Teknolojinin Bilimsel İlkeleri-1

7/17/2019 Teknolojinin Bilimsel İlkeleri-1

http://slidepdf.com/reader/full/teknolojinin-bilimsel-ilkeleri-1 1/171

T.C. ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ YAYINI NO: 2504

AÇIKÖ⁄RET‹M FAKÜLTES‹ YAYINI NO: 1475

TEKNOLOJ‹N‹NB‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I

Yazarlar

Prof.Dr. Kudret ÖZDAfi (Ünite 1, 2) Doç.Dr. Süleyman DEM‹R (Ünite 3, 4)

Doç.Dr. Engin TIRAfi (Ünite 5, 6)

Doç.Dr. Murat TANIfiLI (Ünite 7)

Editör

Prof.Dr. Mustafa fiENYEL

ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹



Bu kitab›n bas›m, yay›m ve sat›fl haklar› Anadolu Üniversitesine aittir.“Uzaktan Ö¤retim” tekni¤ine uygun olarak haz›rlanan bu kitab›n bütün haklar› sakl›d›r.

‹lgili kurulufltan izin almadan kitab›n tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kay›t veya baflka flekillerde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.

Copyright © 2012 by Anadolu University All rights reserved

No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmittedin any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic, tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

UZAKTAN Ö⁄RET‹M TASARIM B‹R‹M‹

Genel KoordinatörDoç.Dr. Müjgan Bozkaya

Genel Koordinatör Yard›mc›s›Arfl.Gör.Dr. ‹rem Erdem Ayd›n

Ö¤retim Tasar›mc›s›Dr. Kadriye Uzun

Grafik Tasar›m YönetmenleriProf. Tevfik Fikret Uçar

Ö¤r.Gör. Cemalettin Y›ld›zÖ¤r.Gör. Nilgün Salur

Ölçme De¤erlendirme SorumlusuÖ¤r.Gör. Reha Akgün

Kitap Koordinasyon BirimiUzm. Nermin Özgür

Kapak DüzeniProf. Tevfik Fikret Uçar

DizgiAç›kö¤retim Fakültesi Dizgi Ekibi

Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri-I

ISBN

978-975-06-1173-5

1. Bask›

Bu kitap ANADOLU ÜN‹VERS‹TES‹ Web-Ofset Tesislerinde 7.500 adet bas›lm›flt›r.ESK‹fiEH‹R, May›s 2012



‹çindekiler

Önsöz ............................................................................................................ vii

Ölçme, Birim Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler ................ 2G‹R‹fi .............................................................................................................. 3

ÖLÇME........................................................................................................... 3

B‹R‹M S‹STEMLER‹ ........................................................................................ 4

SI B‹R‹M S‹STEM‹.......................................................................................... 5

B‹R‹MLER‹N DÖNÜfiTÜRÜLMES‹................................................................. 7

B‹R DAR AÇININ TR‹GONOMETR‹K ORANLARI ...................................... 8

KARTEZYEN KOORD‹NAT S‹STEM‹ .......................................................... 9

F‹Z‹KSEL BÜYÜKLÜKLER............................................................................. 10

VEKTÖRLER................................................................................................... 11 VEKTÖRLER‹N TOPLAMI ............................................................................. 12

Ayn› Do¤rultulu veya Paralel Vektörlerin Toplam›..................................... 12

Paralelkenar Kural› ........................................................................................ 13

Üçgen Kural›.................................................................................................. 14

‹kiden Fazla Vektörün Toplam› ................................................................... 14

‹K‹ VEKTÖRÜN FARKI ................................................................................. 15

B‹R VEKTÖRÜN B‹LEfiENLER‹NE AYRILMASI............................................ 16

Özet ............................................................................................................... 17

Kendimizi S›nayal›m ..................................................................................... 19

Yaflam›n ‹çinden ........................................................................................... 20Okuma Parças› ............................................................................................. 21

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› ............................................................ 22

S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 22

Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek Kaynaklar ............................................... 23

Kinematik ................................................................................. 24G‹R‹fi .............................................................................................................. 25

K‹NEMAT‹⁄‹N TEMEL KAVRAMLARI.......................................................... 25

H›z ................................................................................................................. 27

‹vme ............................................................................................................... 29DÜZGÜN DO⁄RUSAL HAREKET ................................................................ 30

DÜZGÜN DE⁄‹fiEN DO⁄RUSAL HAREKET ............................................... 31

SERBEST DÜfiME VE DÜfiEY ATIfi HAREKET‹........................................... 35

Serbest Düflme Hareketi: ............................................................................. 36

Yukar›dan Afla¤›ya Düfley At›fl Hareketi ...................................................... 37

Afla¤›dan Yukar›ya Düfley At›fl Hareketi ...................................................... 38

E⁄‹K ATIfi HAREKET‹ ................................................................................. 40

BA⁄IL HAREKET........................................................................................... 42

Özet................................................................................................................ 44

Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 46 Yaflam›n ‹çinden............................................................................................ 47

‹ç indek i ler iii

1. ÜN‹TE

2. ÜN‹TE



Okuma Parças› .............................................................................................. 48




Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi............................................... 52G‹R‹fi .............................................................................................................. 53

D‹NAM‹⁄‹N ‹LG‹ ALANI............................................................................... 53

KUVVET ........................................................................................................ 54

Temas ve Alan Kuvvetleri............................................................................. 54

Temel Kuvvetler ............................................................................................ 55

NEWTON’UN B‹R‹NC‹ YASASI .................................................................... 56

NEWTON’UN ‹K‹NC‹ YASASI ..................................................................... 57

KÜTLE VE A⁄IRLIK ...................................................................................... 60KÜTLEN‹N ÖLÇÜMÜ .................................................................................... 61

NEWTON’UN ÜÇÜNCÜ YASASI ................................................................. 62

NORMAL KUVVET VE SÜRTÜNME KUVVET‹ ............................................ 64

DÜZGÜN DA‹RESEL HAREKET‹N D‹NAM‹⁄‹ ............................................ 68

GER‹ ÇA⁄RICI KUVVET............................................................................... 71

Özet................................................................................................................ 73

Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 75

Yaflam›n ‹çinden............................................................................................ 76


S›ra Sizde Yan›t Anahtar› .............................................................................. 77 Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 77

Kat› Cisimlerin Statik Dengesi............................................... 78G‹R‹fi .............................................................................................................. 79

KATI C‹S‹MLER‹N DENGE KOfiULLARI....................................................... 79

Dengenin Birinci Koflulu .............................................................................. 80

Kuvvetin Döndürme Etkisi: Moment ........................................................... 83

Dengenin ‹kinci Koflulu................................................................................ 86

A⁄IRLIK MERKEZ‹ ........................................................................................ 89

A¤›rl›k Merkezinin Bulunmas› ...................................................................... 91

KÜTLE MERKEZ‹........................................................................................... 91

Özet ............................................................................................................... 94


Yaflam›n ‹çinden ........................................................................................... 97



Yararlan›lan Kaynaklar.................................................................................. 99

‹ç indek i leriv

3. ÜN‹TE

4. ÜN‹TE



‹fl, Enerji, Güç........................................................................... 100G‹R‹fi .............................................................................................................. 101

‹fi ................................................................................................................. 101Do¤ru Boyunca Sabit Bir Kuvvetin Yapt›¤› ‹fl............................................. 102

Bir Do¤ru Boyunca Kuvvetlerin Yapt›¤› ‹fl: Grafiksel Yaklafl›m................ 105

ENERJ‹............................................................................................................ 106

Kinetik Enerji (Hareket Enerjisi)................................................................... 106

Potansiyel Enerji ............................................................................................ 109

Esneklik Potansiyel Enerjisi .......................................................................... 111

Enerjinin Korunumu...................................................................................... 113

GÜÇ VE VER‹M............................................................................................. 114

Özet................................................................................................................ 117

Kendimizi S›nayal›m...................................................................................... 118 Yaflam›n içinden............................................................................................ 120




Momentum............................................................................... 124G‹R‹fi .............................................................................................................. 125

MOMENTUM ................................................................................................. 125

‹tme ................................................................................................................ 125

Momentumun Korunumu............................................................................. 126ÇARPIfiMALAR............................................................................................... 128

Esnek Çarp›flma............................................................................................. 129

Esnek Olmayan Çarp›flma............................................................................. 131

Özet ............................................................................................................... 135


Yaflam›n ‹çinden ........................................................................................... 138




Ak›flkanlar Mekani¤i ................................................................ 142G‹R‹fi .............................................................................................................. 143

MADDE .......................................................................................................... 143

YO⁄UNLUK................................................................................................... 144

BASINÇ VE SIVI BASINCININ DER‹NL‹KLE DE⁄‹fi‹M‹ .............................. 146

Bas›nç Ölçümleri ........................................................................................... 148

PASCAL PRENS‹B‹ ......................................................................................... 148

ARCHIMEDES PRENS‹B‹ VE KALDIRMA KUVVET‹.................................... 150

AKIfiKANLARIN KARAKTER‹ST‹⁄‹ VE BAZI ÖZELL‹KLER‹....................... 151

SÜREKL‹L‹K DENKLEM‹ ............................................................................... 152

BERNOULLI DENKLEM‹ ............................................................................... 153

‹ç indek i ler v

5. ÜN‹TE

6. ÜN‹TE

7. ÜN‹TE



Pitot Tüpü...................................................................................................... 154

V‹SKOZ‹TE .................................................................................................... 154

SIVILARDA YÜZEY GER‹L‹M KUVVET‹ ...................................................... 155

S›v›larda De¤me Yüzeyi................................................................................ 156Özet ............................................................................................................... 157


Yaflam›n ‹çinden ........................................................................................... 159

Okuma Parças› ........................................................................................... .. 160




Sözlük ................................................................................... 163Dizin ...................................................................................... 165

‹ç indek i lervi



Önsöz

‹nsano¤lunun refah› için her geçen gün daha da gelifltirilen teknolojik ürünler

ve bu ürünlerin tasar›m›ndan üretimine kadar geçen süreç, temel bilimlerdeki ge-

liflmelerin bir sonucu olarak ortaya ç›km›flt›r. Bu nedenledir ki, teknolojik süreç-

lerde ara eleman olarak çal›flt›r›lmak üzere yetifltirilecek kiflilerin, bu temel bilim-

sel ilkeleri ö¤renmesi oldukça önemlidir.

Elinizdeki bu kitap, ad›ndan da anlafl›laca¤› üzere, teknolojinin bilimsel ilkele-

rini bu ö¤retim düzeyi için, gerekli oldu¤u kadar›yla vermeyi amaçlamaktad›r. Öte

yandan kitab›n›z, konular› kendi kendinize çal›fl›p ö¤renebilmenize olanak sa¤la-

yacak, uzaktan e¤itimin gerektirdi¤i teknik ve dil kullan›larak yaz›lm›flt›r. Ayr›ca

dersi daha iyi ö¤renmeniz için, e-ö¤renme, e-ders ve e-dan›flmanl›k gibi teknik-

lerle de sizlere yard›mc› olmaya çal›flaca¤›z.Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri dersi, Meslek Yüksek Okullar›n›n teknik program-

lar›nda zorunlu olarak okutulmaktad›r. Kitab›n›z bu dersin içeri¤ine uygun olarak ha-

z›rlanm›flt›r. Bu nedenle Meslek Yüksek Okullar›n›n teknik programlar›nda ö¤renim

gören ö¤rencilerimizin de bu kitaptan yararlanabilece¤ini umuyoruz.

Bu kitab›n yaz›m›ndan bas›m›na dek geçen süreç içerisinde eme¤i geçen herkese

teflekkürü bir borç bilirim.

Bu düflüncelerle bafllam›fl oldu¤unuz yüksek ö¤renim hayat›n›zda baflar›lar

dilerim.

Editör

Prof.Dr. Mustafa fiENYEL

Önsöz vii



Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Ölçme kavram›n› ve birim sistemlerini tan›mlayabilecek,Bir dar aç›n›n trigonometrik oranlar›n› belirleyebilecek,Üç ve iki boyutlu kartezyen koordinat sistemini aç›klayabilecek,Skaler ve vektörel fiziksel büyüklükleri ay›rt edebilecek,

Vektörlere iliflkin toplama ve ç›karma ifllemlerini yapabilecek, Vektörleri bileflenlerine ay›rmak ve bileflenleri belli olan vektörü bulabilecekbilgi ve becerileri edinmifl olacaks›n›z.

• Ölçme • Skaler• Vektör • Birim Sistemleri• SI Birim Sistemi • Kartezyen Koordinat Sistemi• Dar Aç›n›n Trigonometrik Oranlar› • Vektörlerin Toplanmas›• Vektörlerin Fark› • Paralelkenar Kural›• Üçgen Kural› • Birim Sistemleri

‹çindekiler

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

Teknolojinin Bilimsel

‹lkeleri-I

• G‹R‹fi• ÖLÇME

• B‹R‹M S‹STEMLER‹

• SI B‹R‹M S‹STEM‹

• B‹R‹MLER‹N DÖNÜfiTÜRÜLMES‹

• B‹R DAR AÇININ TR‹GONOMETR‹KORANLARI

• KARTEZYEN KOORD‹NAT S‹STEM‹

• F‹Z‹KSEL BÜYÜKLÜKLER

• VEKTÖRLER

• VEKTÖRLER‹N TOPLAMI

• ‹K‹ VEKTÖRÜN FARKI• B‹R VEKTÖRÜN B‹LEfiENLER‹NE

AYRILMASI

1TEKNOLOJ‹N‹N B‹L‹MSEL ‹LKELER‹-I

Ölçme, BirimSistemleri veFiziksel Büyüklükler



G‹R‹fiBir an için her flehirdeki, her ülkedeki insanlar›n birbirinden farkl› ölçü birimlerikulland›¤›n› düflününüz. Örne¤in bir toplumda uzunluk ölçmek için metre, di¤e-rinde arfl›n, bir di¤erinde kar›fl vb birimlerin kullan›ld›¤›n›, a¤›rl›k ölçmek için birtoplumda kilogram, di¤erlerinde pound, okka, dirhem vb birimlerin kullan›ld›¤›n›düflünelim. Bu durumda farkl› toplumlardaki insanlar birbirleriyle nas›l anlaflacak-lar ve nas›l ticaret yapacaklard›r? Bilimsel etkinliklerini birbirleriyle nas›l paylafla-caklard›r? ‹nsanl›¤›n ortak de¤eri olan uygarl›k nas›l geliflecektir? Görüldü¤ü gibibu sorulara olumlu yan›t vermek zordur. Bu sorun ancak bütün toplumlarda ortakbir birim sistemi kullanmakla çözülebilir. Birim sistemleri toplumlar aras› ticaret ve

bilimde ortak bir dil oluflturur.

ÖLÇMEHerhangi bir fiziksel büyüklü¤ün ölçülmesi demek, o büyüklük cinsinden seçilenbir birimin ölçülecek büyüklük içinde kaç kez bulundu¤unun say›lmas› demektir.

Yani ölçme, bir sayma ifllemidir. Örne¤in çal›flma masam›z›n uzunlu¤unu ölçmekisteyelim. Bunun için bir uzunluk birimi seçmemiz gerekir. Seçti¤imiz uzunluk bi-rimimiz kendi kar›fl›m›z olsun. Masay› kar›fllad›¤›m›zda yedi kar›fl geliyorsa, masa-m›z›n uzunlu¤u yedi kar›flt›r. Bu örnekte bir uzunlu¤u kendi yaratt›¤›m›z bir birimcinsinden ölçmüfl olduk.

Baflka bir örnek verelim: Çay içti¤imiz barda¤›n kütlesini ölçmek isteyelim. Bu-

nun için bir kütle birimi seçmemiz gerekir. Bu kütle birimi çaya koydu¤umuz kes-me flekerlerin birinin kütlesi olsun. fiimdi çay barda¤›n› bir eflit kollu terazinin birkefesine koyal›m. Terazinin di¤er kefesine ise kesme flekerleri koyarak teraziyidengeye getirelim. Kulland›¤›m›z kesme flekerlerin say›s› on olsun. Bu durumdaçay barda¤›n›n kütlesi on kesme flekeridir deriz. Bu örnekte de kütleyi kendi ya-ratt›¤›m›z bir birim cinsinden ölçmüfl olduk.

Ölçme, bu ifl için tasarlan›p yap›lan ölçü aletleriyle yap›l›r. fiekil 1.1’de baz› öl-çü aletlerini görüyorsunuz. Bunlar birço¤umuzun günlük hayat›m›zda kulland›¤›

ve herkesçe bilinen ölçü aletleridir.

Ölçme, Birim Sistemleri veFiziksel Büyüklükler



Gördü¤ünüz gibi fiziksel büyüklükler kendi seçti¤iniz birimler cinsinden ölçü-lebilir. Ama bir de flöyle düflünün. Herkes çeflitli büyüklükleri ölçmek için kafas›-na göre birimler seçerse nas›l anlaflaca¤›z? Nas›l ticaret yap›lacak? Bilim adamlar›nas›l anlaflacaklar? ‹flte bu zorluk çeflitli büyüklükleri ölçmek için herkes taraf›ndankabul edilen birimlerin seçilmesine yol açarak birim sistemlerinin do¤mas›na se-bep olmufltur.

B‹R‹M S‹STEMLER‹Ölçmenin bir sayma ifllemi oldu¤unu belirtmifltik. Bir büyüklü¤ü ölçmek için kar-fl›laflt›rma amac›yla seçilen ayn› cinsten büyüklüklere birim denir. Ölçülecek fizik-sel büyüklüklerin çoklu¤u ve ayn› zamanda de¤iflik olmalar›, az say›da temel bi-rimlere dayanan birim sistemlerinin kurulmas› gereksinimine yol açm›flt›r.

Keyfi seçilen temel büyüklükler ile tan›mlar› bu temel büyüklüklerden türetil-mifl büyüklüklerden oluflan sistemlere birim sistemleri denir. Genel olarak kul-lan›lan befl önemli birim sistemi vard›r. Bunlar;

• FPS [foot-pound(libre)-saniye] sistemi,• MKS (metre-kilogram kuvvet-saniye) sistemi,

• CGS (santimetre-gram-saniye) sistemi,• MKSA (metre-kilogram-saniye-amper) sistemi ve• SI sistemidir.FPS Birim Sistemi: ‹ngiliz Birim Sistemi olarak da bilinen bu sistem; uzun-

lu¤un foot (ft) ile, a¤›rl›¤›n pound (libre, lb) ile ve zaman›n saniye (s) ile ölçüldü-¤ü birim sistemidir.

MKS Birim Sistemi: Uzunlu¤un metre (m) , a¤›rl›¤›n kilogram kuvvet (kg-f ) vezaman›n saniye (s) ile ölçüldü¤ü birim sistemidir.

CGS Birim Sistemi: Uzunlu¤un santimetre (cm), kütlenin gram (g) ve zaman›nsaniye (s) ile ölçüldü¤ü birim sistemidir.

MKSA Birim Sistemi: Giorgi sistemi de denilen bu sistem, uzunlu¤un metre

(m) ile, kütlenin kilogram (kg) ile zaman›n saniye (s) ile ve elektrik ak›m›n›n am-per (A) ile ölçüldü¤ü birim sistemidir.

4 Teknolo j inin Bi l imsel ‹ lke le r i - I

fiekil 1.1

Çeflitli Ölçü Aletleri.

Kaynak:(http://tr.wikipedia.org/wiki/ adresinden 04.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r)

Birim: Bir büyüklü¤ü ölçmekiçin karfl›laflt›rma amac›ylaseçilen ayn› cinstenbüyüklüktür.

Birim Sistemleri: Özelliklebilimde, bilim insanlar›n›naralar›nda kolay iletiflimkurabilmeleri amac›ylaortaya konulmufl, az say›dafiziksel büyüklü¤ü temelalan ve di¤er fizikselbüyüklükleri bunlardan

türeten ölçme sistemleridir.

‹ngiliz Birim Sistemi: A.B.D.,‹ngiltere ve ‹ngiliz uluslartoplulu¤u ülkelerinde günlükhayatta kullan›lan birsistemdir. Örne¤inburalardaki marketlerdemeyve, sebze ve et gibi g›damaddeleri pound birimikullan›larak sat›lmaktad›r.

MKSA Birim Sistemi:Uluslararas› Birim Sistemiolarak adland›r›lan SI birimsistemi MKSA birim

sistemine dayand›r›larakgelifltirilmifltir.



SI Birim Sistemi: Uzunlu¤un metre (m), kütlenin kilogram (kg), zaman›n sani-

ye (s), madde miktar›n›n mole (mol), termodinamik s›cakl›¤›n derece kelvin (K),

ayd›nlanma fliddetinin candele (cd) ve elektrik ak›m›n›n amper (A) ile ölçüldü¤ü

birim sistemidir. fiimdi bu sistemi biraz ayr›nt›l› olarak ele alaca¤›z.

SI B‹R‹M S‹STEM‹ Uluslararas› Birim Sistemi ad› verilen SI, endüstrisi geliflmifl olan ülkeler baflta

olmak üzere, hemen hemen tüm di¤er ülkelerin kat›l›m›yla 1960 y›l›nda yap›lan

“A¤›rl›klar ve Ölçümler Genel Konferans›nda” tan›mland› ve buna resmi bir statü

verildi. Bilim ve teknolojide kullanmak üzere önerilen SI Birim Sistemi’nin genel

kabulü, bilimsel ve teknik iletiflimi kolaylaflt›rmaya yöneliktir

SI Birim Sistemi, Çizelge 1.1’de verilen yedi tane fiziksel büyüklü¤ü temel

büyüklük ve Çizelge 1.2’de verilen iki fiziksel büyüklü¤ü de yard›mc› büyük-

lük olarak kabul etmifl ve bunlar›n birimlerini tan›mlam›flt›r.

Metre, kilogram, vb birimleri temsil eden harfleri m, kg, s, A, K , cd, mol fleklinde

normal metinden farkl› bir karakter kullanarak dik olarak (yat›k de¤il) yazaca¤›z. Buna

dikkat ediniz.

SI Birim Sistemi’nde geri kalan bütün fiziksel büyüklükler yukar›daki Çizelge

1.1 ve Çizelge 1.2’de verdi¤imiz temel ve yard›mc› büyüklükler cinsinden ifade

edilir. Bunlara türetilmifl fiziksel büyüklükler ad›n› veriyoruz. Türetilmifl fiziksel

Fiziksel büyüklük Birimi Sembolü

Aç› Radyan rad

Kat› aç› (Uzay aç›) Steradyan sr

Fiziksel büyüklük Birimi Sembolü

Uzunluk Metre m

Kütle Kilogram kg

Zaman Saniye s

Elektrik ak›m› amper A

Termodinamik s›cakl›k kelvin K

Ayd›nlanma fiiddeti Candela cd

Madde miktar› mole mol

51 . Ün i te - Ö lçme, Bi r im S istemler i ve F iz ikse l Büyük lük ler

Uluslararas› Birim Sistemi:System International d’Unitskelimelerinin k›salt›lm›fl›olan, (SI) ad› verilen bubirim sistemi tüm dünyada

bilim alan›nda yayg›n olarakkabul görmüfl birimsistemidir. Biz de bu kitaptaSI birim sisteminikullanaca¤›z.

SI Birim Sistemi, uzunluk,zaman, kütle, elektrik ak›m›,termodinamik s›cakl›k,ayd›nlanma fliddeti vemadde miktar› olmak üzereyedi (7) adet fizikselbüyüklü¤ü temel büyüklükve aç› ile uzay aç› olmaküzere iki (2) adet fizikselbüyüklü¤ü yard›mc›

büyüklük olarak kabuletmifltir.

D ‹ K K A T

Çizelge 1.1SI’›n Temel Büyüklükleri ve Birimleri

Çizelge 1.2SI’›n Yard›mc› Büyüklükleri ve Birimleri

SI birim sisteminde aç›larradyan ile ölçülür. Bir tamaç› 360°=2π radyand›r.Benzer olarak 90°=

radyan, 30°=radyand›r.

π

6

π

2



büyüklüklerin birimleri de temel büyüklüklerin birimleri cinsinden ifade edilir. Tü-

retilmifl fiziksel büyüklüklerden baz›lar›n› ve bunlar›n birimlerini Çizelge 1.3’de gö-

rüyorsunuz. Çizelgenin son sütununda, türetilmifl birimlerin temel birimler cinsin-

den ifadesi verilmektedir.

SI Birimlerinin Üskat ve Askatlar›: Baz› uygulamalarda fiziksel büyüklükleri ölç-

mek için SI birimleri çok küçük veya çok büyük kalabilir. Örne¤in güç birimi olan

watt (W), bir enerji santralinin gücünü ölçmek için çok küçüktür. S›¤a birimi olan

farad (F) ise bir kondansatörün s›¤as›n› ölçmek için çok büyüktür. Bu gibi durum-

larda SI birim sisteminin üskatlar› veya askatlar› kullan›l›r. Bir birimin 10 ve 10’un

katlar›na üskat, 1/10 ve 1/10’un katlar›na ise askat ad› verilir. Bunlar›n isimleri,

simgeleri ve de¤erleri afla¤›daki Çizelge 1.4’de verilmektedir.

Fiziksel Büyüklük Birimi Sembolü ve Tan›m›

Alan Metrekare m2=m.m

Hacim Metreküp m3=m.m.m

Kuvvet newton N=kg m s-2

Bas›nç pascal Pa=N/m2

=kg m-1

s-2

‹fl joule J=N m=kg m2 s-2

Güç watt W=J / s=kg m2 s-3

Elektrik Yükü coulomb C=A.s

Elektrik Direnci ohm Ω= V/A=kg m2 A-2 s-3

Elektriksel S›¤a farad F=C/V=A2 s4 kg-1 m-2

Elektriksel Potansiyel volt V=kg.m2.A-1.s-2

Manyetik Alan fiiddeti tesla T=kg s-2 A-1

‹ndüktans henry H=kg m2 A-2 s-2

Radyoaktivite becqurel Bq=s-1


Örne¤in h›z, uzunluk vezaman temelbüyüklüklerinden türetilmiflfiziksel büyüklüktür.

Çizelge 1.3SI’›n Türetilmifl Büyüklükleri ve Birimleri

Bir birimin 10 ve 10’un kat›

büyüklüklerine üskat, 1/10ve 1/10’un kat›büyüklüklerine askat ad›verilir. Örne¤in deka (da); on(10) kat demektir. 1dekametre (dam); 10 metre(m)’dir. Bunun gibi mili (m);binde bir (1/1000) demektir.1 miligram (mg); (1/1000)g =0,001 kg =10-3 kg’d›r.



Örne¤in bir enerji santralinin gücü 500.000.000 watt (W) ise biz bunu böyle ifa-de etmek yerine 500 megawatt (MW) olarak ifade ederiz. Mega (M) ön eki bir mil-

yon (1.000.000) kat› ifade etmektedir.Benzer flekilde s›¤a birimi olan farad (F), radyomuzda kullan›lan bir kondansa-

törün s›¤as›n› ölçmek için çok büyüktür. Bir kondansatörün s›¤as› 0,000002 farad(F) ise biz bunu 2 mikrofarad (µF) olarak ifade etmeyi tercih ederiz. Mikro (µ) öneki milyonda bir (0,000001) kat› ifade etmektedir.

Mor ›fl›¤›n dalga boyu 400 nanometre ( nm ) dir. Mor ›fl›¤›n dalga boyu kaç metredir?

Çözüm:1 nm=10-9 m oldu¤una göre 400 nm;400 nm=400. 10-9=4. 10-7 m dir.

Bir kondansatörün üzerinde 5pF (pikofarad) yazmaktad›r. Bu kondansatörün de¤eri kaç

farad (F)’dir?

B‹R‹MLER‹N DÖNÜfiTÜRÜLMES‹

Biraz önce tan›tt›¤›m›z birim sisteminin birimlerini birbirine dönüfltürmek müm-kündür. A.B.D., ‹ngiltere gibi ülkelerde gündelik yaflant›da ‹ngiliz Birim Sistemikullan›l›r. Buralarda kullan›lan uzunluk ve a¤›rl›k birimleri ile bunlar›n çeflitli kat-lar›n›n SI birimlerine dönüflümü flöyledir:

• 1 inch(in)=1/12 foot= 2,54 cm = 0,0254 m

• 1 foot(ft)=30,48 cm= 0,3048 m

• 1 yard(yd)=3 foot(ft)= 91,44 cm = 0,9144 m

• 1 mile(mi)=1760 yard(yd)= 1609 m

• 1ounce(oz)=1/16 pound(lb)= 28,4 g = 0,0284 kg

• 1 pound(lb)=0,454 kg= 454 g

• 1 stone = 14 lb=6,35 kg

Üskat Ad› Simgesi Askat Ad› Simgesi

1018 Eksa E Desi 10-1 d

1015 Peta P Santi 10-2 c

1012 Tera T Mili 10-3 m

109 Giga G Mikro 10-6 µ

106 Mega M Nano 10-9 n

103 Kilo k Piko 10-12 p

102 Hekto h Femto 10-15 f

101 Deka da Atto 10-18 A


Çizelge 1.4SI Birim Sistemi’nin Üskat ve Askatlar›

Ö R N E K

SIRA S‹ZDE

1



Ald›¤›n›z bir flifle yabanc› parfümün üzerinde miktar›n›n 1,7 oz oldu¤u yaz›l›d›r.

Bu parfümün miktar› nedir?

Çözüm:1 oz 28,4 gram (g) oldu¤una göre 1,7 oz;

1,7 oz=1,7x28,4=48,28 gramd›r.

B‹R DAR AÇININ TR‹GONOMETR‹K ORANLARIfiekil 1.2’deki bir dik üçgende α aç›s›n›n trigonometrik oranlar› afla¤›daki gibidir:

Bir ABC dik üçgeninde bir dar aç›n›n;

• Sinüsü; karfl› dik kenar uzunlu¤unun hipotenüs uzunlu¤una oran›,

• Kosinüsü; komflu dik kenar uzunlu¤unun hipotenüs uzunlu¤una oran›,

• Tanjant›; karfl› dik kenar uzunlu¤unun komflu dik kenar uzunlu¤una oran›,

• Kotanjant›; komflu dik kenar uzunlu¤unun karfl› dik kenar uzunlu¤una ora-n› olarak tan›mlan›r. Buna göre fiekil 1.2 dikkate al›nd›¤›nda;

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

oldu¤u aç›kça görülecektir.

Dikkat ederseniz üçgen dik üçgen oldu¤undan α ve β aç›lar›n›n toplam› 90°dir.

Böyle aç›lara tümler aç›lar denir. Tümler iki aç›dan birinin sinüsü di¤erinin kosi-

nüsüne ve birinin tanjant› di¤erinin kotanjant›na eflittir. Ayr›ca;

oldu¤una dikkat edelim. Çizelge 1.5’de baz› aç›lar›n sinüs kosinüs de¤erleri veril-mifltir. Bunlar› hat›r›n›zda tutman›zda yarar vard›r.

tan sin

cos, cot

cos

sintan

cotα

α

αα

α

αα

α= = =ve

1

Aç› 0° 30° 37° 45° 53° 60° 90°

Sin 0 0,5 0,6 0,71 0,8 0,87 1

Cos 1 0,87 0,8 0,71 0,6 0,5 0

Tan 0 0,57 0,75 1 1,33 1,74 ∞


Ö R N E K

fiekil 1.2

Çizelge 1.5Baz› Aç›lar›n Trigonometrik De¤erleri

sin cosα β = = a

c

sin cosβ α= =b

c

tan cotα β = = a

b

tan cotβ α= = b

a



fiekil 1.2’deki α aç›s› 53 ° ve hipotenüsün uzunlu¤u 20 cm oldu¤una göre a ve b dik

kenarlar›n›n uzunluklar› nedir?

Çözüm:sinα = a/c idi. Buradan; a= c sinα yazabiliriz. c= 20 cm ve sin53° = 0,8 oldu¤u-

na göre buradan;

a=csin α = 20 cm. 0,8= 16 cm

bulunur. Benzer flekilde cosα=b/c oldu¤undan, buradan b = c cosα yazar›z. c = 20 cm ve cos53° = 0,6 oldu¤una göre buradan;

b =c cosα= 20 cm. 0,6= 12 cm

bulunur.

Bir dik üçgenin bir dar aç›s› 37° ve bu dar aç›n›n karfl›s›ndaki dik kenar uzunlu¤u 6

cm’dir. Bu dik üçgenin ve hipotenüsünün uzunlu¤u nedir?

KARTEZYEN KOORD‹NAT S‹STEM‹Bir noktan›n uzaydaki yerini, bir cismin hangi tarafa do¤ru hareket etti¤ini ifadeedebilmek için bir referans sistemine gereksinme duyar›z. Koordinat sistemleri re-ferans sistemi görevini görürler. Birbirinden farkl› birçok koordinat sistemi vard›r.Biz bu kitapta yaln›zca dik koordinat sistemi de denilen kartezyen koordinat siste-mini kullanaca¤›z.

Bir küpün veya bir kibrit kutusunun bir köflesin-deki üç ayr›t› düflününüz (fiekil 1.3). Bunlar birbir-lerine diktir. Bu üç ayr›t gibi bir noktada kesiflen ve

birbirlerine dik olan üç do¤runun oluflturdu¤u sis-teme kartezyen koordinat sistemi denir. Bu sis-temde do¤rular›n kesim noktas› O harfiyle gösteri-lir ve orijin ad›n› al›r. Üç do¤ru ise x, y, z eksenleriad›n› al›r. Bu eksenler ikifler ikifler bir düzlem belir-tirler: Bunlar xy düzlemi, xz düzlemi, yz düzlemi-dir. Bir noktan›n x, y, z koordinatlar› s›ras›yla yz,

xz, xy düzlemine olan dik uzakl›klard›r (fiekil 1.4):x: Noktan›n yz düzlemine olan dik uzakl›¤›, y: Noktan›n xz düzlemine olan dik uzakl›¤›,z: Noktan›n xy düzlemine olan dik uzakl›¤›d›r.


Ö R N E K

SIRA S‹ZDE

2

fiekil 1.3

Kibrit Kutusu

fiekil 1.4

Z

Y

X

QR

S

P

z

y

x

Kartezyen Koordinat Sistemi

fiekil 1.5

5

4

3

0

z

P (3,4,5)

y

x

Bir Noktan›n Kartezyen Koordinatlar›



Bir P noktas›n›n yeri x, y, z koordinatlar› ile verilir. Örne¤in koordinatlar› x=3,

y =4, z=5 olan bir nokta P (3;4;5) fleklinde gösterilir ve yeri fiekil 1.5’deki gibi çizilir.E¤er inceledi¤imiz noktalar düzlemde ise o zaman 2 boyutlu (düzlemsel) kar-

tezyen koordinat sistemi kullan›l›r. Burada yaln›zca birbirini dik olarak kesen x ve y eksenleri vard›r ve dolay›s›yla her noktan›n x ve y olmak üzere 2 koordinat› olur.Bu durumda;

x: Noktan›n y eksenine olan dik uzakl›¤›, y: Noktan›n x eksenine olan dik uzakl›¤›d›r.

fiekil 1.6’da baz› noktalar›n düzlemsel kartezyen koordinat sisteminde nas›l be-lirtildiklerini görüyorsunuz.

Sizce bir fiziksel olay›n gözlenmesi s›ras›nda koordinat sisteminin bafllang›c› nerede

olmal›d›r?

F‹Z‹KSEL BÜYÜKLÜKLERFizikte kullan›lan büyüklükler genel özellikleri bak›m›ndan skaler ve vektörel bü-

yüklükler olmak üzere ikiye ayr›l›rlar.Skaler Büyüklükler: Skaler; bir reel say›d›r. Say›sal büyüklü¤ü ve birimi veril-

di¤inde, tam olarak anlam kazanan büyüklüklere skaler büyüklükler denir. Kütle,hacim, s›cakl›k, zaman, ifl, güç, elektrik ak›m fliddeti, elektrik yükü vb fiziksel bü-

yüklükler, skaler fiziksel büyüklüklere örnek olufltururlar. Skaler fiziksel büyük-lükleri temsil eden harfleri, normal yaz› karakterinden ay›rt etmek için farkl› bir ka-rakterle ve yat›k (italik) olarak yazaca¤›z. Örne¤in kütleyi “m ”, hacmi “V ”, zama-n› “t ” fleklinde yazaca¤›z.

Skalerleri metin içinde veya ayr› olarak yazarken “x , E , p ,...” fleklinde hem farkl› bir harf

karakteriyle, hem de yat›k (italik) olarak yazaca¤›z. Buradaki amaç onlar› normal yaz›dan

ve di¤er fiziksel büyüklüklerden ay›rt etmektir.

Vektörel Büyüklükler: Say›sal büyüklü¤ü ve birimi yan›nda do¤rultu ve yönü

de verildi¤inde tam olarak anlam kazanan büyüklüklere vektörel büyüklükler de-nir. H›z, kuvvet, ivme, kuvvet momenti, elektrik alan, manyetik alan, vb fiziksel


(0,0)

fiekil 1.6

Düzlemdeki Noktalar›n Kartezyen

Koordinatlar›

D ‹ K K A T

S IRA S‹ZDE 3



büyüklükler vektörel büyüklüklerdir. Vektörel büyüklükleri normal yaz› karakte-

rinden ay›rt etmek için bunlar› temsil eden harfler bazen yat›k olarak yaz›lan har-

fin üzerine bir ok çizilerek veya farkl› bir harf karakteriyle kal›n ve koyu (bold)

olarak yaz›l›r. Örne¤in kuvvet; “F” veya “ ’’, h›z; “v” veya “ ”, ivme; “a” veya “ ” fleklinde yaz›l›r.

Bir vektörün büyüklü¤ü bir skalerdir. Bir vektörün büyüklü¤ü, vektörü temsil

eden harfi iki çizgi aras›na alarak “ ” veya “ ” fleklinde ya da vektörü temsil

eden harfin üzerindeki oku kald›rarak yat›k harfle “ F ” fleklinde yaz›l›r. Büyüklük

daima pozitif bir skalerdir. Bir vektörü her zaman bir skaler ile çarpmak mümkün-

ken, bir vektörle bir skaler asla toplanamaz.fiimdi vektörleri biraz ayr›nt›l› olarak incelemeye bafllayal›m.

Yukar›da verdi¤imiz tan›mlara göre sizce “a¤›rl›k” ve “yo¤unluk” skaler fiziksel büyüklük

mü, yoksa vektörel fiziksel büyüklük müdür?

VEKTÖRLERBir vektör fiekil 1.7’de görüldü¤ü gibi yönlendirilmifl bir do¤ru parças›yla, yani birokla temsil edilir. Bir vektörü belirten dört özelli¤i vard›r. Bunlar;

• Do¤rultu,• Yön,• Büyüklük,• Bafllang›ç ve bitifl (uç) noktas›d›r.

E¤er vektör A noktas›ndan bafllay›p B noktas›nda sona eriyorsa biz bu vektörü

fleklinde veya seçti¤imiz bir harfle koyu ve dik olarak örne¤in F fleklinde veya yat›k olarak yazd›¤›m›z harfin üzerine bir ok çizerek fleklinde ifade ederiz.

Vektörleri F, p fleklinde koyu ve dik olarak veya , , fleklinde e¤ik ve üzeri oklu

olarak yazd›¤›m›za dikkat ediniz.

Bir Vektörün Negatifi: A noktas›ndan bafllay›p B noktas›nda sona eren

vektörünün negatifi, B noktas›ndan bafllay›p A noktas›nda sona eren vektö-

rüdür (fiekil 1.8). fleklinde gösterilen bu vektör vektörüyle ayn› büyük-

lükte fakat z›t yönde bir vektördür ve = – fleklinde yaz›l›r.→ AB→ BA

→ AB

→ BA

→ BA

→ AB

→ F

→ AB

→ F

→ AB

→ AB

→ F

→a

→

v

→

F


SIRA S‹ZDE

4

D ‹ K K A T

fiekil 1.7

Vektörün Özellikleri

fiekil 1.8

Bir Vektörün ve Negatifinin Gösterimi



Bir Vektörün Bir Skalerle Çarp›m›: Bir vektörle bir skalerin çarp›m› tan›ml›-

d›r. Bir vektörü bir skalerle çarpt›¤›m›z zaman sonuç, o vektörün o skaler kat› ka-

dar olan yeni bir vektördür. Bu yeni vektörün yönü;

• Skaler pozitif (+) ise orijinal vektör yönünde,• Skaler negatif (-) ise orijinal vektöre z›t yönde

olur. fiekil 1.9’da v vektörünü ve onun +2 ve -3 skalerleriyle çarp›lmas›yla elde edi-len 2v ve -3v vektörlerini görüyorsunuz. Dikkat ederseniz 2v vektörü v vektörüy-le ayn› yönde olup onun 2 kat› büyüklü¤e sahipken, -3v vektörü v vektörüyle z›t

yönde olup onun 3 kat› büyüklü¤e sahiptir.

Yine fiekil 1.9’de ayr›ca v vektörünü ve onun 1/2 skaleriyle çarp›lmas›yla eldeedilen (1/2)v vektörünü görüyorsunuz. Dikkat ederseniz (1/2)v vektörü, v vektö-rüyle ayn› yönde olup onun 1/2 kat›, yani yar›s› kadar bir büyüklü¤e sahiptir.

VEKTÖRLER‹N TOPLAMISkalerlerin toplam› reel say›lar›n toplam›yla ayn›d›r. Örne¤in 3 kg’l›k bir kütle ile 4kg’l›k di¤er kütlenin toplam› daima 7 kg’d›r. Ama örne¤in 3 m/s’lik h›zla 4 m/s’lik

h›z›n toplam› her zaman 7 m/s’lik bir h›z etmez. Vektörlerin kendine özgü toplamkurallar› vard›r. fiimdi bu kurallar› inceleyelim.

Ayn› Do¤rultulu veya Paralel Vektörlerin Toplam›Toplanacak vektörler paralel veya ayn› do¤rultuya sahipse iki durum söz konu-sudur.

• Vektörler ayn› yöne sahipse toplam vektör, bu vektörler yönünde ve büyük-lü¤ü vektörlerin büyüklüklerinin toplam› kadar olan vektördür.

• Vektörler z›t yöne sahipse toplam vektör, büyük vektör yönünde ve büyük-lü¤ü vektörlerin büyüklükleri fark› kadar olan bir vektördür.

fiekil 1.10’da ayn› do¤rultulu vektörlerin toplanmas›yla ilgili yukar›da sözü edi-

len kurallar de¤iflik örneklerle verilmektedir.


v

A

B

C

v

v

2v -3v 1 – v2

fiekil 1.9

Vektörlerin Skalerle Çarp›lmas›

fiekil 1.10

Ayn› Do¤rultulu Vektörlerin Toplanmas›



A vektörünün büyüklü¤ü 4 ve yönü sola do¤ru, B vektörünün büyüklü¤ü 7 ve yö- nü sa¤a do¤rudur. 3 A-2 B vektörünün büyüklü¤ü ve yönü nedir?

Çözüm:A’n›n büyüklü¤ü 4 ve yönü sola do¤ru oldu¤una göre, +3A’n›n büyüklü¤ü

3x4=12 ve yönü yine t›pk› A gibi sola do¤rudur. -2B’nin büyüklü¤ü ise 2x7=14 ve yönü ise B’ ye z›t yani sola do¤rudur. 3A ve -2B vektörlerinin her iki de sola do¤-ru oldu¤undan; 3A -2B=3A +(-2B) vektörünün büyüklü¤ü 12+14=26 ve yönü so-la do¤rudur.

Vektörler her zaman ayn› do¤rultuda veya paralel olmazlar. Ço¤u zaman arala-r›nda bir aç› olur. Do¤rultular› aras›nda belirli bir aç› olan iki vektörün toplanmas›için iki farkl› kural vard›r. Bunlar “Paralelkenar Kural›” ve “Üçgen Kural›” olarak bi-linir. fiimdi bunlar› s›ras›yla inceleyelim.

Paralelkenar Kural›u ve v vektörlerini paralelkenar kural›yla toplayal›m. Bunu yapmak için önce vek-

törleri bafllang›ç noktalar› çak›flacak flekilde paralel kayd›r›r›z (fiekil 1.11a). Sonra

her bir vektörün ucundan di¤er vektöre paralel çizip OAPB paralelkenar›n› olufl-

tururuz (fiekil 1.11b). Bu paralelkenarda u= = ve v= = olur. u+v

toplam vektörü oluflan paralelkenar›n köflegeni olan vektörü olarak tan›mlan›r

(fiekil 1.11c).

fiekil 1.12a’da görülen iki vektörün toplam›n› bulunuz.

→OP

→ AP

→OB

→ BP

→OA


Ö R N E K

fiekil 1.11

Paralelkenar Kural›

Ö R N E K

fiekil 1.12

u

v

u

uv

v

u+v

Örnek için

fiekil 1.11c’den

görülebilece¤i gibi+ = yani

u+v= olup, +

= yani v+u= dir.

O halde u+v=v+u oldu¤uaç›kt›r.Yani vektörleri toplarken s›raönemli de¤ildir. Buna vektörtoplam› de¤iflme özelli¤inesahiptir denir.

→OP

→ BP

→OB

→OP

→OP

→ AP

→OA

a b c

a b



Çözüm:

Paralelkenar kural›n› uygulayarak iki vektörden fiekil 1.12b’de görüldü¤ü gibi

bir paralelkenar oluflturursak bu paralelkenar›n köflegeni arad›¤›m›z toplam vektö-

rü verecektir.

Üçgen Kural›‹ki vektörün toplanmas› için di¤er kural üçgen kural›d›r. Bu kurala göre u ve v

vektörleri birinin bafllang›c› di¤erinin ucuna eklenerek bir üçgen oluflturulur (fiekil

1.13a). Oluflan üçgenin üçüncü kenar› iki vektörün toplam›n› belirtir (fiekil 1.13b).

Yani vektörü u+v toplam vektörünü verir.

Aralar›nda θ aç›s› bulunan u ve v vektörlerinin R = u + v bileflkesinin R büyük-

lü¤ü, bu vektörlerinin büyüklükleri u ile v ve θ aç›s› cinsinden;

(1.5)

fleklinde verilir.

‹ki vektörün büyüklükleri 10 ve 20’dir. Aralar›ndaki aç› 60° oldu¤una göre bu vektörlerin

toplam›n›n büyüklü¤ü nedir?

Bu yöntem az önce gördü¤ümüz paralelkener kural›na eflde¤erdir. Bunun do¤-

ru oldu¤unu fiekil 1.13b’de görüldü¤ü gibi v+u’yu oluflturmak suretiyle üçgeni pa-

ralelkenara tamamlayarak görebiliriz.

‹kiden Fazla Vektörün Toplam›Toplanacak vektör say›s› ikiden fazlaysa ilk olarak az önce ö¤rendi¤imiz kuralla-

r›n birini kullanarak vektörlerden herhangi ikisi toplan›r. Toplam vektörle üçüncü

vektör toplan›r ve böylece devam edilir.

Baflka bir yöntemde ise, verilen birçok vektörün toplam›n› bulmak için vektör-

leri, birinin bafllang›c› di¤erinin ucuna gelecek flekilde uç uca ekleriz. ‹lk vektörün

bafllang›ç noktas›ndan bafllayarak sonuncu vektörün ucuna yönelen vektör bize

toplam vektörü verir. fiekil 1.14’de bu yöntemle üç vektörün toplanmas›n› görü-

yorsunuz.

R u v uv= + +2 2 2 cos θ

→OP


SIRA S ‹ZDE5

fiekil 1.13

Üçgen Kural›

Vektörleri uç uca ekleyerekilk vektörün bafllang›çnoktas›n›, sonuncu vektörünuç noktas›na birlefltirerektoplam› bulma ifllemiçokgen kural› olarak bilinir.

a b



Vektörlerin toplam›n›n birleflme özelli¤ine sahip oldu¤unu yani (a+b)+c=a+(b+c) oldu-

¤unu gösteriniz.

‹K‹ VEKTÖRÜN FARKI‹ki vektörün fark› toplama iflleminin özel bir durumudur. ‹ki vektörün u-v fark›;

u-v= u+(-v)

fleklinde u ve -v vektörlerinin toplam› olarak tan›mlan›r. Paralelkenar Kural›’n›n

kullan›lmas›yla u ve -v vektörlerinin toplam›;

u-v= u+(-v) =olarak bulunur (fiekil 1.15a).

Benzer flekilde v-u=v+(-u) fark› yine Paralelkenar Kural›’n›n kullan›lmas›yla;

v-u = v+(-u) = + =

olarak bulunur (fiekil 1.15b).

fiekil 1.15c’de görüldü¤ü gibi u ve v vektörleriyle oluflturulan paralelkenar›nköflegenleri u+v toplam›n› ve u-v fark›n› olufltururlar.

→OR

→OD

→

OB

→OQ


SIRA S‹ZDE

6

fiekil 1.14

fiekil 1.15

‹ki Vektörün Fark›

Üç Vektörün Toplanmas›

a b c



B‹R VEKTÖRÜN B‹LEfiENLER‹NE AYRILMASI xy düzleminde yatan bir vektör fiekil 1.16a’da görüldü¤ü gibi yatay ve düfley bile-flenlerine ayr›l›r. fiekilde oluflan dik üçgenden A vektörünün yatay Ax bilefleni ile

A y düfley bileflenlerinin büyüklükleri;A x = A cos θ (1.6)A y = A sin θ (1.7)

olarak bulunur.

Bir A vektörünün büyüklü¤ü A =20 ve x ekseniyle yapt›¤› aç› 37° dir. Buna göre Avektörünün x ve y bileflenlerinin büyüklükleri nedir?

Çözüm: A vektörünün x ve y bileflenlerinin büyüklükleri;

A y = A sin θ = 20.0,6 = 12

A x = A cos θ = 20.0,8 = 16

olarak bulunur.

Tersine olarak e¤er bir A vektörünün bileflenlerinin A x ve A y büyüklüklerinibiliyorsak, bunlardan hareketle A vektörünün A büyüklü¤ünü ve yatay eksenle( x ekseniyle) yapm›fl oldu¤u θ aç›s›n›;

(1.8)

(1.9)

fleklinde bulabiliriz (fiekil 1.16b).

Bir A vektörünün yatay ve düfley bileflenlerinin büyüklükleri A x = 8 ve A y = 6 d›r.Buna göre A vektörünün büyüklü¤ü nedir?

Çözüm:A vektörünün büyüklü¤ü;

olarak bulunur.

Bir vektörün + x ekseniyle yapt›¤› aç› 127° dir. Bu vektörün x ve y bileflenlerinin yönü içinne söyleyebilirsiniz.

Vektörler konusunda daha genifl bilgi sahibi olmak ve interaktif olarak al›flt›rmalar yapmak için http://www.maths.usyd.edu.au/u/MOW/vectors/ sitesinden yararlanabilirsiniz.

A A A x y= + = + = + = =2 2 2 2

8 6 64 36 100 10

tan θ = A

A

y

x

A A A x y= +2 2


Ö R N E K

fiekil 1.16

Vektörlerin Bileflenlerine Ayr›lmas›

Ö R N E K

SIRA S‹ZDE 7

‹ N T E R N E T

a b



171. Ünite - Ölçme, Bir im Sistemleri ve Fiziksel Büyüklükler

Ölçme kavram›n› ve birim sistemlerini tan›m-

lamak.Herhangi bir fiziksel büyüklü¤ün ölçülmesi de-

mek, o büyüklük cinsinden seçilen bir birimin

ölçülecek büyüklük içinde kaç kez bulundu¤u-

nun say›lmas› demektir. Ölçme, bu ifl için geliflti-

rilmifl araçlarla yap›l›r.

Keyfi seçilen temel büyüklükler ile, tan›mlar› bu

temel büyüklüklerden türetilmifl büyüklüklerden

oluflan sistemlere birim sistemleri denir. Genel

olarak kullan›lan befl tane önemli birim sistemi

vard›r. Bunlar;

• FPS [foot-pound(libre)-saniye] sistemi,• MKS (metre-kilogram kuvvet-saniye) sistemi,

• CGS (santimetre-gram-saniye) sistemi,

• MKSA (metre-kilogram-saniye-amper) sistemi

ve

• SI sistemidir.

Bilimsel ve teknik iletiflimi kolaylaflt›rmaya yö-

nelik olarak bir çok ülkenin ortak karar›yla ka-

bul edilen SI Birim Sistemi, uzunluk, zaman, küt-

le, elektrik ak›m›, termodinamik s›cakl›k, ayd›n-

lanma fliddeti ve madde miktar› olmak üzere ye-

di (7) adet fiziksel büyüklü¤ü temel büyüklük ve aç› ile uzay aç› olmak üzere iki (2) adet fizik-

sel büyüklü¤ü yard›mc› büyüklük olarak kabul

etmifltir.

Bir dar aç›n›n trigonometrik oranlar›n› belirlemek.

Bir dik üçgende bir dar aç›n›n trigonometrik

fonksiyonlar› flöyledir:

• Sinüs; karfl› dik kenar uzunlu¤unun hipote-

nüs uzunlu¤una oran› (sinα=a / c ).

• Kosinüs; komflu dik kenar uzunlu¤unun hi-

potenüs uzunlu¤una oran› (cosα=b / c ).

• Tanjant; karfl› dik kenar uzunlu¤unun komflu

dik kenar uzunlu¤una oran› (tanα=a / b) .

• Kotanjant; komflu dik kenar uzunlu¤unun

karfl› dik kenar uzunlu¤una oran› (cotα=b / a )

(fiekil 1.2).

Üç ve iki boyutlu kartezyen koordinat sistemini

aç›klamak.Bir noktada birbirleriyle ikifler ikifler dik olarak

kesiflen üç do¤runun oluflturdu¤u sisteme kar-

tezyen koordinat sistemi denir. Burada kesiflen

do¤rular ise x, y, z eksenleri ad›n› al›r ve bir

noktan›n x, y, z koordinatlar› s›ras›yla yz, xz, xy

düzlemlerine olan dik uzakl›klard›r.

E¤er inceledi¤imiz noktalar düzlemde ise o za-

man 2 boyutlu (düzlemsel) kartezyen koordinat

sistemi kullan›l›r. Burada yaln›zca birbirini dik

olarak kesen x ve y eksenleri vard›r ve dolay›s›y-

la her noktan›n x ve y olmak üzere 2 koordina-t› olur. Bu durumda x ; noktan›n y eksenine olan

dik uzakl›¤› ve y ; noktan›n x eksenine olan dik

uzakl›¤›d›r.

Skaler ve vektörel fiziksel büyüklükleri ay›rt

etmek.

Fizikte kullan›lan büyüklükler genel özellikleri

bak›m›ndan skaler ve vektörel büyüklükler ol-

mak üzere iki türlüdür. Skaler büyüklükler, say›-

sal büyüklü¤ü ve birimi verildi¤inde, tam olarak

anlam kazanan büyüklüklerdir. Kütle, hacim, s›-cakl›k, zaman, ifl, güç, elektrik ak›m fliddeti, elek-

trik yükü skaler büyüklüklerdir. Bir de say›sal

büyüklü¤ü ve birimi yan›nda do¤rultu ve yönü

de verildi¤inde tam olarak anlam kazanan bü-

yüklükler vard›r. Bunlara vektörel büyüklükler

denir. H›z, ivme, kuvvet, kuvvet momenti, elek-

trik alan, manyetik alan bu grupta yer al›r.

Özet

1

A M A Ç

2

A M A Ç

3

A M A Ç

4

A M A Ç



Teknolo j inin Bi l imsel ‹ lke le r i - I18

Vektörlere iliflkin toplama ve ç›karma ifllemlerini

yapmak

Vektörleri skalerler gibi toplay›p ç›karam›yoruz.

Vektörlerin kendilerine özgü toplam kurallar› vard›r. Kaç tane olursa olsun vektörleri toplamak

için onlar› büyüklükleri ve yönleri de¤iflmeyecek

flekilde kayd›rarak uç uca ekleriz. Sonra ilk vek-

törün bafllang›ç noktas›ndan bafllay›p sonuncu

vektörün uç noktas›nda sona eren vektörü çize-

riz. Bu vektör bize toplam vektörü verir (fiekil

1.17).

Ç›karma ifllemini toplamaya benzeterek yapar›z.

fiöyle ki; u-v fark› demek, u+(-v) demektir. Ya-

ni u’

dan v’ yi ç›karmak,

uile

-v yi toplamakdemektir.

fiekil 1.17: Vektörlerin fiekil 1.18: Vektörlerin

toplam› bileflenleri

Vektörleri bileflenlerine ay›rmak ve bileflenleri bel-

li olan vektörü bulmak.

Bir A vektörünün x ekseni üzerindeki A x bile-

fleni ile y ekseni yönündeki A y bilefleni fiekil1.18’de görüldü¤ü θ gibidir. E¤er A vektörünün

büyüklü¤ü ile aç›s›n› biliyorsak A x ve A y bile-

flenlerinin büyüklükleri;

A x = A cos θ

A y = A sin θ

fleklinde bulunur. Tersine olarak bileflenleri bili-

yorsak A vektörünün büyüklü¤ü (A ) ile θ aç›s›n›;

olarak buluruz.

tan θ = A

A

y

x

A A A x y

= +2 2

x

6

A M A Ç

5

A M A Ç




1. Afla¤›dakilerden hangisi veya hangileri vektörel fi-

ziksel büyüklüktür?

I) Bas›nç

II) S›cakl›k

III) Kuvvet momenti

IV) Momentum

V) Elektrik ak›m›

a. Yaln›z III

b. Yaln›z V

c. II ve III

d. III ve IV

e. II, IV ve V

2. Afla¤›dakilerden hangisi veya hangileri skaler fizik-

sel büyüklüktür?

I) H›z

II) Is›

III) ‹vme

IV) Enerji

V) Elektrik yükü

a. Yaln›z IV

b. Yaln›z V

c. II ve IV

d. II ve V

e. II, IV ve V

3. A vektörünün büyüklü¤ü 5 ve yönü kuzeye do¤ru,

B vektörünün büyüklü¤ü 2 ve yönü güneye do¤rudur.

2A +3B vektörünün büyüklü¤ü ve yönü nedir?

a. 14, kuzeye

b. 14, güneye

c. 4, kuzeye

d. 4, güneye

e. 6, kuzeye

4. Bir A vektörü xy koordinat sisteminin orijininden

(4,2) noktas›na ve di¤er bir B vektörü yine orijinden

(-2,5) noktas›na yönelmifltir. A+B vektörünün bafl-

lang›c› orijine tafl›n›rsa ucu afla¤›dakilerden hangi nok-

taya gelir?

a. (2,7)

b. (6,7)

c. (-6,3)

d. (2,-3)

e. (2,3)

5. Birinin büyüklü¤ü 15, di¤erinin büyüklü¤ü 34 olan

ve yönleri de¤iflebilen iki vektörün toplam› R’dir. R vektörünün R büyüklü¤ünü afla¤›dakilerden hangisi

do¤ru olarak verir?

a. 19 < R< 34

b. R=15 ve R=34

c. 19≤R ≤49

d. 15 ≤R ≤34

e. 19<R ≤49

6. Aralar›nda 60° aç› bulunan birinin büyüklü¤ü 5, di-

¤erinin büyüklü¤ü 6 olan iki vektörün bileflkesinin bü-

yüklü¤ü nedir?

a. 11

b.

c.

d.

e.

7. Bir A vektörünün büyüklü¤ü A =40 ve x bilefleni-

nin büyüklü¤ü 24 oldu¤una göre y bilefleninin büyük-

lü¤ü nedir?

a. 16b. 28

c. 32

d. 34

e. 36

8. fiekil 1.19’daki her kare 1 birimdir. Buna göre

a+b+c+d toplam›n›n büyüklü¤ü afla¤›dakilerden han-

gisidir?

a. 4

b. 5

c. 8

d. 6

e. 11

2

2

2

91

75

61

51

Kendimizi S›nayal›m

c

a

b

d

c

a

b

d

fiekil 1.19: Soru 8 ve 9 için fiekil 1.20: Soru 10 için




9. fiekil 1.19’daki her kare 1 birimdir. Buna göre a-b-

c+d vektörünün büyüklü¤ü afla¤›dakilerden hangisidir?

a.

b. 2

c. 4

d. 2

e. 3

10. fiekil 1.20’deki her kare 1 birimdir. Buna göre

3a+4b+c+d vektörünün büyüklü¤ü afla¤›dakilerden

hangisidir?

a. 2

b. 5

c. 4

d. 6

e. 8

Metrenin Evrim Öyküsü

Uzunluk ölçmenin tarihsel geliflimine bakarsak kullan›-lan ilk uzunluk birimlerinin insanlar›n kendi uzuvlar›y-

la iliflkilendirdi¤i “ayak”, “parmak”, “kar›fl”, “dirsek” gi-

bi birimler oldu¤unu görürüz. ‹nsanlar bazen kulaçlar›-

n›, bazen ad›mlar›n›, bazen de civarlar›nda bulunan

nesneleri birim kabul edip ölçümler yapm›fllar ve kul-

land›klar› birimler cinsinden yapt›klar› ölçümleri örne-

¤in 5 kulaç, 10 ad›m gibi ifade etmifllerdir. ‹lk ça¤larda,

eski M›s›r’da kral’›n dirsek uzunlu¤u yayg›n bir uzunluk

birimi olarak kullan›lm›flt›r. Bugünkü metrik birimlerle

“kral dirse¤i” 46,33 cm’ye denk gelmektedir. Daha son-

ralar› M.S. 1101 y›l›nda, Kral I. Henry’nin burnundan el

baflparma¤›na kadar olan mesafe “yard” olarak tan›m-

lanm›flt›r. Yard bugün hala kullan›lan bir uzunluk ölçü

birimidir.

Ticaret ve bilimin geliflmesiyle birlikte birimler her top-

lumda farkl›l›klar gösterdi¤inden, belli bir sistem ihtiya-

c› gözlenmeye bafllam›flt›r. Ölçme sisteminin dünya ül-

keleri taraf›ndan ortak olarak oluflturulmas› fikri ilk ola-

rak 1528 y›l›nda Frans›z Fizikçi Jean Fernel taraf›ndan

ortaya at›lm›flt›r. Ancak bu durumun ciddiyetle ele al›n-

mas› 18. Yüzy›l›n son çeyre¤i Frans›z ihtilalinden sonraolmufltur. Bundan sonra günümüze kadar “metre”nin

evrim öyküsü flu flekilde geliflmifltir:

• 8 May›s 1790, Frans›z Ulusal Meclisi yeni metrenin,

yar›m-periyodu 1 saniye olan bir sarkac›n uzunlu¤u-

na eflit olmas›na karar varm›flt›r.

• 30 May›s 1791, Frans›z Ulusal Meclisi metrenin yeni

tan›m› olarak Frans›z Bilimler Akademisi’nin önerisi-

ni kabul etmifltir. Bu öneriye göre 1 metre Paris’ten

geçen meridyenin dörtte bir uzunlu¤unun 10 mil-

yonda biri olarak kabul edilmifltir.

• 1795, Pirinç geçici metre çubuk yap›lm›flt›r.• 10 Aral›k 1799, Frans›z Ulusal Meclisi, 23 Haziran

1799’da yap›lan ve Ulusal Arflivler’de saklanan platin

metre çubu¤u en son standart olarak belirtmifltir.

• 28 Eylül 1889, ‹lk A¤›rl›klar ve Ölçüler Genel Konfe-

rans›, metreyi %10’u iridyum’dan oluflan platin alafl›-

m› standart bir çubu¤un üzerindeki iki çizgi aras›n-

daki mesafenin buzun erime noktas›nda ölçülen de-

¤eri olarak tan›mlam›flt›r.

5

5

34

34

17

17

34

Yaflam›n ‹çinden

“




• 6 Ekim 1927, Yedinci A¤›rl›klar ve Ölçüler Genel

Konferans›, platin-iridyum alafl›m› standart çubu¤un

üzerindeki iki merkezî çizginin eksenleri aras›ndaki

0°C’ deki uzakl›¤›n, bu çubuk 1 atmosfer standart

bas›nç alt›ndayken ve birbirinden 571 milimetre me-

safedeki iki silindirin üzerinde yatay duruyorken

yap›lan ölçümünü metrenin tan›m› olarak düzelt-

mifltir.

• 20 Ekim 1960, On birinci A¤›rl›klar ve Ölçüler Genel

Konferans›, metreyi kripton-86 atomunun 2p10 ve

5d5 kuantum seviyeleri aras›ndaki geçiflteki ›fl›man›n

boflluktaki dalga boyunun 1.650.763,73’de biri ola-

rak tan›mlam›flt›r.• 21 Ekim 1983 - On yedinci A¤›rl›klar ve Ölçüler Ge-

nel Konferans›, metrenin tan›m›n› ›fl›¤›n bofllukta

1/299.792.458 saniyede ald›¤› mesafe olarak yapm›fl-

t›r. Metrenin tan›m›na iliflkin bugünkü son durum

budur.

Osmanl› Ölçü Birimleri

Uzunluk Ölçüleri

1 Çarfl› arfl›n› 0,6858 m1 Mimar arfl›n› (Zira) 0,757738 m1 Rub (urub) 0,0857 m (1/8 Arfl›n)

1 Kerrab (Kirâh) 0,0428 m (1/16 Arfl›n)

1 Endaze 0,6525 m1 Parmak (1/24 zira) 0,031572 m1 Hat (1/12 parmak) 0,002631 m1 Nokta (1/12 hat) 0,000219 m

A¤›rl›k Ölçüleri

1 Çeki (4 Kantar) 225,79832 kg1 Kantar (44 Okka) 56,44958 kg

1 Batman (6 Okka) 7,69767 kg

1 Okka/K›yye (400 Dirhem) 1,282945 kg

1 Dirhem 3,2073625 g

1 Miskal 4,5819464 g

7 Miskal (10 Dirhem) 32,073625 g

1 Denk (1/4 Dirhem) 0,80184 g

1 K›rat (1/4 denk) 0,20046 g

1 Bu¤day (1/4 k›rat) 0,05011 g

Alan Ölçüleri 1 Hektar = ( 11 Dönüm ) = 10.105,337 m2 = ( 17.600

zirakare )

1 Dönüm = ( 4 Evlek ) = 918,667 m2 = ( 1.600 ziraka-

re ) = ( 40 x 40 zira )

1 Evlek = 229,666 m2 = ( 400 zirakare ) = ( 20 x 20 zira )

1 Zirakare= 0,57416 m2

Okuma Parças›

”




1. d Yan›t›n›z yanl›flsa “Fiziksel Büyüklükler” bafll›kl›

konuyu yeniden gözden geçiriniz.

2. e Yan›t›n›z yanl›flsa “Fiziksel Büyüklükler” bafll›kl›


3. c Yan›t›n›z yanl›flsa “Ayn› Do¤rultulu veya Paralel

Vektörlerin Toplam›” bafll›kl› konuyu yeniden

gözden geçiriniz.

4. a Yan›t›n›z yanl›flsa “Paralelkenar Kural›” bafll›kl›


5. c Yan›t›n›z yanl›flsa “Vektörlerin Toplanmas›”

bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.

6. e Yan›t›n›z yanl›flsa “Üçgen Kural›” bafll›kl›


7. c Yan›t›n›z yanl›flsa “Vektörlerin Bileflenlerine

Ayr›lmas›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden

geçiriniz.

8. b Yan›t›n›z yanl›flsa “‹kiden Fazla vektörün

Toplam›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden

geçiriniz.

9. a Yan›t›n›z yanl›flsa “Bir Vektörün Bir Skalerle

Çarp›m›” ve “‹kiden Fazla vektörün Toplam›”


10. b Yan›t›n›z yanl›flsa “Bir Vektörün Bir Skalerle

Çarp›m›” ve “‹kiden Fazla vektörün Toplam›”


S›ra Sizde 1

Piko öneki 10-12 kat› yani trilyonda biri temsil etmekte-

dir. O halde 5pF=5.10-12 F demektir.

S›ra Sizde 2

karfl› dik kenar uzunlu¤u a sin37° = ––––––––––––––––––––––– = –––

hipotenüs uzunlu¤u c

oldu¤undan, buradan;

olarak bulunur.

S›ra Sizde 3

Koordinat sisteminin bafllang›c› olay› gözleyen gözlem-

cinin bulundu¤u yer olmal›d›r.

S›ra Sizde 4

Bir cismin a¤›rl›¤› o cisme etki eden yerçekimi kuvveti-

dir. Dolay›s›yla a¤›rl›k yönlü bir büyüklük yani vektör-

dür. Yo¤unluk ise bir cismin birim hacminin kütlesidir

ve yönü yoktur. O halde yo¤unluk bir skalerdir.

S›ra Sizde 5

Vektörlerin büyüklüklerine u ve v , toplam›n büyüklü-

¤üne R dersek;

yazabiliriz. Verilenleri yerine koyarsak toplam›n bü-

yüklü¤ünü;

olarak bulunur.

R = + + =10 20 2 10 20 0 5 10 72 2

. . . .

R = + + °10 20 2 10 20 602 2

. . .cos

R u v uv= + +2 2

2 cosθ

c a

=°

= =sin ,37

6

0 610 cm

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› S›ra Sizde Yan›t Anahtar›




S›ra Sizde 6

fiekil 1.21’e bakarsan›z, (a+b) ile c’yi toplamakla veyaa ile (b+c)’yi toplamakla ayn› toplam vektörü elde etti-

¤imiz görürsünüz. Yani her zaman (a+b)+c=a+(b+c)

oldu¤unu görürsünüz.

fiekil 1.21 Vektör Toplam›n›n Birleflme Özelli¤i

S›ra Sizde 7

Vektörün +x ekseniyle yapt›¤› aç› 90° ’den büyük,

180°’den küçük oldu¤undan dolay› vektör ikinci bölge

vektörüdür. Bu nedenle vektörün x bilefleni –x yönün-

de, y bilefleni ise +y yönündedir.

Orhun, Ö. ve di¤erleri, Orhun Ö. (Ed) (2007) Tekno-

lojinin Bilimsel ‹lkeleri, Ankara: Nobel Yay›nDa¤›t›m.

http://www.maths.usyd.edu.au/u/MOW/vectors/

11.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/vect.html

11.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r.

http://www.glenbrook.k12.il.us/ gbssci/ Phys/ Class/

vectors/u3l1a.html 11.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r.

a+b+c

a+c

a+b

b

c

a

Yararlan›lan ve BaflvurulabilecekKaynaklar



Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Kinemati¤in temel kavramlar›n› tan›yabilecek,Düzgün do¤rusal hareketi aç›klayabilecek,Düzgün de¤iflen do¤rusal hareketi aç›klayabilecek,Serbest düflme ve düfley at›fl hareketlerini ay›rt edebilecek,E¤ik at›fl hareketinin eflitliklerini yazabilecek,Ba¤›l hareketi ifade edebilecek bilgi ve becerileri edinmifl olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Yer de¤ifltirme• Al›nan yol• H›z• Sürat• ‹vme• Sabit H›zl› Hareket

• Sabit ‹vmeli Hareket• Serbest Düflme• Düfley At›fl• E¤ik At›fl• Ba¤›l hareket

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z


‹lkeleri-I Kinematik

• G‹R‹fi

• K‹NEMAT‹⁄‹N TEMELKAVRAMLARI

• DÜZGÜN DO⁄RUSAL HAREKET

• DÜZGÜN DE⁄‹fiEN DO⁄RUSALHAREKET

• SERBEST DÜfiME VE DÜfiEY ATIfiHAREKETLER‹

• E⁄‹K ATIfi HAREKET‹

• BA⁄IL HAREKET




Kinematik

Mekanik; kinematik,dinamik ve statik olmaküzere üç dala ayr›l›r.Dinamik; hareketinsebebinden yola ç›karakhareketi inceler. Statik isedengedeki cisimleriinceleme konusu yapar.

G‹R‹fiEtraf›m›za bakt›¤›m›zda yürüyen insanlardan, yoldan geçen tafl›t araçlar›na, uçankufllardan, rüzgarda sallanan a¤aç yapraklar›na kadar bize göre hareket eden pekçok fleyle karfl›lafl›r›z. Bir nesnenin hareketli olup olmad›¤› o cisme bakan gözlem-ciye ba¤l› bir durumdur. Örne¤in tepemizden geçen bir uçak, önümüzdeki bahçe-de top oynayan çocuklar hareket eden nesnelerdir. Ancak uçakla yolculuk yapar-ken di¤er koltuklarda oturan yolcular bize göre hareketsizdir. Oysa di¤er yolcular-la beraber biz, yerdeki bir gözlemciye göre hareket halindeyiz. Yani “duran nes-neler hangileridir, hareketli olanlar hangileridir?” sorular›na verilecek yan›tlar ta-mamen gözlemcinin durumuna ba¤l›d›r. Baflka bir deyiflle, bir cismin hareketli

olup olmad›¤› tamamen gözlemcinin durumuna ba¤l› olan göreceli bir durumdur.

K‹NEMAT‹⁄‹N TEMEL KAVRAMLARIFizi¤in hareketi inceleyen dal›na mekanik ad› verilir. Mekanik; kinematik, dina-mik ve statik olmak üzere üç dala ayr›l›r. Dinamik; hareketin sebebinden yola ç›-karak hareketi inceler. Statik dengedeki cisimleri inceleme konusu yapar. Kinema-tik ise hareketin hangi sebepten olufltu¤u sorusunun yan›t›n› vermeden yaln›zca

yer de¤ifltirme, h›z ve ivme gibi fiziksel nicelikleri tan›mlay›p, bunlar aras›ndakiiliflkileri ortaya koyar. Bu ünitede hareketi kinematik bak›fl aç›s›ndan ele alaca¤›z.

Hareket olay›n› anlayabilmek için, bununla ilgili terminolojiyi bilmemiz gerekir.fiimdi; kinematikle ilgili

• Al›nan yol,• Yer de¤ifltirme,• H›z,• ‹vme

kavramlar›n› tan›tarak bunlar›n tan›mlar›n› verelim. Al›nan Yol: Bir hareketlinin belirli bir zaman aral›¤›nda kat etti¤i mesafedir ve

metre (m) birimiyle ölçülür. Örne¤in Eskiflehir-Ankara karayolu 240 km’dir. Eskifle-hir’den Ankara’ya giden bir otobüs 240 kilometre (km) yol al›r. Al›nan yol skalerbir fiziksel büyüklüktür.

Yer de¤ifltirme: Yer de¤ifltirme, bir cismin ilk bulundu¤u yeri son bulundu¤u yere birlefltiren do¤ru parças›n›n uzunlu¤u büyüklü¤ünde ve cismin ilk bulundu-

¤u yerden son bulundu¤u yere do¤ru yönelmifl bir vektörel büyüklüktür.



fiekil 2.1’ de A noktas›ndan B

noktas›na bir e¤ri boyunca giden

bir cismi görüyorsunuz. Cismin

ald›¤› yol bir e¤riyle temsil edil-mifltir. Yer de¤ifltirme ise A nok-

tas›ndan B noktas›na yönelmifl

vektörüyle gösterilmifltir.

Dikkat ederseniz bir noktadan

di¤erine gitmek için al›nan yolu

de¤ifltirmek sizin elinizdedir. Ya-

ni yolu uzatabilir veya k›saltabi-

lirsiniz. Ama yer de¤ifltirmeyi de-

¤ifltiremezsiniz. Çünkü yer de¤ifl-

tirme daima hareketin bafllad›¤›

nokta A’ dan bafllay›p hareketin bitti¤i nokta B’ de sona eren bir vektördür. Dola- y›s›yla yer de¤ifltirmenin büyüklü¤ü AB do¤ru parças›n›n uzunlu¤u kadard›r.

Eskiflehir-Bilecik kara yolu 80 km dir. Oysa Eskiflehir-Bilecik aras› kufl uçuflu 60 km dir.

Buna göre Eskiflehir’den kalk›p Bilecik’e giden bir otobüs için al›nan yol ve yer de¤ifltirme

ne olacakt›r?

Bir kayakç› fiekil 2.2’de görüldü¤ü gibi ayn› do¤rultu boyunca önce A’ dan B’ ye,

sonra B ’ den C’ ye ve en sonra C’ den D’ ye kay›yor. Bu kayakç›n›n hareketinin so-

nunda ald›¤› yol ve yer de¤ifltirmesi nedir?

Çözüm: kayakç›;

A’ dan B’ ye 40 m +100 m + 40 m=180 m,

B’ dan C’ ye 40 m +100 m =140 m ve

C’ dan D’ ye 100 m yol alarak toplam

180 m +140 m +100 m = 420 m yol alm›flt›r.

Yer de¤ifltirme ise cismin ilk bulundu¤u A noktas›ndan, son bulundu¤u D

noktas›na uzanan 140 m uzunlu¤unda sa¤a do¤ru yönelmifl bir vektördür.

→ AB


Y e r D e ¤ i fl t i r m e

B

A

Al›nan Yol

AB→

fiekil 2.1

Al›nan Yol ve Yer De¤ifltirme

SIRA S‹ZDE 1

Ö R N E K

fiekil 2.2

Kayakç›n›n A’dan D’ye Hareketi



H›zBir cismin hareketindeki çabuklu¤u veya yavafll›¤› anlatmak için sürat ve h›z kavra-mlar›n› kullan›r›z. Tafl›t araçlar›nda bulunan takometre (sürat ölçer) arac›n süratini

ölçer. Sürat skaler bir niceliktir ve birimi SI’ da m/s ‘dir. H›z bir vektörel büyüklük-tür. Dolay›s›yla h›z bir hareketlinin hem süratini, hem de yönünü ifade eder. Birotomobilin h›z›n› tam olarak ifadeedebilmek için hem süratini, hemde yönünü belirtmek gerekir. Ör-ne¤in “Otomobil 90 km/h h›zla ku-zeye do¤ru gidiyor.” dedi¤imiz za-man hem sürati, hem de yönü be-lirtti¤imiz için otomobilin h›z›n›ifade etmifl oluruz.

Bir cisim t 1 an›nda apsisi x 1

olan P noktas›ndan +x yönündeharekete bafllas›n ve t 2 an›nda ap-sisi x 2 olan Q noktas›na ulafls›n.Bu olayda geçen zaman ∆t = t 2 - t 1 ve yer de¤ifltirme ∆x = x2 - x1 dir. Bu cismin∆t = t 2 - t 1 zaman aral›¤›ndaki ortalama h›z› vort ile gösterilir ve

(2.1)

eflitli¤iyle verilir. Birim zamandaki yer de¤ifltirme olarak tan›mlanan ortalama h›z yer de¤ifltirme vektörü yönünde bir vektördür. ‹ki nokta aras›ndaki ortalama h›z›n

yönü, hareketlinin hangi yolu izledi¤inden ba¤›ms›z olarak ilk noktadan son nok-taya yönelen vektör, yani yer de¤ifltirme vektörü yönündedir. Ortalama h›z›n bü- yüklü¤ü ve yönü, hareketlinin hareket boyunca h›z›n›n büyüklü¤ü ve yönü hak-k›nda hiçbir bilgi vermez. Sürat veya h›z›n birimi, uzunluk ve zaman için seçilenbirimlere ba¤l›d›r. Örne¤in al›nan yolu veya yer de¤ifltirmeyi kilometre (km) ile vezaman› saat (h) ile ölçersek sürat veya h›z›n birimi km/h olur. Ancak SI birim siste-mindeki uzunluk birimi metre(m), zaman birimi saniye(s) oldu¤undan sürat ve h›-z›n birimi m/s olur:

Bir boyutlu hareket te vektör gösterimi yerine (+) ve (-) iflaretlerini kullan›r›z ve ortalama h›z ba¤›nt›s›n›;

(2.2)

olarak yazar›z. Bir do¤ru boyunca gerçekleflen harekette yönü belirtmek için (+) ve (-)iflaretlerini kulland›¤›m›z› be-lirtmifltik. Örne¤in 80 km/h h›z-

la giden bir otomobil fiekil 2.4’ de görüldü¤ü gibi +x ekseni yönünde gidiyorsa h›-z›n› +80 km/h, -x yönünde gidiyorsa h›z›n› -80 km/h olarak al›r›z.

v x x

t t ort

x

t = =

−

∆

∆

2 1

2 1

-

Hiz yer degistirme

geçen zamanm / s

m

s( ) =

( )Sürat ( )

( )

( )m / s

m

s=

alınan yol

geçen zaman

v x x

t t ort

x

t = =

−

∆

∆

2 1

2 1

-

272. Ünite - Kinematik

Takometre: Sürat ölçen biralettir. Hareket halindekitafl›tlar›n süratinikilometre/saat (km/h) veyabaz› ülkelerde mil/saat

(mi/h) cinsinden skaler birnicelik olarak ölçer.

fiekil 2.3

x

Ortalama H›z

Ortalama h›z (vort), ∆xyönünde vektörel birbüyüklüktür.

Bir boyutlu hareket, birdo¤ru boyunca gerçekleflenharekettir.

fiekil 2.4

H›z›n Yönünü (+) ve (-) ‹flaretleriyle Belirtme



Bir koflucu t =0 an›nda O noktas›ndan harekete geçip 4 saniye koflarak A noktas›-

na, sonra 6 saniye koflarak B noktas›na, daha sonra 4 saniye koflarak C noktas›-

na ve son olarak 6 saniye koflarak O noktas›na geri geliyor. fiekil 2.5’ deki her bir kare 10 metreyi temsil etti¤ine göre koflucunun;

• 10 s deki ortalama süratini ve ortalama h›z›n›• 20 s deki ortalama süratini ve ortalama h›z›n›

bulunuz.

Çözüm: a) Koflucunun 4s+6s =10s’de kat etti¤i yol 30m+40m =70m’dir. Bunagöre O ’ dan B ’ ye gelinceye kadar geçen 10 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortala-ma sürat;

dir. Bu zaman aral›¤›ndaki ortalama h›z ise yer de¤ifltirmesinin büyüklü¤ü

oldu¤undan;

büyüklü¤e sahip ve vektörü yönündedir.

b) Koflucunun 20 saniyede tekrar O ’ ya dönünceye kadar ald›¤› yol 140 metreoldu¤undan ortalama sürat;

Ortalama sürat = (Al›nan yol)/(Geçen zaman) = (140m)/(20s) = 7m/s

dir. Bu zaman aral›¤›ndaki ortalama h›z›n büyüklü¤ü ise yer de¤ifltirme s›f›r oldu-¤undan;

olacakt›r.

v ( )

= =0

100

m

s

→OB

v OB

t

=∆

= =

→50

105

m

sm / s

→ = + =30 40 502 2mOB

→OB

Ortalama sürat Alınan yol

Geçen zaman= = =

70

107

m

sm / s


Ö R N E K

B

C

fiekil 2.5

Bir Koflucunun Yer De¤ifltirmesinin Temsili



Bir kifli fiekil 2.6’da görüldü¤ü gibi bir do¤ru üzerinde A noktas›ndan sola do¤ru harekete geçip 3 dakika sonra B noktas›na varmakta, sonra geri dönüp 3 dakika daha yürüyerek

6 dakika sonunda C noktas›na gelmekte ve sonra tekrar sola dönüp 4 dakika daha yürü- yerek 10 dakika sonunda D noktas›na ulaflmaktad›r. Bu kiflinin 10 dakikal›k zaman aral›-¤›nda ortalama sürati ve ortalama h›z› nedir?

‹vme‹vme, bir hareketlinin h›z›n› de¤ifltirme derecesidir. Bir otomobil çok h›zl› gidiyorolabilir. Fakat bu onun ivmeli olmas›n› gerektirmez. Otomobilin ivmeli olabilme-si için h›zlanmas› veya yavafllamas› veya yönünü de¤ifltirmesi gerekir. Belli bir za-man aral›¤›ndaki bir cismin ortalama ivmesi, bu cismin birim zamandaki h›z de¤i-flimidir. Bir do¤ru boyunca ν1 h›z›yla giden bir cismin t zaman sonra h›z› ν2 olur-sa bu zaman aral›¤›ndaki ortalama ivmesi;

(2.3)

olur. SI birim sisteminde ivmenin birimi (m/s)/s = m/s2

’dir.

Bir otomobil durdu¤u yerden harekete geçerek, do¤rusal bir yolda 5 saniyede 40

m/s h›za ulafl›yor. Bu otomobilin 5 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortalama ivmesi

nedir?

Çözüm: 5 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortalama ivme;

olur.

Bir otomobil 30 m/s h›zla giderken frene bas›larak 6 saniyede durduruluyor. Bu otomobilin 6 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortalama ivmesi nedir?

Çözüm: 6 saniyelik zaman aral›¤›ndaki ortalama ivme;

olur.

‹vme, t›pk› h›z gibi vektörel bir büyüklüktür. Bir do¤ru boyunca harekette (+) iflaretli ivme, h›zla ayn› yönde ve h›zland›r›c› bir ivme iken (-)iflaretli ivme h›zla z›t yönde ve yavafl-lat›c› bir ivmedir.

aort

v v=

−=

−=−2 1 20 30

65

t

m / s

sm / s

aort

v v=

−= =2 1 240

58

t

m / s

sm / s

at ort

=−v v

2 1


SIRA S‹ZDE

2

fiekil 2.6

Bir Kiflinin A ’ dan D ’ ye Yer De¤ifltirmesinin Temsili

‹vme h›z›n büyüklü¤ündekiveya yönündeki de¤iflimianlatmak için kulland›¤›m›zbir fiziksel kavramd›r.

Ö R N E K

‹vmenin (+) iflaretli olmas›hareketin artan h›zl› ve birdo¤ru boyunca harekette herikisi de vektörel nicelik olanh›z ve ivmenin ayn› yönlüolmas› anlam›na gelir.

Ö R N E K

‹vmenin (-) iflaretli olmas›ise hareketin azalan h›zl› vebir do¤ru boyunca hareketteivmenin h›za z›t yöndeoldu¤u anlam›na gelir.

D ‹ K K A T



E¤er h›z, eflit zaman aral›klar›nda eflit miktarlarda art›yor veya azal›yorsa ivmesabittir. ‹vme sabit oldu¤u zaman belli bir zaman aral›¤›ndaki ortalama ivme (a ort ) ,bu zaman aral›¤›n›n herhangi bir an›ndaki (a ) ivmesine eflit olur.

‹vme konusunda daha genifl bilgi sahibi olmak ve interaktif olarak al›flt›rmalar yapmak için http://www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/Class/1DKin/U1L1e.html ve http://www .maths.usyd.edu.au/u/MOW/vectors/ sitelerinden yararlanabilirsiniz.

Bir tren do¤uya do¤ru 30m/s lik bir h›zla giderken, düzgün h›zlanarak 5s içinde 50m/s lik bir h›za ulafl›yor. Trenin ivmesi nedir?

DÜZGÜN DO⁄RUSAL HAREKETBir hareketli bir do¤ru üzerinde eflit zaman aral›klar›nda eflit miktarlarda yer de¤ifl-

tirme yap›yorsa, düzgün do¤rusal hareket yap›yor demektir. Böyle bir hareketteh›z sabit kal›r. Bu yüzden bu harekete sabit h›zl› hareket de denir.

Düzgün do¤rusal harekette h›z sabit kald›¤› için, herhangi bir andaki h›z (anl›k h›z) ileortalama h›z daima eflit büyüklü¤e sahiptir ( ν = νort ).

Bir cisim fiekil 2.7’de görüldü¤ü gibi t 1 = 0 an›nda x 1 = x 0 noktas›ndan v sa-bit h›z›yla harekete bafllayarak, t 2 = t an›nda x 2 = x noktas›na vars›n. Bu durumdacismin h›z›n›;

(2.4)

olarak yazabiliriz. Buradan cismin herhangi bir t an›ndaki x - x 0 yer de¤ifltirmesini;

x - x 0 = νt (2.5)

ve konumunu;

x = x 0 + νt (2.6)

olarak yazabiliriz. fiekil 2.8’de düzgün do¤rusal hareket yapan bir cismin konum -zaman (a) ve h›z-zaman (b) grafiklerini görüyorsunuz. Konum-zaman grafi¤inine¤imi cismin h›z›n›, h›z-zaman grafi¤in alt›nda kalan alan ise cismin t zaman›nda

yapm›fl oldu¤u yer de¤ifltirmeyi, bir baflka deyiflle ald›¤› yolu verir.

v x

t

x x

t t

x x

t = =

−

−=

−

−

∆

∆

2 1

2 1

0

0


‹vmenin sabit olmas›durumunda daimaa ort =a olur ve ortalamaivme için yazd›¤›m›z Eflitlik(2.3) sabit ivme için de

geçerli olur.

‹ N T E R N E T

SIRA S‹ZDE 3

Düzgün do¤rusal hareketyapan bir cismin herhangibir zaman aral›¤›ndaki yerde¤ifltirmesi, hareket birdo¤ru üzerinde gerçekleflti¤iiçin, daima al›nan yolaeflittir.

D ‹ K K A T

Al›nan yol= x - x 0 x 0

x 1= x 0 x 2= x

fiekil 2.7

Düzgün Do¤rusal Hareket



http://www.inlets.net/ICT/science/displacement_time/index.php# adresli sitede ileri-gerisabit h›zla hareket eden cisimlerin konum-zaman ve h›z-zaman grafiklerini animasyonolarak izleyebilirsiniz.

Do¤rusal bir yolda 72 km/h h›zla giden bir kamyon 15 dakika’da ne kadar yol al›r?

Çözüm: Kamyonun 15 dakika’da ald›¤› yol, yani yer de¤ifltirmesi; 15 dakika =1/4 saat oldu¤undan

x - x 0 = νt = 72

olur. SI birimlerini kullanarak flöyle bir çözüm de verebiliriz:

oldu¤undan kamyonun 15 dakika’ da ald›¤› yol;

x - x 0 = νt = 20 900s = 18000 m

olacakt›r.

Aralar›nda 100m mesafe bulunan iki otomobil, ayn› yöne do¤ru sabit h›zlarla harekete ge-çiyorlar. Öndeki otomobilin h›z› 20 m/s ve arkadakinin h›z› ise 25 m/s oldu¤una göre, ar-

kadaki otomobil öndekine ne kadar zaman sonra ve ne kadar uzakta yetiflir.

DÜZGÜN DE⁄‹fiEN DO⁄RUSAL HAREKETBir do¤ru boyunca hareket eden bir cimin h›z› eflit zaman aral›klar›nda eflit miktar-lar kadar art›yor veya azal›yorsa bu cismin hareketine düzgün de¤iflen do¤rusal hareket ad› verilir. Düzgün de¤iflen do¤rusal hareket, bir do¤ru üzerinde gerçek-leflen ve ivmenin sabit oldu¤u harekettir. Çizelge 2.1a’daki cismin h›z› her 1 s’de5m/s artarken Çizelge 2.1b’deki cismin h›z› her 1s’de 5m/s azalmaktad›r. ‹vme, bi-rim zamandaki h›z de¤iflimi oldu¤undan bu hareketlerde ivme sabittir. Bu hareket-ler h›zlanan veya yavafllayan olmas› durumuna göre;

• Düzgün h›zlanan do¤rusal hareket veya

• Düzgün yavafllayan do¤rusal hareketolarak adland›r›l›r..

m

s

72 = 72.1000

3600= 20 ve (1 / 4)saat = 15dakika = 90

km

h

m

s

m

s00s

km

hh km

1

4=18


fiekil 2.8

Alan=Al›nan yol

Düzgün Do¤rusal Harekette Konum- Zaman ve H›z-

Zaman Grafikleri

‹ N T E R N E T

Ö R N E K

15 dakika, 1/4 saat eder.

18000 metre, 18km eder.

SIRA S‹ZDE

4

Düzgün de¤iflen do¤rusalhareket, bir do¤ru üzerindegerçekleflen ve ivmeninsabit oldu¤u harekettir.



a b

Bir cisim fiekil 2.9’da görüldü¤ü gibi t 1 = 0 an›nda x 1= x 0 konumundan, ν1 = ν0

h›z›yla +x ekseni yönünde sabit bir a ivmesiyle h›zlanmaya bafllayarak t 2 = t an›n-da x 2 = x konumuna ulaflt›¤›nda ν2 = ν h›z›na sahip olsun. Bu cismin ivmesi;

(2.7)

oldu¤undan, buradan cismin t 2 = t an›ndaki ν h›z›n›;

ν = ν0 + at (2.8)

olarak yazar›z. Öte yandan cismin t 2 - t 1 = t - 0 = t zaman aral›¤›ndaki x - x 0 yerde¤ifltirmesi (ald›¤› yol), ( ν0+ ν )/2 ortalama h›z›yla geçen t zaman›n›n çarp›m›d›r:Böylece;

(2.9)

yazabiliriz. Burada ν h›z› yerine, az önce buldu¤umuz Eflitlik 2.8’ deki de¤erini ye-rine koyar ve buradan x konumunu çekersek;

(2.10)

olarak hareketlinin t an›ndaki konumunu veren eflitli¤i elde ederiz.Son olarak Eflitlik 2.8 ve 2.10 ‘dan t zaman›n› yok edersek,

(2.11)

fleklinde zamans›z h›z eflitli¤ini elde ederiz.

x x t at v= + +0 0

21

2

x x t v v

− =+

00

2

at t t t t

v v v v v v v

= =

−

− =

−

− =

−∆

∆2 1

2 1

0 00


Çizelge 2.1Düzgün h›zlanan ve

düzgün yavafllayan do¤rusal hareket

Zaman(s) H›z(m/s)

0 20

1 25

2 30

3 35

4 40

Zaman(s) H›z(m/s)

0 30

1 25

2 20

3 15

4 10

t 1=0:v 1=v 0

x 1= x 0 x 2= x

x

O

fiekil 2.9

Düzgün De¤iflen Do¤rusal Hareket

Sabit ivmeli hareket yapanbu cismi t - 0 =t zamanaral›¤›nda ( ν0+ ν )/2ortalama h›z›yla sabit h›zl›hareket yap›yormufl gibidüflünebiliriz.

v v a x x2

0

2

02= + −( )



Dikkat ederseniz bu eflitlikleri ilk h›za sahip sabit ivmeli h›zlanan cisimler içinelde ettik. E¤er hareket ilk h›za sahip ve yavafllayan hareket olsayd› (2.9),(2.10) ve(2.11) eflitliklerinde a yerine (-a ) koymam›z gerekirdi. Bu nedenle afla¤›daki iflaret

anlaflmas›na uymak kofluluyla bu eflitlikleri hareket ister h›zlanan ister yavafllayanolsun, cismin ilk h›z› olsun veya olmas›n her durumda kullanabiliriz.Hareket do¤rultusu üzerinde fie-

kil 2.10’da görüldü¤ü gibi pozitif (+) ve negatif (-) yön seçeriz. Ko-num, h›z ve ivmeyi formülde say›-sal olarak yerine koyarken bunlar›;

• Pozitif yönde iseler (+) ifla-retli,

• Negatif yönde iseler (-) ifla-retli

olarak yazar›z. Ayr›ca;• Hareket orijinden bafllam›fl ise do¤al olarak x 0 = 0,• ‹lk h›z yok ise ν0 = 0

olarak almam›z gerekir.

‹lk h›z› 10 m/s olan bir otomobil sabit ivmeyle 40 m’lik do¤rusal yolu 2 s’de al›yor.

Yolun sonunda otomobilin h›z› ne olacakt›r? Bu otomobilin ivmesi nedir?

Çözüm: Arac›n yer de¤ifltirmesini veren (2.9) eflitli¤inde verilenleri yerine koyar ve buradan son h›z› çekersek;

ν = 30 m/s

buluruz. Otomobilimizin ivmesini (2.8) , (2.10) veya (2.11) eflitliklerinin herhangibirinden yararlanarak bulabiliriz. Fakat bunlar›n içinde en kolay› (2.8) eflitli¤inden

yararlanmakt›r: Bu eflitlikten otomobilin ivmesi;

ν = ν0 + at

30 m/s = 10 m/s + a (2s)

a = 10 m/s2

olarak bulunur.

72km/h h›zla giden bir kamyon, 80m ileride önüne ç›kan bir çocu¤a çarpmamak için fre-ne bas›yor. Kamyon 4m/s2’lik sabit ivmeyle yavafllad›¤›na göre çocu¤a çarpacak m›d›r?

fiekil 2.11’de orijinden harekete bafllam›fl, ilk h›z› olmayan ve pozitif yönde sa-bit ivmeyle h›zlanan bir cismin ivme-zaman, konum-zaman ve h›z-zaman grafikle-

rini görüyorsunuz.

40 10

22=

+ v

x x t

v v− =

+

0

0

2


fiekil 2.10

Pozitif ve Negatif Yön

Ö R N E K

SIRA S‹ZDE

5



H›z-zaman grafi¤i birçok bilgiyi içerir. Do¤rusal olan grafi¤in e¤imi sabit olanivmeyi verirken grafikle zaman ekseni aras›nda kalan bölgenin alan› da al›nan yo-lu verir. fiimdi bunu bir örnek üzerinde ele alarak görelim.

fiekil 2.12’de h›z zaman grafi¤i görülen cismin 0 -10 saniye zaman aral›¤›ndaki;

a) ‹vmesini,b) Ald›¤› yolu bulunuz.

Çözüm: a) 0 - 10 saniye zaman aral›¤›ndaki grafi¤in e¤imi ivmeyi verir:

b) Grafikle zaman ekseni aras›nda kalan bölgenin alan› da al›nan yolu verir. 0-10 saniye zaman aral›¤›na karfl› gelen dik üçgen fleklindeki bu bölgenin alan›;

olarak al›nan yolu verir.

fiekil 2.13’de orijinden +x ekseni yönünde harekete geçen bir cismin h›z-zaman

grafi¤ini görüyorsunuz. Bu cismin çeflitli zaman aral›klar›ndaki h›z›n›, ivmesini ve hareketini tan›mlay›n›z.

x Alan= =( )( )

=60 10

2300

m / s sm

a = tan =t

= 60 - 0

10 -0= 6 /

vθ

∆

∆

m / s

s

m s2


fiekil 2.11

Düzgün H›zlanan Harekette ‹vme-

Zaman, Konum- Zaman ve H›z- Zaman Grafikleri

Ö R N E K

fiekil 2.12

Bir Cismin 0-55 Saniyeler Aras›ndaki H›z- Zaman Grafi¤i

Ö R N E K



Çözüm:

http://www.walter-fendt.de/ph14e/acceleration.htm adresli sitede sabit ivmeli hareket ya-

pan bir cismin hareketini, de¤iflik ilk h›z ve ivme de¤erleri için animasyon olarak incele- yebilirsiniz

SERBEST DÜfiME VE DÜfiEY ATIfi HAREKET‹ Yeryüzü yak›nlar›nda kendi a¤›rl›¤›n›n d›fl›nda baflka hiçbir kuvvete maruz kalmayan bütün cisimler g yerçekimi ivmesiyle sabit ivmeli hareket yapar. Cismin ilk h›-z› yoksa veya var ama düfley do¤rultuda ise cisim flu üç hareketten birisini yapar:

• Serbest düflme hareketi,• Yukar›dan afla¤›ya düfley at›fl hareketi,• Afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl hareketi.E¤er cisim düfley olmayan bir ilk h›za sahipse o zaman yapt›¤› hareket bir son-

raki kesimde ele alaca¤›m›z e¤ik at›fl hareketi olur. fiekil 2.14’de bu hareket tiple-rini görüyorsunuz.

Zaman aral›¤› H›z ‹vme Hareketin tan›m›

0 → t 1 + x yönünde, artan + x yönünde, sabit Düzgün h›zlanan

t 1 → t 2 + x yönünde, sabit S›f›r Sabit h›zl›

t 2 → t 3 + x yönünde, azalan - x yönünde, sabit Düzgün yavafllayan

t 3 → t 4 - x yönünde, artan - x yönünde, sabit Düzgün h›zlanan

t 4 → t 5 - x yönünde, sabit S›f›r Sabit h›zl›

t 5 → t 6 - x yönünde, azalan + x yönünde, sabit Düzgün yavafllayan


fiekil 2.13h›z

0t 1

t 2

t 3

t 4

t 5

t 6

zaman

Bir Cismin H›z- Zaman Grafi¤i

‹ N T E R N E T

fiekil 2.14

At›fl Tipleri



Yeryüzü yak›nlar›nda bu hareketlerden birini yapan bir cismin h›z› her saniye-de 9,8m/s artar veya azal›r. Bu h›z de¤iflimini yaratan, yerçekimi ivmesi ad›n› ver-di¤imiz ve de¤eri ortalama 9,8 m/s2 ve yönü daima yere do¤ru olan ivmedir. Biz

bunu hesaplamalar›m›zda yaklafl›k olarak 10 m/s2

olarak alaca¤›z.Bu üç hareket sabit ivmeli do¤rusal hareket olduklar›ndan daha önce ö¤rendi-¤imiz sabit ivmeli hareketin eflitliklerini a ivmesi yerine g yerçekimi ivmesini ve x

yatay konumu yerine y düfley konumunu yazmak suretiyle aynen kullanabiliriz:

ν = ν0 + gt (2.12)

(2.13)

(2.14)

ν2 = ν02 + 2 g (y - y 0 ) (2.15)

Bu eflitlikleri kullanarak problem çözerken seçti¤imiz y ekseni yönündeki bü- yüklüklerin de¤erlerini (+) iflaretli, y eksenine z›t yöndeki büyüklüklerin de¤erle-rini ise (-) iflaretli olarak eflitlikte yerine koymam›z gerekir.

Bu formülleri kullanarak problem çözerken seçti¤imiz y ekseni yönündeki büyüklüklerinde¤erlerini (+) iflaretli olarak, y eksenine z›t yöndeki büyüklüklerin de¤erlerini ise (-)iflaretli olarak formülde yerine koymam›z gerekti¤ini unutmay›n›z.

Örne¤in serbest düflme hareketi için cismin b›rak›ld›¤› noktay› koordinat bafl-

lang›c› kabul edip, düfley afla¤›ya do¤ru olan yönü + y ekseni olarak seçersek ilkh›z s›f›r ( ν0 = 0) al›nmak kofluluyla 2.13, 2.14 ve 2.15 eflitlikleri aynen kullan›l›r.

Serbest Düflme Hareketi:E¤er cisim yüksekçe bir yerden ilk h›zs›z serbest b›ra-

k›l›rsa yapaca¤› hareket serbest düflme olarak adland›-

r›lan düzgün de¤iflen (h›zlanan) do¤rusal harekettir.

Serbest düflme hareketi ilk olarak ‹talyan bilim adam›

Galileo Galilei taraf›ndan Pisa kulesinden b›rak›lan

cisimlerin hareketi incelenerek matematiksel olarak

formüle edilmifltir. fiekil 2.15’de yüksekçe bir yerdenserbest b›rak›lan bir cismin 1, 2, 3 ve 4 saniyede ulafl-

t›¤› h›zlar› ve kat etti¤i mesafeleri görüyorsunuz.

y y t gt v= + +0 0

21

2

y y t v v

− =+

00

2


Yerçekimi ivmesi g ilegösterilir ve Dünya’n›n farkl›yerlerinde daima yere do¤ruyönelmifl olup 9,78m/s2 ile9,82m/s2 aras›nda de¤iflen

de¤erlere sahiptir. Biz bunuhesaplamalar›m›zdayaklafl›k olarak 10m/s2

olarak alaca¤›z.

D ‹ K K A T

Galileo Galilei: Bu ünlübilim adam› hakk›nda genifl

bilgi sahibi olmak için lütfenbu ünitenin sonundakiokuma parças›n› okuyunuz.

fiekil 2.15

Serbest Düflen Bir Cismin ‹lk 4 Saniyesi



Bir tafl 45 m yükseklikteki bir binan›n çat›s›ndan serbest b›rak›l›yor. Bu tafl ne ka-

dar zaman sonra hangi h›zla yere çarpar? ( g =10 m/s2 ).

Çözüm: Hareket do¤rultusunu düfley ve afla¤›ya do¤ru yönelmifl y ekseni ola-rak seçelim. Koordinat bafllang›c› çat›da olsun. Eflitlik (2.14)’de bilinenleri yerinekoyarsak;

t = 3 s

olarak tafl›n yere düflme süresi bulunur. Tafl yere 3 s’de düfltü¤üne göre Eflitlik(2.12)’yi kullanarak h›z›;

ν = ν0 + gt

ν = 0 + (+ 10 m/s2) . 3 s = 30 m/s

olarak buluruz.

Yukar›dan Afla¤›ya Düfley At›fl HareketiE¤er cisim yüksekçe bir yerden bir ilk h›zla düfley olarak afla¤›ya do¤ru f›rlat›l›rsa

yapaca¤› hareket “yukar›dan afla¤›ya do¤ru düfley at›fl” olarak adland›r›lan düz-

gün de¤iflen (h›zlanan) do¤rusal harekettir. Bu hareket için de koordinat bafllang›-c› cismin at›ld›¤› nokta al›n›p düfley afla¤› yön +y ekseni olarak seçilirse 2.13, 2.14

ve 2.15 eflitlikleri aynen kullan›l›r.

Bir tafl 30 m yükseklikteki bir binan›n çat›s›ndan düfley olarak afla¤›ya do¤ru 5

m/s h›zla f›rlat›l›yor. Bu tafl hangi h›zla ve ne kadar zaman sonra yere çarpar?

( g =10 m/s2 ).

Çözüm: Hareket do¤rultusunu fiekil 2.15’deki gibi düfley ve afla¤› yönü +y ek-seni olarak seçelim. Koordinat bafllang›c› çat›da olsun. Eflitlik (2.15)’de bilinenleri

yerine koyarsak tafl›n yere çarpt›¤› andaki h›z›;

ν2 = ν02 + 2g ( y - y 0)

ν2 = (+5 m/s2) + 2(+10 m/s2 ) (+30m - 0) = 25 + 600 = 625 (m/s)2

ν = 25 m/s

olarak buluruz. Tafl›n yere çarpma h›z› 25m/s ve ilk h›z› 5m/s oldu¤una göre Eflit-lik (2.12)’yi kullanarak tafl›n yere ne kadar zamanda çarpaca¤›n›;

+25m/s= + 5 m/s + (+ 10 m/s2) t

t = 2s

olarak buluruz.

+ = + + + ⇒45 0 0 1

210

2. ( )t t

y y t gt v= + +0 0

21

2


Ö R N E K

Tafl›n ilk h›z› s›f›rd›r( ν0 = 0). y ve g ; afla¤›yado¤ru yani +y ekseniyönünde olduklar›ndan

y = +45m ve g = +10m/s2 olarakal›nm›flt›r.

Ö R N E K



Afla¤›dan Yukar›ya Düfley At›fl HareketiE¤er cisim herhangi bir yerden bir ilk h›zla düfley olarak yukar›ya do¤ru f›rlat›l›rsa

yapaca¤› hareket “afla¤›dan yukar›ya do¤ru düfley at›fl” olarak adland›r›lan düz-

gün de¤iflen do¤rusal harekettir. Bu hareketi yapan cisim önce düzgün yavafllayanhareket yaparak tepe noktas›na ulafl›r, sonra serbest düflme hareketi yapmaya bafl-lar. Bu hareket için de yer koordinat bafllang›c› al›n›p düfley yukar› yön +y ekse-ni seçilirse 2.12, 2.14 ve 2.15 eflitliklerinde g yerine -10m/s2 almak gerekir.

Afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl hareketinde yerin koordinat bafllang›c› olarak seçildi¤ini,düfley yukar› yönün +y.ekseni olarak al›nd›¤›n› ve bu kabullerle 2.12, 2.14 ve 2.15 eflitlik-lerinde g yerine -10m/s2 almak gerekti¤ini unutmay›n›z.

Bir tafl yerden fiekil 2.16’daki gibi 30 m yükseklikteki bir binan›n çat›s›ndan düfley

olarak yukar›ya do¤ru 20 m/s h›zla f›rlat›l›yor. Bu tafl›n;

a) 1 saniye sonraki h›z›n› ve yerden yüksekli¤ini,b) En yüksek noktaya ne kadar zamanda ç›kt›¤›n›,c) En yüksek noktan›n yerden yüksekli¤ini,d) 3 saniye sonraki h›z›n› ve yerden yüksekli¤ini,e) Yere hangi h›zla çarpaca¤›n› bulunuz. ( g =10 m/s2).

Çözüm: Hareket do¤rultusunu fiekil 2.16’daki gibi düfley ve yukar›ya do¤ru yö-nelmifl y ekseni olarak seçelim. Koordinat bafllang›c› yerde olsun.

a) Eflitlik (2.12)’den tafl›n 1 saniye sonraki h›z›;

ν = ν0 + gt

ν = +20 m/s + (-10 m/s2) . (1s) = +20m/s - 10m/s= +10m/s

ve yerden yüksekli¤i Eflitlik 2.14’den;


D ‹ K K A T

Afla¤›dan yukar›ya düfleyat›fl hareketi yapan cisim,tepe noktas›na ulaflt›ktan

sonra serbest düflmehareketi yapar.

Ö R N E K

fiekil 2.16

Afla¤›dan Yukar›ya Düfley At›fl Örne¤i ‹çin

H›z›n (+) iflaretli olmas›,h›z›n y ekseniyle ayn› yöndeyani yukar›ya do¤ru olmas›anlam›na gelir.



olarak bulunur.b) Tafl yukar›ya do¤ru f›rlat›l›nca yavafllayarak yükselir. En yüksek noktaya

ulaflt›¤›nda bir an için durur ve h›z› s›f›r olur. Sonra bu noktadan serbest düflme ya-parak h›zlanarak yere düfler. Eflitlik (2.12)’de son h›z yerine s›f›r koyarak tafl›n en

yüksek noktaya ç›kma süresini;

ν = ν0 + gt

olarak buluruz.c) Tafl›n ç›kt›¤› en yüksek noktan›n yerden yüksekli¤ini Eflitlik 2.14’den;

olarak buluruz.d) Tafl›n 3 s sonraki h›z› ise;

ν = ν0 + gt

ν = + 20m/s + (-10m/s2) . (3s) = +20m/s - 30m/s= - 10m/s

ve yerden yüksekli¤i yine Eflitlik 2.14’den;

olarak bulunur.e) Tafl›n yere çarpma h›z› Eflitlik 2.15’den;

ν2 = ν02 + 2g ( y - y 0)

ν2 = (20)2 + 2(-10) (0-30) = 400 + 600 = 1000

olarak bulunur.

Bir cisim yerden 10m yüksekten 5m/s h›zla düfley olarak yukar›ya do¤ru f›rlat›l›yor. Bu ci-sim ne kadar zaman sonra at›ld›¤› düzeyden ters yönde (afla¤›ya do¤ru) geçer. ( g =10m/s2).

v = 10 10m s/

y = 30 + (20 ) (3 ) + 1

2(-10)(3 ) = 30 + 60 + (-45 ) = 4m m / s s s m m m

2 55m

y y t gt v= + +0 0

1

2

2

y = 30 + (20 ) (2 ) + 1

2(-10)(2 ) = 30 + 40 +(-20 ) = 5m m / s s s m m m

2 00m

y y t gt v= + +0 0

21

2

0 = +20 + (-10 ) t t = 2m / s m / s s2

⇒

y = 30m + (20m / s) (1s)+ 1

2 (-10)(1s) = 30m +20m + (-5m)= 45

2

mm

y y t gt v= + +0 0

21

2


ν0 ‹lk h›z› y ekseniyle ayn›yönlü oldu¤u için (+)iflaretli, g yerçekim ivmesi yekseniyle z›t yönde oldu¤uiçin (-) iflaretli olarak al›nd›.

H›z›n (-) iflaretli olmas›,h›z›n y ekseniyle z›t yöndeyani afla¤›ya do¤ru olmas›anlam›na gelir.

SIRA S‹ZDE6



E⁄‹K ATIfi HAREKET‹Bir cismin yatayla belirli bir aç› yapacak flekilde f›rlat›lmas›yla oluflan harekete e¤ikat›fl hareketi denir. E¤ik at›fl hareketinin biri yatay, di¤eri düfley olmak üzere iki bi-

lefleni vard›r. Hareketin yatay bilefleni, bu do¤rultuda ivme olmad›¤› için sabit h›z-l› harekettir. Bu bileflen için daha önce ö¤rendi¤imiz sabit h›zl› hareketin formül-leri geçerlidir. Hareketin düfley bilefleni ise afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl hareketi-dir. Bu bileflen için de yine daha önce ö¤renmifl oldu¤umuz afla¤›dan yukar›ya dü-fley at›fl hareketinin formülleri geçerlidir.

fiekil 2.17’de yatayla α aç›s› yapacak flekilde ν0 h›z›yla f›rlat›lan bir cismin iz-ledi¤i yörüngeyi, çeflitli zamanlardaki h›z bileflenlerini, ç›kabildi¤i en büyük yük-

sekli¤i ve at›ld›¤› yerden ne kadar uzakta yere düfltü¤ünü yani menzilini görüyor-sunuz. fiimdi bu hareketi yatay ve düfley bileflenleri itibariyle inceleyelim.

Hareketin yatay bilefleninin sabit h›zl› hareket oldu¤unu söylemifltik. Yani ha-reket boyunca yatay h›z sabit kal›r. H›z için;

νx = ν0x= ν0 cos α = Sabit (2.16)

ve konum için;

x = νx t = ν0 t cos α (2.17)

eflitliklerini yazabiliriz.

Hareketin düfley bileflenine gelince; bu afla¤›dan yukar›ya düfley at›fl hareketi-dir. O halde bu bileflen için daha önce ö¤rendi¤imiz afla¤›dan yukar›ya düfley at›flhareketinin formülleri geçerlidir. H›z için;

ν y = ν0y - gt (2.18)

= ν0 sin α - gt

ve konum için;

(2.19)

eflitliklerini yazabiliriz.

y y t gt

y t gt

v

v

y= + −

= + −

0 0

2

0 0

2

1

21

2

sinα


E¤ik at›fl hareketinin yataybilefleni; sabit h›zl› hareket,düfley bilefleni ise sabit

ivmeli harekettir.

fiekil 2.17

E¤ik at›fl hareketi

νo ilk h›z›n›n yatay bileflenihareket boyunca sabittir:

νx = ν0x



Yerde duran bir futbol topu futbolcunun aya¤›ndan fiekil 2.17’de görüldü¤ü gibi

yatayla 37°’lik aç› yapacak flekilde 50 m/s h›zla ç›k›yor. Hava direncini ihmal ede-

rek bu topun;a) En yüksek noktaya ç›k›fl zaman›n›,b) Ç›kt›¤› en yüksek noktan›n yerden yüksekli¤ini,c) Yere düflünceye kadar geçen zaman› (uçufl süresi),d) At›ld›¤› yerden yatay olarak ne kadar uzakta (menzil) yere düflece¤inie) Yere çarpt›¤› anda h›z›n›n yatay ve düfley bileflenlerini bulunuz. (sin37°=0,6;

cos37°=0,8; g =10m/s2).

Çözüm:a) En yüksek noktada düfley h›z s›f›r oldu¤undan Eflitlik 2.18’de bunun yerine

s›f›r koyarak geçen zaman› buluruz:

ν y = ν0 sin α - g t

0 = (50 m/s) (0,6) - (10 m/s2) t ⇒

t = 3 s

b) En yüksek noktaya ç›kma süresi olan 3 s’yi Eflitlik 2.19’da yerine koyarak en yüksek noktan›n yerden yüksekli¤ini buluruz:

c) Topun yere düfltü¤ü yerde y=0 oldu¤undan eflitlik 2.19’da y yerine s›f›r koyarak uçufl süresini buluruz:

Bu çözümlerden t = 0 topun hareket bafllang›c›nda y = 0’da (yerde) oldu¤u za-man›, t = 6 s ise topun yere düfltü¤ü zaman› gösterir.

d) Topun uçufl süresi olan 6 s’yi Eflitlik 2.17’de yerine koyarak x ’ in en büyükde¤erini yani menzili buluruz:

x = R = νxt = ν0x.t = ν0 t cos α

= (50m/s ) (6s) (0,8)

=240m.

t t

t : =

= 0

6s

0 = 0+ (50 )(0,6)t - 1

2(10 / ) t = 30t -5 t2 2

m / s m s2

⇒

y y t gt v= + −0 0

21

2sinα

H = 0 + (50 )(3 ) (0, 6) -

1

2 (10 / ) (3 ) = 90 - 45 = 45m / s s m s s m m

2 2

mm

y y t gt v= + −0 0

21

2sinα


Ö R N E K



e) Top yere düfltü¤ü zaman h›z›n yatay ve düfley bileflenleri;

νx = ν0x = ν0cos α

= (50m/s ) (0,8) = 40m/s (Yatay h›z)

ν y = ν0 y - g t

= (50m/s) (0,6) - (10m/s2) (6s) = -30m/s (Düfley h›z)

olur.

Bir top mermisi yatayla 53° ’lik aç› yapacak flekilde 400m/s h›zla f›rlat›l›yor. Hava direnci-ni ihmal ederek bu merminin;

a) En yüksek noktaya ç›k›fl zaman›n›,

b) Ç›kt›¤› en yüksek noktan›n at›ld›¤› yerden yüksekli¤ini bulunuz. (sin53°=0,8;cos53° = 0,6; g = 10m/s2).

BA⁄IL HAREKETBir cisim bir gözlemciye göre zamanla yer de¤ifltiriyorsa bu cisim hareket ediyordemektir. Bir gözlemciye göre hareketli olan cisim, baflka bir gözlemciye göre ha-reketsiz olabilir veya ilk gözlemcinin gördü¤ünden farkl› bir hareket halindeymiflgibi görülebilir. Örne¤in hareket halindeki bir trende yan yana oturan iki yolcudanbiri di¤erine göre hareketsizdir. Ama bu yolcular›n her ikisi de peronda bekleyenbir kifli için hareketlidir.

Farkl› h›zlarla hareket eden iki gözlemci bir cismin hareketini gözlerse ikisi de

farkl› sonuca ulafl›r. Örne¤in Kuzeye do¤ru uçan bir uça¤›n hareketi, bat›ya do¤ru ve güneye do¤ru uçan iki uçaktaki gözlemcilere göre farkl›d›r. Yani bir cismin ha-reketi, farkl› h›zlara sahip gözlemciler taraf›ndan farkl› alg›lan›r. Bir cismin hareket-li bir referans sistemindeki bir gözlemciye göre hareketine ba¤›l hareket ve bugözlemciye göre sahip oldu¤u h›za da ba¤›l h›z ad› verilir.


SIRA S‹ZDE 7

Bir gözlem çerçevesine göre

hareket halinde olan ikicisimden birinin di¤erinegöre hareketine ba¤›lhareket denir.

fiekil 2.18

Hareketli A ve B Cisimlerinin Birbirlerine Göre Ba¤›l H›zlar›

H›z›n (-) iflaretli olmas›n›nnedeni, h›z›n y eksenine z›työnde yani afla¤›ya do¤ruyönelmifl olmas›d›r.



fiekil 2.18’de görülen, duran bir gözlem çerçevesine göre hareketli olan A cis-minin h›z› vA ve B cisminin h›z› vB olsun. A ’ya göre B ’ nin h›z› (ba¤›l h›z);

vAB = vA - vB (A ’ ya göre B ’ nin h›z›)

ve B ’ye göre A ’nin h›z› ise;

vBA = vB - vA (B ’ ye göre A ’ nin h›z›)

olur. Burada dikkat edilmesi gereken husus, h›z vektörel bir büyüklük oldu¤un-dan fark iflleminin vektör hesab› kurallar›na göre yap›lmas› gerekti¤idir.

Burada kural fludur: Hareketli cisimlerin h›z vektörlerini, bafllang›ç noktalar› çak›flacak flekilde kayd›r›n. E¤er A ’ ya göre B ’ nin h›z›n› çizmek istiyorsan›z, A ’ n›n ucundan B ’nin ucuna giden vektörü çizin. Yok e¤er B ’ ye göre A ’ n›n h›z›n› çizmek istiyorsan›z, B

’nin ucundan A ’n›n ucuna giden vektörü çizin.

Dikkat edilirse; fiekil 2.18’ den

vAB = - vBA

oldu¤u görülür.Hareketli cisimler ayn› do¤rultuda hareket ediyorsa, iki farkl› durum söz konu-

sudur:• Ayn› yönde giden araçlar›n birbirlerine göre ba¤›l h›zlar›n›n büyüklü¤ü, iki

arac›n h›zlar›n›n fark›na eflittir. Yönü ise araçlar›n ortak hareket yönüdür.• Z›t yönde giden araçlar›n birbirlerine göre ba¤›l h›zlar›n›n büyüklü¤ü, h›zla-

r›n›n toplam›na eflittir. Yönü ise gözlemcinin bulundu¤u araca do¤rudur.

Do¤uya do¤ru 20 m/s’lik h›zla giden bir otomobil ile 8 m/s’lik h›zla bat›ya giden bir

kamyon yolda karfl›lafl›yorlar. Otomobile göre kamyonun ba¤›l h›z› nedir?

Çözüm: H›z vektörel bir büyüklük oldu¤undan hem büyüklü¤ünün hem de yönünün bulunmas› gerekir. Araçlar›n hareket yönleri z›t oldu¤undan ba¤›l h›z›nbüyüklü¤ü araçlar›n h›zlar› toplam› kadard›r.

ν0K = ν0 + νK = 20m/s +8m/s = 28m/s.

Otomobile göre kamyonun ba¤›l h›z›n›n yönü ise otomobile do¤rudur.

Kuzeye do¤ru 500 km/h’lik h›zla uçan bir yolcu uça¤›n›n yan›ndan ayn› yöne do¤ru 800km/h’lik h›zla bir jet uça¤› geçiyor. Yolcu uça¤›na göre jet uça¤›n›n ba¤›l h›z› nedir?


D ‹ K K A T

Ö R N E K

SIRA S‹ZDE

8




Kinemati¤in temel kavramlar›n› tan›mak.

Kinemati¤in temel kavramlar› flunlard›r:

Al›nan Yol: Bir hareketlinin belirli bir zaman

aral›¤›nda kat etti¤i mesafedir ve SI birim siste-

minde metre (m) ile ölçülür.

Yer de¤ifltirme: Bir cismin ilk bulundu¤u yeri

son bulundu¤u yere birlefltiren vektördür. SI bi-

rim sisteminde yer de¤ifltirmenin büyüklü¤ü de

metre (m) ile ölçülür.

Sürat: Birim zamandaki kat edilen mesafe ola-

rak tan›mlan›r. Skaler bir büyüklük olan sürat SI

birim sisteminde t›pk› h›z gibi (m/s) ile ölçülür.H›z: Birim zamandaki yer de¤ifltirme olarak ta-

n›mlanan vektörel bir büyüklüktür. SI birim sis-

teminde h›z metre/saniye (m/s) ile ölçülür.

‹vme: Birim zamandaki h›z de¤iflimi olarak ta-

n›mlanan ivme SI birim sisteminde m/s2 ile ölçü-

len vektörel bir büyüklüktür.

Düzgün do¤rusal hareketi aç›klamak.

Bir cismin bir do¤ru üzerinde eflit zaman aral›k-

lar›nda eflit miktarlar kadar yer de¤ifltirmesi flek-

linde yap›lan harekete düzgün do¤rusal hareketad› verilir. Böyle bir harekette h›z sabit kal›r. Bu

yüzden bu harekete sabit h›zl› hareket de deni-

lir. Düzgün do¤rusal hareket yapan bir cismin

herhangi bir zaman aral›¤›ndaki yer de¤ifltirmesi,

hareket bir do¤ru üzerinde gerçekleflti¤i için, dai-

ma al›nan yola eflittir.

Sabit bir ν h›z›yla düzgün do¤rusal hareket ya-

pan bir cismin herhangi bir t zaman aral›¤›nda-

ki x - x 0 yer de¤ifltirmesi;

x - x 0 = νt

ve konumu;

x = x 0 + νt

olarak yaz›l›r.

Düzgün de¤iflen do¤rusal hareketi aç›klamak.

Bir do¤ru boyunca hareket eden bir cimin h›z›

eflit zaman aral›klar›nda eflit miktarlar kadar art›-

yor veya azal›yorsa bu cismin hareketine düz-

gün de¤iflen do¤rusal hareket ad› verilir. Düz-

gün de¤iflen do¤rusal hareket, bir do¤ru üzerin-

de gerçekleflen ivmenin sabit oldu¤u harekettir.

Bu hareket h›zlanan veya yavafllayan olmas› du-

rumuna göre;

• Düzgün h›zlanan do¤rusal hareket veya

• Düzgün yavafllayan do¤rusal hareket

ad›n› al›r. Bu harekette ilk h›z› ν

0 olan ve x 0 konumundan harekete geçen bir cismin;

• t an›ndaki ν h›z›: ν = ν0 + at

• Bulundu¤u konum:

• Zamans›z h›z formülü: ν2 = ν02 + 2a (x - x 0)

olarak verilir.

Serbest düflme ve düfley at›fl hareketlerini ay›rt et-

mek.

Yeryüzü yak›nlar›nda kendi a¤›rl›¤›n›n d›fl›nda

baflka hiçbir kuvvete maruz kalmayan bütün ci-simler, de¤eri 9,8 m/s2 olan yerçekimi ivmesiyle

sabit ivmeli hareket yapar.

• E¤er cisim yüksekçe bir yerden ilk h›zs›z ser-

best b›rak›l›rsa yapaca¤› hareket serbest düfl-

me olarak adland›r›lan düzgün de¤iflen do¤-

rusal harekettir.

• E¤er cisim yüksekçe bir yerden bir ilk h›zla

düfley olarak afla¤›ya do¤ru f›rlat›l›rsa yapaca-

¤› hareket yukar›dan afla¤›ya do¤ru düfley at›fl

olarak adland›r›lan düzgün de¤iflen do¤rusal

harekettir.• E¤er cisim herhangi bir yerden bir ilk h›zla

düfley olarak yukar›ya do¤ru f›rlat›l›rsa yapa-

ca¤› hareket afla¤›dan yukar›ya do¤ru düfley

at›fl olarak adland›r›lan düzgün de¤iflen do¤-

rusal harekettir.

x x t at v= + +0 0

1

2

2

Özet

1

A M A Ç

2

A M A Ç

3

A M A Ç

4

A M A Ç




Bu üç hareket sabit ivmeli do¤rusal hareket ol-

duklar›ndan düzgün de¤iflen do¤rusal hareket

eflitliklerini a ivmesi yerine g yerçekimi ivmesini

ve x yatay konumu yerine y düfley konumunu

yazmak suretiyle afla¤›daki gibi aynen kullan›r›z.

Yaln›z bu eflitlikleri kullanarak problem çözer-

ken seçti¤imiz y ekseni yönündeki büyüklükle-

rin de¤erlerini (+) iflaretli, y eksenine z›t yönde-

ki büyüklüklerin de¤erlerini ise (-) iflaretli olarak

eflitlikte yerine koymam›z gerekir.

ν= ν0 + gt

ν2 = ν02 + 2 g ( y - y 0)

E¤ik at›fl hareketinin eflitliklerini yazmak.

Bir cismin yatayla belirli bir aç› yapacak flekil-

de f›rlat›lmas›yla oluflan harekete e¤ik at›fl ha-

reketi denir. E¤ik at›fl hareketinin biri yatay, di-

¤eri düfley olmak üzere iki bilefleni vard›r. Ha-

reketin yatay bilefleni sabit h›zl› hareket, düfley

bilefleni ise sabit ivmeli harekettir. Bu hareke-

tin eflitlikleri;

νx = ν0x = ν0 cos α = Sabit

x = νx t = ν0 t cos α

ν y = ν0 sin α - gt

fleklindedir.

Ba¤›l hareketi ifade etmek

Farkl› h›zlarla hareket eden iki gözlemci, bir cis-

min hareketini gözlerse ikisi de farkl› sonuca ula-

fl›r. Örne¤in Kuzeye do¤ru uçan bir uça¤›n hare-keti, bat›ya do¤ru ve güneye do¤ru uçan iki uçak-

taki gözlemcilere göre farkl›d›r. Yani bir cismin

hareketi, farkl› h›zlara sahip gözlemciler taraf›n-

dan farkl› alg›lan›r. Bir cismin hareketli bir refe-

rans sistemindeki bir gözlemciye göre hareketi-

ne ba¤›l hareket ve bu gözlemciye göre sahip ol-

du¤u h›za da ba¤›l h›z ad› verilir.

y y t gt v= + −0 0

21

2sinα

y y t gt v= + +0 0

21

2

y y t v v

− =+

00

2

5

A M A Ç

6

A M A Ç




1. Bir çocuk fiekil 2.19’da görüldü¤ü gibi O noktas›n-

dan bafllayarak önce 80 m do¤uya, sonra 30 m bat›ya

yürümüfltür. Bu yürüyüflün sonunda çocu¤un ald›¤› yol

ve yer de¤ifltirmesi afla¤›dakilerden hangisinde do¤ru

olarak verilmifltir?

a. 50 m, 50 m do¤uya do¤ru

b. 50 m, 50 m bat›ya do¤ru

c. 110 m, 110 m bat›ya do¤ru

d. 110 m, 50 m do¤uya do¤ru

e. 110 m, 50 m bat›ya do¤ru

2. 25m/s’lik h›zla giden bir otomobilin h›z› kaç km/h’tir?

a. 108

b. 105

c. 90d. 75

e. 72

3. fiekil 2.20’de bir otomobilin h›z-zaman grafi¤i veril-

mifltir. Bu otomobilin 40 s’de ald›¤› yol kaç metredir?

a. 800

b. 600

c. 500

d. 400e. 300

4. fiekil 2.12’de görülen h›z-zaman grafi¤i, t = 0 an›nda

orijinden kalkarak +x ekseni yönünde harekete geçen

bir cisme aittir. Bu cisim 55 s an›nda x ekseni üzerinde

nerede bulunur?

a. 550 m

b. 1050 m

c. 1250 m

d. 1500 m

e. 1550 m

5. 10m/s h›zla yükselmekte olan bir balondan bir cisim

b›rak›l›yor. Cisim b›rak›ld›¤› anda balon yerden 50m

yüksekte ise cismin ç›kabilece¤i en yüksek noktan›n

yerden yüksekli¤i afla¤›dakilerden hangisidir?

( g =10m/s2).

a. 51,25 m

b. 52,25 m

c. 52,25 m

d. 51,5 m

e. 55 m

6. fiekil 2.21’de görülen h›z-zaman grafi¤i, t = 0 an›n-

da orijinden kalkarak +x ekseni yönünde harekete ge-

çen bir cisme aittir. Bu cismin III. bölgedeki ivmesininbüyüklü¤ü ve yönü nedir?

a. 1,5 m/s2, +x yönünde

b. 1,5 m/s2, -x yönünde

c. 5 m/s2, -x yönünde

d. 15 m/s2, -x yönünde

e. 15 m/s2, +x yönünde


fiekil 2.19

fiekil 2.20

fiekil 2.21




7. Bir tafl yerden fiekil 2.16’daki gibi 30m yükseklikte-

ki bir binan›n çat›s›ndan düfley olarak yukar›ya do¤ru40m/s h›zla f›rlat›l›yor. Bu cismin ç›kabilece¤i en yük-

sek noktan›n yerden yüksekli¤i afla¤›dakilerden hangi-

sidir? ( g = 10 m/s2)

a. 105 m

b. 110 m

c. 140 m

d. 120 m

e. 160 m

8. Yerden 105m yükseklikte bulunan ve 10m/s h›zla al-

çalmakta olan bir balondan bir cisim balona göre 30m/sh›zla yukar›ya do¤ru f›rlat›l›yor. Bu cismin 5 saniye

sonra yerden yüksekli¤i ve h›z›n›n büyüklü¤ü nedir?

( g =10m/s2).

a. 50 m ve 30 m/s

b. 80 m ve 50 m/s

c. 50 m ve 50 m/s

d. 80 m ve 40 m/s

e. 80 m ve 30 m/s

9. Bir cisim yatay düzlemden, yatayla 37°’lik aç› yapa-

cak flekilde 50m/s h›zla f›rlat›l›yor. Bu tafl›n havada kal-ma süresi ve yere çarpt›¤› andaki düfley h›z›n›n büyük-

lü¤ü afla¤›dakilerden hangisidir?

(sin37°=0,6; cos37°=0,8; g=10m/s2).

a. 3s ve 30 m/s

b. 3s ve 60 m/s

c. 6s ve 30 m/s

d. 6s ve 90 m/s

e. 6s ve 60 m/s

10. H›z› 60km/h olan bir trenle h›z› 110km/h olan bir

otomobil kuzey yönünde gidiyorlar. Trene göre otomo-

bilin ba¤›l h›z›n›n büyüklü¤ü ve yönü afla¤›dakilerden

hangisidir?

a. 50 km/h, kuzeye

b. 50 km/h, güneye

c. 60 km/h, kuzeye

d. 170 km/h, kuzeye

e. 170 km/h, güneye

H›z

H›z, fizikteki bilimsel tan›m› bir yana, genel olarak biriflin, bir eylemin gerçeklefltirilmesindeki çabuklu¤u ifa-

de eden bir sözcüktür. Bazen fazlas› hayat›m›z› kolay-

laflt›r›r, bazen fazlas› hayat›m›z› tehlikeye atar. Örne¤in

yolcu uçaklar›n›n h›z›n›n yolcu otobüslerininkinin on

kat› civar›nda olmas› yolculuklar›m›z› k›salt›r, bize za-

man kazand›r›r. Art›k günlük yaflant›m›z›n vazgeçilmez

bir parças› olan bilgisayarlar›n ifllem yapma h›z›n›n her

geçen gün artmas› en karmafl›k hesaplar›n çok k›sa za-

manda yap›lmas›n› sa¤lar. Ama h›z›n fazlas›n›n bizler

için hiç de iyi olmad›¤› durumlar da vard›r. O akflamki

TV haberlerinde o gün meydana gelen trafik kazas›n›nkorkunç görüntüleri yer almaktayd›. Kaza için gösteri-

len sebep ço¤u zaman oldu¤u gibi afl›r› h›z idi. ‹çerisin-

de 40 yolcunun bulundu¤u otobüs afl›r› h›z yüzünden

kontrolden ç›km›fl ve flarampole yuvarlanarak birçok

kiflinin hayat›n› kaybetmesine ve yaralanmas›na neden

olmufltu. Ne yaz›k ki bu tür haberler her gün karfl›m›za

ç›kmaktad›r.

Karayollar›nda h›z s›n›rlar› gelifligüzel konulmufl de¤il-

dir. Örne¤in saatte 72 km h›zla giden bir araç saniyede

20 metre, saatte 105 km h›zla giden araç ise saniyede 30

metre yol al›r. Göz aç›p kapay›ncaya kadar saatte 105km h›zla giden araç 30 metre gitmifltir bile. Araçlar›n

durma zaman› ve durma mesafesi de arac›n h›z›yla ya-

k›ndan ilgilidir. Örne¤in saatte 72 km h›zla giden bir

araç 5 saniye sonra 50 metre hareketten sonra durabi-

lir. Saatte 144 km h›zla giden araç ise 10 saniyede yak-

lafl›k 200 metre yol ald›ktan sonra durabilir. Görüldü¤ü

gibi h›z iki kat›na ç›k›nca durma mesafesi dört kat›na

ç›kmaktad›r. Afl›r› h›zdan kaynaklanan hepimizi üzecek

kazalar›n en aza inmesi için sürücülere bu ve benzeri

bilgilerin mutlaka çok iyi ö¤retilmesi, sürücülerinde h›z

s›n›rlar›na uymas› gerekir.


”

“




Galileo Galilei

http://tr .wikipedi-

a.org/wiki/Galileo_Ga-

lilei

Galileo Galilei, (1564-

1642). Modern fizi¤in ve

teleskopik astronominin

kurucular›ndan olan ‹tal-

yan bilim adam›.

1564’te ‹talya’n›n Pisa

flehrinde do¤du. Döneminin tan›nm›fl müzikçilerinden

Vincenzo Galilei’nin o¤lu olan Galileo, ilk tahsilini Flo-

ransa’da yapt›. 1581’de Pisa Üniversitesi’nde t›p tahsili-

ne bafllad›. Ancak paras›zl›ktan okulu terk etti. 1583’ten

itibaren matemati¤e ilgi duyan Galileo, bu konudaki

çal›flmalar› sayesinde, 1589’da Pisa’ da profesörlük elde

etti.

Sarkac›n, yüzen cisimlerin ve hareketin Aristo fizi¤in-

den farkl› bir düflünceyle matematiksel olarak ele al›n-

mas› gerekti¤ine inanan Galileo, Pisa Kulesi’nden a¤›r-

l›k düflürerek Aristo’nun yanl›fll›¤›n› aç›kça gösterdi. Bu

davran›fl› yafll› profesörlerle anlaflmazl›¤a düflmesine

sebep oldu. 1592’de Pisa’ y› terk ederek, Padova Üni-

versitesinde bir bölüm olan matematik kürsüsüne geldi.

1597’de pratikte çok faydas› olan pusulay› ticari olarak

piyasaya arz etti. 1600 senesinden hemen sonra ilkel

bir termometre, insan kalp at›fl›n›n ölçümünde kullan›l-

mak üzere bir sarkaç ve 1604’te serbest düflüflün mate-

matik kanunlar›n› keflfetti. Ancak düzgün ivmeli hare-

ket kavram› hatal›yd›. 1609’da Hollanda’da teleskopun

bulundu¤unu iflitti. Kendisi daha ileri bir alet yaparak

bu el yap›m› teleskopunu ilk kez 1609’da gökyüzüne

çeviren Galilei, Ocak 1610’da bu teleskopla, Jüpiter’in

kendi ad›yla ‘’Galilei uydular›’’ olarak bilinen 4 büyük

uydusunu keflfetti. Bu keflifle katolik kilisesince de des-teklenen evrenin merkezinde ‘’Yer’’in bulundu¤u ve

tüm gökcisimlerinin onun etraf›nda döndü¤ü anlay›fl›

y›k›lm›fl oldu. Ay’›n yüzeyini ayr›nt›l › olarak telesko-

puyla gözleyen Galilei, Ay’›n yüzeyinin mükemmel bir

küre olmad›¤›n›, göktafl› çarpmalar› sonucu oluflan kra-

terlerden dolay› girintili-ç›k›nt›l› oldu¤unu gördü. Te-

leskopuyla Satürn’ü, Samanyolu’nu da gözleyen Galile-

i, Samanyolu’nun o tarihlerde zannedildi¤i gibi bulutsu

de¤il, milyonlarca y›ld›zdan oluflan bir kuflak oldu¤unu

gördü. Ç›plak gözle görülemeyen pek çok gökcismini

teleskop sayesinde gözleyebilen Galilei, parlakl›k ölçe-¤inin de de¤iflmesini ve geliflmesini sa¤lad›. 1610’da ay-

daki da¤lar, y›ld›z kümeleri ve Samanyolu üzerine ilk

tespitlerini yay›nlad›. Bu kitab› çok ilgi uyand›rd› ve

Floransa’da saray matematikçisi olmas›n› sa¤lad›.

1611’de Roma’ya gitti ve oradaki Bilim Akademisi’ne

üye seçildi. Floransa’ya dönüflünde hidrostatik üzerine

pek çok profesörün itiraz›na sebep olan kitab› ile 1613’te

günefl lekeleri üzerine yazd›¤› eserini yay›nlad›. Bu ese-

rinde Kopernik sistemini aç›k bir flekilde müdafaa etti.

Bundan dolay› papazlar›n a¤›r hücumuna u¤rad›.

1615’te bizzat Roma’ya giderek iddias›n› müdafaa etti.

Ancak 1616’da Papa Beflinci Paul taraf›ndan kitaplar›n›

tetkik için bir komisyon kuruldu. Bu komisyon Galile-

o’nun kitaplar›n› yasaklamad›. Sadece Dünya’n›n dön-

dü¤ü iddias›ndan vazgeçmesini istedi.

Galileo, bir müddet bilimin pratik yönüne döndü, mik-

roskobu gelifltirdi. Ancak 1618’de üç kuyruklu y›ld›z›n

görülmesiyle kiliseyle münakaflaya girdi. Arkadafl›n›n

Sekizinci Urban olarak Papa seçilmesinden cesaret ala-

rak yazd›¤› “‹ki Kainat Sistemi Üzerine Konuflmalar” ad-

l› eserini 1632’de yay›nlad›. Ancak kitab› daha önce ya-

p›lan uyar›larla çeliflti¤i söylentilerine ra¤men Roma’da

mahkemeye ça¤r›ld›. 1633’te bu kitap yasakland› ve

Kutsal Engizisyon’ca müebbet hapse mahkum edildi.

Cezas› kendi evinde göz hapsine çevrildi. Yetmifl yafl›n-

da hapsedilen Galileo kör oldu ve 1642 y›l›nda hayat›-

n› yitirdi.

Günümüzde evrenle ilgili bilinenlerin temelinde Galie-

o Galilei’nin 400 y›l önce teleskobunu gökyüzüne çe-

virmifl olmas› gerçe¤i yat›yor. Bu nedenle Birleflmifl Mil-

letler hem bu büyük bilim adam›n› anmak, hem de

onun arac›l›¤›yla geliflen gökbilimini genifl halk kitlele-

riyle buluflturmak amac›yla Gaileo’ nun ülkesi ‹talya’n›n

teklifi üzere 2009’u ‘’Dünya Astronomi Y›l›’’ (DAY 2009)

ilan etti.

Okuma Parças›




1. d Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Al›nan Yol” ve “Yer

De¤ifltirme” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.

2. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “H›z” bafll›kl› k›sm› tek-

rar okuyunuz.

3. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Düzgün Do¤rusal Ha-

reket” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.

4. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Düzgün De¤iflen Do¤-

rusal Hareket” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.

5. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Afla¤›dan Yukar›ya Dü-

fley At›fl Hareketi” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyu-

nuz.

6. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Düzgün De¤iflen Do¤-

rusal Hareket” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.

7. b Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Afla¤›dan Yukar›ya Dü-

fley At›fl Hareketi” ve “Ba¤›l Hareket” bafll›kl›

k›sm› tekrar okuyunuz.

8. e Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Yukar›dan Afla¤›ya

Düfley At›fl” bafll›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.

9. c Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “E¤ik At›fl Hareketi” bafl-

l›kl› k›sm› tekrar okuyunuz.

10. a Yan›t›n›z do¤ru de¤ilse “Ba¤›l Hareket” bafll›kl›

k›sm› tekrar okuyunuz.

S›ra Sizde Yan›t Anahtar›S›ra Sizde 1

Al›nan yol otobüsün kat etti¤i mesafe olup 80 km de-

¤erinde bir skalerdir. Yer de¤ifltirme ise bafllang›c› Eski-

flehir’de, ucu ise Bilecik’te olan 60 km uzunlu¤unda bir

vektördür.

S›ra Sizde 2

Adam toplam 3+3+4=10 dakika yürüyerek;

‹lk 3 dakikada sola do¤ru 35m,

‹kinci 3 dakikada sa¤a do¤ru 20m,Son 4 dakikada sola do¤ru 40m

Yürüyerek toplam 35+20+40= 95m yol alm›flt›r. Buna

göre adam›n ortalama sürati;

Ortalama sürat = (Al›nan yol)/(Geçen zaman)=(95m)/

(10 dakika)= 9,5m/dakika olacakt›r. Adam A noktas›n-

dan harekete geçerek 10 dakikada D noktas›na ulafl

m›flt›r. Adam›n yer de¤ifltirmesi vektörüyle ifade

edilir. = 55m oldu¤undan,

adam›n ortalama h›z›n›n büyüklü¤ü;

ν = 55 m/ 10 dakika = 5,5 m/dakika

ve yönü A’ dan D ’ ye do¤ru olacakt›r.

S›ra Sizde 3

Trenin ivmesi;

olarak bulunur. Bu ivme h›zla ayn› yönde yani h›zlan-

d›r›c› bir ivmedir.

S›ra Sizde 4

Otomobiller ayn› anda harekete geçtiklerine göre arka-

daki otomobil öndekine yetiflti¤inde her ikisi de ayn› t

zaman› kadar hareket eder ve ayn› konumda bulunur-

lar (x =x 1 =x 2 ). O halde her iki otomobilin konumlar›-

n› eflitleyerek zaman› bulabiliriz:

x 1 = x 2

x 01 + ν1t = x 02+ ν2t

0+ (25m/s)t=100m+(20m/s)t

Arkadaki otomobil öndekine yetiflti¤i anda bulundu¤u

konum, baflka bir deyiflle ald›¤› yol;

x 1 = x 01 + ν1t = x 02 + ν2t

x 1 = 0 + (25m/s) (20s) = 500m

olacakt›r. Bu anda ayn› yerde bulunan öndeki otomo-

bil ise 400m yol alm›fl olacakt›r.

t = 100m

(25- 20)m / s=20s

at

v v2 1=

−=

−=

50 30

54 2m / s m / s

sm / s

→ AD

→ AD

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar›

fiekil 2.22




S›ra Sizde 5

Önce kamyonun h›z›n› m/s’ye çevirelim:

Kamyonun duruncaya kadar ald›¤› (x-x 0 ) yolunu bul-

mak için

ν2 = ν02 + 2a (x - x 0 )

Formülünü kullanal›m. Kamyonun hareket yönünü +

yön seçersek kamyonun ilk h›z› +20m/s, ivmesi -4m/s2

ve durdu¤unda son h›z› s›f›r olaca¤›ndan kamyon du-

runcaya kadar,

02

= 202

+ 2 (-4) (x - x 0 )

x -x 0 = 50m

yol alacakt›r. Frene bas›ld›¤›nda çocuk 80m ileride ol-

du¤undan, kamyon çocu¤a 30m kala duracak ve çarp-

ma olmayacakt›r.

S›ra Sizde 6

Koordinat bafllang›c›n› yerde ve y eksenini yukar›ya

do¤ru seçelim. Bu durumda y 0 =10m g = 100m/s2, ve ci-

sim at›ld›¤› yerden geçerken de y =10m olaca¤›ndan

Eflitlik (2.14)’de bunlar› yerine koyar denklemi çözer-sek arad›¤›m›z zaman›;

olarak buluruz. Arad›¤›m›z zaman t =1s’dir. t =0 ise cis-

min f›rlat›ld›¤› anda da ayn› düzeyden, yani, y 0 - y =10molan düzeyden geçti¤ini ifade eder.

S›ra Sizde 7

a) En yüksek noktada düfley h›z s›f›r oldu¤undan Eflitlik

2.18’de h›z yerine s›f›r koyarak geçen zaman›;

ν y = ν0 sin α + gt

0 = (400m/s) (0,8) + (-10m/s2) t ⇒

t = 32 s

olarak buluruz.

b) En yüksek noktaya ç›kma süresi olan 32 s’yi Eflitlik

2.19’da yerine koyarak en yüksek noktan›n yerden yük-

sekli¤ini de;

32 s2 = 10240 m - 5120m = 5120 m

olarak buluruz.

S›ra Sizde 8

Araçlar›n hareket yönleri ayn› oldu¤undan ba¤›l h›z›n

büyüklü¤ü araçlar›n h›zlar›n›n fark› kadard›r.

ν YJ = ν J - ν Y = 800km/h - 500km/h = 300km/h.

Yolcu uça¤›na göre jet uça¤›n›n ba¤›l h›z›n›n yönü ise

uçaklar›n ortak hareket yönü olan kuzeye do¤rudur.

0 5 5 5 5 01

2= − = − ⇒

==

t t t t t t

( )s

10 10 5 1

210

2 2m m m s t m s t = + +( / ) (- / )

y y t gt v= + +0 0

21

2

72 721000

360020

km

h

m

s

m / s= =

y y v t gt

y H

= + +

= = + +

0 021

2

0 400 32 0 8 12

sin

( / )( )( , ) (-

α

m s s 110m s/ )2




Orhun, Ö, Zor, M., ve di¤erleri, Teknolojinin Bilim-

sel ‹lkeleri, Nobel Yay›n Da¤›t›m, Ankara, 2007.http://www.glenbrook.k12.il.us/GBSSCI/PHYS/CLASS/

1DKin/U1L1c.html




Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Kuvvet kavram›n› ifade edilecek,Do¤adaki kuvvetleri s›n›fland›rabilecek,Newton yasalar›n› aç›klayabilecek,Kütle ve a¤›rl›k kavramlar›n› ay›rt edebilecek,Sürtünme kuvvetinin do¤as›n› aç›klayabilecek,Konuma göre de¤iflen kuvvetleri tan›yabilecek, bilgi ve becerileri edinmiflolacaks›n›z.

‹çindekiler

• Kuvvet• Newton yasalar›• Kütle ve a¤›rl›k

• Sürtünme katsay›s›• Düzgün dairesel hareket• Yay sabiti

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z


‹lkeleri-IHareketin Dinamik ‹ncelenmesi

• G‹R‹fi

• D‹NAM‹⁄‹N ‹LG‹ ALANI• KUVVET

• NEWTON’ UN B‹R‹NC‹ YASASI

• NEWTON’UN ‹K‹NC‹ YASASI

• KÜTLE VE A⁄IRLIK

• KÜTLEN‹N ÖLÇÜMÜ

• NEWTON’UN ÜÇÜNCÜ YASASI

• NORMAL KUVVET VE SÜRTÜNMEKUVVET‹

• DÜZGÜN DA‹RESEL HAREKET‹ND‹NAM‹⁄‹

• GER‹ ÇA⁄RICI KUVVET




G‹R‹fiKinematik ile ilgili olan önceki bölümde cisimlerin bir do¤ru boyunca veya bir

düzlem üzerindeki hareketi incelenmiflti. Yap›lan tart›flmalarda, onlar› harekete ge-

çiren nedene bak›lmaks›z›n cisimlerin davran›fllar› sadece yer de¤ifltirme, h›z ve iv-

me ba¤›nt›lar› ile tan›mlanm›flt›. Buna göre e¤er cismin ivmesi, bafllang›çtaki konu-

mu ve h›z› biliniyorsa onun gelecekteki herhangi bir anda konumu ve h›z› da ko-

layl›kla bulunabilirdi. Bu bölümde ise kinematik denklemlerle tan›mlanan hareke-

tin nedenleri araflt›r›lacak, kuvvet ve kütle kavramlar› kullan›larak cisimlerin hare-

ketindeki olas› de¤iflimler incelenecektir. Cisimleri harekete geçiren veya onlar›n

hareketini de¤ifltiren fiziksel mekanizma tart›fl›l›rken, ilk kez Sir Isaac Newton ta-

raf›ndan formüle edilen ve günümüzde Newton yasalar› olarak adland›r›lan üç te-mel yasa kullan›lacakt›r. Kinematik incelemede oldu¤u gibi, burada da cisim yine

tek bafl›na bir parçac›k olarak ele al›nacakt›r.

D‹NAM‹⁄‹N ‹LG‹ ALANIKlasik mekani¤in bir dal› olan dinamik, üzerine etki eden kuvvetler bilindi¤inde

cisimlerin hareketinin nas›l olaca¤›n› tan›mlar. Bizim inceleme alan›m›za giren di-

nami¤in temelleri günümüzden yaklafl›k olarak üç as›r önce Sir Isaac Newton

(1642-1727) taraf›ndan at›lm›flt›r. Klasik mekani¤e bu nedenle Newton mekani¤i

de denir.

Dinami¤in inceleme konusu olan cisimlerin, atom boyutlar›yla(≈10−10 m) karfl›-

laflt›r›ld›¤›nda çok büyük ve h›zlar›n›n da ›fl›k h›z› yan›nda ( m/s) çok küçük

oldu¤u unutulmamal›d›r. Zira bu s›n›rlar›n d›fl›na ç›k›ld›¤›nda Newton mekani¤inin

verdi¤i sonuçlar ile cisimlerin hareketine iliflkin gözlem ve deney sonuçlar› birbir-

leriyle uyuflmaz. Bu durumda cisimlerin hareketini bir dizi özel teori ve yasa ile in-

celemek gerekir. Örne¤in; atom içindeki elektronlar›n hareketi kuantum mekani-

¤inin, çarp›flan yüksek enerjili protonlar›n hareketi ise Einstein taraf›ndan ortaya

konulan özel rölativite teorisinin konusudur. Newton mekani¤i, her ne kadar s›n›r-

lamalar olsa da basitli¤i ve geçerlilik alan›n›n geniflli¤i nedeniyle günlük yaflant›-

m›zda karfl›laflt›¤›m›z birçok cismin veya sistemin hareketinin incelenmesinde yay-

g›n olarak kullan›l›r.

3 108

×

Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi



KUVVETGünlük yaflant›m›zda havaya f›rlat›lan bir tafl›n bir süre sonra yere düfltü¤ünü, fren

yapan bir otomobilin bir süre sonra durdu¤unu, buz üzerindeki bir k›za¤›n itildi-

¤inde h›zland›¤›n›, bir yay›n iki ucundan tutulup çekildi¤inde uzayarak gerildi¤ini,kap›lar›n itildi¤inde mentefleleri etraf›nda döndü¤ünü gözlemleriz.

Aralar›nda ister temas olsun ister olmas›n cisimleri hareket ettiren veya cisimle-rin hareketini k›s›tlayan bu tür etkileri kuvvet kavram› ile aç›klamak mümkündür.Kuvvet, gözle görülmeyen fakat etkileri gözlenen veya hissedilen herhangi bir it-meye veya çekmeye verilen isimdir. Bir cisim üzerine etki eden kuvvet onun nas›lhareket edece¤ini belirler. Üzerine herhangi bir kuvvet etki etmeden duran bir ci-sim kendi kendine harekete geçemez. Di¤er taraftan hareket halindeki bir cisimüzerine etki eden kuvvet ise onu h›zland›rabilir, yavafllatabilir veya yönünü de¤ifl-tirebilir. Benzer flekilde kuvvet, kap› örne¤inde oldu¤u gibi cisimleri bir eksen et-raf›nda döndürebilir veya yay gibi esnek cisimlerin fleklini de de¤ifltirebilir.

Kayna¤› ne olursa olsun kuvvet, hem büyüklü¤ü hem de yönü ile belirlendi-¤inden vektörel bir niceliktir. Bir cisme uygulanan net kuvvet(bileflke kuvvet), ci-sim üzerindeki ayr› ayr› itme ve çekme kuvvetlerinin vektörel toplam›n› ifade eder.Newton’a göre ister hareketli ister durgun olsun, cisimlerin hareket özellikleri ilekuvvet kavram› aras›nda yak›n bir iliflki vard›r.

Temas ve Alan KuvvetleriKuvvet, iki cisim aras›nda veya cisimle çevresi aras›ndaki bir tür etkileflimdir. Do-¤adaki kuvvetleri etkileflim biçimlerine göre s›n›fland›rmak mümkündür. Bir oto-mobil fren yapt›¤›nda otomobilin tekerlekleri ile yol aras›ndaki temastan kaynak-lanan bir sürtünme kuvvetinin varl›¤›ndan söz edilebilir. Benzer flekilde, duran bir

otomobili itmek için ona temas etmemiz gerekir. Uygulanan kas kuvveti otomobi-lin konumunu de¤ifltirir. Ayn› kuvvet bu kez esnek bir yay› çekmek için kullan›l›r-sa, bu kez yay›n fleklinin de¤iflti¤i görülür. Bir futbolcu aya¤› ile topa vurdu¤undaortaya ç›kan kuvvet hem topu harekete geçirir hem de onda geçici bir flekil de¤i-flikli¤ine neden olur. Bu örneklerde oldu¤u gibi iki cismin birbirine fiziksel olarakde¤mesi sonucu ortaya ç›kan kuvvetlere temas kuvvetleri ad› verilir.

Bununla birlikte, kuvvetlerin etki etmesi için mutlaka bir fiziksel temas›n olma-s› gerekmez. Günefl’in Dünya’y› kendi çevresinde dönmeye zorlamas›, Ay ile Dün-

ya aras›ndaki etkileflimden dolay› denizler üzerinde gel-git ad› verilen etkilerinoluflmas› ise kütle çekimi kuvvetinin varl›¤›n› iflaret eder. Benzer flekilde bir çubukm›knat›s›n toplu i¤ne gibi metallere yaklaflt›r›ld›¤›nda onlar› kendisine do¤ru çek-

mesi bir manyetik etkileflimin sonucudur. Aralar›nda fiziki temas olmayan cisimleraras›ndaki etkileflme kuvvetlerine alan kuvvetleri denir. Dünya’ dan kaynaklanankütle çekim kuvveti (yerçekimi kuvveti) cisimlerin Dünya’ ya ba¤l› kalmas›n› sa¤-lar ve a¤›rl›k olarak isimlendirilir. Yine bir atomda merkezdeki çekirdek içindekipozitif yüklü protonlar ile onun çevresinde dönen negatif yüklü elektronlar aras›n-daki elektrik kuvveti alan kuvvetlerine örnek olarak verilebilir.

Her ne kadar temas kuvvetleri alan kuvvetlerinden farkl› gibi görünse de ato-mik boyutta temas kuvvetleri asl›nda yükler aras›ndaki elektrik kuvvetlerindenkaynaklan›r. Bir otomobil ile yol aras›ndaki sürtünme kuvveti, gerçekte atomik bo-

yutta otomobil ve yolu oluflturan atomlar aras›ndaki etkileflimden ortaya ç›kan birelektrik kuvvetidir.


Duran bir cismi hareketegeçiren, hareket eden bircismi durduran veyayavafllatan, hareketinyönünü de¤ifltiren, cisimlerüzerinde flekil de¤iflikli¤iyapabilen etkiye kuvvetdenir.

Kuvvet, hem büyüklü¤ü hemde yönü ile belirlendi¤indenvektörel bir niceliktir. Bircisme uygulanan netkuvvet(bileflke kuvvet),cisim üzerindeki ayr› ayr›itme ve çekme kuvvetlerininvektörel toplam›n› ifadeeder.

Dünya’ dan kaynaklanankütle çekim kuvveti

(yerçekimi kuvveti)cisimlerin Dünya’ ya ba¤l›kalmas›n› sa¤lar ve a¤›rl›kolarak isimlendirilir.



Temel Kuvvetler Cisimlerle etkileflim biçimi nas›l olursa olsun günlük yaflant›m›z incelendi¤inde

çok say›da kuvvetin varl›¤›ndan söz edilebiliriz. Her ne kadar birbirinden çok fark-l› gibi görünse de do¤ada kütle çekim kuvveti, elektro-zay›f kuvvetler ve güç-lü çekirdek kuvvetleri olmak üzere üç temel kuvvet bulunur. ‹çinde bulundu¤u-muz evreni biçimlendiren bu temel kuvvetler, henüz varl›k nedeni tam olarak aç›k-lanamam›fl kuvvetlerdir. Di¤er bütün kuvvetler bu temel kuvvetlerden elde edilir.Türetilmifl kuvvetler ise, varl›klar›n›n do¤as›nda temel kuvvetler bulunan kuvvet-lerdir. Örne¤in bir yaydaki gerilme kuvveti temelde moleküller aras›ndaki etkilefl-meden kaynaklanan elektrik kuvvetidir.

Kütle çekim kuvveti ile günlük yaflam›n her aflamas›nda karfl›lafl›r›z. Bu temelkuvvet s›n›f› kütleler aras›nda karfl›l›kl› olarak do¤an çekme kuvvetidir. Y›ld›zlar›ngalaksi içindeki hareketinden bir elman›n dal›ndan düflmesine kadar birçok olay-

da bu kuvvetin etkisi vard›r. Y›ld›z ve gezegenler gibi büyük kütleli gök cisimleriaras›nda oldukça etkili olan kütle çekim kuvveti, di¤er kuvvetlerle k›yasland›¤›ndaen zay›f olan kuvvettir. Temel prensipleri 1687 y›l›nda Isaac Newton taraf›ndan ta-n›mlanm›flt›r. Kütle çekim kuvvetinin fliddeti kütleler aras›ndaki uzakl›¤›n karesinintersi ile orant›l› olup çok uzak mesafelerde bile etkisini gösterir.

Kayna¤› itibariyle elektromanyetik kuvvetler ve zay›f çekirdek kuvvetleri elek-tro-zay›f kuvvetler s›n›f› içerisinde de¤erlendirir. Elektromanyetik kuvvetler,durgun veya yüklü parçac›klar aras›nda çekme veya itme fleklinde ortaya ç›kan or-ta fliddetteki kuvvetlerdir. Durgun haldeki yüklerin birbirleriyle etkileflmesindenkaynaklanan elektrik kuvvetleri ile hareketli yüklerden kaynaklanan manyetik kuvvetler, 19. yüzy›lda birlefltirilerek elektromanyetik kuvvetler olarak adland›r›l-

m›flt›r. Çekici veya itici özellik gösterebilirler. Elektromanyetik kuvvetler atomlar›,molekülleri, kat›lar› ve s›v›lar› bir arada tutar. Kütle çekim kuvvetinden daha flid-detli olan bu kuvvetler asl›nda kütle çekim kuvveti haricindeki bütün kuvvetlerinkayna¤›d›r. Sürtünme ve gerilme kuvvetleri bu kuvvet türüne örnek olarak verile-bilir. Elektromanyetik kuvvetler de kütle çekimi gibi çok uzak mesafeler boyuncaetkili olabilir. Bu kuvvetlerin fliddetleri yine etkileflen parçac›klar aras›ndaki uzak-l›¤›n karesinin tersi ile orant›l› flekilde azal›r.

Zay›f çekirdek(nükleer) kuvvetleri k›sa mesafelerde etkili olup fliddeti elek-tromanyetik kuvvetlerle karfl›laflt›r›ld›¤›nda oldukça düflüktür. Bu kuvvet türü rad-

yoaktif bozunma ad› verilen radyoaktif çekirde¤in baflka bir atomun çekirde¤inedönüflme mekanizmas›ndan sorumludur. Örne¤in bu kuvvet, Günefl’teki nükleer

füzyon reaksiyonu sonucunda muazzam bir enerjinin evrene sal›n›m›na nedenolur ve Dünya’da bugün var olan yaflam›n kayna¤›d›r.

fiiddetli çekirdek(nükleer) kuvvetleri di¤er bütün kuvvetlerden fliddetliolup atom çekirde¤ini oluflturan parçac›klar aras›nda görülür. Bu kuvvetler, protongibi atom çekirde¤ini oluflturan parçac›klar› bir arada tutmaktan sorumludur. Ge-nelde çekici karakterde olup baz› durumlarda itici özellik de gösterirler. Çekirdekiçindeki nükleer kuvvetler, elektromanyetik kuvvetten 100 kat daha fliddetlidir. Çe-kirdek kuvvetleri, atom çekirde¤inin boyutunda (≈10−15 m) etkili olup bunun üs-tündeki mesafelerdeki etkisi tamamen ihmal edilebilir.

Do¤as› itibariyle farkl› olan bu kuvvetleri birlefltirmek bütün fizikçilerin hayali-dir. Antik ça¤lardan beri bilinen kütle çekim kuvvetinin temel prensiplerini ortaya

koymak flüphesiz ki Newton’un en büyük baflar›lar›ndan biridir. Fizik bilimine kat-k›lar›ndan dolay› 20. yüzy›la damgas›na vuran bir bilim adam› olan Albert Einste-

553. Ünite - Hareketin Dinamik ‹ncelenmesi

Do¤adaki temel kuvvetler;kütle çekim kuvveti, elektro-zay›f kuvvetler ve güçlüçekirdek kuvvetleridir.



in, kütle çekim kuvvetini di¤er temel kuvvetlerle birlefltirmek istemiflse de baflar›l›olamam›flt›r. Öte yandan 1980’li y›llar›n ortalar›nda yap›lan deneysel çal›flmalar so-nucu birbirlerinden ba¤›ms›z gibi görünen elektromanyetik kuvvetler ile zay›f çe-

kirdek kuvvetlerinin kayna¤›n›n asl›nda ayn› oldu¤u ispatlanm›flt›r. Bugün art›k buiki kuvvet çifti elektro-zay›f kuvvet olarak adland›r›lmaktad›r. Bilim adamlar›n›n di-¤er temel kuvvetleri birlefltirme çabalar› ise henüz bir sonuca ulaflmam›flt›r.

Bir pusula i¤nesini kuzey-güney do¤rultuda tutan kuvvetin kayna¤› temel kuvvetlerdenhangisidir ?

NEWTON’UN B‹R‹NC‹ YASASI Antik ça¤lardan itibaren baflta gökcisimleri olmak üzere genel anlamda cisimlerinhareketi ve hareketin do¤as› insano¤lunun inceleme konusu olmufltur. 16. yüzy›lakadar cisimleri hareket halinde tutabilmek için mutlaka bir kuvvetin uygulanmas›

gerekti¤i düflünülüyordu. Bu kuram›n yanl›fll›¤›n› ilk fark eden Galileo (1564-1642)olmufltur. Örne¤in, buz tutmufl göl yüzeyi gibi pürüzsüz bir zeminde duran bir tafl›kuvvetlice itti¤imizi düflünelim. Bu durumda tafl›n, üzerine etki eden itme kuvvetiortadan kalkt›¤› halde neredeyse h›z›nda hiç bir de¤ifliklik olmadan uzun mesafelerboyunca kayd›¤›n› gözlemleriz. Benzer gözlemlerden yola ç›kan Galileo, sürtünme-siz yüzeylerde hareket eden cisimlerin hiç durmadan yollar›na devam etmesi gerek-ti¤ini ileri sürmüfltür. Ayr›ca Galileo, cisimlerin hareket halinde iken durmaya veyah›zlanmaya karfl› direnç gösterme e¤iliminde oldu¤unu da savunmufltur.

Galileo taraf›ndan gelifltirilen bu yaklafl›m daha sonra Newton taraf›ndan genel-lefltirilerek 1686 y›l›nda yay›nlanan Do¤a Bilimlerinin Matematik Prensipleri (Phi-losophia Naturalis Prencipia Mathematica) ya da k›sa ad›yla Principia adl› makale-

sinde birinci hareket yasas› olarak ifade edilmifltir. Bu yasaya göre; bir cisme d›- flar›dan bir kuvvet etki etmedikçe, cisim duruyorsa durgun kalmaya devam eder,

hareketli ise sabit bir h›zla do¤rusal hareketini sürdürür.

Newton’un birinci yasas›na göre bir cismin hareketsiz olmas› ile sabit bir h›zlahareket etmesi aras›nda fiziksel olarak hiç bir fark yoktur. Benzer flekilde cisme et-ki eden bir kuvvetin bulunmay›fl› ile ayn› cisme bileflkesi s›f›r olan kuvvetlerin et-ki etmesi durumu aras›nda da bir farktan söz edilemez. Buna göre birinci yasay›,bir cisim üzerine etki eden net(bileflke) kuvvet s›f›r ise cisim duruyorsa durgun kal-

maya devam eder, hareketli ise h›z›n›n büyüklü¤ünü ve yönünü de¤ifltirmeden

hareketini sürdürür, biçiminde de ifade etmek mümkündür.Bu yasa günlük gözlemlerimizle çeliflmez. Örne¤in; hareket halindeki bir oto-

mobilin motoru taraf›ndan sa¤lanan itme kuvveti, tekerlekler ve yol aras›ndaki sür-tünme kuvveti taraf›ndan etkisiz hale getiriliyorsa otomobil üzerindeki net kuvvets›f›rd›r. Dolay›s› ile otomobil sabit bir h›zla yoluna devam edecektir. Öte yandane¤er otomobil sürücüsü aya¤›n› gazdan çekerse bu durumda motor taraf›ndan sa¤-lanan itme kuvveti ortadan kalkar, fakat sürtünme kuvveti etki etmeye devameder. Otomobil üzerindeki net kuvvet art›k s›f›r de¤ildir ve otomobil yavafllayarakbelirli bir süre sonra durur.

Newton’un birinci yasas› ayn› zamanda eylemsizlik yasas› olarak da adland›r›-l›r. Eylemsizlik, tan›m itibariyle bir de¤iflikli¤e karfl› direnç göstermedir. Bu yasa-da bahsedilen eylemsizlik davran›fl› ile hareket halindeki bir cismin yavafllamaya

veya h›zlanmaya, durgun haldeki bir cismin ise harekete geçmeye karfl› direnme

e¤ilimi vurgulan›r. Örne¤in; ayn› malzemeden yap›lm›fl ve ayn› s›rt desen yap›s›nasahip bir otomobil lasti¤i ile bir kamyon lasti¤ini ele alal›m. Her iki lasti¤i pürüzlü


SIRA S‹ZDE 1

Bir cisme etki eden bileflkekuvvet s›f›r ise, cisim yadurgun kal›r ya da sabit birh›zla hareketini sürdürür.

Eylemsizlik, bir de¤iflikli¤ekarfl› direnç göstermedir.



bir yüzeyde yuvarlamak isterseniz, kamyon lasti¤ini yuvarlamak için daha fazlagayret göstermeniz gerekir. Fakat lastikler herhangi bir yöntemle harekete geçiri-lirse, bu kez de kamyon lasti¤ini durdurmak otomobil lasti¤ini durdurmaktan da-

ha zordur. Bu deneyimden yola ç›k›larak, kamyon lasti¤inin otomobil lasti¤ine gö-re daha fazla eylemsizli¤e sahip oldu¤u söylenebilir.

Bir buluttan b›rak›lan ya¤mur damlas›n›n h›z›n›n serbest düflme hareketi nedeniyle gittik-çe artmas› beklenirken damla neredeyse sabit bir h›zla yere düfler. Niçin?

NEWTON’UN ‹K‹NC‹ YASASINewton yasalar› belki de fizi¤in en temel ve en önemli yasalar›ndan biridir. Birin-ci yasa, üzerine etki eden kuvvetlerin bileflkesi s›f›r oldu¤unda bir cismin davran›-fl›n› aç›klar. Bu yasaya göre cisim içinde bulundu¤u durumu sürdürme e¤iliminde-dir. Newton’ un ikinci yasas› ise s›f›rdan farkl› bir bileflke kuvvetin cisme etki et-

mesi durumunda cismin davran›fl›n›n nas›l olaca¤›n› tan›mlar. ‹kinci yasa, cisimüzerine etki eden net kuvvet hangi yönde ise cismin o yönde bir ivme kazanaca-¤›n› ifade eder.

Yüzeyi buz tutmufl göl üzerinde itilen bir k›za¤›n tam olmasa bile yaklafl›k ola-rak sürtünmesiz bir ortamda hareket etti¤i düflünülebilir. E¤er k›za¤a yatay bir Fkuvveti uygulan›rsa k›zak h›zlanacak, di¤er bir ifadeyle ivmelenecektir. K›zak, bukez ilkinin iki kat› kuvvetle itilirse oluflan ivme de ilkinin iki kat› olacakt›r. Bu de-neyimi benzer flekilde çok say›da tekrarlamak mümkündür. Bu tür gözlemlerden

yola ç›karak bir cismin ivmesinin, üzerine etki eden kuvvetle do¤ru orant›l› oldu-¤u sonucuna kolayca ulafl›l›r.

Büyüklü¤ü sabit kalmak flart›yla ayn› kuvvetin farkl› kütleli cisimler üzerindeki

etkisi nas›ld›r? Yine günlük deneyimlerimizden yararlanarak cisimlerin kazanacakla-r› ivmenin kütleleriyle ters orant›l› oldu¤unu söyleyebiliriz. Cismin kütlesi ne kadarbüyükse, cisim sabit büyüklükteki bir kuvvetin etkisi alt›nda o kadar az ivme kaza-n›r. Yukar›da verilen örnekte k›za¤a uygulan itme kuvveti sabit kalmak üzere k›za-¤›n kütlesi ilkinin iki kat›na ç›kart›l›rsa, k›zak öncekinin yar›s› kadar bir ivmeyle ha-reket edecektir. Di¤er bir ifade ile kütle artt›¤› için cismi ivmelendirmek zorlaflm›flt›r.

Bir cisme etkiyen net kuvvet F ile cismin m kütlesi ve a ivmesi aras›ndaki de-¤iflim ba¤›nt›s› 1687 y›l›nda Newton taraf›ndan tan›mlanm›flt›r. Bugün Newton’ unikinci yasas› olarak bilinen bu yasaya göre bir cismin ivmesi, o cisme etki eden

net(bileflke) kuvvetle do¤ru orant›l›, kütlesi ile ters orant›l›d›r.

F=

m a(3.1)

ba¤›nt›s› ile verilir.Newton’ un birinci ve ikinci yasas› karfl›laflt›r›ld›¤›nda birinci yasan›n asl›nda

ikinci yasan›n özel bir hali oldu¤u düflünülebilir. E¤er (3.1) eflitli¤inde net kuvvetF s›f›r olursa ivme a da s›f›r olacakt›r. ‹vmenin s›f›r olmas› cismin h›z›nda bir de¤i-flimin olmad›¤› anlam›na gelir. Di¤er bir ifadeyle cisim ya sabit h›zla ilerlemektedir

ya da hareketsizdir. Bu sonuç birinci yasa ile tamamen uyumludur.Newton’un ikinci yasas› kuvvet birimi ile kütle ve ivme birimlerini birbirlerine

ba¤lar. SI birim sisteminde kuvvet birimi newton (N)’dur. Kütlenin birimi (kg), iv-menin birimi (m/s2) oldu¤una göre; 1 newton (N) , 1 kg kütleli cisme 1 m/s2 ‘lik iv-me kazand›ran kuvvetin büyüklü¤üdür, (1 N=1 kg .m/s2). E¤er CGS birim sistemi

kullan›lmak istenirse bu takdirde kuvvetin birimi olarak adland›r›l›r. 1 dyne, 1gram kütleli cisme 1 cm/s2 ‘lik ivme kazand›ran kuvvetin büyüklü¤üne eflittir.


SIRA S‹ZDE

2

Bir cismin ivmesi, o cismeetki eden net(bileflke)kuvvetle do¤ru orant›l›,kütlesi ile ters orant›l›d›r. Buifade matematiksel olarak,



3 kg kütleli bir cisme 6 m/s2 ‘lik ivme kazand›ran bir kuvvet, di¤er bir cisme uygulan-

d›¤›nda ise 9 m/s2‘lik ivme kazand›r›yor.

a) Di¤er cismin kütlesini bulunuz.b) Bu iki kütle birlefltirilirse ayn› kuvvet birleflik cisme ne büyüklükte ivme kazan-

d›racakt›r?

Çözüm:a) Newton’ un ikinci yasas›ndan m 1=3 kg’ l›k kütleye etki eden kuvvetin büyüklü¤ü,

F =m 1a 1=(3kg) (6m/s2)=18N

olmal›d›r. Bu kuvvet m 2 kütleli di¤er bir cisme uyguland›¤›nda 9 m/s2 ivme kazan-d›rd›¤›na göre,

bulunur.b) Ayn› de¤erdeki kuvvet, m 1 ve m 2 kütleli cisimlerinden oluflan birleflik cisme,

ivme kazand›racakt›r.

10 kgkütleli bir blok sürtünmesiz yatay bir düzlemde durmaktad›r. Blok, fiekil 3.1’

de görüldü¤ü gibi 50 N’luk bir kuvvetle itilirse,

a) Blo¤un ivmesini,

b) Blo¤un 4 s sonraki konumunu ve h›z›n› bulunuz.

Çözüm:

a) Blo¤un itilmesi veya çekilmesi ara-s›nda fiziksel aç›dan bir fark yoktur. New-ton’ un ikinci yasas›ndan,

bulunur.

b) Blok bafllang›çta hareketsiz oldu¤undan ilk h›z› s›f›rd›r, (v 0=0). Blo¤un 4 ssonraki konumu,

bulunur. 4 s sonraki h›z› ise,

x = v t + 1

2at 0

2= 0+

1

2(5 )(4 ) = 40

2m / s s m

2

a F

m= = =

50

105

N

kgm / s2

F = (m + m )a a = F

m + m1 21 2

⇒ = 18

2 + 3= 3,6

Nm / s

2

kg kg

m F

a 2

2

= = 18

9= 2N

m / s2

kg


Ö R N E K

Ö R N E K

fiekil 3.1

Sürtünmesiz düzlemde

hareket eden blok



v=v 0 +at = 0+(5m/s2) (4s)=20 m/s

olacakt›r.

m 1 =2 kg ve m 2 = 8 kg kütleli iki cisim fiekil 3.2’de görüldü¤ü gibi kütlesi ihmal edi-

lebilir bir makara üzerinden dolanan a¤›rl›ks›z bir ipin iki ucuna as›lm›flt›r.

a) Her iki kütlenin ivmesini,

b) ‹pteki gerilme kuvvetinin büyüklü¤ünü bulunuz.

Çözüm:a) Cisimlere etkiyen kuvvetler fiekil 3.3’te gösteril-

mifltir. m 2>m 1 oldu¤undan m 1 kütlesi bir a ivmesi ile yukar› do¤ru hareket ederken m 2 kütlesi de ayn› bü- yüklükteki z›t yönlü ivme ile afla¤› do¤ru hareket ede-

cektir. ‹p arac›l› ile kütleler birbirleri üzerine eflit ve z›t yönlü T gerilme kuvvetini uygularlar. Newton’un ikin-ci yasas› her iki kütle için ayr› ayr› yaz›l›rsa,

T-m 1g=m 1 a (m 1 kütlesi için hareket denklemi)

m 2 g-T=m 2 a (m 2 kütlesi için hareket denklemi)eflitlikleri elde edilir. Yukar›daki denklemler taraf-tarafa toplanarak buradan T gerilmesi elenirse, a iv-mesi için

ifadesine ulafl›l›r. Veriler denklemde yerine konularak iv-menin de¤eri,

bulunur.b) Hareket denklemlerinin herhangi birinde a ivmesi

için bulunan ifade yerine konulursa ipteki T gerilme kuvvetinin büyüklü¤ü için,

ba¤›nt›s›na ulafl›l›r. Buradan gerilme kuvvetinin büyüklü¤ü,

bulunur.

T = 2 (2 )(8 )

(2 ) + (8 )(9,8 ) = 31, 4

kg kg

kg kgm / s N

2

T =2m m

m + m g 1 2

1 2

a = (8 ) - (2 )

(2 ) + (8 )(9,8 ) = 5,9

kg kg

kg kgm / s m / s

2 2

a =

m - m

m + m g

2 1

1 2


Ö R N E K

fiekil 3.2

m1=2kg

m2

=8

kg

Kütle-makara sistemi

fiekil 3.3

a

a

T T Kütle- makara sistemi



KÜTLE VE A⁄IRLIK Günlük yaflant›m›zdaki gözlemlerimize dayanarak ayn› kuvvetin etkisi alt›ndakiküçük kütleli bir cismin daha büyük kütleli bir cisme göre daha çabuk h›zland›¤›-

n› sezgisel olarak tahmin edebiliriz. Ayn› kuvvet uyguland›¤› takdirde bir tenis to-pu bir futbol topundan daha h›zl› hareket edecektir. Bu durumun tersi de do¤ru-dur. Örne¤in, al›flverifllerinizde kulland›¤›n›z market arabas›n› dolu iken hareketegeçirmek, bofl iken harekete geçirmekten daha zordur. Di¤er taraftan, e¤er marketarabas› dolu iken bir nedenle harekete geçerse bu kez arabay› durdurmak için boflhaline göre daha fazla kuvvet uygulamak gerekir.

Verilen örneklerdeki cisimlerin davran›fl› bize tan›m› daha önce verilen eylem-sizlik prensibini hat›rlat›r. Eylemsizlik, bir cismin hareketsiz ise hareketsizlik duru-munu sürdürmeye, hareketli ise de sahip oldu¤u h›z› korumaya yönelik bir davra-n›fl›d›r. Kütle büyüdükçe cisimlerin eylemsizli¤i de ayn› oranda artar. Bu nedenlekütle, cismin do¤as›nda var olan ve eylemsizli¤i ölçmek için kullan›lan fiziksel bir

niceliktir. Bir cismin kütlesi ne kadar büyük ise o kadar az ivme kazanacakt›r. Birfutbol topunun kütlesi bir tenis topunun kütlesinden daha büyüktür. Dolay›s› ileeylemsizli¤i daha fazlad›r. Bu nedenle ayn› kuvvetin etkisindeki futbol topu bir te-nis topuna göre daha az ivmelenir.

Kütle ve a¤›rl›k, en çok kar›flt›r›lan kavramlar›n bafl›nda yer al›r. Bu nedenlekütle ve a¤›rl›k aras›ndaki fark› anlamak çok önemlidir. Kütle, bir cismin içerdi¤i

madde miktar› olarak da tan›mlan›r. Cismi oluflturan proton, nötron ve elektron gi-bi parçac›klar›n miktar›na ba¤l›d›r. Kütle büyüdükçe bu parçac›klar›n miktar› daartar. Skaler bir nicelik olan kütlenin SI birimi kilogram (kg)’d›r. A¤›rl›k ise cismeuygulanan kütle çekimi kuvvetidir. Bu nedenle di¤er bütün kuvvetler gibi vektö-rel bir niceliktir ve newton (N) birimi ile ölçülür. Genelde bir cismin a¤›rl›¤›n› gös-

termek için W sembolü tercih edilir. Kütlesi m olan bir cisim serbest düflmeye b›-rak›l›rsa üzerine yerçekimi kuvveti etki eder. Di¤er bir deyiflle W a¤›rl›¤› nedeniy-le düflmeye bafllar. Cisim bu kuvvetin etkisi alt›nda g yerçekimi ivmesi kazan›r.Newton’ un ikinci yasas›na iliflkin F=m a ifadesinde F yerine , W, a yerine g yaz›-l›rsa a¤›rl›k için,

W =m g (3.2)

eflitli¤i elde edilir. Di¤er bir ifadeyle bir cismin a¤›rl›¤›n› belirlemek için cismin küt-lesi ile yerçekimi ivmesi g’ yi çarpmak gerekir. Örne¤in, 30 kg kütleye sahip bir bi-sikletin a¤›rl›¤›,

W=m g = (30kg) (9,8 m/s2)=294 N

olacakt›r. Yukar›daki eflitlikten anlafl›laca¤› üzere cismin kütlesi artt›kça a¤›rl›¤› daartar.

Kütle, ayn› zamanda cismin çevresinden ba¤›ms›z ve de¤iflmeyen bir özelli¤i-dir. Bir cismin kütlesi ister Dünya’ da, isterse de Ay’ da ölçülsün ayn› de¤ere sa-hiptir. Kütleleri say›sal olarak toplamak veya birbirinden ç›karmak mümkündür.Fakat kütle asla negatif de¤er alamaz.

Kütlenin aksine bir cismin a¤›rl›¤› bulundu¤u yere göre de¤iflir. A¤›rl›k, Dün- ya’n›n merkezinden uzaklaflt›kça azal›r. Bunun nedeni kütle çekimi kuvvetinin me-safe artt›kça zay›flamas›d›r. Bu nedenle bir cismin deniz kenar›ndaki a¤›rl›¤›, bir

da¤›n tepesindeki a¤›rl›¤›ndan daha fazlad›r. Örne¤in Ay’da cisimler ile Ay aras›n-daki kütle çekimi kuvveti Dünya’ dakine göre daha zay›ft›r. Bu nedenle bir astro-


Kütle, cismin do¤as›nda var

olan ve eylemsizli¤i ölçmekiçin kullan›lan fiziksel birniceliktir.

Kütle cismin içerdi¤i maddemiktar›, a¤›rl›k ise cismeetkiyen kütle çekimikuvvetidir.



notun Ay’daki a¤›rl›¤› Dünya’daki a¤›rl›¤›n›n alt›da biridir. Bunun yan›nda kütleçekimi etkisinin ihmal edildi¤i bir uzay arac›nda astronotun a¤›rl›¤› s›f›r olacakt›r.

Bir astronot, Dünya yörüngesindeki Hubble uzay teleskobunu tamir etmek istemektir. As- tronot tamir esnas›nda parçalar› yerine monte ederken hangi parçan›n küçük ya da büyük kütleli oldu¤unu anlayabilir mi?

Kütlesi 2 ton olan bir uzay arac› Mars’a gitmek üzere Dünya’y› terk ediyor. Uzay arac›n›n,

a) Dünya’daki (g d =9,8 m/s2 ),

b) Mars’daki (g m =3,8 m/s2 ),

c) Gezegenler aras› kütle çekimsiz ortamdaki a¤›rl›¤› nedir?

d) Her bir durumda uzay arac›n›n kütlesi nedir?

Çözüm:a) Uzay arac›n›n kütlesi, problemin çözümünde kullan›lacak birimlerin birbirleriy-

le uyuflmas› aç›s›ndan kg cinsinden ifade edilmelidir. Buna göre uzay arac›n›n kütle-si m =2 ton=2000 kg’d›r. Uzay arac›n›n Dünya’daki a¤›rl›¤› eflitlik (3.2) gere¤ince,

W Dünya = mg d = (200 kg) (9,8 m/s2)=19600 N

bulunur.b) Uzay arac›n›n Mars’daki a¤›rl›¤› ise,

W Mars = mg m = (2000 kg) (3,8 m/s2)=7600 N

olacakt›r.c) Uzay arac› Dünya’dan Mars’a olan yolculu¤u s›ras›nda kütle çekimsiz bölge-

de hareket etmekte, herhangi bir kütle çekimi kuvveti etkisinde kalmamaktad›r.Dolays›yla gezegenler aras› bu bölgede uzay arac›n›n a¤›rl›¤›ndan bahsedilemez,

W Uzay = 0.

d) Kütle, bir cismin çevresinden ba¤›ms›z ve de¤iflmeyen bir özelli¤idir. Uzay arac›n›n kütlesi ister Dünya’ da, ister bofl uzayda, isterse de Mars’ da ölçülsün ay-n› de¤ere sahiptir.

m = m Dünya = m uzay = m mars = 2 ton=2000 kg

KÜTLEN‹N ÖLÇÜMÜ

Bir cismin kütlesi iki farkl› yöntemle ölçülebilir. Cismin kütlesi, kütleyi ölçmek içinkullan›lan yöntemlerden ba¤›ms›zd›r. Newton’un ikinci yasas›n› ifade eden F=m a ba¤›nt›s›ndan yararlan›larak hesaplanan kütleye eylemsizlik kütlesi ad› verilir.Bu amaçla cisim üzerine büyüklü¤ü bilinen bir kuvveti etki ettirilerek cismin kuv-

vet yönünde kazanaca¤› ivme ölçülür. Daha sonra bu de¤erler eflitli¤inde yerinekonularak kütlenin de¤eri elde edilir.

Kütleyi ölçmek için izlenecek en basit ve en yayg›n olan yol, eflit kollu terazikullanmakt›r. Bu amaçla terazinin kefelerinden birine de¤eri bilinmeyen kütle di-¤erine de de¤eri bilinen kütleler konulur. Terazi dengeye gelinceye kadar bilinenkütleler eklenir veya ç›kar›l›r. Denge durumunda her iki kefeye etkiyen yerçekimikuvveti ayn› olur. Bu durumda her iki kefedeki kütlelerin de¤eri de ayn› olacakt›r.

Farkl› konumlarda yerçekimi kuvvetinin fliddeti de¤iflse bile kütleler için ayn› de-¤erler elde edilir. Bu yöntemle ölçülen kütleye çekim kütlesi denir. Bahsedilen


SIRA S‹ZDE

3

Ö R N E K



iki yöntemden hangisi kullan›l›rsa kullan›ls›n bulunulan yerde eylemsizlik kütlesiile çekim kütlesi ayn› say›sal sonucu verecektir.

NEWTON’UN ÜÇÜNCÜ YASASINewton’ un birinci ve ikinci yasalar› herhangi bir kuvvetin etkisi alt›ndaki cisimle-rin nas›l davranaca¤›n› aç›klar. Üçüncü yasa ise cisimlerin karfl›l›kl› etkileflmelerinianlat›r. Etki-tepki yasas› da denilen bu yasaya göre; bir A cismi bir B cismine kuv-

vet uygularsa(etki kuvveti) FAB, B cismi de Acismine eflit büyüklükte ama z›t yönde bir kuv-

vet(tepki kuvveti) FBA uygular. Bu ifade mate-matiksel olarak,

FAB = -FBA (3.3)

fleklinde verilir.Bu yasay› daha iyi anlamak amac›yla bir aniçin fiekil 3.5’te görüldü¤ü gibi ellerinizle birduvar› itti¤inizi düflününüz. Bu durumda sizin

taraf›n›zdan duvara bir F kuvveti(etki kuvveti)uygulanmaktad›r. Newton’ un üçüncü yasas›, duvar›n dasize efl büyüklükte ve z›t yönde bir kuvvet(tepki kuvveti)uygulayaca¤›n› söyler.

Newton’ un üçüncü yasas› her kuvvetin mutlaka birtepki kuvvetinin var oldu¤unu ifade eder. Di¤er bir de-

yiflle do¤ada kuvvetler çiftler halinde bulunur. Tek bafl›-

na bir kuvvet olamaz. Bu yasa uygulan›rken etki ve tepkikuvvetlerinin farkl› cisimler üzerine etki etti¤i unutulma-mal›d›r. Her ne kadar etki ve tepki kuvvetlerinin büyük-lükleri eflit olsa da etkileflen cisimlerin davran›fllar› kütle-lerinden dolay› farkl›l›k gösterebilir.

Dal›ndan koparak düflmekte olan 200 kütleli bir elma ile Dünya aras›ndaki etki-tepki kuv- vetlerini hesaplay›n›z.(Yerçekimi ivmesini kabul ediniz.)

Uzayda hareketsiz duran 80 kg ve 60 kg kütleli iki astronot birbirlerine uzun bir

halatla ba¤l›d›r. 80 kg kütleli astronot halat yard›m›yla di¤er astronotu 120 N’luk

bir kuvvetle çekerse astronotlar›n nas›l hareket edece¤ini aç›klay›n›z.

Çözüm:Newton’ un üçüncü yasas›na göre her astronot di¤erini 120 N ’luk bir kuvvetle

kendisine do¤ru çeker. m 1 = 80 kg kütleli astronotun kazanaca¤› ivme F = m 1a 1 ba-¤›nt›s›ndan,

,

bulunur. Benzer flekilde M 2 = 60 kg kütleli astronotun kazanaca¤› ivme F=m 2 a 2 eflit-

li¤inden,

a = F

m11

= 120

80=1,5

Nm / s

2

kg


fiekil 3.4

Etki-tepki kuvvetleri

F

F

fiekil 3.5

Etki-tepki kuvvetleri

SIRA S‹ZDE 4

Ö R N E K



elde edilir. Astronotlar birbirlerine 1,5 m/s2

ve 2m/s2

’lik ivmelerle yaklaflacaklard›r.

fiekil 3.6’da görüldü¤ü gibi m 1=4 k g ve m 2 =6 k g kütleli iki blok sürtünmesiz bir ma-

sa üzerinde birbirlerine temas edecek flekilde durmaktad›r. Yatay do¤rultuda 30

N’luk bir F kuvveti m 1 kütlesine uygulan›yor.

a) Sistemin ivmesini,

b) ‹ki blok aras›ndaki temas kuvvetini bu-

lunuz.

Çözüm:a) Her iki kütle temas halinde oldu¤u için

ayn› ivme ile kuvvetin uygulama yönünde(sa¤

tarafa do¤ru) hareket ederler. Herbir kütleyeetkiyen yatay kuvvetler fiekil 3.7’ de göste-rilmifltir. m 1 kütlesi, kendisine etkiyen F kuv-

veti nedeniyle m 2 kütlesine P kuvveti uygu-lar. Bu durumda m 2 kütlesi de Newton’unüçüncü yasas› gere¤ince m 1 kütlesine bü-

yüklü¤ü P kuvvetine eflit fakat z›t yönlü P'

tepki kuvveti uygulayacakt›r. m 1 ve m 2 kütleleri için ayr› ayr› Newton’un ikinci ya-sas› yaz›l›rsa,

m 1a=F- P ' (m

1kütlesi için hareket denklemi)

m 2a=P (m 2 kütlesi için hareket denklemi )

ifadelerine ulafl›l›r. P ' =P oldu¤una göre yukar›daki denklemlerin taraf-tarafa toplan-mas›yla,

eflitli¤i yaz›labilir. Buradan,

bulunur.b) Sistemin ivmesinin de¤eri hareket denklemlerinin herhangi birinde yerine

konulursa, temas kuvvetinin büyüklü¤ü,

elde edilir.

P = m a2 = (6 )(3 ) = 18kg m / s N2

a = 30

4 + 6= 3

Nm / s

2

kg kg

a = F

m + m1 2

a F

m22

= = 120

60= 2

Nm / s

2

kg


Ö R N E K

fiekil 3.6

F

m1

m2

Masa Üzerinde duran bloklar

fiekil 3.7

F P’ P

m1

m2

Bloklar ve kuvvet diyagram›



NORMAL KUVVET VE SÜRTÜNME KUVVET‹Bu ünitenin bafl›nda bahsedilen temas kuvvetleri ile günlük yaflant›m›z›n neredey-se her aflamas›nda karfl›lar›z. Bu tür kuvvetlerin en önemli özelli¤i, cisimlerin bir-

birleri içerisine girmesini önlemesidir Masa üzerin-de duran bir bir kitab› ele alal›m. Kitap a¤›rl›¤› ne-deniyle masa üzerine afla¤› yönlü bir kuvvet uy-gular. Masa da kitab› yukar› do¤ru eflit büyüklük-teki bir kuvvetle iter. Bu kuvvete normal kuvvet denir ve N sembolü ile gösterilir. Normal, yüzeyedik anlam›na gelir. Normal kuvvet, her zaman yü-zeye dik olup cismin yüzeye temas noktas›ndand›flar›ya do¤ru yönelmifltir. Bu kuvvet hiçbir za-man cismi çekmez, daima iter. Kitab›n masaya uy-gulad›¤› afla¤› yönlü W a¤›rl›k kuvveti, masan›n

yukar› yönlü N normal kuvveti nedeniyle dengelenmifltir. Dolay›s› ile kitap üzerin-deki net kuvvet s›f›rd›r ve kitap masay› delip geçemez.

Masa üzerindeki kitab› sa¤a do¤ru F kuvveti ileitip b›rak›rsak ne olur? E¤er masa yeterince uzun-sa kitab›n k›sa bir süre hareket edip tekrar durdu-¤unu gözlemleriz. Kitap niçin durmufltur? Kitab›nhareketini engelleyen sebep kitap ile masa aras›n-daki sürtünme kuvveti dir ve f ile gösterilir. Gün-lük yaflam›n ayr›lmaz bir parças› olan bu kuvvet,birbirine temas eden iki yüzey aras›ndaki etkile-flimden kaynaklan›r.

Sürtünme kuvveti, temas eden yüzeylerin ara-kesiti do¤rultusunda ve daima hareket yönüne ters

yöndedir. Büyüklü¤ü ise normal kuvvetin büyüklü¤üyle do¤ru orant›l›d›r. Bu ora-n› veren katsay› sürtünme katsay›s› ad›n› al›r ve genellikle µ ile gösterilir. Sürtün-me kuvveti, sürtünme katsay›s› ile normal kuvvetin çarp›m›na eflittir,

(3.4)

Büyüklü¤ü sürtünen yüzeylerin cinsine ba¤l› olan sürtünme katsay›s›n› deney-sel yolla ölçmek mümkündür. fiekil 3.9’ dan N=W=m g oldu¤u kolayca görülebilir.Dolay›s›yla kitap ve masadan oluflan bu sisteme etki eden sürtünme kuvveti için,

(3.5)

ifadesi yaz›labilir.

Sürtünme katsay›s›n›n birimi hakk›nda ne söyleyebilirsiniz?

Sürtünme kuvvetinin davran›fl› her ne kadar hareketi engelleyici tarzda olsa dabu kuvvet yürümemiz, koflmam›z, durmam›z veya otomobillerin bir yerden baflkabir yere ulaflabilmesi için gereklidir. Sürtünmenin az ya da çok olmas› amac›m›zagöre istedi¤imiz bir durumdur. Örne¤in, otomobilin motorunda sürtünmenin çokolmas› enerji kayb›na yol açt›¤› için istenmez. Di¤er taraftan ise otomobilin dahak›sa mesafede durmas› için tekerlekler ile yol aras›ndaki sürtünme kuvvetinin bü-

yük olmas› arzulan›r.

f = N = g µ µ m

f = N µ


fiekil 3.8

Masa üzerinde duran kitap

Normal kuvvet yüzeye dikolup ve yüzeyden d›flar›yado¤ru yönelmifltir.

fiekil 3.9


Sürtünme kuvveti, sürtünmekatsay›s› ile normal kuvvetinçarp›m›na eflittir.

SIRA S‹ZDE 4



fiimdi sürtünme kuvvetinin do¤as›n› daha yak›ndan inceleyelim. Düz bir zeminüzerinde duran sand›¤› itmeniz gerekti¤ini düflünelim. E¤er tüm gücünüzle itmeni-ze ra¤men uygulad›¤›n›z kuvvet yeterli büyüklükte de¤il ise sand›k harekete geç-

meyecektir. Bunun nedeni sand›k ile zemin aras›ndaki sürtünme kuvvetidir. San-d›¤›n hareketine engel olan bu kuvvet, statik sürtünme kuvveti olarak adland›-r›l›r ve f s gösterilir.

Statik sürtünme kuvveti sand›¤a uygulanan kuvveti dengelemektedir. Sand›k,üzerine etkiyen net kuvvet s›f›r oldu¤undan hareket etmez. Ancak yatay yönde uy-gulanan kuvvet artarsa di¤er bir deyiflle sizinle birlikte baflkalar› da sand›¤› iterse,sonunda sand›k harekete geçecektir. Sand›k tam harekete geçme s›n›r›nda ikenstatik sürtünme kuvveti en büyük de¤erine ulafl›r. Dolays›yla statik sürtünme kuv-

veti bir yüzeyin di¤er bir yüzey üzerinde kaymas›n› ancak bir s›n›r de¤ere kadarengelleyebilir,

(3.6)

Buradaki µs niceli¤ine statik sürtünme katsay›s› denir. Sand›k harekete geçtiktensonra sürtünme kuvveti, f s’nin maksimum de¤erinden daha düflük bir de¤ere iner.Sand›¤› itmek art›k daha kolayd›r. Ancak hala itme kuvvetine direnen bir sürtünmekuvveti vard›r. Bu sürtünme kuvvetine kinetik sürtünme kuvveti denir ve f k iletemsil edilir. Tahmin edebilece¤iniz gibi kinetik sürtünme katsay›s›n›n büyüklü¤ü,

(3.7)

eflitli¤i ile verilen bir de¤ere sahiptir. Buradaki µk niceli¤i kinetik sürtünme katsa-

y›s› olarak adland›r›l›r. Genellikle µkde¤eri µs’den daha küçüktür. Çizelge 3.1’ deçeflitli ortamlardaki sürtünme katsay›lar›n›n yaklafl›k de¤erleri verilmifltir.

E¤er itme kuvveti ile kinetik sürtünme kuvvetinin büyüklükleri eflit ise sand›ksabit h›zla hareketine devam edecektir. ‹tme kuvveti, kinetik sürtünme kuvvetin-den büyük ise sand›¤›n itilen yönde h›zlanaca¤› aç›kt›r. E¤er sand›¤› itmekten vaz-geçerseniz, bu kez sand›¤a etki eden sürtünme kuvveti yavafllat›c› bir etki gösterir

ve sand›k sonunda durur.

f N k k =µ

f ≤ N s µ s


OrtamStatik sürtünme katsay›s›

ƒs

Dinamik sürtünme katsay›s›

ƒk

Çelik üzerinde çelik 0,74 0,57Çelik üzerinde alüminyum 0,61 0,47

Çelik üzerinde bak›r 0,53 0,36

Kuru beton üzerinde lastik 1,0 0,8

Islak beton üzerinde lastik 0,30 0,25

Tahta üzerinde tahta 0,25-0,5 0,2

Cam üzerinde cam 0,9 0,4

Teflon üzerine teflon 0,04 0,04

Çelik üzerine teflon 0,04 0,04

Buz üzerine buz 0,1 0,03

Tablo 3.1Çeflitli ortamlardaki sürtünme katsay›lar›n›n

yaklafl›k de¤erleri



Genel bir yaklafl›mla sürtünme kuvvetinin sürtünen yüzeylerin alan›ndan ba-¤›ms›z oldu¤unu söylemek mümkündür. Örne¤in, bir masa üzerindeki tu¤lay›hangi yüzeyi üzerine yat›r›rsan›z yat›r›n, onu yine yaklafl›k olarak ayn› büyüklük-

teki bir kuvvetle itebilirsiniz. Ayr›ca sürtünme kuvvetinin büyüklü¤ü, sürtünen yü-zeylerin birbirlerine göre ölçülen göreceli h›z›ndan da neredeyse hiç etkilenmez.Di¤er bir deyiflle, tu¤lay› masa üzerinde h›zl› veya yavafl hareket ettirmenizin sür-tünme kuvvetinin büyüklü¤üne etkisi yok denecek kadar azd›r.

Sürtünme kuvvetinin büyüklü¤ü yüzeylerin cinsine(beton, cam, tahta, teflon,...),s›cakl›¤›na, kirlilik derecesine, cilal› veya pürüzlü olufluna göre de¤iflir. Bir tahtakafl›¤› teflon bir tava üzerinde hareket ettirmek, çelik bir tava üzerinde hareket et-tirmekten daha kolayd›r. Bir otomobil, nispeten daha pürüzsüz olan buzlu yoldakuru asfalt zemine göre daha fazla kayar. Bu nedenle k›fl›n otomobil tekerlekleri-ne sürtünmeyi art›rmak için zincir tak›l›r. Gösterilen tüm çabalara ra¤men sürtün-menin do¤as› halen tam olarak anlafl›lamam›flt›r.

K›fl›n, buzlu bir yolda ilerlemeye çal›flan bir otomobilin bagaj›na kaymas›n diye tafl, kum torbas› vb. konuldu¤unu gözlemleriz. Bu tür bir önlem gerçekten ifle yarayacak m›d›r?

Bir adam, düz bir zemindeki 30 k g kütleli bir sand›¤› yatayla 30 ° aç› yapan bir ip-

le çekmektedir. Sand›k ile zemin aras›ndaki kinetik sürtünme katsay›s› 0,63 olup,

sand›k sabit bir h›zla hareket etmektedir.

a) ‹pteki gerilme kuvvetinin büyüklü¤ünü bulunuz.

b) Sand›¤›n 2 m/s2’lik ivme ile hareket etmesi için ipe uygulanmas› gereken F kuv-

vetinin büyüklü¤ü ne olmal›d›r?

Çözüm:a) ‹pteki gerime kuvvetinin büyüklü¤ü, adam›n sand›¤› çekmek için uygulad›-

¤› F kuvvetinin büyüklü¤üne eflittir. Sand›k hareket halinde oldu¤u için ƒk=µkN ile verilen kinetik sürtünme kuvveti de etki edecektir.Sürtünme kuvvetinin yönü hareket yönüne terstir.Problemin çözümü için öncelikle F kuvveti yatay

ve düfley bileflenlerine ayr›l›r. Di¤er kuvvetler desand›k üzerinde gösterildikten sonra düfley ve ya-tay yönlü kuvvetler kendi aralar›nda toplanarakNewton’ un ikinci yasas› yaz›l›r.

Yatay yöndeki kuvvetler için,

F cos30°−ƒk=ma

ifadesi elde edilir. Öte yandan sand›k sabit h›zla hareket etti¤inden a ivmesi s›f›r-d›r. ƒk=µkN ba¤›nt›s› yerine konularak yukar›daki eflitlik,

F cos30°− µkN = 0

fleklinde yaz›l›r. Düfley yöndeki kuvvetler için ayn› ifllemler tekrar edilirse,

N+F sin30°-mg=0

ve


SIRA S‹ZDE 5

Ö R N E K

fiekil 3.10




N=mg-F sin 30°

elde edilir. Bu de¤er ikinci eflitlikte yerine konularak,

F cos30°-µk (mg -F sin30°)=0

ifadesi yaz›labilir. Buradan F çekilerek,

bulunur.b) Sand›¤›n 2 m/s2 ’lik bir ivme ile hareket etmesi durumunda hareket denklemleri,

,

,

olacakt›r. N =mg -F sin30° ifadesi ilk eflitlikte yerine yaz›l›rsa,

ve

bulunur.

500 g kütleli bir kitap e¤imli bir masa üzerine b›rak›lmaktad›r. Kitap ile masa ara-

s›nda,

a) Kinetik sürtünme katsay›s› 0,1 oldu¤unda,

b) Sürtünme olmad›¤›nda kitab›n ivmesini hesaplay›n›z.Çözüm:

a) Kitap ve masa aras›nda sürtünme olmas›durumunda kitap üzerine etki eden kuvvetlerfiekil 3.11’ de verilmifltir. Kitap masa yüzeyiboyunca hareket edecektir. Bu nedenle bu türe¤ik düzlem problemlerinde cisme etki edenkuvvetleri e¤ik düzleme paralel ve e¤ik düzle-me dik flekilde bileflenlere ay›rmak probleminçözümünü kolaylaflt›racakt›r.

Newton’ un ikinci yasas›ndan yararlanarake¤ik düzleme paralel kuvvetler için,

F a m

=( + )

cos30 + sin30=

[2 + 0,63(9,8 )]k

0k

0

µ

µ

g m / s m / s2 2 330

cos30 + 0,63sin30= 207,6

0 0

kgN

F cos - (mg - Fsin ) = mak

30 300 0µ

N + F mg sin30 - = 00

F cos f = F N mak 30 - cos 30 - =0 0k µ

F =cos30 + sin30

= 0, 63(30 )(9,8 )

cos30

k

0k

0 0

µ

µ

m m / s2g kg

++ 0,63sin30=156,8

0N


Ö R N E K

fiekil 3.11

E¤ik düzlemdehareket



mg sin 30°-ƒk=mg sin30°-µkN =ma

eflitli¤i yaz›labilir. Benzer flekilde e¤ik düzleme dik kuvvetleri için ise,

N -mg cos30°=0

ifadesi elde edilir. Buradan N normal kuvveti,

N =mg cos30°

olarak bulunur. Bu eflitlik ilk denklemde yerine konulursa,

mg sin30°-µk N=mg sin30°-µkmg cos30°=ma

ifadesi elde edilir. Buradan kitab›n ivmesi,

bulunur. Yukar›daki ifadeden görülece¤i gibi ivme kitab›n kütlesine ba¤l› de¤ildir.b) Masa ile kitap aras›nda sürtünmenin olmad›¤› durumda (ƒk= 0) hareket

denklemleri,

mg sin30°=ma

ve

N -mg cos30°= 0

biçimine dönüflür. Kitab›n kazanaca¤› ivmenin büyüklü¤ü birinci eflitlikten,

bulunur. Yukar›daki ifadeden, e¤er yerçekimi ivmesinin de¤eri sabit kabul edilir-

se ivmenin büyüklü¤ünün sadece e¤im aç›s›na (θ) ba¤l› oldu¤u söylenebilir.

DÜZGÜN DA‹RESEL HAREKET‹N D‹NAM‹⁄‹Dairesel hareketle do¤ada ve günlük yaflant›m›zda s›kl›kla karfl›-lar›z. Örne¤in Ay’ ›n Dünya çevresindeki hareketi veya difllilerin,makaralar›n, otomobil tekerleklerinin bir mil etraf›nda dönmesidairesel harekete örnek olarak verilebilir. Dairesel hareketi anla-mak için bir silgiyi ortas›ndan delip bir ipe ba¤lad›¤›m›z› varsa-

yal›m. E¤er ipi bafl›m›z›n üzerinde daireler çizecek flekilde dön-dürürsek ipin gerginleflti¤ini hissederiz. ‹pte oluflan bu gerilmekuvveti silginin elimizden kurtulup gitmesini önler. ‹pteki gerile-

me kuvveti silgiye yatay yönde etkiyen tek kuvvettir. Silgi sabitbir h›zla dönse dahi bu kuvvet nedeniyle yatay düzlemde bir iv-

a g = sin30 = (9,8 ) sin30 = 4,90

m / s m / s2 2

a g = (sin30 - cos30 ) = (9,8 )(sin30 - 0,1cos300k

0 0 0µ m / s

2 )) = 4,1m / s2


v

v

v

a

va

r

o

fiekil 3.12

Düzgün dairesel hareketin üstten görünüflü



me kazan›r. Bir cismin sabit bir h›zla dairesel bir yörüngedeki bu tür hareketinedüzgün dairesel hareket denir.

‹lk bak›flta dairesel yörüngede sabit h›zla hareket eden bir cismin ivme kazan-

mas›n›n Newton’ un hareket yasalar›na ters oldu¤u düflünülebilir. Oysaeflitli¤ine göre ivme h›z vektörünün zaman içindeki de¤iflimine ba¤l›d›r. Dairesel yörüngede hareket eden bir cismin h›z vektörü daima cismin yoluna te¤ettir. Do-lay›s› ile cismin h›z› sabit kalsa dahi h›z vektörünün yönü sürekli de¤iflir. Bu ne-denle cisim bir ivme kazan›r. Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin h›z› v , da-iresel hareketin yar›çap› r olursa cismin kazanaca¤› ivme,

(3.8)

ile verilir. Bu ivme dairenin merkezine yönelmifl olup merkezcil ivme olarak ad-land›r›l›r. E¤er cismin dairesel yörüngede bir tur atmas› için geçen zaman(periyod)

t p bilinirse merkezcil ivme kolayl›kla hesaplanabilir. Cisim, dairesel yörüngedekibir turluk hareketi s›ras›nda 2πr yolunu alacakt›r. Bu s›rada t p kadar zaman geçti-¤ine göre, cismin h›z›;

(3.9)

ba¤›nt›s›ndan yararlanarak elde edilir. H›z›n de¤eri daha sonra (3.8) eflitli¤inde ye-rine konularak merkezcil ivme kolayl›kla hesaplanabilir.

F=m a ile verilen Newton’ un ikinci yasas› gere¤ince, kütlesi m olan bir cismindüzgün dairesel hareket yapabilmesi için gerekli olan kuvvetin büyüklü¤ü,

(3.10)

olarak bulunur. Dairenin merkezine yönelen bu tür kuvvetlere merkezcil kuvvet denir. Merkezcil kuvvet, daha önce bahsedilen kuvvetlerden farkl› de¤ildir. Bura-da kullan›lan merkezcil ivme ve merkezcil kuvvet terimleri, dairesel hareket s›ra-s›nda bu vektörel niceliklerin daire merkezine yönelmifl oldu¤unu belirtmek içinkullan›l›r. Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin h›z› de¤iflmedi¤i için merkez-cil kuvvetin büyüklü¤ü de (3.10) eflitli¤i gere¤ince sabit kal›r. Dünya’ n›n çevresin-

de dönmekte olan bir uyduyu yörüngede tutan yerçekimi kuvveti, viraja giren birotomobilin savrulmas›n› önleyen sürtünme kuvveti merkezcil kuvvetlere örnekolarak verilebilir. Benzer flekilde bir ipin ucuna ba¤lanm›fl bir silginin döndürülme-si s›ras›nda da kastedilen merkezcil kuvvet, ipteki gerilme kuvvetidir.

Örnekteki silgiyi dairesel yörüngede tutan ip aniden koparsa silginin nas›l hareket edece-¤ini aç›klay›n›z.

2 m uzunlu¤undaki bir ipin ucuna ba¤lanm›fl 500 g kütleli bir tafl yatay bir düz-

lemde 10 m/s2 h›zla çevrilmektedir. Yerçekimi etkisini ihmal ederek,

a) Tafl›n merkezcil ivmesinin,

b) ‹pteki gerilme kuvvetinin de¤erini bulunuz.

F = mv

r

2

v = 2π r

t

a = v

r

2

a v

= /∆ ∆

t


Bir cismin sabit bir h›zladairesel bir yörüngedekihareketine düzgün daireselhareket denir.

SIRA S‹ZDE

6

Ö R N E K



Çözüm:a) Tafl›n merkezcil ivmesi (3.8) eflitli¤inden,

bulunur.b) Gerilme kuvvetinin büyüklü¤ü ise (3.10) eflitli¤i gere¤ince,

elde edilir.

Otomobil lastikleri üretilen bir fabrikada piyasaya sürülecek olan yeni seri lastikle-

rin performans› dairesel bir pist üzerinde sabit h›zla hareket eden bir otomobil kul-

lan›larak test edilmektedir. Otomobil 50 m yar›çapl› pistin çevresini 20 s ‘de dolafl-

t›¤›na göre,

a) Otomobilin h›z› nedir?

b) ‹vmesi ne kadard›r?

c) Yol ve tekerlekler aras›ndaki statik sürtünme katsay›s› nedir?

Çözüm:a) Dairesel pistte dönen otomobilin h›z›,

(3.9) eflitli¤i gere¤ince,

bulunur.b) Otomobilin merkezcil ivmesi (3.8) eflitli-

¤inden,

elde edilir.c) Otomobile etkiyen kuvvetler flekil 3.14’de gösteril-

mifltir. Araban›n dairesel yörüngede hareket etmesini sa¤-layan merkezcil kuvvet f s statik sürtünme kuvvetidir. Dü-fley yönlü kuvvetlerden,

N-mg = 0,

ve

N=mg

bulunur. Statik sürtünme kuvveti de (3.6) eflitli¤i gere¤ince,

f = N = mg s s sµ µ

a = v

r

2

= (15,7 )

50= 4,9

2m / s

mm / s

2

v = 2π r

t = =

p

2(3,14)(50 )

2015,7

m

sm / s

F = mv

r

2

= (0,5 )(50 ) = 25kg m / s N2

a = vr

2

= (10 )2

= 502

m / sm

m / s2


Ö R N E K

fiekil 3.13

Otomobilin hareketi

N

f s

W=mg

fiekil 3.14

Otomobile etkiyen kuvvetler



elde edilir. Benzer flekilde, yatay yöndeki f s statik sürtünme kuvveti merkezcil kuvvet oldu¤undan (3.10) eflitli¤i kullan›larak,

ifadesi yaz›labilir. Sürtünme kuvvetini ifade eden her iki eflitlik birlefltirilirse,

ba¤›nt›s›na ulafl›l›r. Buradan statik sürtünme katsay›s›n›n de¤eri,

bulunur.

GER‹ ÇA⁄RICI KUVVETCisimler her zaman sabit büyüklükteki kuvvetlerin etkisi alt›nda hareket etmezler.Bazen cisimler üzerine etki eden kuvvetin büyüklü¤ü de¤iflebilir. Bu tür bir fizik-sel sistem fiekil 3.15’ te gösterilmifltir. Buradasürtünmesiz yatay bir zemin üzerinde kayabi-len bir blok, bir ucu duvara sabitlenmifl sarmalbir yaya ba¤lanm›flt›r. Yay ilk durumda ne ge-rilmifl ne de s›k›flt›r›lm›flt›r. Yay ve bloktan olu-flan sistemin bu konumuna denge konumudenir.

Yay, denge konumundan itibaren uzunlu-¤u kadar gerilir veya s›k›flt›r›l›rsa blok üzerinebüyüklü¤ü,

F = -kx (3.11)

ile verilen bir kuvvet uygular. Eflitlikteki k niceli¤ine yay sabiti ya da kuvvet sa-

biti ad› verilir. Bu sabit yay›n sertli¤inin bir ölçüdür. Yay sertlefltikçe yay sabitininbüyüklü¤ü de artar. SI birim sisteminde yay sabitinin birimi newton(N)/metre(m)’

dir. Hooke yasas› olarak da bilinen (3.11) eflitli¤ine göre yay›n uygulad›¤› kuvvet,

yay›n s›k›flma veya gerilme miktar›yla do¤ru orant›l› olarak de¤iflir. Eflitlikteki eksi

iflareti yayda oluflan kuvvetin yay›n gerilme veya s›k›flma do¤rultusuna ters yönde

oldu¤unu gösterir. Örne¤in; fiekil 3.15’ teki blok sa¤a do¤ru çekilirse yay kuvveti

sola do¤ru, blok sola do¤ru çekilirse yay kuvveti bu kez sa¤a do¤ru olacakt›r. Di-

¤er bir ifadeyle yay kuvveti blo¤u daima denge konumuna geri götürmeye çal›fl›r.

Bu nedenle yay kuvvetine geri ça¤r›c› kuvvet de denir.

µ

ν

s

2

=rg =

(5,7 )

(50 )(9,8 ) = 0,07

2m / s

m m / s

µ s

2

mg = mv

r

f = m vr s2


fiekil 3.15

Geri ça¤r›c› kuvvet

Hook yasas›na göre yay›nuygulad›¤› kuvvet, yay›ns›k›flma veya gerilme miktar›ile orant›l›d›r.



2 k g kütleli bir blok, düfley olarak bir ucundan tavana sabitlenmifl bir yay›n di¤er

ucuna as›lm›flt›r. Yay bu durumda, denge konumuna göre 20 cm uzad›¤›na göre

yay›n kuvvet sabitini bulunuz.Çözüm: Yay›n uzama miktar› d ile gösterilsin. Sistem denge duru-

muna ulaflt›¤›nda yayda oluflan yukar› yönlü F=kd geri ça¤r›-c› kuvveti, cismin afla¤› yönlü W=mg a¤›rl›¤›na eflitlenir, F=W .Buradan,

kd =mg ve

bulunur.

k = mg

d =

(2 )(9,8 )

0,2= 98 /

kg m / s

mN m

2


Ö R N E K

fiekil 3.16

Yay›n denge durumu




Kuvvet kavram›n› ifade etmek.

Duran bir cismi harekete geçiren, hareket eden

bir cismi durduran veya yavafllatan, yönünü de-

¤ifltiren, cisimler üzerinde flekil de¤iflikli¤i yapa-

bilen etkiye kuvvet denir. Bir cisim üzerine etki

eden kuvvet onun nas›l hareket edece¤ini belir-

ler. Üzerine herhangi bir kuvvet etki etmeden

duran bir cisim kendi kendine harekete geçe-

mez. Di¤er taraftan hareket halindeki bir cisim

üzerine etki eden kuvvet ise onu h›zland›rabilir,

yavafllatabilir veya yönünü de¤ifltirebilir. Benzer

flekilde kuvvet, cisimleri bir eksen etraf›nda dön-dürebilir veya onlar›n geometrik yap›s›n› da de-

¤ifltirebilir. Kayna¤› ne olursa olsun kuvvet, hem

büyüklü¤ü hem de yönü ile belirlendi¤inden vek-

törel bir niceliktir. Bir cisme uygulanan net kuv-

vet(bileflke kuvvet), cisim üzerindeki ayr› ayr› it-

me ve çekme kuvvetlerinin vektörel toplam›n›

ifade eder.

Do¤adaki kuvvetleri s›n›fland›rmak.

‹ki cismin birbirine fiziksel olarak de¤mesi sonu-

cu ortaya ç›kan kuvvetlere temas kuvvetleri ad› verilir. Aralar›nda fiziki temas olmayan cisimler

aras›ndaki etkileflme kuvvetlerine alan kuvvetleri

denir. Günlük yaflant›m›z incelendi¤inde çok sa-

y›da kuvvetin varl›¤›ndan söz edilebiliriz. Her ne

kadar birbirinden çok farkl› gibi görünse de do-

¤ada kütle çekim kuvveti, elektro-zay›f kuvvetler

ve güçlü çekirdek kuvvetleri olmak üzere üç te-

mel kuvvet bulunur. Kütle çekim kuvveti, kütle-

ler aras›nda karfl›l›kl› olarak do¤an çekme kuvve-

tidir. Elektro-zay›f kuvvetler ise kayna¤› itibariyle

elektromanyetik kuvvetleri ve zay›f çekirdek kuv- vetlerini içerir. Elektromanyetik kuvvetler, dur-

gun veya yüklü parçac›klar aras›nda çekme veya

itme fleklinde ortaya ç›kan orta fliddetteki kuvvet-

lerdir. Zay›f çekirdek kuvvetleri ise k›sa mesafe-

lerde etkili olup radyoaktif çekirde¤in baflka bir

atomun çekirde¤ine dönüflme mekanizmas›ndan

sorumludur. fiiddetli çekirdek kuvvetleri bütün

kuvvetlerden güçlü olup atom çekirde¤ini olufltu-

ran parçac›klar aras›nda görülür.

Newton yasalar›n› aç›klamak.

Newton’ un birinci yasas›na göre bir cisim üzeri-

ne d›flar›dan bir kuvvet etki etmedikçe veya etki

eden kuvvetlerin bileflkesi(net kuvvet) s›f›r ise,

cisim duruyorsa durgun kalmaya devam eder,

hareketli ise sabit bir h›zla do¤rusal hareketini

sürdürür. Newton’ un ikinci yasas›; bir cismin iv-

mesinin o cisme etki eden net(bileflke) kuvvetle

do¤ru orant›l›, kütlesi ile ters orant›l› oldu¤unu

ifade eder. Bu yasa matematiksel olarak F=ma

eflitli¤i ile verilir. Etki-tepki yasas› da denilen

üçüncü yasaya göre; bir A cismi bir B cisminekuvvet uygularsa(etki kuvveti) , FAB B cismi de

A cismine eflit büyüklükte ama z›t yönde bir kuv-

vet(tepki kuvveti) FBA uygular. Bu ifade mate-

matiksel olarak, FBA = -FBA fleklinde verilir.

Kütle ve a¤›rl›k kavramlar›n› ay›rt etmek

Kütle, bir cismin içerdi¤i madde miktar› olarak

tan›mlan›r ve eylemsizli¤inin bir ölçüsüdür. Cis-

mi oluflturan proton, nötron ve elektronlar›n mik-

tar›na ba¤l›d›r. F=m a ba¤›nt›s›ndan yararlan›la-

rak hesaplanan kütleye eylemsizlik kütlesi, eflitkollu terazi ile ölçülen kütleye çekim kütlesi de-

nir. Skaler bir nicelik olan kütlenin SI birimi kg’

d›r. A¤›rl›k ise cisme uygulanan kütle çekimi kuv-

vetidir. Vektörel bir nicelik olan a¤›rl›k di¤er bü-

tün kuvvetler gibi newton(N) birimi ile ölçülür.

Kütle, cismin çevresinden ba¤›ms›z ve de¤iflme-

yen bir özelli¤idir. Bir cismin a¤›rl›¤› ise bulun-

du¤u yere göre de¤iflir.

Sürtünme kuvvetinin do¤as›n› aç›klamak

Sürtünme kuvveti, birbirine temas eden iki yü-zey aras›ndaki elektriksel etkileflimden kaynak-

lan›r. N, cismin temas etti¤i yüzeye iliflkin nor-

mal kuvvetin büyüklü¤ü olmak üzere sürtünme

kuvveti ƒ=µN eflitli¤i ile tan›mlan›r. Buradaki µ

niceli¤ine sürtünme katsay› ad› verilir. Sürtünme

kuvvetinin büyüklü¤ü sürtünen yüzeylerin ala-

n›ndan ba¤›ms›z olup, yüzeylerin cinsine(beton,

cam, tahta, teflon,...), s›cakl›¤›na, kirlilik derece-

sine, cilal› veya pürüzlü olufluna göre de¤iflir.

Özet

1

A M A Ç

2

A M A Ç

3

A M A Ç

4

A M A Ç

5

A M A Ç




Konuma göre de¤iflen kuvvetleri tan›mak.

Bir cismin sabit bir h›zla dairesel bir yörüngedeki

hareketine düzgün dairesel hareket denir. E¤er

cismin h›z› v, dairesel hareketin yar›çap› r olursacismin kazanaca¤› ivme a=v 2 /r olup merkezcil iv-

me olarak adland›r›l›r. Kütlesi m olan bir cismin

düzgün dairesel hareket yapabilmesi için gerekli

olan kuvvetin büyüklü¤ü F=mv 2 /r ile verilir.

Bir yay denge konumundan itibaren uzunlu¤u ka-

dar gerilir veya s›k›flt›r›l›rsa, yayda büyüklü¤ü F= -

kx ile verilen bir kuvvet oluflur. Burada k, yay sa-

biti ad› verilen bir nicelik olup yay›n sertli¤inin bir

ölçüdür. Hooke yasas› olarak bilinen bu eflitli¤e

göre yay›n uygulad›¤› kuvvet, yay›n s›k›flma veya

gerilme miktar›yla do¤ru orant›l› olarak de¤iflir.

6

A M A Ç




1. Afla¤›daki kuvvetlerden hangisi di¤erlerinden farkl›-

d›r?

a. Kütle çekimi kuvveti

b. Sürtünme kuvveti

c. Güçlü çekirdek kuvvetleri

d. Zay›f çekirdek kuvvetleri

e. Elektromanyetik kuvvetler

2. Kütlesi 75 kg olan bir paraflütçü uçaktan atlad›ktan he-

men sonra sabit büyüklükteki bir h›za ulafl›r. Bu durum-

da paraflütçüye etki eden kuvvetler için söylenen afla¤›-

daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r? (g=10 m/s2 al›n›z.)

a. Paraflütçüye etki eden kuvvetlerin toplam› s›f›rd›r.

b. Paraflütçünün a¤›rl›¤› 750 N’ dur.

c. Paraflütçüye etki eden sürtünme kuvvetinin bü-

yüklü¤ü 750 N’ dur.

d. Paraflütçü 10 m/s2 büyüklü¤ündeki bir ivme ile al-

çal›r.

e. Paraflütçünün ivmesi s›f›rd›r.

3. Sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerinde hareket ede-

bilen 3 kg kütleli bir blok a¤›rl›ks›z bir iple 2 kg kütleli

di¤er bir blo¤a fiekil 3.17’ de gösterildi¤i ba¤lanm›flt›r.

Sistem bu hali ile serbest b›rak›l›rsa 3kg

kütleli blo¤univmesi kaç olacakt›r? (g =10m/s2 al›n›z.)

a. 1

b. 2

c. 4

d. 5

e. 7

4. ‹pteki gerilme kuvveti kaç N’ dur ?

a. 4

b. 8

c. 10

d. 12

e. 20

5. Patenleriyle beraber toplam kütlesi 30 kg olan bir

çocuk e¤imli bir buz pistinde kaymaktad›r. E¤er paten-

lerle buz pisti aras›nda sürtünme olmad›¤›n› varsay›l›r-

sa, çocu¤un ivmesi kaç olacakt›r? (g =10 m/s2, sin30°

=0,5 ve cos30° =0,8 al›n›z.)

a. 2

b. 4

c. 5

d. 6

e. 8

6. 3 kg kütleli bir blok, sürtünmeli yatay düzlemde ha-

reket etmektedir. Blokla yatay düzlem aras›ndaki kine-

tik sürtünme katsay›n›n de¤eri 0,1 ise blo¤unun ivmesi-

nin büyüklü¤ü kaç m/s2’dir ? (g =10 m/s2 al›n›z.)

a. 1

b. 2

c. 4

d. 5

e. 6

7. Yatay düzlemde duran 3 kgkütleli bir cisim 12 N bü-

yüklü¤ünde bir kuvvetle itildi¤i zaman 2 m/s2’ lik bir iv-

me kazanmaktad›r. Cisimle zemin aras›ndaki sürtünmekuvveti kaç N ’dur?

a. 3

b. 4

c. 6

d. 8

e. 10

8. A¤açtan düflen 300 g kütleli bir elma ile Dünya ara-

s›ndaki etkileflim için afla¤›daki ifadelerden hangisi yan-

l›flt›r? (Yerçekimi ivmesini g =10 m/s2 ve Dünya’n›n küt-

lesini M=6.1024

kg al›n›z.)a. Elman›n a¤›rl›¤› 3 N’ dur.

b. Elma, Dünya’ ya N’ lik bir ivme ile yaklaflmaktad›r.

c. Dünya, elmay› 3 N’ luk bir kuvvetle kendisine

do¤ru çekmektedir.

d. Elma, Dünya’ y› 3 N’ luk bir kuvvetle kendisine

do¤ru çekmektedir.

e. Elma, Dünya’ ya herhangi bir kuvvet uygulamaz.


fiekil 3.17 Birbirine ba¤l› iki blok




9. Yay sabiti 240 N/m olan bir yay› 20 cm s›k›flt›rmak

için kaç N’ luk bir kuvvet uygulamak gerekir?a. 12

b. 48

c. 120

d. 480

e. 1200

10. 30 kg kütleli bir çocuk 2 m yar›çapl› atl›kar›ncan›n

d›fl taraf›nda ayakta durmaktad›r. Atl›kar›nca 0,4 m/s h›z-

la dönmekte ise çocu¤un hisseti kuvvetin büyüklü¤ü

kaç N’ dur?

a. 0,4b. 0,8

c. 1,2

d. 1,6

e. 2,4

Ay’la Aram›zda Mesafe Büyüyor

Giderek daha küçük görülecek olan Ay, bir gün bir y›l-d›z kadar, daha sonralar› ise hiç görülmeyecek. Bu sü-

reç yüzbinlerce y›l alsa da, bir gün Dünya’ n›n uydusu

olmaktan ç›kaca¤› art›k kesin

olarak biliniyor.

fiu s›ralar Dünya ile Ay ara-

s›ndaki mesafe 384 bin 403

kilometre. Ancak, 1969’ dan

beri yap›lan ölçünler, Ay’ ›n

her y›l 3.8 santimetre uzak-

laflt›¤›n› ortaya koyuyor.

Apollo misyonuyla Ay’a giden ve 21 Temmuz 1969’ da Ay’ ›n yüzeyine 100 aynadan oluflan bir panel b›rakan

ünlü astronotlar Buzz Aldrin ve Neil Armstrong, Ay’ la

Dünya aras›ndaki mesafenin kesin olarak ölçülmesini

sa¤lad›lar.

Teksas’ta bulunan McDonald Gözlemevi’nden, her gün,

ayn› saatte, dakikas›n› aksatmadan, Ay’›n yüzeyindeki

bu aynal› panele bir lazer ›fl›n› gönderiliyor. Panelin ay-

nalar› taraf›ndan yeniden Dünya’ ya yans›t›lan lazer ›fl›-

n›, gözlemevindeki teleskop ve hassas ölçüm aletleri ta-

raf›ndan yakalan›p, Dünya ile Ay aras›ndaki mesafe öl-

çülüyor. 40 y›ldan beri, her gün, ayn› saatte yap›lan öl-çüm, Ay’ ›n Dünya’ dan yavafl yavafl ama hiç durmadan

uzaklaflt›¤›n› ortaya koyuyor.

NASA, flimdi de New Mexico Çölü’nde yeni bir gözle-

mevi kurup, bu ölçümü daha da hassas biçimde yap-

mak için harekete geçti. Apache ad› verilen gözlemevi-

ne dev bir teleskop kuruldu. Ay’›n Dünya’dan uzaklafl-

ma h›z›, buradan da s›k› biçimde takip edilecek.

Kaynak: Hürriyet, 20 Mart 2009.


”

“




1.b Yan›t›n›z yanl›flsa “Kuvvet Kavram›” bafll›kl› ko-

nuyu yeniden gözden geçiriniz.

2.d Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un Birinci Yasas›”


3.c Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un ‹kinciYasas›”


4.d Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un ‹kinciYasas›”


5.c Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un ‹kinciYasas›”


6.a Yan›t›n›z yanl›flsa “Normal Kuvvet ve Sürtünme

Kuvveti” ile “Newton’ un ‹kinciYasas›” bafll›kl›

konular› yeniden gözden geçiriniz.

7.c Yan›t›n›z yanl›flsa “Normal Kuvvet ve Sürtünme

Kuvveti” ile “Newton’ un ‹kinciYasas›” bafll›kl›

konular› yeniden gözden geçiriniz.

8.e Yan›t›n›z yanl›flsa “Newton’ un ÜçüncüYasas›”


9.b Yan›t›n›z yanl›flsa “Geri Ça¤r›c› Kuvvet” bafll›kl›


10.e Yan›t›n›z yanl›flsa “Düzgün Dairesel Hareketin

Dinami¤i” bafll›kl› konuyu yeniden gözden ge-

çiriniz.


Pusula i¤nesi Dünya’ n›n manyetik alan›ndan etkilenir.

Dolay›s› ile pusu i¤nesini kuzey-güney do¤rultuda tu-

tan manyetik kuvvet, temel kuvvetlerden elektro-zay›f

kuvvetler içerisinde yer al›r.

S›ra Sizde 2

Ya¤mur damlas› yeryüzüne do¤ru düflerken a¤›rl›k kuvveti bir süre sonra sürtünme kuvveti taraf›ndan denge-

lenir. Üzerine etki eden net kuvvet bu andan itibaren

s›f›r oldu¤undan damla sabit h›zla yere düfler.

S›ra Sizde 3

Astronot, Dünya yörüngesindeki Huble uzay telesko-

bunu tamir ederken nerede ise yerçekimsiz bir ortamda

hareket eder. Bu nedenle monte etti¤i parçalar a¤›rl›k-

s›z olaca¤› için hangisinin küçük hangisinin büyük küt-

leli oldu¤unu anlayamaz.

S›ra Sizde 4

Sürtünme katsay›s›, iki kuvvetin birbirine oran› (sürtün-

me kuvvetinin normal kuvvete oran›) oldu¤u için bi-

rimsizdir.

S›ra Sizde 5

Otomobile kaymamas› için tafl, kum torbas› vb. ekle-

mek otomobilin a¤›rl›¤›n› artt›racakt›r. A¤›rl›k, yüzeyin

normal kuvveti taraf›ndan dengelendi¤inden bu durum

normal kuvvetin artmas› anlam›na gelir. Sonuç olarak

yol ile otomobil aras›ndaki sürtünme kuvveti de f =µN

ba¤›nt›s›na göre artar. Otomobil eskisine göre daha az

kayacakt›r.

S›ra Sizde 6

Silgiyi dairesel yörüngede tutan ip aniden koparda sil-

gi üzerine etki eden herhangi bir kuvvet kalmaz. New-

ton’ un birinci yasas›na göre silgi bu andan itibaren sa-

hip oldu¤u h›z› koruyarak yörüngeye te¤et olan bir

do¤ru boyunca hareket eder.

Yararlan›lan KaynaklarFishbane, P.M., Gasiorowicz, S. Thornton, S. T. Yalç›n,

C.(Çeviri Ed.) (2006). Temel Fizik 2, Ankara: Arka-

dafl Yay›nevi,

Gettys, W.E., Keller, F., J., Skove, M. J., Akyüz, R.Ö.(Çe-

viri Ed.) (1995). Fizik, 1.Cilt, ‹stanbul: Literatür Ya-

y›nc›l›k,

Halliday D., Resnick R. (1992). Fizi¤in Temelleri ,

1.Cilt: Mekanik ve Termodinamik, Ankara: Arka-

dafl Yay›nevi,

Nolan, P. J. (1993). Fundamentals of College Physics,

Melbourne: Wm. C. Brown Publishers,Orhun, Ö. ve di¤erleri, Orhun Ö. (Ed) (2007). Tekno-

lojinin Bilimsel ‹lkeleri, Ankara: Nobel Yay›n Da-

¤›t›m.

Serway, R.A., Beichner, R.J. Jevett, J., Çolako¤lu, K.(Çe-

viri Ed.) (2007). Fen ve Mühendislik için Fizik,

Ankara: Palme Yay›nc›l›k,

http://www.knowengg.com




Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Statik denge kavram›n› ifade edebilecek,Kuvvetin döndürme etkisini tart›flabilecek,Kat› cisimlerin denge koflullar›n› aç›klayabilecek,Kat› cisimlerin a¤›rl›k merkezlerini bulabilecek,Kütle merkezinin yerini belirlelebilecek bilgi ve becerileri edinmifl olacaks›n›z.

‹çindekiler

• Statik• Denge• Moment

• Kat› cisim• A¤›rl›k merkezi• Kütle merkezi

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z


‹lkeleri-IKat› CisimlerinStatik Dengesi

• G‹R‹fi

• KATI C‹S‹MLER‹N DENGEKOfiULLARI

• A⁄IRLIK MERKEZ‹

• KÜTLE MERKEZ‹




G‹R‹fiÜzerine kuvvet uygulanan cisimlerin ivmeli hareketi Newton yasalar›yla kolayl›k-la incelenebilir. Oysa denge durumu ad› verilen baz› özel koflullarda üzerlerinekuvvet etki etse dahi cisimlerin ivmelenmesi istenmez. Denge terimiyle, cisimlerin

ya durdu¤u ya da sabit h›zla hareket etti¤i vurgulan›r. Bu bölümde ise cisimlerintamamen durgun kald›¤› özel bir denge durumu incelenecektir.

Mühendislik-mimarl›k uygulamalar›ndan bir makine parças›n›n tasar›m›na va-r›ncaya kadar günlük yaflam›n hemen hemen her alan›nda dengenin temel pren-siplerinden yararlan›l›r. Binalar›n depremden dolay› zarar görmemesi, asma köp-rülerin trafik yükünden veya rüzgâr etkisinden çökmemesi, fren yapan bir otomo-bilin balatas›n›n görevini tam olarak yerine getirebilmesi için denge analizinin ya-p›lmas› gerekir. Noktasal bir parçac›¤›n dengede kalabilmesi için üzerine etkiyenkuvvetlerin vektörel toplam›n›n s›f›r olmas› yeterli iken, günlük yaflant›m›zda kar-fl›laflt›¤›m›z herhangi bir cismin denge halinden bahsedebilmek için bu kuvvetlerinolas› döndürme e¤ilimi de engellenmelidir. Bu nedenle infla edilecek yap›lara ve-

ya üretilen parçalara etki eden kuvvetler ve bu kuvvetlerin olas› döndürme etkile-ri proje aflamas›nda belirlenir. Olumsuz görülen etkenler gerek uygun malzeme se-çimi gerekse de tasar›m yoluyla giderilir.

KATI C‹S‹MLER‹N DENGE KOfiULLARIDaha önce Newton yasalar›ndan bahsederken bir cisme etki eden kuvvetlerin top-lam›n›n s›f›r olmas› halinde cismin ya hareketsiz kalaca¤›n› ya da sabit bir h›zla yo-

luna devam edece¤ini belirtmifltik. Duran veya sabit h›zla hareket eden bir cismindengede oldu¤u söylenir. Fakat baz› durumlarda cisimler üzerine etki eden netkuvvetin s›f›r olmas›, cisimlerin durgun kalmas› için yeterli olmayabilir. Örne¤in,serinlemek için kullan›lan tavana as›l› bir vantilatörün pervanesi tavana sabitlendi-¤i halde bir mil etraf›nda döner, yani hareketlidir.

Fizi¤in statik ad› verilen bölümü, örnekteki vantilatörün pervanesi gibi kat› cisim-lerin hareketsizlik koflullar›n› inceler. Kat› cisim, d›fl kuvvetlerin etkisi alt›nda flekilde¤ifltirmeyen cisim anlam›na gelir. Kurflunkalem silgisi, ekmek hamuru, plastik topgibi cisimler esnektir ve üzerlerine bir kuvvet uyguland›¤›nda flekil de¤ifltirirler. Bu türcisimler bizim tart›flma konumuz d›fl›ndad›r. Statik inceleme ile kuvvetlerin yan› s›rabu kuvvetlerin döndürme etkileri de araflt›r›l›r. Üzerine birçok kuvvet etki etmesine

ra¤men bir cisim hareketsiz kal›yorsa bu denge durumu statik denge olarak adlan-d›r›l›r. Statik dengedeki kat› bir cisim hareketsizdir, yani ne yer de¤ifltirir ne de döner.

Kat› CisimlerinStatik Dengesi

Statik dengedeki bir cisimhareketsizdir, yani ne yerde¤ifltirir ne de döner.



Dengenin Birinci KofluluKat› bir cismin denge durumunda olabilmesi için temel olarak herhangi bir ivme-

ye sahip olmamas› gerekir. Di¤er bir ifadeyle ivme s›f›rsa, cisim dengededir. ‹vme-

sinin s›f›r olmas› durumunda cismin h›z›nda bir de¤iflimin söz konusu olamayaca-¤› aç›kt›r. Cisim ya hareketsizdir, ya da sabit h›zla hareket etmektedir.

Statik dengenin analizi mühendislik uygulamalar› için büyük önem tafl›r. Bu ne-denle bir bina veya köprü yap›lmadan önce statik projeleri haz›rlan›r. Bu tür birstatik projede genel prensip yap›y› oluflturan her bir parçaya etki eden net(bilefl-ke) kuvvetin s›f›r olmas›d›r. Bu prensip dengenin birinci koflulu olarak adland›r›l›r

ve matematiksel olarak,

∑F = F1 + F2 + ... + Fn = 0 (4.1)

fleklinde ifade edilir. Eflitlikteki ∑ simgesi “sigma” olarak okunur ve kuvvetlerintoplanaca¤› anlam›nda kullan›l›r. Kuvvet vektörel bir nicelik oldu¤undan düfley ve

yatay yöndeki bileflenleri cinsinden de yaz›labilir. Bu durumda (4.1) eflitli¤i,

∑F x = F 1x + F 2x + ... + F nx = 0 (4.2)

ve

∑F y = F 1y + F 2y + ... + F ny = 0 (4.3)

biçimine dönüflür.Statik dengedeki cisimlerin en ba-

sit örneklerinden biri olarak fiekil4.1’de görülen masa üzerinde hare-

ketsiz duran bir kutu verilebilir. Kutuüzerine etki eden kuvvetler, afla¤› yönlü W yerçekimi kuvveti(a¤›rl›¤›)ile masan›n kutuya uygulad›¤› yukar›

yönlü N normal kuvvetidir. Kutu ma-sa üzerinde hareketsiz durdu¤una gö-re, kutunun ivmesi s›f›rd›r. Kutununivmesinin s›f›r olmas›n›n nedeni kutuüzerine etki eden W ve N kuvvetle-rinin birbirini dengelemesidir.

Bu durumu aç›klamak üzere, cisimlerin denge haline iliflkin birinci koflulu ta-

n›mlayan (4.1) eflitli¤i kullan›labilir. Kutuya etkiyen kuvvetlerin toplam› için,

∑F = N + W = 0 (4.4)

ifadesi yaz›labilir. E¤er yukar› yönlü kuvvetler pozitif iflaretli, afla¤› yönlü kuvvet-ler ise negatif iflaretli seçilirse,

N – W = 0 (4.5)

ve

N = W (4.6)

eflitli¤ine ulafl›l›r. Görüldü¤ü üzere masan›n kutuya uygulad›¤› yukar› yönlü Nkuvveti ile, kutunun afla¤› yönlü W a¤›rl›¤› birbirine eflittir.


Dengenin birinci koflulunagöre cisim üzerine etki edenbileflke kuvvet s›f›rolmal›d›r.

N

W=m g

fiekil 4.1

Masa üzerinde duran kutu



Denge durumunu baflka bir örnekleaç›klamak üzere fiekil 4.2’de görülen m

kütleli cismi ele alal›m. Cisim üzerine, F1,

F2, F3 ve ile gösterilen üç farkl› kuvvet et-ki etmektedir. Öte yandan bu üç kuvve-te ra¤men cisim hareketsiz kal›yorsa, iv-mesi s›f›rd›r (a = 0). Bu durumda cisimstatik dengededir. Dengenin birinci ko-fluluna göre cisim üzerine etkiyen d›flkuvvetlerin toplam› s›f›r olmal›d›r:

∑F = F1 + F2 + F3 = 0 (4.7)

Yukar›daki eflitli¤i, bu üç kuvvetin x

ve y ekseni yönündeki bileflenleri cin-

sinden;

∑F x = F 1x + F 2x – F 3x = 0 (4.8)

∑F y = F 1y + F 2y – F 3y = 0 (4.9)

biçiminde de ifade etmek mümkündür. Di¤er bir deyiflle, cismin dengede olabil-mesi için cisme etkiyen d›fl kuvvetlerin x ve y ekseni yönündeki bileflenlerinin top-lam›n›n da s›f›r olmas› gerekir.

Eflit bölmeli ve sürtünmesiz yatay düzlemde duran M cismine fiekil 4.3’deki gibi F1 ,F2 , F3 kuvvetleri etki etmektedir. M cisminin hareketsiz kalmas› için uygulanmas›

gereken F4 kuvvetinin yönü ve büyüklü¤ü ne olmal›d›r?

Çözüm:Eflitlik 4.7 ile ifade edilen dengenin

birinci kofluluna göre M cismi üzerine et-kiyen kuvvetlerin toplam› s›f›r olmal›d›r:

F1 + F2 + F3 + F4 = 0

F4 kuvvetinin büyüklü¤ü ve yönü bilin-medi¤ine göre bu kuvvetin yatay bilefleniF 4x , düfley bilefleni de F 4y ile gösterilsin.

M cisminin bulundu¤u konum sanal birkoordinat sisteminin merkezi olarak ka-bul edilerek, dengenin birinci koflulu dörtkuvvetin yatay (x ) ve düfley ( y ) yönünde-ki bileflenleri cinsinden yaz›l›rsa;

F 1x + F 2x + F 3x + F 4x = –3 – 5 + 5 + F 4x = 0,

F 1y + F 2y + F 3y + F 4y = 6 – 4 – 2 + F 4y = 0,

ve F 4x = 3 birim, F 4y = 0 bulunur. Di¤er bir ifadeyle, M cisminin hareketsiz kalma-s› için sa¤a do¤ru 3 birim büyüklü¤ünde bir F4 kuvveti uygulanmal›d›r.

814. Ünite - Kat› Cisimlerin Statik Dengesi

fiekil 4.2

y

F 1x

x F 3x

F 2y

-y

F 2

-x

F 3y F 3

m

F 1y

F 2x

F 1

Cisme etkiyen kuvvetler ve bileflenleri

fiekil 4.3

F1

M

F2

F3

M cismi ve kuvvetler

Ö R N E K



2 kg kütleli bir top fiekil 4.4’de görüldü¤ü gibi a¤›rl›ks›z bir iple tavana as›lm›flt›r.

Topa yatay yönde uygulanan F kuvveti nedeniyle ip düfleyle 30° aç› yapmaktad›r.

Sistem bu hali ile dengede oldu¤una göre ipteki gerilme kuvveti ile topa uygulan Fkuvvetinin de¤erini bulunuz.

Çözüm:‹pteki gerilme kuvveti yatay ve düfley bileflen-

lerine ayr›ld›ktan sonra dengenin birinci flart›ndan,

∑F x = F – T sin 30° = 0

veF – T sin 30° = 0

elde edilir. Benzer flekilde düfley bileflenler için,

∑F y = T cos 30° – W = 0

eflitli¤i yaz›l›rsa buradan,

bulunur. F kuvvetinin büyüklü¤ü ise,

F = T sin 30° = (22,8 N)(0,5) = 11,4 N

olmal›d›r.Buraya kadar verilen örneklerde noktasal bir parçac›k olarak kabul edilen bir

cismin dengede olabilmesi için cisim üzerine etkiyen kuvvetlerin vektörel toplam›-

n›n s›f›r olmas› gerekti¤i vurgulanm›flt›. Ancak, fiekil 4.5a’da görülen r yar›çapl› bir

disk gibi hacimli bir cismin farkl› noktalar›na vektörel toplamlar› s›f›r olan bir dizi

kuvvetin uygulanmas› durumunda dengenin sa¤lanabilmesi için bu koflul tek ba-

fl›na yeterli de¤ildir.

fiekil 4.5a incelendi¤inde disk üzerine etkiyen kuvvetlerin vektörel toplam›n›ngerçekten de s›f›r oldu¤u görülmektedir. Diskin yer de¤ifltirerek ivmelenmesi söz ko-nusu de¤ildir. Dolays›yla dengenin birinci koflulu sa¤lanm›flt›r. Öte yandan disk üze-


Ö R N E K

fiekil 4.4

Dengedeki topa uygulanan kuvvetler

T W mg

=cos30

=cos30

= ( )( )

=o o

2 9 8

0 8622 8

2kg m s

N,

,,

/

r

F

r r O

(a) (b)

O

FF

F

r

fiekil 4.5

Disk ve üzerine etkiyen kuvvetler



rine etkiyen kuvvetler onu saat yönünde dönmeye zorlamaktad›r. Disk, O ile göste-rilen geometrik merkezi etraf›nda ve saat ibreleri yönünde artan bir h›zla dönecektir.

Di¤er taraftan fiekil 4.5a’da görülen kuvvetlerin fiekil 4.5b’deki gibi diskin mer-

kezine uygulanmas› durumunda dengenin birinci koflulunun yine sa¤land›¤›na fa-kat bu kez diskin dönmeyece¤ine dikkat ediniz. Dolay›s›yla cisim üzerine etkiyenkuvvetin büyüklükleri yan›nda an›lan kuvvetlerin cisim üzerindeki uygulama nok-tas› da hareketin do¤as› aç›s›ndan çok önemlidir. Aç›kça bu tart›flma, statik dengekoflullar› incelenirken cisimler üzerine etkiyen kuvvetlerin büyüklükleri ve yönle-ri yan›nda döndürme etkilerinin de dikkate al›nmas› gerekti¤ini göstermektedir.

Kuvvetin Döndürme Etkisi: MomentBir itme veya çekme etkisi olarak tan›mlanan kuvvetin cisimlere bir ivme kazan-d›rd›¤›n› biliyoruz. Bu bölümde ise kuvvetin cisimler üzerindeki di¤er bir etkisiolan döndürme etkisinden söz edece¤iz. Kap› ve pencereleri aç›p kapat›rken,

muslu¤u, kap› anahtar›n› veya otomobilin direksiyonunu çevirirken, bir viday› tor-navida ile s›karken kuvvetin döndürme etkisinden faydalan›r›z. Kuvvetin bu dön-dürme etkisine moment ad› verilir.

fiekil 4.6’da görüldü¤ü gibi bir O noktas› etra-f›nda serbestçe dönebilen bir demir çubu¤u elealal›m. Demir çubuk bir ucundan sabitlendi¤iiçin di¤er ucuna uygulanan F kuvvetinin etkisiy-le dönecektir. Burada kuvvetin çubu¤a dik uy-gulanmad›¤›na dikkat ediniz. E¤er F kuvveti bi-leflenlerine ayr›l›rsa kuvvetin çubukla ayn› do¤-rultudaki Fp bilefleninin çubu¤u sadece sa¤a do¤-

ru hareket ettirmeye çal›flt›¤›n› görürüz. Kuvve-tin bu bilefleninin çubu¤un döndürülmesine biretkisi olmayacakt›r. Çubu¤u as›l döndüren, Fkuvvetinin çubu¤a dik bilefleni Fd’dir.

Genellikle M sembolü ile temsil edilen momentin büyüklü¤ü, kuvvetin çubu¤adik olan bilefleninin büyüklü¤ü (F

d ) ile kuvvetin uyguland›¤› noktan›n O dönme

noktas›na olan uzakl›¤›n›n (d ) çarp›m›na eflittir,

M = F d d . (4.10)

Öte yandan, F d= F sinθ oldu¤una göre yukar›daki eflitli¤i,

M = F d sinθ (4.11)

biçiminde de yazmak mümkündür. Vektörel bir nicelik olan momentin birimi N.m’dir. Eflitlik (4.11)’den anlafl›laca-

¤› üzere moment uygulanan kuvvete ba¤l›d›r. Büyük olan kuvvet daima küçükolandan daha etkili moment meydana getirir. Yine ayn› eflitlikten momentin kuvvet kolu da denilen d uzakl›¤›na da ba¤l› oldu¤unu görüyoruz. Di¤er bir deyifllekuvvetin uyguland›¤› nokta, O dönme noktas›na ne kadar uzaksa moment de okadar büyük olacakt›r.

Moment kavram›n› biraz daha ayr›nt›l› incelemek üzere evimizdeki herhangibir odan›n kap›s›n› ele alal›m. E¤er odaya girmek için kap›n›n açma koluna bir it-me kuvveti uygulan›rsa, kap›n›n menteflelerinin bulundu¤u bir kenar› etraf›ndadönerek aç›ld›¤› görülür. Kap›n›n menteflelerinden geçen düfley bir eksen etraf›n-


Kuvvetin döndürme etkisinemoment denir.

fiekil 4.6

Kuvvetin döndürme etkisi



da dönmesinin nedeni itme kuvvetinin (4.10) eflitli¤ine göre oluflturdu¤u moment-tir. Momentin büyüklü¤ü; kap›n›n aç›lma yönünde ve kap›ya dik olarak uygulananitme kuvvetinin de¤eri (F ) ile itme kuvvetinin uyguland›¤› noktan›n menflelerden

geçen dönme eksenine olan uzakl›¤›n›n (d ) çarp›m›na eflittir. Menteflelerden geçendönme eksenine yaklaflt›kça bafllang›çtaki ile ayn› büyüklükte bir moment eldeedebilmek için kap›ya dik olarak uygulanmas› gereken kuvvet de¤erleri fiekil4.7’de ayr›nt›l› olarak gösterilmifltir.

Kuvvetler cisimleri iki farkl› yönde döndürebilir. Keyfi olarak, e¤er kuvvet cis-

mi saat ibrelerinin tersi yönde çevirmeye çal›fl›yorsa momentin iflareti pozitif (+),saat ibreleri yönünde çevirmeye çal›fl›yorsa momentin iflareti negatif (-) al›n›r. Bircismin üzerindeki net (bileflke) moment elde edilirken pozitif ve negatif iflaretlimomentler cebirsel olarak toplan›r. Net moment pozitif iflaretli ise cisim saat ibre-lerinin tersi yönde, negatif iflaretli ise saat ibreleri yönünde dönecektir. Örne¤in,fiekil 4.6’da Fd kuvveti demir çubu¤u saat ibrelerinin tersi yönünde çevirmeye ça-l›flt›¤› için oluflan moment pozitif iflaretli al›n›r.

fiekil 4.8’de görülen anahtarla bir otomobil motoru üzerindeki c›vata s›k›lmak is-

tenmektedir. Otomobil firmas›n›n teknik katalo¤unda c›vatan›n maksimum 30

N.m de¤erindeki bir momentle güvenli bir flekilde s›k›labilece¤i belirtilmektedir. Mo-

tor ustas›n›n bu ifllem için kullanaca¤› anahtar› c›vatan›n merkezinden itibaren,

a. r 1 = 5 cm

b. r 2 = 10 cm

c. r 3 = 15 cm

uzakl›kta tutarak çevirmek istemesi

halinde anahtara dik olarak uygu-

layabilece¤i kuvvetin büyüklü¤ü en

fazla kaç N’dur?


Dönmeekseni

Dönmeyönü

F

8F

2F

F

d

d/2

d/4

fiekil 4.7

Ayn› büyüklükte bir moment elde edebilmek için kap›ya uygulanmas› gereken itme kuvvetlerinin dönme eksenine olan uzakl›kla de¤iflimi

Ö R N E K

F 1

F 2

F 3

r 1r 2

r 3

+

fiekil 4.8

Anahtar ve c›vata



Çözüm:Eflitlik 4.10’da verilen moment ifadesinden,

M = F 1r 1 = F 2 r 2 = F 3 r 3

denklemi kolayl›kla yaz›labilir. Buradan,a. r 1 = 5 cm = 0,05 m oldu¤una göre

,

b. r 2 = 10 cm = 0,1 m ise,

,

c. r 3 = 15 cm = 0,15 m verildi¤ine göre

bulunur. Görüldü¤ü gibi motor ustas›n›n fiekil 4.8’de görülen anahtar› kademeliolarak daha ucundan tutmak istemesi durumunda c›vatay› s›kmak için anahtarauygulayabilece¤i dik kuvvetin büyüklü¤ü, c›vata merkezinden geçen dönme ekse-ninden uzaklaflt›kça orant›sal olarak azalmaktad›r. Di¤er bir ifadeyle matematiksel

olarak,

i. r 1 → F 1,

ii. ,

iii. ,

ba¤›nt›lar› kolayl›kla yaz›labilir.

Bir çocuk 120 cm geniflli¤indeki bir kap›y› tam ortas›ndan 3 N’luk bir kuvvetle iti-

yor. ‹tme kuvveti kap›ya dik olarak uyguland›¤›na göre,a. Oluflan momentin de¤erini bulunuz.

b. Ayn› de¤erde bir moment elde edebilmek için çocuk kap›n›n ucunu kaç N’luk

bir kuvvetle itmelidir?

Çözüm:a. Çocuk kap›y› tam orta noktas›ndan itti¤ine göre d mesafesi 60 cm’dir. Eflitlik

4.10’dan,

M = F d d = (0,6 m)(3 N) = 1,8 N.m

bulunur.

r r F F

3 1 313

3= → =

r r F F

2 1 212

2= → =


F M

r 11

30

0 05600= = =

N.m

mN

,

F M

r 2

2

30

0 1300= = =

N.m

mN

,

F M

r 33

30

0 15200= = =

N.m

mN

,

Ö R N E K



b. Ayn› de¤erde bir moment elde edebilmek için çocuk kap›n›n ucunu,

büyüklü¤ündeki bir kuvvetle itmelidir. Dikkat edilirse kap›ya uygulanan kuvvet il-kinin yar›s›d›r.

A¤›rl›k kald›rmak suretiyle vücut gelifltirme sporu yapan bir kifli, elindeki a¤›rl›klar› vü-

cuduna yak›n tutarak m› yoksa uzak tutarak m› daha rahat kald›r›r? Neden?

Dengenin ‹kinci KofluluFiziksel problemler çözülürken ço¤u zaman cisimler noktasal bir parçac›k olarak

kabul edilir. Böyle bir durumda statik dengenin sa¤lanmas› aç›s›ndan sadece

parçac›k üzerine etkiyen net kuvvetin s›f›r olmas› yeterlidir. Dolay›s› ile cisim;Newton’un birinci yasas› gere¤ince bafllang›çta durgun ise durgun kalacak, bafl-

lang›çta hareketli ise de sabit h›zla do¤rusal bir yol boyunca hareketine devam

edecektir.

Gerçek yaflamdaki cisimlerin belirli bir hacimleri, flekil ve kütle da¤›l›mlar› ol-

du¤undan onlar› her zaman noktasal bir parçac›k olarak ele almak mümkün ol-

maz. Bu durumda hacimsel bir cismin dengede kalabilmesi için sadece üzerine et-

kiyen kuvvetlerin bileflkesinin s›f›r olmas› yeterli de¤ildir. Statik dengenin sa¤lana-

bilmesi için cismin ayn› zamanda dönme e¤ilimi de göstermemesi gerekir.

Cisimlerin bir eksen etraf›ndaki olas›

dönme hareketiyle ilgili genel bir denge ko-flulu elde edebilmek için fiekil 4.9’da görül-

dü¤ü gibi hacimsel bir cisim üzerine eflit

büyüklükte fakat z›t yönlü iki kuvvetin uy-

guland›¤›n› düflünelim. Cisim üzerindeki

net kuvvet s›f›r oldu¤u için dengenin birin-

ci flart› sa¤lanm›flt›r. Di¤er taraftan e¤er ci-

sim O noktas›ndan gevflekçe sabitlenmifl

ise, her iki kuvvet de cismi O noktas› etra-

f›nda döndürmeye çal›flacakt›r. Eflitlik 4.10

gere¤ince, kuvvetlerin cisim üzerindeki

döndürme etkisi kuvvetlerin dönme ekse-nine olan uzakl›klar›na ba¤l›d›r.

Statik dengedeki bir cismin hiç hareket etmemesi istendi¤ine göre dengenin

ikinci koflulu kendili¤inden ortaya ç›kar. Bir cismin dengede kalabilmesi için üze-

rine etki eden net kuvvetin s›f›r olmas› yan›nda bu kuvvetlerin döndürme etkileri-

nin de s›f›r olmas› gerekir. Di¤er bir deyiflle, cisme etkiyen d›fl kuvvetlerin seçilen

herhangi bir noktaya göre momentlerinin vektörel toplam› da s›f›r olmal›d›r. Bu

koflul matematiksel olarak,

∑M = M1 + M2 + ... + Mn = 0 (4.12)

eflitli¤i ile ifade edilir.


F M

d = = =

d

1 8

1 2

1 5,

,

,N.m

m

N

SIRA S‹ZDE 1

F

F

O

d 1

d 2

fiekil 4.9

Bileflkesi s›f›r olan z›t yönlü iki kuvvet

Dengenin ikinci koflulunagöre cisme etkiyen d›flkuvvetlerin seçilen herhangibir döndürme noktaya göremomentlerinin toplam› s›f›rolmal›d›r.



Sonuç olarak bir cismin dengede olabilmesi için iki koflulun sa¤lanmas› gere-kir. Eflitlik (4.7)’de tan›mlan birinci koflul cisimlerin yer de¤ifltirme hareketi(ötele-me) ile ilgili oldu¤undan öteleme dengesi ni, dönme hareketiyle ba¤lant›l› olarak

Eflitlik (4.12)’de verilen ikinci koflul ise dönme dengesi ni ifade eder. Çizelge4.1’de statik dengenin koflullar› maddeler halinde özetlenmifltir.

Hem kuvvet hem de moment 3-boyutlu vektörel nicelikler oldu¤undan (4.7) ve(4.12) koflullar›ndan toplamda alt› eflitlik elde edilir. Denge problemleri çözülür-ken bu denklemler uygun flekilde düzenlenirse bilinmeyen nicelikler kolayl›klahesaplanabilir.

Kütlesi 15 kg olan 3 m uzunlu¤undaki bir tahterevalliye kütleleri 10 kg ve 5 kg olan

iki kardefl binmektedir. Tahterevallinin dengede durabilmesi için,

a. A¤›r olan kardefl ortadaki destek noktas›ndan ne kadar uza¤a oturmal›d›r? b. Destek taraf›ndan tahterevalliye uygulan tepki kuvveti kaç N’dur?

Çözüm:a. Tahterevalli ve çocuklardan oluflan sisteme

etki eden kuvvetler fiekil 4.10’da gösteril-mifltir. Tahterevallinin kütlesi M, kardefller-den a¤›r olan›n kütlesi m 1, di¤erinin kütleside m 2 ile temsil edilmifltir. Kardefllerden a¤›rolan›n›n destek noktas›ndan ne kadar uza-¤a oturaca¤›n› bulabilmek için statik denge-

nin ikinci flart›ndan yararlan›l›r. Uygun birnoktaya göre moment al›n›r. Örne¤in, des-tek noktas›na göre toplam moment s›f›r ol-mal›d›r:

∑M = (m 1g)x – (m 2 g)d = 0.

Bu eflitlikten a¤›r olan kardeflin destek noktas›ndan uzakl›¤›,

bulunur.

Koflul Numaras› Denge koflulu Matematiksel ifade Koflul ad›

I

Cisme etkiyen d›fl

kuvvetlerin toplam› s›f›r

olmal›d›r.

∑F = 0 Öteleme dengesi

II

Cisme etkiyen d›fl

kuvvetlerin seçilen

herhangi bir noktaya göre

momentlerinin toplam›s›f›r olmal›d›r.

∑M = 0 Dönme dengesi


Çizelge 4.1Statik dengenin koflullar›

fiekil 4.10

Tahterevalliye etki eden kuvvetler

xm

md = = =

2

1

5

101 5 0 75

kg

kgm m)( , ,

Ö R N E K



b. Dengenin birinci flart›na göre tahterevallinin dengede olabilmesi için tahterevalliye uygulanan net kuvvetin s›f›r olmas› gerekir. Kuvvetlerin hepsi düfley yönlüdür. Bu nedenle yukar› yönlü kuvvetlerden afla¤› yönlü kuvvetler ç›kar›-

l›rsa,∑F = N – Mg – m 1g – m 2 g = 0

eflitli¤i yaz›labilir. Buradan, destek taraf›ndan tahterevalliye uygulan tepki kuvveti-nin büyüklü¤ü,

N = (M + m 1 + m 2 )g = (15 kg + 10 kg + 5 kg)(9,8 m/s2) = 294 N

bulunur.

fiekil 4.11’deki kütlesi ihmal edilen eflit bölmeli ve homojen çubu¤un yatay olarak

dengede kalabilmesi için

a. 20 kg kütleli üçüncü cisim nereye as›lmal›d›r? b. Bu durumda homojen çubu¤u tavana ba¤layan ipteki T gerilme kuvveti kaç

N’dur?

Çözüm:a. Bu tür problemlerin çözümünde homojen çubu¤un as›ld›¤› noktaya göre mo-

ment almak sonuca ulaflmay› kolaylaflt›r›r. Dengenin sa¤lanmas› aç›s›ndan 20kg kütleli üçüncü cismin A noktas›n›n sa¤ taraf›na as›laca¤› aç›kt›r.

A noktas› referans al›nd›¤›nda; 50kg kütleli cisim çubu¤u saat ibreleri-nin tersi yönde döndürmeye çal›fl›r-

ken A noktas›n›n sa¤›na as›lacak 10kg ve 20 kg kütleli cisimler ise çubu-¤u saat ibreleri yönünde döndürmee¤iliminde olacaklard›r. Dolays›ylabu problemin çözümü için (4.12)eflitli¤i ile tan›mlanan dönme den-gesi koflulunundan yararlan›labilir.

Yeni as›lacak 20 kg’l›k cismin Anoktas›na olan uzakl›¤› x ile gösteril-sin. Momentler için tan›mlanan iflaretanlaflmas›ndan yola ç›karak A nokta-

s›na göre net moment yaz›l›rsa,

∑M = [(50 kg)(2 birim) – (10 kg)(4 birim) – (20 kg)(x birim)] g = 0

ve

(50 kg)(2 birim) = (10 kg)(4 birim) + (20 kg)(x birim)

eflitli¤i elde edilir. Buradan,

bulunur. Dolays›yla 20 kg’l›k cisim D noktas›na as›lmal›d›r.


Ö R N E K

A B C D E F G

50 kg 10 kg

fiekil 4.11

Dengedeki cisimler

x = =100 - 40

203 birim



b. Dengenin birinci koflulunu ifade eden (4.7) ba¤›nt›s› kullan›larak,

T - (50 kg + 10 kg + 20 kg) g = 0

eflitli¤i yaz›labilir. Buradan gerilme kuvvetinin büyüklü¤ü,

T = (5 0 kg + 10 kg + 20 kg)(9,8 m/s2) = 784 N

elde edilir.

Sadece bir d›fl kuvvetin etkisinde olan bir cisim dengede olabilir mi? Neden?

A⁄IRLIK MERKEZ‹Kat› cisimlerin Newton yasalar›na göre hare-

ketini tan›mlayabilmek veya denge koflullar›-

n› tart›flabilmek için öncelikle ele al›nan ci-

sim üzerine etkiyen kuvvetlerin bilinmesi ge-

rekir. Bu kuvvetlerin bafl›nda ise cismin a¤›r-

l›¤›, yani cisim üzerine etkiyen yerçekimi

kuvveti gelir. Asl›nda a¤›rl›k sadece bir nok-

taya etkimez, aksine bütün cisim üzerine da-

¤›lm›flt›r. Fakat fiziksel problemlerin çözü-

münde, cismin a¤›rl›¤›n›n a¤›rl›k merkezi ad›

verilen tek bir noktada yo¤unlaflm›fl oldu¤u

kabul edilir.

A¤›rl›k merkezi kavram›n›n anlafl›labilmesi

aç›s›ndan kat› cisimlerin fiekil 4.12’de görüldü-¤ü gibi de¤iflik kütlelerdeki birçok küçük par-

çac›ktan olufltu¤u düflünülebilir. Bu parçac›klara etkiyen yerçekimi kuvvetleri

(a¤›rl›klar) paralel olup Dünya’n›n merkezine do¤ru yönelmifltir. E¤er kütlesi m

olan cismin n say›da parçac›ktan olufltu¤u kabul edilirse, cismin a¤›rl›¤› W = m g,

onu oluflturan her bir kütleye etki eden yerçekimi kuvvetlerinin toplam›d›r,

W = m 1g + m 2 g + ... + m n g = m g. (4.13)

A¤›rl›k merkezi ise cisme etki eden bileflke yerçekimi kuvvetinin uygulanma

noktas›d›r. Bu noktaya göre yerçekimi kuvvetlerinden kaynaklanan momentlerin

toplam› s›f›rd›r. Dolay›s› ile bir cisim a¤›rl›k merkezinden as›ld›¤›nda dengede kal›r.Bir cisim hangi noktadan as›l›rsa as›ls›n ipin kendisi veya uzant›s› a¤›rl›k mer-

kezinden geçer. fiekil 4.13’te gösterildi¤i gibi cismin her as›lma durumu için ipin

do¤rultusu çizilirse bu çizgilerin kesiflim noktas› a¤›rl›k merkezini verecektir.

Düzgün geometrik yap›l› baz› cisimlerin a¤›rl›k merkezleri fiekil 4.14’te göste-

rilmifltir. Çember, daire, küre gibi düzgün geometrik flekillerin a¤›rl›k merkezleri

kendi simetri merkezleridir. ‹nce bir çubu¤un a¤›rl›k merkezi çubu¤un tam ortas›,

kare veya dikdörtgen fleklindeki levhalar›n a¤›rl›k merkezleri ise köflegenlerin ke-

sim noktas›d›r. Benzer flekilde üçgen fleklindeki bir levhan›n a¤›rl›k merkezi kena-

rortaylar›n›n kesiflim noktas›ndad›r.


SIRA S‹ZDE

2

fiekil 4.12

W1

Wn

W

W1

W3

m kütleli cismin a¤›rl›k merkezi

A¤›rl›k merkezi, cisme etkieden bileflke yerçekimikuvvetinin uygulanma

noktas›d›r.

Homojen cisim: Her yerindeayn› yo¤unlu¤a ve fizikselözelliklere sahip cisimdir.

Türdefl cisim: Ayn› cinsmaddeden meydana gelencisimdir.




L/2 L/2

W

fiekil 4.13

A¤›rl›k merkezinin bulunmas›

O O O

W W W

2

O

1

O O Or r r

O O O

W W W

W W W

W

fiekil 4.14

Düzgün geometrik yap›l› baz› cisimlerin a¤›rl›k merkezleri

Homojen ve türdefl bir çubu¤un a¤›rl›k merkezi, çubu¤un tam orta noktas›d›r

Homojen ve türdefl kare, dikdörtgen ve paralel kenar fleklindeki levhalar›n a¤›rl›k merkezi köflegenlerin kesim noktas›d›r.

Homojen ve türdefl üçgen fleklindeki cisimlerin a¤›rl›k merkezi,kenarortaylar›n kesim noktas› olan O noktas›d›r. Bu nokta kenardan 1birim, köflelerden 2 birim uzakl›kta

yer al›r. Üçgen levhan›n eflkenar üçgen fleklinde olmas› durumda ise kenarortaylar›n hepsi eflit olur.

Homojen ve türdefl çember, daire ve küre fleklindeki cisimlerin geometrik merkezleri ayn› zamanda onlar›n a¤›rl›k merkezleridir.

Türdefl ve homojen silindir,dikdörtgen prizma ve küp fleklindeki cisimlerin a¤›rl›k merkezi, üst ve alt taban merkezlerini birlefltiren do¤runun tam orta noktas›d›r.



A¤›rl›k Merkezinin Bulunmas›Cisimler a¤›rl›k merkezlerinden as›ld›¤›nda dengede kald›¤›na göre, (4.7) ve (4.12)eflitlikleriyle tan›mlanan denge koflullar›ndan yararlan›larak de¤iflik geometrik ya-

p›ya sahip cisimlerin a¤›rl›k merkezleri kolayl›kla bulunabilir. Cisimlerin a¤›rl›kmerkezleri bulunurken;

i. ‹lk olarak cisim a¤›rl›k merkezi bilinen geometrik parçalara bölünür,ii. Her bir parçan›n a¤›rl›k merkezinde o parçaya etki eden yerçekimi kuvveti

gösterilir,iii. Cismin bütünü için (4.7) ve (4.12) eflitlikleriyle tan›mlanan denge koflullar›

yaz›larak a¤›rl›k merkezinin konumu tespit edilir.

Türdefl 10 cm uzunlu¤undaki 4 kg kütleli bir çubukla 20 cm uzunlu¤undaki 8 kg

kütleli di¤er bir çubuk birlefltirilirse düzene¤in a¤›rl›k merkezi çubuklar›n birleflim

noktas›ndan ne kadar uzakta olur ? (g = 10 m/s2 al›n›z)

Çözüm:Çubuklar›n a¤›rl›k merkezleri orta noktalar›d›r.

W 1 = m 1g = (4 kg)(10 m/s2) = 40 N

ve

W 2 = m 2 g = (8 kg)(10 m/s2) = 80 N

büyüklü¤ündeki yersçekimi kuvvetleri çu-buklar›n orta noktalardan afla¤› do¤ru gös-terilir. Sistemin a¤›rl›k merkezi bu iki pa-

ralel kuvvetin bileflkesinin uygulanmanoktas›d›r. Sistem bu noktadan as›l›rsadengede kal›r. fiekil 4.15’de görülen R bi-leflke kuvvetinin oldu¤u noktaya göre mo-ment al›narak,

(40 N)(5 + x ) = (80 N)(10 – x )

ifadesi yaz›labilir. Buradan x = 5 cm bulunur.

fiekil 4.16’da görülen sistemde kare ve daire biçimindeki iki ince levhadan yap›lm›fl geo-

metrik cisimlerin a¤›rl›klar› s›ras›yla W k = 60 N ve W d = 30 N olarak verilmifltir. ‹ki lev-han›n bileflmesiyle oluflan yeni cismin a¤›rl›k merkezinin kare levhan›n merkezinden olan

uzakl›¤›n› bulunuz.

KÜTLE MERKEZ‹Çok parçac›ktan oluflan sistemlerde kütle merkezinin konumu-

nun bilinmesi sistemin genel hareketinin incelenmesini kolay-

laflt›r›r. Bu tür bir sistemde, kütle merkezinin Newton yasalar›na

göre hareketi ile sistemi oluflturan her bir parçac›¤›n genel hare-

keti paralellik gösterir. Sistemin tüm kütlesi bu noktada toplan-

m›fl gibi hareket eder.


Ö R N E K

fiekil 4.15

Çubuklar›n a¤›rl›k merkezleri

SIRA S‹ZDE

3

fiekil 4.16

O 2a a O’

W k=60

W d =30

N

N

Kare ve daireden oluflan cisim



Bir cismin ya da sistemin tüm kütlesinin top-land›¤› varsay›lan noktaya kütle merkezi denir.Kütle merkezini bulmak için fiekil 4.17’deki gibi

xy -düzleminde bulunan kat› bir cisim ele alal›m.Bu cismi m 1, m 2 , m 3 , ..., m n kütlelerine sahip çoksay›da küçük parçac›ktan oluflmufl bir sistem gibidüflünebiliriz. Böyle bir cismin kütle merkezininx -koordinat›,

(4.14)

ba¤›nt›s›ndan bulunur. Kütle merkezinin y -koordi-nat› ise yukar›daki ifadede x bileflenleri yerine y bi-

leflenleri yaz›larak elde edilir,

(4.15)

Cismin kütle merkezinin koordinatlar› (X M , Y M ) bi-çiminde ifade edilir.

Bir cismin a¤›rl›k merkezi, cisim düzgün bir yerçekimi alan› içindeyse onun kütle

merkeziyle çak›fl›r. Bu durumda cismin her bir parças›na etki eden yerçekimi kuvvet-

lerinin tümü (a¤›rl›k), kütle merkezine etkiyen tek bir m g kuvveti ile temsil edilebilir.

Bu kitapta aksi belirtilmedikçe kütle merkezi ile a¤›rl›k merkezi kavramlar› efl anlam-

l› olarak kullan›lacakt›r.

Kütleleri s›ras›yla 10 kg, 20 kg ve 30 kg olan üç kütle orijinden itibaren yatay do¤-

rultuda s›ras›yla 2 m, 5 m, 8 m noktalar›na yerlefltirilmifltir. Sistemin kütle merke-

zini bulunuz.

Çözüm:Sistemin kütle merkezinin x -koordinat› (4.14) eflitli¤i kullan›larak,

bulunur. Kütlelerin tamam› x -ekseni üzerine yerlefltirildi¤inden y -koordinatlar› s›-

f›rd›r. Dolay›s›yla (4.15) eflitli¤i gere¤ince kütle merkezinin y -koordinat›,

Y M = 0

olmal›d›r. Sistemin kütle merkezinin koordinatlar› (6,0) olarak verilir.


Kütle merkezi, cismin tümkütlesinin topland›¤›varsay›lan noktad›r.

X m x m x m x

m m mM

1 1 2 2 n n

1 2 n

....

...=

+ + +

+ + +

Y m y m y m y

m m mM1 1 2 2 n n

1 2 n

....

...=

+ + +

+ + +

Ö R N E K

X m x m x m x

m m mM

1 1 2 2 3 3

1 2 3

=+ +

+ +

=+( (10 2 20 5kg m kg m)( ) )( ) ++

+ +

=(30 8

10 20 30

6kg m

kg kg kg

m)( )

fiekil 4.17

Kütle merkezinin koordinat›



Bükülmüfl homojen bir tel, hangi noktadan as›l›rsa fiekil 4.18’deki gibi dengede kal›r?

Çözüm:

Bükülmüfl tel dört eflit parçadan oluflmaktad›r. Bu tür problemlerin çözümündesimetri elde etmek sonuca ulaflmay› kolaylaflt›r›r. Bu amaçla tel, fiekil 4.19’da gö-rüldü¤ü gibi iki eflit parçaya ayr›ls›n. ABC telinin kütle merkezi, AB ve CD telleri-nin kütle merkezlerini birlefltiren F noktas›d›r. Benzer flekilde CDE telinin kütlemerkezi ise G noktas›d›r. ABC ve CDE tellerinin kütleleri eflit oldu¤una göre, tümtelin kütle merkezi her iki parçan›n kütle merkezlerini birlefltiren do¤runun tam or-tas› olan O noktas›d›r. Tel, ask› ipinin do¤rultusu O noktas›ndan geçecek flekildeas›l›rsa dengede kal›r.

Ayn› düzlemde bulunan üç kütlenin koordinat sistemindeki konumlar› fiekil 4.20’de gös-

terilmifltir. Sistemin kütle merkezinin koordinatlar›n› hesaplay›n›z.


B

A

D

E

C

fiekil 4.18

Bükülmüfl tel

fiekil 4.19

B

A F

C

D

O

G

E

Kütle merkezinin bulunmas›

SIRA S‹ZDE

4

fiekil 4.20

y

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 x

2m

2m

m

Koordinat sistemindeki

kütleler

Ö R N E K




Statik denge kavram›n› ifade etmek.

Üzerine birçok kuvvet etki etmesine ra¤men ci-

sim hareketsiz kal›yorsa bu denge durumu statik

denge olarak adland›r›l›r. Bunun için dura¤an

cismin iki denge koflulunu sa¤lamas› gerekir. Di-

¤er bir deyiflle, statik dengedeki bir cismin ne

yer de¤ifltirme ne de dönme e¤ilimi olmamal›d›r.

Kuvvetin döndürme etkisini tart›flmak.

Kuvvetin döndürme etkisine moment ad› verilir.

Moment M , döndürme etkisi olan kuvvetin bü-

yüklü¤ü (F ) ile kuvvetin uyguland›¤› noktan›ndönme noktas›na olan dik uzakl›¤›n›n (d ) çarp›-

m›na eflittir M = F .d . Büyük olan kuvvet daima kü-

çük olandan daha etkili moment meydana getirir.

Kuvvetin uyguland›¤› nokta, dönme noktas›na ne

kadar uzaksa moment de o kadar büyük olur.

Kat› cisimlerin denge koflullar›n› aç›klamak.

Kat› bir cismin dengede kalabilmesi için birinci

koflul, üzerine etki eden bileflke kuvvetin s›f›r

olmas›d›r ΣF = F1 + F2 + ... + Fn = 0. Dengenin

ikinci koflulu gere¤ince bu kuvvetlerin döndür-me etkilerinin yani momentlerinin toplam›n›n

da s›f›r olmal›d›r. Bu koflul matematiksel olarak

ΣM = M1 + M2 + ... + Mn = 0, eflitli¤i ile ifade

edilir.

Kat› cisimlerin a¤›rl›k merkezlerini bulmak.

A¤›rl›k merkezi, cisme etki eden bileflke yerçeki-

mi kuvvetinin uygulanma noktas›d›r. Bu noktaya

göre yerçekimi kuvvetlerinden kaynaklanan mo-

mentlerin toplam› s›f›rd›r. Bu nedenle bir cisim

a¤›rl›k merkezinden as›ld›¤›nda dengede kal›r.Böyle bir cisim hangi noktadan as›l›rsa as›ls›n

ipin kendisi veya uzant›s› a¤›rl›k merkezinden

geçer. Cismin her as›lma durumu için ipin do¤-

rultusu çizilirse bu çizgilerin kesiflim noktas› a¤›r-

l›k merkezini verecektir. Cisimlerin a¤›rl›k mer-

kezleri bulunurken; ilk olarak cisim a¤›rl›k mer-

kezi bilinen geometrik parçalara bölünür. Daha

sonra her bir parçan›n a¤›rl›k merkezinde o par-

çaya etki eden yerçekimi kuvveti gösterilir. Son

olarak, cismin bütünü için (4.7) ve (4.12) eflitlik-

leriyle tan›mlanan denge koflullar› yaz›larak a¤›r-l›k merkezinin konumu tespit edilir.

Kütle merkezinin yerini belirlemek.

Bir cismin ya da sistemin tüm kütlesinin toplan-

d›¤› varsay›lan noktaya kütle merkezi denir. Kat›

bir cisim; m 1, m 2 , m 3 , ..., m n kütleleri gibi çok

say›da küçük parçac›ktan oluflan bir sistem gibi

düflünülebilir. Böyle bir cismin kütle merkezinin

x -koordinat›,

ba¤›nt›s›ndan bulunur. Kütle merkezinin y -koor-

dinat› ise yukar›daki ifadede x bileflenleri yerine y bileflenleri yaz›larak elde edilir,

Cismin kütle merkezinin koordinatlar› (X M , Y M )

biçiminde ifade edilir.

Özet

1

A M A Ç

5

A M A Ç

2

A M A Ç

3

A M A Ç

4

A M A Ç

X m x m x m x

m m mM1 1 2 2 n n

1 2 n

....

...=

+ + +

+ + +

Y m y m y m y

m m mM1 1 2 2 n n

1 2 n

....

...=

+ + +

+ + +




1. Kuvvetin döndürme etkisine ne ad verilir?a. Momentum

b. Momentc. ‹mpulsd. Bas›nçe. A¤›rl›k

2. Momentin birimi afla¤›dakilerden hangisidir?a. kg.m/sb. kg.m/s2

c. kg.m2/sd. kg2.m2/se. kg.m2/s2

3. I. Cisim üzerine etkiyen net d›fl kuvvet s›f›rd›r.II. Cisim ivmeli hareket etmektedir.III. Cisim üzerine etkiyen d›fl kuvvetlerin herhangi

bir noktaya göre momentlerinin vektörel topla-m› s›f›rd›r.

Bir cisim dengede ise yukardaki ifadelerin hangilerido¤rudur?

a. Yaln›z Ib. Yaln›z IIIc. I ve IIId. II ve IIIe. I, II ve III

4. I. Disk üzerine etkiyen net kuvvet s›f›rd›r.II. Diske etkiyen kuvvetlerin O noktas›na göre olufl-

turdu¤u momentlerin toplam› s›f›rd›r.III. Disk, saat ibreleri yönünde dönme e¤ilimindedir.IV. Disk, saat ibrelerinin tersi yönünde dönme e¤i-

limindedir. V. Disk statik dengededir.

fiekil 4.21’de r yar›çapl› bir disk üzerine etkiyen kuvvet-ler gösterilmifltir. Buna göre yukar›daki ifadelerden han-gileri do¤rudur?

a. I ve II

b. I,II ve IIIc. I, II ve IV d. I, II ve V e. I, II, III ve V

5. Ayn› düzlemde bulunan üç kütlenin koordinat siste-

mindeki konumlar› fiekil 4.22’deki gibidir. Buna göre

kütle merkezinin koordinatlar› (x km , y km ) afla¤›dakiler-

den hangisidir?

a. (3, 2)

b. (2, 3)

c. (4, 2)

d. (2, 4)

e. (4, 4)

6. A¤›rl›¤› 4 N olan eflit bölmeli çubu¤un uçlar›na fie-

kil 4.23’te gösterildi¤i gibi 5 N ve 8 N a¤›rl›¤›ndaki ci-

simler konmufltur. Çubuk bir ucundan bir iple tavana

ba¤land›¤›na göre ipteki gerilme kuvvetinin de¤eri kaç

N’dur?a. 3

b. 5

c. 7

d. 8

e. 9


r

2F

F

O

r

F fiekil 4.21:Diske etkiyen kuvvetler

y

5

4

3

2

1

01 2 3 4 5 x

2m

4m

4m

fiekil 4.22: Koordinat sistemindeki kütleler

5N

8N4N

fiekil 4.23: Dengedeki çubuk




7. fiekil 4.24’te görülen homojen ve eflit bölmeli AB çu-

bu¤u dengede oldu¤una göre m kütlesi kaç kg ’d›r?

a. 10

b. 20c. 30

d. 40

e. 50

8. fiekil 4.25’te görülen sistem dengededir. x/y oran›

5/2 oldu¤una göre oran› W 1/W 2 nedir?

a. 2/5

b. 1

c. 2

d. 5/2

e. 5

9. fiekil 4.26’da görülen sistemde daire fleklinde ince

levhalardan yap›lm›fl geometrik cisimlerin a¤›rl›klar› s›-

ras›yla W 1 = 30 N ve W 1 = 10 N olarak verilmifltir. ‹ki

dairesel levhan›n bileflmesiyle oluflan yeni cismin a¤›r-l›k merkezinin büyük dairenin merkezinden olan uzak-

l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

a. a /4

b. a /2

c. 3a /4

d. a

e. 4a /3

10. Koordinatlar› metre cinsinden verilmek üzere xy -

düzlemindeki 2 kg kütleli bir cisim (–5, –4)noktas›na, 3

kg kütleli di¤er bir cisim ise (10,6) noktas›na yerlefltiri-

liyor. Sistemin (x, y ) kütle merkezinin koordinat› afla¤›-

dakilerden hangisidir?

a. (4, 2)

b. (2, 4)

c. (3, 2)

d. (2, 3)

e. (4, 4)

A B

30 kg

m

fiekil 4.24: Dengedeki çubuk ve üzerindeki a¤›rl›klar

F

x y

W 1

W 2

fiekil 4.25: Dengedeki sistem

W 1=30N

W 2=10N

O 2a a O’

fiekil 4.26: Dairelerden oluflan cisim




Sol ve Sa¤

Geçenlerde, Amerikal› bir çocuk psikolojisi profesörü,ço¤u annenin bebe¤ini sol kolunda tuttu¤unu aç›klad›.

Bu sonuca, uzun araflt›rmalardan ve sanat galerilerini

gezdikten sonra ulaflm›flt›. Profesör bulgular›n› alçakgö-

nüllü bir biçimde “daha önce bilimsel eserlerde yer al-

mam›fl do¤a ile ilgili gözlemler olarak de¤erlendiriyor-

du. Bu olguyu aç›klama çabas›, Scientific American der-

gisinde, bilinçalt› alg›lama, insanlar aras› iliflkiler ve be-

be¤in annesinin kalp at›fllar›n› iflitme gereksinimi ile il-

gili baflka düflüncelerin tart›fl›ld›¤› hareketli yaz›flmalara

yol açt›. Çal›flmalar›n› New York’ta sürdüren biri olarak

araflt›rmac›y›, daha az popüler olan Avrupa yay›nlar›n›izlemedi¤i için elefltirmek zor. Kütüphanede biraz arafl-

t›rma yapm›fl olsayd›, Dr. Andrew Buchanan’›n daha

1862’de, konu ile ilgili parlak yorumlar›n›n yer ald›¤›,

Glasgow Felsefe Derne¤i Toplant› Tutanaklar›na ulafla-

bilirdi. Buchanan ö¤renimini Glasgow Üniversitesi’nde

yapt› ve 1839’da, fizyoloji, patoloji ve tedavi bilgisini

içeren bir t›p dal› olan ‹laç Kuram› kürsüsüne profesör

olarak atand›. O günlerde kürsü profesörlerine bugün

gösterilen sayg› gösterilmedi¤inden, zor günler geçirdi.

Bu s›fat› tafl›yanlar, hükümet taraf›ndan üniversiteye

zorla kabul ettirilen davetsiz misafirler gibi görülüyor-du. Krall›ktan veya üniversiteden hiçbir ücret almad›k-

lar›ndan özel ifl yaparak geçinmek zorundayd›lar ve ge-

çimlerini ancak sa¤layabiliyorlard›. Buchanan, 77 yafl›n-

da (bask›lara dayanamayarak) emekli olana dek, hem

ö¤retim görevlisi hem de Kraliyet Hastanesi bafl cerrah›

olarak çok yo¤un çal›flm›flt›. Glasgow Üniversitesi tarih-

çisi Coutts, bu konudaki düflüncesini nazik bir biçimde

flöyle belirtiyordu: “görevinin sonuna do¤ru, yolun so-

nuna gelmifl biri olarak yafl›n›n etkilerinden tamamen

uzak duram›yordu”, oysa bilimsel yaz›lar› ve Üniversite

Senatosu’na karfl› sözlü sald›r›lar›na bak›lacak olursa,

ihtiyar profesör hâlâ formundayd›.

Sol ve sa¤ konusundaki ilk incelemesinde, ço¤u insan›n

neden dikkat gerektiren veya karmafl›k ifller için sa¤ el-

lerini, bir fleyleri tafl›rken ya da bir bebe¤i tutarken de sol

ellerini kulland›klar›n› aç›klad›. Sa¤ elin daha fazla kulla-

n›ld›¤› için daha güçlü oldu¤unu ileri sürüyordu. Peki

ama daha fazla kullan›lmas›n›n nedeni nedir? Çünkü vü-

cudun a¤›rl›k merkezi ortada de¤il hissedilir ölçüde sa¤-

dad›r. Vücut afla¤› yukar› simetrik de olsa, epeyce a¤›r

bir organ olan karaci¤er sa¤ tarafta yer al›r ve genellikle

sol tarafta oldu¤u zannedilen ancak neredeyse merkez-

de yer alan kalp taraf›ndan dengelenemez. ‹flitilebilir

kalp at›fllar› kalbin üst k›sm›ndan kaynaklan›r. Üst k›s›m

sola yat›k durumdad›r, oysa kalbin geri kalan k›sm› sa¤ado¤ru uzan›r. Vücudun a¤›rl›k merkezinin sa¤a do¤ru

kaym›fl olmas›n›n baz› ilginç sonuçlan var. Kollar ve göv-

de soldan sa¤a do¤ru hareket ederse, a¤›rl›k merkezi bi-

raz daha sa¤a do¤ru kayar ve vücudun dengesi bozulur.

(Ayakta dengeli durabilmemiz için, a¤›rl›k merkezimiz-

den geçen dikey çizginin zemine, iki aya¤›m›z›n s›n›rla-

d›¤› aral›k içinde ulaflmas› gerekir. Tek aya¤›n üzerinde

dengede durmak güç, bazen de imkans›zd›r (bir baca¤›-

n›z› ve kolunuzu bir duvara iyice yaslay›p di¤er baca¤›-

n›z› kald›rmay› bir deneyin.). Oysa sa¤ kolla ifl yaparken

oldu¤u gibi, sa¤dan sola do¤ru hareket etmek, a¤›rl›kmerkezini vücut merkezinin yak›n›na getirir, böylece

dengeyi kaybetme tehlikesi olmadan hareket daha bü-

yük bir mesafe boyunca sürdürülebilir.

A¤›r bir yük tafl›mak söz konusu oldu¤unda sol el daha

üstündür. Bir bavul sa¤ elde tafl›nd›¤›nda, a¤›rl›k merke-

zi do¤al olarak daha da sa¤a kayar ve vücudun ters yö-

ne do¤ru e¤ilerek eski konumuna getirilmesi gerekir.

Oysa yük sol elle tutuldu¤unda a¤›rl›k merkezi sola do¤-

ru, yani vücudun ortas›na do¤ru kayar ve denge asl›nda

daha da güçlendirilmifl olur. Yük çok a¤›rsa, dengele-

mek için elbette sa¤a do¤ru e¤ilmek gerekir. Sa¤ ellebaflka ifller yapabilmek için bebe¤in sol kolla tutuldu¤u

da düflünülebilir; fakat solak anneler de bebeklerini sol

kollar›nda tafl›r. Buchanan 1877 y›l›nda, a¤›rl›k merkezi-

nin ayaklar›n taban› ile bafl›n tepesi aras›nda, tam orta-

dan geçen yatay eksenin yukar›s›nda m› yoksa afla¤›s›n-

da m› yer ald›¤›n› inceleyerek konuyu tekrar ele ald›. Er-

keklerde a¤›rl›k merkezinin genellikle yatay eksenin yu-

kar›s›nda oldu¤u sonucuna vard›; daha ayr›nt›l› hesapla-

malar bu konumun sa¤ ellerini kullananlar›n yarar›na

oldu¤unu gösterdi. Öte yandan, “son derece orant›l› bir

vücut biçimi” bahfledilen kad›nlarda a¤›rl›k merkezi, ya-

tay eksenin tam üzerinde veya çok yak›n›ndad›r, bu da

sol eli kullanma e¤ilimini büyük ölçüde art›r›r. Bu sonuç

günümüzde yap›lan çal›flmalar taraf›ndan do¤rulanma-

d›, ancak Buchanan yine de hakl› olabilirdi; o günlerde

kad›nlar›n vücut biçimleri farkl›yd›.

Kaynak: http://www.1001kitap.com/Bilim/Lenihan/bi-

lim_is_basinda/bib1_nedenboyle10.html internet site-

sinden 06.01.2012 tarihinde al›nm›flt›r. (Lenihan, J. Çe-

viri: B›çakç›, B. (1990) Bilim ‹fl Bafl›nda (Science in Ac-

tion), TÜB‹TAK Popüler Bilim Kitaplar› 113, S.49)


”

“




1. b Yan›t›n›z yanl›flsa “Kuvvetin Döndürme Etkisi:

Moment” bafll›kl› konuyu yeniden gözden ge-

çiriniz.

2. e Yan›t›n›z yanl›flsa “Kuvvetin Döndürme Etkisi:

Moment” bafll›kl› konuyu yeniden gözden ge-

çiriniz.

3. c Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflul-

lar›” bafll›kl› konuyu yeniden gözden geçiriniz.

4. d Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflul-


5. a Yan›t›n›z yanl›flsa “Kütle Merkezi” bafll›kl› ko-


6. c Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflul-


7. b Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflul-


8. a Yan›t›n›z yanl›flsa “Kat› Cisimlerin Denge Koflul-


9. c Yan›t›n›z yanl›flsa “A¤›rl›k merkezi” bafll›kl› ko-


10. a Yan›t›n›z yanl›flsa “Kütle Merkezi” bafll›kl› ko-



A¤›rl›k kald›rmak suretiyle vücut gelifltirme sporu ya-

pan bir kifli, elindeki a¤›rl›klar› vücuduna yak›n tutarak

daha rahat kald›r›r. A¤›rl›klar› vücuduna yak›n tutulma-

s›, dönme eksenine (omuz eklemine) olan uzakl›¤› (d )

azalt›r. Bu ise yerçekimi kuvvetinin (4.12) eflitli¤i gere-

¤ince oluflturaca¤› momentin azalmas› anlam›na gelir.

Dolays›yla kifli, a¤›rl›klar› kald›r›rken elindeki a¤›rl›kla-

r›n oluflturdu¤u momenti dengelemek ve yenmek için

daha az kuvvete ihtiyaç duyar.

S›ra Sizde 2

Sadece bir d›fl kuvvetin etkisinde olan bir cisim denge-

de olamaz. Dengenin birinci kofluluna göre cisim üze-

rine etkiyen d›fl kuvvetlerin toplam›n›n (net kuvvet) s›-

f›r olmas› gerekir. Üzerine sadece bir kuvvetin etkime-

si durumunda cisim, baflka bir kuvvet taraf›ndan den-

gelenemeyecektir. Dolays›yla cisim üzerindeki net d›fl

kuvvetin s›f›r olmas› söz konusu de¤ildir. Cisim, New-

ton’un ikinci yasas› gere¤ince ivmelenerek hareket ede-

cektir.

S›ra Sizde 3

Sistemin a¤›rl›k merkezi W k ve W d a¤›rl›k kuvvetlerinin

bileflkesinin uygulanma noktas›d›r. Sistem bu noktadan

as›l›rsa dengede kal›r. fiekil 4.27’de görüldü¤ü gibi bi-

leflke kuvvet konum olarak büyük olan kuvvete daha

yak›nd›r. Bileflke kuvvetin karenin merkezinden olan

uzakl›¤› x ile gösterilsin. R bileflke kuvvetinin oldu¤u

noktaya göre moment al›narak,

(60 N) x = (30 N)(3a – x )

ifadesi yaz›labilir. Buradan x = a bulunur.

S›ra Sizde 4

Sistemin kütle merkezinin x -koordinat› (4.14) eflitli¤i

kullan›larak,

bulunur. Benzer flekilde kütle merkezinin y -koordinat›

(4.15) eflitli¤i gere¤ince,

olacakt›r. Bu sonuçlara göre sistemin kütle merkezinin

koordinat› (4,2) noktas›d›r.


O 2a a O’

W k=60 N

W d =30 N

R

x

fiekil 4.27: A¤›rl›k merkezinin konumu

X m x m x m x

m m m

m m m

m m m

M1 1 2 2 3 3

1 2 3

=+ +

+ +

=+ +

+ +

2 2 4 2 5

2 2

( ) ( )== 4

Y m y m y m y

m m m

m m m

m m m

M1 1 2 2 3 3

1 2 3

=+ +

+ +

=+ +

+ +

4 2 1 2 2

2 2

( ) ( )== 2




Serway, R.A., Beichner, R.J. Jevett, J., Çolako¤lu, K.(Çe-

viri Ed.) (2007). Fen ve Mühendislik için Fizik,

Ankara: Palme Yay›nc›l›k,

Fishbane, P.M., Gasiorowicz, S. Thornton, S. T. Yalç›n,

C.(Çeviri Ed.) (2006). Temel Fizik 2, Ankara: Arka-

dafl Yay›nevi,

Halliday D., Resnick R. (1992). Fizi¤in Temelleri,

1.Cilt: Mekanik ve Termodinamik, Ankara: Arka-

dafl Yay›nevi,

Gettys, W.E., Keller, F., J., Skove, M. J., Akyüz, R.Ö.(Çe-

viri Ed.) (1995). Fizik, 1.Cilt, ‹stanbul: Literatür Ya-

y›nc›l›k,

Nolan, P. J. (1993). Fundamentals of College Physics,

Melbourne: Wm. C. Brown Publishers,

Orhun, Ö. ve di¤erleri, Orhun Ö. (Ed) (2007). Tekno-

lojinin Bilimsel ‹lkeleri, Ankara: Nobel Yay›n

Da¤›t›m.

Yararlan›lan Kaynaklar



Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Fizikte ifl kavram›n› aç›klayabilecek,‹fl ve enerji aras›ndaki iliflkiyi betimleyebilecek,Kinetik enerji, potansiyel enerji ve esneklik potansiyel enerjisini tan›mlayabi-lecek,Enerjinin korunumu yasas›n› aç›klayabilecek,Güç ve verim kavramlar›n› tan›mlayabilecek bilgi ve becerileri edinmifl ola-caks›n›z.

‹çindekiler

• ‹fl• Enerji• Enerji Korunumu• Kinetik Enerji

• Yükseklik Potansiyel Enerjisi• Esneklik Potansiyel Enerjisi• Güç• Verim

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z


‹lkeleri-I ‹fl, Enerji, Güç

• G‹R‹fi

• ‹fi

• ENERJ‹

• GÜÇ VE VER‹M




G‹R‹fiGünlük konuflmalar›m›zda her türlü bedensel ve zihinsel faaliyetler için ifl yapt›k

deriz. Buradaki ifl kavram› ile fizikte kullan›lan ifl kavram› aras›nda fark vard›r. Ör-

ne¤in kitap okurken veya ders çal›fl›rken bir enerji harcamam›za ra¤men fizikte bu

tip aktiviteler ifl olarak tan›mlanmaz. Benzer flekilde enerji kavram› ile güç kavra-

m› da günlük yaflant›m›zda birbirine kar›flt›r›lan kavramlardand›r. Bu ünitemizde ifl

ve enerji kavramlar› üzerinde duraca¤›z ve ard›ndan güç ve verimi tan›mlayaca¤›z

‹fiBir cisim, F kuvvetinin etkisi alt›nda yer de¤ifltiriyorsa kuvvet

cisim üzerinde ifl yapm›flt›r denir.fiekil 5.1’deki gibi A konumunda bulunan bir cisim üzerine,

F gibi bir kuvvet uygulayal›m. Cisim bu kuvvetin etkisiyle r ka-

dar yer de¤ifltirmeye u¤ray›p B konumuna gelmifl olsun. Bu

durumda F kuvvetinin yapt›¤› ifl (W) :

W = Fr cos a (5.1)

eflitli¤iyle tan›mlan›r. Burada a, kuvvet (F) ile yerde¤ifltirme (r ) vektörleri ara-

s›ndaki aç›d›r. Buna göre;

a) Cismin yer de¤ifltirmesi uygulanan kuvvetle ayn› yönde de¤ifliyorsa a aç›s›

dar aç› olaca¤›ndan, cos a de¤eri pozitif olur, bu nedenle de ifl pozitif de-

¤er al›r (fiekil 5.2.a).

b) Cismin yer de¤ifltirmesi uygulanan kuvvetin yönüne göre ters yönde ortaya

ç›k›yorsa a aç›s› genifl aç› olaca¤›ndan cos a de¤eri negatif olur, bu neden-

le ifl negatif de¤er al›r (fiekil 5.2.b).

c) Cismin yer de¤ifltirmesi ile uygulanan kuvvetin aralar›ndaki aç› dik ise iflten

bahsedilemez (fiekil 5.2.c). Yani a =90° ve cos90= 0 olaca¤›ndan sistem ifl

yapmaz.

‹fl, Enerji, Güç

fiekil 5.1

A Br

α

F

Yatay düzlemde uygulanan kuvvet

etkisiyle hareket eden cisim.

Pozitif ifl: Kuvvet ile cisminyer de¤ifltirmesi ayn› yönlüise yap›lan ifl pozitiftir.

Negatif ifl: Kuvvet ile cisminyer de¤ifltirmesi z›t yönlü iseyap›lan ifl negatiftir.



SI birim sisteminde F(N) ve r (m) olarak al›nd›¤›nda iflin birimi (N.m) veya jou-le (J)’dur. CGS birim sisteminde F(dyne) ve r (cm) olarak al›nd›¤›nda ise iflin birimi(dyne.cm) veya erg’dir.

‹fl skaler bir nicelik oldu¤undan, cisim üzerine birden fazla kuvvet uygulanma-s› durumunda toplam ifl, her bir kuvvetin yapt›¤› iflin toplam›na eflittir;

W = W 1 + W 2 + W 3 + ....... (5.2)

Do¤ru Boyunca Sabit Bir Kuvvetin Yapt›¤› ‹flSürtünmeli, yatay bir düzlemde fiekil 5. 3’ de görüldü¤ü gibi duran cisim üzerine,hareket boyunca hem büyüklük hem de yön olarak de¤iflmeden kalan farkl› iki

kuvvet etki etsin. Bu kuvvetlerin etkisi ile cisim yatayda dkadar yer de¤ifltirsin. fiimdi kuvvetlerin cisim üzerinde yap-

t›¤› toplam ifli bulmaya çal›flal›m. Cisim üzerinde yap›lan

toplam ifli bulmak için, öncelikle cisim üzerine etki eden

tüm kuvvetlerin yönlerini ve büyüklüklerini ayr› ayr› belirt-

memiz gerekir. Bu sistemdeki cisim m kütlesinden dolay› g

yerçekimi ivmesinden kaynaklanan bir W a¤›rl›¤›na sahip-

tir. Cismin bu a¤›rl›¤›ndan dolay› da yer düzleminin cisme

uygulad›¤› N tepki kuvveti oluflur. Son olarak da cisim,kuvvetlerin etkisi ile hareketlenmesi esnas›nda hareket yö-


F

r

r

r

F

F

α

α

F

F1

F11=Fcosα

F1

F11= cosα

α =90°

α

F

(a)

(b)

(c)

fiekil 5.2

Sabit bir F ve r aras›ndaki aç›ya ba¤l› olarak (a) pozitif, (b) negatif ve (c) s›f›r ifl.

Joule: ‹fl ve enerjikavramlar›na aç›kl›kgetirmifl ‹ngiliz fizikçi J.P. Joule (1818-1889)’n›n ad›n›anmak üzere ifl biriminejoule ad› verilmifltir.

1N = 105 dyne, 1m = 102 cmve 1 joule= 107erg’dir

α

d

W

F2

F1

N

F3

fiekil 5.3

Sürtünmeli yatay bir düzlemde duran cisme etki eden kuvvetler



nünün tersine bir FS sürtünme kuvvetine maruz kal›r. Toplam ifli hesaplamak için

cisim üzerine etki eden tüm bu kuvvetlerin yapt›¤› ifli ayr› ayr› hesaplamak sonra

bunlar› cebirsel toplamak en uygun yöntemdir. F1 kuvvet vektörü ile yer de¤ifltir-

me vektörü d ayn› yönlüdür dolay›s›yla aralar›ndaki aç› 0°’dir. Bu durumda F1 kuvvetinin yapt›¤› ifl;

W 1 = F 1d cos (0) = F 1d (5.3)

olarak elde edilir. F2 ile d vektörü aras›ndaki aç› ise (kadard›r, bu durumda F2

kuvvetinin yapt›¤› ifl;

W 2 = F 2 d cos i (5.4)

ifadesiyle verilir. N vektörü ile d vektörü aras›ndaki aç› ise 90°’dir ve N kuvve-tinin yapt›¤› ifl;

W 3 = Nd cos (90) = 0 (5.5)

olarak bulunur. Son olarak sürtünme kuvvetin yapt›¤› ifli bulal›m. Sürtünmekuvveti FS ile d vektörü aras›ndaki aç› ise 180°’dir ve bu kuvvetin yapt›¤› ifl ise;

W s = F s d cos (180) = F s d (5.6)

ba¤›nt›s›yla verilir. Toplam ifl ise Eflitlikler 5.3, 5.4, 5.5 ve 5.6’n›n toplam›d›r;

W = W 1 + W 2 + W 3 + W s = F 1d + F 2 d cos i 0 - F s d = d (F 1 + F 2 cos i - F s). (5.7)

Görüldü¤ü gibi cisim üzerinde ifl yapan kuvvetler cismin hareketi do¤rultusun-daki kuvvet bileflenleridir. Harekete dik do¤rultudaki kuvvet bileflenleri ise, cisim

üzerinde herhangi bir ifl yapmaz.

Durmakta olan m kütleli bir cisim fiekil 5.4’de gösterildi¤i gibi F=100 N büyüklü-

¤ünde bir kuvvetle sürtünmesiz olarak 100 m çekilmektedir. Bu yolun sonunda

cismin üzerinde yap›lan ifl kaç joule’dür?

Çözüm: Yap›lan ifl Efl. 5.1 kullan›larak

W = F.d.cos i

yazabiliriz. Soruda verilen say›sal de¤erler kul-

lan›larak yap›lan ifl;W = F.d.cos i

W = 100.100.cos (37)

W = 100.100.0.8

W = 8000 J

olarak bulunur.

Bir çiftçi odun yüklü k›za¤›, flekildeki gibi yerle 37°’lik aç› yapacak flekilde bir zin-

cirle traktörüne ba¤l›yor. Çiftçi 14700 N a¤›rl›¤›ndaki yüklü k›za¤›, 50 N’luk sa-

bit bir kuvvetle, 20 m’lik mesafeye kadar çekiyor. Bu süreç içinde k›za¤a etki eden

sürtünme kuvveti 3500 N oldu¤una göre yap›lan toplam iflin kaç joule oldu¤unu bulunuz.

1035. Ünite - ‹fl, Enerji , Güç

Bir cisim üzerindekuvvetlerin ifl yapabilmesiiçin kuvvetin cisminyerde¤ifltirmesido¤rultusunda bileflenininolmas› gerekir

Ö R N E K

fiekil 5.4

d=100m

F

i=37°

Sürtünmesiz düzlemde cisme etki eden F kuvveti

Ö R N E K



Çözüm:Bu problemin çözümün de cisim üzerine etki eden tüm kuvvetler ayr› ayr› ele

al›n›p yapt›klar› ifller hesaplanacakt›r. Toplam ifli bulmak için de, her kuvvetin yap-

t›¤› ifller toplanacakt›r.fiekil 5.5.b.’deki diyagramda görüldü¤ü üzere Newton’un III. yasas›na göre cis-

min a¤›rl›¤› ile yerin cisme uygulad›¤› kuvvet birbirine eflittir (W=N). Hem kuv-

vetlerin yönü hareket do¤rultusuna dik oldu¤undan hem de kuvvetlerin toplam›-

n›n s›f›r olmas›ndan dolay›, bu kuvvetler taraf›ndan yap›lan ifl s›f›rd›r. Traktörün

uygulad›¤› FT kuvvetinin yapt›¤› ifl (Efl. 5.1);

W T = F.s.cos

W T = 5000N .20m .cos (37)

W T = 100000.0,8

W T = 80000 Nm

W T = 80 kJ

olarak hesaplan›r. FS sürtünme kuvvetinin yapt›¤› ifl ise, kuvvet hareket yönü-

nün tersi yönde oldu¤undan dolay› negatif de¤er al›r, yani traktörün k›za¤› çek-

mek için yapt›¤› iflten pay al›r. Bu durumda FS’nin yapt›¤› ifl için;

W s = F.s.cos

W s = 3500N .20m .cos (180)

W s = 70000.(-1)

W s = -70000 N.m

W s = -70 kJ

yazabiliriz. Kuvvetlerin yapt›¤› toplam ifl ise;

W = W T + W s + W W + W N W = 80000 - 70000 + 0 + 0

W = 10 kJ

olarak hesaplan›r.

Biri di¤erinden iki kat daha kuvvetli iki çocuk yerde duran kutuyu, eflit boydaki ip yard›-

m›yla ayn› uzakl›¤a sürükleyerek götürmek istiyor. Sizce çocuklar›n eflit ifl yapmas› için

kutuyu nas›l çekmeleri gerekir?


N

W=14,700 N

S=20m

FT=5000 N

FS=3500 N

ϕ=37°

y

x

fiekil 5.5

Odun yüklü k›za¤›n çekilmesi ve üzerine etki eden kuvvetlerin diyagram›

SIRA S‹ZDE 1



fiimdiye kadar, bir do¤ru boyunca sabit kuvvetin yapt›¤› iflten bahsedildi. fiim-di de sabit h›zla hareket eden bir arabay› ele alal›m. Acaba bu araba ifl yap›yor mu-dur? Buna yan›t ararken “sabit h›zl› hareket yapan bir cismin ivmesi var m›d›r? ” so-rusunu yan›tlamam›z gerekecek. Elbette ki sabit h›zla hareket eden araban›n ivme-si s›f›rd›r. Dolay›s›yla Newton’un II. Yasas› gere¤ince (F=ma) araba üzerine uygu-lanan net kuvvet te s›f›r olacakt›r. Bu da bize yap›lan iflin s›f›r oldu¤unu gösterir.

Bir Do¤ru Boyunca Kuvvetlerin Yapt›¤› ‹fl: GrafikselYaklafl›mBu bölümde bir do¤ru boyunca farkl› zaman veya yerde¤iflmeler boyunca kuvvet-lerin yapt›¤› iflin verilen kuvvet-yol grafikleri ile elde edilmesi incelenecektir. Ko-nuyu bir örnek ile anlatmaya çal›flal›m.

Sürtünmesiz yatay düzlem üzerinde bulunan 2 kg’l›kbir A cismine, fiekil 5.6’daki gibi, 0-2 m aral›¤›nda 10

N’luk, 2-6 m aral›¤›nda 20 N’luk ve 6-8 m aral›¤›nda -10

N’luk (- iflareti kuvvetin ters yönde uyguland›¤›n› göste-rir), sabit kuvvetler etki etsin. Cismin bafllang›çtaki h›z›s›f›r olsun ve 8 m’lik yolun sonunda yap›lan ifli bulal›m.

Kuvvet-yol grafi¤i verilen sorularda öncelikle bölgele-re ay›rma ifllemini yapaca¤›z. Bu ifllemde dikkat edilmesigereken en önemli nokta, kuvvetin seçti¤imiz bölge bo-

yunca negatif iken pozitif veya pozitif iken negatif de¤eralmamas›d›r. Bir baflka de¤iflle kuvvet bölgelerimiz bo-

yunca sadece ya negatif ya da pozitif de¤erler olarak ka-lacak flekilde seçilmelidir. Bu durumda örne¤imiz için 0-2 m aral›¤› I. bölge, 2-6 m aral›¤› II. bölge ve 6-8 m aral›-

¤› da III. bölge olarak belirlenebilir (fiekil 5.7). Bu bölge-lerin alan› bize ifli verecektir. Toplam ifl ise bu bölgeleriçin hesaplanan ifllerin toplam›d›r. S›ras›yla;

I.Bölge için alan;

W I = F 1.∆x 1W I = 10. (2 - 0)

W I = 20 J

II.Bölge için alan;

W II = F 2.∆x 2

W II = 20. (6 - 2)W II = 80 J

III.Bölge için alan;

W III = F 3.∆x 3W II = -10. (8 - 6)

W II = -20 J

Toplam ifl;

W T = W 1 + W 2 + W 3

W TI = 20 + 80 - 20

W T

= 80 J

olarak toplam ifl bulunur.


fiekil 5.6

2 4 6 8

-10

10

20

F(N)

x(m)

A cisminin kuvvet yol grafi¤i

fiekil 5.7

›.

››.

›››.2 4 6 8

-10

10

20

F(N)

x(m)

Kuvvet yol grafi¤inin bölgelere ayr›lmas›.

Kuvvet-yol grafi¤inde kuvvete¤risi alt›nda kalan alankuvvetin yapt›¤› ifle eflittir.



ENERJ‹‹fl yapabilme yetene¤ine enerji denir. Cisim üzerine yap›lan ifl cismin mekanikenerji de¤iflimine eflittir (fiekil5.8.). Hareket eden bir cisim, masa üzerindeki bir ki-

tap, bardaktaki su vb. bir cisim veya sistemin mevcut enerjisi varsa, ifl yapabiliyordemektir. Cisim veya sistem ifl yaparak enerjisini harcar ve bu enerji baflka enerjiflekillerine (›s›, ›fl›k, mekanik, kimyasal, elektrik ve nükleer enerji vb.) dönüflebilir.Bu nedenle ifl ve enerji birimleri ayn›d›r ( joule veya erg). Enerji de ifl gibi skaler birbüyüklüktür.

Kinetik Enerji (Hareket Enerjisi)Kinetik enerji, cismin h›z›ndan ötürü sahip oldu¤u

enerjidir. Kinetik enerji cismin sahip oldu¤u h›z›n

do¤rultusundan ba¤›ms›z her zaman pozitif de¤er al›r.

fiekil 5.9’deki gibi yatay bir düzlemde bulunan m küt-leli bir cisim sabit a ivmesi ile hareket etsin. Cisim A

noktas›ndan geçerken v 1 h›z›na, B noktas›ndan ge-

çerken ise v 2 h›z›na sahip olsun. Bu durumda cisim

üzerine yap›lan ifli bulal›m. Öncelikle ortalama h›z

ifadesi,

(5.11)

kullan›larak cismin ald›¤› yol

vv v

ort = +2 1

2


Mekanik Enerji: Cisminkinetik ve potansiyelenerjisinin toplam›d›r.

MEKAN‹K ENERJ‹(M.E.=ET=EK=EP)

Hareket Enerjisi(Kinetik Enerji)

Öteleme Kinetik Enerjisi

EK= 1 m v22

Dönme Kinetik Enerjisi

2EK= 1 12

I: Eylemsizlik momenti

: Aç›sal h›z

= vr

( (

Durgun Enerjisi(Potansiyel Enerji)

YerçekimiKuvvetine

Karfl› yap›lan iflEp=m g h

Yaylarda

Ep=1 k x22

KorunumluKuvvetlerde

Genel Çekim Elektrostatik

Ep=-Gd

m1m2. Ep=k d

q1 q2.

fiekil 5.8

Mekanik enerji diyagram›

A B

a

v1

v2

fiekil 5.9

m kütleli a ivmeli cismin bir do¤ru boyunca hareketi.



(5.12)

olarak bulunur. Cismin ortalama ivmesinin büyüklü¤ü ise,

(5.13)

eflitli¤iyle verilir. Cisim üzerine etki eden kuvvetin büyüklü¤ü Newton’un ikin-

ci yasas› kullan›larak;

(5.14)

ba¤›nt›s›yla yaz›labilir. Kuvvet ve al›nan yol ayn› do¤rultuda oldu¤u için arala-r›ndaki aç› 0° olacakt›r. Böylece Efl. 5.12, Efl. 5.13 ve Efl. 5.14, ifl efllene¤i Efl. 5.1 de

yerine koyuldu¤unda;

(5.15)

ifadesi elde edilir. Bu ifadedeki parantez içindeki terim kinetik enerji ad›n› al›r ve

(5.16)

eflitli¤iyle verilir. Böylelikle 5.15 eflitli¤i

W = DE k (5.17)

eflitli¤ine dönüflür. Bu eflitlik ifl-enerji teoremi olarak bilinir ve cisim üzerinde

yap›lan iflin kinetik enerjisindeki de¤iflim miktar›na eflit oldu¤una veya bir cismin

kinetik enerjisi de¤iflirse cismin üzerinde ifl yap›lm›fl olmas› gerekti¤ini ifade eder.

Efl. 5.16 incelenecek olursa; kinetik enerjinin, kütle ve h›z›n karesiyle do¤ru oran-

t›l› oldu¤una dikkat edilmelidir. Kütle iki kat›na ç›karsa kinetik enerjinin iki kat›na,

h›z iki kat›na ç›karsa kinetik enerjinin dört kat›na ç›kaca¤› aç›kt›r. Daha önce ifl ve

enerjinin skaler büyüklük oldu¤undan bahsedilmiflti. Bu nedenden dolay›, eflit

kütleye sahip iki cisim farkl› yönde h›z› ile ilerlerken yapt›klar› ifl te eflit olacakt›r

(fiekil 5.10).

E mvk = 1

22

W F x m a x

W mv v

t

v

= =

=−( )

+

. ( . ).

. .

∆ ∆

∆2 1 2 vv

t

W mv mv

W mv

1

22

12

2

2

1

2

1

21

2

( )

= −

=

∆

∆( ))

F m a mv v

t = =

−. ( )2 1

∆

∆ ∆∆

v a t av v

t = ⇔ =

−. 2 1

∆ ∆ ∆ x v t v v

t ort = = +

. ( ) .2 1

2


‹fl-enerji eflitli¤i: yap›lan iflcismin bafllang›ç ve sonkinetik enerjilerinin fark›d›r.

W E W

m v v

k = ⇔ =

−

∆

1

2 2

212

( )



Kinetik enerji de¤iflimi bulunurken ilk ve son h›z de¤erlerinin al›nd›¤›na dikkatediniz. H›z›n artma veya azalma biçimi de kinetik enerjiyi de¤ifltirmeyecektir. Efl.5.17’nin negatif de¤er almas› cismin h›z›n›n azald›¤›n›, cismin üzerinde bileflkekuvvetlerin yapt›¤› iflin giderek azald›¤›n› gösterir. Bir baflka de¤iflle cisim enerjikaybediyordur. Efl. 5.17’nin pozitif de¤er almas› ise cismin h›z›n›n artt›¤›n› veyacismin enerji kazand›¤›n› gösterir.

Birden fazla parçac›ktan oluflan sistemlerde (birden farkl› cisim oldu¤u durum-larda) kinetik enerji sistemi oluflturan her parçac›¤›n›n kinetik enerjileri toplam›d›r.

10 m/s h›zla hareket eden 40 k g kütleli bir cismin h›z›n› 20 m/s’ ye ç›karmak için

cisme kaç J’lük enerji vermek gereklidir?

Çözüm:Soruyu cevapland›rabilmek için Efl. 5.17 ile verilen ifl-enerji eflitli¤ini kullanaca-

¤›z. Cismin ilk h›z› v 1 = 2 m/s, son h›z›n›n v 2 = 20 m/s olarak verilmiflti. Bu durumda

W = 8000 - 2000

W = 6000 J

olarak bulunur.

W E mv mv

W

k = = −

= −

∆ 1

2

1

2

1

2 40 20

1

2 40 10

22

12

2 2. .


m

v

m

v

m

v

m

v2

v

2m

m

v

Kütle ayn›, h›z ayn›, yön fakl› ise; yap›lan ifl eflittir

Ayn› h›z, iki kat büyük kütle; kinetik enerji iki kat büyük olur.

Ayn› kütle, iki kat h›z; kinetik enerji dört kat büyük olur.

fiekil 5.10

Farkl› cisimlerin

kinetik enerjilerinin karfl›laflt›r›lmas›

E mvk

= 1

2

2

Ö R N E K



fiekil 5.11.’daki 5 k g’l›k cisim, 1,5 N’luk yatay kuvvet etkisiyle 20 m hareket ederek

A noktas›ndan B noktas›na geliyor. A noktas›ndaki h›z› 2 m/s oldu¤una göre B

noktas›ndaki h›z›n›n kaç m/s oldu¤unu bulunuz.

Çözüm:Soruyu cevapland›rabilmek için Efl. 5.17 ile verilen ifl-enerji eflitli¤ini kullanaca-¤›z. Cismin ilk h›z› v 1=10 m/s, son h›z›n›n v 2=20 m/s olarak verilmiflti. Bu durumda

W = DE k

2,5.v 22 = 40

v 2 = 4 m/s

olarak bulunur.

Sabit h›zla hareket eden bir otomobilde floför aniden frene bast›¤›nda otomobilin kinetik

enerjisi de¤iflir mi? E¤er de¤ifliyorsa de¤iflen kinetik enerji ne olmufltur?

Potansiyel EnerjiPotansiyel enerjiyi her an ifl yapabilecek (ifl yapabilme potansiyeline sahip) enerjiolarak tarif edebiliriz. Cismin bulundu¤u ortam›n veya ba¤l› bulundu¤u düzene¤indurumu sonucunda ortaya ç›kar. Potansiyel enerji cismin hareket etti¤i ortamda ci-sim olsa da olmasa da sürekli bulunan kuvvetlere karfl› yap›lan ifl olarak da tarif edilir. Yerçekiminin oldu¤u bir ortamda, çekim kuvvetinin cisim üzerinde yapt›¤›ifl, potansiyel enerji olarak tan›mlan›r.

Potansiyel enerji kavram›n› örneklerle aç›klayal›m. Önce yerçekimine karfl› ya-p›lan iflin karfl›l›¤› olan ifle örnek verelim. Ev arkadafl›n›zla marketten birer top al-d›n›z. ‹kinci katta bulunan evinize siz merdivenleri, arkadafl›n›z ise asansörü kulla-

narak ç›kt› (fiekil 5.12).

v22 40

2 5 16= =

,

F x mv mv

v

.

, . . . . . ( )

.

∆ = −

= −

1

2

1

2

1 5 20 1

25

1

25 2

1

2

5

22

12

22 2

.. v22

30 10= +


Ö R N E K

fiekil 5.11

A B

cisim

v1=2m/s v

2=?

x

∆x=20m

Bir cismin A noktas›ndan B noktas›na yapt›¤› hareket

SIRA S‹ZDE

2

Potansiyel enerji: cisminyere göre konumundankaynaklanan enerjidir veyabaflka de¤iflle yerçekimikuvvetine karfl› yap›lan ifltir.



fiimdi elinizdeki top üzerinde yerçekimi kuvvetlerinekarfl› harcanan enerjiyi bulal›m. Topun kütlesini m olarakal›rsak a¤›rl›¤› mg büyüklü¤üne sahip olacak ve yönü afla-

¤›ya do¤ru olacakt›r. ‹kinci katta bulunan evinizin yerden yüksekli¤i de h olarak verilsin. Asansörle de ç›k›lsa merdi- venle de ç›k›lsa toplar, yerçekimi vektörünün yönündeayn› yüksekli¤e (h ) ç›kar›lm›flt›r. Merdivenlerdeki dönüfl-lerde fazladan gidilen yatay yollar yerçekimi kuvveti vek-törü ile 90° aç› yapt›¤›ndan ifl yap›lmaz kabul edilir. ‹fl ya-p›labilmesi için uygulanan kuvvetin cismin ald›¤› yol do¤-rultusunda bilefleni olmas›n› gerekti¤ini hat›rlay›n. Bu du-rumda yerçekimine karfl› yap›lan ifl her iki durumda da ay-n›d›r ve W = mgh olarak verilir. Bu ifl topun kazand›¤› po-tansiyel enerjiye eflittir ve

E p = mgh (5.18)

ba¤›nt›s›yla verilir. Bu enerji m kütleli top üzerinde depolanm›flt›r ve top buenerji ile ifl yapma yetene¤ine sahiptir ve cismin yüksekli¤inden dolay› kazand›¤›bu enerjiye potansiyel enerji denir. Top yukar›dan b›rak›rsak afla¤›ya do¤ru h›z-lan›r. Böylece sahip oldu¤u enerji kinetik enerjiye dönüflür. Yere çarpt›¤› an po-tansiyel enerjinin tümü kinetik enerjiye dönüflmüfl olur.

Makara a¤›rl›¤›n›n ve sür-

tünme kuvvetinin önem- senmedi¤i fiekil 5.13’teki

sistemde m kütleli cisim sa-

bit h›zla h kadar afla¤›ya

çekiliyor F kuvvetinin yap-

t›¤› ifl kaç mgh olur?

Çözüm:Soruyu cevapland›rabilmek için Efl. 5.18 ile verilen potansiyel enerji eflitli¤ini

kullanaca¤›z ve sistemi aflama aflama inceleyece¤iz.fiekilde görüldü¤ü gibi K noktas› h kadar afla¤›

inerse L noktas› da h kadar, M noktas› 2h kadar yu-kar› ç›kacakt›r. Y cismine ait potansiyel enerji E P(Y) ,

X cismine ait potansiyel enerji E P(X) olsun.

∆E P(Y) = 2m.g.2h (pozitif ifl)

∆E P(X) = -m.g.h (negatif ifl)

W = ∆E

W = 4m.g.h - m.g.h

W = 3m.g.h

kuvvetin yapt›¤› ifl olarak bulunacakt›r.


h2

h

fiekil 5.12

Topla birlikte, h yüksekli¤ine, merdiven ve asansör kullanarak ç›kan iki kifli.

Ö R N E K

X

h

K

m

F

2m Y

fiekil 5.13

Biri sabit di¤eri hareketli

makaradan oluflan sistem

X

h

K

m

h

F2h

2m

M

Y

h

L



Da¤a bisikletle ve yürüyerek ç›kan sporculardan bisiklet ile ç›kan daha fazla zorlan›r. Ne-

den?

Esneklik Potansiyel EnerjisiEsnek cisimler gergin veya s›k›fl›k konumda iken, cismi eski konumuna getirecekkuvvetlerin cisim üzerinde yapt›¤› ifl, esneklik potansiyel enerjisi olarak isim-lendirilir. Bir sünger topu s›k›ld›ktan sonra tekrar eski konumuna gelmesi ya da fie-kil 5.14’teki gibi bir yaya F kuvveti uygulan›p x kadar uzat›ld›ktan sonra yay›n es-ki konumuna gelmesi esneklik potansiyel enerjisine birer örnektir.

Sürtünmesiz bir yüzeyde bir yay›n ucunu du-

varda sabit bir A noktas›na, di¤er ucunu da bir

cisme ba¤layal›m (fiekil 5.15). Cismi çekerek yay›x kadar gerelim (yay›n uzamam›fl durumdaki ko-

numunu s›f›r ald›k). Bu durumda yay tekrar eski

konumuna gelmeye çal›fl›r ve yayda F kuvveti do-

¤ar. Bu kuvvete geri ça¤r›c› kuvvet denir. Geri

ça¤›r›c› kuvvetin uzama miktar›na ba¤l› de¤iflimi

fiekil 5.16’da verilmifltir. Geri ça¤›r›c› kuvvet hak-

k›nda daha genifl bilgi için Ünite 3’e bak›n›z.

Kuvvetin yapt›¤› ifl germe veya s›k›flt›rma uzun-

lu¤u ile do¤ru orant›l› oldu¤undan kuvvet-yol gra-

fi¤i do¤rusald›r. Kuvvet-yol e¤risinin alt›nda kalanalan kuvvetin yapt›¤› ifli verdi¤i bilindi¤inden; fie-

kil 5.16’daki üçgeninin alan› olarak

bulunur. Bu ifl kuvvet sabiti k olan yay›n denge

konumundan x kadar uzaklaflt›¤›nda yayda depo-

lanan esneklik potansiyel enerji de¤iflimine eflit

olur. Bu nedenle esneklik potansiyel enerjisi

(5.20)

ile verilir. Yap›lan bu ifl yay›n ucundaki cismin bulundu¤u yere ba¤l›d›r yani negidilen yola ne de o yol boyunca nas›l gidildi¤inden ba¤›ms›zd›r.

E kxep

= 1

22

W kx= 1

2

2


SIRA S‹ZDE

3

Esneklik potansiyelenerjisi: esnek cisimleridenge konumundanuzaklaflt›rmak için verilenveya denge konumundanuzaklaflm›fl esnek cisimleritekrar denge konumunadöndürmek için al›nanenerjidir.

fiekil 5.14

x x

x

F=0

F

2F

F=0

W=EP

F (N) = k.x (m)

F kuvveti etkisi alt›ndaki bir yaya ait esneklik

potansiyel enerjisi

fiekil 5.15

x

A

A

Sürtünmesiz yatay düzlemde bir yaya ba¤l› m kütlesinin hareketi

fiekil 5.16

F(N)

x(m)x

F(x)=kx

0

Geri ça¤›r›c› kuvvetin uzama

miktar›na ba¤l› de¤iflimi



Efl. 5.20’yi bulurken neden yerçekimi kuvvetinin yapt›¤› ifl hesaba kat›lmad›?

m kütleli fiekil 5.17’de görüldü¤ü gi-

bi x kadar s›k›flt›r›lan yay›n önüne

yerlefltirilmifltir. Cisim serbest kald›k-

tan sonra K noktas›ndan geçerken ki

kinetik enerjisi 150 J oldu¤una göre

M deki kinetik enerjsi kaç joule dür?

(Sürtünme önemsiz olup, N noktas›

ile O noktas› eflit aral›kl›d›r.)

Çözüm:fiekildeki N ile O aras›n›n eflit a

uzunlu¤una bölünmüfl oldu¤unudüflünelim. Yay 4a s›k›flt›r›ld›¤›nda

yay›n potansiyel enerjisi, yap›lan ifleeflit olaca¤›ndan;

W = F.∆x ve yay için F = k ∆x

W = 16E

olacakt›r. N noktas›nda toplam enerji, kinetik enerji de¤iflimi s›f›r olaca¤›ndanpotansiyel enerji de¤iflimine eflit olur. Yay serbest kald›¤› an “O ” denge noktas›nakadar potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüflecektir. Soruda K noktas›ndaki kine-tik enerji de¤eri 150 J olarak verilmifltir. K noktas›ndaki potansiyel enerjisi buluna-cak sonrada M noktas›ndaki kinetik enerji hesaplanacakt›r.

N noktas›ndaki toplam enerji, potansiyel enerji ve kinetik enerji;

M noktas›nda toplam enerji, potansiyel enerji ve kinetik enerji;

W = ∆E = 16E

∆E P = k .(∆x )2 = k .(3a)2 = 9k a2

k a2 = E ise

∆E P = 9E

∆E K = ∆E - ∆E P = 16E - 9E = 7E

W E

W E

E

E E P

K

P

=

=

=

=

∆

∆

∆

∆

,

,

0

16

W k x k a ka E = = ⇒ =.( ) .∆ 2 2 216 düşünülürse


SIRA S‹ZDE4

Ö R N E K

N M L K O

yatayX

fiekil 5.17

Denge konumundan (O noktas›) x kadar s›k›flt›r›lm›fl yay sistemi

a a a a

N M L K O

Denge konumu

yatay



L noktas›nda toplam enerji, potansiyel enerji ve kinetik enerji;

W = ∆E = 16E

∆E P

= k .(∆x )2 = k .(2a)2 = 4k a2

k a2 = E ise

∆E P = 4E

∆E K = ∆E - ∆E P = 16E - 4E = 12E

K noktas›nda toplam enerji, potansiyel enerji ve kinetik enerji;

W = ∆E = 16E

∆E P = k .(∆x )2 = k .(a)2 = k a2

k a2 = E ise

∆E P = E

∆E K = ∆E - ∆E P = 16E - E = 15E ∆E K = 150 J idi

15E = 150 J E = 10 J

olur ve böylece M noktas›ndaki kinetik enerji;

∆E K = 7E

∆E K = 7.10 = 70 J

olarak hesaplanm›fl olur.

Enerjinin KorunumuEnerji ne yoktan var edilebilir ne de varken yokedilebilir, fakat bir formdan baflka bir forma dö-nüflebilir. Bu dönüflüm s›ras›nda toplam enerjidaima ayn› kal›r, de¤iflmez. Bir kinetik enerji po-tansiyel enerjiye ya da sürtünme kuvvetlerin yap-t›¤› ifle harcanabilir. Belirli bir h›zla giden arac›nfrene bas›p durmas› s›ras›nda arac›n h›z›ndan do-lay› sahip oldu¤u kinetik enerji, sürtünme kuv-

vetlerinin yapt›¤› ifle dönüflmüfltür. fiimdi ikincikata tafl›d›¤›m›z top örne¤imize tekrar dönelim.

Elimizdeki topu pencereden afla¤›ya do¤ru b›ra-kal›m (fiekil 5.18). Bu durumda pencereden b›-rakt›¤›m›z anda ilk h›z› s›f›r olan topumuz her-hangi bir düflüflte dahi belirli bir h›za kavuflacak-t›r. Baflka bir deyiflle yukar›ya ç›kart›l›rken topakazand›r›lan potansiyel enerji kinetik enerjiyedönüflecektir. Yani topun potansiyel enerjisi aza-l›rken kinetik enerjisi artacakt›r. Bu durumun ter-si de mümkündür. Top düfley ilk h›zla yerden

yukar›ya do¤ru f›rlat›l›rsa, yükseldikçe topun ki-netik enerjisi azal›rken potansiyel enerjisi artar.

⇒


fiekil 5.18

v2

v3

h2

h

h yüksekli¤inden b›rak›lan m kütleli bir topun hareketi.



Bu durumu flu flekilde ifade edilebiliriz. E¤er potansiyel enerjideki de¤iflim ∆E p ,kinetik enerjideki de¤iflim ∆E k olarak tan›mlan›rsa,

∆E p

= - ∆E k

(5.21)

olmal›d›r. Bafllang›çtaki enerjiler için 1 indisi sondaki enerjiler için 2 indisi kul-lanarak Efl. 5.21

E p 2 - E p 1 = -(E k 2 - E k 1) (5.22)

olarak yaz›labilir. Eflitlik 5.22’yi tekrar düzenleyerek

E p 1 + E k 1 = E p 2 + E k 2 (5.23)

ifadesi bulunur. Bu eflitlik mekanik enerjinin korunumu ifadesi olarak bilinir vebir durumdaki toplam mekanik enerjinin bir baflka durumdaki toplam mekanikenerjiye eflit olaca¤›n› ifade eder. Bu ifadeyi fiekil 5.18’deki topun hareketi için da-ha aç›k yazacak olursak;

(5.24)

eflitli¤ini elde ederiz. E¤er sistemde yay da var ise mekanik enerjinin korunumifadesi (Efl. 5.23) daha genel olarak

E p 1 + E k 1 + E ep 1 = E p 2 + E k 2 + E ep 2 (5.25)

fleklinde kullan›l›r.Enerji korunumu sorular›n› çözerken dikkat edilmesi gereken noktalardan biripotansiyel enerji için referans noktas›n›n neresinin seçildi¤idir. Genellikle referansnoktas› cisimlerin bulunabilece¤i minimum konum seçilir ama bu flart de¤ildir. Çö-zülen soru boyunca referans noktas›n›n sabit kalmas› yeterlidir.

Hidroelektrik santraller hangi enerji türünü hangi enerji türüne nas›l dönüfltürürler?

GÜÇ VE VER‹MBaz› durumlarda yap›lan iflin ne kadar zamanda yap›ld›¤› önem tafl›r. Bu nedenlegüç kavram› ortaya at›lm›flt›r. Güç, birim zamanda yap›lan ifl veya ifl yapma h›z›

olarak tan›mlan›r. Yap›lan ifl W ve iflin yap›ld›¤› süre ∆t ise güç;

(5.26)

eflitliyle verilir. Eflitlik 5.26 ifl ifadesi kullan›larak düzenlenirse,

P W

t =

∆

mgh mv mgh mv1 12

2 221

2

1

2+ = +


SIRA S‹ZDE5



(5.27)

ba¤›nt›s› da türetilebilir. Gücün birimi joule/saniye ( J/s) veya watt (W)’d›r. Pra-tikte güç için beygir gücü (veya buhar beygiri) birimi de kullan›l›r (1 BG=746 W).Baz› durumlarda ifl-enerji birimi için güç tan›m› kullan›larak (güç x zaman) olarak

verildi¤i de olur, örne¤in watt-saat veya kilowatt-saat ifl-enerji birimleridir.

fiekil 5.19’da gösterilen motorun, 2 kg küt-

leli bir cismi 5 m/s sabit h›zla yukar› çeker-

ken harcad›¤› güç kaç Watt’t›r? (g = 10 m/s2 )

Çözüm:Soruda verilenleri kullanarak formülde

yerine koymak çözüme ulaflmam›z› sa¤la- yacakt›r.

P = F.v

P = (m.g).v = 2 (kg).10 (m/s 2 ).5 (m/s)

P = 100W

Sa¤l›kl› yaflam için doktorlar günde 30 dakika yürümenin flart oldu¤unu ifade etmektedir.

Sizce farkl› kütlelere sahip, ayn› mesafeyi ayn› zamanda yürüyen kiflilerin harcad›¤› ener-

ji ve güç de¤iflir mi?

Elektrikle çal›flan su motoru, kendinden 10 m yüksekte bulunan bir depoya 10 da-

kikada 600 kg su çekiyor. Motorun gücü kaç W’t›r?

Çözüm:Güç ifadesini kullanarak soruyu yan›tlayabiliriz. Suyu yukar›ya ç›karmakla yer-

çekimine karfl› bir ifl yapar›z ve bu ifl mgh olarak karfl›m›za ç›kar. Sonuçta,

olarak bulunur.Bir makinenin verimi, makineden al›nan gücün makineye verilen güce oran›

olarak tarif edilir. Verim h simgesi ile gösterilir ve

(5.28)

eflitli¤iyle verilir. Sürtünme, ses, ›fl›k, deformasyon gibi enerji kay›plar› nedeniy-le al›nan güç hiçbir zaman verilen güce eflit olamaz. Dolay›s›yla verim her zaman

1’den küçüktür.

η = ALINAN GÜÇ

VERİLEN GÜÇ

P W

t

P

mgh

t

=

= = =

∆

∆

600 10 10

10 60 100

. .

. W

P W

t

F x

t

x

t v olduğu için= = ⇒ =

∆

∆

∆

∆

∆

.

P F r

t F

r

t Fv= =

=

∆

∆

∆

∆

coscos cos

αα α


Ö R N E K fiekil 5.19

mg

2 kg

F 5 m/s

Sabit

P=?

Motor

Sabit h›zla 2kg’l›k cismi çeken motor sistemi.

SIRA S‹ZDE

6

Ö R N E K

1 J/s=1 N.m/s’dir

1 kW- saat=3,6x106 J’dür



fiekil 20’deki makara sistemin-

de P a¤›rl›kl› cisim, F kuvvetiy-

le sabit h›zla yükseltiliyor. Ma-

karan›n verimi %50 oldu¤una

göre F kuvvetinin büyüklü¤ü

kaç P dir?

Çözüm:Bu soruyu Efl.5.28 kullanarak yan›tlayabiliriz. ‹pin ve yükün yükselme miktar›makara a¤›rl›¤›ndan ba¤›ms›z oldu¤u unutulmamal›d›r.

(yük h ç›karsa, kuvvet ipi 2h çeker.)

F = P olarak bulunur.

D›fl enerji gereksinimi olmadan çal›flabilecek bir ayg›t/araç tasarlamak mümkün müdür?

1

2

P.h

F.2h= ⇒

50

100

P.h

F.2h=

η = ALINAN GÜÇ

VERİLEN GÜÇ


F

P

fiekil 5.20

Makara sistemi

h

2h

G

F

P

Ö R N E K

SIRA S‹ZDE 7




Fizikte ifl kavram›n› aç›klamak.

Bir cisim üzerine etkiyen F gibi sabit bir kuvvet

cisme ∆r kadar yer de¤ifltirme sa¤l›yorsa yap›-

lan ifl,

W = F ∆r cos (a)

ile verilir.

Bir kuvvet kendi ilerleme do¤rultusunda yol al›-

yorsa ifl yapar. Yap›lan ifluygulanan kuvvetin flid-

detine, do¤rultusuna ve yerde¤ifltirmesine ba¤l›-

d›r. Etkiyen kuvvetin yönü ile yerde¤ifltirme vek-

törünün yönleri dikkate al›nd›¤›nda ifl negatif ve-

ya pozitif büyüklük olarak karfl›m›za ç›kabilir.‹flin birimi SI birim sistemine göre joule ve CGS

birim sistemine göre erg’dir.

‹fl ve enerji aras›ndaki iliflkiyi betimlemek.

Bir cisme bir kuvvet uyguland›¤›nda, bu kuvve-

tin ifl yapabilmesi için i) cismin yerde¤ifltirme

yapmas› ii) cismin yerde¤ifltirme do¤rultusunda

uygulanan kuvvetin bir bilefleni olmas› gerekli-

dir. Bir cisim üzerinde yap›lan net ifl ile cisme

enerji aktar›l›r veya cisimden enerji al›n›r. Bir bafl-

ka deyiflle, cismin ifl yapabilmesi için enerjiye

gereksinimi vard›r. Bu bak›mdan ifl ve enerji bi-

rimleri ayn›d›r.

Kinetik enerji, potansiyel enerji ve esneklik po-

tansiyel enerjisini tan›mlamak.

Bir cismin h›z›ndan dolay› sahip oldu¤u enerjiye

kinetik enerji, durumu ve konumundan dolay›

sahip oldu¤u enerjiye potansiyel enerji denir.

Kütlesi m , h›z› v olan cismin kinetik enerjisi

eflitli¤iyle verilir. Yerden h kadar yükseklikte bu-

lunan m kütleli bir cismin yere göre sahip oldu-

¤u potansiyel enerji

E p = mgh

ifadesiyle, orijinal konumundan x kadar gerilmifl

veya s›k›lm›fl kuvvet sabiti k olan yaydaki esnek-

lik potansiyel enerjisi ise,

ba¤›nt›s›yla verilir.

Enerjinin korunumu yasas›n› aç›klamak.

Bir cisim üzerinde d›fl kuvvetler taraf›ndan yap›-

lan ifl, cismin kinetik enerjideki de¤iflim miktar›-

na eflittir ve ifl-enerji eflitli¤iyle,

W = ∆E k

fleklinde gösterilir. Mekanik enerji korunumlu bir

nicelik olup, birbirinden farkl› iki durumdakienerjiler birbirine eflittir;

E p 1 + E k 1 + E ep 1 = E p 2 + E k 2 + E ep 2

Enerji bir formdan baflka bir forma dönüflebilir.

Güç ve verim kavramlar›n› tan›mlamak.

Güç birim zamanda yap›lan ifl miktar› olarak ta-

n›mlan›r ve

eflitli¤iyle gösterilir. Güç birimi watt’t›r. Verim,

eflitli¤iyle verilir ve makineden al›nan gücün ma-

kineye verilen güce oran› olarak tarif edilir.

η = ALINAN GÜÇ

VERİLEN GÜÇ

P W

t Fv= =

∆cos( )α

E kx yay =

1

2

2

E mvk

= 12

2

Özet

1

A M A Ç

2

A M A Ç

3

A M A Ç

4

A M A Ç

5

A M A Ç




1. Afla¤›daki ifadelerden hangisi enerji birimi olan J’e

eflde¤erdir?

a. kgm/s

b. kgm3/s2

c. kgm2/s2

d. kgm/s2

e. kgm2/s

2. Sürtünmeli bir düzlemde, durmakta olan m kütleli

bir cisim flekilde gösterildi¤i gibi F =100 N büyüklü¤ün-

de bir kuvvetle çekilmektedir. 2 m sürüklemenin so-

nunda cismin üzerine yap›lan ifl 300 J ise sürtünme kuv-

vetinin büyüklü¤ü kaç N’dur?

a. 100

b. 70

c. 50

d. 25e. 0

3. Kinetik enerjisi 100 J olan 2 kg kütleli bir cismin h›-

z› nedir?

a. 50

b. 25

c. 20

d. 10

e. 5

4. Yerden h yüksekli¤inden serbest b›rak›lan bir cis-min h/ 2 yüksekli¤ine geldi¤inde h›z› nedir?

a. gh

b.

c.

d.

e.

5. Tavandan as›l› ideal sarmal bir yay›n serbest ucuna

8,0 kg’ l›k bir kütle tak›l›yor. Kütle yay›n ucunda as›l›

duruyorken, yay bafllang›ç durumuna göre 10 cm uzu-

yor. Bu durumda iken yayda toplanan potansiyel ener-

ji kaç joule’dür?

a. 1

b. 2

c. 4

d. 8

e. 16

6. fiekildeki gibi kütlesi 4 kg olan bir cisim, yatay sür-

tünmesiz bir düzlemde h›zla gelerek bir ucu tutturul-mufl yay sabiti 100 N/m olan yay›n serbest ucuna çarpa-

rak 2 cm s›k›flt›r›yor. Cismin bafllang›çtaki h›z kaç m/s’dir?

a. 0,5

b. 0,4c. 0,3

d. 0,2

e. 0,1

gh

2 gh

5 gh

7 gh


F

d=2m.

=37°i

m10 cm

V=0

1 2

x

A

A

vm




7. Kütlesi 2 kg olan cisim 10 m/s h›z ile A noktas›ndan

hareketine bafll›yor, d =8 m’lik e¤ri yolu al›yor ve h =2 m

yüksekli¤e ç›k›yor. Ald›¤› yol boyunca cisim üzerine

F S =6

N’luk sürtünme kuvveti etki ediyor. Cisim B nok-tas›na ulaflt›¤› andaki h›z› kaç m/s olur?

a. 0

b.

c.

d. 2

e.

8. Motorun gücü kaç 4 W olan bir su motoru, kendin-

den 1 m yüksekte bulunan bir depoya 1 dakikada en

fazla kg su çekebilir?

a. 24

b. 15

c. 8

d. 4

e. 1

9. Bir deniz motorunun h›z› 10 m/s iken pervanenin

gücü 50 beygir gücündedir. Motor bu h›zla durdurmak

istenirse ba¤l› oldu¤u ipte kaç N’luk gerilme oluflur? (1

BG=746 W)

a. 5

b. 50

c. 746

d. 3730

e. 5000

10. Verimi %75 olan bir motor derinli¤i 20 m olan artez-

yen kuyusundan dakikada 45 kg su çekebilmektedir.

Bu motorun gücü kaç W’t›r?

a. 200

b. 175c. 150

d. 125

e. 100

5

3

2

B

h

d

m

A

o




4 May›s 2002

7’DEN 77’YE OKUL DIfiI B‹LG‹LER

“Bay Lunapark”› tan›r m›s›n›z?

E¤lence denince, benim akl›ma dönme dolaplar, sal›n-caklar, güldüren aynalar ve korku tünelleri gelir. Baba-

m›nsa tahterevalli, Karagözcü, kukla tiyatrosu ve kay›k

sal›ncaklar...

Ablalar›n›z›n akl›na, çarp›flan otomobiller, dönen uçak-

lar, dönme dolaplar gelirken; flimdi h›zla de¤iflen tek-

nolojiyle sizlerin akl›na, befl yüz kilometre h›zla giden

uzay otobüsü, kollu makineler, içinden küçük kay›klar-

la geçilen saydam su borular›, her köfleden size uzay

tabancas›yla atefl eden Fairman’ler, bafllar›n› delikler-

den ç›karan tarla fareleri geliyor...

Yani sizin anlayaca¤›n›z, sonunda böyle bir yere git-mek istedi¤imizde hepimizin akl›na o park, yani luna-

park geliyor.

Peki hiç düflündünüz mü bu lunapark sözcü¤ünün ne-

reden geldi¤ini? Neden dünyan›n her yerinde e¤lence

yerlerine lunapark denildi¤ini?..

‹flte size lunapark›n k›sac›k öyküsü

Anatoliy Lunaçarskiy bir siyaset adam›. Ayn› zamanda

da baflar›l› bir sanat ve edebiyat tarihçisi. 1905 y›l›nda

ülkesinden Fransa’ya kaçmak zorunda b›rak›l›nca, ya-

flam›n› sürdürebilmek için kendi ad›n› verdi¤i bir park

kiralam›fl ve bu parkta tam on iki y›l›n› niflan tahtalar›,

sallanan tahta atlar, tahterevallilerle oynayan çocuklara

sandviç satarak geçirmifl.

O memleketine döndükten sonra da, çocuklar Luna-

çarskiy’ nin park›n› unutmam›fllar ve bu parka “Luna’n›nPark›” anlam›nda “Lunapark” demifller.

‹flte bizde de, dünyan›n dört bir köflesinde baflka baflka

isimler tak›lsa da, lunaparklar›n ad› Lunaçarskiy Am-

ca’dan geliyor...

Yazar›nda dedi¤i gibi lunapark her ça¤›n bir neflesi bir

e¤lencesidir. Lunaparklarda kullan›lan mekanik düze-

neklerin çal›flmas›nda temel prensip fizik ilkelerinin

kullan›lmas›d›r. Bu bak›mdan lunaparklar adeta bir can-

l› fizik laboratuvar ortam›n› and›r›r.

Belirli bir eksen etraf›nda dönen düzlem ve bu düzle-

me sabitlenmifl ziyaretçilerin savrulmas› üzerine kuruluatl›kar›ncaya binmeyenimiz hemen hemen yoktur. Otur-

ma yerleri zincirlerle bir dönen tablaya ba¤lanan, dö-

nünce bir yelpaze gibi aç›lan uçan sandalye makinesi-

ne binmek ise büyüdü¤ümüzün bir göstergesidir sanki.

Bunun yan›nda adrenalin seviyesini oldukça artt›ran,

yükseklere ç›k›p birden inen heyecanl› lunapark treni

ise son y›llar›n en e¤lenceli makinelerindendir. fiimdi

bu trenin çal›flmas›ndaki fiziksel olaylara bir bakal›m.

Tren bir zincir halat yard›m›yla raylar›n tepe noktas›na

ç›kar›l›r. Tepeye yaklaflt›r›ld›¤›nda h›z› yavafllat›l›r ve

durma noktas›na getirilir. Bu noktada iken, trenin po-tansiyel enerjisi en büyük de¤erdedir. Tren, hafif bir

hareketle alçalan rayda hareket eder ve oldukça h›zla-

n›r. Dolay›s›yla kinetik enerjisi artar. Bir baflka deyiflle

tepedeyken kazand›¤› potansiyel enerjisi kinetik enerji-

ye dönüflür. Sürtünmelerden kaynaklanan enerji kayb›

ise trene ba¤l› küçük bir motor yard›m›yla telafi edilir.

Sonuçta lunapark trenimiz asl›nda bir enerji dönüflüm

makinesi olarak çal›fl›r.

Yaflam›n içinden

”

“




1.c Yan›t›n›z yanl›flsa “‹fl” bafll›kl› konuyu gözden

geçiriniz.

2.b Yan›t›n›z yanl›flsa “Do¤ru Boyunca Sabit Bir

Kuvvetin Yapt›¤› ‹fl” bafll›kl› konuyu gözden ge-

çiriniz.

3.d Yan›t›n›z yanl›flsa “Kinetik Enerji” bafll›kl› konu-

yu gözden geçiriniz.

4.e Yan›t›n›z yanl›flsa “Potansiyel Enerji” bafll›kl› ko-

nuyu gözden geçiriniz.

5.c Yan›t›n›z yanl›flsa “Esneklik Potansiyel Enerjisi”

bafll›kl› konuyu gözden geçiriniz.

6.a Yan›t›n›z yanl›flsa “Esneklik Potansiyel Enerjisi”


7.b Yan›t›n›z yanl›flsa “Enerji Korunumu” bafll›kl›

konuyu gözden geçiriniz.

8.a Yan›t›n›z yanl›flsa “Güç ve Verim” bafll›kl› ko-

nuyu gözden geçiriniz

9.d Yan›t›n›z yanl›flsa “Güç ve Verim” bafll›kl› ko-


10.a Yan›t›n›z yanl›flsa “Güç ve Verim” bafll›kl› ko-


S›ra Sizde 1

‹fl kuvvet ile yerde¤ifltirme vektörünün büyüklü¤ü ile

her iki vektörün aras›ndaki aç›n›n kosinüsü çarp›na

eflittir. Soruda çocuklar›n birisinin di¤erine göre iki kat

kuvvetli oldu¤u ve yerde¤ifltirmenin ayn› uzakl›k ol-

du¤u bilgisi verilmektedir. Çocuklar›n yapt›¤› ifli ayr›

ayr› yaz›p eflitleyelim. Çocuklardan iki kat kuvvetli

olan›n, kuvvet vektörü ile yerde¤ifltirme vektörü ile

aras›ndaki aç› a, yap›lan ifl W 1, di¤erinde ise kuvvet

vektörü ile yerde¤ifltirme vektörü ile aras›ndaki aç› i,

yap›lan ifl W 2 olsun.

W 1 = Fd cos (a)

W 2 = 2Fd cos (i)W 1 = W 2Fd cos (a) = 2Fd cos (i)

cos (a) = 2 cos (i)

Bu eflitli¤in sa¤land›¤› her durumda çocuklar eflit ifl ya-

par. Bu durumu biraz daha irdeleyelim. Kosinüs fonk-

siyonu en küçük -1 en büyük 1 de¤erini alabilir. Bu du-

rumda cos (i) de¤eri 0,5’den büyük de¤er alamaz, bir

baflka de¤iflle i aç›s› 60°’den küçük olamaz. Örnek ola-

rak i aç›s› 60° olursa a = 0 olur (fiekil 5.21).

S›ra Sizde 2Otomobil frene bast›¤› andan itibaren h›z›nda bir azal-

ma olaca¤› aç›kt›r. Kinetik enerji h›z›n karesi ile do¤ru

orant›l›d›r (Efl. 5.13). Bu durumda otomobil frene bast›-

¤›nda kinetik enerjisi azal›r. Kinetik enerji de¤iflimi ise

ifl-enerji eflitli¤i (Efl. 5.14) ile ifle eflittir. Bu ifli yapan

kuvvet ise sürtünme kuvvetleridir.


W

N

2F

F

fiekil 5.21: S›ra sizde 1 için örnek durum.

S›ra Sizde Yan›t Anahtar›




S›ra Sizde 3

Da¤a ç›karken sporcular yerçekimi kuvvetine karfl› ifl

yaparlar. Kütlesi m olan yürüyerek ç›kan sporcu mgh

ile tan›mlanan potansiyel enerji toplar. Bisiklet ile ç›kan

sporcu için toplam kütle yürüyerek ç›kan sporcuya gö-

re daha fazlad›r, bisikletin kütlesi (m B) eklenmifltir. Bu

durumda yerçekimine karfl› yap›lan ifl (m +m B)gh ka-

dard›r. Yani bisikletli olan sporcu t›rmanmak için daha

fazla enerjiye ihtiyaç duyar.

S›ra Sizde 4

Yerçekimi kuvvetinin yönü yay›n uzama vektörü ara-

s›ndaki aç› 90°’dir. Bu durumda yay›n gerilmesine yer-

çekimi kuvvetinin bir etkisi olmaz. Bu nedenle Efl. 5.17

türetilirken yerçekimi kuvveti hesaba kat›lmas›na gerek yoktur.

S›ra Sizde 5

Hidroelektrik santrallerde barajlarda toplanan suyun

kullan›ld›¤›n› biliyoruz. Toplanan suyun kütle merkezi

zeminden yüksektedir. Bu durumda su potansiyel ener-

jiye sahiptir. Baraj›n zemine yak›n yerlerde ise suyun

ak›fl›n› sa¤layacak kapaklar bu kapaklar›n bulundu¤u

yerde ise tribünler bulunur. Su buradan geçerken tri-

bünleri döndürür. Yani suyun sahip oldu¤u potansiyel

enerji, tribünlerin dönmesiyle kinetik enerjiye dönüflür ve bu kinetik enerjide tribünlerin ba¤l› oldu¤u motorlar

yard›m›yla elektrik enerjisine dönüflür.

S›ra Sizde 6

Güç birim zamanda yap›lan ifl miktar›d›r. Yap›lan ifl ise

harcanan veya depolanan enerji miktar›na eflittir. Efl.

5.24’e göre güç, kuvvet ile h›z vektörünün büyüklü¤ü

ile her iki vektörün aras›ndaki aç›n›n kosinüsü çarp›na

eflittir. Yürüyüfl yapanlar ayn› mesafeyi ayn› zamanda

yürüdüklerine göre h›zlar› ayn›d›r. Fakat kütleleri farkl›

oldu¤u için kuvvet farkl›d›r, kütlesi fazla olan›n daha

fazlad›r. Enerji için ise kütlesi fazla olan›n daha fazla ifl

yapt›¤› hemen söylenebilir. Bu durumda kütlesi fazla

olan kiflilerin harcad›klar› enerji ve güç fazlad›r. Diyet

yapmaya yeni bafllayan kiflilerin kütleleri fazla oldu¤u

için enerji harcama (kilo verme) daha h›zl› olur. Kütle-

leri azald›kça ayn› mesafeyi yürüdükleri halde ayn› ener-

ji harcanmaz.

S›ra Sizde 7

Enerji gereksinim olmamas› verimin bir veya daha bü-

yük olmas›na karfl› gelir ki bu durum fizikte flu ana ka-

dar öngörülen teoremlere ayk›r›d›r. Verilen güç al›nan

güce eflit olmaz. Halk aras›nda verilen güç ya da enerji

olarak elektriksel veya petrol türevlerinin kuvvetlerin-

den elde edilen enerji öngörülmektedir. Fakat do¤ada

var olan do¤al kuvvetlerin varl›¤› unutulmaktad›r. Bun-

lar›n bafl›nda pusulan›n sapt›rmas›n› sa¤layan dünyan›n

manyetik alan kuvveti, sabit m›knat›slar›n manyetik alankuvveti, yerçekimi kuvveti ve dünyan›n kendi ekseni

etraf›nda dönmesinden kaynaklanan kuvvet gibi kuv-

vetler gelir. Bu kuvvetlerin kullan›lmas› verimi artt›r›r.




Halliday, D., Resnick R., Walker, R. J., (2001) Funda-

mentals of Physics- 6. B., New York: J. Wiley.Serway, R. A., Beichner, R. J., Jewett, J, çeviri editörü

Çolako¤lu, K., (2007) Fen ve Mühendislik için Fi-

zik, Ankara: Palme Yay›nc›l›k.




Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra;Çizgisel momentumu aç›klayabilecek,Momentumun korunumu yasas›n› tan›mlayabilecek,Bir do¤ru boyunca çarp›flma olaylar›n› analiz edebilecek, bilgi ve becerileriedinmifl olacaks›n›z.

‹çindekiler

• ‹tme• Momentum

• Momentum Korunumu• Çarp›flma

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z

Teknolojinin Bilimsel‹lkeleri-I

Momentum

• G‹R‹fi

• MOMENTUM

• ÇARPIfiMALAR




G‹R‹fiBu ünitemizde cisimlerin hareketlerinden dolay› di¤er cisimler ile etkileflmeleriy-le oluflan fiziksel olaylar› analiz edece¤iz. Bu analizler çerçevesinde itme ve mo-mentum kavramlar›n› inceleyece¤iz. Ard›ndan çarp›flma olaylar›n› bu kavramlarlailiflkilendirece¤iz.

MOMENTUMBir cismin kütlesi ile h›z›n›n çarp›m› çizgisel momentum veya k›saca momen-

tum olarak isimlendirilir. Momentum;

(6.1)

eflitli¤iyle gösterilir. Birimi kg.m/s’dir. Momentum vektörel bir niceliktir ve yönücismin h›z› yönündedir. Bu bak›mdan cismin momentumunun bilinmesi cisminhangi yönde hareket etti¤i bilgisini de verir.

‹tmeBir cismin ivmesinin,

(6.2)

ifadesiyle verildi¤ini daha önceki derslerimizde görmüfltük. Bu ifadeyi New-

ton’un ikinci yasas›na yerlefltirip düzenlersek;

(6.3)

(6.4)

elde edilir. Efl. 6.4’ün sol taraf›ndaki ifadesi itme olarak isimlendiri-lir. Kuvvet vektörel büyüklük oldu¤undan itme de vektöreldir. ‹tmenin biriminewton-metre (N.m)’dir. Cisim üzerine etki süresi farkl› olacak flekilde birden faz-la kuvvet uyguland›¤›nda, itme, her bir kuvvetin kendi etki süresi ile kuvvetin çar-p›mlar›n›n vektörel toplam› olarak düflünülmelidir.

Cismin bafllang›çtaki h›z› ve son h›z› olmak üzere, Efl. 6.4’ün sa¤ ta-raf›ndaki ifadesini biraz daha aç›k yazal›m;m v∆

v son

vilk

I F t = ∆

F t m v∆ ∆=

F ma m v

t = =

∆

∆

a v

t =

∆

∆

p v= m

Momentum

‹tme: cisme etkiyen kuvvetile kuvvetin etki süresininçarp›m›d›r.



(6.5)

Eflitlik 6.5’in sa¤ taraf›ndaki fark ( ) bize cismin son momentumu ile ilk mo-mentumu aras›ndaki fark› verir. Bu farka momentum de¤iflimi denir. Bu durum-da bir cisme etkiyen kuvvetin süresi ile kuvvetin çarp›m› yani itme, momentum de-¤iflimini verir. Momentum de¤iflimi bize cismi durdurmak veya hareket ettirmekiçin gerekli itmenin büyüklü¤ünü tan›mlar.

Kütlesi 10 kg olan bir cisim, 4 m/s’lik h›zla bir duvara at›l›yor (fiekil 6.1). Top du-

varla 0.02 s’lik bir etkileflmeden sonra ayn› h›zla geri dönüyor. Cismin duvar üze-

rinde oluflturdu¤u ortalama kuvvet kaç N ’dur?

Çözüm:

Momentum de¤iflimi hesapla-n›rken son momentumdan ilk mo-

mentumun fark› al›naca¤›ndan ge-lifl ve dönüfl h›z yönleri önem tafl›r.Top duvara çarp›p döndükten son-ra, h›z›n›n büyüklü¤ü ayn› olmas›-na ra¤men yönünün gelifl h›z›naters olaca¤›na dikkat edelim. Budurumda momentum de¤iflimi, ge-lifl momentumunun iki kat› olacak-t›r. Efl. 6.5 kullan›larak;

olarak buluruz.

Bir sporcu bir basketbol topuna ve futbol topuna ayn› kuvvetle tekme at›yor. Toplara ka-

zand›rd›¤› momentum ve h›z için ne söyleyebilirsiniz?

Momentumun KorunumuMomentumun yönünü ve büyüklü¤ünü de¤ifltirebilmek için h›z›n de¤iflmesi dola-

y›s›yla cisim üzerine etki eden kuvvetin yönü, etki süresi veya büyüklü¤ü nicelikle-rinden en az birinin de¤iflmesi gereklidir. Efl. 5.4’ü biraz daha inceleyelim. Bu eflit-li¤e göre, itmenin yönü uygulanan net kuvvetin yönü olmakla birlikte ayn› zaman-da momentum de¤iflimi yönündedir. Bir baflka deyiflle belirli bir do¤rultuda mo-mentum de¤ifliminden bahsedebilmek için o yönde net bir kuvvet olmas› gerekir.

m=1 kg kütleli bir top h=5 m yükseklikten bafllang›çtaki h›z› v ilk =2 m/s olacak flekil-

de b›rak›l›yor. Cismin momentumundaki de¤iflimin yönü ve büyüklü¤ü nedir?

F t m v

F t m v v

F t mv

F

∆ ∆

∆

∆

=

= − −

=

=

( ( ))

. . . .

2

0 02 2 10 4

F F = 4000 N

∆

p

m v m v v mv mv p p son ilk son ilk son ilk ∆ ∆

= −( ) = − = − =

p


Bir cisme etki eden itme,cismin momentumundaki

de¤iflimeye eflittir.

Ö R N E K

v

m

Duvar

vs=0

fiekil 6.1

Duvara çarpan

top

SIRA S‹ZDE 1

Ö R N E K



Çözüm:

Cismin at›ld›¤› andaki momentumuna P i ve yere çarpt›¤› andaki momentumunu P S

olarak gösterelim. Bu momentumlar›n yön-lerinin cismin o andaki h›z›n›n yönü do¤rul-tusunda oldu¤unu gözden kaç›rmayal›m.

Momentum de¤iflimi ise cismin son mo-mentumu ile bafllang›çtaki momentumu ara-s›ndaki vektörel farkt›r ve itme momentumde¤iflimine eflittir;

Cismin bafllang›çtaki momentumuolarak verilir ve yönü cismin

h›z› ile ayn›d›r, yani afla¤›ya do¤rudur. Cis-min son momentumu için ise son h›za ge-rek vard›r. Bunun için yerçekimi ivmesi ileh yüksekli¤inden afla¤›ya düflen cisim için

eflitli¤i yaz›larak t süresi bulunur;

s.

Bu ifade ile son h›z,

v son = v ilk + gt = 2 + 10 ⋅ 1 = 12 m/s

olarak bulunur. Bu durumda cismin son momentumu

P son = mv son = 1 ⋅ 12 = 12 kg m/s

olarak elde edilir. Son momentumun yönü ise yine ilk momentum gibi afla¤›yado¤rudur. Bu durumda cismin momentumundaki de¤iflim,

P son - P ilk = 12 - 2 = 10 kg m/s

olarak karfl›m›za ç›kar. Momentum de¤ifliminin yönü ise afla¤›ya do¤rudur. Ör-ne¤imizde etki eden kuvvet yerçekimi kuvvetidir ve yönü afla¤›ya do¤rudur. Böy-lelikle momentum de¤ifliminin yönü için bulunan sonuç d›fl kuvvet yönü ile uyumiçindedir.

E¤er seçilen do¤rultuda net bir kuvvet yoksa momentum de¤iflimi olmaz, yanimomentum korunur. Bu durumda Efl. 6.4,

(6.6)

ve Efl. 6.5 kullan›larak,

(6.7)

∆

p p p

p p

son ilk

son ilk

= − =

=

0

F t m v∆ ∆= = 0

t h

g = =

⋅=

2 2 5

101

h gt =1

2

2

P mvilk ilk =

Ι ∆= = − P P P Son ilk

1276. Ünite - Momentum

fiekil 6.2

Düfleyde b›rak›lan bir cismin hareketi



elde edilir. Son momentumun ilk momentuma eflit oldu¤u duruma momen-

tum korunumu denir.

Ayn› yükseklikten ayn› ilk h›zlarla fiekil 6.3’deki gibi f›rlat›lan özdefl cisimlerin ye-

re düflünceye kadarki momentum de¤iflimlerini s›ralay›n›z. (g=10m/s 2 ; Sürtünme

yok)

Çözüm:

‹tme momentum de¤iflimineeflit oldu¤undan cisimlerin üze-rindeki itmeleri inceleyelim. Ci-simlerin üzerine d›fl kuvvet ola-rak yerçekimi kuvveti uygulan›r.

Dolay›s›yla momentum de¤iflim yönü etki eden d›fl kuvvet yönün-de yani afla¤›ya do¤rudur. 1 nu-maral› durum ile 2 numaral› ci-simlerin hareketleri karfl›laflt›r›ld›-¤›nda, 1 numaral› durumdaki cis-min uçufl süresi 2 numaral› du-rumdan daha fazla oldu¤u aç›k-t›r. ‹tme, cisim üzerine etki edend›fl kuvvet ile etkime süresinin

çarp›m› oldu¤undan, , 1 numaral› cisimdeki itme 2 numaral› itmeden, do-

lay›s›yla momentum de¤iflimi daha büyük olacakt›r.

Uzaydaki çarp›flmalarda momentum korunur mu?

ÇARPIfiMALARHareketli bir cismin, durmakta olan veya hareketli di¤er bir cisimle etkileflmesineçarp›flma denir. Çarp›flmalar cisimlerin çarp›flmadan önceki ve sonraki do¤rultula-r›na göre ikiye ayr›l›r. E¤er çarp›flma öncesi ve sonras› cisimler ayn› do¤rultuda isebu merkezi çarp›flma, de¤ilse merkezi olmayan çarp›flma olarak isimlendiri-lir. Çarp›flmada çarp›flmay› yapan cisimlerin hareketlerinde keskin bir de¤iflmeolur. Çarp›flmalar›n flekli nas›l olursa olsun, d›fl kuvvetlerin olmad›¤› çarp›flmalarda

momentum korunur ve cisimlerin çarp›flmadan önceki toplam momentumlar› çar-p›flmadan sonraki toplam momentumlar›na eflittir. D›fl kuvvetin oldu¤u çarp›flmadurumlar›nda ise momentum korunmaz.

Kütleleri m 1 ve m 2 çarp›flmadan önceki h›zlar› ve , çarp›flmadan sonraki

h›zlar› ve olan iki cismin çarp›flmas›n› düflünelim (fiekil 6.4). Tam çarp›flma

an›nda m 1 kütleli cismin m 2 kütleli cisme uygulad›¤› kuvvet ; m 2 kütleli cismin

m 1 kütleli cisme uygulad›¤› kuvvet ise Newton’un III. yasas›na göre

olmal›d›r. Çarp›flma ∆t süresince meydana gelmifl ise;

(6.8)

F t F t 12 21∆ ∆= −

F F 12 21

= −

F 21

F 12

′ v2′

v1

v2

v1

Ι ∆= F t .


Örne¤in çarp›flma veyainfilak olaylar› gibi fizikselolaylarda e¤er bileflke d›flkuvvet s›f›rsa momentumkorunur.

Ö R N E K

h

m m

V0

V0

I2I1

Yer

fiekil 6.3

Yatay at›fl yap›lan cismin hareketi

SIRA S‹ZDE 2



olur. Bu eflitli¤in sol taraf›nda m 1 cisminin m 2 cismine sa¤ taraf›nda ise m 2 cis-minin m 1 cismine uygulad›¤› itme bulunmaktad›r. Eflitlik 6.4 kullan›larak,

(6.9)

eflitli¤i yaz›labilir.

Eflitlik 6.9, cisimleri bafllang›çtaki ve son momentum ifadelerini kullanarak,

(6.10)

veya

(6.11)

ifadesi elde edilir. Bu ifade cisimlerin çarp›flmadan önceki momentumlar› top-lam› ile çarp›flmadan sonraki momentumlar› toplam› birbirine eflit olaca¤› anlam›-na gelir. Eflitlik 6.11 cisimlerin h›zlar› ve kütleleri kullan›larak,

(6.12)

eflitli¤iyle de yaz›labilir.Çarp›flmalar› enerji korunumuna göre esnek ve esnek olmayan çarp›flma iki-

ye ay›rabiliriz.

Araçlar›n birbirleriyle çarp›flmas› esnek bir çarp›flmad›r?

Esnek Çarp›flmaEsnek çarp›flmada momentumun yan› s›ra, mekanik enerji de korunur. Çarp›flmas›ras›nda enerji kayb› yoktur. Bu tür çarp›flman›n anlafl›lmas› için bilardo toplar›n›nçarp›flmalar›n› örnek verebiliriz (fiekil 6.5).

m v m v m v m v1 1 2 2 1 1 2 2. . . .

+ = ′ + ′

p p p p1 2 1 2+ = +' '

p p p p' '1 1 2 2− = − −( )

∆ ∆

P P 1 2= −


fiekil 6.4

m1

v2

F21 F12

v2›

v1›

m2

m1 m2

Farkl› h›zlara ve kütleye sahip cisimlerin esnek çarp›flmas›

Toplam momentumun vekinetik enerjinin korundu¤uçarp›flmalar esnekçarp›flma, toplammomentumun korunup

enerjinin korunmad›¤›çarp›flmalar esnek olmayançarp›flma diye isimlendirilir.

SIRA S‹ZDE

3



Bu çarp›flmada sürtünme ihmal edildi¤inded›fl kuvvet olarak sadece yerçekimi kuvveti var-d›r ve bu kuvvetin yönü toplar› çarp›flt›rd›¤›m›z

masa düzlemine diktir; dolay›s›yla toplar›n h›z-lar›na herhangi bir katk›s› yoktur. Böylelikle mo-mentum korunur. Enerji ise toplar çarp›flt›¤› an-daki deformasyon ihmal edilirse (yine d›fl kuv-

vet yok) korunur.

H›zlar› v 1=4 m/s ve v 2 =2 m/s olan, eflit 2 kg kütleli iki top fiekil 6.6’daki gibi birbir-

lerine do¤ru f›rlat›l›larak esnek çarp›flt›r›l›yorlar. Toplar›n çarp›flmadan sonraki

h›zlar›n› bulunuz.

Çözüm:

Burada iki top ayn› kütleye sahip oldu¤undan momentum korunumundan Efl.6.10’i kullan›rsak;

2.4 - 2.2 = -2v ′1 + 2v ′2

v ′1 - v ′2 = 2

denklemi elde edilir. Enerjinin korunumdan,

v ′12 - v ′2

2 = 20

1

22 4

1

22 2

1

22

1

222 2

12

22. .+ = ′ + ′v v

1

2

1

2

1

2

1

21 12

2 22

1 12

2 22

m v m v m v m v. .+ = ′ + ′


1

1

2

22i

2s

1s

fiekil 6.5

Bilardo toplar›

Ö R N E K

v1›

1

m1=2 kg m2=2 kg

= 4m/s 2= 2m/s

v1›

fiekil 6.6

Farkl› h›zlara ve kütleye sahip cisimlerin esnek çarp›flmas›



eflitli¤i elde edilir. Sonuçta türetilen h›z eflitliklerinin ortak çözümüyle;

v ′2 = 4 m/s v ′1 = -2 m/s

olarak bulunur. Görüldü¤ü gibi eflit kütleli cisimlerin çarp›flmadan sonra h›zlar›-n›n büyüklükleri yer de¤ifltirirken, cisimlerin hareket yönleri de tersine dönmüfltür.

Esnek Olmayan Çarp›flmaEsnek olmayan çarp›flmada momentum korunsa da, kinetik enerji korunmaz. Çar-p›flma s›ras›nda kinetik enerjinin büyük k›sm› ›s›ya dönüfltü¤ünden enerji kayb› olur.

Esnek olmayan çarp›flmay› birkaç farkl› örnekle aç›klayal›m.

i) Ters yönlerde gelen cisimler için;

Bu örnek için, m1=4 kg ve m2=2 kg

kütleli küre fleklindeki iki cismin, s›ra-

s›yla v1=2m/s

ve v2=1m/s

h›zlar›yla fie-kil 6.7’de oldu¤u gibi birbirlerine do¤-ru hareket ederken esnek olmayan çar-p›flma yaparak birbirine yap›fl›k olarakhareketlerine devam etti¤ini düflüne-lim ve son h›zlar›n› bulmaya çal›flal›m.

Momentum korundu¤u için Efl.6.12 kullan›larak,

m 1.v1 - m 2.v2 = (m 1 + m 2) vortak

4.2 - 2.1 = (4 + 2) vortak

vortak = 1 m/s

sonucu elde edilir.

ii) Durmakta olan cisimlere çarpan cisim için;

Bu örnekte m 1=6 kg kütleli kürenin, durgun pozisyondaki(v 2=v 3=0 an›nda)m 2=1 kg ve m 3=2 kg kütleli kürelere do¤ru v 1=3 m/s h›z›yla giderken, esnek olma-

yan çarp›flma yaparak üç kürenin yap›fl›k olarak hareketlerine devam etti¤ini dü-flünelim (fiekil 6.8) ve son h›zlar›n› bulal›m.

m v m v m m vortak 1 1 2 2 1 2. .

+ = +( )


Kütleleri eflit olan esnekçarp›flmalarda cisimler

h›zlar›n› çarp›flma sonundade¤ifl tokufl olur.

fiekil 6.7

m1

1 2m2 Yatay

Yatay

ortak

- + Farkl› h›zlara ve kütleye sahip cisimlerin esnek olmayan çarp›flmas›

fiekil 6.8

m1

1m2 Yatay

Yatay

ortak

- +

m3

m 1 kütleli kürenin durgun m 2 ve m 3 kütleli kürelere esnek olmayan çarp›flmas›



Momentumun korunumundan Efl. 6.12 kullan›larak,

m 1.v1 + 0 + 0 = (m 1 + m 2 + m 3) vortak

6.3 + 0 + 0 = (6 + 1 + 2) vortak

vortak = 2 m/s

sonucu elde edilir.

iii) Mermi h›z› ölçmekte kullan›lan balistik sarkaç

Bu örnekte de m =5 g kütleli mermi fiekil 6.9’da oldu¤u gibi M=995 g kütlelidurgun olan ahflap balistik sarkaca v =400 m/s h›z› çarpt›r›l›yor ve ahflaba saplan›-

yor. Mermi ile ahflab›n ç›kabilecekleri maksimum yüksekli¤i bulal›m.Burada esnek olmayan çarp›flma söz konusu oldu¤undan kinetik enerjide ka-

y›p olsa da momentum ve toplam enerji korunacakt›r.

Bu nedenle esnek olmayan çarp›flmada momentum korunumu eflitli¤i Efl. 6.12kullan›larak gereken verileri yerlerine koyarsak;

m.v + 0 =(m + M) vortak

0.005.400 + 0 = (0.005 + 0.995)vortak

vortak = 2 m/s

sonucu elde edilir. Yukar›da toplam enerji korunumundan ve kinetik enerji kayb›ndan bahsedil-

miflti. m kütleli mermi M kütleli balistik sarkaca çarp›nca, sarkac› h yüksekli¤inekadar yükselterek sisteme potansiyel enerji kazand›rm›fl olur. Is› kayb› ihmal edi-lirse kinetik enerjideki kay›p potansiyel enerjideki kazanca eflit olacakt›r.

Böylece enerji korunumundan,

EToplam=Ekinetik+Epotansiyel ⇔ Ekinetik=Epotansiyel

m v M v m M vortak . .

1 2+ = +( )

m v m v m v m m m vortak 1 1 2 2 3 3 1 2 3. . .

+ + = + +( )


m v M

p

v2=0

vortak

m

Mh

-h

fiekil 6.9

Mermi h›z› ölçmekte kullan›lan balistik sarkaç



m

sonucuna ulafl›l›r.

Bir topun geri tepmesini momentumun korunumu kavram›n› kullanarak aç›klay›n›z.

iv) S›k›flmam›fl bir yay›n önündeki takoza saplanan mermi

Bu örnekte yukardaki sarkaca benzer biçimde m =10 g kütleli merminin, sarmal yay›n ucuna ba¤l› M=490 g kütleli durgun bir takoza fiekil 5.10’da görüldü¤ü gibiv =250 m/s h›z› çarpt›r›larak saplanmas› sa¤lan›yor. Bu çarp›flma sonucunda kuvvetsabiti (veya yay sabiti) k =50 N/m olan yay› ne kadar s›k›flt›rabilece¤imizi bulal›m.

Burada da bir esnekolmayan çarp›flma sözkonusudur. O nedenle ki-netik enerjide kay›p ola-cak, momentum ve top-lam enerji korunacakt›r.

Momentum korunumueflitli¤inden (Efl. 6.12),

m.v + 0 =(m + M) vortak

ifadesi elde edilir. Bu eflitlikte verilen de¤erler yerine konularak,

0.010.250 + 0 = (0.010 + 0.490)vortak

vortak = 5 m/s

sonucu elde edilir.Toplam enerji korunaca¤›ndan, m kütleli mermi M kütleli takoza çarp›nca, ta-

koz x (s›k›flma miktar›) kadar s›k›flacakt›r. Böylece merminin kaybetti¤i kinetikenerji yaya esneklik potansiyel enerjisi olarak aktar›lacakt›r. Is› kayb› ihmal edilir-se kinetik enerjideki kay›p esneklik potansiyel enerjideki kazanca eflit olacakt›r.

Enerji korunumundan;

EToplam=Ekinetik+Epotansiyel ⇔ Ekinetik=Epotansiyel

x = 0.5 m

yaydaki s›k›flma miktar› bulunur.

1

20 010 0 490 5

1

250

2 2( . . )+ ⋅ = x

1

2

1

2

2 2( )m M v kxortak + =

h v g ortak = = ⋅ =2

2 4 2 10 4 20/ / /

1

2

2

2

2

( ) ( )m M v m M gh

v gh

ortak

ortak

+ = +

=


SIRA S‹ZDE

4

fiekil 6.10

m v

M

v2=0

xS›k›flmam›fl bir

yay›n önündeki takoza saplanan mermi



v) Durmakta olan bir takozu delip geçen mermi

fiimdi de yukardaki örne¤e benzer biçimde m =10 g kütleli mermi, M=350 g küt-leli durgun bir takoza fiekil 6.11’de görüldü¤ü gibi v =250 m/s h›z› ile gönderilsin

ve mermi takozu delip geçerek hareketine v ′1=100 m/s h›z› ile devam etsin. Tako-zun çarp›flmadan sonraki h›z›n› bulal›m.

Bu hareket s›ras›ndada esnek olmayan çar-p›flma söz konusudur.Bu nedenle kinetik ener-jide kay›p olacak, mo-mentum ve toplam ener-ji korunacakt›r

Yeniden momentumkorunumu eflitli¤i (Efl.

6.10) kullan›larak,m.v 1 + 0 = mv ′1 + Mv ′2

0.010.250 + 0 = 0.010 ⋅ 100 + 0.75v ′2

v ′2 = 20 m/s

sonucu elde edilir.

Birbirine tutunarak buz üzerinde dans eden farkl› kütleli iki kifli ellerini aniden b›rak›r-

sa h›zlar› hakk›nda ne söyleyebiliriz?


m M

v2=0

v1 m v 1›

Yatay

v 2›

fiekil 6.11

Durmakta olan bir takozu delip geçen mermi

SIRA S‹ZDE 5




Çizgisel momentumu aç›klamak.

Bir cismin kütlesi ile h›z›n›n çarp›m› o cismin

momentumu olarak isimlendirilir ve

eflitli¤iyle gösterilir.

Momentumun korunumu yasas›n› tan›mlamak.

Cisme etki eden kuvvet ile kuvvetin etki süresi-

nin çarp›m›, itme olarak isimlendirilir. ‹tme

cismin kuvvete maruz kalmadan önceki ve son-

raki momentumlar›n›n fark›na eflittir. Kuvvetin

olmad›¤› do¤rultularda itme s›f›ra eflittir ve dola- y›s›yla momentum de¤iflimi de s›f›ra eflit olur.

Momentum de¤ifliminin s›f›r olmas›, cisimlerin

sahip oldu¤u bafllang›çtaki ve sondaki momen-

tumlar›n›n birbirine eflit oldu¤u anlam›na gelir ki

bu durum momentum korunumu olarak bilinir.

Bir do¤ru boyunca çarp›flma olaylar›n› analiz

etmek.Hareketli bir cismin durmakta veya hareketli di-

¤er cisimle etkileflmesi (çarp›flma) s›ras›nda, or-

tamdaki d›fl kuvvetlerin olmad›¤› do¤rultularda

momentum de¤iflimi olmaz, momentum koru-

nur. Çarp›flma esnas›nda cismin sahip oldu¤u

kinetik enerji korunuyorsa esnek çarp›flma, ko-

runmuyorsa esnek olmayan çarp›flma olarak

isimlendirilir.

F t ∆

p mv=

Özet

1

A M A Ç

2

A M A Ç

3

A M A Ç




1.

Bir cismin momentum-zaman grafi¤i flekildeki gibidir.

0 - t aras›nda cisme etki eden net kuvvet ise, t - 3t ara-

s›ndaki nedir?

a.

b.

c.

d.

e.

2. Kütlesi 4 kg olan bir cisim, 2,5 m/s’lik h›zla bir duva-

ra at›l›yor ve ayn› h›zla geri dönüyor. Cismin duvar üze-rinde oluflturdu¤u ortalama kuvvet 1000 N’dur. Topun

duvarla etkileflme süresi kaç s’dir?

a. 0,02

b. 0,03

c. 0,04

d. 0,06

e. 0,08

3.

fiekildeki m kütleli I. sarkaç h yüksekli¤inden serbest

b›rak›l›nca durmakta olan 2m kütleli II. sarkaca çarp›p

yap›fl›yor. Buna göre; ortak kütle ne kadar yükselir?

a.

b.

c.

d.

e.

4.

K noktas›ndan v h›z›yla geçen m kütleli I. cisim L

noktas›nda durmakta olan m kütleli II. cisme merkezi

esnek çarp›yor. Çarp›flmadan sonra I. cismin ç›kabildi-

¤i maksimum yükseklik hangi ba¤›nt›yla bulunabilir?

(g: Yer çekim ivmesi, sürtünme yok.)

a.

b.

c.

d.

e.v

2

2g

2

3

2v

g

v2

3g

v2

4g

v2

8g

h

16

h

9

h

4

h

3

h

2

F

3

−

F

2

−2

F

−

F

F

2


Momentum

Zaman

p

t0 3t 2m

m1

h

Yatay

11

m m

K L

I

Yatay

hmax=?11

v




5.

Kinetik enerjileri EK ve EL olan eflit kütleli K ve L ci-

simleri flekildeki h›zlarla giderken sürtünmesiz yatay düz-

lemde merkezi esnek çarp›flma yap›yorlar. Çarp›flmadan

sonra cisimlerin momentumlar›n›n büyüklüklerinin oran›

oldu¤una göre, çarp›flmadan önceki kinetik

enerjilerinin oran› kaçt›r?

a. 3

b. 6

c. 9

d. 12e. 16

6.

fiekildeki kütleler ve s›k›flt›r›lm›fl yay sistemi, sürtün-mesiz yatay düzlem üzerinde hareketsizdir. Kütleleri

birbirine ba¤layan ip yak›ld›¤›nda, yay serbest kal›yor,

m 1=6 kg kütleli blok sola do¤ru 8,0 m/s’lik, m 2 kütlesi

ise 24,0 m/s’lik h›z kazan›yor. Bu durumda m 2 kütlesi

kaç kg olmal›d›r? Yay›n ve ipin kütlesi önemsenmiyor.

a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

e. 6

7.

Sürtünmesiz yatay düzlemde m1 kütleli cisim, dur-

makta olan m2, kütleli cisme flekil l deki gibi v h›z› ile

saplan›nca ortak kütle flekil ll deki gibi h›z›yla hare-

ket ediyor. Buna göre, oran› kaçt›r?

a.

b.

c. 1

d. 2

e. 3

8.

fiekilde görülen m 1=4 kg kütleli cisim v1i h›z›yla,

kendisine do¤ru v2i=4 m/s h›zla gelmekte olan m 2=10

kg kütleli cisimle kafa kafaya çarp›fl›yor. Çarp›flma son-

ras› m 1 kütlesi gelifl do¤rultusuna ters v1s=2 m/s hareket

ederken m 2 kütleli cisim hareket etmeden çarp›flman›n

oldu¤u yerde durdu¤una göre v1i kaç m/s olmal›d›r?a. 12

b. 10

c. 8

d. 4

e. 2

9. 3 kg kütleli bir tüfe¤in atefllenmesiyle 6 g’l›k bir fiflek

400m/s h›zla tüfe¤i terk ediyor. Tüfe¤in geri tepme h›z›

kaç m/s olur?

a. 0,4

b. 0,6c. 0,8

d. 1,0

e. 1,2

1

2

1

3

m

m

1

2

v

3

P'

P'

K

L

= 1

3

m

K L

vL

mvK

m1 m2

m1 m2› ›

v2=0v1=vm1

m1+m2

v =› v

3m2

V 1i m1 m2V 2i




10.

fiekilde görülen m 1=4 kg kütleli cisim v1i=2 m/s h›z-

la, kendisine do¤ru v2i=1 m/s h›zla gelmekte olan m 2=2

kg kütleli cisimle kafa kafaya çarp›fl›yor. Çarp›flma son-

ras› m 1 kütlesi hareket etmeden çarp›flman›n oldu¤u

yerde durdu¤una göre m 2 kütlesinin h›z› kaç m/s’dir?

a. 0

b. 0,5

c. 1,0

d. 2,0e. 3,0

Uzay Gökerman

Guti’nin momentumuÖnceki gün Galatasa-

ray’›n, dün akflam da Be-

fliktafl’›n rakipleri karfl›-

s›nda yaflad›klar› s›k›nt›-

lar bir anlamda ligde bu-

lunduklar› yeri do¤rular

nitelikteydi. Her iki ta-

k›mda da fark› bir ya da

en fazla iki futbolcu sa¤-

l›yor, onlar tak›m›n kadrosundan ç›kt›klar›nda s›radan-

lafl›yor, rakiplerine mahkûm oynamaya bafll›yorlar.Gerçi dün ‹nönü’deki mücadelede Sivasspor’un özellik-

le ikinci yar› zaman zaman futbolun d›fl›na ç›kan sert

oyunlar›n›n etkili oldu¤unu belirtmemiz gerekiyor.

Schuster büyük bir ihtimalle y›ld›z oyuncusu Guti’yi ko-

ruma ad›na çok beklemeden kenara ald›.

Guti, olmad›¤›nda ve oynamad›¤›nda çok s›radan bir

tak›m haline gelen Befliktafl’a renk veren, karakterini

de¤ifltiren, arkadafllar›na nas›l oyun kurulmas›n› göste-

ren, kazanma hamlesi yapabilen gerçekten büyük bir

yetenek. Guti’nin bitirici, öldürücü ve neredeyse %100

sonuç alan ara paslar› O¤uz Çetin’i hat›rlatt›.Türkiye’de orta saha oyun kurucu futbolcu anlay›fl›nda

devrim yapan zaman›n›n en önemli oyuncusuydu O¤uz

Çetin. 1989’daki 103 gollün at›lmas›nda, Aykut Koca-

man ve R›dvan Dilmen’in futbolculuklar›n›n zirveye ta-

fl›nmas›nda onun ara paslar›n›n ve asistlerinin büyük

etkisi vard›.

fiimdi Befliktafl’ta Guti yap›yor bunu. ‹brahim Üzülmez’e

3. dakikada att›¤› ve golle sonuçlanan ara pas› topun

gitti¤i yer, fliddeti ve arkadafl›n›n topla buluflma zaman-

lamas› bak›m›nda kusursuz ve Türkiye standartlar›n›n

çok ama çok üzerindeydi.

Türkiye’de birçok oyuncu böyle yerden pas atmak ye-

rine topu havaya kald›rmay› seçiyor, pas at›lan oyuncu

da topa sahip olabilmek için oldukça zaman kaybedi-

yor. Bir ikinci önemli detay topa verdi¤i güç, yani ‹bra-

him Üzülmez’in onunla buluflma an›ndaki momentu-

mu; hani bazen top futbolcunun aya¤›na oturdu de-

riz ya bunu sa¤layan fleylerin bafl›nda iflte bu momen-

tum gelir.

Momentum, özellikle kafa vurufllar›nda çok belirleyici

olan çarpma gücüdür.


V 1i

m

1 m

2V

2i

“




Befliktafl’ta Guti’nin yan›nda ona birazc›k olsun ayak

uyduracak ikinci futbolcu yok gibiydi. Bobo att›¤› go-

lün d›fl›nda etkisizdi, Holosko’nun sahadaki varl›¤›n› bi-

le ay›rt edebilmek mümkün de¤ildi. Tabata bir baflka

Nihat; tak›mdan sürekli kopuyor. Hilbert’ten yetenekle-

rinin ötesinde bir beklenti var. Hilbert, Fink, Ernst çok

düz oyuncular; güçleriyle ayakta kal›yorlar. Onlardan

yarat›c›l›k beklemek büyük bir hayal k›r›kl›¤› yaratacak-

t›r. Necip için henüz bir kanaat belirtmek yanl›fl olur.

Rakibe yapt›¤› asistin abart›lmamas› gerekti¤ini düflü-

nüyorum. Tuncay fianl› Fenerbahçe’de oynarken böyle-

si asistlerden bolca yapard›.

Bütün bunlar›n bileflkesini ald›¤›m›zda da ortaya ikinci

yar›daki silik Befliktafl ç›k›yor iflte...

R›za Çal›mbay ikinci devre Befliktafl defans›n›n fazlas›y-

la ileri ç›kaca¤›n› hesap edip, bir anlamda Manisas-

por’un yapt›¤› fleyi denemek istedi. Ancak bu sefer ya

Schuster defans hatt›n›n ileri ç›kmas›n› engelledi ya da

Befliktafl’›n defans oyuncular› inisiyatif kullan›p olas› bir

beraberlikle sonuçlanacak fleyi yapmad›lar.

Befliktafl’›n dörtlü defans blo¤u geride kal›nca bu sefer

Guti ve Tabata’n›n k›r›lganlaflt›rd›¤› orta sahay› biraz da

sertli¤e baflvurarak bir anda ele geçirdi, Sivasspor. Nihat

ve Yusuf de¤ifliklikleri bu anlamda bir önlem de¤il de

Befliktafl’› ileriye tafl›yarak rakibin direncini k›rma ham-

lesiydi. Ancak tutmad›. Sivasspor yüklendikçe Befliktafl

geriye çekildi, oyun kuramad›, beceriksizleflti. Beraber-

li¤e biraz Rüfltü, net olarak da kale dire¤i engel oldu.

Son dakikada Sivasspor’un yakalad›¤› gol f›rsat› bir an-

lamda Befliktafl’›n sezon bafl›ndan bu yana en yumuflak

ve zay›f olan taraf›n› göstermesi bak›m›ndan ö¤reticiydi.

Schuster’in kenardaki duruflundan, hareketlerinden, hal

ve tav›rlar›ndan Befliktafl’tan hiç memnun olmad›¤›n›

anl›yoruz. Bazen oyuncular›n yapamad›¤›, sonland›ra-

mad›¤› pozisyonlar sonras›nda kafas›n› öyle sall›yor kiister istemez bu duyguyu al›yorsunuz. Bu tak›ma sade-

ce Guti ve Quaresma’n›n yetmeyece¤ini çok iyi biliyor

olmal›d›r. San›r›m, genç oyuncular üzerinde durmas›-

n›n nedeni biraz da bu olsa gerek. Bir anlamda kendi

futbolcusunu kendisi yaratma derdinde; bu zaten Be-

fliktafl’›n geleneklerinde de olan bir uygulama de¤il mi-

dir? Stoperde denedi¤i genç Ersan’›n Zapotocny’den

çok daha iyi mücadele etti.

Kaynak: http://blog.milliyet.com.tr/Guti_nin_momen-

tumu/Blog/?BlogNo=272300 web sitesinden 14 Aral›k2011 tarihinde al›nm›flt›r.

1. d Yan›t›n›z yanl›flsa “‹tme” bafll›kl› konuyu gözden

geçiriniz.

2. a Yan›t›n›z yanl›flsa “‹tme” bafll›kl› konuyu gözden

geçiriniz.

3. d Yan›t›n›z yanl›flsa “Esnek Olmayan Çarp›flma”


4. e Yan›t›n›z yanl›flsa “Esnek Çarp›flma” bafll›kl›


5. c Yan›t›n›z yanl›flsa “Esnek Çarp›flma” bafll›kl›


6. b Yan›t›n›z yanl›flsa “Çarp›flmalar” bafll›kl› konuyu

gözden geçiriniz.

7. d Yan›t›n›z yanl›flsa “Çarp›flmalar” bafll›kl› konuyu

gözden geçiriniz.

8. c Yan›t›n›z yanl›flsa “Momentum Korunumu”


9. c Yan›t›n›z yanl›flsa “‹tme” bafll›kl› konuyu gözden

geçiriniz.

10. e Yan›t›n›z yanl›flsa “Momentum Korunumu”



”





‹tme, yani etkiyen kuvvet ile etkime süresinin çarp›m›,

her iki top için ayn›d›r. Buna ra¤men toplar›n kütlesibirbirinden farkl› olaca¤› için cisimlerin momentum de-

¤iflimleri farkl› olacakt›r. Unutmamal›y›z ki itme mo-

mentum de¤iflimine eflittir.

S›ra Sizde 2

Momentum d›fl kuvvetlerin oldu¤u ortamlarda korun-

mayaca¤›n› söylemifltik. Uzayda her ne kadar net belir-

gin bir yerçekiminden bahsetmek mümkün olmasa da

bir çekim kuvvetinin olmas› muhtemeldir. Bu nedenle

ihmal edilecek kadar da olsa momentum korunmaz.

S›ra Sizde 3

Araçlar›n birbirleriyle çarp›flmas› s›ras›nda araçlar de-

formasyon olmad›¤›, bir baflka deyiflle enerjinin harcan-

mad›¤› tüm çarp›flmalar esnektir. Fakat genelde araçlar

deformasyona u¤rad›¤› için bu tip çarp›flmalar esnek

olmayan çarp›flmalard›r.

S›ra Sizde 4

D›fl kuvvetlerin olmad›¤› do¤rultularda momentumun

korunaca¤›n› söylemifltik. Top atefllendi¤i anda d›fl kuv-

vet olarak yerçekimi kuvveti vard›r fakat bu kuvvettemerminin ve topun geri tepmesi h›z› ile dik do¤rultuda-

d›r, momentum korunmas› gerekir. Bir baflka de¤iflle

merminin ç›k›fl›nda sahip oldu¤u momentum topun mo-

mentumuna eflit ama z›t do¤rultad›r. Topun kütlesi mer-

minin kütlesine göre çok büyük oldu¤undan momen-

tumlar eflit olmas›na ra¤men topun sahip olaca¤› h›z

çok daha küçük olacakt›r.

0= m.v.cosα - (M-m) .v ′

Burada sistemin momentumu hareket do¤rultusuna dik

h›z (v y ) bilefleninden ba¤›ms›zd›r.

S›ra Sizde 5

Buz üzerinde birbirlerine kenetlenmifl durumda dans

ederlerken bir h›za, dolay›s›yla momentuma sahiptir.

Ellerini b›rakt›klar› anda her iki kiflide belirli bir h›za,

momentuma sahip olur. Bafllang›çtaki momentum her

iki taraf›ndan paylafl›l›r, fakat paylaflma momentum ko-

runumuna göre olacakt›r. Kütlesi hafif olan kiflinin h›z›

daha az, kütlesi a¤›r olan kiflinin h›z› daha h›zl› olacak-

t›r. Her iki kütlenin momentumlar›n›n toplam› ayr›lma-

dan önceki momentumlar›na eflittir.

Yararlan›lan ve Baflvurulabilecek

KaynaklarHalliday, D., Resnick R., Walker, R. J., (2001) Funda-

mentals of Physics- 6. B., New York: J. Wiley.

Serway, R. A., Beichner, R. J., Jewett, J, çeviri editörü

Çolako¤lu, K., (2007) Fen ve Mühendislik için Fi-

zik, Ankara: Palme Yay›nc›l›k.

P P once sonra

∑ ∑=

M

v0=0

vy=vSin

vx

=vCosmTOP

v›



Bu üniteyi tamamlad›ktan sonra; Yo¤unluk, bas›nç ve ölçümlerine iliflkin temel kavramlar› aç›klayabilecek,Pascal, Archimedes prensiplerini aç›klayabilecek,‹deal ak›flkan koflullar›n› saptayabilecek,Süreklilik ve Bernoulli denklemlerini tan›yabilecek,

Viskozluk ve yüzey gerilimi kavramlar›n› aç›klayabilecek bilgi ve becerileriedinmifl olacaks›n›z.

‹çerik Haritas›

• Madde• Yo¤unluk• Bas›nç• Pascal prensibi• Archimedes prensibi• ‹deal ak›flkan

• Süreklilik denklemi• Bernoulli denklemi• Viskozluk• Yüzey gerilimi• Adhezyon• Kohezyon

Anahtar Kavramlar

Amaçlar›m›z


‹lkeleri-I Ak›flkanlar Mekani¤i

• G‹R‹fi

• MADDE• YO⁄UNLUK

• BASINÇ VE SIVI BASINCININDER‹NL‹KLE DE⁄‹fi‹M‹

• PASCAL PRENS‹B‹

• ARCH‹MEDES PRENS‹B‹ VEKALDIRMA KUVVET‹

• AKIfiKANLARIN KARAKTER‹ST‹⁄‹VE BAZI ÖZELLEKLER‹

• SÜREKL‹L‹K DENKLEM‹

• BERNOULLI DENKLEM‹

• V‹SKOZ‹TE

• SIVILARDA YÜZEY GER‹L‹MKUVVET‹




G‹R‹fiAk›flkanlar Mekani¤i; genelde s›v›, gaz ve bunlar›n d›fl›nda da baz› maddelerin fi-

ziksel davran›fllar›n› inceleyen bir bilim dal›d›r. Günlük hayatta s›v› ya da gaz ola-

rak bildi¤imiz bütün maddeler ak›flkand›rlar. Ak›flkanlar belli bir flekle sahip ol-

mad›klar›ndan kat›lar gibi incelenemezler. Bu nedenle ak›flkanlar söz konusu ol-

du¤unda kat›lardaki kütle yerine yo¤unluk, kuvvet yerine de bas›nç kavramlar›

kullan›l›r.

MADDEMadde her yerde ve her fleyin içindedir. Genelde, kat›, s›v› ya da gaz olmak üze-

re üç duruma ayr›larak s›n›fland›r›l›r. Kat›, s›v› ve gazlar aras›ndaki s›n›r çizgileripek keskin olmad›¤›ndan kimi maddelerin s›n›fland›r›lmas› o kadar kesin olma-

maktad›r. D›fl kuvvetlerle etkilendiklerinde, kat›lar hacim ve flekillerini büyük

oranda korurlarken s›v›lar yaln›z hacimlerini, gazlar ise ne hacimlerini ne de flekil-

lerini koruyabilirler.

Yukar›daki s›n›fland›rma dördüncü hali de içine alacak flekilde geniflletilebilir.

Bu dördüncü halin özellikleri maddenin di¤er üç halinkinden çok farkl›d›r. Bu hal,

oldukça yüksek s›cakl›klara ulafl›ld›¤›nda oluflmaktad›r. Çok yüksek s›cakl›klarda,

her bir atomu çevreleyen elektronlardan bir veya bir kaç› atomdan kopar. Oluflan

madde, elektrik yüklü serbest parçac›klar›n toplam› fleklindedir (eksi (-) yüklü

elektronlarla, art› (+) yüklü iyonlard›r). Böylece eflit say›da art› (+) ve eksi (-) yük-

lenmifl ortama (jöle gibi), maddenin di¤er yeni hali plazma ad› verilmektedir. Buhal, y›ld›zlarda ve güneflte mevcuttur.

Atom ve moleküllerin belirli kuvvetlerle ve uygun koflullarda bir araya gelme-

si madde olarak isimlendirilir. Kat›daki atomlar, özellikle elektriksel kuvvetlerle,

belirli konumlarda bir arada tutulurlar. Kat› atomlar› bu denge konumlar› etraf›n-

da ›s›sal etkiler nedeniyle titreflim hareketi yaparlar. Fakat düflük s›cakl›klarda bu

titreflim hareketi azd›r ve atomlar hemen hemen hiç hareket etmiyorlarm›fl gibi dü-

flünülebilir. E¤er maddeye ›s› enerjisi verilirse, bu titreflimlerin genli¤i artar. Kat›

d›fl kuvvetler etkisi alt›da s›k›flt›r›l›rsa, bu d›fl kuvvetlerin etkisini ince iç yaylar›n

s›k›flmas› gibi ele almak mümkündür. D›fl kuvvetlerin etkisi kald›r›ld›¤›nda, kat›,

ilk flekil ve boyutlar›na geri dönmektedir. Bu sebeple, bir kat› esneklik özelli¤ine

sahiptir.

Ak›flkanlar Mekani¤i

Atom ve moleküllerin belirlikuvvetlerle ve çeflitli

koflullarda bir arayagelmesi, maddeleri meydanagetirir.



Kat›lar; atomlar›n›n düzenli-periyodik veya rastgele yap› dizilifllerine göre, s›ra-s›yla kristal ya da amorf olarak s›n›fland›r›labilir. Cam amorf bir kat›ya örnekolup, atomlar› düzensiz olarak yerleflmifllerdir.

Verilen herhangi bir maddenin s›v› hali, kat› halinden daha yüksek s›cakl›ktabulunur. D›flar›dan yap›lan ›s›sal uyar›lar, maddenin kat› haline göre s›v› halindedaha etkili olmaktad›r. Sonuç olarak; s›v›daki molekülsel kuvvetler, molekülleri sa-bit konumlarda tutmaya yeterli de¤ildir ve moleküller s›v› içinde gelifligüzel, rast-gele dolafl›rlar.

Gaz halinde ise, moleküller gelifligüzel harekettedir ve moleküller birbirlerinesadece zay›f kuvvetlerle etki eder. Bir gaz›n molekülleri aras›ndaki ortalama uzak-l›klar, moleküllerin boyutlar›yla karfl›laflt›r›ld›¤›nda oldukça büyüktür. Moleküller,birbirleriyle nadiren çarp›fl›rlar; fakat zamanlar›n›n ço¤unda serbest hareket eder-ler ve etkileflmeyen parçac›klar gibi davran›rlar.

YO⁄UNLUK Bir maddenin yo¤unlu¤u (özkütle), birim hacminin kütlesi olarak tan›mlan›r. Yanikütlesi m , hacmi V olan bir maddenin d yo¤unlu¤u;

(7.1)

fleklinde verilir. Yo¤unluk birimleri; SI sisteminde kg/m3 ve CGS sisteminde iseg/cm3 dür (1000 kg/ m3 = 1 g/cm3).

Çeflitli maddelerin yo¤unluklar› Çizelge 7.1’de örnek olarak verilmifltir ve bude¤erler s›cakl›kla az çok de¤iflmektedir. Çünkü her maddenin hacmi s›cakl›klade¤iflmektedir. Normal koflullar alt›nda (0 °C’de ve atmosfer bas›nc›nda) özellikle

gazlar›n yo¤unluklar›, yaklafl›k olarak kat› ve s›v›lar›n yo¤unlu¤unun ’ine

eflittir. Bu de¤er, belirtilen koflullar alt›ndaki bir gaz›n ortalama moleküler uzakl›-¤›n›n, kat› ya da s›v› halindeyken on kez daha büyük oldu¤unu ifade eder. Birmaddenin ba¤›l yo¤unlu¤u ise; yo¤unlu¤unun, 4°C deki suyun yo¤unlu¤una ora-n› olarak tan›mlanabilir. Bu tan›mdan dikkat edilece¤i üzere, bir maddenin ba¤›l

yo¤unlu¤u boyutsuz-birimsiz bir fiziksel niceliktir. Örnek olarak bir maddenin ba-¤›l yo¤unlu¤u 8 ise, yo¤unlu¤u 8.103 kg/m3 olacakt›r.

Özgül a¤›rl›k ise cismin birim hacminin a¤›rl›¤›d›r.

Özgül A¤›rl›k = A¤›rl›k / Hacim

Özkütlenin yerçekimi ivmesiyle çarp›m› tan›m›ndan yola ç›karak özgül a¤›rl›k

büyüklü¤ünü,m Özgül A¤›rl›k = –– g = d .g V

fleklinde tan›mlayabiliriz.Kar›fl›mlar›n yo¤unlu¤unu ise; s›ras›yla, eflit hacimlerde kar›flt›r›lan ve eflit küt-

lelerde kar›flt›r›lan kar›fl›mlar için,

(7.2)

ve

(7.3)

eflitlikleri yard›m›yla belirleyebiliriz.

d d d

d d

m mk

=

+

=2

1 2

1 2

1 2

.

,

d d d

V V k

=+

=1 2

1 22

,

1

1000

d m

V =


Yap› diziliflleri düzenli olankat›lar kristal. Düzensiz olankat›lar ise amorf maddeolarak s›n›fland›r›l›r.

Yo¤unluk (Özkütle),maddeler için, erimenoktas›,genleflme katsay›s›,özgül ›s›, esneklik veçözünürlük nicelikleri gibi

ay›rd edici bir özelliktir.



fiekilde, taflma seviyesine kadar dolu 4 g/cm3 ve 6 g/cm3 özkütleli s›v›lar›n içine

b›rak›lan cisimlerden eflit kütlede s›v›lar taflmaktad›r. Taflan s›v›lar›n meydana ge-

tirece¤i kar›fl›m›n özkütlesi kaç g/cm3 olur? ( d cisim = 2 g/cm3 )

Çözüm: g/cm3

Özkütleleri s›cakl›kla do¤rusal olarak artan X, Y ve Z maddelerinin belli s›cakl›klar-

daki özkütleleri, X maddesi 50 ° C’de, d x = 3 g/cm3, Y maddesi 40 ° C’de, d y = 3 g/cm3,Z maddesi 30 ° C’de, d z = 3 g/cm3’dür. Bu maddelerin ayn› s›cakl›ktaki özkütleleri

d x , d y , d z aras›ndaki büyüklük iliflkisi nedir?

Çözüm: S›cakl›k de¤iflimi kütleyi etkilemeyip hacmi etkiledi¤inden üç cismin s›cak-l›¤›n› da 40 °C’ye getirerek önce hacimlerini sonra da özkütlelerini karfl›laflt›ral›m:

X maddesi 50 °C’den 40 °C’ye so¤utulursa hacmi küçülür ve özkütlesi 3 g/cm3’denbüyük olur.Z maddesi de 30 °C’den 40 °C’ye kadar ›s›t›l›rsa hacmi büyür ve özkütlesi 3 g/cm3’denküçük olur.O halde ayn› s›cakl›kta özkütleler aras›nda, d x > d y > d z iliflkisi vard›r.

Kütle hacim grafikleri verilen x ve y s›v›lar›ndan eflit hacimlerde al›narak yap›lan

40 cm3 hacimli bir kar›fl›m›n kütlesi kaç gram’d›r?

d d d

d d k

. .,=

+=

+= =

2 2 4 6

4 6

48

104 81 2

1 2

Malzeme S›cakl›k (°C) d (kg/ m3)

Hava 0.0 1.29

Benzen 20.0 879

Su 20.0 998

Su 0.0 1000

Kan 20.0 ≈ 1060

Kemik 20.0 1.7-2.0 X 103

Alüminyum 20.0 2700

Demir 20.0 7860

Bak›r 20.0 8920

Kurflun 20.0 11340

C›va 0.0 13600

1457. Ünite - Ak›flkanlar Mekani¤i

Çizelge 7.1Baz› Maddelerin Belirli S›cakl›klardaki

Yo¤unluk De¤erleri

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

40

20

0 5 10

V(cm3 )

xy

m( )



Çözüm: Grafikten faydalanarak x ve y s›v›lar›n›n yo¤unlu¤u bulunabilir.

X s›v›s› için: d x = 40/5 = 8 g/cm3

Y s›v›s› için: d y = 40/10 = 4 g/cm3

bulunur. ‹ki s›v›dan eflit hacim al›narak kar›fl›m›n toplam hacmi 4 cm3 verildi¤ine

göre her s›v›dan 20 cm3 hacimde s›v› al›nm›flt›r. Bu s›v›lar›n kütleleri,

m(x) = V(x) . d x = 20.8 = 160 gram

m(y) = V(y) . d y = 20.4 = 80 gram

kütle toplamlar› da; m ( x ) + m ( y ) = 160+80 = 240 gram bulunur.

Halk aras›nda çok s›k kullan›lan “Zeytin ya¤› gibi üste ç›kt›n” özdeyiflinde oldu¤u gibi,

zeytinya¤› ve su ayn› kaba konulduklar›nda zeytinya¤› üste ç›kar. Bu durumu nas›l aç›k-

lar›z?

BASINÇ VE SIVI BASINCININ DER‹NL‹KLE DE⁄‹fi‹M‹ Bas›nç, birim alan bafl›na dik olarak uygulanan kuvvetin büyüklü¤üdür. Bu du-

rumda P bas›nc›,

F P = –– ⇒ Bas›nç = dik kuvvet / yüzey alan› (7.4)A

olarak tan›mlan›r ve bas›nç için SI birimi, metrekare bafl›na newton olup buna

pascal (Pa) ad› verilmifltir:

1 Pa = 1 N / m2

Bas›nç; s›cakl›k ve yo¤unluk gibi, herhangi bir sistemin ana de¤iflkenlerini ka-

rakterize eden büyüklükler yan›nda, özel olarak ak›flkanlar mekani¤i davran›fl›n›

karakterize eden belirli de¤iflkenler de mutlaka vard›r.

Atmosfere aç›k her yüzeye etkiyen aç›k hava bas›nc› en çok üzerinde durulan

bas›nçt›r. Deniz seviyesindeki de¤eri ise; 1.01 x 105 Pa veya 101 kPa olarak belir-

lenmifltir. Bir atmosferlik bas›nç, yerçekimi ivmesi 9,80665 m/s2 olarak al›nd›¤›n-

da 0 ° C’de ve 76 cm (760 mm) yüksekli¤indeki c›va sütununun a¤›rl›¤›na eflde¤er

olan bas›nç olarak tan›mlan›r (Bu s›cakl›kta c›van›n yo¤unlu¤u: 13,595 g/cm3’dir).

Kütlesi 76 kg olan bir kifli, 152 dm2 toplam taban alan›na sahip kayaklarla kara

bast›¤› zaman yere uygulad›¤› bas›nç kaç pascal ( Pa )’d›r? ( g ≅ 10 m / s2 )

Kuvvet Kayakç›n›n a¤›rl›¤› mg 76x10Çözüm: P = ––––––––––– ⇒ P = ––––––––––––––––– = ––– = –––––––– = 500 Pa

Yüzey Alan› Kayak taban alan› A 152x10-2

Bas›nç, tan›mdan da görülece¤i gibi hem kuvvetle hem de kuvvetin uyguland›-

¤› yüzeyin alan›yla ilgilidir. Ayr›ca bir ak›flkan›n içindeki bas›nç her noktada ayn›

de¤erde de¤ildir. Bir kap içinde durgun halde bulunan ak›flkan› göz önüne alal›m.

Öncelikle, ayn› derinlikteki bütün noktalar›n ayn› bas›nç de¤erinde oldu¤una dik-

kat etmek gerekir. E¤er s›v› içinde derinliklere göre bas›nç bu durumda olmaz ise,

s›v›n›n herhangi bir belirli eleman› denge durumunda olmayacakt›r.


SIRA S‹ZDE 1

Bas›nç = dik kuvvet / yüzeyalan›

0° C’de yerçekimi ivmesinin9,80665 m / s2 oldu¤u yerde76cm (760mm)yüksekli¤indeki civasütununun a¤›rl›¤›na eflitmiktardaki bas›nçatmosferik bas›nç olaraktan›mlanm›flt›r.

Ö R N E K

S›v› içerisindeki bas›nç,derinlikle de¤iflir.



Bir referans noktas›na göre y 1 ve y 2 yüksekli¤indeki bas›nçlar s›ras›yla; P 1 ve

P 2 olsun. S›v›n›n yo¤unlu¤u d sabit al›n›rsa,

P 2 - P 1 = d g ( y 2 - y 1 ) (7.5)

eflitli¤i bulunur. Kab›n üst yüzeyi aç›ksa H derinli¤indeki bas›nç, atmosfer bas›nc›-

n› P a = P 2 alarak ve yüksekli¤in H = y 2 - y 1 oldu¤u düflünülerek,

P = P a + d g H (7.6)

eflitli¤i bulunur. Yukar›daki eflitli¤e, göre

üst yüzeyi atmosfere aç›k olan bir kap için-

de bulunan s›v›n›n H derinli¤indeki P mut-

lak bas›nc›, P a atmosfer bas›nc›ndan d g H

kadar daha büyüktür. S›v› bas›nc› daima

kab›n çeperlerine diktir. Çekim alan›n›n s›-

f›r oldu¤u bir yerde, kat› ve s›v›lar›n a¤›r-l›klar›ndan söz edilemeyece¤i için, yapt›k-

lar› bas›nçlar da s›f›r olur. E¤er kab›n üst

yüzeyi atmosfere kapal› ise P mutlak ba-

s›nc› bu durumda,

P = d g H (7.7)

eflitli¤iyle tan›mlan›r.

Bir s›v›n›n 40 cm derinlikte yapt›¤› bas›nç, 50 cm derinli¤indeki suyun yapt›¤› ba-

s›nca eflittir. Suyun yo¤unlu¤u 1 g/cm3

oldu¤una göre s›v›n›n yo¤unlu¤u kaç g/cm3’ tür?

Çözüm: P s›v› = d s›v› g hs›v› = d su g h, ⇒ d s›v› g 40cm = (1g/cm3) g 50cm,

50d s›v› = ––– = 1,25 g/cm3

40

Ege denizinin yo¤unlu¤u yaklafl›k olarak 1,025 g/cm3 al›nabilir. 30 m dibe da-

lan bir sünger avc›s›na denizin yapt›¤› bas›nç ne olacakt›r? (yerçekimi ivmesini;

~9,8 m/s2 al›n›z)

Çözüm: P= d. H. g ⇒ P= (1025 kg/m3) (30 m) (9,8 m/s2) = 301350 Pa

Bir tansiyon ölçümünde verilen 12-8 say›lar›ndan birincisi “büyük” tansiyonu

cmHg (C›va) cinsinden ölçmektedir. Bu hazne bas›nc›n›n kPa cinsinden de¤eri

nedir? ( d civa = 13,595.10 3 kg/m3, g = 9,8 m / s2 )

Çözüm: P = d gH = 13,595.103.9,8.12.10-2 = 15,98772 kPa

Derin sularda görülen “vurgun” olay›n›n nedeni sizce nedir?


fiekil 7.1

Üst Yüzeyi Atmosfere Aç›k Olan Bir S›v›n›n Yüzeyinden H Derinli¤inde Bulunan bir Noktadaki Bas›nç

Ö R N E K

Ö R N E K

Ö R N E K

SIRA S‹ZDE

2



Bas›nç ÖlçümleriBas›nç ölçmek için çeflitli basit düzenek-ler kullan›l›r. Aç›k kollu manometre ve

c›val› barometre bunlardan ikisidir. Aç›kkollu manometre, atmosfere aç›k uç s›v›dolu U-fleklindeki bir boru ve bilinme-

yen P bas›nc›ndaki sisteme ba¤l› di¤eruçtan oluflmaktad›r (fiekil 7.2). d, s›v›-n›n yo¤unlu¤u olmak üzere, gaz bas›n-c› P a + d gH olmaktad›r. A noktas›ndakibas›nç, B noktas›ndaki bas›nca eflit ol-du¤undan bu da bilinmeyen P gaz ba-s›nc›n› verecektir. Bu durumda mutlakbas›nç P;

P = P a + d gH

fleklinde tan›mlanabilir. Yukar›daki eflitlikte P - P a de¤eri ise

gösterge bas›nc›n› verecektir. Sonuçta,sistemdeki bas›nç atmosfer bas›nc›ndanbüyükse H pozitif olur, aksine bas›nçatmosfer bas›nc›ndan küçük ise H ne-gatif olacakt›r.

E. Toricelli taraf›ndan bulunan c›val›barometre ise; bir ucu kapal› c›va (Hg)

ile doldurulmufl cam bir boru ve bu bo-runun ters çevrilerek dald›r›ld›¤› c›va do-lu bir kaptan oluflmaktad›r (fiekil 7.3).

Borunun kapal› ucunda boflluk olufltu¤undan bas›nç s›f›r olarak al›n›r. Bu durum-da d c›van›n yo¤unlu¤u olmak üzere, bas›nc›n de¤eri P a = d gH olur ve H tüp için-deki c›van›n yüksekli¤idir.

Dalg›çlar suya dald›klar›nda sinüslerine neden hava üfler hiç düflündünüz mü?

PASCAL PRENS‹B‹Mutlak bas›nç için bulunan sonuç, ayn›

yüksekli¤e sahip olan bütün noktalarda-ki bas›nc›n ayn› oldu¤unu da ispatlaya-cakt›r. Buna ilaveten bas›nç kab›n flek-linden de etkilenmez.

S›v› içindeki bas›nc›n sadece s›v›n›nderinli¤ine ba¤l› olmas›ndan dolay›fiekil 7.5’de görüldü¤ü gibi s›v›n›n yü-zeyine yap›lan bas›nc›n s›v›n›n di¤er bü-tün noktalar›na aynen iletildi¤i sonucu-na var›l›r. Bu ilke ilk kez Frans›z bilgin

Pascal taraf›ndan ortaya at›lm›flt›r vePascal Prensibi olarak bilinir.


fiekil 7.2

Aç›k Uçlu

Manometre

SIRA S‹ZDE 3

fiekil 7.3

Toricelli Deneyi

fiekil 7.4

Ayn› Derinlikte Bulunan Noktalar›n Bas›nçlar›



Pascal prensibinin önemli bir uygula-

mas› fiekil 7.6’da görülen su cenderesidir.

Su cenderesinde bir F 1 kuvveti yüzey ala-n› A 1 olan küçük bir pistona uygulanmak-

tad›r. Ortaya ç›kan bas›nç s›v› taraf›ndan

yüzey alan› A 2 olan daha büyük bir pis-

tona iletilir. Her iki tarafta da bas›nç ayn›

olaca¤› için,

(7.8)

olur. Buna göre F 2 kuvveti A 2 / A 1 çarpan› kadar F 1 kuvvetinden büyüktür.

Hidrolik frenler, araba kald›r›c›lar›, hidrolik presler, çatall› kald›r›c›lar gibiaraçlar›n yan› s›ra artezyen kuyular›, su kuleleri ve barajlar da Pascal prensibine

uyarlar.

fiekildeki sistem dengededir. Pistonlar›n a¤›rl›klar› ihmal edilebilir oldu¤una göre,

F 1 ve F 3 kuvvetleri kaçar newton’dur.

Çözüm: Pascal prensibine göre P 1 = P 2 = P 3 , olaca¤›ndan, olur.Böylece F 1 = F 3 = 5 newton bulunur.

Servis istasyonlar›nda kullan›lan araba kald›r›c›lar›n›n çal›flma prensibini aç›klay›n›z.

F

S

F

S

F

S

1 2 3

3= =

P F

A

F

A= =1

1

2

2


“Pascal prensibine göre,kapal› bir kaptaki s›v›yauygulanan bas›nçta

oluflacak herhangi birde¤ifliklik, kab›n çeperlerineve s›v›n›n her noktas›nade¤iflmeksizin ayneniletilmektedir”.

fiekil 7.5

F

S

SIVI V

Pascal Prensibi

Su cenderesi gibi düzenekleryard›m›yla küçük bir kuvvetuygulayarak, büyük birkuvvet elde etmekmümkündür.

fiekil 7.6

Su Cenderesi

Ö R N E K

SIRA S‹ZDE

4



ARCHIMEDES PRENS‹B‹ VE KALDIRMA KUVVET‹S›v› içinde, taban alan› A olan dikdörtgenler prizmas› fleklindeki cisme, bir ba-s›nç kuvveti etki etsin. Cismin; yan yüzeylerine etkiyen bas›nç kuvvetleri birbir-

lerini dengeleyecek, s›v› derinli¤i de¤iflece¤inden alt yüzeye etkiyen bas›nç kuvveti üst yüzeye etkiyeninkinden büyük olacakt›r. Bu duruma ait bas›nç kuvveti-nin bileflkesi ise,

AP 2 - AP 1 = d g ( y 2 - y 1 ) A

eflitli¤iyle verilir. Burada; ( y 2 - y 1 )= y cismin yüksekli¤ine eflittir. Bu durumdaAP 2 - AP 1 = dgyA olur. Bu durumda V=Ay cismin hacmine, ( d y A ) cismin küt-lesine, ( d y A ) g ise cismin hacmi kadar olan s›v›n›n a¤›rl›¤›na eflittir. Böylece kal-d›rma kuvvetinin büyüklü¤ü,

F kald›rma = V batan d s›v› g (7.9)

eflitli¤i ile yaz›labilir. Eflitlik 7.9’dan da görüldü¤ü gibi kald›rma kuvveti, s›v› içeri-sine bat›r›lan cismin batan k›sm›n›n hacmine eflit miktardaki s›v› a¤›rl›¤›na eflittir.Böyle bir kald›rma kuvvetinin varl›¤› ilk kez deneysel yöntemle Archimedes tara-f›ndan bulunmufltur ve bu sebeple Archimedes Prensibi olarak adland›r›l›r.

S›v› içine b›rak›lan bir cisim böylelikle; s›v›n›nkald›rma kuvveti ve cismin a¤›rl›¤› fleklinde bafl-l›ca iki kuvvetin etkisinde kalacakt›r. E¤er kald›r-ma kuvveti, cismin a¤›rl›¤›ndan büyükse cisim

yüzer ve serbest yüze do¤ru hareket eder. Bir bö-lümü s›v› d›fl›na taflar böylece kald›rma kuvvetiazal›r ve “Kald›rma Kuvveti ≡ A¤›rl›k” oluncadenge sa¤lan›r.

d s›v› , d cisim s›ras›yla; bir kap içindeki s›v› vebir cisme ait özkütleler olmak üzere, s›v› içineb›rak›lan bir cisim için üç farkl› durum söz ko-nusu olur. d cisim < d s›v› koflulunda cisme uygula-nan s›v›n›n kald›rma kuvveti ve cismin a¤›rl›¤›denge koflulunu sa¤lad›¤›nda cisim yüzeyde yü-

zer. d cisim = d s›v› koflulunda ise cisim s›v›n›n içinde s›v›n›n kald›rma kuvvetinincismin a¤›rl›¤›na eflit oldu¤u durumda yine yüzer. Fakat d cisim > d s›v› koflulundaise cisim, s›v›n›n kald›rma kuvveti ile kab›n taban› taraf›ndan cisme uygulanandüfley yukar› yönlü tepki kuvvetinin, düfley afla¤› yönlü cismin a¤›rl›¤› ile dengekoflulunda ise dibe batar. Bu durumlar fiekil 7.8’de gösterilmifltir.


Archimedes prensibine göres›v› içindeki cisme, batank›sm›n›n hacmi kadars›v›n›n a¤›rl›¤›na eflitbüyüklükte düfleydo¤rultuda, s›v›n›n serbest

yüzüne yönelmifl birkald›rma kuvveti etki eder.

fiekil 7.7

S›v› ‹çinde Cisme Etki Eden Kuvvetler

fiekil 7.8

S›v› ‹çine B›rak›lan Bir Cisim ‹çinDenge Durumlar›



Hacim bölmeleri eflit bir K cismi, farkl› iki s›v›da flekilde gösterildi¤i gibi dengede

kalm›flt›r. oran› nedir?

Çözüm: fiekildeki sistemde her iki durumda da denge koflulu sa¤land›¤›ndan, yo¤unluklar oran›;

dir.

Buzullar›n, buz da¤lar›n›n hacimlerinin ne kadar› deniz seviyesinin alt›nda kal›r?

AKIfiKANLARIN KARAKTER‹ST‹⁄‹ VE BAZIÖZELL‹KLER‹Hareket halindeki s›v›larda ak›fl, iki temel tipten biri ile karakterize edilebilir. S›v›-n›n her bir parças› düzgün bir çizgi boyunca ak›yorsa ak›fl›n kararl› oldu¤u söyle-nir ve her parçac›¤›n ak›fl çizgisi di¤er çizgileri kesmez. S›v›n›n herhangi bir nok-tadaki ak›fl h›z› zamanla da sabit kal›r.

H›z›n kritik bir de¤eri üzerindeki durum için, s›v›n›n ak›fl› karars›z ya da gir-

dapl› olur. Bu, düzensiz bir ak›flt›r.Gerçek bir s›v›n›n hareketi kar›fl›k oldu¤u için henüz tam olarak anlafl›lmam›fl-

t›r, bu yüzden yaklafl›m›m›zda baz› kabuller yapaca¤›z. Hareketli, gerçek s›v›lar›npek çok özelli¤i ideal bir s›v›n›n davran›fl›n› inceleyerek anlafl›labilir. ‹deal s›v› mo-

deli için ise afla¤›daki varsay›mlar› yapabiliriz:• Viskoz Olmayan Ak›flkan: Viskoz olmayan bir s›v›da iç sürtünme ihmal

edilmektedir. Böyle bir s›v› içinde hareket eden cisim sonuçta yavafllat›c› viskozluk kuvvetiyle karfl›laflmayacakt›r.

• Kararl› Ak›fl: Kararl› ak›flta, s›v›n›n her noktas›nda h›z›n›n zamanla sabitkald›¤› kabul edilmektedir.

• S›k›flt›r›lamayan Ak›flkan: S›v›n›n yo¤unlu¤unun zaman içinde sabit kal-d›¤› kabul edilmektedir.

• Girdaps›z Ak›fl: S›v›n›n, herhangi bir noktaya göre aç›sal momentumu yoksa, bu ak›flkan dönmeyecektir. Yani ak›flkan›n herhangi bir yerine yer-lefltirilen küçük bir çark, kütle merkezi etraf›nda dönmüyorsa ak›flkan dön-müyor demektir (Girdap varm›fl gibi çark dönüyor olsayd›, ak›fl bir dönmegösterecekti).

Bir nehirdeki suyun h›zl› ak›fl› esnas›nda kayalar, tafllar ve baflka engellerle karfl›laflt›¤›n-da aniden -beyaz su- fleklini almas› sizce hangi olaya örnek gösterilebilir?

2 33

21 2

1

2

Vd g Vd g d

d . . ,= ⇒ =

d

d

1

2


Ö R N E K

SIRA S‹ZDE

5

Viskoz olmayan, s›v›n›n hernoktas›nda h›z›n›n veyo¤unlu¤unun zamanlasabit kald›¤› girdaps›zak›fllar ideal ak›flkanmodeline uyarlar.

SIRA S‹ZDE6



SÜREKL‹L‹K DENKLEM‹“Madde ne yoktan var edilebilir ne de yok edilebilir” fleklindeki kütlenin korunumuprensibi, Frans›z kimyac›s›, A.L. Lavaisier taraf›ndan klasik olarak ifade edilmifltir.

(Kütlenin korunumu prensibinin bir uygulamas› da ak›m borusu içinde akmakta olankararl› bir ak›flkand›r ve bu ak›flkan›n›n incelenmesi süreklilik denklemi ile olur.) Butan›m; bir ak›m tüpü içerisinde kesitten kesite ak›m›n süreklili¤i anlam›na gelir.

Bir ak›m borusu içerisinde s›k›flabilir bir ak›flkan›n kararl› ak›fl›n› inceleyelim.(1) kesitinde; kesit alan› A 1 ve ak›flkan›n ortalama özkütlesi d 1 , (2) kesitinde ke-sit alan› A 2 ortalama özkütlesi ise d 2 olsun. fiekil 7.9’da (A 1 ∆s 1 ) hacmini doldu-ran ak›flkan kütlesi ∆t zaman aral›¤›nda (A 2 ∆s 2 ) hacimli konuma geliyorsa, küt-le korunumu prensibine göre;

d 1 A 1 ∆s 1 = d 2 A 2 ∆s 2

olmal›d›r.

Eflitli¤in her iki taraf› ∆t ile bölündü¤ünde birim zaman›ndaki kütlelerin eflit-li¤inden;

elde edilir. ifadeleri (1) ve (2) kesitlerindeki ortalama h›zlar oldu-

¤undan; s›k›flt›r›labilir bir ak›flkan için süreklilik denklemi

d 1 A 1 o1 = d 2 A 2 o2

olarak elde edilmifl olur. Bu ifadenin gerçek anlam›: kararl› bir ak›flkan ak›m›ndaak›m borusunun tüm kesitlerinden geçen kütlesel debi olan dA o ’nin sabit oldu¤u-dur. Böylece;

dA o= sabit (7.10)

yaz›labilir. Özkütle (yo¤unluk) de¤ifliminin ihmal edilebilir s›n›rlarda kald›¤› gaz ve s›v› ak›mlar›nda yani s›k›flt›r›lamayan ak›flkan ortamlarda (d 1 = d 2 = sabit ) ola-ca¤›ndan süreklilik denklemi;

A 1 o1 = A 2 o2 = sabit yani A o= Q (sabit ) (7.11)

fleklinde ifade edilir. Buradaki Q sembolüne hacimsel debi veya k›saca debi denir.

Eflitlik 7.11’den de görüldü¤ü gibi debi birim zamanda sistemden geçen hacimdir ve birimi SI’ da m3/s ’dir.

∆

∆

∆

∆

s

t

s

t

1 2ve

d A s

t d A

s

t 1 11

2 22

∆

∆

∆

∆=


Kütlenin korunumuprensibinin bir ak›m borusuiçerisinde akmakta olan

kararl› bir ak›flauygulanmas›na süreklilikdenklemi denir.

fiekil 7.9

Kesitleri Farkl› Borudaki Ak›flkan

Debi: Birim zamanda

sistemden geçen s›v›hacmidir. Birimi isem3 / s ’dir.



Su, çap› 12 mm’den 9 mm’ye daralan bir boru içerisinde akmaktad›r. Suyun 12 mmçapl› yüzeyindeki ak›fl h›z› 0,8 m / s ise, 9 mmçapl› yüzeydeki h›z kaç m / s’dir?

Çözüm: Süreklilik denklemi yard›m›yla h›z için,

m/s olarak bulunur.

Bir su hortumu ile bahçe sularken, suyu daha h›zl› ve daha ileriye ak›tmak için hortumun

ucunun daralt›lmas› gerekir. Bu ifllemi neyle aç›klars›n›z?

BERNOULLI DENKLEM‹S›k›flt›r›lamayan ak›flkan ortamlar ( d = sabit) için,

(7.12)

eflitli¤i, Bernoulli Denklemi olarak tan›mlan›r. Eflitlik 7.12’de H yüksekli¤indekibir ak›fl borusunda ν h›z›yla akmakta olan d yo¤unluklu bir s›v›n›n bu noktadakibas›nc› P ise, bu büyüklükler aras›ndaki iliflki Bernoulli Denklemi olarak adland›-r›l›r. Bernoulli Denklemi ak›flkanlarda enerjinin korunumu ilkesinin bir sonucudur.Bu nedenle fiekil 7.10’daki bir ak›fl borusu için;

(7.13)

eflitli¤i yaz›labilir. Yukar›daki eflitli¤in solundaki her bir terim bir bas›nç ifadesi fleklindedir. Berno-

ulli denkleminin birim hacimdeki ak›flkan›n enerjisini gösterir flekilde yeniden dü-zenlenmesiyle ise, bu denklemin daha ziyade gaz ak›mlar› için kullan›lmas› müm-kün olur. Bernoulli denkleminin uygulamalar› aras›nda, Pitot tüpü gösterilebilir.

Binalar›n su tesisatlar›nda neden binan›n en yüksek yerinde bir su deposunun kullan›ld›-¤›n› aç›klay›n›z?

P d dgh P d ghv v1 1

2

1 2 2

2

2

1

2

1

2+ + = + + d

P d dg H sabit v+ + =1

2

2.

v v v A

A

r

r 2 1

1

2

11

2

2

2

2

20 8

12

91 422= = = = , . ,

π

π


Ö R N E K

SIRA S‹ZDE

7

Ak›flkanlarda enerjininkorunumu ilkesinedayanarak, bas›nç, h›z veyükseklik aras›ndaki iliflkiyiveren eflitlik Bernoulli

Denklemi olarakadland›r›l›r.

fiekil 7.10

Bir Ak›m Çizgisi Boyunca Daimi,Sürtünmesiz,S›k›flt›r›lamaz Ak›fl

SIRA S‹ZDE8



Pitot TüpüPitot tüpü bir ak›flkan ak›m›n›n herhangi bir noktas›ndaki yerel h›z› ölçmek içinkullan›l›r. L fleklinde bükülmüfl içice iki silindirik borudan, içerdeki borunun iki

ucu aç›k, d›fltaki boru iki taraf›ndan fiekil 7.11’de gösterildi¤i gibi, içteki boru üze-rine kapat›lm›fl konumdad›r. D›fltaki borunun arka ucu priz ç›k›fl› b›rak›larak dife-ransiyel manometrenin bir ucuna ba¤lanm›fl, di¤er ucu ise içteki borunun ç›k›fl›nairtibatl›d›r. D›fltaki borunun ön taraf›na ise, uçtan itibaren belli mesafede küçükçapl› delikler aç›lm›flt›r.

Böyle bir tüp, aç›k ucu ak›fla do¤ru gelecek flekilde bir hava kanal›na yerleflti-rilirse içteki boruda, durma bas›nc› dolay›s›yla, toplam bas›nç, d›fltaki boruda iseayn› noktadaki statik bas›nç mevcut olacakt›r. Bu durumda diferansiyel manomet-renin sa¤ koluna statik bas›nç, sol koluna ise toplam bas›nç etkiyecektir. Bu ko-numda diferansiyel manometredeki yükseklik fark›ndan kinetik enerji, dolay›s›yla,kanaldaki hava h›z› belirlenebilir.

Bir uça¤›n kanad›na hareket do¤rultusuna karfl› gelecek flekilde yerlefltirildi¤in-de, Pitot tüpü ile uça¤›n h›z›n› ölçmek mümkündür. Tabii ki burada hesaplanacakh›z; rüzgar h›z› ile kar›fl›k h›zd›r. Gerçek h›z› bulmak için rüzgar h›z›n›, yön ve flid-detine göre hesaba katmak gerekir.

Pitot tüpü ile bir noktadaki dinamik bas›nç direkt olarak ölçülürken, statik ve

toplam bas›nçlar da ölçülebilir. Bunun için, diferansiyel manometrenin sa¤ koluprizden ç›kar›l›p atmosfere aç›l›rsa, o noktadaki toplam bas›nç, sol kolu prizden ç›-kar›larak atmosfere aç›l›rsa, statik bas›nç okunabilir.

V‹SKOZ‹TEViskozluk, s›v›daki iç sürtünmenin büyüklü¤ünü tan›mlayabilmek için s›v› ak›fl›n-da s›kça kullan›lan bir terimdir. Bu iç sürtünmede, birbirine göre hareket eden s›-

v›n›n iki komflu tabakas›n›n karfl›laflt›¤› dirençle ortaya ç›kar. Viskozluk sebebiyles›v›n›n kinetik enerjisinin bir k›sm› ›s› enerjisine dönüflmektedir. Bu durum sürtün-meli yatay bir yüzey üzerinde kayan bir cismin kinetik enerjisini kaybetme meka-nizmas›na benzetilebilir.


fiekil 7.11

Pitot Tüpü

Bir ak›flkan›n viskozlu¤u varise mekanik enerjikorunmaz.



Ço¤u zaman bir ak›flkandaki korunumsuz kuvvetler pek göz ard› edilemez. Bukuvvetler ak›flkan›n mekanik enerjisini azaltarak iç enerjisine aktarmaktad›r. T›pk›,

sürtünme kuvvetlerinin kayan bir blo¤un mekanik enerjisini blok ve de¤di¤i yüze-

yin iç enerjilerine aktarmas› gibi. Böylesine kay›p kuvvetleri önemli olan ak›flkanla-ra viskoz ak›flkanlar denir. Vizkoz ak›flkanlarda mekanik enerji korunmaz. Bernoul-li denklemi; bir ak›flkan›n viskozlu¤u var ise, ak›flkan›n mekanik enerjisi korunma-

yaca¤›ndan geçerli olmaz. Yatay ve düzgün kesitli bir borudan akan viskoz bir ak›fl-kan›n bas›nc› ak›fl çizgileri boyunca düfler. fiekil 7.12’de gösterilen bu hareket dü-zenine laminer ak›fl denir. Her tabaka komflular›na bir kuvvet uygular ama d›fl› çev-rili olmad›¤›ndan birbirleriyle kar›flmazlar. fiekil 7.12’de üstteki levha düflük ve sa-bit bir h›zla ak›flkan›n üst k›s-

m›nda hareket ettirilmekte-dir. Deneyler ço¤u ak›flkan-da ak›flkan h›z›n›n flekildeki

gibi iki levha aras›nda hare-ketli levhadan olan uzakl›kla

do¤ru orant›l› olarak de¤iflti-¤ini göstermektedir. Levhay›hareket ettirmek için gerekli

yatay kuvvet bilefleni levha-

n›n h›z›yla do¤ru orant›l› olan ak›flkanlara ise newtoncul ak›flkanlar denir. Su ve hava yaklafl›k birer newtoncul ak›flkand›r. Süzme bal kavanozdan dökülürken ak›fl›nadikkat edilecek olursa, üst tabakas› kavanoza de¤en tabakadan daha h›zl› akar (la-miner ak›fl). Bunlarda levhay› çekmek için gerekli olan kuvvet h›z›n karesiyle oran-t›l› olabilir. Yüksek h›zlarda ise ak›fl çevrili olmaya bafllayacakt›r.

Hareketli levha üzerindeki kuvvetin (F ’nin) büyüklü¤ü deneysel olarak hare-ketli levhan›n yaln›z h›z›yla de¤il ayn› zamanda A alan›yla da do¤ru ve duran lev-hadan olan l uzakl›¤›yla ters orant›l›d›r:

(7.14)

Burada h ; viskozite katsay›s› ad›n› al›r. Birimi SI da Ns/m2 dir.

Vizkozite s›cakl›k ve bas›nçla de¤iflir. Gaz ortamlar›n ve birçok s›v›lar›n visko-ziteleri bas›nçla azda olsa artar. Suyun vizkozitesi, 300 °C’n›n alt›nda çok az birazalma göstererek, di¤er s›v›lara nazaran farkl› bir davran›fl gösterir. Suda 100 atm

bas›nca kadar viskozitenin bas›nçla çok az de¤iflim göstermesi nedeniyle bu de¤i-flim ihmal edilebilir. Gaz ortamlar›n viskozitesi h ise; s›cakl›kla artmaktad›r.

S›v› bal neden suya göre daha yavafl akar?

SIVILARDA YÜZEY GER‹L‹M KUVVET‹Moleküller aras›nda mevcut kuvvetlerin bir sonucu olarak s›v›lar›n serbest yüzey-lerinde bir bak›ma t›pk› gerilmifl bir lastik zar gibi daima büzülmek ve mümkünolan en küçük yüzeyi almak isteyen bir molekül kal›nl›¤›nda çok ince bir s›v› zar›meydana gelir. Bu zar› gergin tutan kuvvetlere yüzey gerilim kuvvetleri denir. Birs›v› zar›n›n yüzey gerilim sabiti s›cakl›k ile azal›r. Bu sabit, s›v› yüzeyinin temizli-

¤ine ve s›v› yüzeyi ile temasta olan gaz›n cinsine de ba¤l›d›r.

F A

l =

η υ


fiekil 7.12

A

V

I

Laminer Ak›fl

Viskozite üzerinde s›cakl›kve bas›nc›n etkisi vard›r.

SIRA S‹ZDE

9



Gerçek s›v›larda mevcut olan, ancak ideal tan›mlarda ihmal etti¤imiz s›v› parti-küllerinin birbirleri aras›ndaki çekme kuvvetine Kohezyon Kuvveti denir. Ad-hezyon Kuvveti ise; s›v› ile müflterek bir yüzey teflkil eden kat› partikülleri ile s›-

v› partikülleri aras›ndaki çekim kuvveti olarak tan›mlan›r.

S›v›larda De¤me Yüzeyi‹yi temizlenmifl cam kaplardan birisine su di¤erine c›va döküldü¤ünde s›v›lar›n üst

yüzeyleri gözlenirse özellikle kenarlarda yatay olmad›¤› görülür. Bu yatayl›ktanayr›l›fl›n fiekil 7.13’de görüldü¤ü gibi, su için cam kap kenarlar›nda bir yükselme,c›va için ise bir alçalma fleklinde oldu¤u gözlenir.

S›v› yüzeyindeki herhangi bir moleküle etkiyen kuvvetleri göz önüne alacakolursak afla¤›da belirlenmifl etkilerden bahsedebiliriz (1. ve 4.’yü çok küçük olduk-

lar›ndan genellikle ihmal ederiz):1. Yerçekim Kuvveti2. Kohezyon (s›v›-s›v› etkili) Kuvveti F k

3. Adhezyon (s›v›-kat› etkili) Kuvveti F a

4. S›v› molekülünün temasta oldu¤u gaz (hava) moleküllerince uygulanankuvvet

Bileflke kuvvet s›v› yüzeyinde herhangi bir noktada mutlaka s›v› yüzeyine dik-tir. S›v›-kap iliflkisi düflünüldü¤ünde;

a. F a > F k ise bu s›v›lara Kab› Islatan S›v›lar denir. Örnek: Sub. F a < F k ise bu s›v›lara Kab› Islatmayan S›v›lar denir. Örnek: C›va

Bu flekilde farkl› iki s›v› kullanarak çok ince (k›lcal) kal›nl›kta temiz cam boru-lar bu farkl› iki s›v› içine bat›r›l›rsa ince borularda s›v›lar›n yükseklik seviyeleri k›l-call›k denilen olay nedeniyle birbirine göre de farkl›l›k gösterecektir.

Bir cam yüzeye su ve c›va serpifltirdi¤inizi düflünün. Suyun cam yüzeyinde ask›da kalmas›-

na ra¤men c›van›n cam yüzeyine hiç bulaflmad›¤›n› gözlemlersiniz, neden?


fiekil 7.13

S›v›larda De¤me Yüzeyi

SIRA S‹ZDE 10

Kohezyon Kuvveti ⇒ SIVI -SIVI ETK‹LEfiMES‹

Adhezyon Kuvveti ⇒ SIVI -KAP ETK‹LEfiMES‹




Yo¤unluk ve bas›nca iliflkin temel kavramlar›

aç›klamak.m kütleli, V hacimli bir cismin yo¤unlu¤u, yani

birim hacminin kütlesi

olarak tan›mlan›r ve maddeler için ay›rt edicibir özeliktir.

A alanl› yüzeye dik olarak etkiyen, büyüklü¤ü

F olan bir kuvvetin yapt›¤› P bas›nc› ise,

fleklindedir.

Ak›flkanlar›n yapt›klar› bas›nç

P = d H g

olup, ak›flkan›n yüksekli¤i yo¤unlu¤u ve bulunu-

lan yerdeki yerçekimi ivmesiyle do¤ru orant›l›d›r.

Pascal, Archimedes prensiplerini aç›klamak.

Pascal prensibine göre s›v›lar, üzerlerine yap›lan

bas›nc› s›v›n›n her noktas›na ayn› flekilde aynen

iletirler.

Bir ak›flkan›n içerisinde bulunan bir cisme kal-

d›rma kuvveti etki eder. Bu kald›rma kuvveti,

Archimedes prensibine göre, cismin batan k›sm›-

n›n hacmi kadar ak›flkan›n a¤›rl›¤›na eflittir.

‹deal ak›flkan koflullar›n› saptamak.

‹deal s›v› modeli için ise afla¤›daki varsay›mlar

yap›l›r:

• Viskoz Olmayan Ak›flkan: Viskoz olmayan bir

s›v›da iç sürtünme ihmal edilmektedir. Böyle

bir s›v› içinde hareket eden cisim sonuçta ya-

vafllat›c› viskozluk kuvvetiyle karfl›laflmaya-

cakt›r.

• Kararl› Ak›fl: Kararl› ak›flta, s›v›n›n her nokta-

s›nda h›z›n›n zamanla sabit kald›¤›n› kabul

edilmektedir.

• S›k›flt›r›lamayan Ak›flkan: S›v›n›n yo¤unlu¤u-

nun zaman içinde sabit kald›¤› kabul edilmek-

tedir.

• Girdaps›z Ak›fl: S›v›n›n, herhangi bir noktaya

göre aç›sal momentumu yoksa, bu ak›flkan

dönmeyecektir.

Süreklilik ve Bernoulli denklemlerini tan›mak.

Kütle korunumu yasas›n›n bir ak›m borusu içeri-

sinde akmakta olan kararl› bir ak›fla uygulanma-

s›yla süreklilik denklemi elde edilir.

S›k›flt›r›lamayan ak›flkan ortamlar (d = sabit ) için,

eflitli¤i bas›nç, h›z ve ivme aras›ndaki iliflkiyi ver-

mektedir, ilk kez Bernoulli ve Euler taraf›ndan

gelifltirildi¤i için bu eflitlikler Bernoulli denklemi

olarak adland›r›l›r.

Viskozluk ve yüzey gerilimi kavramlar›n› aç›k-

lamak.

Bir ak›flkan içinde korunumsuz kuvvetler varsa,

bu kuvvetler ak›flkan›n mekanik enerjisini azalta-

rak iç enerjisine aktarmaktad›r. Kay›p kuvvetleri

önemli olan bu tür ak›flkanlara viskoz ak›flkanlar

denir.

Moleküller aras›nda mevcut kuvvetlerin bir so-

nucu olarak s›v›lar›n serbest yüzeylerinde, daima

büzülmek ve mümkün olan en küçük yüzeyi al-mak isteyen bir molekül kal›nl›¤›nda çok ince bir

s›v› zar› meydana gelir. Bu zar› gergin tutan kuv-

vetlere yüzey gerilim kuvvetleri denir.

P d d g H sabit v+ + =1

2

2 . .

P F

A=

d m

V =

Özet

1

A M A Ç

2

A M A Ç

3

A M A Ç

4

A M A Ç

5

A M A Ç




1. Viskozite katsay›s›n›n SI birim sistemindeki birimi

nedir?

a. kg/m.s

b. N . s/m

c. N . s2/m2

d. kg . s/m

e. kg/m . s3

2. fiekildeki düzenekte pistona etki eden bas›nç kuv-

veti; piston I konumundayken F I , II konumundayken

F II , III konumundayken F III ’tür. Kaptaki s›v›n›n hacmi

de¤iflmedi¤ine göre F I , F II ,F III , bas›nç kuvvetleri nas›l

de¤iflir?

a. F I = F II > F III b. F I > F II = F III c. F I < F II < F III d. F I > F II > F III e. F I = F II =F III

3. Dikdörtgenler prizmas› fleklinde bir silisyum blo¤u-

nun boyutlar› 120 x 165 x 225 mm, özgül a¤›rl›¤› da

2,59573.104 kg/m2s2’d›r. Silisyum blo¤un kütlesi kaç

kg’d›r? ( g = 9,8 m/s2)

a. 118b. 1,15639

c. 115,639

d. 5,826.107

e. 11,8

4. Su, çap›, 6,35 cm ve ak›fl oran› 0,012 m3/s olan bir

yang›n hortumundan akmaktad›r. Yang›n hortumu, iç

çap› 2,2 cm olan hortum bafl›nda son bulmaktad›r. Su-

yun ç›k›fl h›z› nedir?

a. 3,8 .10-4 m/s

b. 31,6 m/sc. 316 m/s

d. 1,2 m/s

e. 0,012 m/s

5. Düfley kesiti flekildeki gibi olan bir kab›n a¤›rl›¤›

önemsiz pistonlar›n›n kesit alanlar› S, 2S, S’ dir. F 1 , F 2

ve F 3 kuvvetleri uyguland›¤›nda bu pistonlar ayn› dü-

zeyde kal›yor. F 2 ve F 3 kaç newton’dur?

a. F 2 =10, F 3 =20

b. F 2 =15, F 3 =60

c. F 2 = 60, F 3 =15

d. F 2 = 20, F 3 =20

e. F 2 = 20, F 3 =10

6. ‹deal s›v› modelinde afla¤›dakilerden hangi varsa-

y›m bulunmamaktad›r?

a. Kararl› ak›fl

b. Newtoncul ak›fl

c. S›k›flt›r›lamayan ak›flkan

d. Girdaps›z ak›fl

e. Viskoz olmayan

7. A¤›rl›¤› G olan cisim su içinde ve ba¤l› oldu¤u ipte-

ki gerilme kuvveti G /6’d›r. Cismin özkütlesi afla¤›daki-

lerden hangisidir?

a. 3

b. 2

c. 3/2d. 4/3

e. 6/5

8. fiekildeki U borusunun sa¤ kolunda bulunan d 2

s›v›s›n›n yo¤unlu¤u kaç g/cm3’tür? (d 1 =1,8 g/cm3, h1

= 10 cm, h2 = 36 cm)

a. 0,5

b. 0,75

c. 1

d. 1,25e. 1,5


sıvı

piston

ı ıı ııı




9. Kütle-hacim grafikleri verilen X ve Y s›v›lar›ndan

eflit hacimlerde al›narak yap›lan 40 cm3 hacimli bir ka-r›fl›m›n kütlesi kaç gram’d›r?

a. 160

b. 240

c. 300

d. 320

e. 16

10. A¤›rl›¤› G hacmi 4V olan bir kat› cisim I ve II kap-

lar›nda flekillerdeki gibi dengededir. I. kaptaki s›v›n›n

özkütlesi 0,8 g/cm3 oldu¤una göre II. kaptaki s›v›n›n

özkütlesi g/cm3 cinsinden nedir?

a. 1,11

b. 2,1

c. 4,2

d. 2,4

e. 1,4

Buzda¤› (‹ngilizce: Iceberg (Aysberg), Almanca Eis-

berg) Kuzey ve Güney Kutbu denizlerinde bulunan bü- yük buz kütlesidir. Devaml› so¤uk olan bölgelerde ka-

r›n üst üste y›¤›lmas›, kardan bir da¤ ve sonra da bir

buz katman› teflekkül ettirir. Bu katman zamanla k›y›ya

do¤ru kayar ve denizde parçalan›r. Böylece muazzam

buz da¤lar› meydana gelir. Uzunluklar› birkaç kilomet-

reyi ve kal›nl›klar› 300 metreyi bulunabilir. Deniz üs-

tünde sallanmadan dururlar. Her y›l Güney Kutbu An-

tarktika, her boydan binlerce buz da¤› teflkiline sebep

olur. Kuzey kutbundaki Grönland Adas›n›n iki milyon

km2’ye yaklaflan yüzeyi tamamen buz tabakas› ile kap-

l›d›r. Her sene buradan da 10-15 bin kadar buz da¤› ko-par. Buz da¤lar› zamanla meydana gelen çatlak veya

dalgalar›n afl›nd›rmas› ile yerlerinden büyük bir gürültü

ile ayr›l›rlar. Ayr›l›r ayr›lmaz deniz içinde harekete ge-

çerler. Özgül a¤›rl›¤› 0.9 gr/cm3 olan buzda¤›n›n deniz

üstünde görünen k›sm›n›n sekiz veya on kat› su içinde-

dir. Bafl›bofl büyük denizlerde dolaflan bu buz da¤lar›-

n›n a¤›rl›¤› milyonlarca tonu bulur.

Grönland’dan kopup gelen buz da¤lar› ilkbaharda ve

yaz›n ilk aylar›nda Kuzey Atlas Okyanusunda sefer ya-pan gemiler için büyük tehlike teflkil ederler. Bunlar›n

yan›nda Kanada’n›n kuzeydo¤u kesiminden gelen buz-

da¤lar› Labrador Ak›nt›s› ile Yeniel k›y›lar›ndan güneye

do¤ru sürüklenir. Buralardan Golfstream Ak›nt›s›na ka-

p›larak Ekvator’a do¤ru yol al›rlar. Baz›lar› tamamen

erimeden önce 27°’lik arz derecesine kadar ulafl›rlar.

Antarktika buzullar›ndan kopanlar ise kuzeye do¤ru

yol al›rlar. Bunlar Hint ve Büyük Okyanusta çal›flan ge-

miler için pek tehlike teflkil etmezler. En fazla kuzeye

gidebilen buzda¤›, Avustralya’n›n 100 mil kuzeyine ka-

dar yaklaflabilmifltir.


20

10

02 4

m( )

V(cm3 )

X Y “




Buzda¤lar› gemiler için büyük tehlikedir. Zaman›n›n en

büyük transatlantik gemi olan Titanik, 14/15 Nisan

1912’de ilk seferinde gece bir buzda¤›na çarparak par-

çaland›. Çarp›flmadan 2 saat 40 dakika sonra gemi ta-

mamen batt› ve içinde bulunan 2224 yolcudan 1513’ü

bo¤ulup, 711 kiflisi ancak kurtar›labildi. Bu olay üzeri-

ne, buzda¤lar›n›n sebep olaca¤› felaketleri önlemek için

tedbirler al›nd›. ABD’nin k›y› koruma teflkilat›na ait ge-

miler, Kuzey Atlas Okyanusundaki buzda¤lar›n› gözet-

leme görevlerini de yaparlar. Ayr›ca Seyir ve Hidrogra-

fi Bürosu, Buzda¤lar›n›n bulundu¤u yerleri, bunlardan

emin olan yollar› belirten haritalar yay›nlar. Al›nan bu

tedbirlerden baflka deniz suyu s›cakl›¤› ölçülerek de

buz da¤lar›n›n yerleri bulunabilir. Bu ifllem çok hassas,

santigrat derecenin (°C) birkaç binde birini gösterebi-

len özel aletlerle yap›l›r. Bugünkü gemiler hassas radar-

larla donat›ld›¤›ndan, buzda¤lar› bunlar için büyük teh-

like teflkil etmez.

Buzda¤lar›n›n rengi genellikle beyazd›r. Mavi ve yeflil

de olabilir. Güneflli havalarda eriyen k›s›mlar yüzeyde

gölcükler meydana getirir. Sular› tatl›d›r. Bu sebepten

büyük buzda¤lar›ndan istifade edilmesi düflünülmekte-

dir. Su s›k›nt›s› çeken, bilhassa Aden Körfezi devletleri-

ne getirilmesinin yollar› araflt›r›lmaktad›r. Büyük römork-

larla konvoy halinde getirilmesi düflünülen buz da¤lar›-

n›n Aden Körfezine gelmesi tahminen 6-7 ay sürecektir.

Güç gibi görünmesine ra¤men, milyonlarca insan›n su-

suzluk çekmesi göz önünde tutulursa, gayretli bir çal›fl-

ma sonunda netice verece¤i tahmin edilmektedir.

Kaynak: http://en.wikipedia.org/wiki/Iceberg

(04.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r)

http://tr.wikipedia.org/wiki/Buzda%C4%9F%C4%B1


Daniel Bernoulli, (Groningen, 29 Ocak 1700 - Basel, 17

Mart 1782) Hollanda do¤umlu, fakat ço¤unlukla ‹sviç-re, Basel’de yaflam›fl matematikçidir.

Leonhard Euler ile beraber adlar›n› verdikleri eflitlikler

üzerinde çal›flm›fllard›r. Bernoulli’nin ilkesi aerodina-

mikte ciddi kullan›mlar› vard›r.

Daniel Bernoulli, Johann Bernoulli’nin o¤lu ve Jacob

Bernoulli’nin ye¤eni, Nicholaus Bernoulli’nin küçük

kardeflidir. Nicholaus’un buldu¤u olas›l›klar kuram›n-

daki bir problem “St. Petersburg problemi” ya da “para-

doksu” olarak an›l›r. Daniel, Basel Üniversitesi’nde pro-

fesörlük yapm›fl olup, verimli çal›flmalar›n›n ço¤u astro-

nomi, fizik ve hidrodinamikle ilgilidir. “Hydrodinami-ca” adl› kitab›nda hidrolik bas›nçla ilgili teoremlerini ve

gazlar›n kinetik kuram›n› aç›klam›flt›r. Babas› (Johann)

ve amcas› (Jacob) baya¤› (adi) diferansiyel denklemler

kuram›nda, Daniel ise k›smi diferansiyel denklemler

alan›nda öncü say›lmaktad›r.

Ak›flkanlar dinami¤i konusundaki ilk çal›flmalar›n sahi-

bidir. O zamana kadar akan bir ak›flkan›n enerjisi hak-

k›nda hiçbir fley bilinmezken; Daniel Bernoulli, akan

ak›flkanlar›n kinetik, bas›nç ve potansiyel enerjilerine

sahip oldu¤unu ve bu enerjilerin birbirine dönüflebildi-

¤ini göstermifltir. Gelifltirdi¤i formüller halen ak›flkanlarmekani¤inin temelini oluflturmaktad›r.

Ayr›ca, bir t›p doktoru olan Bernoulli, kan bas›nc›n› öl-

çen ilk aleti de ak›flkanlar hakk›nda yapt›¤› çal›flmalar-

dan yararlanarak tasarlam›flt›r. Gelifltirdi¤i yöntem 18

yüzy›l›n sonlar›na kadar kullan›lm›flt›r.

Kaynak: http://tr.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli


Okuma Parças›

”




1. a Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Viskozite ve Birim

Sistemleri” konusunu gözden geçiriniz.

2. d Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Bas›nç” konusunu

gözden geçiriniz.

3. e Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Yo¤unluk” konusunu

gözden geçiriniz.

4. b Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Süreklilik Denklemi”

konusunu gözden geçiriniz.

5. c Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Pascal Prensibi”

konusunu gözden geçiriniz.

6. b Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Ak›flkanlar›n

Karakteristi¤i ve Baz› Özellikleri” konusunu

gözden geçiriniz.

7. e Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Archimedes Prensibi

ve Kald›rma Kuvveti” konusunu gözden

geçiriniz.

8. a Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Bas›nç ve S›v›

Bas›nc›n›n Derinlikle De¤iflimi” konusunu

gözden geçiriniz.

9. c Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Yo¤unluk” konusunu

gözden geçiriniz.

10. d Yan›t›n›z do¤ru de¤il ise “Archimedes Prensibi

ve Kald›rma Kuvveti” konusunu gözden

geçiriniz.

S›ra Sizde 1

Suyun yo¤unlu¤u, zeytinya¤›n›n yo¤unlu¤undan fazla-

d›r ve yo¤unlu¤u az olan zeytinya¤›, su ile birleflti¤inde

birbirleriyle kar›flmadan yo¤unluk fark›ndan üste ç›kar.

S›ra Sizde 2

E¤er bas›nc›n derinlikle de¤iflimini düflünecek olursak,

derinlere inildikçe sünger avc›s› üzerindeki d›fl bas›nç

de¤eri artacak ve iç bas›nç d›fl bas›nca eflit olmad›¤›

noktadan itibaren vurgun yiyecektir.

S›ra Sizde 3

Suyun bas›nc› ile sinüslerindeki bas›nc› eflitlemek içindir.

S›ra Sizde 4

Pascal prensibine göre s›v›n›n herhangi bir noktas›na

yap›lan bas›nç di¤er tarafta s›v›n›n her noktas›na aynen

iletildi¤inden, çok küçük kuvvetlerle çok daha büyük

a¤›rl›klar kald›r›labilmektedir. Su cenderesi.

S›ra Sizde 5

E¤er deniz suyunun yo¤unlu¤u yaklafl›k olarak 1024

kg/m3 al›n›rsa, deniz seviyesinin alt›nda kalan k›sm›n

yaklafl›k buz da¤›n›n (Iceberg) %89,6’unun oldu¤u

bulunur.

S›ra Sizde 6

Ak›flkan karakteristi¤i incelendi¤inde bu durum, Dü-

zensiz ak›fla bir örnektir ve ak›fl h›z› farkl›l›¤›ndan kay-

naklanmaktad›r.

S›ra Sizde 7

Kütlenin korunumu yasas›n›n gere¤i ak›flkanlarda sü-

reklilik denklemi geçerli olmaktad›r. E¤er eflitli¤i ince-

lerseniz, suyun akt›¤› hortumun kesitini daralt›ld›¤›nda yani s›k›flt›r›ld›¤›nda toplam kütle de¤erinin korunmas›

için akan suyun h›z›n›n artt›¤› anlafl›lacakt›r.

Kendimizi S›nayal›m Yan›t Anahtar› S›ra Sizde Yan›t Anahtar›




S›ra Sizde 8

Bernoulli denklemi, ifl-enerji teoremi göz önüne al›na-rak türetilebilir. Su flebekesinin da¤›taca¤› su miktar›-

n›n en uç noktaya ulaflmas› ve gerekli yüksekli¤e ç›-

kabilmesi, toplam enerji miktar›n›n sabit kalmas›, ko-

runmas›yla ve suyun ilk yüksekli¤ine ç›kmas›yla müm-

kün olacakt›r.

S›ra Sizde 9

Viskozitesi çok yüksek yani s›v›daki iç sürtünme olduk-

ça büyük oldu¤undan yavafl akacakt›r.

S›ra Sizde 10Su di¤er maddelerle etkileflirken, adhezyon kuvvetleri-

nin daha etkili olup su-cam örne¤inde oldu¤u gibi su-

yun cam› ›slatt›¤› gözlemlenirken, c›va-c›va etkileflme-

si yani c›va atomlar› aras›ndaki kohezyon kuvvetleri

çok güçlü etkiliyken c›van›n cam yüzeye bulaflmad›¤›

gözlemlenir.

Buzda¤› (Iceberg) http://en.wikipedia.org/wiki/Iceberg

ve http://tr.wikipedia.org/wiki /Buzda% C4%9F%C4%B1 adreslerinden 04.03.2009 tarihinde al›nm›flt›r.

Daniel Bernoulli. http://tr.wikipedia.org/wiki/Dani-

el_Bernoulli adresinden 04.03.2009 tarihinde al›n-

m›flt›r.

Fishbane, P. M., Gasiorowicz, S., Thornton, S. T., Yalç›n,

C. (Ed) (2006). Temel Fizik-2. Ankara: Arkadafl

Yay›nevi.

Frederick J. K., W. Edward G., Malcolm J. S. Çevirenler:

Akyüz, Ö., Gülmez, E., Karao¤lu, B., Nergiz, S., Te-

pehan, G., Hill, M. (1995). Fizik I . Ankara: Literatür

Yay›nevi.Halliday, D., Resnick R., Walker, R. J. (2001). Funda-

mentals of Physics- 6. B. New York: J. Wiley.

Serway, R. A., Beichner, R. J., Jevett, J., Çolako¤lu, K.

(Ed) (2007). Fen ve Mühendislik için Fizik. Anka-

ra: Palme Yay›nc›l›k.

Orhun, Ö. ve di¤erleri. Orhun, Ö. (Ed) (2003). Meslek

Yüksekokullar› ‹çin Teknolojinin Bilimsel ‹lke-

leri. ‹stanbul: Bilim Teknik Yay›nevi.

Özdafl, K., Yörüko¤ullar› E. (1990). Uygulamal› Temel

Fizik-1. Eskiflehir: Bilim ve Teknik Yay›nevi.

Özdafl, K. ve di¤erleri (2009), Ed. Mustafa fiENYEL.Teknolojinin Bilimsel ‹lkeleri. Eskiflehir: Anadolu

Üniversitesi Yay›nlar›.

Peres, J., Çeviren: Süray, S. (1954). Ak›flkanlar Meka-

ni¤i I, 2. B. ‹stanbul: ‹TÜ Matbaas›.




163Söz lük

A A¤›rl›k merkezi: Cisme etki eden bileflke yerçekimi kuvveti-

nin uygulanma noktas›.

A¤›rl›k: Bir cisme uygulanan kütle çekimi kuvveti.

Ak›m fliddeti: Birim kesitten, birim zamanda geçen yük mik-

tar›.

Ak›flkan: S›v›, gaz, plazma gibi maddeleri kapsayan madde-

nin hallerinin bir alt durumu.

Ampermetre: Bir elektrik devresinde devreye seri ba¤lana-

rak, devredeki ak›m›n büyüklü¤ünü ölçmeye yarayan

aletler.

BBa¤›l hareket: Bir gözlem çerçevesine göre her ikisi de hare-

ketli olan cisimlerin birbirlerine göre hareketi.

Ba¤›l h›z: Bir gözlem çerçevesine göre her ikisi de hareketli

olan cisimlerden birinin di¤erine göre h›z›.

Bileflke(net) kuvvet: ‹tme ve çekme uvvetlerin vektörel ola-

rak toplam›.

CCurie s›cakl›¤›: Ferromanyetik bir malzemenin paramanye-

tik bir malzemeye dönüfltü¤ü s›cakl›k de¤eri.

DDalgaboyu: Bir dalga tepesi ve bir dalga çukuru aras› toplam

mesafe.

Direnç: Maddelerin serbest elektronlar›n hareketlerine karfl›

gösterdi¤i güçlük.

Diyamanyetik maddeler: Manyetik duygunluk katsay›s› ne-

gatif olan maddeler.

Düfley at›fl: Düfley olarak afla¤›ya veya yukar›ya do¤ru f›rlat›-

lan cismin hareketi.

Düzgün de¤iflen do¤rusal hareket: Sabit ivmeli do¤rusal

hareket.

Düzgün do¤rusal hareket: Sabit h›zla yap›lan hareket.

EE¤ik at›fl: Bir cismin yatayla belli bir aç› yaparak f›rlat›lmas›.

Elektrik motoru: Elektrik enerjisini mekanik enerjisine çevi-

ren alet.

Elektrom›knat›s: Elektrik ak›m› kullan›larak demirden elde

edilen m›knat›s.

Eylemsizlik : Bir de¤iflikli¤e karfl› direnç göstermek.

FFerromanyetik maddeler: Manyetik duygunluk katsay›s›

pozitif ve birden çok büyük olan maddeler.

Fisyon: Çekirdek bölünmesi (çekirdek parçalanmas›) olay›.

Frekans: Birim zamanda oluflan atma say›s›.

Füzyon: Çekirdeklerin birleflerek daha a¤›r atom çekirdekle-

rini meydana getirmesi olay›.

GGalvanometre: Küçük elektrik ak›mlar›n› ölçmeye yarayan

bir elektriksel alet.

HHenry: ‹ndüktans›n s› birim sitemindeki birimi.

H›z: Bir cismin birim zamandaki yer de¤ifltirmesi.

‹‹letken: Maddeyi oluflturan atomun en d›fl yörüngesindeki

elektronlar, kolayl›kla serbest kalabiliyorsa, bu tür mad-

delere iletken.

‹ndüksiyon ak›m›: Üreteç olmadan, bir devredeki manyetik

ak›y› de¤ifltirerek elde edilen ak›m.

‹ndüksiyon emk’s›: Üreteç olmadan, bir devredeki manye-

tik ak›y› de¤ifltirerek elde edilen emk’dir.‹ndüktans: Bir bobindeki ak›m de¤iflimine karfl› koyman›n

bir ölçüsü.

‹vme: Bir cismin h›z›n›n birim zamandaki de¤iflimi.

‹zotop: Proton say›lar› ayn›, nötron say›lar› farkl› olan çekir-

dekler.

J Jeneratör: Mekanik enerjiyi elektrik enerjisine çeviren bir ci-

haz.

K Kat› cisim : D›fl kuvvetlerin etkisi alt›nda flekil de¤ifltirmeyen

cisim.

Kütle merkezi: Cismin tüm kütlesinin toplanm›fl gibi düflü-

nüldü¤ü nokta.

Kütle: Bir cismin içerdi¤i madde miktar›.

MMadde: Bofllukta yer kaplayan, kütlesi olan her fleye.

Manyetik ak›: Düzgün manyetik alan içine konulan madde yü-

zeyinden dik olarak geçen manyetik alan çizgi say›s›.

Manyetik dipol momenti: Ak›m tafl›yan bir ilme¤in manye-tik dipol momentinin büyüklü¤ü i = IA dir.

Sözlük



164 Tekno lo j in in B i l imse l ‹ lke le r i - I

Manyetik geçirgenlik katsay›s›: Boflluktaki de¤eri

i0=4π×10-7 Wb/AM olan fiziksel bir sabittir. Madde

içindeki de¤eri boflluktan büyüktür ve i = i0 (1 + i M )

eflitli¤i ile verilir.

Manyetik moment: Manyetik alan›n döndürme etkisi.

Moment: Kuvvetin döndürme etkisi.

NNormal kuvvet: Yüzeye dik ve yüzeyden d›flar›ya do¤ru yö-

nelmifl olan kuvvet.

ÖÖlçme: Bir fiziksel büyüklü¤ün ölçülmesi, o büyüklük cinsin-

den seçilen bir birimin ölçülecek büyüklük içinde kaç

kez bulundu¤unun say›lmas› ifllemi.

PParamanyetik maddeler: Manyetik duygunluk katsay›s› po-

zitif ve bire yak›n olan maddeler.

Periyot: Ard› ard›na iki atma aras›nda geçen zaman.

SSerbest düflme: Yüksekçe bir yerden ilk h›zs›z olarak düflme-

ye b›rak›lan cismin hareketi.

S›¤a: Belli bir potansiyel fark›nda kondansatörün yük birikti-rebilmesinin bir ölçüsü.

Skaler: Bir say› ve bir birimle tam olarak ifade edebildi¤imiz

fiziksel büyüklük.

Sürtünme katsay›s›: Sürtünme kuvvetinin normal kuvvete

oran›.

T Tesla: Manyetik alan›n s› birim sistemindeki birimi.

Transformatör: Bir devredeki voltaj› indirmeye veya yük-

seltmeye yarayan elektriksel bir alet.

V Vektör: Bir say› ve bir birimin yan› s›ra bir de yön belirterek

tam olarak ifade edebildi¤imiz fiziksel büyüklük.

Voltmetre: Bir elektrik devresinde devreye paralel ba¤lana-

rak, devredeki potansiyel fark›n›n büyüklü¤ünü ölçme-

ye yarayan aletler.

W Weber: Manyetik ak›n›n s› birim sistemindeki birimi.

Y Yal›tkan: Metal olmayan kat›lar›n(ametal) ço¤unda elektron-

lar kolayl›kla serbest kalamazlar. Bu tür maddelere de

yal›tkan. Yer de¤ifltirme: Bir cismin ilk bulundu¤u konumdan son bu-

lundu¤u konuma uzanan vektör.



165Diz in

BBas›nç 6, 142, 143, 146-150, 153-155, 157

Birim 2-7, 10, 17, 25, 27, 29, 31, 44, 57, 60, 61, 64, 71, 73, 81,

83, 88, 90, 102, 106, 114, 115, 117, 125, 144, 146, 152,

153, 155, 157

CÇarp›flma 124, 125, 128-135

DDalga Boyu 7

Denge 3, 61, 64, 65, 71, 72, 74, 78-83, 86-89, 91, 93, 94, 111,

112, 143, 146, 149-151Direnç 56, 154

EElektrik Ak›m 4, 5, 17

Elektrik Alan 10, 17

Enerji 6, 7, 55, 64, 100-102, 106-117, 129-135, 143, 153, 154,

155, 157

K Kinetik enerji 100, 106-110, 112-114, 117, 129, 131-135, 154

Kuvvet 4, 6, 10, 11, 17, 35, 44, 52-74, 79-89, 91, 92, 94, 101-

105, 107-113, 116, 117, 125-128, 130, 133, 135, 143, 144,

146, 149-151, 155-157

Kütle 3-5, 10, 12, 17, 52-63, 67-69, 72-74, 78, 81, 82, 86-89,

91-94, 102, 103, 106, 107, 110, 115, 117, 125, 126, 128-

135, 143-146, 150-152, 157

MMadde 4, 5, 17, 60, 73, 87, 89, 143-145, 152, 157

Malzeme 56, 79

Manyetik alan 10, 17, 77, 122Manyetik kuvvet 55, 56

M›knat›s 54, 122

Moment 10, 17, 83-89, 91, 124-130, 132, 133, 151

Momentum 19, 95, 124-128, 134, 135, 151

O-ÖÖlçme 2-4, 17

Dizin

Teknolojinin Bilimsel İlkeleri-1

Documents

Transcript of Teknolojinin Bilimsel İlkeleri-1