TEHETSÉGGONDOZÁS A MATEMATIKÁBAN:

Segédanyagok középiskolai tanárok számára

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKATANÁROK SZAKTÁRGYI TOVÁBBKÉPZÉSE

Összeállította: Bakosné Novák Andrea

Kempelen Farkas Gimnázium Budapest

Időpont: 2019. november 15. péntek, 1000 – 1430 óra

Helyszín: PPKE Információs Technológiai és Bionikai Kar

1083 Budapest, Práter u. 50/a, földszint, Jedlik Ányos előadóterem

TEHETSÉGGONDOZÁS A MATEMATIKÁBAN:

Segédanyagok középiskolai tanárok számára

KÖZÉPISKOLAI MATEMATIKATANÁROK SZAKTÁRGYI TOVÁBBKÉPZÉSE, 2019

Matematikai módszerek a középiskolai fizika tanításában

TARTALOMJEGYZÉK:

I. Bevezető 2. oldal

II. Átlag, átlagos abszolút eltérés, kerekítés, középértékek 2. oldal

III. Műveletek törtekkel, a reciprok fogalma 6. oldal

IV. Hatványozás azonosságai, normál alak 8. oldal

V. Egyenes arányosság, lineáris függvény 11. oldal

VI. Fordított arányosság 16. oldal

VII. Egyenletrendezés, egyenletmegoldás, parméteres egyenletek 18. oldal

VIII. Függvények, grafikonok 24. oldal

IX. Geometriai ismeretek 28. oldal

X. Vektorok, koordináta-rendszerek 31. oldal

XI. A képek forrása 37. oldal

2

Matematikai módszerek a középiskolai fizika tanításában

I. Bevezető

A matematika számos alkalmazási lehetőségei közül a középiskolai oktatásban a legnyilvánvalóbb a

fizika. A diákok a fizikaoktatás első pillanatától kezdve megtapasztalják, hogy minden fizikai

összefüggést a matematika nyelvén fogalmazunk meg. Amellett, hogy a fizika támaszkodik a tanulók

matematikai ismereteire, egyben segít is azok alkalmazásának elsajátításában ismételve, gyakorolva a

matematika órán hallottakat.

Ideális esetben fizika órán csak a már tanult matematikai ismeretekre alapozunk, néhány esetben

azonban olyan ismeretekre szeretnénk támaszkodni, amelyek a matematika tanterv alapján csak

később kerülnek elő. A két tanterv egymáshoz igazítása tökéletesen nem hiszem, hogy megvalósítható

lenne. Ilyenkor fizikatanárként megelőlegezzük a hiányzó ismereteket (bár kicsit nagyvonalúbban,

kevésbé pontosan). Ez nem feltétlenül rossz, még előnyös is lehet a matematika órákon, ha a

tanulóknak vannak más tárgyakból előismereteik. Erre viszont akkor tudunk alapozni, ha

matematikatanárként tisztában vagyunk azzal, hogy milyen ismereteket milyen összefüggésekben és

mélységben használnak diákjaink a fizikaórán. Ez az anyag ebben igyekszik segítséget nyújtani,

rávilágítva az általam tapasztalt problémás területekre.

Kidolgozott feladatokon keresztül mutatom be, hogy mely matematikai fogalmakra, módszerekre

alapozzuk a fizika tárgy középiskolai oktatását és milyen szinten kell a tanulóknak elsajátítani azokat a

fizika könnyebb megértése érdekében. A feladatok kiválasztása során arra törekedtem, hogy a

matematika minél több területét érintsem, természetesen a teljesség igénye nélkül, hiszen az oktatás

szintjének emelésével egyre mélyebb matematikai ismeretekre van szükség. Különösen azokat a

problémákat kerestem, amelyek a tanulóknak nehézséget okozhatnak, de a megoldásukban csak

középszintű matematika ismeretekre van szükség.

II. Átlag, átlagos abszolút eltérés, kerekítés, középértékek

Az átlag fogalmával a tanulók már az első mérési feladataikban találkoznak. Az alábbi feladat egy

hetedik osztályos csoport mérési feladata.

1. Mérjétek meg a csoport tagjainak magasságát, majd töltsétek ki a táblázatot a mért adatok alapján.

a) Milyen magasak átlagosan az emberek a csoportodban?

b) Mennyivel tér el a magasságod a csoportod átlagos magasságától?

c) Mennyi a csoporttagok magasságának átlagos eltérése a csoport átlagos magasságától?

3

Név 1. mérés

(cm)

2. mérés

(cm)

3. mérés

(cm)

Átlagos

magasság (cm)

Eltérés a

magasságok

átlagától (cm)

Magasságok átlaga (cm) Eltérések

átlaga

Az átlag fogalmával ismerkedve a feladatból megtanulják azt is a tanulók, hogy a kerekítésre

odafigyeljenek. Mivel a mért adatok mindig tartalmaznak hibát, nincs értelme a kiszámított átlagos

értékeket ennél pontosabban megadni. A mérés során a mérőeszköz pontossága milliméter

nagyságrendű és a leolvasási hiba is legalább milliméter nagyságrendű volt. Ezért az átlagokat

milliméterre kerekítve adtuk meg.

A feladat előkészíti az átlagos abszolút eltérés fogalmát. A tanulók maguktól rájöttek, hogy az

eltérések átlaga érték többet mond a mérésről, ha az átlagos magasságtól való eltérésük abszolút

értékét írják az utolsó oszlopba. Erre különösen hamar rájöttek a két főből álló csoportokban, mivel

ott ez az érték nullát adott volna, holott a magasságuk átlagától mindkét tanulónak eltért a magassága

(természetesen ellentétes irányban).

2. Összeöntünk két liter 40 0C-os és két liter 70 0C-os vizet egy edénybe. Hány fok lesz a közös

hőmérsékletük?

Megoldás:

A közös hőmérséklet a két hőmérséklet átlaga: 𝑇𝑘 =40°𝐶+70°𝐶

2= 55°𝐶

3. Összeöntünk egy liter 40 0C-os és két liter 70 0C-os vizet egy edénybe. Hány fok lesz a közös

hőmérsékletük?

Megoldás:

A megoldás elméletét fizika órán a termikus kölcsönhatásról tanult ismeretekkel levezetjük, de a

tanulók ösztönösen tudják, hogy ezt az eredményt súlyozott átlaggal tudjuk kiszámolni:

𝑇𝑘 =40°𝐶 + 2 ∙ 70°𝐶

1 + 2= 60°𝐶

4

4. Egy kalapács feje 10 𝑐𝑚3 térfogatú vasból van, a nyele pedig 50 𝑐𝑚3 fából. A vas sűrűsége:

𝜌𝑣 = 7,8 𝑔

𝑐𝑚3, a fanyél sűrűsége: 𝜌𝑓 = 0,6𝑔

𝑐𝑚3,. Határozzuk meg a kalapács átlagsűrűségét!

Megoldás:

Az átlagsűrűség definíciója alapján:

𝜌á𝑡𝑙𝑎𝑔 =ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑠 𝑡ö𝑚𝑒𝑔

ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑠 𝑡é𝑟𝑓𝑜𝑔𝑎𝑡=

𝜌𝑣 ∙ 𝑉𝑣 + 𝜌𝑓 ∙ 𝑉𝑓

𝑉𝑣 + 𝑉𝑓=

7,8 ∙ 10 + 0,6 ∙ 50

60

𝑔

𝑐𝑚3= 1,8

𝑔

𝑐𝑚3

A képletből látható, hogy a feladatot lényegében a sűrűségek térfogatokkal súlyozott számtani

közepeként oldottuk meg.

5. Egy gyűrű 10 g aranyból és 5 g ezüstből készült. Mennyi a gyűrű anyagának átlagsűrűsége?

(𝜌𝑎𝑟𝑎𝑛𝑦 = 19,3 𝑔

𝑐𝑚3 és 𝜌𝑒𝑧ü𝑠𝑡 = 10,5 𝑔

𝑐𝑚3 )

MOZAIK tankönyv, Fizika 7. (2004)

Megoldás???: Ekkor sok tanuló kiszámolja a tömegarányokkal súlyozott számtani közép értékét:

𝜌á𝑡𝑙𝑎𝑔 =2 ∙ 𝜌𝑎𝑟𝑎𝑛𝑦 + 𝜌𝑒𝑧ü𝑠𝑡

3=

2 ∙ 19,3 + 10,5

3

𝑔

𝑐𝑚3≈ 16,37

𝑔

𝑐𝑚3

Jó ez a megoldás?

Oldjuk meg a feladatot az átlagsűrűség fogalmának felhasználásával:

𝜌á𝑡𝑙𝑎𝑔 =ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑠 𝑡ö𝑚𝑒𝑔

ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑠 𝑡é𝑟𝑓𝑜𝑔𝑎𝑡=

𝑚𝑎 + 𝑚𝑒

𝑚𝑎𝜌𝑎𝑟𝑎𝑛𝑦

+𝑚𝑒

𝜌𝑒𝑧ü𝑠𝑡

=15

1019,3 +

510,5

𝑔

𝑐𝑚3≈ 15,09

𝑔

𝑐𝑚3

Mint látjuk a két érték nem ugyanaz. Ez utóbbi a helyes eredmény. A következő feladat megoldása

során a tanulók általában ugyanebbe a hibába esnek.

6. Egy személygépkocsi két város között útjának harmadát 60 km/h átlagsebességgel 48 perc alatt teszi

meg. Az út hátralévő részén a kocsi átlagsebessége 64 km/h volt.

a) Mekkora a két város távolsága?

b) Mekkora volt a személygépkocsi teljes útra vonatkozó átlagsebessége?

Részlet a Sokszínű Matematika 12 tankönyv Középszintű gyakorló feladatsorok fejezetéből:

1. feladatsor 13. feladat a) és b) rész

5

Megoldás:

a) Az első útszakaszra megadott adatokból kiszámolható a teljes út hossza:

𝑠

3= 60

𝑘𝑚

ℎ∙ 0,8ℎ = 48 𝑘𝑚 → 𝑠 = 144 𝑘𝑚

Tehát a két város távolsága 144 km.

b) ROSSZ MEGOLDÁS!!! amely sokáig keringett az interneten és az út szerinti súlyozott átlaggal

számolta ki az átlagsebességet:

�� =60

𝑘𝑚ℎ

+ 64𝑘𝑚ℎ

+ 64𝑘𝑚ℎ

3= 62

2

3 𝑘𝑚

ℎ

b) JÓ MEGOLDÁS: a teljes útszakasz ismeretében kiszámíthatjuk a második útszakasz

megtételéhez szükséges időt:

𝑡 =96 𝑘𝑚

64 𝑘𝑚ℎ

= 1,5 ℎ

A megoldást az átlagsebesség definíciójából kaphatjuk:

�� =𝑎𝑧 ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑔𝑡𝑒𝑡𝑡 ú𝑡

𝑎𝑧 𝑒𝑙𝑡𝑒𝑙𝑡 ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑠 𝑖𝑑ő=

144 𝑘𝑚

0,8ℎ + 1,5ℎ=

144 𝑘𝑚

2,3 ℎ≈ 62,609

𝑘𝑚

ℎ

A teljes útra vonatkozó átlagsebesség tehát körülbelül 62,6 km/h.

Ez az eredmény nem különbözik lényegesen a rossz módszerrel kiszámolt eredménytől,

azonban az első esetben elvi hibát vétettünk, mert az átlagsebesség a harmonikus közép

segítségével számolható ki, ha a különböző átlagsebességű útszakaszokhoz tartozó időtartamok

nem egyenlők. A feladat alapján:

�� =𝑠

𝑠3𝑣1

+2𝑠3𝑣2

=3

1𝑣1

+1𝑣2

+1𝑣2

A különbség azért nem volt jelentős, mert a számtani és a harmonikus középérték megegyezik

egymással, ha egyenlő számok esetén számoljuk ki, valamint kis mértékben tér el az értékük,

ha közel egyenlő számokra végezzük el a műveletsort.

Ha a sebességek között a két útszakaszon jelentős eltérés lett volna, akkor a végeredményekben

is jelentős eltérést tapasztalnánk. Például az út első harmadában a sebesség legyen 10 km/h, a

maradék kétharmad részben pedig 70 km/h. Ekkor a súlyozott számtani közép:

��𝑠𝑧á𝑚𝑡𝑎𝑛𝑖 =10

𝑘𝑚ℎ

+ 70𝑘𝑚ℎ

+ 70𝑘𝑚ℎ

3= 50

𝑘𝑚

ℎ

A harmonikus középérték pedig ettől jelentősen eltérő:

��ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑘𝑢𝑠 =3

1

10𝑘𝑚ℎ

+1

70𝑘𝑚ℎ

+1

70𝑘𝑚ℎ

=3 ∙ 70

7 + 1 + 1≈ 23,3

𝑘𝑚

ℎ

6

III. Műveletek törtekkel, reciprok fogalma

A fizikatanítás elején a diákok mindegyike találkozik a következő kérdéssel:

7. Melyik mértékegység nagyobb, a 𝑚

𝑠 vagy a

𝑘𝑚

ℎ ?

Megoldás:

A feladat megoldásához végezzünk el két mértékegység-átváltást! Látni fogjuk, hányféle törtekre

vonatkozó műveleti szabályt kell ehhez ismerni. (Törttel osztás, törttel való szorzás, tört

egyszerűsítése.)

20𝑚

𝑠= 20 ∙

11000𝑘𝑚

13600

ℎ= 20 ∙

1

1000∙ 3600

𝑘𝑚

ℎ= 20 ∙ 3,6

𝑘𝑚

ℎ= 72

𝑘𝑚

ℎ

A megoldásból látszik, hogy a 𝑘𝑚

ℎ mértékegység kisebb, mint a

𝑚

𝑠, mivel nagyobb mérőszámmal kell

szorozni ezt a mértékegységet, hogy megkapjuk ugyanazt a mennyiséget 𝑚

𝑠-ban kifejezve.

36𝑘𝑚

ℎ= 36 ∙

1000𝑚

3600𝑠= 36 ∙

10

36 𝑚

𝑠= 10

𝑚

𝑠

Ez az átváltás is azt igazolta, hogy a m

s a nagyobb mértékegység, hiszen az előtte álló mérőszámot a

km

h előtt álló mérőszámból 3,6-del osztással kaptuk meg.

A gyerekek 7. osztályban találkoznak ezzel a feladattal és nagy többségének gondot okoz a

gondolatmenet megértése. A törtekkel való rutinos számolás mellett a mérőszám és mértékegység között

fennálló fordított arányosságot is érteniük kell ahhoz, hogy az átváltási szabályt megértsék. (Ekkor a

fordított arányosság még szóba sem kerül matematika órán, bár a mértékegység átváltásoknál ezt már

érzékeltetjük). Egy hetedikes tanulótól természetesen nem várjuk el, hogy ezt levezesse, de az átváltás

módját (1𝑚

𝑠= 3,6

𝑘𝑚

ℎ) ismernie és alkalmaznia kell.

A törtek összeadását, kivonását kell elvégeznünk a párhuzamos kapcsolás eredő ellenállásának

kiszámítása során. Ezt n db ellenállás esetén a következő képlettel határozhatjuk meg:

1

𝑅𝑒=

1

𝑅1+

1

𝑅2+ ⋯

1

𝑅𝑛

Ennek gyakorlását természetesen két ellenállással kezdjük tízedik osztályban, de sokan nem hagyjuk ki

már nyolcadik osztályban sem. Ekkor a képletbe való behelyettesítés után a jobb oldalon közös nevezőre

hozva elvégezzük a törtek összeadását, majd az egyenlet mindkét oldalának reciprokát véve megkapjuk

a keresett ellenállást.

A konkrét feladat megoldása után a képletet ugyanezen lépéseket végigjárva a következő formában is

megadhatjuk két ellenállás esetén:

7

𝑅𝑒 =𝑅1 ∙ 𝑅2

𝑅1 + 𝑅2

A következőkben e képletnek a használatra látunk két példát.

8. Egy áramkörben párhuzamosan kapcsolunk egy 100 Ω és egy 400 Ω nagyságú ellenállást. Mekkora

az erdő ellenállás?

Megoldás:

A képletbe behelyettesítve az ellenállásokat 𝑅𝑒 =40000Ω2

500Ω= 80Ω eredményt kapjuk.

Három ellenállás megadásával tovább gyakorolhatjuk a törtekkel való műveleteket:

9. Egy áramkörben párhuzamosan kapcsolunk egy 100Ω egy 400 Ω és egy 700 Ω nagyságú ellenállást.

Mekkora az erdő ellenállás?

Megoldás:

1

𝑅𝑒=

1

100Ω+

1

400Ω+

1

700Ω=

28 + 7 + 4

2800Ω=

39

2800Ω → 𝑅𝑒 =

2800Ω

39≈ 71,8Ω

Hasonló szerkezetű képletet használunk a gömbtükrök, lencsék leképezési törvényét megadó

összefüggésben is 11. osztályban:

1

𝑓=

1

𝑡+

1

𝑘.

Ebben f a tükör fókusztávolsága, t a tárgytávolság és k a képtávolság, amelyek olykor negatív értéket is

felvehetnek.

A reciprok fogalma a párhuzamos kapcsolás eredő ellenállásának meghatározásán kívül több

témakörben is megjelenik. Periodikus mozgásoknál a frekvencia reciproka a periódus idő, optikában

pedig a dioptriát a méterben mért fókusztávolság reciprokaként definiáljuk.

A törtekkel való művelet különösen nehéz a tanulóknak akkor, amikor a mérőszámok mellett a

mértékegységekkel is dolgozniuk kell a műveletsorban.

8

10. A képleteik ismeretében határozd meg az alábbi fizikai mennyiségek mértékegységét? A

mértékegységet SI alapegységekben fejezd ki!

a) 𝑎 =𝑣

𝑡

b) 𝐹 = 𝑚𝑎

c) 𝑊 = 𝐹𝑠

d) 𝑝 =𝐹

𝐴

Megoldás: A képletbe behelyettesítjük a mennyiségek mértékegységeit, majd elvégezzük a törtekkel

és hatványokkal a műveleteket. A végeredményt a legegyszerűbb formában adjuk meg!

a) 𝑎 =𝑣

𝑡 [𝑎] =

𝑚

𝑠

𝑠=

𝑚

𝑠2

b) 𝐹 = 𝑚𝑎 [𝐹] = 𝑘𝑔𝑚

𝑠2

c) 𝑊 = 𝐹𝑠 [𝑊] = 𝑁 ∙ 𝑚 = 𝑘𝑔𝑚

𝑠2 𝑚 = 𝑘𝑔𝑚2

𝑠2

d) 𝑝 =𝐹

𝐴 [𝑝] =

𝑁

𝑚2 =𝑘𝑔

𝑚

𝑠2

𝑚2 =𝑘𝑔

𝑚∙𝑠2

IV. Hatványozás azonosságai, normálalak

A kilencedik osztályos fizika tankönyv elején az alábbi táblázatot találjuk:

Prefixumok az SI mértékegységrendszerben:

Prefixum Jele Nagysága

exa- E 1 000 000 000 000 000 000 = 1018

peta- P 1 000 000 000 000 000 = 1015

tera- T 1 000 000 000 000 = 1012

giga- G 1 000 000 000 = 109

mega- M 1 000 000 = 106

kilo- k 1 000 = 103

hekto- h 100 = 102

deka- dk 10 = 101

deci- d 0,1 = 10−1

senti- c 0,01 = 10−2

milli- m 0,001 = 10−3

mikro- μ 0,000 001 = 10−6

nano- n 0,000 000 001 = 10−9

piko- p 0,000 000 000 001 = 10−12

femto- f 0,000 000 000 000 001 = 10−15

atto- a 0,000 000 000 000 000 001 = 10−18

Fizika 9-10. Emelt szintű képzéshez, OFI 12. oldal

A tanulóknak természetesen nem szükséges ezek mindegyikét fejből tudniuk.

9

A prefixumok használatával a tanulóknak a normál alak és a hatványozás azonosságok körében tanult

ismereteiket kell a feladatok megoldása során használniuk. Sajnos a negatív kitevőjű hatvánnyal

kilencedik osztályban találkoznak csak, addig fizika órákon próbáljuk elkerülni ezek használatát. Az

első probléma 10. osztályban kerül elő az elektrosztatika témakörben. A testek elektromos

tulajdonságának oka az, hogy az elektronok viszonylag könnyen elszakíthatók az anyagtól, ezáltal

megbomlik a pozitív és negatív töltések egyensúlya. A töltésmennyiség mértékegységeként

meghatározott 1 coulomb nagyon nagy mértékegység. Jogosan merül fel a kérdés:

11. Hány elektront kell elszakítani az adott testről, hogy 1 C-nyi pozitív töltésre tegyen szert?

Megoldás: A feladathoz szükségünk van az elektron töltésének nagyságára, amelyben a negatív

kitevőjű hatvány használatát nem tudjuk elkerülni: 𝒆 ≈ 𝟏, 𝟔 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑪

Az egy coulombnyi töltést létrehozó elektronok mennyisége: 𝑛 =1 𝐶

1,6∙10−19𝐶= 6,25 ∙ 1018𝑑𝑏

A tanulóknak minden ismeretük megvan fizikából ahhoz, hogy ezt a problémát nyolcadik osztályban

megemlítsük, de a negatív kitevő értelmezése nélkül ezt a kérdést ekkor még kerülnünk kell.

A nagyon nagy, vagy nagyon kicsi számok nagyságrendjének érzékeltetésében fontos szerepe van a

fizikában a normál alak használatának, ehhez pedig a negatív kitevő használata is szükséges. Legkésőbb

kilencedik osztály elején meg kell ezt említenünk fizika órán, akkor is, ha matematika órán még nem

hangzott el.

A prefixumok és a normál alak használatára mutatnak rá a következő példák.

12. Egy 20 nF kapacitású kondenzátor egyik lemezét földeljük, a másikra 10-8 C töltést viszünk. Mennyi

a lemezek közötti feszültség?

MOZAIK, Fizika 10. 2006. 90. oldal

Megoldás:

A kondenzátor kapacitását kiszámíthatjuk a kondenzátor lemezekre vitt töltés és a feszültség

hányadosaként:

𝐶 =𝑄

𝑈→ 𝑈 =

𝑄

𝐶=

10−8𝐶

20 ∙ 10−9𝐹= 0,5 𝑉

13. A Tejútrendszer átmérője 30 kiloparszek (30 kpc). A parszek mértékegységet a csillagászatban

gyakran használják a nagy távolságok kifejezésére: 1 pc=3,26 fényév. A fényév az a távolság, amit

a 300000 km

s sebességgel haladó fény egy év alatt megtesz. Add meg normál alakban, hogy hány

méter a Tejútrendszer átmérője!

10

Megoldás:

30 𝑘𝑝𝑐 = 30 ∙ 103𝑝𝑐 = 30 ∙ 103 ∙ 3,26 𝑓é𝑛𝑦é𝑣 = 3 ∙ 3,26 ∙ 104 ∙ 3 ∙ 105𝑘𝑚 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 365 =

= 3 ∙ 3,26 ∙ 3 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 24 ∙ 365 ∙ 104 ∙ 105 ∙ 102 ∙ 103𝑚 = 9252662,4 ∙ 1014𝑚 ≈ 9,25 ∙ 1020m

Ebben a feladatban a tanulók megtapasztalhatják a prefixumok jelentőségét. A kilo prefixum egy

számára ismert és ismeretlen mértékegység előtt is szerepel. Láthatják, hogy ugyanazt a szorzószámot

jelenti minden esetben, nem kell megijedniük attól, ha ez ismeretlen mértékegység előtt jelenik meg.

Végül egy feladat, amiben láthatjuk, hogy a korábban felsorolt ismereteket milyen összefüggésekben

kell egy-egy komolyabb feladatban alkalmazni a tanulóknak:

A termodinamikában gyakran használt Boltzmann-állandó értékét a

p ∙ V = N ∙ k ∙ T

képlet alapján tudjuk közelítőleg meghatározni a tanórán, ahol p a bezárt gáz nyomása Pa-ban, V a bezárt

gáz térfogata m3-ben, N a bezárt gázrészecskék száma (darabban, mértékegység nélküli szám), k a

Boltzmann-állandó és T a gáz hőmérséklete K-ben megadva.

14. Határozzuk meg a Boltzmann állandó értékét egy mólnyi normál állapotú gáz állapotjelzőinek

ismeretében!

Megoldás:

A normál állapotú gáz adatai:

𝑝 = 100 𝑘𝑃𝑎 = 105𝑃𝑎

𝑉 = 22,41𝑑𝑚3 = 2,241 ∙ 10−2𝑚3

𝑇 = 0°𝐶 = 273𝐾

𝑁 = 6 ∙ 1023

Fejezzük ki a képletből a Boltzmann-állandót: k =p∙V

N∙T. Az így kapott képletbe

behelyettesítve a mennyiségek mértékegységeit megkapjuk a keresett állandó mértékegységét:

[k] =Pa ∙ m3

K

A képletbe beírva az adatokat:

𝑘 ≈105 ∙ 2,241 ∙ 10−2

6 ∙ 1023 ∙ 273

𝑃𝑎 ∙ 𝑚3

𝐾=

2,241

6 ∙ 273∙105 ∙ 10−2

1023

𝑃𝑎 ∙ 𝑚3

𝐾

11

≈ 1,37 ∙ 10−3 ∙ 10−20𝑃𝑎 ∙ 𝑚3

𝐾= 1,37 ∙ 10−23

𝑃𝑎 ∙ 𝑚3

𝐾

Eredményünk jó közelítéssel adja az irodalmi adatot: 𝑘 = 1,38 ∙ 10−23 𝐽

𝐾.

Ha felhasználjuk a 10. feladatban szereplő ismereteket beláthatjuk, hogy az általunk megadott

mértékegység és az irodalmi adat mértékegysége megegyezik:

Pa ∙ m3

K=

𝑁𝑚2 ∙ 𝑚3

𝐾=

𝑁𝑚

𝐾=

𝐽

𝐾

V. Egyenes arányosság, lineáris függvény

Fizikában az egyenesen arányos mennyiségek hányadosát képezve új fizikai mennyiségeket vezethetünk

be. Pl:

A fogyasztó kivezetésein eső feszültség és a fogyasztón átfolyó áram nagysága egyenesen arányos,

hányadosuk állandó. A mért feszültség és áramerősség hányadosát nevezzük a fogyasztó ellenállásának.

15. Ha egy fogyasztó kivezetéseire 6 V feszültséget kapcsolunk, akkor a rajta átfolyó áram erőssége

0,5 A.

a) Határozzuk meg a fogyasztó ellenállásának nagyságát!

b) Mekkora áram folyik át rajta, ha a kivezetésekre 7,5 V-ot kapcsolunk?

Megoldás:

a) A keresett ellenállás: 6 𝑉

0,5 𝐴 = 12 Ω

b) Az egyenes arányosság miatt az összetartozó mennyiségek hányadosa állandó, amit az a)

részben kiszámoltunk:

12Ω =6 𝑉

0,5 𝐴 =

7,5 𝑉

𝑥

Az áramerősség nagysága ebből: 𝑥 =7,5 𝑉

12Ω =0,625 𝐴

A megoldás azonban az ellenállás ismerete nélkül, csak az arányosság fogalmával is kiszámítható:

𝑥

7,5 𝑉=

0,5 𝐴

6 𝑉 → 𝑥 = 0,5 𝐴 ∙

7,5

6= 0,625 𝐴

Az egyenesen arányos mennyiségeket grafikonon ábrázolva az összetartozó mennyiségeknek megfelelő

pontok egy origón áthaladó egyenesen helyezkednek el.

12

16. A grafikon alapján határozd meg melyik test sebessége nagyobb és add meg a sebességek nagyságát!

Megoldás:

Annak a testnek nagyobb a sebessége, amelyik út-idő grafikonjának nagyobb a meredeksége. Így a

személyautónak a legnagyobb a sebessége, majd a tehervonaté, végül legkisebb a kerékpárosé. A

sebességet a grafikon meredekségeként határozhatjuk meg:

𝑣𝑠𝑧 =60 𝑘𝑚

1 ℎ= 60

𝑘𝑚

ℎ

𝑣𝑡 =60 𝑘𝑚

2 ℎ= 30

𝑘𝑚

ℎ

𝑣𝑘 =40 𝑘𝑚

3 ℎ≈ 13,3

𝑘𝑚

ℎ

17. A táblázat egy gyorsuló mozgást végző test pillanatnyi sebességét tartalmazza az indítástól számított

különböző esési időtartamok elteltével. Ábrázold a pillanatnyi sebességet az eltelt idő

függvényében, állapítsd meg a két mennyiség közötti kapcsolatot és a mozgásra jellemző állandó

értékét! Értelmezd a mozgást jellemző állandót!

Eltelt

idő (s) 0,5 1 2 2,5 3,5

Sebesség

(m

s)

4 8 16 20 28

Megoldás:

A két mennyiség hányadosa állandó, ezért a sebesség és az eltelt idő egyenesen arányos egymással.

Az összetartozó értékpárok egy egyenesen helyezkednek el. A sebesség-idő grafikon egyenesének

meredeksége a mozgásra jellemző állandót, a gyorsulást adja:

1. ábra

13

𝑎 =∆𝑣

∆𝑡=

24𝑚𝑠

3𝑠= 8

𝑚

𝑠2

Ez az érték azt mutatja meg, hogy másodpercenként a mozgó test sebessége 8 𝒎

𝒔-mal nő.

18. Egy test 10 𝑚

𝑠 kezdősebességről 5 másodpercig egyenletesen gyorsul 4

𝑚

𝑠2-es gyorsulással.

a) Ábrázolja a test sebességét az idő függvényében!

b) Egy másik test ugyanekkor elkezd −6𝑚

𝑠2 gyorsulással lassulni. Két másodperc elteltével

ugyanakkora lesz a sebessége, mint az előző testnek két másodperc gyorsulás után. Mekkora

kezdősebességről indult a második test? Ábrázolja a két test mozgását közös grafikonon!

Megoldás:

Az egyenletesen gyorsuló test pillanatnyi sebességének nagysága az 𝒂 = 𝒗𝟎 + 𝒂 ∙ 𝒕 képlettel adható

meg. Így az a) és b) feladatban is egy lineáris függvénnyel ábrázolhatjuk a sebesség időtől való

függését. Az a) esetben ennek meredeksége pozitív, hiszen a test sebessége nő, a b) feladatban

negatív, mivel a sebesség csökken.

A b) feladatban a grafikon elkészítéséhez felhasználjuk az M pontot és azt, hogy az egyenes

meredeksége −6. A kezdősebességet az egyenes és az y-tengely metszéspontjából olvashatjuk le:

14

𝑣0 = 30 𝑚

𝑠

A következő feladatban arra láthatunk példát, hogyan vezetjük vissza fizikában a mennyiségek közötti

nem lineáris kapcsolatot egyenes arányosságra. Az arányossági tényezőből (a hányadosból, vagy az

egyenes meredekségéből) a folyamatra jellemző állandó értékét tudjuk megállapítani.

19. Különböző magasságokból leeső acélgolyó esési idejének mérésével határozza meg a nehézségi

gyorsulás értékét!

Emelt szintű fizika érettségi szóbeli tétele

Megoldás:

Elméleti háttér: A szabadesést leíró 𝑠 =𝑔

2𝑡2 képlet alapján az s egyenesen arányos t2-tel, így az s(t2)

függvény meredekségének kétszerese adja g értékét.

15

A megoldást Audacity program

alkalmazásával konkrétan elvégzett kísérlet

adatai alapján adom meg. A megoldáshoz szükséges mérési adatokat a táblázat első két oszlopa

tartalmazza. A harmadik oszlopban a mért időadat négyzetét látjuk.

A táblázat 1. és 3. oszlopa alapján ábrázoltuk az s(t2) függvényt. A vízszintes tengelyen a t értékeket

ábrázolva négyzetes úttörvényt mutatna a grafikonunk, így viszont egyenes arányosságot

fedezhetünk fel a tengelyeken jelölt mennyiségek között. Ezzel a technikával matematika órákon

nem találkoznak a diákok. A technika azért hasznos, mert a pontokra parabolát szabad kézzel nem

tudunk illeszteni, egyenes viszont egész könnyen illeszthető, aminek meredekségét is könnyen le

tudjuk olvasni.

A g értékét a grafikon meredekségének kétszerese adja, ami a pontokra illesztett egyenes alapján:

𝑔 =(0,96 − 0,45)𝑚

(0,2 − 0,09)𝑠2∙ 2 = 9,27

𝑚

𝑠2

20. Igazoljuk a mérési adatok segítségével, hogy a harmonikus rezgőmozgás rezgésideje a rezgő test

tömegének négyzetgyökével egyenesen arányos!

(Emelt szintű fizika érettségi szóbeli tétele)

Megoldás:

Az igazoláshoz mérnünk kell a rezgési időket a rugóra akasztott test tömegének ismeretében. A

táblázat egy lehetséges mérési eredménysort és annak az igazoláshoz szükséges feldolgozását

mutatja:

𝑚 [kg] ��[s] √𝑚 [√𝑘𝑔]

0,3 0,5170 0,5477

0,4 0,5968 0,2

0,6 0,7223 0,7746

0,8 0,8378 0,8944

1 0,9425 1

Az utolsó két oszlop alapján a rezgésidőt a tömeg négyzetgyökének függvényében ábrázolva:

s (m) t (s) 𝑡2 (𝑠2)

0,423 0,286 0,082

0,613 0,357 0,127

0,885 0,435 0,189

1,068 0,466 0,217 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

s (m

)

𝑡^2 (𝑠^2)

16

A pontokra illesztett egyenes meghosszabbítása az origón halad át, ezzel igazoljuk az egyenes

arányosságot.

VI. Fordított arányosság

A fordított arányosságot a tanulók a mértékegység átváltáskor szinte ösztönösen használják. Fizika

tanulmányaik elején megbeszéljük velük, hogy a mért adat a mérőszám és a mértékegység szorzataként

értelmezendő. Ha nagyobb mértékegységet választunk, abból kevesebbre van szükség, hogy ugyanazt a

mennyiséget megadjuk vele.

A következő feladat megoldásához a fordított arányosság mellett biztosan kell bánni a tanulóknak a

prefixumokkal és a 10 hatványaival való szorzással, osztással.

21. Végezd el a mértékegységek átváltását!

a) 2,5 𝑘𝑔 = 𝑑𝑘𝑔 = 𝑡

b) 0,5 𝑑𝑚2 = 𝑐𝑚2 = 𝑚2

c) 15𝑘𝑔

𝑚3 = 𝑔

𝑐𝑚3 = 𝑘𝑔

𝑑𝑚3

d) 0,07 𝑙 = 𝑑𝑙 = 𝑚𝑙

Megoldás:

a) 2,5 𝑘𝑔 = 250 𝑑𝑘𝑔 = 0,0025 𝑡

b) 0,5 𝑑𝑚2 = 50 𝑐𝑚2 = 0,005 𝑚2

c) 15𝑘𝑔

𝑚3 = 0,015 𝑔

𝑐𝑚3 = 0,015𝑘𝑔

𝑑𝑚3

d) 0,07 𝑙 = 0,7 𝑑𝑙 = 70 𝑚𝑙

Az erő forgatóhatását az erő nagyságának és a forgástengelytől mért távolságának (erőkarjának)

szorzataként határozhatjuk meg.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2re

zgé

sid

ő

a tömeg négyzetgyöke

17

22. Egy mérleghinta egyensúlyban van. Számítsd ki a vele kapcsolatos hiányzó adatokat!

𝑭𝟏 𝒌𝟏 𝑴𝟏 𝑭𝟐 𝒌𝟐 𝑴𝟐

2 N 0,5 m 1 N

0,5 m 0,5 m 2 Nm

1 m 4 Nm 2 m Fizika 7. MOZAIK 2010. 69. oldal

Megoldás:

Az egyensúly feltétele, hogy az egy sorban lévő forgatónyomatékok értéke egyenlő. Tehát soronként

fennáll, hogy

𝑀 = 𝐹 ∙ 𝑘 = á𝑙𝑙.

A táblázat megfelelő kitöltése:

𝑭𝟏 𝒌𝟏 𝑴𝟏 𝑭𝟐 𝒌𝟐 𝑴𝟐

2 N 0,5 m 1 Nm 1 N 1 m 1 Nm

4 N 0,5 m 2 Nm 4 N 0,5 m 2 Nm

4 N 1 m 4 Nm 2 N 2 m 4 Nm

23. Állandó hőmérsékleten vízgőzt nyomunk össze. Egy adott ponton az edény alján víz kezd

összegyűlni. A gőz nyomását az alábbi táblázat mutatja a térfogat függvényében.

2. ábra

a) Ábrázolja nyomás-térfogat grafikonon az adatokat!

b) Mi a víz megjelenésének oka? Magyarázza meg, hogy a grafikonnak miért van két eltérő jellegű

szakasza!

c) Mekkora térfogaton jelenik meg a víz az edényben?

Középszintű fizika érettségi 2006. november 6.

Megoldás:

a) Az adatpárok alapján az alábbi grafikont készíthetjük el:

18

3. ábra

b) Az összenyomás során a gőz egy bizonyos térfogaton telítetté válik, további összenyomásra a

víz kicsapódik és megjelenik, összegyűlik az edény alján. Ettől kezdve a nyomás nem növekszik

tovább, 30 kPa értéken marad. A folyamat első szakaszában viszont (a táblázat első három

oszlopa) a nyomás és térfogat értékek szorzata állandó, 100 𝑃𝑎 ∙ 𝑚3, tehát a két mennyiség

fordítottan arányos (a gőz ideális gázként viselkedik).

c) Amikor a gáz nyomása eléri a 30 kPa-t, akkor kezd el kicsapódni belőle a víz. A térfogata ekkor

a fordított arányosság alapján számítható ki:

100 𝑃𝑎 ∙ 𝑚3 = 𝑉 ∙ 30 ∙ 103𝑚3 → 𝑉 =100 𝑃𝑎 ∙ 𝑚3

30 ∙ 103𝑃𝑎≈ 3,33 ∙ 10−3𝑚3 = 3,33 𝑑𝑚3

Ezt az értéket a grafikonról is jó közelítéssel leolvashatjuk, ha a hiperbola és a konstans egyenes

metszéspontjához tartozó térfogatértéket leolvassuk.

VII. Egyenletrendezés, egyenletmegoldás, paraméteres egyenletek

A feladatmegoldások során a matematika órákon tanult egyenlettípusok különböző fajtáival találkoznak

a diákok. Elsőként egyszerű elsőfokú egyenlettel a 𝑣 =𝑠

𝑡 képletet alkalmazva. Ekkor még nincs

megfelelő ismeretük az egyenletrendezésről, így a képlet átrendezéséhez egy kicsit kell erről is

beszélnünk a fizika órán. Megtanulják az egyenletet az 𝑠 = 𝑣𝑡 és 𝑡 =𝑠

𝑣 alakra átrendezni. Hosszú ideig

nem találkoznak bonyolultabb szerkezetű képletekkel, bonyolultabb egyenletmegoldással.

Nyolcadik osztályban a hőtan témakörben viszont már egy számukra sokkal nehezebb elsőfokú egyenlet

megoldásával kell boldogulniuk:

19

24. Egy elhanyagolható tömegű edényben lévő 600 g tömegű 4200 𝐽

𝑘𝑔°𝐶 fajhőjű 10°C-os vízbe 100 g

tömegű 100°C hőmérsékletű vasat teszünk. A vas fajhője 465 𝐽

𝑘𝑔°𝐶. Mekkora lesz a közös

hőmérsékletük?

Megoldás:

A vas hőmérséklete a folyamat során csökkenni, a vízé növekedni fog. A vas azt a hőmennyiséget

veszi fel, amit a víz leadott. A felvett vagy leadott hő mennyiségét az anyag fajhője, tömege és a

hőmérsékletváltozás határozza meg, 𝑄 = 𝑐 ∙ 𝑚 ∙ ∆𝑇.

A közös hőmérsékletet jelöljük 𝑇-vel. A víz hőmérséklete (𝑇 − 10°𝐶)-kal nő, a vas hőmérséklete

(100 − 𝑇)°C-kal csökken.

A víz által felvett hőmennyiség 𝑄1 = 4200 𝐽

𝑘𝑔°𝐶∙ 0,6 𝑘𝑔 ∙ (𝑇 − 10°𝐶).

A vas által leadott hőmennyiség 𝑄2 = 465 𝐽

𝑘𝑔°𝐶∙ 0,1𝑘𝑔 ∙ (100°𝐶 − 𝑇).

A két mennyiség egyenlő. A továbbiakban hagyjuk el a mértékegységeket, de tudjuk, hogy a

hőmérséklet mértékegysége °𝐶 lesz:

2520 ∙ (𝑇 − 10) = 46,5 ∙ (100 − 𝑇))

2520𝑇 − 25200 = 4650 − 46,5𝑇

2566,5𝑇 = 29850

𝑇 = 11,63 (°𝐶)

Ha mértékegységek nélkül számolunk, az eredmény után a mértékegységet zárójelben írjuk ki.

A témakör hetedik és tízedik osztályban kerül elő fizika órákon. A feladat megoldásához egy

nyolcadik osztályos tanulónak még nincs elég matematikai ismerete, ezért ott nem lehet ezzel

foglalkozni. Tízedik osztályban már előfordul, de a megoldáshoz szükséges matematikai ismeretek

szintje miatt nagyon sok időbe telik egy hasonló probléma megoldása.

Egyszerűsíthetünk rajta, ha a mértékegységeket nem helyettesítjük be, csak megállapítjuk, hogy

milyen mértékegysége lesz a végeredménynek.

Később olyan összefüggések is előkerülnek, amelyekből a keresett mennyiség kifejezéséhez a

gyökvonás ismerete szükséges, vagy a másodfokú illetve exponenciális egyenletek megoldási

módszereire, a logaritmus fogalmára, esetleg trigonometriai ismeretekre van szükség. Például:

Kilencedik osztályban:

25. Határozzuk meg mennyi idő alatt tesz meg 30 m utat a szabadon eső test!

Megoldás:

20

Az 𝑠 =𝑎

2𝑡2 képletből kifejezzük a keresett ismeretlent, majd az 𝑎 = 10

𝑚

𝑠2 és az 𝑠 = 30𝑚 adatokat

behelyettesítjük.

𝑡 = √2𝑠

𝑎= √

60𝑚

10𝑚𝑠2

= √6𝑠2 ≈ 2,45 𝑠

A gyorsuló mozgásra érvényes négyzetes úttörvénnyel már hetedik osztályban találkoznak a diákok, de

komolyabb számításos feladatokat nem oldunk még ebben a témában. Sajnos kilencedik osztályban sem

tudunk alaposan foglalkozni ezzel, mert a másodfokú egyenletek megoldási módszerét még nem

tanítottuk. Tízedik osztályban matematika órákon viszont egyszerű szöveges feladatokat lehet gyártani

a kezdősebességgel felfelé, vagy lefelé egyenletesen gyorsuló test mozgására. Ezzel segíthetjük a

fizikaoktatást, mert ezeket az amúgy egyszerű másodfokú egyenleteket a kilencedik évfolyam fizika

óráin csak nagyon bonyolult gondolkodással oldhatnánk meg, így inkább kerüljük.

26. Mennyi idő alatt ér földet az a test, amit 60 méter magasságból 10 m/s kezdősebességgel

függőlegesen lefelé hajítunk? (g=10 m/s2)

A megoldáshoz használjuk fel az 𝑠 = 𝑣𝑡 +𝑔

2𝑡2 képletet.

Megoldás:

A másodfokú egyenlet megoldóképletének ismerete nélkül:

Az adatok SI mértékegységben adottak, így a képletbe behelyettesítve az időt másodpercben kapjuk

meg. A behelyettesítést megtehetjük mértékegységek nélkül:

60 = 10𝑡 +10

2𝑡2

Ezt a másodfokú egyenletet kilencedik osztályban csak teljes négyzetté alakítással tudjuk megoldani,

majd a nevezetes szorzatokról tanult ismeretekkel tovább alakítjuk szorzattá:

0 = 10𝑡 + 5𝑡2 − 6

0 = 𝑡2 + 2𝑡 − 1,2

0 = (𝑡 + 1)2 − 2,2

2,2 = (𝑡 + 1)2

±√2,2 = 𝑡 + 1

𝑡 = −1 ± √2,2

Fizikai szempontból csak a 𝑡 = −1 + √2,2 megoldásnak van értelme, és az is jobban értelmezhető, ha

közelítő értékkel adjuk meg. Így a megoldás:

A test körülbelül 0,48 s alatt ér földet.

21

A másodfokú egyenlet megoldóképletének ismeretével:

𝑡1,2 =−2 ± √4 + 4,8

2→ {

𝑡1 = −1 − √2,2

𝑡2 = −1 + √2,2

Az első gondolatmenetet kilencedik osztályban fizikaórán nincs idő végigvezetni. Másodfokú

megoldóképlet ismeretében viszont már rutin feladat a megoldása. Mivel tízedik osztályban fizikából

nem tudunk visszatérni erre a témára, segítene a fizika oktatásában az, ha erre a képletre matematika

órán kerülne elő egy-két szöveges feladat a megoldóképlet alkalmazási lehetőségeinek bemutatásakor.

Ebből és az előző feladatból is látszik mennyire fontos, hogy a tanulók a számológépet biztonsággal

használják. Már hetedik osztályban próbáljuk erre szoktatni őket, hiszen nem kapunk mindig egész

eredményeket. Fizika órán ilyenkor a közelítő tizedes tört alakot adjuk meg megoldásként és nem törtes,

négyzetgyökös, vagy egyéb műveletet tartalmazó kifejezést.

A későbbi feladatokban gyakorolni tudjuk a számológép használatot olyan témakörökben, amelyekben

erre matematika órán is szükség van.

Tizenegyedik osztályban:

27. Hol van a rezgő test 2,75 másodperc múlva, ha rezgésideje 2 másodperc, amplitúdója pedig 10 cm?

Az időt a felfelé mozgó test egyensúlyi helyzeten való áthaladásának pillanatától mérjük.

Fizika 11. Mozaik 2006. 20. oldal

Megoldás:

A pillanatnyi kitérést megadó képlet: 𝑦 = 𝐴 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔 ∙ 𝑡), ahol 𝜔 =2𝜋

𝑇. (A képletben y a test

egyensúlyi helyzettől mért pillanatnyi kitérése, 𝐴 a legnagyobb kitérés (amplitudó), 𝜔 a

körfrekvencia, T a rezgésidő, t pedig a mozgás kezdetétől eltelt idő.) Ezeket felhasználva a

behelyettesítés után kapjuk a megoldást:

𝑦 = 10 𝑐𝑚 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (2𝜋

2𝑠∙ 5𝑠) ≈ 10 𝑐𝑚 ∙ 0,8886 ≈ 8,9 𝑐𝑚

Ezt az eredményt csak akkor kapják meg a tanulók, ha a szöget radiánban írják be számológépükbe.

Ezt rendszeresen eltévesztik fizika és matematika órán is.

28. Mennyi lenne az aktivitása a 100 évvel ezelőtt elkülönített 1 g tömegű rádiumnak ma, ha az

aktivitása az elkülönítéskor 36 ∙ 109𝐵𝑞?

Fizika 11. Mozaik 2006. 143. oldal

Megoldás:

Az aktivitást az 𝐴 = 𝐴0 ∙ (1

2)

𝑡

𝑇 bomlástörvénnyel számolhatjuk ki, ahol 𝑇 = 1600 é𝑣 a rádium

felezési ideje, 𝐴 a pillanatnyi aktivitás, 𝐴0 a kezdeti aktivitás, t pedig az azóta eltelt idő.

𝐴 = 36 ∙ 109𝐵𝑞 ∙ (1

2)

1001600

≈ 36 ∙ 109𝐵𝑞 ∙ 0,958 ≈ 3,45 ∙ 1010 𝐵𝑞

22

A következő feladat bemutatja, hogy az egyenletrendszerek megoldási módszereinek alkalmazásában a

tanulóknak milyen szintre lenne jó eljutni a középiskola kilencedik osztályának közepe táján.

29. Egy elhanyagolható tömegű csigán átvetett nyújthatatlan kötél két végére m1 és m2 tömegű testet

akasztunk. A testek a gyorsulással mozognak. Fejezzük ki a testek gyorsulását a tömegek és a

nehézségi gyorsulás (g) paraméter segítségével!

Megoldás:

A kötélben ébredő erőt K-val jelölve a pontrendszer mozgását az

alábbi egyenletrendszer írja le:

𝑚1𝑎 = 𝑚1𝑔 − 𝐾

és

𝑚2𝑎 = 𝐾 − 𝑚2𝑔.

A kilencedik osztály felénél tanított témában az egyenletrendszer

megoldására javasoljuk, hogy adjuk össze a két egyenletet. Ezután

kiemeléssel és osztással kifejezhető az a:

𝑎 =𝑚1𝑔 − 𝑚2𝑔

𝑚1 + 𝑚2

Tizenegyedik osztályban emelt szintű csoportban ebben a témakörben előfordul, hogy három, négy,

vagy akár öt ismeretlenből és egyenletből álló elsőfokú egyenletrendszert kell megoldania a diáknak.

Bár a gyorsan eredményre vezető utat megmutatjuk, ennek begyakorlása, elsajátítása nem könnyű

feladat a tanulók számára.

A paraméter fogalmával matematika órán kilencedik osztályban ismerkednek a tanulók. Nagyon

nehezen értik meg, hogy mi a különbség a változó és a paraméter fogalmak között. A következő

példákkal a paraméterek fizikában betöltött szerepére szeretnék rávilágítani.

A gázok állapotának leírásához négy fizikai mennyiséget használunk: a nyomást (p), a térfogatot (V), a

hőmérsékletet (T) és a részecskeszámot (N). A közöttük lévő általánosan érvényes kapcsolat, a 𝑝 ∙ 𝑉 =

𝑁 ∙ 𝑘 ∙ 𝑇 törvényszerűség megismerése érdekében a gáz viselkedését úgy vizsgáljuk, hogy egyszerre

csak két mennyiséget engedünk változni, a másik kettő értékét „beállítjuk” egy állandó értékre. Nézzünk

erre példákat!

30. Vizsgáljuk meg egy adott térfogatú edénybe bezárt megadott mennyiségű gáz nyomásának

változását, ha a hőmérsékletet változtatjuk! Az összetartozó hőmérséklet-nyomás adatokat foglaljuk

táblázatba, majd ismételjük meg a mérést több térfogaton is. A mért adatokat ábrázoljuk p(T)

grafikonon!

4. ábra

23

Megoldás:

A mért adatokat nem közlöm, de a mérések eredményeként az alábbi grafikon készíthető el.

Ezen látható, hogy a nyomás és a hőmérséklet egyenesen

arányos egymással, a grafikon meredekségét pedig a

térfogat határozza meg.

Rögzített térfogat és részecskeszám mellett:

𝑃

𝑇= á𝑙𝑙. =

𝑁 ∙ 𝑘

𝑉

Belátható, hogy az anyagmennyiséget változtatva szintén csak a grafikon meredeksége változna, a

nyomás és hőmérséklet mennyiségek között továbbra is fennáll az egyenes arányosság. Ebben a

feladatban a változók a nyomás és a hőmérséklet mennyiségek, a paraméterek pedig azok a

mennyiségek, amiket egy-egy méréssorozatban állandó értékre állítottunk be: a térfogat és a

részecskeszám.

31. Vizsgáljuk meg egy adott hőmérsékletű, mozgatható dugattyúval ellátott edénybe bezárt megadott

mennyiségű gáz nyomásának változását, ha a térfogatot változtatjuk! Az összetartozó nyomás-

térfogat adatokat foglaljuk táblázatba, majd ismételjük meg a mérést több térfogaton is. A mért

adatokat ábrázoljuk p(V) grafikonon!

Megoldás:

A mérési adatok alapján készíthető grafikont mutatja a

6.ábra. A mért adatokból látható, hogy a nyomás és

térfogat fordítottan arányos mennyiségek, mivel szorzatuk

állandó. Az ábrán tehát hiperbola görbéket látunk.

Rögzített hőmérséklet és részecskeszám mellett:

𝑝 ∙ 𝑉 = 𝑁 ∙ 𝑘 ∙ 𝑇

A magasabban haladó hiperbolaágak magasabb

hőmérsékleten mutatják a nyomás-térfogat adatpárokat.

5. ábra

6. ábra

24

VIII. Függvények, grafikonok

32. Egy gépkocsi 72 km

h sebességről 8 s alatt fékezett le egyenletesen változó mozgással.

a) Mekkora a fékút?

b) Rajzoljuk le a mozgás sebesség-idő és út-idő grafikonját!

Megoldás:

Először váltsuk át a sebességet m/s-ba és számoljuk ki a gyorsulást!

𝑣 = 72𝑘𝑚

ℎ= 20

𝑚

𝑠

𝑎 =∆𝑣

∆𝑡=

−20𝑚𝑠

8𝑠= −2,5

𝑚

𝑠2

A fékút kiszámítását többféle módon is elvégezhetjük: átlagsebesség számítással vagy fordított

irányú, egyenletesen gyorsuló mozgásra visszavezetve. Az út-idő grafikon ábrázolásához viszont a

kezdősebességről egyenletesen lassuló mozgás út képlete a leghasznosabb, mert ebből leolvasható

az elkészítendő grafikonunk típusa, alakja:

𝑠 = 𝑣0 ∙ 𝑡 +𝑎

2∙ 𝑡2 = 20

𝑚

𝑠∙ 8𝑠 − 1,25

𝑚

𝑠2∙ (8𝑠)2 = 80 𝑚

A pillanatnyi sebesség a 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡 képlettel számolható, ahol a gyorsulás értéke negatív lesz.

A képletekből látható, hogy a sebesség-idő grafikon egy csökkenő lineáris függvény lesz, míg az út-

idő grafikon egy fordított állású parabola:

33. Ábrázoljuk egy 10𝑚

𝑠 kezdősebességgel 3

𝑚

𝑠2 gyorsulással egyenletesen gyorsuló test gyorsulás-idő,

sebesség-idő és út-idő grafikonját a mozgás első 5 másodpercében!

25

Megoldás:

A gyorsulás-idő grafikon egy konstans

függvény, mivel a gyorsulás állandó.

𝑎 = 3𝑚

𝑠2

A sebesség-idő grafikon egy lineáris függvény.

Hozzárendelési szabálya:

𝑣 = 10 + 3𝑡

Az út-idő grafikon egy másodfokú függvény.

Hozzárendelési szabálya:

𝑠 = 10𝑡 + 1,5𝑡2

34. Egy ideális gáz A-B-C-D-A körfolyamata látható a

diagramon. Olvasd le, hogy az egymást követő

állapotokba milyen folyamatokon keresztül jutott a

gáz és készítsd el a folyamat p-T diagramját, ha a B és

C valamint az A és D pontokat összekötő görbe egy-

egy hiperbola!

Megoldás:

Az állapotváltozások jelentése:

A-ból B-be izochor, azaz állandó térfogat mellett

zajlott a folyamat. Ezt a 𝑝

𝑇= á𝑙𝑙. képlet jellemzi.

Vagyis a két pont a p-T grafikonon egy origón áthaladó

egyenesen helyezkedik el.

26

B-ből C-be egy hiperbola görbén haladunk, tehát izoterm, vagyis állandó hőmérsékleten játszódik a

folyamat. Ezt a 𝑝 ∙ 𝑉 = á𝑙𝑙. képlet írja le. Vagyis a p-T grafikonon egy állandó hőmérsékletértékhez

tartozó függőleges egyenesen helyezkednek el ezek a pontok.

C-ből D-be izobár, azaz állandó nyomáson zajlik a folyamat. Ezt a 𝑉

𝑇= á𝑙𝑙. képlet írja le. Vagyis a

p-T grafikonon egy állandó nyomásértékhez tartozó vízszintes egyenesen helyezkedik el a két pont.

Végül D-ből A-ba ismét izoterm, vagyis állandó hőmérsékleten játszódik a folyamat, hiszen egy

hiperbola görbén helyezkednek el. Ezt a 𝑝 ∙ 𝑉 = á𝑙𝑙. képlet írja le. Vagyis a p-T grafikonon egy

állandó hőmérsékletértékhez tartozó függőleges egyenesen helyezkednek el.

Ezek alapján készült a p-T diagram.

A téma végén egy olyan fizika feladatot mutatok be, aminek megoldásához a tízedik osztály végén tanult

trigonometrikus függvényekre és transzformációikra van szükség. A feladat tizenegyedik osztály elején

kerül elő a fizika órákon, amikor a tapasztalatok szerint a kellő jártassággal még nem rendelkeznek a

diákok, hiszen a matematika tankönyvek alaposabban csak a tizenegyedikes tanév közepe táján

tárgyalják ezt a témát. A könnyebb megértés érdekében vannak olyan matematikatanárok, akik előbbre

veszik matematikából a trigonometrikus függvények transzformációi témakört.

35. Az alábbi ábra a harmonikus rezgőmozgást végző játék

figura kitérés-idő függvényét mutatja:

a) Mekkora a mozgás amplitúdója és rezgésideje?

b) Adjuk meg a test kitérés-idő függvényét!

c) Mekkora a mozgás sebességének és gyorsulásának

legnagyobb értéke?

d) Adjuk meg és ábrázoljuk a harmonikus rezgőmozgás

v-t és a-t függvényeit!

Fizika 11. Emelt szintű képzéshez OFI17. oldal

Megoldás:

27

a) A mozgás amplitúdóját (legnagyobb kitérését leolvashatjuk a grafikonról: A=12 cm=0,12 m

A grafikonról leolvasható még a rezgés periódusideje: T=1,6s. A rezgésszámot ennek

reciprokaként határozhatjuk meg:

𝑓 =1

𝑇=

1

1,6𝑠= 0,625

1

𝑠

b) A kitérés idő függvényt az 𝑦 = 𝐴 ∙ sin(2𝜋𝑓𝑡) képlet segítségével kapjuk az ismert adatok

behelyettesítésével. Az időt másodpercben megadva a fenti adatokat mértékegység nélkül beírva

a kitérést (y) méterben kapjuk.

𝑦 = 0,12 ∙ sin(2 ∙ 𝜋 ∙ 0,625 ∙ 𝑡) = 0,12 ∙ sin(1,25𝜋 ∙ 𝑡) (𝑚)

c) A sebesség maximumát 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑓 képlettel, a gyorsulás maximuma pedig

𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 ∙ (2𝜋 ∙ 𝑓)2 képlettel számolható. A képletekbe SI mértékegységekben beírva az

adatokat az eredményt is SI mértékegységekben kapjuk:

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 0,12 ∙ 2𝜋 ∙ 0,625 = 0,15 ∙ 𝜋 ≈ 0,47 (𝑚

𝑠)

𝑎𝑚𝑎𝑥 = 0,12 ∙ (2𝜋 ∙ 0,625)2 ≈ 1,85 (𝑚

𝑠2)

d) A pillanatnyi sebesség és gyorsulás képleteket az alábbi behelyettesítésekkel kapjuk:

𝑣 = 𝑣𝑚𝑎𝑥 ∙ cos(2𝜋𝑓 ∙ 𝑡) = 0,47 ∙ cos(2 ∙ 𝜋 ∙ 0,625 ∙ 𝑡) = 0,47 ∙ cos(1,25𝜋 ∙ 𝑡) (𝑚

𝑠)

𝑎 = −𝑎𝑚𝑎𝑥 ∙ sin(2𝜋𝑓 ∙ 𝑡) = −1,85 ∙ sin(2 ∙ 𝜋 ∙ 0,625 ∙ 𝑡) = −1,85 ∙ sin(1,25𝜋 ∙ 𝑡) (𝑚

𝑠2)

A grafikonokat a matematika órákon tanult függvény-transzformációk ismeretében adjuk meg a

szinusz és koszinusz függvényekből kiindulva:

28

IX. Geometriai ismeretek

A fizika feladatokban gyakran kell síkidomok területét, testek térfogatát számolni a feladatok

megoldásához.

36. Egy villamos két állomás között 3000 m utat tesz meg. Sebességének nagyságát az alábbi ábra

mutatja. Mekkora volt a villamos sebessége a két állomás között?

Fizika 9-10. OFI 55.oldal 4. feladat

Megoldás:

A megoldáshoz úgy juthatunk el legegyszerűbben, ha felhasználjuk, hogy a megtett út a sebesség-

idő grafikon alatti területként is kiszámítható. A feladatban ez egy trapéz területét jelenti.

A 𝑻𝒕𝒓𝒂𝒑é𝒛 = 𝒎 ∙𝒂+𝒄

𝟐 képletbe 𝒎 helyére az elért maximális sebességet írva, 𝒂 és 𝒄 helyére pedig a

trapéz párhuzamos oldalainak megfelelő időtartamokat helyettesítve a keresett sebességet:

3000𝑚 = 𝑣 ∙315𝑠 + 285𝑠

2= 𝑣 ∙ 300𝑠 → 𝑣 =

3000𝑚

300𝑠= 10

𝑚

𝑠

37. Az ábrán feltűntetett erők egy kiterjedt testet az O ponttal jelölt, a lap síkjára merőlegesen

elhelyezkedő forgástengelye körül forgathatnak el. Rajzold be az alábbi erőkhöz tartozó erőkarokat!

Megoldás:

Definíció szerint az erőkar az erő hatásvonalának forgástengelytől mért távolsága. A feladatokban

tehát az O pont és az erővektorra illesztett egyenes távolságát kell értelmezni, berajzolni. Az F2 erő

29

hatásvonala átmegy az O forgástengelyen, ezért a hozzá tartozó erőkar nulla. A másik erőkar

elhelyezkedését az ábra mutatja:

38. Egy egyenletes körmozgást végző test kerületi sebessége 0,5 m/s. A körpálya sugara 40 cm.

Mekkora a szöggel fordult el a testhez húzott sugár a mozgás kezdetétől a végéig 3 másodperc alatt?

Megoldás:

A megtett út az egyenletes mozgásra vonatkozó összefüggésből számolható:

𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 = 0,5𝑚

𝑠∙ 3𝑠 = 1,5 𝑚

A mozgás körpályán történt, ezért a megtett út egy 40 cm sugarú körív hosszát jelenti. A kör kerületét

kiszámítva arányos számítással megkaphatjuk, hogy mekkora középponti szög tartozik a megtett

úthoz:

𝑘 = 2𝑟𝜋 = 0,8𝑚 ∙ 𝜋 ≈ 2,512 𝑚

𝛼 =1,5𝑚

2,512𝑚∙ 360° ≈ 215°

39. Egy egyenletes körmozgás szögsebessége 0,5 1/s. Hány fokos a szögelfordulás a mozgás 3

másodperce alatt?

Megoldás:

A szögsebességet definíció szerint a szögelfordulás és a közben eltelt idő hányadosaként számoljuk

ki, ahol a szögelfordulást radiánban adjuk meg: 𝜔 =∆𝜑

∆𝑡

A keresett szög tehát: ∆𝜑 = 𝜔 ∙ ∆𝑡 = 0,51

𝑠∙ 3𝑠 = 1,5 (𝑟𝑎𝑑)

A kereset szöget fokba kell átváltani arányos számítással:

∆𝜑 = 1,5 ∙180°

𝜋≈ 86°

30

40. Egy 30°-os hajlásszögű lejtőre 80 kg tömegű testet helyezünk. Mekkora erő gyorsítja a testet lejtő

irányában és mekkora erővel nyomja a test a lejtőt?

Megoldás:

Elsőként ábrát készítünk a testre ható erők feltüntetésével.

(Fekete erők). Fny az az erő, amivel a testet nyomja a lejtő. Fny és

mg erők eredője gyorsítja a testet a lejtővel párhuzamosan. Ez az

Fm erő, amit paralelogramma szabállyal adhatunk meg. A lejtő

által meghatározott derékszögű háromszög hasonló az mg és Fm

erők által meghatározott derékszögű háromszöghöz, mivel az 𝜶-

val jelölt szögeik merőleges szárú szögek. A háromszögek

oldalainak arányát a fél szabályos derékszögű háromszög

oldalainak aránya adja, mivel 𝜶 = 𝟑𝟎°.

A két ábrán látható hasonló háromszögekre felírhatjuk az alábbi

összefüggéseket:

𝐹𝑚𝑚𝑔

=

𝑎2𝑎

=1

2 → 𝐹𝑚 =

1

2𝑚𝑔 = 400 𝑁

𝐹𝑛𝑦

𝑚𝑔=

𝑎√32𝑎

=√3

2 → 𝐹𝑛𝑦 =

√3

2𝑚𝑔 ≈ 692,8 𝑁

A testet tehát 400 N nagyságú erő gyorsítja a lejtő mentén és Fny-nyel ellentétes irányú, de vele

egyenlő nagyságú, kb. 693 N nagyságú erővel nyomja eközben a lejtőt.

Ez a feladat kilencedik osztályban szerepel a fizika órákon, de csak nevezetes hegyes szögekkel tudjuk

megbeszélni, mivel az ezeket a szögeket tartalmazó derékszögű háromszögekben ismerjük az oldalak

arányát. Hogy a feladatokat kicsit változatosabbá tegyük, az erősebb csoportokban olykor megtanítjuk

a szögfüggvények értelmezését derékszögű háromszögekben. Ez a matematika és fizika iránt érdeklődő

tanulóknak általában felkelti az érdeklődését és büszkén dolgoznak a szögek szögfüggvény értékeivel.

Azt tapasztaljuk, hogy tízedik osztályban ők sokkal könnyebben, természetesebben használják

matematika órákon ezeket a fogalmakat.

A szögfüggvények ismerete hiányában a diákok hasonlóságról tanult ismereteire támaszkodunk.

41. Egy 3 méter hosszú és 0,5 méter magas lejtőre 80 kg tömegű testet helyezünk. Mekkora erő gyorsítja

a testet a lejtő irányában?

Megoldás:

A feladat megoldásának fizikai alapjai ugyanazok, viszont a hasonlóságról tanult ismereteket kell

alkalmaznunk matematikából a megoldáshoz.

A hasonló háromszögekre az előző feladat ábrája alapján felírható:

𝑎 𝑙𝑒𝑗𝑡ő ℎ𝑜𝑠𝑠𝑧𝑎

𝑙𝑒𝑗𝑡ő 𝑚𝑎𝑔𝑎𝑠𝑠á𝑔𝑎=

𝑚𝑔

𝐹𝑚→ 𝐹𝑚 =

𝑙𝑒𝑗𝑡ő 𝑚𝑎𝑔𝑎𝑠𝑠á𝑔𝑎

𝑙𝑒𝑗𝑡ő ℎ𝑜𝑠𝑠𝑧𝑎∙ 𝑚𝑔 =

0,5

3∙ 800 𝑁 ≈ 133,3 𝑁

7. ábra

8. ábra

31

42. Egy 10°-os hajlásszögű lejtőre 80 kg tömegű testet helyezünk. Mekkora erő gyorsítja a testet a lejtő

irányában?

Megoldás:

Ehhez a feladathoz már szükségünk van a hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezésére, hiszen:

𝑠𝑖𝑛10° =𝐹𝑚𝑚𝑔

→ 𝐹𝑚 = 𝑚𝑔 ∙ 𝑠𝑖𝑛10° ≈ 138,9 𝑁

X. Vektorok, koordináta-rendszerek

A vektorok témakör a matematika órákon nyolcadik osztály végén kerül elő először. Ekkorra a diákok

már nagyon sok ismerettel rendelkeznek a témában, hiszen fizika órákon a kezdetektől fogva találkoznak

a vektormennyiségekkel, a vektor fogalmával. Matematika órákon ezekre az ismeretekre építve a

vektorok témakör könnyedén tárgyalható. Mit tanulnak a diákok a vektorokról fizika órán?

A mozgások leírását mindig meghatározott vonatkoztatási rendszerben

adjuk meg. A rendszer középpontját rögzítjük valamely viszonyítási

ponthoz, majd a rendszerben mozgó test különböző időpillanatokhoz

tartozó helyéhez rendelünk egy-egy helyvektort. A helyvektorok

különbségeként definiáljuk az elmozdulás-vektort.

A vektorok különbségének meghatározásával oldható meg a következő feladat. Az a) és b) feladatrész

7. és 9. osztályban tananyag, a c) rész megoldásához már trigonometriai ismeretek szükségesek, ha a

vektorok által bezárt szög hegyes vagy tompaszög.

9. ábra

32

43. Két motorcsónak (A és B) indul a mólótól (M) u és v sebességgel az ábrán látható irányokban.

a) Szerkeszd meg mekkora és milyen irányú sebességgel távolodik az A jármű a B-hez

képest!

b) Szerkeszd meg mekkora és milyen irányú sebességgel távolodik a B jármű az A-tól!

c) Számítsd ki mekkora sebességgel távolodik az A csónak a B motorcsónaktól, ha

𝒗 = 24 𝑘𝑚/ℎ és 𝒖 = 36 𝑘𝑚/ℎ és a negyedik ábrán 48°-os, az ötödiken 110°-os szöget

zárnak be a vektorok!

Megoldás:

A feladatok megoldásához felhasználjuk, hogy két mozgó test egymáshoz viszonyított sebességét a

sebességvektorok különbségeként határozzuk meg.

a)

b)

c)

Az első ábrán a két jármű a sebességek összegével távolodik egymástól, tehát 60 km/h-val.

A második ábrán a sebességek különbségével távolodnak egymástól, tehát 12 km/h-val.

Mindkét fenti összefüggés egyszerűen megérthető, ha a vonatkoztatási rendszerünket nem a

mólóhoz rögzítjük, hanem valamelyik mozgó testhez.

33

A harmadik ábra alapján Pitagorasz-tétel segítségével számolható ki a testek egymáshoz viszonyított

sebessége:

𝑣 = √362 + 242 ≈ 43,3(𝑘𝑚

ℎ)

Az utolsó két feladathoz már koszinusz tétel használatára van szükség:

𝑣2 = 362 + 242 − 2 ∙ 36 ∙ 24 ∙ 𝑐𝑜𝑠48° ≈ 715,74 → 𝑣 ≈ 26,75 (𝑘𝑚

ℎ)

𝑣2 = 362 + 242 − 2 ∙ 36 ∙ 24 ∙ 𝑐𝑜𝑠110° = 2466,1 → 𝑣 ≈ 49,65 (𝑘𝑚

ℎ)

Több erő együttes hatásának meghatározása a fellépő erővektorok összeadásával történik.

44. Az ábrákon egy pontszerűnek tekinthető testre több erő hat egyszerre. Ezeket F1, F2 és F3-mal

jelöltük. Szerkeszd meg mekkora és milyen irányú ellenerőt kell kifejteni, hogy a test nyugalomban

maradjon!

a)

b)

Megoldás:

a)

b)

34

A vektorok összeadása a kötelező tananyag része kilencedik osztályban fizika órákon és jól előkészíti a

tízedik osztályos matematika tananyagot vektorok témakörben. Megismerik az ellentett vektor fogalmát.

Megtanulják, hogy a párhuzamos, egy irányú, egyenlő hosszúságú vektorok egyenlők.

Miközben a tanulók az összegvektorokat paralelogramma módszerrel megszerkesztik, az ábrákon a lánc

szabály magyarázatával is megismerkedhetnek. Látható az ábrán, hogy az összeadás sorrendje is

felcserélhető, hiszen 𝐹1 + 𝐹2

= 𝐹2 + 𝐹1

.

A szerkesztés közben azt is megtapasztalják, hogy az összegvektor hossza általában nem egyezik meg

a vektorok hosszának összegével.

A mozgások függetlenségének elve szerint ha egy test egyszerre több mozgásban vesz részt, akkor a

pillanatnyi sebessége megkapható ezen mozgások pillanatnyi sebességének vektori összegeként. Az

eredő mozgás jellemzői a két összetevő mozgás jellemzőiből meghatározhatók. Az összetett mozgások

leírására gyakran használjuk ezért azt a módszert, hogy egymástól független, merőleges mozgásokra

bontjuk fel őket. Így az összetett mozgások vektor jellemzőinek nagyságát a Pitagorasz-tétel

segítségével tudjuk számolni.

45. Egy testet 10 m/s kezdősebességgel elhajítunk vízszintes irányban. Mekkora lesz a sebessége 2

másodperc után?

Megoldás:

Felhasználjuk, hogy a vízszintes hajítás értelmezhető két

egymásra merőleges mozgás egyidejű megvalósulásaként.

Egy függőleges irányú egyenletesen gyorsuló mozgás

(szabadesés) és egy vízszintes irányú egyenes vonalú

egyenletes mozgás összetételeként kaphatjuk meg. A test

sebessége tehát vízszintes irányban állandó, 10 m/s. A

függőleges sebességkomponens nagyságát a szabadesésre

vonatkozó 𝒗𝒚 = 𝒈 ∙ 𝒕 képletből számítjuk ki.

𝑣𝑦 = 10𝑚

𝑠2 ∙ 2𝑠 = 20𝑚

𝑠

Ezután a pillanatnyi sebesség a Pitagorasz-tétel felhasználásával:

10. ábra

35

𝒗𝒑𝒊𝒍𝒍 = √(𝟏𝟎𝒎

𝒔)𝟐

+ (𝟐𝟎𝒎

𝒔)𝟐

= √𝟓𝟎𝟎𝒎

𝒔≈ 𝟐𝟐, 𝟑𝟔

𝒎

𝒔

A munka pontos fogalmának kialakítása 7. osztálytól kezdve a 11. osztályos fakultációig fokozatosan

történik meg, mivel a tanulóknak a 11. osztály közepéig nincsen megfelelő matematikai előismeretük a

fogalom pontos kialakításához. Ezt a folyamatot mutatja be a következő feladat.

46. Mekkora munkát végez a 80 N nagyságú erő a testen, ha a munkavégzés során az elmozdulás

300 m és az elmozdulás

a) az erővel megegyező irányú,

b) merőleges az erőre,

c) 60 fokos szöget zár be az erővel?

Megoldás:

A munka fogalmát fokozatosan alakítjuk ki a tanulókban fizika tanulmányaik során.

a) Ezt a feladatot már 7. osztályban megoldjuk. Ekkor még csak abban az esetben számolunk

munkát, amikor a munkát végző erőhatás irányában történik az elmozdulás. Ilyenkor egyszerűen

az erő és elmozdulás nagyságának szorzatával számolhatunk:

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 = 80 𝑁 ∙ 300𝑚 = 24000 𝐽

b) 9. osztályban már komolyabban foglalkozunk az erő merőleges összetevőkre bontásával. A

munka definíciója ekkor már úgy hangzik, hogy az erő és az erő irányú elmozdulás szorzataként

számolható ki. Ebben a feladatban az erő irányában nem történik elmozdulás, így munkavégzés

nem történik. A munkáról alkotott kép tehát kiegészül azzal, hogy az elmozdulásra merőleges

erő nem végez munkát a testen.

c) Tizenegyedik osztályban a szögfüggvények ismeretében ki tudjuk számolni az elmozdulás-

vektor erő irányú összetevőjének hosszát az 𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠γ képlettel, ha 𝛾 az erő és az elmozdulás által

bezárt szög. Így a munkát a következőképpen számoljuk:

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾

Matematika tanulmányainkat felhasználva ekkor már kimondhatjuk, hogy a munka tehát az erő

és az elmozdulás skaláris szorzataként számolható. A feladatban szereplő adatokkal:

𝑊 = 𝑭 ∙ 𝒔 = 𝐹 ∙ 𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠60° = 80𝑁 ∙ 300𝑚 ∙ 0,5 = 12000 𝐽

Látható, hogy párhuzamos egyirányú vektorokra ez a képlet visszaadja a hetedikben tanultakat,

merőleges elhelyezkedés esetén pedig nincs munkavégzés, hiszen 𝑐𝑜𝑠90° = 0. Ez a feladat is

rávilágít arra, hogy mennyire fontos az erő felbontása az elmozdulásra merőleges és azzal

párhuzamos összetevőkre. (Az ugyanis mindegy, hogy az erőt bontjuk fel összetevőkre, vagy

az elmozdulást.)

36

11. osztályban matematika órán gyakran felteszik a diákok azt a kérdést, hogy a skaláris szorzat helyett

miért nem elég csak vektorok szorzásáról beszélni. Lehet a szorzásuknak más eredménye is, mint egy

valós szám?

Erre a kérdésre válaszolhatunk tudva, hogy 10. osztályban tanultak már a Lorentz-erőről. A téma utolsó

feladatával szeretném bemutatni, hogy fizika órákon a vektoriális szorzat előkészítése is megtörténik.

Ez ugyan már matematika fakultáción sem tananyag, de hasznos lehet tudni, hogy a fizika tantárgy, ha

nem is definiálja, de foglalkozik a vektoroknak ezzel a szorzatával.

A mágneses mezőben mozgó töltésre ható erő nagyságát a sebességvektor (v) és mágneses

indukcióvektor (B) szorzatának a (Q) töltésmennyiség-szereseként számíthatjuk ki. Azaz

𝑭 = 𝑄 ∙ 𝒗𝑥𝑩

A tanórákon azt mondjuk, hogy ha v merőleges B-re, akkor az erőt az 𝐹 = 𝑄𝑣𝐵 képlettel számíthatjuk

ki. Ha A v párhuzamos B-vel, akkor nem hat erő a mozgó töltésre. Az erő irányának meghatározását

viszont nem kerülhetjük el.

A képletben a vektorok szorzásának eredménye egy olyan vektor, amely

merőleges a sebesség- és indukcióvektor által meghatározott síkra és

irányítását jobbkéz-szabállyal határozhatjuk meg. Ehhez az ábrán látható

módon elnevezzük jobb kezünk megfelelő ujjait. B és v vektorok irányába

állítjuk a megfelelő ujjainkat. Ekkor középső ujjunk állása mutatja a fellépő

erő irányát. A kötelező tananyagban a B és v vektorok merőleges

elhelyezkedésével foglalkozunk csak, megemlítve, hogy ebben a helyzetben

maximális az erő nagysága. Fakultáción viszont azt is elmondjuk, hogy az erő

nagyságát az 𝐹 = 𝑄𝑣𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛾 képlettel határozzuk meg, ahol 𝛾 a v és B vektor

által bezárt szög.

A középiskolai tananyagban ezt az ismeretet alkalmazzuk a következő feladatban:

47. Értelmezzük az áramjárta vezetőre ható erő irányát az ábra alapján! Mi történik, ha megváltoztatjuk

az áram irányát?

Megoldás:

Az ábrán B iránya adott. A töltések mozgásának irányát

az áram iránya (I) határozza meg, ez felel meg a sebesség

irányának. A jobb kéz szabállyal az erő iránya az ábrán

látható módon adható meg.

Ha megváltoztatjuk az áram irányát, akkor a vezetékre

ellentétes irányú erő hat.

Ezt a jelenséget láthatjuk az alábbi linken elérhető

kisfilmben is:

https://www.youtube.com/watch?v=2sIiugmKM6I

12. ábra

11. ábra

37

A feladatválogatásból látható, hogy a megoldásokhoz többségében nem csak a matematika azon

területére van szükség, amelyen belül említésre kerültek. A fizika feladatok megoldásakor a tanulóknak

össze kell kapcsolniuk a különféle matematika témákban tanult ismereteket. Mindez bővül még

szövegértési feladattal és a megfelelő fizikai ismeretek alkalmazásával. Megoldásuk tehát egy

komplexebb gondolkodást igényel. Ebben szerezhetnek jártasságot tanulóink, ha a matematika órákra

egy-egy feladatot becsempészünk a megfelelő, tananyaghoz kapcsolódó témakörben. Ezzel

fejleszthetjük szövegértésüket, az átfogó gondolkodást, valamint jártasságot szerezhetnek gyakorlati

problémák tananyaghoz kapcsolásában, miközben rálátást nyernek a matematika különböző alkalmazási

lehetőségeire.

XI. A képek forrása

1. ábra: https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/termeszettudomanyok/fizika/fizika-9-evfolyam/az-egyenes-

vonalu-egyenletes-mozgas/az-egyenes-vonalu-egyenletes-mozgas-grafikonjai

2. ábra: http://dload.oktatas.educatio.hu/erettsegi/feladatok2006osz/kozep/k_fiz_06okt_fl.pdf

3. ábra: https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/termeszettudomanyok/fizika/fizika-10-evfolyam/az-

allapotsik/nyomas-homerseklet-diagram

4. ábra: http://felvi.phy.bme.hu/images/b/b5/Jegyzet150320.pdf

5. ábra: https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/termeszettudomanyok/fizika/fizika-10-evfolyam/az-allapotsik-

es-a-specialis-allapotvaltozasok/specialis-allapotvaltozasok

6. ábra: https://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0027_FIZ2/ch01s03.html

7. ábra: https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-10-osztaly/a-hegyesszogek-

szogfuggvenyei/oldalak-aranya-a-nevezetes-haromszogekben

8. ábra: http://dload.oktatas.educatio.hu/erettsegi/feladatok2006februar/kozep/k_fiz_06febr_fl.pdf

9. ábra: https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/termeszettudomanyok/fizika/fizika-9-evfolyam/alapfogalmak-

es-jelolesek-a-kinematikaban/a-mozgas-leirasa

10. ábra: https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/termeszettudomanyok/fizika/fizika-9-evfolyam/a-vizszintes-

hajitas/a-vizszintesen-elhajitott-test-sebessege

11. ábra: http://www.rieth.hu/Vilagom/10b_ElektromagnMezo.htm

12. ábra: http://fizika.mechatronika.hu/fizika/magnstatweb/lorentzaramra.htm