TÍCH PHÂN HÀM MỘT , , BIẾN & ỨNG DỤNG...06/10/2017 1 BàigiảngToánCao cấp1...

06/10/2017

1

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN & ỨNG DỤNG

CHƯƠNG 4


Định nghĩa nguyên hàm

• Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x)là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu:

• Ví dụ:

, ,F x f x x a b

laø moät nguyeân haøm cuûa

treân

laø moät nguyeân haøm cuûa a treân R.

2tan 1 tan

\ 2 12

lnx x

x x

R n

a a


Tích phân bất định

• Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:

• Được xác định như sau:

• F(x) là một nguyên hàm của f(x).

• C: hằng số tùy ý.

f x dx

f x dx F x C


Tính chất

)

) .

)

i f x dx f x

ii k f x dx k f x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx


Công thức nguyên hàm cơ bản

1. 2.

3. 4.

5. 6.x x

k dx x dx

dx dx

xx

a dx e dx


Ví dụ

• Tính các tích phân sau

2 1

2

2 1. . 3

1

3 1.

x xxa dx b e e dx

x x

x xc dx

x

06/10/2017

2


Ví dụ


3 4

2 5

. cos 2 . 2 1

. 1 .

a x x dx b x dx

c x x dx


Ví dụ


2 1

2

2

0 01 2

2 20 2

) 4 )1

) )1 1

xa x dx b dx

x

dx dxc d

x x x


Ví dụ


) ln ) 2 1 sin

) cos ) arctan

a x xdx b x xdx

c x xdx d x xdx


Tích phân hàm mũ

• Công thức:

• Ví dụ. Tính các tích phân sau:

1

x x

ax b ax b

u u

i e dx e C

ii e dx e Ca

iii e du e C

4

02

4 3

0

) 3 ) 4

) )D a .

x x

I

x Tx

a A e dx b B e x dx

c C xe dx d e dx


Ví dụ

• Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết nó điqua điểm (1;0) và:

• Đáp án:

3xdye

dx

3 22 xy e e


Ví dụ

1. Tìm phương trình đường cong y=y(x) đi quađiểm (2;5) và có hệ số góc là dy/dx=2x tại mọiđiểm.

2. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vịsản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x. Biết chi phícố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) vàtính chi phí để sản xuất ra 20 sản phẩm.

06/10/2017

3


Ví dụ

• Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiếndịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng ngườinghe hàng ngày.

• Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1ngày và nhà quản lý mong muốn số lượng ngườinghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là:S’(t)=60t1/2 người mỗi ngày.

• Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầuchiến dịch.

• Chiến dịch kết thúc khi nào biết rằng đài phátthanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tănglên đến 41.000 người.


Ví dụ

• Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêuthị xác định rằng, đối với một cửa hàng, giá biên tếp’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗituần cho bởi:

• Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giálà 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần là 50 tuýp.

• Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$

• Đáp số:

0,01' 0, 015 xp x e

0,011, 5 3, 44xp x e


Phương trình vi phân

• Tăng trưởng giới hạn

• Tăng trưởng không giới hạn


Phương trình vi phân

• Khái niệm

• Nghiệm của PTVP là hàm số???

2 0,01

2

6 4 ' 400

" ' 5 2

xdyx x y e

dxdy dy

ky y xy x xydx dx


Phương trình vi phân• Bài toán lãi kép liên tục

• Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu

• A là số tiền có được sau thời gian t

• Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm tbất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thờigian đó.

• Ta có mô hình:

• R: hằng số phù hợp

. 0 , 0dA

r A A P A Pdt


Phương trình vi phân• Ta có mô hình:

• Mặt khác:

• Ta có được công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất rvà t là thời gian đầu tư.

1 1.

1ln .rt C

dA dA dAr A r dt rdt

dt A dt A dt

dA rt A rt C A t e eA

00 . .r C rtA e e P A t P e

06/10/2017

4


Luật tăng trưởng theo hàm mũ

• Định lý. Nếu��

��= �� và �(0) = �0 thì � = �0��

• Trong đó:

• Q0: khối lượng tại t=0

• r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối

• t: thời gian

• Q: khối lượng tại thời điểm t

• Chú ý. Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ


Phân rã phóng xạ

• Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giảiNobel Hóa học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật cònsống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được giữ ở mức khôngđổi trong mô của nó.

• Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết, carbon-14 sẽgiảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng vớilượng hiện có. Tốc độ phân rã là 0,0001238

• Ví dụ. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địađiểm khảo cổ ở Châu Phi. Nếu 10% lượng chất phóng xạcacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của xương(làm tròn đến 100 năm).


Tăng trưởng giới hạn

• Trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy …) taluôn giả sử có một mức kỹ năng tối đa có thểđạt được M.

• Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệucủa mức kỹ năng đã đạt được y và mức tối đaM.

• Ta có mô hình

0 0dy

k M y ydt


Tăng trưởng giới hạn

• Một cách tương tự ta có:

1 kty M e


Ví dụ

• Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) màngười đó có thể bơi trong 1 phút sau t giờ luyệntập được xấp xỉ bởi:

• Tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là?

• Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập

0,0450 1 ty e


So sánh tăng trưởng mũ

06/10/2017

5


Tích phân xác định

• Diện tích dưới đườngcong

• Diện tích phần hình đượctô màu là bao nhiêu?

• Tính xấp xỉ bằng tổngdiện tích hình chữ nhật


Diện tích dưới đường cong• Tổng bên trái - Left Sum

• Tổng bên phải – Right Sum

• Ta có: 11,5=L4<Area<R4=17,5


Nhận xét

• Chia đoạn [1;5] thành16 đoạn ta có:

• Chia thành 100 đoạn tacó:

100 10014, 214 14, 545L Area R

16 1613, 59 15, 09L Area R


Đánh giá sai số

• Sai số của xấp xỉ: chênh lệch giữa giá trị thực tếvà giá trị xấp xỉ

• Không thể tính được cụ thể nhưng có thể đánhgiá được nó.

• Ví dụ. Nếu ta xấp xỉ diện tích cần tính bằng L16

thì sai số tối đa bao nhiêu?


Định lý

• Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu trên đoạn [a,b]

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau.

• Lấy Ln hoặc Rn để xấp xỉ diện tích bị chặn bởihàm f, trục 0x và 2 đường thẳng x=a; x=b

• Chặn trên của sai số là:

.b a

f b f an


Ví dụ

• Cho hàm số � � = 9 − 0,25�2

• Ta cần tính diện tích hình dưới f(x) từ x=2 đếnx=5.

• A) Vẽ đồ thị hàm số trong khoảng [0;6] và vẽcác hcn trái, phải trong đoạn [2;5] với n=6

• B) Tính L6; R6 và sai số khi xấp xỉ

• C) Để sai số xấp xỉ không quá 0,05 thì n tốithiểu là bao nhiêu?

06/10/2017

6


Tổng tích phân

• Cho hàm số f(x) xác định trên [a;b]

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau với cácđiểm chia như sau:

• Khi này:0 1 2

...n

a x x x x b

0 1 1 11

1 21

. . ... . .

. . ... . .

n

n n kkn

n n kk

L f x x f x x f x x f x x

R f x x f x x f x x f x x


Tổng Riemann

• Ta có:

• ck là điểm thuộc các khoảng [xk-1;xk]

1 21

. . ... . .n

n n kk

S f c x f c x f c x f c x


Một số tổng quan trọng

1 1 1

1 1 1 1 1 1

2

1 12

3

1

) . )

) )

1 1 2 1) )

2 6

1)

2

n n n

i ii i in n n n n n

i i i i i i i ii i i i i i

n n

i i

n

i

a C n C b Ca C a

c a b a b d a b a b

n n n n ne i f i

n ng i


Ví dụ

• Tính tổng Riemann cho hàm số � � = �3 − 6�trên đoạn [0;3] với n=6 và ck là điểm biên bênphải của mỗi đoạn.

• Lập tổng Riemann cho hàm số trên trongtrường hợp tổng quát và tính giới hạn của tổngđó khi n∞



• Định lý. Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [a,b]khi này tổng Riemann trên đoạn [a,b] có giớihạn hữu hạn I khi �

∞

• Giới hạn này được gọi là tích phân xác định củahàm số f(x) trên đoạn [a,b]

• Ký hiệu:

b

a

I f x dx

1

limb n

knka

f x dx f c x



1

n

ki

f c x

b ax

n

06/10/2017

7


Ý nghĩa hình học

• Là tổng tích lũy của các diện tích đại số giữa đồthị hàm f, trục Ox và 2 đường thẳng x=a, x=b.


Tích phân xác định• Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:

(nếu giới hạn này tồn tại).

• Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b].

• Một số chú ý.

1

limb n

knia

f x dx f c x


Chú ý

: daáu tích phaân : haøm laáy tích phaân

: caùc caän laáy tích phaân : bieán ñoäc laäp .

Tích phaân laø moät soá, khoâng phuï thuoäc vaøo .

Toång Riemann: *

1

,b

ab b b

a a an

ii

f x

a b dx x

f x dx x

f x dx f t dt f r dr

f x x


Ví dụ• Tính tích phân:

• Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau

• Lập tổng tích phân với ck là các điểm bên phải.

• Ta có:

b

x

a

e dxb a

x hn

2 .

1 1.

1 .

. . ...

1. e 1 ... .

1

n na h a h a n h

ki i

n hn ha h h a h

h

f c x f a i h h h e e e

eS h e e e h

e

. . 11

a h b a

h

hS e e

e


Ví dụ• Cho n tiến đến vô cùng ta có:

• Như vậy:

0

. . 11

1

a h b a

h

n a b a b a

h

hS e e

eS e e e e

b

x b a

a

e dx e e


Ví dụ 2

• Tính diện tích miền có diện tích bằng giới hạndưới đây (không tính giới hạn)

10

1

1

2 2) lim 5

) lim tan4 4

n

ni

n

ni

ia

n n

ib

n n

06/10/2017

8


Ví dụ

• Biểu diễn tích phân sau dưới dạng tổngRiemann. Không tính giới hạn

6 10

52 1

106

0 2

) ) 4ln1

) sin 5 )

xa dx b x x dx

x

c xdx a x dx


Ví dụ

• Biểu diễn tổng sau dưới dạng tích phân xácđịnh trên khoảng cho trước.

2

1

1

2

1

2 5* *

1

) lim ln 1 , 2; 6

cos) lim , ; 2

) lim 2 , 1; 8

) lim 4 3 6 , 0; 2

n

i inin

i

ni in

i inin

i ini

a x x x

xb x

x

c c c x

d x x x


Tính chất cơ bản

Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a;b] khi đó:

• Hàm (α.f+β.g) cũng khả tích trên [a;b]

• Hàm f.g cũng khả tích trên [a;b]

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx


Tính chất

• Tính chất cộng. Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] và [c;b].Nếu f(x) khả tích trên đoạn lớn nhất thì nó cũngkhả tích trên các đoạn còn lại và:

• Tính khả tích và giá trị của tích phân không thayđổi nếu ta thay đổi giá trị hàm số tại một sốhữu hạn điểm.

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx


Tính chấtCho hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]. Ta có:

Hệ quả:

) 0 ; 0

) 0 ; 0

) ;

b

a

b

a

b b

a a

i f x x a b f x dx

ii f x x a b f x dx

iii f x g x x a b f x dx g x dx

b b

a a

f x dx f x dx


Tính chất

• Nếu

• thì:

• Ví dụ. Chứng minh rằng:

, ,m f x M x a b

b

a

m b a f x dx M b a

21

0

11xe dx

e

06/10/2017

9


Định lý giá trị trung bình

• Giả sử f(x) khả tích trên [a;b] và giả sử:

• Khi này tồn tại µ sao cho

• Và:

• Hệ quả. Nếu f liên tục trên [a;b] thì tồn tại c thuộc[a;b] sao cho:

min maxm f M f m M

.b

a

f x dx b a

.b

a

f x dx f c b a


Công thức đạo hàm theo cận trên

• Cho hàm f(x) khả tích trên [a;b]. Với a<x<b đặt:

• Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì:

• Hàm �(�) liên tục trên [a;b]

x

a

x f t dt

x f x


Chứng minh

• Ta có:

• Mặt khác:

• Vậy:

x h x x h

a a x

x h x f t dt f t dt f t dt

. ;x h

x

f t dt f c h h c h x x h

0

.h

f c h hx h xf c h f x

h h


Công thức Newton - Leibnitz

• Định lý. Cho f liên tục trên [a;b] và F(x) là mộtnguyên hàm của f(x) thì:

• Tại sao lại thế???

b

b

aa

f x dx F b F a F x


Ví dụ

• Tính chính xác diện tích dưới đường cong y=1-x2, giữa x=0,5 và x=1 và trục Ox.

• Giải.

• Ta có:

11 3

2

0,5 0,5

3 3

13

1 0, 51 0, 5 0, 2083333 3

xS x dx x


Ví dụ

• Tính chính xác diện tích dưới đường congy=x2+1, giữa x=0 và x=4 và trục Ox.

• Giải.

• Ta có:

44 3

2

0 03 3

13

4 0 764 0

3 3 3

xS x dx x

06/10/2017

10


Tích phân hàm đối xứng

• Cho f liên tục trên [-a; a].

i) Neáu f laø haøm chaün thì:

ii) Neáu f laø haøm leû thì:0

2

0

a a

a

a

a

f x dx f x dx

f x f

f x f x

f x dx

x


Một số ứng dụng của tích phân

• Tính chiều dài của một cung

• Diện tích hình phẳng

• Thể tích khối tròn xoay

• Giá trị trung bình của hàm số


Chiều dài của cung

• Định lý. Nếu f’(x) liên tục trên [a,b] thì chiều dàicủa dây cung y=f(x) trên đoạn [a,b] là:

• Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x3 từ điểm (1;1)đến điểm (4;8)

2

1 'b

a

L f x dx

180 10 13 13

27L


Chiều dài của cung

• Định lý. Nếu đường cong có phương trình dạngx=g(y) và g’(y) liên tục trên [c,d] thì chiều dàicủa đường cong trên đoạn [c,d] là:

• Ví dụ. Tìm độ dài cung của y2=x từ điểm (0;0)đến điểm (1;1)

2

1 g'd

c

L y dy

ln 5 25

2 4L


• Xung quanh Ox nếu y=f(x) có dấu tùy ý

• Xung quanh Oy nếu x=g(y) có dấu tùy ý

Diện tích mặt tròn xoay

2

2 1 'b

a

A f x f x dx

2

2 1 'd

c

A g y g y dy


Ví dụ

1) Tính diện tích mặt tạo nên khi xoay đườngparabol y=x2 từ điểm (1;1) đến (2;4)

• A) Quanh trục Oy.

• B) Quanh trục Ox

2) Tính diện tích của mặt cầu bán kính R

06/10/2017

11


Giá trị trung bình của hàm số

• Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

• Giá trị trung bình của hàm f là:

1

b

a

f x dxb a


Ví dụ

• 1) Tìm giá trị trung bình của hàm f(x)=x-3x2 trênđoạn [-1;2]

• 2) Cho hàm cầu như sau:

• Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầutrong đoạn [40, 60]

• Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$.

1 0,05100 QP D Q e


Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Tìm hàm khi biết hàm cận biên. Giả sử tìm hàmchi phí, hàm doanh thu.

• Xác định quỹ vốn K(t) khi biết hàm đầu tư I(t)

• Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất



• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biênlà:

• Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200.

290 120 27MC Q Q Q



• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biênlà:

• Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí.

2 350 18 45 4MC Q Q Q Q



• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cậnbiên là:

• Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giátheo sản lượng.

23 8 30MR Q Q Q

06/10/2017

12



• Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:

• Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4(triệu đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượngtheo giá.

3 24 3 24 15MR P P P P


Tích phân trong phân tích kinh tế

• Ví dụ 1. Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mứcsản lượng Q là MC=8e0,2Q và chi phí cố định làFC=50. Xác định hàm tổng chi phí và chi phí khảbiến

• Ví dụ 2. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗimức sản lượng Q là MR=50-2Q-3Q2. Xác địnhhàm tổng doanh thu.


Xác định quỹ vốn

• Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) và quỹvốn K là hàm theo biến thời gian t.

• Ta có: I=I(t); K=K(t)

• Giữa quỹ vốn và đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư tạithời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn tại thời điểmđó)

I(t)=K’(t)

• Vậy nếu biết hàm đầu tư I(t) thì ta xác định hàm quỹvốn như sau:

K t K t dt I t dt Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Tích phân trong phân tích kinh tế

• Ví dụ 3. Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đô lamột tháng) và quỹ vốn tại thời điểm t=1 làK(1)=10 (nghìn đô la). Hãy xác định hàm quỹvốn K(t) và lượng vốn tích lũy được từ tháng 4đến tháng 9


Thặng dư tiêu dùng

• Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế củangười mua.

• Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế của ngườibán.

• Mức sẵn lòng trả là mức giá tối đa mà người mua chấpnhận mua sản phẩm.

• Đây là mức giá trị mà người mua đánh giá một sảnphẩm hay dịch vụ,

• Thặng dư tiêu dùng là mức sẵn lòng trả của người muatrừ đi mức giá mà họ thực sự trả.


Thặng dư tiêu dùng

• Consumer’s Surplus

• Nếu (� �; � �) là điểm trên đường cầup=D(x) khi này thặng dư tiêu dùng CS tại mức giá � � là:

• CS thể hiện tổng tiết kiệm của ngườitiêu dùng sẵn sàng trả mức giá lớnhơn � �cho sản phẩm nhưng vẫn muađược sản phẩm ở mức giá � � .

0

x

CS D x p dx

0

1

0

.

.

x

Q

CS D x dx x p

CS D Q dQ Q P

06/10/2017

13


Thặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Thặng dư sản xuất là mức giá người bán đượctrả trừ đi chi phí cho sản phẩm.

• Đây là lợi ích của người bán khi tham gia thịtrường.


Thặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Nếu (� �; � �) là điểm trên đường cungp=D(x) khi này thặng dư sản xuất PS tại mức giá � � là:

• PS thể hiện tổng tăng thêm của nhàsản xuất sẵn sàng cung cấp sản phẩmở mức giá thấp hơn � � nhưng vẫn bánđược sản phẩm ở mức giá � � .

0

x

PS p S x dx

0

1

0

.

.

x

Q

PS x p S x dx

PS Q P S Q dQ


Thặng dư tiêu dùng và sản xuất khi cân bằng thị trường

Producersurplus

Consumersurplus

Price

0 Quantity

Equilibriumprice

Equilibriumquantity

Supply

Demand

A

C

B

D

E


Ví dụ

• Cho các hàm cung và hàm cầu:

• Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặngdư của người tiêu dùng.

2 1 ; 43 2.S DQ P Q P


Ví dụ

• Sản lượng cân bằng �� là nghiệm của pt:

• Thặng dư của nhà sản xuất:

• Thặng dư người tiêu dùng:

1 1 3( ) ( )

18

QD Q S Q

P

3

2

0

18.3 1 2 27PS Q dQ

3

2

0

43 2 18.3CS Q dQ


Ví dụ1) Tìm thặng dư tiêu dùng tại mức giá 8$ biết hàm cầu

đảo có phương trình:

2) Tìm thặng dư sản xuất tại mức giá 20$ biết hàm cungđảo có phương trình:

3) Tìm mức giá cân bằng và tìm thặng dư tiêu dùng,thặng dư sản xuất tại mức giá tiêu dùng nếu biết:

1 20 0,05P D Q Q

1 22 0,0002P S Q Q

1 1 220 0,05 ; 2 0,0002D Q Q S Q Q

06/10/2017

14


Dòng thu nhập liên tục

• Continuous Income Stream

• Cho f(t) là tốc độ của một dòng thu nhập liên tục, khiđó tổng thu nhập thu về trong khoảng thời gian từ ađến b là:

b

a

Total Income f t dt


FV của dòng thu nhập liên tục

• Theo công thức lãi kép liên tục:

• Nếu dòng thu nhập liên tục được đầu tư với mức lãisuất r, ghép lãi liên tục thì giá trị tương lai của dòngthu nhập liên tục này sau T năm là???

• Chú ý.

– Trong công thức lãi kép liên tục thì P là cố định

– Chỉ tính cho một khoản đầu tư P duy nhất

– Làm sao tính tổng thu nhập cho một dòng thu nhập liên tục.

rtA Pe


FV của dòng thu nhập liên tục

• Nếu f(t) là tốc độ dòng thu nhập đều liên tục.

• Giả sử thu nhập được đầu tư liên tục với mứclãi suất r, ghép lãi liên tục.

• Khi này, giá trị tương lai của cả dòng thu nhậpsau T năm đầu tư là:

0 0

T Tr T t rT rtFV f t e dt e f t e dt


Ví dụ• Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu về từ một máy bán hàng

tự động cho bởi:

• Trong đó t (năm) là thời gian tính từ thời điểm lắp máy.• A) Tìm tổng lợi nhuận nhập của máy sau 5 năm tính từ

khi lắp đặt.• B) Giả sử lợi nhuận của máy được đầu tư liên tục với lãi

suất 12%. Tính giá trị tương lai của tổng lợi nhuận củamáy sau 5 năm.

• C) Tìm tổng lãi thu về của dòng lợi nhuận của máy sau 5năm đầu tư.

0,045000 tf t e

TÍCH PHÂN HÀM MỘT , , BIẾN & ỨNG DỤNG...06/10/2017 1 BàigiảngToánCao cấp1...

Documents

Transcript of TÍCH PHÂN HÀM MỘT , , BIẾN & ỨNG DỤNG...06/10/2017 1 BàigiảngToánCao cấp1...