TD Nombres Complexes

Terminale S TD - Maths

TD - COMPLEXES 1

I Exercices d’application

Exercice I.1. ⋆ 5 min

Soit z = 4 ei

π

6 . Donner une écriture exponentielle de z, −z, z2 et 1/z.


Soit z = 2− i√3. Déterminer une forme algébrique de z2 et 1/z.


Donner la forme de trigonométrique puis exponentielle de : 1− i ; 6√3 + 6i ; −11i.


Soit z =(−1 + 3i)2

(2− i)4. Calculer |z|.


Résoudre dans C l’équation z +5

z= 2.

Exercice I.6. ⋆ ⋆ 15 min

Soit z =

√2

4

((√3 + 1

)

+(√

3− 1)

i)

.

Calculer z2, déterminer un argument de z2, puis en déduire un argument de z.

Exercice I.7. ⋆ ⋆ 10 minCalculer (1 + i)10 + (1− i)10.


Simplifier le nombre

(

1 + i√3

1− i

)2014

.


On donne les complexes : z1 = −1 + i√3 et z2 = 1 + i.

Écrire la forme trigonométrique de z1, z2 puis de Z =z1z2

.

En déduire les valeurs exactes de cos

(

5π

12

)

et de sin

(

5π

12

)

.

Exercice I.10. ⋆ ⋆ 15 minSoit z un nombre complexe de module 1 : |z| = 1.

Démontrer que le nombre u =1 + z + z2

zest un réel.


1. Identifier a, b et c tels que, pour tout z ∈ C : z4 − 4z3 + 6z2 + 5 = (z2 + 1)(az2 + bz + c).2. En déduire les solutions dans C de l’équation : z4 − 4z3 + 6z2 + 5 = 0.

© 2014 1 http://exos2math.free.fr/

http://exos2math.free.fr/


II Exercices d’entraînement

Exercice II.1. ⋆ ⋆ 30 min

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O;~i,~j), A et A’ sont les points d’affixe

1 et −1, M0 est le point d’affixe z0 = 1 + i. On pose pour tout z non nul : f(z) =1

2

(

z +1

z

)

.

1. Déterminer l’ensemble des complexes z tels que f(z) = z.2. Calculer 1/z0, l’affixe du point N0. Trouver une construction géométrique du point M ′

0

d’affixe f(z0), à partir des points M0 et N0.3. Montrer que si z est de module 1, alors f(z) est réel.4. En déduire que si M est un point du cercle de centre O, de rayon 1, d’affixe z, alors le

point M ′, d’affixe f(z), est sur le segment [AA′] .

Exercice II.2. ⋆ ⋆ ⋆ 45 min

À tout complexe z distinct de 4, on associe : Z =iz − 4

z − 4.

On note A le point d’affixe 4, B le point d’affixe −4i et on considère l’ensemble E des points Mdu plan, distincts de A, tels que Z soit un nombre réel.Le but de cet exercice est de caractériser cet ensemble par deux méthodes différentes.

1. a. En posant z = x+ iy et Z = X + iY , exprimer X puis Y en fonction de x et y.b. Écrire une équation cartésienne de E, puis caractériser E.

2. a. Vérifier queiz − 4

z − 4est réel, si et seulement si, le nombre

z + 4i

z − 4est imaginaire pur.

b. Déterminer les affixes des vecteurs−−−→AM et

−−−→BM .

En déduire que M appartient à (E) si, et seulement si, les vecteurs−−−→AM et

−−−→BM sont

orthogonaux. Conclure.

Exercice II.3. ⋆ ⋆ ⋆ 45 min

Le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O;~i,~j) d’unité graphique 5 cm.

On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 =1 + i

2zn.

On note An le point du plan d’affixe zn.1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est nombre réel.

Placer les points A1, A2, A3 et A4 sur une figure.2. Pour tout entier naturel on pose un = |zn|. Justifier que la suite (un)n∈N est suite géomé-

trique, puis établir que, pour tout entier naturel n, un =

(

1√2

)n

.

3. À partir de quel rang n0 tous les points An, appartiennent-ils au disque de centre O et derayon 0, 1 ?

4. a. Établir que, pour tout entier naturel n,zn+1 − zn

zn+1

= i.

En déduire la nature du triangle OAnAn+1.b. Pour tout entier naturel n on pose ℓn la longueur de la ligne brisée A0A1A2 . . . An−1An.

On a ainsi : ℓn = A0A1 + A1A2 + . . .+ An−1An.Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est est la limite de la suite (ℓn)n∈N ?




III Exercices d’approfondissement

Exercice III.1. ⋆ ⋆ ⋆ 45 min

On considère le nombre complexe a = ei

2π

5 .1. Démontrer que 1 + a + a2 + a3 + a4 = 0.

2. Montrer que a3 = a2, puis a4 = a.3. En déduire que (a + a)2 + (a + a)− 1 = 0.

4. Résoudre dans R l’équation : 4x2 + 2x− 1 = 0.

5. Calculer a+ a et en déduire la valeur de cos

(

2π

5

)

.


1. Soit l’équation (E) : z3 = 1.a. En utilisant la forme exponentielle z = r eiθ, montrer que :

(E) ⇐⇒{

r = 1

θ = k2π

3, k ∈ Z

b. En déduire que (E) admet exactement trois solutions dans C, dont on donnera laforme exponentielle.

2. S’inspirer de la méthode ci-dessus pour résoudre l’équation z8 = 1.3. Soit n un nombre entier naturel non nul, et a un nombre complexe quelconque.

Soit l’équation (E’) : zn = a.a. Montrer que :

(E ′) ⇐⇒

r = n

√

|a|

θ =θ0n

+ k2π

n, k ∈ Z

b. Terminer la résolution de (E’).

c. Résoudre l’équation de z4 = 16i.

Exercice III.3. ⋆ ⋆⋆ ⋆ 20 min

Soit n un entier supérieur ou égal à 3. Simplifiern−1∑

k=0

ei

kπ

n , puis en déduire les sommes :

Cn =n−1∑

k=0

cos

(

kπ

n

)

et Sn =n−1∑

k=0

sin

(

kπ

n

)

.


Déterminer selon la valeur de n ∈ N∗

, la valeur de la somme Sn =

n∑

k=0

ik.

Exercice III.5. ⋆ ⋆ ⋆ 20 minSoit z un nombre complexe tel que : z + |z| = 2 + 8i. Calculer |z|2.



TD Nombres Complexes

Documents

Transcript of TD Nombres Complexes