Mecanica de Medios Continuos Problemas
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Transcript of Mecanica de Medios Continuos Problemas
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PROBLEMAS RESUELTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
Eduardo W. V. Chaves
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2
22
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axaxaxax
axax
axax
axaxax
axaxaxax
( )( )( ) ( )
+==
=
=
=
=
212
21121
22
21
22211
12
21
4242
42
42
01622
024
42
axaxaxax
axax
axax
axaxax
axaxaxax
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
II
-
Nomenclature
III
EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES
Problemas Resueltos de Mecanica del Medio Continuo
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
IV
-
Presentacin
Presentacion
Conveccin
-difusin
Flujo
M
ec. d
e Su
elos
Slido
s
Flui
dos
Tensores
Cinemtica del continuo
Tensiones
Ecuaciones Fundamentales de MMC
Ecuaciones Constitutivas Mov. Slido Rgido PVCI y Estrategias de Solucin
Estructuras
Placas
Vigas
Hidr
ulica
Trm
ico
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO
VI
1) NO SE MEMORIZA EJERCICIO. 2) Una vez que la teora haya sido estudiada, intentar resolver los ejercicios sin mirar la solucin. Es importante que el alumno ante un nuevo problema desarrolle la habilidad de dar la solucin al problema con los conocimientos adquiridos. 3) Tener en cuenta que, en general, un ejercicio es un caso particular de la teora. Es muy importante saber reconocer cuando estamos ante una aproximacin del caso general. 4) A veces, la solucin de un ejercicio se puede obtener por varios caminos. Una vez resuelto el ejercicio, intentar verificar si existe otra forma de resolverlo. 5) Cuidado, puede haber erratas, seis crticos...
Guia para el Alumno
-
Contenido
ABREVIATURAS ............................................................................................................................................... IX OPERADORES .................................................................................................................................................... X UNIDADES (SI) ................................................................................................................................................ XI NOTACIN .................................................................................................................................................. XIII FRMULAS TILES ................................................................................................................................... XVII 1 TENSORES ......................................................................................................................... 1
1.1 VECTORES, NOTACIN INDICIAL ..................................................................................................... 1 1.2 OPERACIONES CON TENSORES DE ORDEN SUPERIOR ............................................................... 14 1.3 TRANSPUESTA ...................................................................................................................................... 20
1.3.1 Simetra y Antisimetra ........................................................................................................... 20 1.4 COFACTOR. ADJUNTA. TRAZA. TENSORES PARTICULARES. DETERMINANTE ....................... 26 1.5 DESCOMPOSICIN ADITIVA DE TENSORES .................................................................................. 41 1.6 LEY DE TRANSFORMACIN. INVARIANTES. .................................................................................. 42 1.7 AUTOVALORES, AUTOVECTORES Y TRANSFORMACIONES ORTOGONALES ........................... 49 1.8 REPRESENTACIN ESPECTRAL ........................................................................................................ 58 1.9 TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON ................................................................................................. 63 1.10 TENSORES ISTROPOS Y ANISTROPOS ...................................................................................... 82 1.11 DESCOMPOSICIN POLAR ............................................................................................................... 91 1.12 TENSOR ESFRICO Y DESVIADOR ................................................................................................. 91 1.13 OTROS ................................................................................................................................................. 92 1.14 NOTACIN DE VOIGT ..................................................................................................................... 92 1.15 CAMPO DE TENSORES. ...................................................................................................................100 1.16 TEOREMA CON INTEGRALES ........................................................................................................122
2 CINEMTICA DEL CONTINUO ................................................................................. 153
2.1 DESCRIPCIN DEL MOVIMIENTO, DERIVADA MATERIAL, VELOCIDAD, ACELERACIN .................................................................................................................................153
2.2 TENSORES DE DEFORMACIN FINITA, DEFORMACIN HOMOGNEA ..............................181 2.3 DESCOMPOSICIN POLAR DEL GRADIENTE DE DEFORMACIN ..........................................225 2.4 DEFORMACIN INFINITESIMAL ....................................................................................................244
3 TENSIONES ................................................................................................................... 257
3.1 FUERZA, TENSORES DE TENSIONES, VECTOR TENSIN ..........................................................257 3.2 ECUACIN DE EQUILIBRIO, TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES ..............................268 3.3 OTRAS MEDIDAS DE TENSIN.......................................................................................................278 3.4 MXIMA TENSIN DE CORTE, CRCULO DE MOHR ..................................................................279 3.5 PARTICULARIDADES DEL TENSOR DE TENSIONES ....................................................................286 3.6 ESTADO TENSIONAL EN DOS DIMENSIONES .............................................................................302 3.7 TENSIONES EN COORDENADAS CILNDRICAS Y ESFRICAS ...................................................309
Contenido
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: PROBLEMAS RESUELTOS
VIII
4 LEYES FUNDAMENTALES DE LA MECNICA DEL MEDIO CONTINUO .......... 313
4.1 INTRODUCCIN A PROBLEMAS DE FLUJO ................................................................................... 326 4.2 INTRODUCCIN A MOVIMIENTO DE SLIDO RGIDO ............................................................. 334
5 INTRODUCCIN A: ECUACIONES CONSTITUTIVAS, PVCI, Y ESTRATEGIAS DE
SOLUCIN DEL PVCI .................................................................................................. 371 6 ELASTICIDAD LINEAL .................................................................................................. 461
6.1 ELASTICIDAD TRIDIMENSIONAL ................................................................................................... 461 6.2 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL ..................................................................................................... 500 6.3 INTRODUCCIN A ELEMENTOS ESTRUCTURALES 1D ............................................................. 534 6.4 TORSIN ............................................................................................................................................. 549 6.5 ENERGA DE DEFORMACIN PARA ELEMENTOS 1D ............................................................... 565
6 BIBLIOGRAFA .............................................................................................................. 585
-
Abreviaturas
PVCI Problema de Valor de Contorno Inicial PVC Problema de Valor de Contorno MEF Mtodo de los Elementos Finitos MEC Mtodo de los Elementos de Contorno MDF Mtodo de las Diferencias Finitas MMC Mecnica del Medio Continuo sii si y solo si Latin i.e. id est es decir et al. et alii y otros e.g. exempli gratia por ejemplo etc. et cetera y as sucesivamente Q.E.D. Quod Erat Demonstrandum lo que se quera demostrar v., vs. versus versus viz. vidilicet a saber Alfabeto griego (a) - alfa (n) - nu (b) - beta (o) - micron (c) - ji (p) - pi (d) - delta (q) - theta (e) - psilon (r) - ro (rho) (f) - fi (s) - sigma (g) - gamma (t) - tau (h) - eta (u) - ypsilon (i) - iota (v) - sigma (j) - fi (w) - omega (k) - kappa (x) - xi (l) - lambda (y) - psi (m) - mu (z) - dseta
Abreviaturas
-
Operadores
2+= parntesis de MacAuley
norma Euclidiana de )(Tr traza de )(
T)( transpuesta de )( 1)( inversa de )( T)( inversa de la transpuesta de )( sym)( parte simtrica de )( anti)( parte antisimtrica de )( esf)( parte esfrica de )( o parte hidrosttica dev)( parte desviadora de )(
mdulo de [ ][ ] salto de producto escalar ( ) det determinante de ( )
)(cof Cofactor de ; ( )adj adjunta de ( ) ( )Tr traza de ( )
: doble producto escalar 2 operador diferencial escalar (Laplaciano)
producto tensorial )( grad gradiente de )( div divergencia de
producto vectorial IIIIII ,, Primer, segundo y tercer invariantes del tensor
&DtD Derivada material de r Vector Vector unitario (versor) 1 Tensor identidad de segundo orden I Tensor identidad de cuarto orden
IsymI Parte simtrica del tensor identidad de cuarto orden
Operadores
-
Unidades (SI)
longitud m - metro corriente elctrica A - ampere masa kg - kilogramo cantidad de sustancia mol - mol tiempo s - segundo intensidad luminosa cd - candela temperatura K - Kelvin
velocidad sm energa, trabajo, calor NmJ = - Joules
aceleracin 2sm potencia W
sJ Vatio
energa NmJ = - Joules permeabilidad 2m fuerza N - Newton viscosidad dinmica sPa presin, tensin 2m
NPa - Pascal flujo de masa sm
kg2
conductividad trmica: mKW flujo de energa
smJ2
frecuencia Hzs1 Hertz densidad de masa 3m
kg
densidad de energa 3mJ
Prefijo Smbolo Potencia
10 Prefijo Smbolo Potencia
10 pico p 1210 kilo k 310 nano 910 Mega M 610 micro 610 Giga G 910 mili m 310 Tera T 1210 centi c 210 deci d 10
Unidades (SI)
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: PROBLEMAS RESUELTOS
XII
Constante de gravitacin Universal de Newton: 2
3111067384.6
skgmG
=
Velocidad de la luz en el vaco: sm
smc 000000300458792299 =
Constantes Fisicas
-
Notacin
),(),( tt XaXArrrr Aceleracin (configuracin de referencia) 2s
m
A Matriz de transformacin de base ),( txa rr Aceleracin (configuracin actual) 2s
m
0B Medio continuo en la configuracin de referencia - 0=t B Medio continuo en la configuracin actual - t B Contorno de B (frontera)
),( txrrb Fuerzas msicas (por unidad de masa) 3m
N
b Tensor izquierdo de deformacin de Cauchy-Green, tensor de deformacin de Finger 2
2
mm
B Tensor de deformacin de Piola
B Entropa creada interiormente KsJ
b Manantial de entropa local por unidad de masa y por unidad de tiempo Kskg
J
eC Tensor constitutivo elstico Pa [ ]C Matriz elstica (notacin de Voigt) Pa inC Tensor constitutivo inelstico Pa c Tensor de deformacin de Cauchy vC Calor especfico a volumen constante pC Calor especfico a presin constante
c Cohesin Pa
cc Concentracin 3mmol
C Tensor derecho de deformacin de Cauchy-Green
VD Deformacin volumtrica 33
mm
D Tensor velocidad de deformacin o tensor tasa de deformacin o tensor tasa de deformacin Euleriana o tensor estiramiento
Ard Diferencial de rea en la configuracin de referencia 2m ard Diferencial de rea en la configuracin actual 2m
Notacion
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: PROBLEMAS RESUELTOS
XIV
dV Diferencial de volumen 3m E Tensor material de deformacin Green-Lagrange, tensor
de deformacin de Green 22
mm
e Tensor de deformacin finita Euleriana o tensor de deformacin de Almansi 22
mm
E Mdulo de elasticidad longitudinal o mdulo de Young Pa ie Base Cartesiana en notacin simblica
kji ,, Base Cartesiana
F Gradiente de deformacin mm
G Mdulo de elasticidad transversal Pa H Tensor de deformacin de Biot
H Entropa total KJ
OHr
Momento angular Jss
kgm =2
J Determinante del Jacobiano 3
3
mm
),( tXr
J Tensor gradiente material de los desplazamientos mm
),( txrj Tensor gradiente espacial de los desplazamientos mm
Jr
Tensor de difusividad sm
mol2
K Tensor de conductividad trmica KmsJ
KmW
=
K Energa cintica J Lr
Cantidad de movimiento lineal smkg
l Tensor gradiente espacial de velocidad msm
m Masa total kg M Tensor de tensiones de Mandel Pa
n Vector unitario normal a una superficie (configuracin actual)
N Vector unitario normal a una superficie (configuracin de referencia)
bprr = Fuerza msicas por unidad de volumen 3m
N
P Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, tensor de tensiones nominales Pa
p Presin media Pa p Presin termodinmica Pa
),( txrrq Flujo de calor o vector del flujo no convectivo smJ2
Q Tensor ortogonal
-
NOTACIN
XV
Q Potencia calorfica J ),( tr xr Funcin escalar que describe en forma espacial el calor
generado por las fuentes internas por unidad de masa skgJ
R Tensor ortogonal de la descomposicin polar S Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff Pa
sr Flujo de entropa 2 mskg
J
T Tensor de tensiones de Biot Pa ),,()( nt n txr
r Vector traccin (configuracin actual) Pa
)(0
Ntr
Pseudo vector tensin (configuracin de referencia) Pa ),( tT xr Temperatura K
t Tiempo s 00 = tt Tiempo inicial s
U& Tasa de la energa interna WsJ =
u Energa interna especfica kgJ
),( txrru Vector desplazamiento (Euleriana) m ),( tX
rru Vector desplazamiento (Lagrangiana) m
t,(Xr
U Tensor derecho de estiramiento, o tensor de estiramiento Lagrangiano, o tensor de estiramiento material
),( txrV Tensor izquierdo de estiramiento, o tensor de estiramiento Euleriano, o tensor de estiramiento espacial
),(),( tt XvXVrrrr Velocidad (configuracin de referencia)
sm
),( txv rr Velocidad (configuracin actual) sm
W Tensor spin o tensor velocidad de rotacin srad
msm =
intw Potencia tensorial WsJ =
Xr
Vector posicin coordenada material m xr Vector posicin coordenada espacial m
Coeficiente de expansin trmica K1
ij Delta de Kronecker 321 ,, Deformaciones principales
Alargamiento unitario mm
ijk Smbolo de permutacin, componentes del tensor Levi-Civita
V Deformacin volumtrica (para pequeas deformaciones) 33
mm
Tensor de deformacin infinitesimal mm
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: PROBLEMAS RESUELTOS
XVI
Entropa especfica KkgJ
Mdulo de deformacin volumtrica Pa Difusividad trmica
sm 2
Estiramiento mm
, Constantes de Lam Pa Coeficiente de Poisson Densidad de masa 3m
kg
S Densidad de masa de la solucin 3mkg
f Densidad de masa del fluido 3mkg
),(0 txr Densidad de masa en la configuracin de referencia 3m
kg
),( txr Densidad de masa en la configuracin actual 3mkg
Tensor de tensiones de Cauchy o tensor de tensiones verdaderas Pa N
r Componente normal del vector traccin Pa
Sr
Componente tangencial del vector traccin Pa m Tensin media Pa
321 ,, Tensiones principales Pa octr Tensin normal octadrica Pa octr Tensin tangencial octadrica o tensin de corte octadrica Pa max Tensin de corte mximo Pa Tensor de tensiones de Kirchhoff Pa ngulo de friccin interno Energa libre de Helmholtz especfica (por unidad de masa) kg
J
Densidad de energa libre de Helmholtz (por unidad de volumen) 3mJ
e =)( Densidad de energa de deformacin 3mJ
ngulo de dilatancia Tensor tasa del tensor de rotacin material
-
Algunas Identidades Trigonomtricas
=
+=
+=+
=
+=
++=
+=
++==
=
2cos
2sin2)sin()sin(
2sin
2sin2)cos()cos(
2cos
2cos2)cos()cos(
)]2cos(1[21)(sin
)]2cos(1[21)(cos
)]sin()[sin(21)cos()sin(
)]cos()[cos(21)sin()sin(
)]cos()[cos(21)cos()cos(
)sin()sin()sin()cos()cos()sin()cos()cos()sin()sin(
2
2
m
m
1)(tan)(sec
)sin()cos(
)tan(1)cot(
)cos(1)sec(
)cos()sin()tan(
1)(sin)(cos
22
22
=+==
=
==+
0)cos(1lim;1)sin(lim00
== x
xxx
xx
Formulas Utiles
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: PROBLEMAS RESUELTOS
XVIII
Lista de identidades trigonomtricas http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_identity Algunas Expansin en Serie
L++
++= 33
32
2
2
)(!3
1)(!2
1)()()( axxfax
xfax
xfafxf (serie de Taylor)
( )1;!2
)1(1)1( 2
-
FRMULAS TILES
XIX
Algunas Integrales
)()()(; xfxfxx dxxxfdx expexpexpexp =
= Cxxxdxxxdx
x+== )()(;)(1 LnLnLn
Cau
aauu
du
Cau
auadu
Cau
uadu
+
=
+
=+
+
=
122
122
122
sec1
tan1
sin
Lista de integrales http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals Solucin de Funciones Funcin cuadrtica
)0(2
402
2 = =++ aa
acbbxcbxax solucin
Regla de Ruffini http://en.wikipedia.org/wiki/Ruffini%27s_rule Expresiones relacionadas con el crculo:
r
1x
2x
b
a
Ecuacin del crculo: 22221 )()( rbxax =+ rea del crculo: 2rA = Longitud de la circunferencia: rC = 2
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: PROBLEMAS RESUELTOS
XX
Expresiones relacionadas con la elipse:
Ecuacin de la elipse: +== cos1 eprxr
Excentricidad: 10;a
ba2
22
-
Draft Por: Eduardo W. V. Chaves (2014) Universidad de Castilla- La Mancha Ciudad Real - Espaa
1 Tensores
1.1 Vectores, Notacin Indicial
Ejemplo 1.1
Probar que si ar
y br
son vectores se cumple que:
( ) ( ) ( )( ) ( )2babbaababa rrrrrrrrrr = Solucin:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( ) ( )2
2222
222
22
22
22
cos
coscos1sin
sin
babbaa
babababa
babababa
babababa
rrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
===
=====
22
2222
donde hemos considerado que 2aaarrr = y 2bbb rrr = .
Ejemplo 1.2
Probar que: si bacrrr += , el mdulo de cr puede ser expresado a travs de la siguiente relacin:
22cos 2 bbaac
rrrrr ++= donde es el ngulo que forman los dos vectores ar y br . Solucin: Partiendo de la definicin del mdulo de un vector se cumple que:
( ) ( ) bbabbaaabababa rrrrrrrrrrrrrr +++=++=+ 2
La notacin indicial fue introducida por Einstein (1916, sec. 5), who later jested to a friend, "I have made a great discovery in mathematics; I have suppressed the summation sign every time that the summation must be made over an index which occurs twice..." (Kollros 1956; Pais 1982, p. 216). Ref. (Wolfram MathWorld (Einstein Summation))
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: PROBLEMAS RESUELTOS
Draft Por: Eduardo W. V. Chaves (2014)
2
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Ciudad Real - Espaa
Teniendo en cuenta que 2aaarrr = , 2bbb rrr = y que abba rrrr = (conmutativo), concluimos
que:
22
22
2
cos 2
2
bbaa
bbaa
bbabbaaaba
rrrr
rrrr
rrrrrrrrrr
++=++=
+++=+
con lo cual demostramos que 22
cos 2 bbaabarrrrrr ++=+ . Luego es de fcil
demostracin que 22
cos 2 bbaabarrrrrr += .
NOTA: Partiendo de la expresin 222
2 bbaabarrrrrr ++=+ podemos concluir que el
valor 2
barr + ser mximo cuando 0= resultando que
( )222
222
2
2
ba
bbaa
bbaaba
rr
rrrr
rrrrrr
+=++=
++=+
Luego para cualquier otro valor de 1800 < el valor ba rr + ser menor que ba rr + . luego, baba
rrrr ++ :
De forma anloga se puede demostrar que bcarrr + y cab rrr + que es la conocida
desigualdad triangular, donde se cumple que:
br
ar
0= br
ar
babarrrr +=+
a
b c
a
-
1 TENSORES
Draft Por: Eduardo W. V. Chaves (2014)
3
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Ejemplo 1.3
Verificar si para las siguientes transformaciones = E)( y 221)( = E son
transformaciones lineales. Solucin: [ ] )()()( 21212121 +=+=+=+ EEE (transformacin lineal)
La transformacin 221)( = E se demuestra fcilmente que no es una transformacin lineal
ya que:
[ ] [ ])()()()(
221
21
212
21
21)(
212121
2122
21
2221
21
22121
+++=++=++=+=+
E
EEEEE
Ejemplo 1.4 Considrense los puntos ( )1,3,1A , ( )1,1,2 B , ( )3,1,0C y ( )4,2,1D . a) Encontrar el rea del paralelogramo definido por
AB y
AC ;
b) Encontrar el volumen del paraleleppedo definido por:
AB ,
AC y
AD ;
)(
21 + 2 1
)( 2
)( 1
)()()( 2121 +=+
21 + 1 2
)(
)( 21 +
)( 2
)( 1
)()( 21 +
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: PROBLEMAS RESUELTOS
Draft Por: Eduardo W. V. Chaves (2014)
4
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c) Encontrar el vector proyeccin del vector
AB sobre el vector
BC . Solucin:
a) Primero se calculan los vectores
AB y
AC :
( ) ( ) kjikjikji 041131112 +=+++=== OAOBABar ( ) ( ) kjikjikji 221131310 +=++++=== OAOCACbr
Utilizando la definicin del producto vectorial se obtiene el producto vectorial:
kjikji
)6(2)8(221041
+== ba rr
El rea del paralelogramo ser igual al mdulo del vector resultante del producto vectorial:
104)6()2()8( 222 =++== ba rrA (unidades cuadradas)
b) Calculando vector
AD :
( ) ( ) kjikjikji 310131421 +=++++=== OAODADcr Utilizando la definicin:
( ) ( ) ( ) cbicas) (unidades 161820628310),,( =+=+== kjikjibaccba rrrrrrV c) A continuacin calculamos el vector
BC :
( ) ( ) kjikjikji 222112310 ++=+++== OBOCBC Luego el vector proyeccin de
AB sobre
BC viene dado por:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )kji
kjikjikji
kjikji
222444082
222222222
041222
2
+++++=
+++++++++==
BCBCBC
ABBCAB
BC
BC43421
proj
kji 35
35
35 = AB
BCproj
Ejemplo 1.5 Reescribir en notacin indicial las siguientes expresiones: a) 333322311 xxaxxaxxa ++ Solucin: )3,2,1(3 =ixxa ii b) 2211 xxxx +
-
1 TENSORES
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Solucin: )2,1( =ixx ii
c)
=++=++=++
z
y
x
bzayaxa
bzayaxabzayaxa
333231
232221
131211
Solucin:
=++=++=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
jmudondice
===
33
22
11
bxabxabxa
jj
jj
jj
ilibrendice
ijij bxa =
Ejemplo 1.6 a) Demostrar que: 33 vv pp = ; b) Demostrar que: 33 jjii AA = ; c) Obtener el resultado de ijkij ; d) Obtener el resultado de ijji A32 . Solucin: Las componentes de la delta de Kronecker son:
=
=
100010001
333231
232221
131211
ij (1.1)
a) La expresin ( ppv3 ) no tiene ndice libre, luego el resultado es un escalar: 33332321313 vvvvv pp =++= (1.2)
b) La expresin jii A3 tiene un ndice libre ( j ), luego el resultado es un vector: 33332321313 jjjjjii AAAAA =++= (1.3)
c) La expresin ijkij tiene un ndice libre ( k ), luego el resultado es un vector:
kkk
kkk
kkk
jkjjkjjkjijkij
333323231313
323222221212
313121211111
332211
+++++
+++++
++
++= 32143421321
(1.4)
luego, kijkij 0= (vector nulo). d)
2332 AAijji = (1.5)
-
MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: PROBLEMAS RESUELTOS
Draft Por: Eduardo W. V. Chaves (2014)
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Ejemplo 1.7 Expandir la expresin: )3,2,1,( =jixxA jiij Solucin: Los ndices ji, son ndices mudos (indican suma), no hay ndice libre, y como resultado tenemos un escalar. Expandimos primero el ndice mudo i y a continuacin el ndice j , resultando as:
434214342143421
3333
2332
1331
33
3223
2222
1221
22
3113
2112
1111
11
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxA
xxAxxA jjjjjjioexpandiend
jiij
+
+
+
+
+
+
+
+
Reagrupando los trminos anteriores obtenemos:
3333233213313223
22221221311321121111
xxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxA jiij
++++++++=
Ejemplo 1.8 Desarrollar las siguientes expresiones y obtener el valor numrico correspondiente: 1) jjii Solucin: ( )( ) 933332211332211 ==++++= jjii 2) 11 Solucin: 1111111 === NOTA: Observar que es incorrecto hacer la siguiente operacin
13 1111 == , ya que lo que se reemplaza es el ndice repetido
Ejemplo 1.9 a) Probar que a) ippjkijk 2= ; b) 6=ijkijk c) ikjijk aa 0= ; d) Obtener el valor numrico de la siguiente expresin ikjijk 132 . Solucin: a) Utilizando la expresin: jpiqjqippqkijk = y haciendo jq = , resulta:
ipipipjpijjjippjkijk 23 === b) Partiendo del resultado anterior, es trivial la siguiente comprobacin 62 == iiijkijk . c) Observemos que ikjijk = , es decir, es antisimtrico en jk y observemos que kj aa resulta un tensor de segundo orden simtrico. Como sabemos el doble producto escalar de un tensor simtrico y otro antisimtrico es cero luego:
iiijkijkkjijk aa 0)(0)( ==== aaaa rrrr d) 1123132 == ikjijk
expa
ndie
ndo
j
-
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Ejemplo 1.10 Obtener el valor de las siguientes expresiones: a) kjiijk 321 b) jpiqjqippqkijk = para los siguientes casos b.1) 3,2,1 ==== pqji b.2) 2,1 ==== pjqi c) ))(( 11 ibtbasaistiqkqpjpijk ++ cAcAcAcA donde ijk es el smbolo de permutacin y ij es la Delta de Kronecker. Solucin: a) 1123321 == kjiijk b.1) 00000)1(03231233221223211213212 =++=++= kk b.2) 1)1(100002131232121222111212112 =++=++= kk c) Observemos que la operacin jpjp bcA = resulta un vector y verificamos tambin que
[ ] iiiqkqpjpijk 0)()()( === bbcAcA rrrrcAcA , con lo cual resulta que: 1))(())(( 11111111 ===++=++ iiiiiiibtbasaistiqkqpjpijk 00cAcAcAcA
Recordatorio: Smbolo de Permutacin
1
2 3
1=ijk
1=ijk
i
j k
kijjkiijk == jikkjiikjijk ===
1=k
1ij
2ij
3ij
3=k
2=k
1=i 2=i 3=i
1=j 2=j 3=j 0
0
0
0 0
0 0 1
-1
1=i 2=i 3=i
1=j 2=j 3=j 0
0
0
0 1
0 -1 0
0
1=i 2=i 3=i
1=j 2=j 3=j 0
0
0
-1 0
1 0 0
0
-
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NOTA: El tensor de segundo orden kijk w puede ser fcilmente obtenido como sigue:
=
+
+
=
++=
00
0
000001010
001000100
010100000
12
13
23
321
332211
wwwwww
www
wwww ijijijkijk
Ejemplo 1.11 Escribir en notacin indicial: a) el mdulo del vector a
r; b) cos , donde es el ngulo que
forman los vectores ar
y br
. Solucin:
iijjiiijjijjii aaaaaaaaaa ====== aeeaaa rrrr 2 luego, tambin cumple que iibb=b
r.
Por definicin = cosbaba rrrr , donde jjiiijjijjii babababa ==== eeba r . Teniendo en cuenta que un ndice no puede aparecer ms que dos veces en un trmino de la expresin, podemos expresar cos como:
kkii
jj
bbaa
ba== ba
ba rrrr
cos
Ejemplo 1.12 Demostrar la desigualdad de Schwarz:
babarrrr Desigualdad de Schwarz (1.6)
Solucin: Consideremos un escalar , y la siguiente operacin:
02
0)()(2
22
22
+=+==
bbaa
bbabbaaabababarrrr
rrrrrrrrrrrrrr
02)(2
22 += bbaa rrrr f , si ahora consideramos el valor de 2a
barrr = podemos
obtener que:
0)(
0)(2)()()(2)(
0)()(2)()(
2
2
2
2
2
2
2
22
24
22
2
2
2
22
2
+=
+=+=
+
=
=
ba
ba
ba
ba
a
baba
babaa
baa
ba
babaa
baaa
ba
rrrr
rrrr
rrrr
rrrrr
rrrr
rrrrrr
rrrr
rrr
f
-
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babababaa
babrrrrrrrr
rrrr 2222
22)()(
Solucin alternativa
Teniendo en cuenta que 1cos0 la relacin bababa rrrrrr = cos se cumple, luego concluimos que baba
rrrr .
Ejemplo 1.13
Escribir la siguiente relacin ( ) ( )dcba rrrr sin emplear el producto vectorial. Solucin: Observemos que el producto vectorial ( )ba rr lo podemos expresar de la siguiente forma: ( ) ikjijkkkjj eeeba baba == rr , cuyo resultado ser un vector. De esta forma hemos utilizado la definicin del smbolo de permutacin. Anlogamente podemos expresar el producto vectorial ( )dc rr como ( ) nmlnlm edc dc= rr , por lo tanto: ( ) ( )
mlkjilmijk
inmlkjnlmijk
nimlkjnlmijk
nmlnlmikjijk
dcbadcbadcba
dcba
====
eeeedcba
)()
rrrr
Teniendo en cuenta que lmijkiilmijk = y aplicando la relacin ilmjkikljmkmjllmijki == , concluimos que: ( ) mllmmlmlmlkjkljmkmjlmlkjilmijk dcbadcbadcbadcba ==
Puesto que el subndice mudo indica el producto escalar: ( )ca rr =llca y ( )db rr =mmdb , luego: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )cbdadbcadcba rrrrrrrrrrrr = Observemos que, cuando ac
rr = y bd rr = obtenemos que: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 babbaaabbabbaababa rrrrrrrrrrrrrrrrrr ==
Que es la misma expresin obtenida en el Ejemplo 1.1. NOTA: Podemos empezar de la ecuacin anterior para demostrar que:
( ) ( ) 2222222222222 sincos1cos)( bababababababa rrrrrrrrrrrrrr ==== sin baba rrrr =
Notar que 1sin0 , con lo cual podemos demsotrar que bababa rrrrrr = sin , luego
babarrrr
Q.E.D.
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Ejemplo 1.14 Probar que a) 0=kjiijk baa b) ( ) ba rr =++ 321312213 kjikijjikijk bababa c) jiij AA es un invariante
Solucin: a) 332211 baabaabaabaa jiijjiijjiijkjiijk ++= . Para el trmino 11 baa jiij tenemos que:
0132123132231123321
133331132231131131
123321122221121121
113311112211111111
13131212111111
=+=+=
+++++++
+++=++=
baabaabaabaabaabaabaabaabaabaabaabaabaa
baabaabaabaa
jjjjjjjiij
Anlogamente para los trminos 03322 == baabaa jiijjiij . Es interesante observar que kjiijk baa representa el determinante con dos filas iguales:
0
321
321
321
==bbbaaaaaa
baa kjiijk
b)
barr ==++=++
=++iiiijjkk
kjiijkkijijkjikijk
bababababababa
bababa
112233123231312
321312213
Ejemplo 1.15
Probar que: ( ) ( ) ( ) ( )bacdbadcdcba rrrrrrrrrrrr = Solucin: Expresaremos en notacin indicial el segundo miembro de la expresin:
[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]kjijkipkjijkipp
bacdbadc )( )( =
bacdbadc rrrrrrrr
( )piipkjijkpikjijkipkjijk dcdcbadcbadcba Si utilizamos la propiedad de la delta de Kronecker:
( ) ( ) ( )npimnipmnmkjijknpnmimninmpmkjijk dcbadcdcba y si consideramos que mnlpilnpimnipm = . Reemplazamos en la expresin anterior y obtenemos:
( ) ( ) ( )( )[ ]nmmnlkjijkpilmnlpilnmkjijk dcbadcba
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Dado que las componentes de ( )ba rr son kjijk ba y las componentes de ( )dc rr son nmmnl dc , obtenemos que:
( )( )[ ] ( ) ( )[ ]pnmmnlkjijkpil dcba rrrr =dcba
Ejemplo 1.16
a) Si ar
, br
, cr
son vectores linealmente independientes y que se cumple que:
iiiiiscomponente 0cbav ++= ++= cbav rrrr
Probar que los escalares , , son dados por:
rqppqr
kjiijk
rqppqr
kjiijk
rqppqr
kjiijk
cba
vba
cba
cva
cba
cbv
=== ;;
b) Dados tres vectores linealmente independientes, demostrar que al intercambiar 2 filas 2 columnas el signo del determinante )( cba
rrr cambia. Solucin: a) Haciendo el producto escalar del vector v
r por el vector ( cb
rr ) obtenemos que:
43421rrr
43421rrrrrrrrr
00
)()()()( ==++= cbccbbcbacbv
Obtenemos entonces el valor de como:
)()(
cba
cbvrrrrrr
=
En componentes:
rqppqr
kjiijk
cba
cbv
cbacbacbacbvcbvcbv
cccbbbaaacccbbbvvv
===
333
222
111
333
222
111
321
321
321
321
321
321
Anlogamente podemos obtener los parmetros , , es decir, hacemos el producto escalar del vector v
r por los vectores ca
rr y ba rr , respectivamente, i.e.:
)()(
)()(
)()()()(
00
cbacva
cabcav
caccabcaacav
rrrrrr
rrrrrr
43421rrrrrr
43421rrrrrr
=
===
++=
==
rpqqpr
kijjik
rqppqr
kjiijk
cba
cva
cab
cav
)()(
)()(
)()()()(
00
cba
vba
bac
bav
bacbabbaabav
rrrrrr
rrrrrr
rrr43421rrr
43421rrrrrr
===
=
++=
==
prqqrp
ikjjki
rqppqr
kjiijk
cba
vba
bac
bav
NOTA 1: Podemos reestructurar las componentes del vector vr de la siguiente forma:
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jiji zBzzz
cbacbacba
cbacbacba
vvv
v =
=
=
=3
2
1
333
222
111
333
222
111
3
2
1
donde hemos denotado por =1z , =2z , =3z . Teniendo en cuenta que:
B
B )1(
333
222
111
333
222
111
1
====
cbacbacbacbvcbvcbv
cba
cbvz
rqppqr
kjiijk
;
B
B )2(
333
222
111
333
222
111
2
====
cbacbacbacvacvacva
cba
cvaz
rqppqr
kjiijk
B
B )3(
333
222
111
333
222
111
3
====
cbacbacbavbavbavba
cba
vbaz
rqppqr
kjiijk
donde )(iB es el determinante de la matriz resultante al reemplazar la columna )(i de la
matriz B por las componentes del vector vr
. Con eso, podemos decir que:
Dado B
B )(i
ijiji == zzBv Regla de Cramer
NOTA 2: Aunque hemos demostrado para una matriz 33 , este procedimiento es vlido para matrices de n-dimensiones y es conocido en la literatura como Regla de Cramer.
NOTA 3: La solucin ( iz ) solo es posible si 0B . NOTA 4: Si ii 0v = tenemos que ijij 0zB = y ii 0)( =B , con eso, segn la regla de Cramer tenemos que:
ii
i 0z == )(BB Notar que, la solucin non-trivial ii 0z solo es posible si y solo si 0=B , (ver Ejemplo 1.51).
b) El determinante definido por ],,[)( cbacbarrrrrr = en notacin indicial queda kjiijk cba ,
adems sabiendo que se cumple que:
i
j k
kijjkiijk == jikkjiikjijk ===
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],,[],,[],,[ acbbcacbarrrrrrrrr ===== kjijkikjiikjkjiijk cbacbacba
Luego
kjijki
kjiikjkjiijk
cbaaaacccbbb
cbabbbcccaaa
cccbbbaaa
cba
==
===
321
321
321
321
321
321
321
321
321
Ejemplo 1.17 a) Probar las relaciones:
( ) ( ) ( )[ ] baa1aaaba
abccbcbabcacbarrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrr
===
)()(
)(
b) Obtener las explcitas componentes del tensor ])[( aa1aarrrr .
Solucin:
a) Representando el producto vectorial ( ) kjijki cb= cb rr , luego: ( )[ ]
( )
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]r rrr
srssrrjjkrk
rsssrskjssjrkkjsskrj
kjssjrkskrj
kjsjkirsikjsijkrsi
kjijksrsir
baccab
abccbbaca
cba
rrrrrrrrrrrrrrr
rrr
===
====
===
=
cb
acbcbcbacbacbacbacbacba
cbacbacba
cba
)(
)(
Comprobando que:
( ) ( ) ( ) ( ) abccbcbabcacba rrrrrrrrrrrrrr == Notar que tambin se cumple que:
( ) ( ) [ ] [ ] c1baabbac1caabccbcba rrrrrrrrrrrrrrrrrr === )()( En el caso particular cuando ca
rr = podemos decir que: ( )[ ] [ ] [ ]
[ ]{ }rprprpjjprjpjrpjj
rjppjrppjjrjjrkkr
baa1aa
aba
rrrrr
rrr
===
==
)(
)()()(
)()()()(
baaaabaaaa
ababaaababaa
b) Teniendo en cuenta la ecuacin anterior podemos obtener que
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+++
=
++==
)()(
)(
100010001
)()(])[(
22
213131
3123
2121
312123
22
333131
312221
31211123
22
21
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaa jiijkkij aa1aa rrrr
Ejemplo 1.18 Demostrar la identidad de Jacobi:
( ) ( ) ( ) 0bacacbcba rrrrrrrrrr =++ Solucin: A travs del ejercicio anterior demostramos que ( ) ( ) ( )cbabcacba rrrrrrrrr = , luego, tambin es vlido que:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )bacabcbac acbcabacb rrrrrrrrrrrrrrrrrr
==
Luego, teniendo en cuenta que el producto escalar entre dos vectores es conmutativo, es decir, ( ) ( )acca rrrr = , ( ) ( )abba rrrr = , ( ) ( )bccb rrrr = , concluimos que:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
0
bacabc
acbcab
cbabca
bacacbcbar
rrrrrr
rrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrr =++
=++
1.2 Operaciones con Tensores de Orden Superior
Ejemplo 1.19 Cul es el orden de los tensores representados por sus componentes: iv , ijk , ijjF , ij , ijklC ,
ij ? Determinar cuntas componentes independientes tiene el tensor C . Solucin: El orden del tensor viene dado por el nmero de subndices libres, luego:
Tensores de orden uno: vr , Fr
Tensores de segundo orden: , Tensor de tercer orden: Tensor de cuarto orden: C El nmero de componentes de un tensor viene dado por el mximo valor del rango del subndice, 3 si ( 3,2,1=i ), elevado al nmero de subndices libres. Es decir, para el tensor de cuarto orden, el nmero de ndices libres es 4, luego:
( ) ( ) ( ) ( ) 81333334 ====== lkji El tensor de cuarto orden ijklC tiene 81 componentes independientes.
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Ejemplo 1.20
Demostrar que a) ( ) ( )acbcba rrrrrr = ; b) ( ) ( ) ( ) dacbdcba rrrrrrrr = Solucin:
a) ( ) acbacbeeeeecba rrrrrrrrr ==== )()()()( iikkjkkjiikkjjii acbcbacba b) La expresin ( ) ( )dcba rrrr , que resulta un tensor de segundo orden, expresamos directamente en notacin indicial:
( ) ( )[ ] ( )( ) ijjiescalar
kkjikkjkkijkkiij ))(()()( dacbdcba ===== rrr321rrrr
dacbdacbdcbadcba
Ejemplo 1.21 Desarrollar y simplificar lo posible la expresin jiij xxA para los siguientes casos:
a) jiij AA = b) jiij AA = Solucin: Expandiendo jiij xxA obtenemos:
333332233113
233222222112
133112211111
332211
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx jjjjjjjiij
AAAAAAAAA
AAAA
++++++++==++=
(1.7)
a) jiij AA = (simetra) 23333223
222231132112
2111 222 xxxxxxxxxxx jiij AAAAAAA +++++= (1.8)
b) jiij AA = (antisimetra) 0=jiij xxA (1.9)
lo que era de esperar ya que:
)( xxxxrrrr == :AAjiij xxA (1.10)
Si A antisimtrico y )( xx rr resulta simtrico, el doble producto escalar de un tensor simtrico y uno antisimtrico resulta ser siempre igual a cero.
Ejemplo 1.22 Si las componentes de los tensores de segundo orden y T son representadas respectivamente por:
=
634121425
ij ;
=
831124213
ijT (1.11)
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Obtener T : . Solucin:
ijij= TT : (1.12)
333323231313
323222221212
313121211111
332211
++++++++++++
++=
TTT
TTT
TTT
TTTT 321321321 jjjjjjijij
(1.13)
luego,
8786331411224)1(241235 =++++++++= ijijT (1.14)
Ejemplo 1.23 Dadas las componentes del tensor B en el sistema de coordenadas cartesianas:
=
975351423
ijB (1.15)
Obtener: a) kjikij BBC = ; b) jkikij BBD = ; c) kjkiij BBE = ; d) iiC , iiD , iiE Solucin:
=
===
12210867464823544431
975351423
975351423
kjikij BBCBBC (1.16)
=
===
1556765673525652529
975351423
975351423 T
jkikijT BBDBBD (1.17)
=
===
1068660867846604635
975351423
975351423 T
kjkiijT BBEBBE (1.18)
Luego:
219106783521915535292011224831
332211
332211
332211
=++=++==++=++==++=++=
EEEEDDDDCCCC
ii
ii
ii
(1.19)
NOTA: Verificamos que se cumple que: BBBBBB :== )()( TT TrTr
-
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Ejemplo 1.24 Dadas las componentes cartesianas del tensor de segundo orden B :
=
303210201
ijB
Obtener: a) kkB b) ijijBB c) kjjkBB
Solucin: a) 5311332211 =++=++= BBBB kk b)
333323231313
323222221212
313121211111
332211
BBBBBB
BBBBBB
BBBBBB
BBBBBBBB
+++++
+++++
++
++= 321321321 jjjjjjijij
Resultando: 28330033221100220011 =++++++++=ijijBB
c)
333332233113
233222222112
133112211111
332211
BBBBBB
BBBBBB
BBBBBB
BBBBBBBB
+++++
+++++
++++= 321321321 kkkkkkkjjk
( ) ( ) ( ) 23202232002331111222 233213311221333322221111
=+++++=+++++= BBBBBBBBBBBBBB kjjk
Ejemplo 1.25 Obtener las componentes del tensor D resultante de la siguiente operacin BAD := , para los siguientes casos:
a)
=
=
521121132
;511114232
ijij BAcon
b)
=
=
3212181391517913
;31271611181114137
jkikkjik BABAcon
Solucin: a) 50552111112114123322 =++++++++=BA :
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b) Teniendo en cuenta la expresin BABABA :== )()( TT TrTr y que Tjkik BA BA = , concluimos que 5432913)( =++== TBABA Tr: . Ejemplo 1.26 Considrese un tensor de segundo orden EEFET )()( :+= 1Tr o en notacin indicial
ijkpkpijkkij EEFET )(+= . Si las componentes de los tensores E y F vienen dadas por:
=
=
002302134
;102051412
ijij FE
a) Obtener las componentes del tensor T . b) Son los tensores T y E coaxiales? Demustralo. Solucin: Obtenemos primero los siguientes escalares:
8152)( =++=ETr 21010022300521143142 =++++++++=EF :
Luego
=
+
=
29042011321
842150
102051412
21100010001
8ijT
Dos tensores son coaxiales cuando presentan los mismos autovectores o cuando se cumple que TEET = :
=
=
=
=
1974214284586155284155289
29042011321
842150
102051412
1974214284586155284155289
102051412
29042011321
842150
kjik
kjik
TE
ET
Con lo cual concluimos que son coaxiales.
Ejemplo 1.27
Obtener el resultado de las siguientes operaciones: II : , II : , II : , II : , II : , II : , II : , II : , symsym II : , II :sym , symII : , donde
jlikijkllkjiijkl con === II eeee11 I (1.20) jkilijkllkjiijkl con === II eeee11 I (1.21) klijijkllkjiijkl con === II eeee11 I (1.22)
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Solucin:
ijkljlikqlpkjqippqklijpqijkl III ==== )( II : ijkljlikqkpljpiqpqklijpqijkl III ==== )( II :
ijklklijqqklpqpqijpqklijpqijkl III 3)( ==== II : ijkljkilqlpkjpiqpqklijpqijkl III ==== )( II : ijkljkilqkpljqippqklijpqijkl III ==== )( II :
ijklklijkljqiqklpqjqippqklijpqijkl III ===== )( II : ijklklijkljqiqklpqjpiqpqklijpqijkl III ===== )( II :
Resumiendo lo anterior en notacin tensorial:
III === 111111 )()( :: III === 111111 )()( ::
III 3)(3)()( === 111111 :: III === 111111 )()( :: III === 111111 )()( :: III === 111111 )()( :: III === 111111 )()( ::
Teniendo en cuenta la definicin: ( ) ( )1111 +=+=21
21 III sym , concluimos que:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]( )
sym
symsym
I
II
=+=
+++=+++=
++=
1111
11111111
1111111111111111
11111111
21414141
::::
::
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1111
1111
==+=+=+==
==+=+=+==
IIIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIII
21
21
21)(
21
21
21)(
:::::
:::::
symsym
symsym
-
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1.3 Transpuesta
Ejemplo 1.28 Demostrar que la siguiente propiedad es vlida:
( ) ( ) ( ) BCACABCBA ::: TT == donde A , B , C son tensores de segundo cualesquiera. Solucin: Demostraremos esta identidad a travs de sus componentes:
( ) ( )( )kjikijjqilkppqlkij
qlkpjipqlkij
qppqkllkjiij
CBACBACBA
CBA
===
=
eeeeeeeeeeCBA
:::
Observemos que cuando trabajamos en notacin indicial el orden no importa, es decir:
ikkjijkjijikkjikij BCACABCBA == Podemos ahora observar que la operacin ijikAB resultar un tensor de segundo orden cuyas
componentes son kjT )( AB luego, ( ) CAB := Tkjijik CAB . Anlogamente podemos decir que ( ) BCA :Tikkjij =BCA .
Ejemplo 1.29 Demostrar que, si u
r, vr
son vectores y A un tensor de segundo orden, la siguiente relacin es vlida:
uAvvAurrrr =T
Solucin:
ljljjjll
ilijlkjkjkkiljli
iiljjlkkkkjljlii
T
uAvvAuuAvvAu
uAvvAu
==
==
eeeeeeee
uAvvAu
rrrr
1.3.1 Simetra y Antisimetra
Ejemplo 1.30 Si es un tensor de segundo orden simtrico y W es un tensor de segundo orden antisimtrico. Demostrar que 0=W : . Solucin:
ijijjkillkijkllkjiij WWW === )()( eeeeW :: Desarrollando
Q.E.D.
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1 TENSORES
Draft Por: Eduardo W. V. Chaves (2014)
21
Universidad de Castilla- La Mancha
Ciudad Real - Espaa
4342143421321
3333
3232
3131
33
2323
2222
2121
22
1313
1212
1111
11
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
WW
+
+
+
+
+
+
+
+
= jjjjjjijij
Considerando la propiedad de un tensor simtrico 2112 = , 1331 = , 2332 = y antisimtrico 0332211 === WWW , 1221 ww = , 1331 WW = , 2332 WW = , resultando:
0=W :
Ejemplo 1.31 Demostrar que:
a) MQMMQMrrrr = sym ;
b) antiantisymsym BABABA ::: += ; donde, M
r es un vector, y Q , A , y B son tensores de segundo orden arbitrarios.
c) Demostrar que si se cumple que ijkijk 0=T , T es simtrico, es decir, jiij TT = . Solucin: a)
( ) MQMMQMMQQMMQM rrrrrrrr +=+= antisymantisym Ya qu
