シリーズ・６年上・第１２回

基本問題・練習問題のくわしい解説

折り返し問題…・折る前と折った後は，長さや角度が変わらない。・二等辺三角形がよく表れる。

・おうぎ形の折り返し問題…正三角形が表れる。・「えんぴつ形」に慣れましょう・「クロス形」や「ピラミッド形」に慣れましょう。・長さの縮尺と面積の縮尺の違いに注意しましょう。・面積のグラフの見方をマスターしましょう。・シャドウマンの考え方に慣れましょう。・とにかく，図をできるだけ正確に書きましょう。

目 次

基本 1 (1)…p.1 練習 1 …p.17基本 1 (2)…p.2 練習 2 (1)…p.19基本 1 (3)…p.3 練習 2 (2)…p.20基本 1 (4)…p.4 練習 2 (3)…p.21基本 1 (5)…p.5 練習 3 (1)…p.22基本 1 (6)…p.6 練習 3 (2)…p.23基本 1 (7)…p.7 練習 3 (3)…p.25基本 1 (8)…p.8 練習 4 (1)…p.27基本 2 (1)…p.9 練習 4 (2)…p.29基本 2 (2)…p.10 練習 5 (1)…p.30基本 3 (1)…p.11 練習 5 (2)…p.31基本 3 (2)…p.12 練習 6 (1)…p.33基本 4 (1)…p.13 練習 6 (2)…p.34基本 4 (2)…p.14 練習 6 (3)…p.35基本 4 (3)…p.15

すぐる学習会

- 1 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 1 (1)

ワンポイント 折り返し問題の基本をしっかりマスターしましょう。

折り返し問題には，次のようなきまりがあります。

・折る前と折った後は，図形の長さや角度が変わらない。・図形の中に，二等辺三角形や正三角形があらわれることが多い。

この問題の場合も，右の図のかげをつけた三角形は二等辺三角形です。

なぜなら，右の図の太線はゼット形をしているので，●と●は等しく，

右の図の●と●は，折る前・折った後の関係なので等しいので，

右の図の●と●は等しくなるのです。○の角の大きさは４０度ですから，

χの角である●の角の大きさは，（１８０－４０）÷２＝７０（度）になります。

40°χ

40°

40°

40°

- 2 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 1 (2)

ワンポイント 折り返し問題の基本をしっかりマスターしましょう。

折り返し問題には，次のようなきまりがあります。

・折る前と折った後は，図形の長さや角度が変わらない。・図形の中に，二等辺三角形や正三角形があらわれることが多い。

右の図において，χが２つあるのは，折る前と折った後で，角度は変わらないからです。

●の角の大きさは，正三角形の１つの角は６０度だからです。

アの三角形において，外角の定理により，●と○の和は１０２度になります。

また，イの三角形において，外角の定理により，●と○の和は，χが２こぶんになります。

よって，χ２こぶんが１０２度になるので，χの大きさは，１０２÷２＝５１（度）になります。

102°

χ

ア

イ χ

- 3 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 1 (3)

ワンポイント クロス形を探します。

四角形ＡＢＣＤは，１辺が１２cmの正方形です。ＢＥ：ＥＣ＝２：１ ですから，ＥＣの長さは，

１２÷（２＋１）＝４（cm）で，ＢＥの長さは，４×２＝８（cm）です。

右の図の太線部分はクロス形で，長さの比は，１２：８＝３：２です。

よって，ＡＦ：ＦＥも，３：２です。

三角形ＡＢＦと三角形ＦＢＥの面積の比も，３：２ になります。

右の図の斜線部分の面積は，８×１２÷２＝４８（cm2）です。よって，三角形ＡＢＦの面積は，４８÷（３＋２）×３＝２８.８（cm2）になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

12cm

12cm

8cm 4cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

12cm

12cm

8cm 4cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

12cm

12cm

8cm 4cm

３

２

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

12cm

12cm

8cm 4cm

３

２③

②

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

12cm

12cm

8cm 4cm

③

②

- 4 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 1 (4)

ワンポイント クロス形がないときは，補助線を書いてクロス形を作りましょう。

ＤＥ：ＥＣ＝３：１ ですから，ＤＥの長さを３，ＥＣの長さを１とします。ＡＢの長さは，３＋１＝４ になります。

また，ＡＦ：ＦＤ＝１：１ ですから，ＡＦの長さも，ＦＤの長さも，１とします。ＢＣの長さは，１＋１＝２ になります。

点Ｆから真下に線を引くと，右の図の太線のようなクロス形ができます。ＢＧ：ＧＦは，４：アと同じですから，アの

長さがわかれば，答えを求めることができます。

ＡＦ：ＦＤ＝１：１ ですから，アの長さはＤＥの長さである３の，半分です。

よって，アの長さは，３÷２＝１.５ です。

４：ア を求めればよかったのですから，４：１.５＝８：３ になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

Ｇ ３

１

４

１ １

２

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

Ｇ ３

１

４

１ １

２

ア

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ

Ｆ

３

１

４

１ １

２

ア

- 5 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 1 (5)

ワンポイント 縮尺の使い方と，単位の直し方に注意しましょう。

1実際の長さを にした長さが６cmですから，実際の長さは，６cmの25000倍です。

25000

実際の長さは，６×25000＝150000（cm）です。

１ｍは100cmですから，150000cmは，1500ｍです。

また，１kmは1000ｍですから，1500ｍは，1.5 kmです。

正方形の土地の１辺の長さが1.5 kmですから，面積は，1.5×1.5＝2.25（km2）になります。

- 6 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 1 (6)

ワンポイント ずん，ずん，…と増えるイメージで長さを求めます。

右の図の○の長さはみな同じなので，太線の部分ア，イ，ウは，アの２倍がイ，アの３倍がウ，…のように増えていきます。

ウの長さが６cmですから，アの長さは，６÷３＝２（cm）です。イは，アの２倍ですから，２×２＝４（cm）

です。

同じように考えて，右の図の太線の部分エ，オは，エがオの２倍になっています。

エは６cmですから，オの長さは，６÷２＝３（cm）です。

よって，右の図のカの長さは，６－（２＋３）＝１（cm）になり，★の三角形の面積は，１×４÷２＝２（cm2）になります。また，キの長さは，６－４＝２（cm）に

なり，☆の三角形の面積は，４×２÷２＝４（cm2）になります。

したがって，斜線部分の面積の和は，２＋４＝６（cm2）になります。

4cm 4cm 4cm

6cm

○ ○ ○

アイ

ウ

4cm 4cm 4cm

6cm4cm

2cm

6cm エ

オ

4cm 4cm 4cm

6cm4cm

2cm

6cm

3cm

カ

キ

★

☆

- 7 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 1 (7)

ワンポイント ＰＱがＡＢと平行になったときの図を書いてみましょう。

Ｐは毎秒３cmでＱは毎秒１cmで，Ｐの方が速いので，右の図のようになって，直線ＰＱが辺ＡＢと平行になります。

直線ＰＱが辺ＡＢと平行になるまでに，ＰはＢで折れ曲がって進みました。辺ＡＢをたおして，

右の図のようにすると，ＰはＱよりも１８cmうしろからスタートして，何秒後にＰがＱに追いつくかを求める問題になります。

Ｐは毎秒３cm，Ｑは毎秒１cmですから，１８÷（３－１）＝９（秒後）に

なります。

30cm

18cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｐ

Ｑ

30cm

18cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｐ

Ｑ

18cm

30cm

18cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｐ

Ｑ

18cm

- 8 -

基本 1 (8)

ワンポイント 比を利用して問題を解きます。

右の図の☆の三角形は，底辺が８cmです。高さをアにします。（アは，多少ななめになっていますが，高さであると考えても，ちゃんと答えが求められます。）

また，★の三角形は，底辺が１２cmです。高さを，イにします。

☆と★の三角形の底辺の比は，８：１２＝２：３ です。☆と★は面積が等しいのですから，高さの比は逆比になって，３：２です。

よって，ア：イが３：２になるのですから，アの長さは，７÷（３＋２）×３＝４.２（cm）です。

Ｐは毎秒１cmで動くのですから，アが４.２cmになるのは，４.２÷１＝４.２（秒後）になります。

8cm

12cm

7cmア

イ

☆

★

- 9 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 2 (1)

ワンポイント 補助線を引きましょう。おうぎ形の補助線の引き方はいつも同じです。

折り返し問題には，次のようなきまりがあります。

・折る前と折った後は，図形の長さや角度が変わらない。・図形の中に，二等辺三角形や正三角形があらわれることが多い。

この問題は，補助線を１本引くことによってわかります。おうぎ形の補助線は，おうぎ形の中心から引けば，９９.９％ＯＫです。

右の図のように補助線を引けば，この補助線は半径になっています。

右の図の太線も半径なので，同じ長さです。また，この半径は，折ったたために，

右の図の太線部分にきました。折っても長さは変わらないので，この太線の長さも

半径と同じです。

右の図の太線の長さはすべて等しくなり，太線でかこまれた三角形は正三角形になります。右の図の●と●は，折る前・折った後の関係に

ありますから，同じ角度です。正三角形の１つの角の大きさは６０度ですから，

χの角の大きさは，６０÷２＝３０（度）になります。

χ

98°

ｙ

χ

98°

ｙ

χ

98°

ｙ

χ

98°

ｙ

- 10 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 2 (2)

ワンポイント 「二等辺三角形をさがす」ことは，折る問題の基本中の基本です。

ｙの角の大きさを，角アから角イを引くことによって求めてみます。

太線でかこまれた三角形は正三角形ですから，★は，９８－６０＝３８（度）です。

右の図の太線でかこまれた三角形は，（半径と半径は等しいので）二等辺三角形です。よって，アは，（１８０－３８）÷２＝７１（度）です。

右の図において，辺ＯＤを折り返したのが辺ＢＤですから，辺ＯＤと辺ＢＤの長さは等しいです。

よって，右の図の太線でかこまれた三角形は，二等辺三角形になります。イは，３８度です。

右の図のアは７１度，イは３８度ですから，ｙは，７１－３８＝３３（度）になります。

イ

98°

ｙ

ア★

38°

ア

イ

38°

Ｂ

Ｄ Ｏ

イｙ

ア38°

- 11 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 3 (1)

ワンポイント ずん，ずん，…と増えるイメージで長さを求めます。

右の図の太線の長さに注目します。１５cmは，５cmの３倍になっています。

右の図のような，１０cmの長さの太線を想像すると，５cm，（５cmの２倍の）１０cm，（５cmの３倍の）１５cm，…となります。

よって，右の図の の長さは等しくなり，

ＡＥとＥＢの長さの比は，１：２であることがわかります。

よって，右の図のア，イ，ウの長さも，イはアの２倍，ウはアの３倍になります。

ウは６cmですから，アは，６÷３＝２（cm）です。

したがって，ＥＦの長さであるイは，２×２＝４（cm）になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ ＧＦ

15cm

6cm

5cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ ＧＦ

15cm

6cm

5cm

10cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ ＧＦ

15cm

6cm

5cm

10cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ ＧＦ

15cm

6cm

5cm

10cm

ア

イ

ウ

- 12 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 3 (2)

ワンポイント 底辺の比と高さの比がわかれば，面積の比もわかります。

右の図の，三角形ＢＥＦは，底辺が４cmで，

高さは が２個ぶんです。

三角形ＤＦＧは，底辺が５cmで，高さは が

１個ぶんです。

よって，三角形ＢＥＦと三角形ＤＦＧの面積の比は，（４×２÷２）：（５×１÷２）＝４：２.５＝８：５ になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｅ ＧＦ

15cm

6cm

5cm

10cm

ウ

4cm

- 13 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 4 (1)

ワンポイント グラフの折れ曲がり部分に，記号を書いていきましょう。

Ｐは，Ｂを出発し，Ｃ，Ｄを通って，Ａまで動きます。

グラフが途中で折れ曲がっているのは，ＰがＣやＤで進む向きを変えたからです。そこで，グラフの折れ曲がり部分に，そのと

きのＰの位置を書き込んでいきます。

台形ＡＢＣＤの４辺のうち，長さがわかっているのはＤＡの長さで，１５cmです。

ＰがＤを通るのは出発してから１２秒後，Ａを通るのは２２秒後ですから，Ｐは ２２－１２＝１０（秒間）で，１５cm進んだことになります。

よって，Ｐの秒速は，１５÷１０＝１.５（cm）になります。

15cm

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ｐ

15cm

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ｐ

15cm

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ｐ

15cm

Ａ Ｂ

ＣＤ

Ｐ

0 8 12 22

90

（秒）

（cm ）2

ＡＢ

Ｃ Ｄ

0 8 12 22

90

（秒）

（cm ）2

ＡＢ

Ｃ Ｄ

15cm

Ａ Ｂ

ＣＤ

- 14 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 4 (2)

ワンポイント 面積を利用します。

(1)で，点Ｐの速さは，毎秒１.５cmであることがわかりました。

点ＰはＢを出発して，８秒後にＣを通りました。点Ｐは毎秒１.５cmなの

で，ＢＣの長さは，１.５×８＝１２（cm）です。

ところで，このグラフは三角形ＰＡＢの面積のグラフです。

ＰがＣにきたときの三角形ＰＡＢは，右の図の斜線部分です。

この面積が９０cm2ですから，底辺である辺ＡＢの長さを にすると，

×１２÷２＝９０

よってＡＢの長さは，９０×２÷１２＝１５（cm）になります。

0 8 12 22

90

（秒）

（cm ）2

ＡＢ

Ｃ Ｄ

15cm

Ａ Ｂ

ＣＤ

0 8 12 22

90

（秒）

（cm ）2

ＡＢ

Ｃ Ｄ

15cm

Ａ Ｂ

ＣＤ

12cm

Ｐ

- 15 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

基本 4 (3)

ワンポイント グラフを利用します。

(1)，(2)で，点Ｐの速さは，毎秒１.５cmであることや，ＢＣ＝１２cm，ＡＢ＝１５cmであることがわかりました。

まだＣＤの長さを求めていないので，求めてから問題を解いていきましょう。

ＰがＣを通るのは８秒後，Ｄを通るのは１２秒後ですから，ＣからＤまでは，１２－８＝４（秒）かかります。Ｐは毎秒１.５cmですから，ＣＤの長さは，１.５×４＝６（cm）です。

よって，台形ＡＢＣＤの面積は，（６＋１５）×１２÷２＝１２６（cm2）です。

１よって，台形ＡＢＣＤの面積の は，１２６÷２＝６３（cm2）です。

２あとは，グラフをよく見て，解いていきましょう。

面積が６３cm2になるのは，右のグラフのア，イのように，２回あります。

（次のページへ）

0 8 12 22

90

（秒）

（cm ）2

ＡＢ

Ｃ Ｄ

15cm

Ａ Ｂ

ＣＤ

12cm

15cm

15cm

Ａ Ｂ

ＣＤ

12cm

15cm

6cm

0 8 12 22

90

（秒）

（cm ）2

ＡＢ

Ｃ Ｄ

63

ア イ

- 16 -

１回目は，右のグラフの太線部分の上がり方を考えます。０秒から８秒までの８秒間で，９０cm2増え

ました。１秒あたり，９０÷８＝１１.２５（cm2）

ずつ増えます。面積が６３cm2になるのは，

６３÷１１.２５＝５.６（秒後）です。

２回目は，右のグラフの太線部分の下がり方を考えます。１２秒から２２秒までの ２２－１２＝１０

（秒間）で，９０cm2減りました。１秒あたり，９０÷１０＝９（cm2）ずつ減り

ます。面積が６３cm2になるためには，１２秒後で

あるＤの位置で９０cm2だったのですから，Ｄのときよりも ９０－６３＝２７（cm2）だけ減らさなければなりません。１秒間に９cm2ずつ減るのですから，２７÷９＝３（秒）かかります。１２秒のときの３秒後ですから，１２＋３＝１５（秒後）になります。

0 8 12 22

90

（秒）

（cm ）2

ＡＢ

Ｃ Ｄ

63

ア イ

0 8 12 22

90

（秒）

（cm ）2

ＡＢ

Ｃ Ｄ

63

ア イ

- 17 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 1

ワンポイント 折り返し問題の基本をしっかりマスターしましょう。

折り返し問題には，次のようなきまりがあります。

・折る前と折った後は，図形の長さや角度が変わらない。・図形の中に，二等辺三角形や正三角形があらわれることが多い。

この問題の場合は，右の図のかげをつけた部分の三角形は，２つとも二等辺三角形になります。

なぜなら，右の図において，折る前のアの角は，折った後はイになるので，ア＝イ だし，ゼット形なので，ア＝ウ ですから，イ＝ウとなります。よって，かげをつけた三角形のうち，左側の

方の三角形が，二等辺三角形であることがわかりました。

また，折る前のエの角は，折った後はオになるので，エ＝オ だし，ゼット形なので，エ＝カ ですから，オ＝カ となります。よって，かげをつけた三角形のうち，右側の方の三角形も，二等辺三角形であること

がわかりました。

よって，右の図のように角度を書きこむことができます。

また，この紙テープは長方形の形をしていますから右の図の●のところは，すべて直角になっています。したがって，２つの〇の角も，直角です。

（次のページへ）

78° χ

ア エオイ

ウ カ

78° χ78° χ

78° χ78° χ

- 18 -

右の図において，キは １８０－７８×２＝２４（度）です。クも２４度です。ケは １８０－（２４＋９０）＝６６（度）です。コも６６度です。

したがって，χは，（１８０－６６）÷２＝５７（度）になります。

78° χ78° χ

キク ケ

コ

- 19 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 2 (1)

ワンポイント 相似図形を探しましょう。

右の図のかげをつけた台形を折り返したのが斜線をつけた台形です。よって，アの長さは，辺ＥＤが折り返された

辺なので，２０cmです。

よって，三角形ＡＥＦにおいて，ＡＦ：ＡＥ：ＥＦ＝１２：１６：２０＝３：４：５にります。

三角形ＡＥＦの，直角以外の角を，右の図のように●，×にすると，●と×の角度の和は９０度です。また，右の図の●とイの角度の和も９０度ですから，

イは×と同じ大きさの角度です。

よって，右の図のウの角度は●となるので，三角形ＢＦＧは，三角形ＡＥＦと相似になります。

ＢＧ：ＦＢ：ＦＧ＝３：４：５ です。ＦＢは１２cmですから，ＢＧの長さは，

１２÷４×３＝９（cm）になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

ア

12cm

イ

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

20cm

12cm

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

20cm

12cm

ウ

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

20cm

12cm

③

④⑤

- 20 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 2 (2)

ワンポイント 折る前と折った後では，辺の長さは変わりません。

(1)で，ＢＧの長さは９cmであることがわかりました。同じようにして，ＦＧの長さは，

１２÷４×５＝１５（cm）です。

(2)は，ＧＨの長さを求める問題ですが，右の図の太線の長さがわかれば，ＦＧの長さである１５cmを引けば，ＧＨの長さになります。

ところで，右の図のかげの部分の台形を折り返したのが，斜線の部分の台形ですから，辺ＦＨは，辺ＤＣを折り返した辺です。辺ＤＣの長さは，１２＋１２＝２４（cm）

なので，辺ＦＨの長さも２４cmです。

よってＧＨの長さは，２４－１５＝９（cm）になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

20cm

12cm

③

④⑤

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

20cm

12cm 15cm

9cm

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

20cm

12cm 15cm

9cm

- 21 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 2 (3)

ワンポイント 折る前と折った後では，辺の長さは変わりません。

(1)，(2)で，右の図のようにいろいろな長さがわかりました。

右の図の太線の２つの三角形は，３つの角の大きさが同じで，しかもＢＧとＨＧの長さが等しいので，合同です。

よって，右の図のエの長さは１２cm，オの長さは１５cmです。

求めたいのは，四角形ＥＦＧＩの面積です。右の図の太線部分の台形の面積から，★の

三角形の面積を引けば，四角形ＥＦＧＩの面積になります。

太線部分の台形は，上底が２０cm，下底が１２cm，高さは １５＋９＝２４（cm）ですから，面積は，（２０＋１２）×２４÷２＝３８４（cm2）です。

★の三角形の面積は，９×１２÷２＝５４（cm2）です。

よって，四角形ＥＦＧＩの面積は，３８４－５４＝３３０（cm2）になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

20cm

12cm 15cm

9cm 9cm

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

20cm

12cm 15cm

9cm 9cmエ

オ

Ａ

Ｂ Ｃ

ＤＥ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

Ｉ

12cm

20cm16cm

20cm

12cm 15cm

9cm12cm

15cm

9cm★

- 22 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 3 (1)

ワンポイント 点Ｐと点Ｑがどのような位置にくれば台形になるかを考えましょう。

台形になるためには，向かい合った１組の辺が，平行になる必要があります。

右の図のように，辺ＰＱが辺ＡＢと平行になれば，四角形ＡＢＱＰは台形になります。

３０cmはなれたところから，点Ｐは毎秒４cmで，点Ｑは毎秒２cmで，向かい合って進んでいって，出会うのは何秒後か，という問題と同じです。

よって，３０÷（４＋２）＝５（秒後）になります。

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｑ

Ｂ

Ａ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｑ

Ｂ

ＡＰ

Ｑ

④

②

- 23 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 3 (2)

ワンポイント シャドウマンの考え方に慣れましょう。

このような問題では，点Ｐ，点Ｑ，点Ｒの他に，シャドウ（影）の点として，点Ｓを考えます。

点Ｓは，たとえば点Ｐと点Ｒが，右の図のように動いたときに，

直線ＰＲと直線ＥＦの交わった点を，Ｓとするのです。

点Ｐと点Ｒが動くことによって，点Ｓも下の図のように動いていきます。

点Ｐは毎秒４cm，点Ｒは毎秒１cmなので，点Ｐと点Ｒの進んだ長さをそれぞれ④，①としたときに，点Ｓがどれだけ進んだかが，点Ｓの秒速になります。

ＡＥは４cm，ＥＢはＡＥの２倍の８cmですから，右の図のようにすることができます。

（次のページへ）

ＦＥ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

ＳＦＥ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

Ｓ Ｓ Ｓ

ＳＦＥ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

？

ＳＦＥ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

？

Ａ

Ｂ

- 24 -

すると，右の図のように規則的に④，③，②，①とすることができるので，点Ｓは，毎秒３cmになります。

右の図のように，毎秒３cmで進むシャドウマンである点Ｓを考えることができました。

点Ｐ，Ｑ，Ｒが，右の図の点線のように，一直線上に並んだとき，点Ｑと点Ｓは出会っています。

つまりこの問題は，毎秒２cmの点Ｑと，毎秒３cmの点Ｓが出会うのは何秒後か，という問題になります。

よって，３０÷（２＋３）＝６（秒後）になります。

ＳＦＥ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

③

Ａ

Ｂ

②

Ｓ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

③Ｑ②

Ｓ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

③Ｑ

②

- 25 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 3 (3)

ワンポイント シャドウマンの考え方の他に，覚えるべきテクニックがあります。

点Ｐ，Ｑ，Ｒが一直線に並ぶ前に，三角形ＰＱＲの面積が３０cm2になることがあります。

三角形ＰＱＲを，右の図のように☆と★に分けたとします。

三角形☆は，底辺がＱＳで，高さは右の図のアです。

三角形★は，底辺がやはりＱＳで，高さは右の図のイです。

両方とも底辺はＱＳですから，☆と★の合計である三角形ＰＱＲは，底辺がＱＳで，高さが アとイの和の，４＋８＝１２（cm）になります。

よって，ＱＳ×１２÷２ が，三角形ＰＱＲの面積になり，それが３０cm2になる，と考えるのです。

逆算をすれば，ＱＳの長さは ３０×２÷１２＝５（cm）です。

つまり，ＱＳの長さが５cmになるのは何秒後か，という問題になります。

よって，（３０－５）÷（２＋３）＝５（秒後）になります。進んだ距離の和 速さの和

（次のページへ）

Ｑ

Ｓ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

③② 30cm2

★Ｑ

Ｓ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

③②☆

★Ｑ

Ｓ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

③②☆ ア

イ

- 26 -

５秒後に，三角形ＰＱＲの面積が３０cm2

になったあと，

(2)で求めた通り，６秒後に点Ｐ，Ｑ，Ｒは一直線上に並び，

そのあと，また三角形ＰＱＲの面積が３０cm2になるときがあります。

はじめに三角形ＰＱＲの面積が３０cm2になったあと，点Ｐ，Ｑ，Ｒが一直線上に並ぶまでには，６－５＝１（秒）かかっています。

一直線上に並んでから，三角形ＰＱＲの面積が３０cm2になるまでも，同じく１秒かかることになります。

よって，２度目に三角形ＰＱＲの面積が３０cm2になるのは，６＋１＝７（秒後）です。

したがって，答えは５秒後と７秒後になります。

Ｑ

Ｓ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

③② 30cm2

Ｓ

8cm

4cm

30cm

Ｐ

Ｒ

④

①

③Ｑ

②

Ｑ

Ｐ

Ｓ

8cm

4cm

30cm

Ｒ

④

①

③②

- 27 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 4 (1)

ワンポイント 「えんぴつ形」を利用します。

まず，右の図の太線部分の三角形が，長方形全体の何分のいくつにあたるかを求めます。

右の図のかげをつけた三角形は，１

長方形全体の です。２

右の図の太線部分の三角形は，かげをつけ１

た三角形の です。４

よって，太線部分の三角形は，長方形全体１ １

の， × になります。２ ４

ところで，右の図のような「ピラミッド形」があって，●の長さがすべて同じだったら，ア，イ，ウ，エの長さの比は，１：２：３：４になります。

（次のページへ）

アイウエ

- 28 -

よって，右の図のように長さを決めることができます。

さらに，右の図の○は同じ長さですから，オ，カの長さも，４にすることができます。

右の図のような長さを決めることができました。

あとは，「えんぴつ形」の考え方で解きます。

１＋１ ２右の図のクはキの， ＝ です。

１＋１＋１ ３

４＋４ ８また，コはケの， ＝ です。

４＋４＋４＋１ １３

よって，斜線部分の三角形は，太線部分の三角形２ ８

の， × です。３ １３

１ １ ２ ８太線の三角形は長方形全体の × で，斜線の三角形は太線の三角形の × で

２ ４ ３ １３１ １ ２ ８ ２

すから，斜線の三角形は長方形全体の， × × × ＝ になります。２ ４ ３ １３ ３９

太線の三角形は全体の ×２

１

４

１

1234

1 2 3 4

太線の三角形は全体の ×２

１

４

１

1234

1 2 3 4

オ

カ

太線の三角形は全体の ×２

１

４

１

1234

1 2 3 4

4

4

1

1

1

太線の三角形は全体の ×２

１

４

１

1234

1 2 3 4

4

4

1

1

1

コク ケ

キ

- 29 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 4 (2)

ワンポイント かげの部分は長方形，斜線部分は三角形です。

かげの部分は長方形なので「たて×横」で，斜線部分は三角形なので「底辺×高さ÷２」で求めます。

右の図の○は同じ長さなので，サ，シ，スの長さを，１，２，３にすることができます。

また，右の図の●は同じ長さなので，セの長さを３にすることができます。

すると，かげの部分の長方形は，たてが４，横は３にあたるので，面積は，４×３＝１２になります。また，斜線部分の三角形は，底辺が２，高さ

は ４＋４＝８にあたるので，面積は，２×８÷２＝８ になります。

かげの部分は１２，三角形は８ですから，１２÷８＝１.５（倍）になります。

1234

1 2 3 4

4

4

サ

シ

ス

1234

1 2 3 4

4

4

１

２

３ セ

1234

1 2 3 4

4

4

１

２

３ ３

- 30 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 5 (1)

ワンポイント クロス形を探します。

三角形ＨＢＦは，右の図のかげをつけた三角形です。三角形ＨＢＦの底辺はＢＦで４cmです。

三角形ＨＢＦの高さ（右の図の矢印）がわかれば，面積を求めることができます。

高さを求めるために，右の図の太線のクロス形に注目します。長さの比は，ＡＤ：ＢＦ＝１２：４＝３：１

ですから，高さの比も３：１です。長方形のたての長さである１４cmを３：１に

分けて，

１４÷（３＋１）×１＝３.５（cm）が，三角形ＨＢＦの高さです。

よって三角形ＨＢＦの面積は，４×３.５÷２＝７（cm2）になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

3.5cm

- 31 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 5 (2)

ワンポイント 「えんぴつ形」を利用します。

右の図のかげをつけた三角形は，底辺が７cmで高さは１２cmですから，面積は，７×１２÷２＝４２（cm2）です。

あとは，右の図のア：イとウ：エがわかれば，「えんぴつ形」を利用して，四角形ＧＥＢＨの面積をもとめることができます。

ウ：エは，右の図の太線のクロス形を利用します。ＢＦ：ＡＤ＝４：１２＝１：３ ですから，

ウ：エも１：３です。

（次のページーへ）

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

ア

イ

エ

ウ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

ア

イ

エ

ウ

- 32 -

ア：イを求めるためには，右の図の斜線部分のクロス形の比がわかればよいです。ＡＤは１２cmですから，右の図の太線の長さが

わかれば，ア：イがわかることになります。

太線の長さは，右の図から，４÷２＝２（cm）

右の図のようになるので，太線とＡＤの長さの比は，２：１２＝１：６ です。ア：イも，１：６ になります。

右の図のようになります。「えんぴつ形」を利用して，★の三角形の面積は，

３ ６ ９かげの部分の面積の， × ＝ です。

１＋３ １＋６ １４かげの部分の面積は４２cm2だったので，★の面積は，

９４２× ＝２７（cm2）です。

１４

よって，四角形ＧＥＢＨの面積は，４２－２７＝１５（cm2）になります。

１

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

ア

イ

３

Ａ

Ｂ

7cm

7cm

4cm

Ｅ

Ｆ

１

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

ア

イ

３

2cm

１

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

7cm

7cm

4cm 8cm

Ｅ

Ｆ

Ｇ

Ｈ

14cm

12cm

３１

６

★

- 33 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 6 (1)

ワンポイント どうしてグラフは折れ曲がっているのかを考えましょう。

グラフを見ると，出発するときの面積は４０cm2になっています。

ＰはＡを出発し，ＱはＣを出発します。

出発するときの，ＰＱより右側の部分は，右の図の斜線部分のようになっています。この面積が４０cm2です。ＢＣの長さを cmにすると，×２÷２＝４０ ですから，ＢＣの長さは

４０cmです。

グラフを見ると，８秒後にグラフが折れ曲がっています。折れ曲がっているということは，

面積の増え方・減り方が変化したということです。なぜ変化したかというと，点Ｐか点Ｑ

の動き方が変化したからです。問題文に，点Ｐの方が点Ｑよりも速い

と書いてあったので， （次のページへ）

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

2cm

Ｐ

Ｑ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

2cm

Ｐ

Ｑ

24

40

ア

0 8 (秒)

(cm )2

24

40

ア

0 8 (秒)

(cm )2

Ｐ

- 34 -

８秒後に，点ＰはＤにつき，右の図の斜線部分の面積が２４cm2になったことがわかります。点Ｐは８秒間で４０cm進んだのですか

ら，Ｐの速さは毎秒 ４０÷８＝５（cm）です。また，ＱからＣまでの長さを cmにす

ると，面積は２４cm2ですから，×２÷２＝２４

よって は２４になり，点Ｑは８秒間で２４cm進んだことがわかりました。

よって，点Ｑの速さは，毎秒 ２４÷８＝３（cm）になります。

練習 6 (2)

ワンポイント グラフを利用するよりも，図に書き込んだ方が簡単に解けます。

(1)で，点Ｐは毎秒５cm，点Ｑは毎秒３cmの速さで進むことがわかりました。(2)は１０秒後の斜線部分の面積を求める問題です。１０秒間で，点Ｐは ５×１０＝５０（cm）進みます。ＡからＤまでは４０cmですから，５０－４０＝１０（cm）もどってきます。また，１０秒間で，点Ｑは ３×１０＝３０（cm）進みます。

よって，１０秒後には，右のような図になります。斜線部分は台形ですから，面積は，

（１０＋３０）×２÷２＝４０（cm2）になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

2cmＱ

40cm

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

2cm

Ｐ

Ｑ

40cm

24cm2

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

2cm

Ｐ

Ｑ

40cm

30cm

10cm

- 35 -

シリーズ６上第１２回 くわしい解説

練習 6 (3)

ワンポイント どうしてグラフは折れ曲がっているのかを考えましょう。

(1)で，ＰはＡを出発して，８秒後にＤを折り返すことがわかりました。そして，８×２＝１６（秒後）に，Ａに

もどってきます。

また，(1)で，Ｑは毎秒３cmであることがわかりました。１

よって，ＱがＢに着くのは，４０÷３＝１３ （秒後）です。３

ＰがＡにもどってくる１６秒後や，１

ＱがＢに着く１３ 秒後に，グラフは３

折れ曲がっているはずですから，右のグラフのようになります。

は１６秒後の面積であることがわかりました。

(1)で，点Ｐは毎秒５cm，点Ｑは毎秒３cmの速さで進むことがわかりました。(3)は１６秒後の斜線部分の面積を求める問題です。１６秒間で，点ＰはAにもどってきています。また，１６秒間で，点Ｑは ３×１６＝４８（cm）進みます。よって，点ＱはＣを出発してＢまで進んでから，４８－４０＝８（cm）だけもどって

いる場所にいます。

よって，１６秒後には，右のような図になります。斜線部分は台形で，上底は４０cm，

下底は ４０－８＝３２（cm），高さは２cmですから，面積は，（４０＋３２）×２÷２＝７２（cm2）になります。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

2cm

40cm

Ｐ

Ｑ

31

24

40

ア

0 8 (秒)

(cm )2

1613

ア

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

2cm

Ｐ

Ｑ

40cm

8cm