teleportacion cuantica

5/11/2018 teleportacion cuantica - slidepdf.com

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En este artícuo se tratará el problema de Alicia y Roberto –Beto para los amigos– habitantes de unmundo ideal. Alicia desea compartir informacióncuántica generada en su laboratorio, por ejemplo unbit cuántico o qubit, con Beto, cuyo laboratorio seencuentra en una locación diferente. Ella quiere quela información sea transmitida de manera eca yeciente. En caso de existir errores en la transmisión,necesita que él esté consciente de la existencia deesos errores y sea capa de resarcirlos. Para lograr

esta tarea, Alicia y Beto cuentan con un canalclásico de comunicación y un proveedor de qubitsentrelaados. Utiliando estos recursos se estableceráun canal cuántico de transmisión de información

entre ellos y se analiará una forma de codicar ycorregir los posibles errores inducidos por ruido–ideal como su mundo– en dicho canal.

¿Por qué comunicaciones cuánticas?El problema de las transmisiones ecientes y segurases de vital importancia en nuestra sociedad. Elestilo de vida moderno depende de un intercambiocontinuo de información con delidad y privacidadgarantiadas. Sin este par de garantías en sus

transacciones, el mundo nanciero, por ejemplo,sería un caos y con él, las economías mundiales.

Más de alguno podría preguntarse: ¿por qué,si la información que manejamos cotidianamente

Alicia y Beto se comunican.Introducción a lacomunicación cuántica

EL ESTILO DE VIDA ACTUAL DEPENDE DE UN INTERCAMBIO CONTINUO

DE INFORMACIÓN POR LO QUE ES NECESARIO GARANTIZAR TRANSMISIO-

NES EFICIENTES Y SEGURAS. SIN ESTE PAR DE GARANTÍAS, LAS TRANSAC-

CIONES FINANCIERAS SE VOLVERÍAN CAÓTICAS PONIENDO EN PELIGRO

LA ECONOMÍA MUNDIAL. EN LA BÚSQUEDA DE SOLUCIONES AL PROBLE-

MA DE LA PRIVACIDAD EN LAS COMUNICACIONES, LA CIENCIA ACTUAL

ESTÁ FORMULANDO MODELOS CUÁNTICOS DE CIFRADO. CON ELLO SE

ESTÁ PREPARANDO TERRENO PARA INAUGURAR LA ERA DE LA COMUNI-

CACIÓN CUÁNTICA.

Bas Manue Rodríguez lara

BLAS MANUEL RODRGUEz LARA (D.C. INAOE 05, SNI-Candidato)Investigador becario postdoctoral, Departamento de Física Teórica,Instituto de Física, Universidad Nacional Autónoma de México. Entresus intereses se encuentran la docencia de la óptica e informáticacuántica y la investigación de la interacción radiación-materia y sus

posibles aplicaciones para el cómputo cuántico. Ha trabajado encaracteriación de correlaciones cuánticas, reversión de dinámica ycaracteriación de objetos mesoscópicos en modelos de interacciónradiació[email protected]



es clásica, nos metemos en problemas trabajandocon información cuántica? ¿Por qué utiliarcomunicaciones cuánticas? Tres raones, sucientes

para contestar la primera pregunta, son expuestaspor Kamil Bradler en su contribución a este volumen,relacionada con la búsqueda de soluciones alproblema de la privacidad en las comunicaciones.Un ejemplo muy particular de esas raones es elsiguiente:

La criptografía clásica, utiliada actualmentepara proteger la información transmitida porlos canales de comunicación existentes, se basaen la especulación acerca de la imposibilidad dedescomponer ecientemente números enterosgrandes en sus factores primos utiliando unalgoritmo clásico. En 1994, Peter Shor (Massachusetts

Institute of Technology, EUA) demostró que encontrarlos factores primos de un número entero puederealiarse de manera eciente con un algoritmocuántico. El día en que sea posible implementarel algoritmo de factoriación en primos de Shor,las comunicaciones clásicas, con los modelos decifrado que conocemos, dejarán de ser seguras. Siese día llegare, será necesario tener una criptografíacuántica lista, que permita recuperar la privacidaden los procesos de transferencia de información.

La segunda pregunta, que funge como títulode esta sección, puede justicarse en función de larespuesta anterior. Si es necesario utiliar modelosde criptografía cuántica para garantiar la privacidadde las comunicaciones, entonces será de vitalimportancia contar con canales de comunicaciónque permitan transmitir información cuántica.

Canal cuántico Al medio capa de transferir uno o más qubits se lellama canal cuántico. Establecer un canal de este tipo

entre Alicia y Beto soluciona su primer problema:¿cómo transmitir un qubit entre ellos?

Alicia y Beto cuentan con un proveedor depares de qubits entrelaados, deus ex machina. Esteproveedor les asegura que cada uno recibirá unqubit perteneciente a un par entrelaado, que es lasuperposición coherente con igual amplitud de losdos qubits en el estado cero y los dos qubits en elestado uno. Esto signica que si Alicia y Beto realianla misma medición proyectiva en su respectivo qubit,encontrarán que los dos bit clásicos, resultado desus mediciones, tendrán el mismo valor. Además,

Alicia cuenta con un qubit adicional en un estado

cualquiera que desea transferir a Beto; a este qubit sele llamará qubit mensaje.Para realiar la transferencia, Alicia debe

entrelaar el qubit mensaje con su qubit,perteneciente al par distribuido por el proveedor,

y asegurarse que la información que contiene setransera al qubit de Beto. Esto lo puede lograrmediante dos pasos: una compuerta de negacióncontrolada (CNOT) seguida de una compuertaHadamard. Una ve realiadas este par de operacioneslocales en el laboratorio de Alicia, existe unaposibilidad de uno en cuatro que el qubit localiadoen el laboratorio de Beto sea igual al qubit mensaje.

Alicia puede realiar una medición proyectivaen su qubit; dicha medición puede resultar en unade cuatro opciones de dos bits clásicos con igualprobabilidad de ocurrencia: 00, 01, 10, 11. A cada uno

Figura 1. Este esquema muestra los pasos y el cir cuito cuántico paraestablecer el protocolo de teletransportación cuántica.

Figura 2. Representación en la esfera deBloch de un error de tipo cambio de qubit.



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de estos resultados corresponde un estado particularen el qubit de Beto. Por ejemplo, el qubit de Beto esidéntico al qubit mensaje si y sólo si Alicia obtienecomo resultado de su medición los bits clásicos00. Entonces, cuando Alicia obtiene este resultado,puede anunciarle a Beto que tiene el bit correctoutiliando el canal clásico. Esto es efectivo, pero noeciente.

Para solucionar este problema de optimiación,es posible asociar tres conjuntos de operacionesespecícas a realiar en el laboratorio de Beto a nde llevar el estado de su qubit al estado original delqubit mensaje de Alicia. Cada uno de estos conjuntos

de operaciones estará relacionado con cada unode los otros tres resultados restantes, que Aliciapuede obtener en su medición proyectiva. De estaforma se asegura que la transmisión del estado delqubit mensaje del laboratorio de Alicia al qubit dellaboratorio de Beto se realia siempre, contandocon que Alicia comparta cada ve, utiliando elcanal clásico, los dos bits clásicos resultado delas mediciones proyectivas sobre sus dos qubits, yBeto realice las operaciones correspondientes pararecuperar el qubit mensaje.

A este protocolo se le conoce comoteletransportación cuántica, pues en ningún

momento se transere un sistema físico de unlaboratorio a otro. La información cuánticasimplemente es transportada a la distancia utiliandoel entrelaamiento que existe en el par de qubits,que originalmente comparten las partes. Caberesaltar que la información en el qubit mensaje sepierde mientras se transere al qubit receptor. Elprotocolo de teletransportación constituye un canalde comunicación cuántico. Es importante mencionar

que el canal cuántico se destruye en el momentoen que Alicia realia sus mediciones proyectivas.Para transmitir un segundo qubit de información esnecesario que el proveedor distribuya a Alicia y a Betoun nuevo par de qubits entrelaados, lo cual permite

ver al proveedor como un canal cuántico per se.

Canal cuántico con ruidoEl problema de Alicia y Beto se ha resuelto enteoría. Los primeros contratiempos aparecen con laspruebas del sistema. Ellos deciden probar su canalde comunicación y realian las mismas medicionesproyectivas en cada uno de sus laboratorios

utiliando qubits mensaje bien caracteriados y elcanal de comunicación clásico para compartir susresultados. Alicia y Beto se dan cuenta que los bitsclásicos que obtienen como resultado de su prueba,algunas veces no son los correctos. Es más, se dancuenta que p veces de cada cien los resultados queobtienen son opuestos entre sí; q veces de cada cienel resultado que obtienen es el mismo pero consigno contrario; y pq veces de cada cien obtienenel resultado opuesto y con signo contrario. Estosresultados les hacen concluir que su canal cuánticopresenta dos tipos de ruido:1. Cambio de qubit (qubit ip). Los componentes

del estado de un qubit se intercambian por elcomponente ortogonal de la base: el estado cerode un qubit pasa a ser un estado uno y viceversa.

2. Cambio de fase ( phase ip). Este tipo de ruidocorresponde a un cambio de signo en elcomponente en el estado uno del qubit.

Este par de errores discretos son los modelosideales de errores que pueden ocurrir en un canal

Figura 3. ¿Por qué funciona el cifrado por redundancia en comunicaciones clásicas?



cuántico. Un error real es continuo y corresponde auna rotación aleatoria de un qubit, la cual puede sertan pequeña que la diferencia entre el qubit original

y el qubit con error sea casi imperceptible. Es posibledemostrar, aunque queda fuera de los objetivos deeste documento, que los métodos de corrección deerrores que se presentarán a continuación protegenla información cuántica de rotaciones aleatorias.

Corrección de errores: cambio de qubitDel par de errores encontrados por Alicia y Beto,el correspondiente a cambio de qubit existe encomunicaciones clásicas. De hecho, recibe un

nombre análogo. La forma de corregirlo clásicamentees por redundancia, es decir, cifrar el mensajeoriginal utiliando repetición del bit. Esto es, unbit cero se cifra en un bit lógico que contiene unnúmero impar, al menos tres, de bits cero y un bituno se cifra en un bit lógico compuesto por el mismonúmero impar que antes de bits uno.

Tal ve alguno se pregunte ¿por qué se repite el valor de un número impar mayor o igual que tres veces? o ¿qué tan seguro es cifrar por redundancia? Elcifrado debe ser una repetición impar para dar lugara un voto de mayoría. En el caso de redundanciatriple, si dos bits del bit lógico son iguales y uno

diferente, entonces por mayoría se decide que elbit correcto es el que aparece dos veces y se cambiael valor del bit diferente. Esto sólo se puede hacercuando el número total de repeticiones es impar, connúmeros pares existe la oportunidad de empate. Sila probabilidad de que ocurra uno y sólo un cambiode bit es menor de 50%, esta forma de cifrado tieneuna probabilidad mayor a 50% de un voto de mayoríacorrecto.

Esta estrategia de corrección de errores puedeextenderse al caso de información cuántica. Si laprobabilidad de que ocurra un cambio de más deun qubit a la ve es muy pequeña, es posible utiliarun cifrado por repetición, donde Alicia cifre el qubitcero de su mensaje en un qubit lógico 000 y el qubituno en un qubit lógico 111. Beto debe conocer enqué qubit suceden las cosas para intentar corregirel error, así que es importante conocer las variantes,o síndromes, de error ante el cifrado propuesto. Acontinuación se enumeran:0. No pasa nada, no hay error.1. Hay un cambio de qubit en el primer qubit.

2. Hay un cambio de qubit en el segundo qubit.3. Hay un cambio de qubit en el tercer qubit.

Beto puede construir cuatro medidas proyectivasque diagnostiquen cada uno de estos síndromes.Cada una de las medidas entregaría un triplete debits clásicos cero o uno dependiendo si el qubit tieneo no el tipo de error. En caso de que el triplete clásicoresultado sea cero, el qubit lógico con el mensaje esdestruido; en caso de que el triplete clásico resultadosea uno, el qubit lógico con el mensaje se mantieneigual y es posible corregirlo realiando un cambio dequbit en el qubit correspondiente. Nuevamente, Beto

tiene en sus manos una primera estrategia efectiva,más no eciente.

Es posible construir un par de operaciones demedición que no afecten el qubit lógico mensaje. Estoimplica utiliar un medidor cuyos estados propiossean el qubit lógico cero y uno, por ejemplo, unacompuerta eta actuando en uno de los qubits. Lacompuerta eta da como resultado un signo positivo,+1, si el estado del qubit es cero, y un signo negativo,

Figura 4. Circuito cuántico para corregir errores de cambio de qubit.



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-1, si el estado del qubit es uno dejando el qubit enel estado original. Si Beto mide con una compuertaeta en el primer y segundo qubit del qubit lógicohaciendo nada en el tercero, entonces obtendrá unsigno positivo, si los dos qubits son iguales, y unsigno negativo, si los dos qubits son diferentes. Sidespués Beto mide con una compuerta eta en elsegundo y tercer qubit del qubit lógico, entonces elresultado de las dos mediciones puede dar cuatrocombinaciones:0. Dos signos positivos. Es muy probable que los tres

qubits son iguales, no tiene que corregir nada.1. Primer signo negativo y segundo positivo. Es muy

probable que el primer qubit es el diferente; para

corregir, tiene que aplicar una compuerta equis,que realia un cambio en el primer qubit.

2. Dos signos negativos. Es muy probable que elsegundo qubit es el diferente; para corregir, tieneque aplicar una compuerta equis en el segundoqubit.

3. Primer signo positivo y segundo negativo. Esmuy probable que el tercer qubit es el diferente

y entonces se aplica una compuerta equis en eltercer qubit para corregir.

Ahora Beto tiene una estrategia de correccióndel error de cambio de qubit de dos partes: laprimer parte le permite diagnosticar, con unaalta probabilidad de certea, el síndrome de errorpresente en su qubit después de ser transmitido porel canal; en la segunda, según el diagnóstico, Betopuede no hacer nada o aplicar una compuerta equisen uno de los qubits para corregir el probable error.

Corrección de errores: cambio de fasePor su parte, el cambio de fase no tiene unequivalente clásico. Esto puede hacer pensar queencontrar una estrategia de corrección para esteerror puede ser más difícil, pero no es así. El cambio

de fase es de naturalea cuántica y, precisamente, esla naturalea cuántica lo que permite convertirlo enun error de cambio de qubit que ya se conoce y parael cual se tiene una estrategia de corrección.

Alicia puede realiar el cifrado utiliando el qubitlógico más, signo positivo, la superposición del qubitcero y el qubit uno y el qubit lógico menos, signonegativo, la superposición de qubit cero y el qubit unocon signo negativo. Utiliando este código, el error decambio de fase cambia al qubit lógico más en el qubit

La criptografía clásica, utilizada actualmente para proteger lainformación transmitida por los canales de comunicación exis-tentes, se basa en la especulación acerca de la imposibilidad dedescomponer ecientemente números enteros grandes en susfactores primos utilizando un algoritmo clásico.

Figura 6. Circuito cuántico para corregir errores de cambio de fase.Figura 5. Representación en la esfera de Bloch de unerror de tipo cambio de fase.



[Notas]1 Para personas interesadas en una presentación formal d el tema con todas sus

implicaciones, es recomendable revisar las siguientes fuentes disponibles demanera gratuita en Internet:

Notas del curso en computación cuántica de J ohn Preskill (CalTech, EUA) enhttp://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/Tesis doctoral en códigos estabiliadores y corrección de errores cuánticos de

Daniel Gottesman bajo la supervisión de John Preskill en http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/9705052

Para ampliar la información sobre cifrado cuántico y corrección cuántica deerrores, el lector puede consultar, además, las siguientes publicaciones:

Quantum computation and quantum information de Michael Nielsen e Isaac Chuang.The physics of quantum information, editada por Dirk Bowmeester, Artur Ekert y

Anton zeilinger. En esta última se hacen conexiones con sistemas físicos ysus implementaciones en laboratorio.

Finalmente, está disponible un par de bitácoras digitales, escritas porinvestigadores que desde hace varios años tratan el tema de la informáticacuántica:

The Quantum Pontiff , bitácora de Dave Bacon (U.Washington, EUA):http://scienceblogs.com/pontiff/

Shtetl Optimized, bitácora de Scott Aaronson (MIT, EUA):http://scottaaronson.com/blog/ Aquí se pueden encontrar comentarios sobre los últimos acontecimientos en las

áreas de computación, informática y mecánica cuántica, además de vínculosa las bitácoras digitales de otros investigadores como David Deutsch, MichaelNielsen, Isaac Chuang, entre otros.

lógico menos, y viceversa. Es decir, Alicia convierte unerror de cambio de fase en un error de cambio de qubit.

Alicia y Beto ya han desarrollado una estrategia paradetectar y corregir este error utiliando redundancia.La diferencia con la estrategia previa se encuentra en laforma de diagnosticar el síndrome de error y corregirlo.En este caso, el diagnóstico se realia utiliando lacompuerta equis en el primero y el segundo qubit,

y la compuerta equis en el segundo y tercer qubit. Elsíndrome resultado corresponde con las combinacionesde signo obtenidas anteriormente. La corrección se daaplicando la compuerta eta en el qubit correspondiente.

Corrección de errores: cifrado de ShorEs posible utiliar un cifrado combinado paracombatir ambos tipos de errores. Primero, es necesarioque Alicia cifre su qubit mensaje en la superposicióndenida para combatir el cambio de fase utiliandotres qubits y realiar un qubit lógico redundante enestados más y menos; después, ella debe cifrar el qubitlógico resultado utiliando el código para cambiode bit replicando el qubit lógico anterior tres veces.Este cifrado entrega un qubit lógico nal compuestopor nueve qubits. A este código de cifrado se leconoce como cifrado de Shor . Es posible demostrar que

dicho cifrado protege contra los efectos de un errorarbitrario, pero eso rebasa los nes de este documento.

Así, pues, es altamente probable escapar de losefectos de un error arbitrario en el canal cuántico decomunicación utiliando nueve qubits para cifrarun qubit en un qubit lógico con el cifrado de Shor yrealiando un total de seis operaciones eta en pares–para analiar triadas de qubits y detectar los síndromesde cambios de qubit– y doce operaciones equis, en dosconjuntos de seis –para detectar el síndrome de cambiode fase ocurrido y entregar información a Beto sobrelas operaciones que debe realiar para corregir el errorintroducido por el paso a través del canal.

ConclusionesSe ha presentado un modelo de juguete decomunicación cuántica entre dos puntos con unprotocolo especíco de corrección de errores, elcifrado de Shor. Este protocolo permite ejemplicar demanera sencilla las ideas que subyacen en un códigode corrección de errores cuántico: cifrado, detecciónde síndrome y recuperación del mensaje original.

Esto es sólo la punta del iceberg de un campo deinvestigación que utilia el análisis funcional y lageometría diferencial como herramientas básicas.1

Figura 7. Circuito cuántico para realiar el cifrado de Shor.

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