TANGGAPAN FREKUENSI

Rangkaian Orde-2

Rangkaian Orde-2

Rangkaian Orde-2 Dengan Pole Riil

Pole dari fungsi alih rangkaian orde-2 bisa riil ataupun kompleks konjugat

Kita akan mulai pembahasan tentang fungsi alih dengan pole riil

Band-Pass Gain

Fungsi alih rangkaian orde-2 dengan satu zero dan dua pole riil dapat ditulis sebagai

)/1)(/1(

/))((

)( sehingga ))((

)(

jjjK

jjjKjT

ssKssT

)/(1)/(1

/)(

22

KjT

22dB )/(1log20)/(1log20 log20/log20)( KjT

Fungsi gain

Dalam dB

22dB )/(1log20)/(1log20 log20/log20)( KjT

Fungsi gain ini terdiri dari komponen-komponen yang bentuknya telah kita kenal pada pembahasan rangkaian orde-1

Komponen-pertama bernilai konstan

Komponen-kedua berbanding lurus dengan log dengan perubahan gain +20 dB per dekade

Komponen-ketiga memberi pengurangan gain 20 dB per dekade mulai dari = = C1 = frekuensi cut-off

Komponen-keempat juga memberi pengurangan gain 20 dB / dekade mulai dari = = C2 = frekuensi cut-off

Nilai fungsi gain dengan pendekatan garis lurus untuk > adalah seperti dalam tabel di bawah ini

22dB )/(1log20)/(1log20 log20/log20)( KjT

Gain Frekuensi  C1 = rad/s C2 = rad/s  =1 1<< << >Komp.1 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20log(|K|/) 20log(|K|/)Komp.2 0 +20 dB/dek +20log(/1)

+20 dB/dek+20log(/1)+20 dB/dek

Komp.3 0 0 20 dB/dek 20log(/)20 dB/dek

Komp.4 0 0 0 20 dB/dekTotal 20log(|K|/) 20log(|K|/)

+20 dB/dek20log(|K|/)+20log(/1)

20log(|K|/)+20log()20 dB/dek

CONTOHGambarkan Bode plots pendekatan garis lurus (tanggapan gain dan tanggapan fasa) rangkaian yang diketahui fungsi alihnya adalah :

)10000)(10(50000

)(

sss

sT

Penyelesaian:

22 )10000/(1)10/(1

5,0)(

)10000/1)(10/1(

0,5)10000)(10(

50000)(

jT

jjjjj

jT

22dB )10000/(1log20 )10/(1log20log205,0log20)( jT

)10000/(tan)10/(tan900)( 11o

Gain

Gain FrekuensiC1 = 10 rad/s C2 = 10000 rad/s

=1 1<<10 10<<104 >104

Komponen 1 6 dB 6 dB 6 dB 6 dBKomponen 2 0 +20 dB/dek 20+20

dB/dek80+20 dB/dek

Komponen 3 0 0 20 dB/dek 6020 dB/dek

Komponen 4 0 0 0 20 dB/dekTotal 6 dB 6 dB

+20 dB/dek14 dB 14 dB

20 dB/dek

[rad/s]

Gain[dB]

C1 C2

6

14

-40

-20

0

20

40

1 10 100 1000 10000 100000

22dB )10000/(1log20 )10/(1log20log205,0log20)( jTGain

Fasa )10000/(tan)10/(tan900)( 11o

() Frekuensi

C1 = 10 rad/s C2 = 104 rad/s

=1 1<<100 103<<105 >105

Komponen 1 0o 0o 0o 0o

Komponen 2 90o 90o 90o 90o

Komponen 3 0o 45o/dek 90o 90o

Komponen 4 0o 0o 0o45o/dek 90o

Total 90o 90o45o/dek 0o45o/dek 90o

-90

-45

0

45

90

1 10 100 1000 10000 1E+05

[o]

[rad/s]C1 C2

0,1 1 101 0,1 2 102

High-Pass Gain Karakteristik high-pass gain dapat diperoleh dari rangkaian orde

kedua yang fungsi alihnya mengandung dua zero di s = 0

CONTOH: Gambarkan tanggapan gain dan tanggapan fasa jika diketahui fungsi alihnya adalah

)200)(40(10

)(2

sss

sT

Penyelesaian:

200/140/18001

)200)(40()(10

)(22

jjjjj

jT

1)200/(log20

1)40/(log20log202800/1log20)(

2

2dB

jT

22

2

)200/(1)40/(18001)(

jT

Gain

Pengurangan gain 20 dB per dekademulai pada C2 = 200 rad/s

1)200/(log201)40/(log20log202800/1log20)( 22dB jT

= 1, konstan 20log(1/800) = 58 dB

Kenaikan gain berbanding lurus dengan log(); kenaikan 220 dB per dekade

Pengurangan gain 20 dB per dekade mulai pada C1 = 40 rad/s

-60-40-20020

1 10 100 1000 10000 100000 [rad/s]

Gain[dB] +40dB/dek

+20dB/dek

58

Fasa )200/(tan)40/(tan9020)( 11o

Pengurangan fasa 45o per dekade mulai dari = 0.1C2 sampai 10C2

Mulai = 1, () 0o + 2 90o =180o

Pengurangan fasa 45o per dekade mulai dari 0,1C1 sampai 10c1 (seharusnya)

04590135180225

1 10 100 1000 10000 100000 [rad/s]

[o]

0,1C20,1C1 10C1 10C2

Karena 0,1C2 < 10C1

maka kurva menurun 90o per dekade pada 0,1C2 dan kembali menurun 45o per

dekade pada 10C1

Low-pass Gain

Karakteristik low-pass gain dapat diperoleh dari rangkaian orde kedua yang fungsi alihnya tidak mengandung zero

CONTOH:Gambarkan Bode plots pendekatan garis lurus rangkaian yang fungsi alihnya adalah :

)1000)(100(105

)(4

ss

sTPenyelesaian:

22

4

)1000/(1)100/(1

5,0)(

)1000/1)(100/1(5,0

)1000)(100(105)(

jT

jjjjjT

)1000/(tan)100/(tan0)( 11

22dB )1000/(1log20)100/(1log205,0log20)( jT

Gain:

Gain: 22dB )1000/(1log20)100/(1log205,0log20)( jT

gain 20log(0,5) 6 dB

pengurangan gain 20 dB per dekade mulai C1 = 100

pengurangan gain 20 dB per dekade mulai C2 = 1000, sehingga mulai C2 perubahan gain adalah

40 dB per dekade

-60

-40

-20

0

1 10 100 1000 10000 100000

Gain[dB]

[rad/s]

C1 C2

Fasa: )1000/(tan)100/(tan0)( 11

Pada = 1, () 0

pengurangan fasa 45o per dekade mulai = 10 sampai = 1000

pengurangan fasa 45o per dekade mulai = 100 sampai = 10000. Jadi pada selang 100<<1000 perubahan fasa adalah 90o per dekade

[o]

[rad/s]

-180-135-90-45045

1 10 100 1000 10000 100000

Fungsi Alih Dengan Zero Riil Negatif

Dalam contoh-contoh sebelumnya, fungsi alih mempunyai zero di s = 0. Fungsi alih dalam contoh berikut ini mempunyai zero di s 0

CONTOH:Gambarkan tanggapan gain dan tanggapan fasa jika diketahui fungsi alihnya adalah

)1000)(100()20(104

)(4

sss

sT

22

2

4

)1000/(1)100/(1

1)20/(8)(

)1000/1)(100/1()20/1(8

)1000)(100()20(104

)(

jT

jjj

jjj

jT

Penyelesaian:

222dB )1000/(1log20 )100/(1log20)20/(1log208log20)( jT

)1000/(tan)100/(tan)20/(tan0)( 111

Gain:

222dB )1000/(1log20 )100/(1log20)20/(1log208log20)( jT

Gain:

20log8 = 18 dB

perubahan gain +20 dB per dekade, mulai pada = 20

perubahan 20 dB per dekade mulai pada = 100, menyebabkan kurva menjadi mendatar

perubahan 20 dB per dekade mulai pada = 1000

0

10

20

30

40

1 10 100 1000 10000 100000 [rad/s]

Gain[dB]

18

+20dB/dek20dB/dek

)1000/(tan)100/(tan)20/(tan0)( 111 Fasa:

Pada = 1, () 0perubahan fasa +45o per dekade mulai dari = 2 sampai = 200

perubahan fasa 45o per dekade mulai dari = 10 sampai = 1000, membuat kurva jadi mendatar

perubahan fasa 45o per dekade mulai dari = 100 sampai = 10000

[rad/s]

-135

-90

-45

0

45

1 10 100 1000 10000 100000

[o] Peran komponen-2 hilang; kurva menurun 90o per dekade

Peran komponen-3 hilang; kurva menurun 45o per dekade

Peran komponen-4 hilang; kurva kembali mendatar

Rangkaian Orde Kedua dengan

Pole Kompleks Konjugat

Rangkaian orde ke-dua yang memiliki pole kompleks konjugat dinyatakan oleh fungsi alih yang berbentuk

)( )()( )()(

jsjs

Kpsps

KsT

)( )(

)( )()(

jjK

pjpjKjT

)(1 A )(2 A

jp

jp*

0

j

p

*p

0

j

)( )( 2222

K

)(2 A

)(1 AUntuk = 0

)( jT

j

A1()

2

0

A2()

j

A1()

3

0

A2()

j

A1()

1

0

A2()

)( jT

)(1 A )(2 A

)( )( 2222

K

Untuk 1 > 0

Untuk 2 > 1

Untuk 3 > 2

A1() selalu bertambah.

A2() pada awalnya menurun namun kemudian bertambah.A2() mencapai nilai minimum pada saat = 2 = .

Maka: gain |T(j)| meningkat pada awal peningkatan sampai mencapai nilai maksimum dan kemudian menurun lagi. Puncak tanggapan gain disebut resonansi.

Jadi jika bertambah:

Keadaan di sekitar frekuensi resonansi

cbss

KssT

2)(

yang dapat kita tuliskan

2

)( 200

2

ssKssT

Untuk mempelajari tanggapan frekuensi di sekitar frekuensi resonansi, kita tuliskan fungsi alih rangkaian orde-2 dalam bentuk

dengan cbc2

dan 20

frekuensi alami(tanpa redaman)

= 0

disebut rasio redaman

1/2/)(

02

02

0

sssKsT

dapat kita tuliskan

1/2/)(

02

02

0

jjKjT

/2/1)(

20

220

20

K

jT

1/2/)(

02

02

0

jjKjT

20

01o

/1/2tan90)(

K

Gain:

Fasa: 20

220

20

dB/2/1

log20log20)(

KjT

Rasio redaman menentukan

perubahan nilai gain )( jT

-40

-20

0

20

100 1000 10000

dB

[rad/s]

=1

=0,1=0,5 =0,05

pendekatanlinier 0

20

01o

/1/2tan90)(

KFasa: Rasio redaman

menentukan perubahan nilai

sudut fasa

-180

-135

-90

-45

0

10 100 1000 10000 100000

() [o]

[rad/s]

=0,05=0,1=0,5=1

pendekatanlinier 0

Course Ware

Tanggapan FrekuensiRangkaian Orde-2

Sudaryatno Sudirham