Taller Medios Continuos
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TALLER DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTÍNUO
FEDERICO ARIAS GARCIA
2164143
RICARDO JAVIER GÓMEZ SERRANO
2164184
OSCAR JAVIER BEGAMBRE CARRILLO
Ingeniero Civil, M.Sc., Ph.D.
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
FACULTAD DE INGENIERÍAS FISICOMECÁNICAS
ESPECIALIZACIÓN EN ESTRUCTURAS
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO
BUCARAMANGA
2016
INTRODUCCIÓN
La mecánica de medios continuos (MMC) es una herramienta que ayuda a describir el
movimiento de los cuerpos. Para tal fin, se han desarrollado modelos matemáticos
específicos para medir y operar las propiedades de un conjunto de partículas homogéneas e
isotrópicas , y en este caso, haciéndose énfasis especial en el Tensor de esfuerzos, que para
su análisis se ha utilizado, entre otras, el cálculo diferencial, el cálculo matricial y como un
modelo “innovador y elegante” la Convención de Einstein que con el uso de la notación
indicial y algunas reglas especiales hacen, con la práctica, más comprensivos y fáciles de
manipular los modelos matemáticos.
En el desarrollo de este taller se resolverán cuatro situaciones propuestas en el curso de
MMC correspondientes primero a el cálculo de la distribución de esfuerzos y resultantes en
diferentes planos teniendo el tensor de esfuerzos, segundo el cálculo del determinante de
una matriz de dimensión 3x3 , tercero el producto cruz de dos vectores o producto vectorial
y cuarto la determinación de la ecuaciones de transformación de un tensor de un sistema
coordenado a otro, utilizando en los tres últimos casos mencionados la Convención de
Einstein.
1.0 OBJETIVOS
1.1 Reforzar las conocimientos y habilidades en el manejo del Tensor de esfuerzos,
aumentando la comprensión y evaluación de los fenómenos físicos que representa.
1.2 Reconocer y evaluar las ventajas de usar la Convención de Einstein como una
herramienta para modelar, calcular y comprender las expresiones matemáticas.
2.0 MARCO TEÓRICO
A continuación se exponen algunos conceptos teóricos referentes al tensor de esfuerzos y
notación indicial, tomados del Anexo 1 de libro Modelación Numérica de Materiales
Compuestos y del artículo Notación Indicial de Ignacio Romero:
2.1 Tensión
2.1.1 Esfuerzos:
Se puede clasificar a las fuerzas en externas, si actúan sobre un cuerpo o internas si actúan
entre dos partes del mismo cuerpo. Mediante la elección de un adecuado cuerpo libre todas
las fuerzas pueden ser consideradas como externas.
Las fuerzas externas que actúan en cualquier instante de una cuerpo libre elegido se
clasifican en la mecánica del continuo como fuerzas másicas y fuerzas superficiales.
Fuerzas másicas: Son aquellas que actúan sobre los elementos de volumen o de masa. Por
ejemplo las fuerzas gravitatorias, las fuerzas inerciales o las de atracción magnética.
Fuerzas superficiales: Son fuerzas de contacto que actúan sobre el contorno del volumen
del material considerado por unidad de área.
Sea b(x,t) la descripción espacial del campo vectorial de las fuerzas másicas por unidad de
masa. Si se multiplica este vector por la masa por unidad de volumen ρ, se obtiene la fuerza
másica en el volumen
El vector suma de todas las fuerzas de cuerpo que actúan en un volumen V es:
Sea t(x,t) la descripción espacial del campo vectorial de las fuerzas superficiales por unidad
de área. La fuerza superficial sobre un elemento de superficie dS será: t ⋅ dS . El vector
suma de todas las fuerzas a través de una porción finita S de superficie es:
2.1.2 Tensión
Si se separan dos porciones del medio, cada una ejerciendo una tensión sobre la otra y se
toma una de ellas aislada se puede observar un dS en la cara que se separa. Se considera
como positiva la dirección de la normal a la superficie hacia afuera. El concepto de vector
tensión actuando en una superficie dS alrededor del punto Q, con normal n saliendo de ese
punto se considera como el límite de la relación:
donde tanto el numerador como el denominador tienden a cero pero el cociente tiene un
limite finito que es independiente de las superficies consideradas. Así para el “cubito”
elemental:
Indicar los vectores de tensión actuando en planos perpendiculares a los ejes coordinados es
muy útil porque cuando están dados los vectores que actúan en tres planos mutuamente
perpendiculares, el vector tensión de ese punto para cualquier plano inclinado
arbitrariamente con respecto a los ejes coordenados puede expresarse en función de esos
tres vectores especiales.
Las componentes de los tres vectores en el punto se disponen generalmente en un arreglo o
matriz T según:
2.1.3 Tetraedro de Cauchy Tensión en un plano arbitrario
Se considera ahora el caso de un volumen material constituido por un tetraedro elemental
situado alrededor de la partícula Q, con el origen de coordenadas sobre la misma.
Las caras del tetraedro quedan definidas mediante un plano normal n que interseca con los
planos coordinados definiendo una superficie genérica de área S a una distancia h del punto
Q. Los planos coordenados definen las otras caras del tetraedro de áreas S1, S2 y S3. Por
consideraciones geométricas pueden establecerse las relaciones:
Operando con las tensiones promedio de los tres planos coordenados puede hallarse la
tensión del punto Q actuando en un plano arbitrario, conociendo sólo la tensión en tres
planos perpendiculares entre sí a través del punto.
Utilizando el tensor de tensiones se expresa la ecuación vectorial:
2.1.4 Simetría de tensiones
Cuando no existen cuplas distribuidas, de cuerpo o de superficie, para que se cumpla el
equilibrio, la matriz de tensiones debe ser simétrica, esto es:
2.2 Notación indicial
En Mecánica de Medios Continuos los objetos matemáticos más empleados son los
escalares, vectores y tensores en R3. Para trabajar con vectores se define una base de
vectores ortonormales B1 = {e1, e2, e3} de forma que todo vector v ϵ R
3 se puede expresar
como la siguiente combinación lineal:
Utilizando sumatorios se puede escribir la ecuación previa de una forma más compacta:
Sin embargo es tedioso tener que escribir constantemente el símbolo de sumatorio e indicar
sus límites, pues siempre son los mismos. Por ello se adopta la siguiente convención: en
vez de (1) o (2) se escribe:
En esta expresión, y en toda aquella en la que dos objetos que se multiplican tengan un
mismo
índice repetido, se entendería que vpep significa v1e1 +v2e2 +v3e3. En vez del subíndice
p se podría haber empleado cualquier otro, y así
por lo que el índice repetido se denomina mudo. Se dice que la expresión v=vpep emplea
notación indicial o también el convenio de Einstein.
Dos vectores a y b son iguales si apep = bpep. Esta igualdad se puede reescribir como
(ap−bp)ep=0. Como los vectores de la base son linealmente independientes la última
expresión requiere que cada componente se anule, es decir, ap−bp=0, o de otra manera
De este simple ejemplo se deduce que cuando en una igualdad aparezca un mismo índice en
varios lugares, pero no multiplicándose, quiere decir que la igualdad es válida cuando el
índice toma el valor 1,2 o 3. Un índice de este tipo se denomina libre y puede
intercambiarse por otra letra cualquiera, siempre que no se emplee en otra parte de la
igualdad. Por ejemplo, la identidad anterior quiere expresar
Nótese que en la identidad anterior no hay ningún ´índice mudo, pues aunque p aparezca
en ambos lados de la igualdad las componentes correspondientes no están multiplicando.
Cuando se trabaja con tensores de segundo orden tambi´en se emplea una base tensorial
de nueve tensores:
y todo tensor T se puede escribir como
En este caso se observa aun más claramente que resulta muy tedioso escribir y trabajar con
las nueve componentes de un tensor. Se podría escribir la expresión previa como
pero igual que con los vectores, se adopta la convención de que esta última expresión se
puede escribir simplemente como
Como en el caso de los vectores, los ´índices repetidos cuyos objetos correspondientes se
multiplican expresan un sumatorio, con dicho ´índice tomando valores 1,2 y 3.
También como en el caso de los vectores, aquellos ´índices libres que aparecen repetidos en
varios lugares de una igualdad, pero cuyas componentes correspondientes no se multiplican
indican que la igualdad es válida cuando los ´índices toman valores 1,2 y 3. Así por
ejemplo Tij+Rij=7 quiere decir que la suma de cualquier componente del tensor T de
segundo orden más la misma componente del tensor de segundo orden R es igual a 7.
Las consideraciones aquí presentadas son válidas también para tensores de mayor orden.
Por ejemplo:
En el siguiente cuadro se resumen las operaciones más comunes en ´algebra y cálculo
tensorial y sus expresiones en notación indicial. En toda la tabla _ es una función escalar, a,
b, c son vectores y R,S, T son tensores de orden dos.
3.0 METODOLOGÍA
Para el desarrollo del primer punto del trabajo utilizaremos los conceptos de tensor de
esfuerzos con ayuda del cálculo matricial y diferencial.
Para los tres ejercicios siguientes que están relacionados con la notación indicial
utilizaremos la ayuda de hojas de cálculo, (Excel) ya que la convención de Einstein se
presta, precisamente, para hacer los cálculos de manera sistemática, por tanto, se incluye
anexo a este documento el archivo magnético.
4.0 DESARROLLO DEL TALLER
4.1 Ejercicio 1.
Sabiendo que la distribución de tensiones en un cuerpo está dada por:
, - [
], donde son constantes.
1. Calcular la distribución de tensiones en las seis caras del bloque.
2. Calcular la resultante que actúa en las caras y=0 y x=0.
Solución:
1. Para solucionar se calcula el Vector de Esfuerzos * +, en el plano correspondiente a
cada cara del bloque, mediante la fórmula de Cauchy.
* + , -* +, donde * +, es el vector unitario normal al plano estudiado.
Para x=0,
* + , -* + [
] [
]
* + [
]
Para y=0,
* + , -* + [
] [
]
* + [
]
Para z=0,
* + , -* + [
] [
]
* + [
]
Para x=a,
* + , -* + [
] [
]
* + [
]
Para y=b,
* + , -* + [
] [
]
* + [
]
Para z=c,
* + , -* + [
] [
]
* + [
]
2. Para la resultante en x=0 y y=0, se emplea integración para el , entonces para
x=0, la resultante es,
∫( ) ∫ ∫
∫ ∫
Para y=0, la resultante es,
∫ ∫
4.2 Ejercicio 2.
Calcule el determinante de una matriz 3x3 expandiendo la ecuación A y aplicando la
definición del símbolo de permutación.
,
Definición del símbolo de permutación,
{ {
Expandiendo la ecuación se obtiene:
ε i j k a i 1 a j 2 a k 3 i j k subindice Permutación
ε 1 1 1 a 1 1 a 1 2 a 1 3 1 1 1 111 0
ε 1 1 2 a 1 1 a 1 2 a 2 3 1 1 2 112 0
ε 1 1 3 a 1 1 a 1 2 a 3 3 1 1 3 113 0
ε 1 2 1 a 1 1 a 2 2 a 1 3 1 2 1 121 0
ε 1 2 2 a 1 1 a 2 2 a 2 3 1 2 2 122 0
ε 1 2 3 a 1 1 a 2 2 a 3 3 1 2 3 123 1 a 1 1 a 2 2 a 3 3
ε 1 3 1 a 1 1 a 3 2 a 1 3 1 3 1 131 0
ε 1 3 2 a 1 1 a 3 2 a 2 3 1 3 2 132 -1 a 1 1 a 3 2 a 2 3
ε 1 3 3 a 1 1 a 3 2 a 3 3 1 3 3 133 0
ε 2 1 1 a 2 1 a 1 2 a 1 3 2 1 1 211 0
ε 2 1 2 a 2 1 a 1 2 a 2 3 2 1 2 212 0
ε 2 1 3 a 2 1 a 1 2 a 3 3 2 1 3 213 -1 a 2 1 a 1 2 a 3 3
ε 2 2 1 a 2 1 a 2 2 a 1 3 2 2 1 221 0
ε 2 2 2 a 2 1 a 2 2 a 2 3 2 2 2 222 0
ε 2 2 3 a 2 1 a 2 2 a 3 3 2 2 3 223 0
ε 2 3 1 a 2 1 a 3 2 a 1 3 2 3 1 231 1 a 2 1 a 3 2 a 1 3
ε 2 3 2 a 2 1 a 3 2 a 2 3 2 3 2 232 0
ε 2 3 3 a 2 1 a 3 2 a 3 3 2 3 3 233 0
ε 3 1 1 a 3 1 a 1 2 a 1 3 3 1 1 311 0
ε 3 1 2 a 3 1 a 1 2 a 2 3 3 1 2 312 1 a 3 1 a 1 2 a 2 3
ε 3 1 3 a 3 1 a 1 2 a 3 3 3 1 3 313 0
ε 3 2 1 a 3 1 a 2 2 a 1 3 3 2 1 321 -1 a 3 1 a 2 2 a 1 3
ε 3 2 2 a 3 1 a 2 2 a 2 3 3 2 2 322 0
ε 3 2 3 a 3 1 a 2 2 a 3 3 3 2 3 323 0
ε 3 3 1 a 3 1 a 3 2 a 1 3 3 3 1 331 0
ε 3 3 2 a 3 1 a 3 2 a 2 3 3 3 2 332 0
ε 3 3 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3 3 3 3 333 0
Términos
Gráficamente lo podemos representar según los colores de la convención, así:
Determinante
a11 a21 a31 a11 a21
det A a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23
o
4.3 Ejercicio 3
Demostrar que la siguiente ecuación es la representación del producto cruz o vectorial de
los vectores a y b.
Definición del símbolo de permutación,
{ {
Expandiendo la ecuación se obtiene:
Gráficamente lo podemos representar según los colores de la convención, así:
Producto cruz
( ) ( ) ( )
4.4 Ejercicio 4
Determinar las componentes de la Ecuación de Transformación de un Tensor a otro sistema
de coordenadas, en función de los ángulos de rotación de un sistema coordenado al otro:
ε i j k a i b j e k i j k subindice Permutación
ε 1 1 1 a 1 b 1 e 1 1 1 1 111 0
ε 1 1 2 a 1 b 1 e 2 1 1 2 112 0
ε 1 1 3 a 1 b 1 e 3 1 1 3 113 0
ε 1 2 1 a 1 b 2 e 1 1 2 1 121 0
ε 1 2 2 a 1 b 2 e 2 1 2 2 122 0
ε 1 2 3 a 1 b 2 e 3 1 2 3 123 1 a 1 b 2 e 3
ε 1 3 1 a 1 b 3 e 1 1 3 1 131 0
ε 1 3 2 a 1 b 3 e 2 1 3 2 132 -1 a 1 b 3 e 2
ε 1 3 3 a 1 b 3 e 3 1 3 3 133 0
ε 2 1 1 a 2 b 1 e 1 2 1 1 211 0
ε 2 1 2 a 2 b 1 e 2 2 1 2 212 0
ε 2 1 3 a 2 b 1 e 3 2 1 3 213 -1 a 2 b 1 e 3
ε 2 2 1 a 2 b 2 e 1 2 2 1 221 0
ε 2 2 2 a 2 b 2 e 2 2 2 2 222 0
ε 2 2 3 a 2 b 2 e 3 2 2 3 223 0
ε 2 3 1 a 2 b 3 e 1 2 3 1 231 1 a 2 b 3 e 1
ε 2 3 2 a 2 b 3 e 2 2 3 2 232 0
ε 2 3 3 a 2 b 3 e 3 2 3 3 233 0
ε 3 1 1 a 3 b 1 e 1 3 1 1 311 0
ε 3 1 2 a 3 b 1 e 2 3 1 2 312 1 a 3 b 1 e 2
ε 3 1 3 a 3 b 1 e 3 3 1 3 313 0
ε 3 2 1 a 3 b 2 e 1 3 2 1 321 -1 a 3 b 2 e 1
ε 3 2 2 a 3 b 2 e 2 3 2 2 322 0
ε 3 2 3 a 3 b 2 e 3 3 2 3 323 0
ε 3 3 1 a 3 b 3 e 1 3 3 1 331 0
ε 3 3 2 a 3 b 3 e 2 3 3 2 332 0
ε 3 3 3 a 3 b 3 e 3 3 3 3 333 0
Términos
i j k
a2 a3 a1 a3 a1 a2
axb a1 a2 a3 = i - j + k
b2 b3 b1 b3 b1 b2
b1 b2 b3
La Ecuación de Transformación está dada por:
Expandiendo la ecuación y teniendo en cuenta que Qmi = Cos(em, ei´) (cosenos directores)
σ i j = Q m i Q n j σm n i j m n
σ x´ x´ Q x x´ Q x x´ σ x x x´ x´ x x σx´x´ σxx Qxx´ Qxx´ σx´x´ σxx Cos(x´- x)Cos(x´- x)
Q x x´ Q y x´ σ x y x´ x´ x y σyy Qyx´ Qyx´ σyy Cos(x´- y)Cos(x´- y)
Q x x´ Q z x´ σ x z x´ x´ x z σzz Qzx´ Qzx´ σzz Cos(x´- z)Cos(x´- z)
Q y x´ Q x x´ σ y x x´ x´ y x σxy Qxx´ Qyx´ σxy Cos(x´- x)Cos(x´- y)
Q y x´ Q y x´ σ y y x´ x´ y y σyx Qyx´ Qxx´ σyx Cos(x´- y)Cos(x´- x)
Q y x´ Q z x´ σ y z x´ x´ y z σyz Qyx´ Qzx´ σyz Cos(x´- y)Cos(x´- z)
Q z x´ Q x x´ σ z x x´ x´ z x σzy Qzx´ Qyx´ σzy Cos(x´- z)Cos(x´- y)
Q z x´ Q y x´ σ z y x´ x´ z y σxz Qxx´ Qzx´ σxz Cos(x´- x)Cos(x´- z)
Q z x´ Q z x´ σ z z x´ x´ z z σzx Qzx´ Qxx´ σzx Cos(x´- z)Cos(x´- x)
σ x´ y´ Q x x´ Q x y´ σ x x x´ y´ x x σx´y´ σxx Qxx´ Qxy´ σx´y´ σxx Cos(x´- x)Cos(y´- x)
Q x x´ Q y y´ σ x y x´ y´ x y σyy Qyx´ Qyy´ σyy Cos(x´- y)Cos(y´- y)
Q x x´ Q z y´ σ x z x´ y´ x z σzz Qzx´ Qzy´ σzz Cos(x´- z)Cos(y´- z)
Q y x´ Q x y´ σ y x x´ y´ y x σxy Qxx´ Qyy´ σxy Cos(x´- x)Cos(y´- y)
Q y x´ Q y y´ σ y y x´ y´ y y σyx Qyx´ Qxy´ σyx Cos(x´- y)Cos(y´- x)
Q y x´ Q z y´ σ y z x´ y´ y z σyz Qyx´ Qzy´ σyz Cos(x´- y)Cos(y´- z)
Q z x´ Q x y´ σ z x x´ y´ z x σzy Qzx´ Qyy´ σzy Cos(x´- z)Cos(y´- y)
Q z x´ Q y y´ σ z y x´ y´ z y σxz Qxx´ Qzy´ σxz Cos(x´- x)Cos(y´- z)
Q z x´ Q z y´ σ z z x´ y´ z z σzx Qzx´ Qxy´ σzx Cos(x´- z)Cos(y´- x)
σ x´ z´ Q x x´ Q x z´ σ x x x´ z´ x x σx´z´ σxx Qxx´ Qxz´ σx´z´ σxx Cos(x´- x)Cos(z´- x)
Q x x´ Q y z´ σ x y x´ z´ x y σyy Qyx´ Qyz´ σyy Cos(x´- y)Cos(z´- y)
Q x x´ Q z z´ σ x z x´ z´ x z σzz Qzx´ Qzz´ σzz Cos(x´- z)Cos(z´- z)
Q y x´ Q x z´ σ y x x´ z´ y x σxy Qxx´ Qyz´ σxy Cos(x´- x)Cos(z´- y)
Q y x´ Q y z´ σ y y x´ z´ y y σyx Qyx´ Qxz´ σyx Cos(x´- y)Cos(z´- x)
Q y x´ Q z z´ σ y z x´ z´ y z σyz Qyx´ Qzz´ σyz Cos(x´- y)Cos(z´- z)
Q z x´ Q x z´ σ z x x´ z´ z x σzy Qzx´ Qyz´ σzy Cos(x´- z)Cos(z´- y)
Q z x´ Q y z´ σ z y x´ z´ z y σxz Qxx´ Qzz´ σxz Cos(x´- x)Cos(z´- z)
Q z x´ Q z z´ σ z z x´ z´ z z σzx Qzx´ Qxz´ σzx Cos(x´- z)Cos(z´- x)
σ y´ x´ Q x y´ Q x x´ σ x x y´ x´ x x σy´x´ σxx Qxy´ Qxx´ σy´x´ σxx Cos(y´- x)Cos(x´- x)
Q x y´ Q y x´ σ x y y´ x´ x y σyy Qyy´ Qyx´ σyy Cos(y´- y)Cos(x´- y)
Q x y´ Q z x´ σ x z y´ x´ x z σzz Qzy´ Qzx´ σzz Cos(y´- z)Cos(x´- z)
Q y y´ Q x x´ σ y x y´ x´ y x σxy Qxy´ Qyx´ σxy Cos(y´- x)Cos(x´- y)
Q y y´ Q y x´ σ y y y´ x´ y y σyx Qyy´ Qxx´ σyx Cos(y´- y)Cos(x´- x)
Q y y´ Q z x´ σ y z y´ x´ y z σyz Qyy´ Qzx´ σyz Cos(y´- y)Cos(x´- z)
Q z y´ Q x x´ σ z x y´ x´ z x σzy Qzy´ Qyx´ σzy Cos(y´- z)Cos(x´- y)
Q z y´ Q y x´ σ z y y´ x´ z y σxz Qxy´ Qzx´ σxz Cos(y´- x)Cos(x´- z)
Q z y´ Q z x´ σ z z y´ x´ z z σzx Qzy´ Qxx´ σzx Cos(y´- z)Cos(x´- x)
Ahora teniendo en cuenta la simetría de tensiones:
σ y´ y´ Q x y´ Q x y´ σ x x y´ y´ x x σy´y´ σxx Qxy´ Qxy´ σy´y´ σxx Cos(y´- x)Cos(y´- x)
Q x y´ Q y y´ σ x y y´ y´ x y σyy Qyy´ Qyy´ σyy Cos(y´- y)Cos(y´- y)
Q x y´ Q z y´ σ x z y´ y´ x z σzz Qzy´ Qzy´ σzz Cos(y´- z)Cos(y´- z)
Q y y´ Q x y´ σ y x y´ y´ y x σxy Qxy´ Qyy´ σxy Cos(y´- x)Cos(y´- y)
Q y y´ Q y y´ σ y y y´ y´ y y σyx Qyy´ Qxy´ σyx Cos(y´- y)Cos(y´- x)
Q y y´ Q z y´ σ y z y´ y´ y z σyz Qyy´ Qzy´ σyz Cos(y´- y)Cos(y´- z)
Q z y´ Q x y´ σ z x y´ y´ z x σzy Qzy´ Qyy´ σzy Cos(y´- z)Cos(y´- y)
Q z y´ Q y y´ σ z y y´ y´ z y σxz Qxy´ Qzy´ σxz Cos(y´- x)Cos(y´- z)
Q z y´ Q z y´ σ z z y´ y´ z z σzx Qzy´ Qxy´ σzx Cos(y´- z)Cos(y´- x)
σ y´ z´ Q x y´ Q x z´ σ x x y´ z´ x x σy´z´ σxx Qxy´ Qxz´ σy´z´ σxx Cos(y´- x)Cos(z´- x)
Q x y´ Q y z´ σ x y y´ z´ x y σyy Qyy´ Qyz´ σyy Cos(y´- y)Cos(z´- y)
Q x y´ Q z z´ σ x z y´ z´ x z σzz Qzy´ Qzz´ σzz Cos(y´- z)Cos(z´- z)
Q y y´ Q x z´ σ y x y´ z´ y x σxy Qxy´ Qyz´ σxy Cos(y´- x)Cos(z´- y)
Q y y´ Q y z´ σ y y y´ z´ y y σyx Qyy´ Qxz´ σyx Cos(y´- y)Cos(z´- x)
Q y y´ Q z z´ σ y z y´ z´ y z σyz Qyy´ Qzz´ σyz Cos(y´- y)Cos(z´- z)
Q z y´ Q x z´ σ z x y´ z´ z x σzy Qzy´ Qyz´ σzy Cos(y´- z)Cos(z´- y)
Q z y´ Q y z´ σ z y y´ z´ z y σxz Qxy´ Qzz´ σxz Cos(y´- x)Cos(z´- z)
Q z y´ Q z z´ σ z z y´ z´ z z σzx Qzy´ Qxz´ σzx Cos(y´- z)Cos(z´- x)
σ z´ x´ Q x z´ Q x x´ σ x x z´ x´ x x σz´x´ σxx Qxz´ Qxx´ σz´x´ σxx Cos(z´- x)Cos(x´- x)
Q x z´ Q y x´ σ x y z´ x´ x y σyy Qyz´ Qyx´ σyy Cos(z´- y)Cos(x´- y)
Q x z´ Q z x´ σ x z z´ x´ x z σzz Qzz´ Qzx´ σzz Cos(z´- z)Cos(x´- z)
Q y z´ Q x x´ σ y x z´ x´ y x σxy Qxz´ Qyx´ σxy Cos(z´- x)Cos(x´- y)
Q y z´ Q y x´ σ y y z´ x´ y y σyx Qyz´ Qxx´ σyx Cos(z´- y)Cos(x´- x)
Q y z´ Q z x´ σ y z z´ x´ y z σyz Qyz´ Qzx´ σyz Cos(z´- y)Cos(x´- z)
Q z z´ Q x x´ σ z x z´ x´ z x σzy Qzz´ Qyx´ σzy Cos(z´- z)Cos(x´- y)
Q z z´ Q y x´ σ z y z´ x´ z y σxz Qxz´ Qzx´ σxz Cos(z´- x)Cos(x´- z)
Q z z´ Q z x´ σ z z z´ x´ z z σzx Qzz´ Qxx´ σzx Cos(z´- z)Cos(x´- x)
σ z´ y´ Q x z´ Q x y´ σ x x z´ y´ x x σz´y´ σxx Qxz´ Qxy´ σz´y´ σxx Cos(z´- x)Cos(y´- x)
Q x z´ Q y y´ σ x y z´ y´ x y σyy Qyz´ Qyy´ σyy Cos(z´- y)Cos(y´- y)
Q x z´ Q z y´ σ x z z´ y´ x z σzz Qzz´ Qzy´ σzz Cos(z´- z)Cos(y´- z)
Q y z´ Q x y´ σ y x z´ y´ y x σxy Qxz´ Qyy´ σxy Cos(z´- x)Cos(y´- y)
Q y z´ Q y y´ σ y y z´ y´ y y σyx Qyz´ Qxy´ σyx Cos(z´- y)Cos(y´- x)
Q y z´ Q z y´ σ y z z´ y´ y z σyz Qyz´ Qzy´ σyz Cos(z´- y)Cos(y´- z)
Q z z´ Q x y´ σ z x z´ y´ z x σzy Qzz´ Qyy´ σzy Cos(z´- z)Cos(y´- y)
Q z z´ Q y y´ σ z y z´ y´ z y σxz Qxz´ Qzy´ σxz Cos(z´- x)Cos(y´- z)
Q z z´ Q z y´ σ z z z´ y´ z z σzx Qzz´ Qxy´ σzx Cos(z´- z)Cos(y´- x)
σ z´ z´ Q x z´ Q x z´ σ x x z´ z´ x x σz´z´ σxx Qxz´ Qxz´ σz´z´ σxx Cos(z´- x)Cos(z´- x)
Q x z´ Q y z´ σ x y z´ z´ x y σyy Qyz´ Qyz´ σyy Cos(z´- y)Cos(z´- y)
Q x z´ Q z z´ σ x z z´ z´ x z σzz Qzz´ Qzz´ σzz Cos(z´- z)Cos(z´- z)
Q y z´ Q x z´ σ y x z´ z´ y x σxy Qxz´ Qyz´ σxy Cos(z´- x)Cos(z´- y)
Q y z´ Q y z´ σ y y z´ z´ y y σyx Qyz´ Qxz´ σyx Cos(z´- y)Cos(z´- x)
Q y z´ Q z z´ σ y z z´ z´ y z σyz Qyz´ Qzz´ σyz Cos(z´- y)Cos(z´- z)
Q z z´ Q x z´ σ z x z´ z´ z x σzy Qzz´ Qyz´ σzy Cos(z´- z)Cos(z´- y)
Q z z´ Q y z´ σ z y z´ z´ z y σxz Qxz´ Qzz´ σxz Cos(z´- x)Cos(z´- z)
Q z z´ Q z z´ σ z z z´ z´ z z σzx Qzz´ Qxz´ σzx Cos(z´- z)Cos(z´- x)
σx´x´ σxx Cos²(x´- x)
σyy Cos²(x´- y)
σzz Cos²(x´- z)
2 σxy Cos(x´- x) Cos(x´- y)
2 σyz Cos(x´- y) Cos(x´- z)
2 σxz Cos(x´- x) Cos(x´- z)
σx´y´ σxx Cos(x´- x) Cos(y´- x)
σyy Cos(x´- y) Cos(y´- y)
σzz Cos(x´- z) Cos(y´- z)
σxy ( Cos(x´- x) Cos(y´- y) ) + ( Cos(y´- x) Cos(x´- y) )
σyz ( Cos(x´- y) Cos(y´- z) ) + ( Cos(y´- y) Cos(x´- z) )
σxz ( Cos(x´- x) Cos(y´- z) ) + ( Cos(y´- x) Cos(x´- z) )
σx´z´ σxx Cos(x´- x) Cos(z´- x)
σyy Cos(x´- y) Cos(z´- y)
σzz Cos(x´- z) Cos(z´- z)
σxy ( Cos(x´- x) Cos(z´- y) ) + ( Cos(z´- x) Cos(x´- y) )
σyz ( Cos(x´- y) Cos(z´- z) ) + ( Cos(z´- y) Cos(x´- z) )
σxz ( Cos(x´- x) Cos(z´- z) ) + ( Cos(z´- x) Cos(x´- z) )
σy´x´ σxx Cos(y´- x) Cos(x´- x)
σyy Cos(y´- y) Cos(x´- y)
σzz Cos(y´- z) Cos(x´- z)
σxy ( Cos(y´- x) Cos(x´- y) ) + ( Cos(x´- x) Cos(y´- y) )
σyz ( Cos(y´- y) Cos(x´- z) ) + ( Cos(x´- y) Cos(y´- z) )
σxz ( Cos(y´- x) Cos(x´- z) ) + ( Cos(x´- x) Cos(y´- z) )
σy´y´ σxx Cos²(y´- x)
σyy Cos²(y´- y)
σzz Cos²(y´- z)
2 σxy Cos(y´- x) Cos(y´- y)
2 σyz Cos(y´- y) Cos(y´- z)
2 σxz Cos(y´- x) Cos(y´- z)
Entonces,
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( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
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( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
σy´z´ σxx Cos(y´- x) Cos(z´- x)
σyy Cos(y´- y) Cos(z´- y)
σzz Cos(y´- z) Cos(z´- z)
σxy ( Cos(y´- x) Cos(z´- y) ) + ( Cos(z´- x) Cos(y´- y) )
σyz ( Cos(y´- y) Cos(z´- z) ) + ( Cos(z´- y) Cos(y´- z) )
σxz ( Cos(y´- x) Cos(z´- z) ) + ( Cos(z´- x) Cos(y´- z) )
σz´x´ σxx Cos(z´- x) Cos(x´- x)
σyy Cos(z´- y) Cos(x´- y)
σzz Cos(z´- z) Cos(x´- z)
σxy ( Cos(z´- x) Cos(x´- y) ) + ( Cos(x´- x) Cos(z´- y) )
σyz ( Cos(z´- y) Cos(x´- z) ) + ( Cos(x´- y) Cos(z´- z) )
σxz ( Cos(z´- x) Cos(x´- z) ) + ( Cos(x´- x) Cos(z´- z) )
σz´y´ σxx Cos(z´- x) Cos(y´- x)
σyy Cos(z´- y) Cos(y´- y)
σzz Cos(z´- z) Cos(y´- z)
σxy ( Cos(z´- x) Cos(y´- y) ) + ( Cos(y´- x) Cos(z´- y) )
σyz ( Cos(z´- y) Cos(y´- z) ) + ( Cos(y´- y) Cos(z´- z) )
σxz ( Cos(z´- x) Cos(y´- z) ) + ( Cos(y´- x) Cos(z´- z) )
σz´z´ σxx Cos²(z´- x)
σyy Cos²(z´- y)
σzz Cos²(z´- z)
2 σxy Cos(z´- x) Cos(z´- y)
2 σyz Cos(z´- y) Cos(z´- z)
2 σxz Cos(z´- x) Cos(z´- z)
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CONCLUSIONES
En el desarrollo del trabajo se resolvieron las cuatro situaciones planteadas para el taller de
MMC, alcanzándose los objetivos propuestos.
En el ejercicio 1 se pudo calcular los esfuerzos en diferentes planos del cuerpo (cubo)
teniendo como dato inicial la distribución de tensiones para dicho cuerpo. De igual manera
se pueden calcular la resultante en las caras del cubo, con los esfuerzos determinados por
las áreas correspondientes.
En los ejercicios del 2 al 4 se pudo comprobar como la convención de Einstein es una
herramienta poderosa para la representación, cálculo y manipulación de situaciones
matemáticas y/o físicas que de esa manera se pueden sistematizar más fácilmente.
BIBLIOGRAFÍA
Pérez, C. (2005). Conceptos Básicos de Mecánica de Medios Continuos.Recuperado de
http://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/3260/50939-8.pdf.
Romero,I. (2004). Notación Indicial. Recuperado de http://w3.mecanica.upm.es/mmc-
ig/Apuntes/indices.pdf