendo A1 la

posición inicial y A2 La velocidad inicial)

El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de

equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el

sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición

oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).

Oscilador con amortiguamiento débil[editar]

Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide está controlada por la exponencial.

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En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la

posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

La solución es:

como antes,   y   son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsación es:

La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del sistema no

amortiguado   porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.

La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia   

cuya amplitud está multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo

es  .

Factor de calidad Q[editar]

En un sistema poco amortiguado es interesante de definir el factor de calidad (Quality

factor en inglés) o simplemente Q como:

esta cantidad es igual a   veces el inverso de las pérdidas relativas de energía por período.

Así, un sistema que pierde 1% de energía a cada ciclo, tendrá un Q de 628. Más

interesante, Q es también   veces el número de oscilaciones que el sistema hace mientras su

amplitud se divide por un factor  . Si se puede aceptar una aproximación más grosera, Q es 3

veces el número de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la

amplitud inicial.

Como ejemplos, el Q de un vehículo con los amortiguadores en buen estado es un poco más

grande que 1. El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles. El Q de los cristales

de cuarzo utilizados en electrónica como referencia de frecuencia es el orden de 1 millón. Una

copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho más pequeño que una copa de vidrio de

plomo (cristal).

Oscilaciones forzadas[editar]

Podemos iniciar el movimiento un oscilador armónico desplazándolo de su posición de

equilibrio y abandonándolo a su oscilación libre (ver párrafos precedentes).

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Alternativamente, podemos aplicarle una fuerza cuya intensidad varíe de manera sinusoidal

con el tiempo. En esta situación, la ecuación diferencial lineal es inhomogénea. La solución a

este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución general del sistema

homogéneo más una solución particular del caso inhomogéneo.2 Por tanto, la solución está

formada por dos partes, una parte transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las

que vimos en los párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte

transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuación homogénea). Las únicas diferencias

son las condiciones iniciales y finales, que no son idénticas. Vamos a interesarnos a la

solución estacionaria. En la ecuación diferencial del sistema hay que añadir la fuerza

sinusoidal:

Para resolver esta ecuación es más interesante utilizar el mismo método que en

electricidad y electrónica. Para ello, se añade a la fuerza real una fuerza imaginaria

. Como en electrónica, se utiliza   en lugar de i. Ahora la ecuación a

resolver es:

Pero por supuesto, como en electricidad, sólo la parte real de y será de interés. La

solución es inmediata:

Si se deriva esta expresión y se sustituye en la ecuación diferencial, se encuentra

el valor de A:

Pero A puede escribirse como   y la solución de   compleja es:

El valor de   real es la parte real de la expresión precedente:

donde   es el módulo de   y   su argumento:

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Como en electricidad, el ángulo   da el desfase del movimiento con respecto a la fuerza

externa. Si   es positivo, el movimiento está en avance de fase y si   es negativo el

movimiento está en retardo de fase. En este caso el desfase será siempre negativo.

Respuesta en frecuencia[editar]

La amplitud de las oscilaciones forzadas dependerá, por supuesto, de la amplitud de la fuerza

externa. Pero para una misma amplitud de la fuerza, la amplitud de la oscilación dependerá

también de la frecuencia. Veamos como varia la amplitud   con  . Utilizando la definición de

frecuencia propia del sistema (sin amortiguamiento ni fuerza externa):

Respuesta en frecuencia de un oscilador armónico. A la frecuencia de resonancia, la amplitud es Q

veces más grande que a muy baja frecuencia.

se puede escribir:

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Si además se utiliza la definición de  , se obtiene:

En el dibujo de derecha se ha representado la amplitud de la oscilación forzada en función de

la frecuencia para varios valores del factor de calidad Q. A muy baja frecuencia la amplitud es

la misma que si la fuerza fuese estática  , y el sistema oscilará entre las posiciones   

y  . Cuando la frecuencia aumenta, la amplitud también, alcanzando un máximo cuando la

frecuencia de excitación es igual a la frecuencia propia del sistema. A esa frecuencia propia

también se le llama frecuencia de resonancia. También se dice que un sistema excitado a

una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia "resuena" o "entra en resonancia". A la

frecuencia de resonancia, la amplitud de las oscilaciones será Q veces más grande que la que

se obtiene en baja frecuencia.

El ancho del pico de resonancia a media altura, es decir cuando la amplitud es igual a la mitad

del máximo, es igual a la frecuencia de resonancia dividida por Q. Ese ancho también se

llama banda pasante.

Movimiento armónico simple

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Movimiento armónico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio fásico. Las órbita es periódica.

El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es unmovimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición. Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

Mecánica clásica[editar]

Cinemática del movimiento armónico simple[editar]

Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas.

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Evolución en el tiempo del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un movimiento circular

uniforme.

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo

oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en

intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto

oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en

libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra

cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda,

sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El

movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y

simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

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Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple.

Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el

origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que   donde   es una

constante positiva y   es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la

fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en

dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en

una dimensión mediante la ecuación diferencial

Siendo   la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo   se obtiene la

siguiente ecuación donde   es la frecuencia angular del movimiento:

(2)

La solución de la ecuación diferencial (2) puede escribirse en la forma

(3)

donde:

 es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.

 es la amplitud del movimiento (elongación máxima).

 es la frecuencia angular

 es el tiempo.

 es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el

instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como esto:

(4) , y por lo tanto el periodo

como 

La velocidad y aceleración de la partícula pueden

obtenerse derivando respecto del tiempo la

expresión  .

Page 15: Oscilador armónico

Velocidad[editar]

La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un movimiento armónico simple se

obtiene por lo tanto derivando la posición respecto al tiempo:

(5)

Aceleración[editar]

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y

se obtiene por lo tanto derivado la ecuación de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:

(6)

Amplitud y fase inicial[editar]

La amplitud   y la fase inicial   se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del

movimiento, esto es de los valores de la elongación   y de la velocidad   iniciales.

(7)

(8)

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(9)

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10)

Dinámica del movimiento armónico simple[editar]

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente

proporcional:

(11)

Un ejemplo sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la

constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

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(12)

Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se deduce:

(13)

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función

de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

(14)

Energía del movimiento armónico simple[editar]

Energías cinética (Ec), potencial (Ep) y mecánica(Em) en el movimiento armónico en función de la la

elongación.

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son centrales y, por

tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado energía

potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con

integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y

cambiarla de signo, obteniéndose:

(15)

La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo

(cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio.

La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

(16)

La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se alcanza en el punto de

equilibrio (máxima velocidad Aω).

Page 17: Oscilador armónico

(17)

Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de la energía cinética y

potencial) permanece constante.

(18)

Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando

los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es

máxima, es decir, en los puntos   y  . Se obtiene entonces que,

(19)

O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía potencial nula, en el

punto de equilibrio 

(20)