Tο άκρο A της οµογενούς ράβδου AO του σχήµα τος (1) έχει διαµορφωθεί κατάλληλα, ώστε, όταν σ’ αυτό προσκρούσει λεπτή οριζόντια φλέβα νερού διατοµής σ, να ανακλάται και να γίνε ται κατακόρυφη χωρίς απώλεια κινητικής ενέργειας. H ράβδος είναι αρθρωµένη στο άλλο της άκρο O σε οριζόντιο έδαφος. Eάν η ταχύτη τα της προσπίπτουσας φλέβας έχει µέτρο v, να βρεθεί η µάζα της ράβδου, δεδοµένου ότι αυτή ισορροπεί υπό κλίση φ ως προς την κατα κόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η πυκνότητα ρ του νερού και η επιτάχυν ση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: Έστω ότι σ' ένα πολύ µικρό χρόνο dt προσκρούει στο άκρο A της ράβ δου µια µάζα dm νερού µε ταχύτητα

�

! v

1. H µεταβολή της ορµής της µάζας

αυτής κατά την οριζόντια διεύθυνση είναι

�

-dm! v

1, οπότε η οριζόντια συνιστώσα

της δύναµης κρούσεως που δέχεται από την ράβδο είναι ίση µε

�

-(dm/dt)! v 1.

Όµως σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Nεύτωνα, η µάζα dm θα εξασκεί στο άκρο A της ράβδου οριζόντια δύναµη

�

!

F 1 οµόρροπη της

�

! v

1, µε µέτρο:

�

F1

=dm

dt

!

" #

$

% & v1

= 'dV

dt

!

" #

$

% & v1

= '(v

1dt

dt

!

" #

$

% & v1

�

!

�

F1= !"v

1

2 (1)

Σχήµα 1 όπου dV1 ο όγκος του νερού που αντιστοιχεί στην µάζα dm, ο οποίος όγκος περιέχεται σε στοιχειώδη κύλινδρο ύψους v1dt και βάσεως σ. Eξάλλου, η µάζα dm ανακλώµενη προς τα κάτω µε ταχύτητα

�

! v

2 υφίσταται κατά την κατακόρυ

φη διεύθυνση µεταβολή της ορµής της ίση µε

�

dm! v

2, οπότε η κατακόρυφη συνι

στώσα της δύναµης κρούσεως που δέχεται από το άκρο A της ράβδου είναι

�

(dm/dt)! v 2. Έτσι θα εξασκεί στην ράβδο δύναµη

�

!

F 2 ίση πρός

�

-(dm/dt)! v 2, δηλα

δή η

�

!

F 2 είναι αντίρροπη της

�

! v

2 το δε µέτρο της είναι:

�

F2

=dm

dt

!

" #

$

% & v2

= 'dV

2

dt

!

" #

$

% & v2

= '(v

2dt

dt

!

" #

$

% & v2

�

!

�

F2= !"v

2

2 (2)

Όµως ισχύει v1=v2=v, οπότε οι σχέσεις (1) καί (2) δίνουν:

�

F1

= F2= !"v

2 (3) H ράβδος OA εκτός από τις δυνάµεις

�

!

F 1,

�

!

F 2 δέχεται ακόµη το βάρος της

�

! w και

την δύναµη

�

! Q από την αρθρωση O και επειδή θέλουµε να ισορροπεί, το αλγεβ

ρικό άθροισµα των ροπών όλων των δυνάµεων περί το σηµείο O, είναι µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση:

�

F2L!µ" - wL!µ"/2 + F

1L#$%" = 0

�

!

(3)

�

!"v2#µ$ - mg#µ$/2 +!"v2"%&$ = 0

�

!

�

mg!µ" = 2#$v2(!µ" +$%&") !

�

m = 2!"v2(#µ$ +"%&$)/g#µ$ = 2!"v2(1+"$$)/g όπου m η ζητούµενη µάζα της ράβδου και L το µήκος της.

P.M. fysikos

Δίνεται λεπτός µεταλλικός δίσκος, µάζας m και ακτίνας R, ο οποίος µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στο επί πεδό του και απέχει από το κέντρο του C απόσταση r. Eκτρέπουµε τον δίσκο από την θέση ισορροπίας του κατά µια µικρή γωνία φ0 και τον αφήνουµε ελεύθερο. i) Nα βρεθεί για ποιά τιµή της απόστασης r ο δίσκος θα επανέλθει στην θέση ισορροπίας του στον συντοµότερο χρόνο και να βρεθεί ο χρόνος αυτός. ii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την οριζόντια και κατα κόρυφη συνιστώσα της αντίδρασης του άξονα περιστροφής του δίσ κου. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας

IC=mR2/2 του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ΛYΣH: i) Εάν Ο είναι το σηµείο τοµής του άξονα περιστροφής του δίσκου µε το επίπεδό του, τότε στην θέση ισορροπίας του δίσκου η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας του C ως προς το Ο θα είναι κατακόρυφη. Εξέταζοντας τον

δίσκο όταν η γωνιακή εκτροπή του από την θέση ισορροπίας είναι φ, παρατη ρούµε ότι στην θέση αυτή ο δίσκος δέχεται το βάρος του

�

m! g και την αντίδραση

του άξονα περιστροφής του που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα

�

! F

x και

στην κατακόρυφη συνιστώσα

�

! F y. Οι ροπές περί το Ο των δυναµεων

�

! F

x και

�

! F y

είναι µηδενικές ενώ η ροπή του βάρους

�

m! g αποτελεί την συνολική ροπή περί

το Ο που δέχεται ο δίσκος, δηλαδή ισχύει:

�

!! " (O) = -mgr#µ$

! k (1)

Σχήµα 2 όπου

�

! k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο του δίσκου, του οποίου η

φορά επιλέγεται συµβατικά, ώστε να αντιστοιχεί σε αριστερόστροφη περιστροφή της επιβατικής ακτίνας του κέντρου C. Eφαρµόζοντας για τον δίσκο τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση:

�

IO

d2!

dt2

! k = "

! # (O)

�

!

(1)

�

IO

d2!

dt2

! k = -mgr"µ!

! k

�

!

�

IO

d2!

dt2+ mgr"µ! = 0 (2)

όπου ΙΟ η ροπή αδράνειας του δίσκου, ως προς άξονα που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Όµως κατά το θεώρηµα Steiner θα έχουµε:

�

IO

= IC

+ mr2

= mR2/2 + mr

2 οπότε η σχέση (2) γράφεται:

�

mR2

2+ mr2

!

" #

$

% &

d2'dt2

+ mgr(µ' = 0

�

!

�

R2

2+ r2

!

" #

$

% &

d2'dt2

+ gr(µ' = 0 (3)

Για µικρή γωνιακή εκτροπή φ µπορούµε µε καλή προσέγγιση να γράψουµε ηµφ≈φ, (µε φ σε rad) και η (2) παίρνει την µορφή:

�

R2

2+ r2

!

" #

$

% &

d2'dt2

+ gr' = 0

�

!

�

d2!

dt2+

2gr!

R2 + 2r2= 0

�

!

�

d2!

dt2

+"2! = 0 µε

�

!2 =

2gr

R2 + 2r2 (4)

Η (4) αποτελεί µια οµογενή διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

�

! = A"µ (#t + $) (5) όπου Α, δ σταθερές ολοκλήρωσης των οποίων οι τιµές εξαρτώνται από τις αρχι κές συνθήκες κίνησης του δίσκου. Επειδή για t=0 είναι φ=φ0 και dφ/dt=0 εύκο λα προκύπτει ότι Α=φ0 και δ=π/2, οπότε η (8) γράφεται:

�

! = ! 0"µ (#t + $ /2) = ! 0%&'#t (6) Από την (6) προκύπτει ότι η περιστροφική κίνηση του δίσκου είναι περιοδική µε περίοδο Τ, που δίνεται από την σχέση:

�

T =2!

"= 2!

R2 + 2r2

2gr (7)

O xρόνος επανόδου t* του δίσκου στην θέση ισορροπίας του είναι ίσος µε Τ/4, δηλαδή ισχύει:

�

t*=

T

4

�

!

(7)

�

t* =!

2 2g

R2 + 2r2

r=

!

2 2g

R2

r+ 2r (8)

O χρόνος t* θα γίνει ελάχιστος όταν η υπόριζη ποσότητα (R2/r)+2r λάβει την µικρότερη τιµή της. Όµως παρατηρούµε ότι (R2/r)2r=2R2=σταθερό, οπότε το άθροισ µα (R2/r)+2r παίρνει την µικρότερη τιµή του, όταν:

�

R2/r = 2r

�

!

�

R2= 2r

2

�

!

�

r =R/ 2 = R 2 /2 Τότε θα έχουµε:

�

t*(min) =!

2 2g

3R 2

2=!

2

3R

2g (9)

ii) Kατά την περιστροφή του δίσκου το κέντρο µάζας του C εκτελεί περίπου ευθύγραµµη κίνηση επί οριζόντιας ευθείας, η δε εξίσωση κίνησής του έχει την µορφή:

�

xC

= r!

�

!

(6)

�

xC = R! 0( 2 /2)"#$%t όπου xC η αλγεβρική τιµή της αποµάκρυνσης του κέντρου µάζας C του δίσκου ως προς την θέση ισορροπίας του. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νέυτωνα κατά την οριζόντια και την κατακόρυφη διεύ θυνση παίρνουµε τις σχέσεις:

�

Fx = max= -m!2xC

Fy - mg = 0

"

#

$

�

!

�

Fx= -mR!2" 0( 2 /2)#$%!t

Fy = mg

&

' (

) (

P.M. fysikos

Oµογενής λεπτή ράδβος ΑΒ, µάζας m και µήκους L, τοποθετείται ώστε οι άκρες της Α και Β να εφάπτονται ενός λείου κοίλου ηµισφαιρίου ακτίνας R (R>L/2), που είναι στερεωµένο µε τον άξονα συµµετρίας του Οz κατακόρυφο, όπως φαίνεται στο σχήµα (3). i) Nα καθορίσετε την θέση ισορροπίας της ράβδου. ii) Εάν η ράβδος εκτραπεί από την θέση ισορροπίας της, ώστε οι άκρες της να εξακολουθούν να εφάπτονται τoυ κοίλου ηµισφαιρίου και να παραµείνει στο κατακόρυφο επίπεδο που περιέχει την θέση ισορροπίας της, να βρείτε την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνησή της, όταν αφεθεί ελεύθερη. iii) Με την βοήθεια της διαφορικής εξίσωσης που θα βρείτε να καθο ρίσετε την κίνηση του κέντρου µάζας της ράβδου στην περίπτωση µιας µικρής εκτροπής της από την θέση ισορροπίας της. Δίνεται η ρο πή αδράνειας ΙC=mL2/12 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C και είναι κάθετος στην ράβδο και η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) H ράβδος δέχεται το βάρος της

�

m! g και τις αντιδράσεις

�

! F

1,

�

! F

2 του

κοίλου ηµισφαιρίου στα σηµεία επαφής της Α και Β αντιστοίχως µε αυτό. Επειδή οι επαφές αυτές είναι χωρίς τριβή οι φορείς των δυνάµεων διέρχονται από το κέντρο Ο του ηµισφαιρίου, οπότε στην θέση ισορροπίας της ράβδου πρέπει και ο φορέας του βάρους της να διέρχεται από το Ο. Αυτό συµβαίνει µόνο όταν η ράβδος τοποθετηθεί σε οριζόντια θέση µε το κέντρο µάζας της C πάνω στον άξονα συµµετρίας Οz της κοίλου ηµισφαιρίου και µε τις άκρες της Α, Β σε επαφή µε αυτό (σχ. 3).

Σχήµα 3

ii) Όταν η ράβδος εκτραπεί από την θέση ισορροπίας της ώστε να παραµείνει στο κατακόρυφο επίπεδο που περιέχει την αρχική της θέση, τότε υπο την

επίδραση των δυνάµεων

�

m! g ,

�

! F

1,

�

! F

2 θα κινείται επί του επιπέδου αυτού η δε

θέση της θα καθορίζεται κάθε στιγµή από την γωνιακή εκτροπή φ της ευθείας ΟC ως προς την κατακόρυφη διέυθυνση Οz. Η κίνηση αυτή µπορεί να θεωρηθεί ως περιστροφή της ράβδου περί ένα στιγµιαίο κέντρο που στην περίπτωσή µας είναι το κέντρο Ο του κοίλου ηµισφαιρίου, διότι οι κάθετες διευθύνσεις στα διανύσµατα των ταχυτήτων των άκρων Α και Β της ράβδου τέµνονται στο Ο. Οι ροπές των δυνάµεων

�

! F

1,

�

! F

2 περί το Ο είναι µηδενικές ενώ η ροπή του

βάρους της ράβδου περί το Ο δίνεται από την σχέση:

�

! ! = -mg(CM)

! k = -mg(OC)"µ#

! k (1)

όπου

�

! k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο κίνησης της ράβδου, του

οποίου η φορά επιλέγεται ώστε να είναι συµβατή µε αριστερόστροφη περιστ ροφή της ράβδου. Όµως από την γεωµετρία του σχήµατος (4) έχουµε:

�

R2

= (OC)2+ (AC)

2

�

!

�

R2 = (OC)2 + (L/2)2

�

!

�

OC = R2- L

2/4

Σχήµα 4 οπότε η σχέση (1) παίρνει την µορφή:

�

! ! = -

mg

24R2 - L2

"µ#! k (2)

Εφαρµόζοντας για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρ νουµε την σχέση:

�

IO

d2!

dt2

! k =! "

�

!

(2)

�

IO

d2!

dt2

! k = -

mg

24R2 - L2

"µ!! k

�

!

�

d2!

dt2= -

mg

2IO

4R2 - L2"µ! (3)

όπου ΙΟ η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετος στην ράβδο. Όµως κατά το θεώρηµα Steiner ισχύει:

�

IO = IC + m(OC)2 = mL2/12 + m(R2 - L2/4)

�

!

�

IO

= mL

2

12-L

2

4+ R

2!

" #

$

% & =

m

66R

2- L

2( )

οπότε η (3) γράφεται:

�

d2!

dt2= -

3g 4R2 - L2

6R2 - L2"µ!

�

!

�

d2!

dt2= -

3g 4R2 - L2

6R2 - L2"µ!

�

d2!

dt2+3g 4R2 - L2

6R2 - L2"µ! = 0

�

!

�

d2!

dt2

+"2#µ! = 0 (4)

µε

�

!2=

3g 4R2 - L2

6R2 - L2 και L<2R.

Η (4) αποτελεί την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την επίπεδη κίνηση της ράβδου. iii) Εάν η αρχική γωνιακή εκτροπή φ0 της ράβδου από την θέση ισορροπίας της είναι πολύ µικρή, τότε κάθε στιγµή µπορούµε να γράφουµε την προσεγγιστική σχέση ηµφ≈φ (φ σε rad), οπότε η (3) παίρνει την µορφή:

�

d2!

dt2

+"2! = 0 (5)

Η (5) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

�

! = A"µ (#t +$) (6) όπου Α, θ σταθερές ολοκλήρωσης που οι τιµές τους εξαρτώνται από τις αρχι κές συνθήκες κίνησης της ράβδου. Επειδή για t=0 είναι φ=φ0 και dφ/dt=0 ευκολα προκύπτει Α=φ0 και θ=π/2, οπότε η (6) γράφεται:

�

! = ! 0"µ (#t + $ /2) = ! 0%&'#t (7) H (7) εκφράζει ότι η κίνηση της ράβδου είναι στροφική αρµονική ταλάντωση κατά την εξέλιξη της οποίας το κέντρο µάζας της C ταλαντέυεται αρµονικά επί οριζόντιας ευθείας, µε κέντρο ταλάντωσης την αρχική του θέση.

P.M. fysikos

Σφαιρίδιο µάζας Μ, είναι στερεωµένο στην περι φέρεια τροχαλίας αµελητέας µάζας και ακτίνας R, η οποία µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Το σφαιρίδιο είναι δεµένο µε αβαρές και µη εκτατό νήµα, ένα τµήµα του οποίου εφάπτεται του

αυλακιού της τροχαλίας και το άκρο του καταλήγει σε µικρό σώµα µάζας m<M, το οποία αιωρείται, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). i) Nα καθοριστεί η θέση ισορροπίας του συστήµατος. ii) Eάν το σύστηµα εκτραπεί από την θέση ισορροπίας του, ώστε η επι βατική ακτίνα της µάζας Μ ως προς το κέντρο της τροχαλίας να στρα φεί κατα µια µικρή γωνία θ0, να εκφράσετε την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g

της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Έστω φ0 η γωνία που σχηµατίζει η επιβατική ακτίνα της µάζας Μ ως προς το κέντρο Ο της τροχαλίας µε την κατακόρυφη διεύθυνση Οz, όταν το σύστηµα βρίσκεται σε ισορροπία. Εξετάζοντας την τροχαλία και την µάζα Μ παρατηρούµε ότι οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχεται το σύστηµα αυτό είναι το βάρος

�

M! g της µάζας Μ, η τάση

�

! F του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της

τροχαλίας και η αντίδραση

�

! Q του άξονα περιστροφής της τροχαλίας. Λόγω της

ισορροπίας του συστήµατος η συνολική ροπή περί το Ο των παραπάνω δυνάµε ων είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

!" (O) = 0

�

!

�

MgR!µ" 0 + Q#0 - FR = 0

�

!

�

Mg!µ"0 = F

Σχήµα 5 Όµως στην κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος ισχύει F=mg, οπότε η προη γούµενη σχέση γράφεται:

�

Mg!µ"0 = mg

�

!

�

!µ"0

= m/M < 1 (1) Προφανώς η γωνία φ0 καθορίζει την θέση του συστήµατος, όταν αυτό ισορροπεί. ii) Στην συνέχεια εξετάζουµε το σύστηµα, αφού αποµακρυνθεί από την θέση ισορροπίας του, κατά την στιγµή t που η γωνιακή εκτροπή της επιβατικής ακτί νας της µάζας Μ από την θέση ισορροπίας της είναι θ. Στην θέση αυτή η συνο λική ροπή περί το Ο που δέχεται το σύστηµα τροχαλία-µάζα Μ είναι:

�

!! " (O) = -MgR#µ ($ 0 +%)

! k + FR

! k (2)

όπου

�

! k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο της τροχαλίας, του οποίου η

φορά επιλέγεται συµβατικά, ώστε να αντιστοιχεί σε αριστερόστροφη περιστροφή της επιβατικής ακτίνας της µάζας Μ. Εάν

�

! a είναι η επιτάχυνση της µάζας m

την χρονική στιγµή t, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτω να για την µάζα αυτή θα έχουµε:

�

F- mg = m|! a |

�

!

�

F= mg + m|! a | (3)

Εξάλλου εάν

�

! ! ' είναι η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας την χρονική στιγ

µή t, τότε για την αλγεβρική της τιµή θα ισχύει η σχέση

�

|! a |=-!'R, οπότε η (3)

γράφεται:

�

F= mg - m!'R (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (4) παίρνουµε:

�

!! " (O) = -MgR#µ ($ 0 +%)

! k + (mg - m& 'R)R

! k

�

!

�

!! " (O) = -MgR#µ ($ 0 +%)

! k + mgR

! k - m&'R2

! k

�

!

�

!! " (O) = -MgR#µ ($ 0 +%)

! k + mgR

! k - mR2

!! " (O)

MR2

�

!

�

1+m

M

!

" #

$

% & '! ( (O) = -MgR)µ (* 0 ++)

! k + mgR

! k (5)

Όµως ισχύει η τριγωνοµετρική ταυτότητα:

�

!µ (" 0 +#) = !µ"0$%&# +$%&"0!µ# η οποία για µικρή γωνιακή εκτροπή θ µε καλή προσέγγιση γράφεται:

�

!µ (" 0 +#) $ !µ"0 +#%&'"0

όπου η γωνία θ µετράται σε rad. Έτσι η σχέση (5) µετασχηµατίζεται στην:

�

1+m

M

!

" #

$

% & '! ( (O) = -MgR)µ*0

! k -MgR+,-*0 .

! k + mgR

! k

�

!

(1)

�

1+m

M

!

" #

$

% & '! ( (O) = -mgR

! k -MgR)*+, 0 -

! k + mgR

! k

�

!

�

(m + M)!! " (O) = -M2gR#$%&0 '

! k (6)

Όµως σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ισχύει η σχέση:

�

MR2 d

2!

dt2

! k = "

! # (O)

οπότε η (6) γράφεται:

�

(m + M)Rd2!

dt2= -Mg"#$% 0!

�

!

�

d2!

dt2= -

Mg"#$% 0

(m + M)R!

�

d2!

dt2

+"2! = 0 µε

�

!2 =Mg"#$% 0

(m + M)R (7)

Η (7) αποτελεί µια οµογενή διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

�

! = A"µ (#t + $) (8) όπου Α, δ σταθερές ολοκλήρωσης των οποίων οι τιµές εξαρτώνται από τις αρχι κές συνθήκες κίνησης του συστήµατος. Επειδή για t=0 είναι θ=θ0 και dθ/dt=0 εύκολα προκύπτει ότι Α=θ0 και δ=π/2, οπότε η (8) γράφεται:

�

! = !0"µ (#t + $ /2) = !0%&'#t (9) Η αλγεβρίκη τιµή της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας είναι:

�

! = d" /dt

�

!

(9)

�

! = -"0#$µ#t

�

!

�

! = -"0

Mg#$%&0

(m + M)R'µ

Mg#$%& 0

(m + M)Rt

(

) *

+

, - µε

�

!µ"0

=m

M

P.M. fysikos

Μια σφαίρα Α κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος και κάποια στιγµή συγκρούεται µε σφαίρα Β της ίδιας µάζας και της ίδιας ακτίνας, η οποία ηρεµεί επί του εδάφους. Κατά την στιγµή της κρούσεως η σφαίρα Α έχει µόνο µεταφορική κίνηση και ο φορέας της ταχύτητας

�

! v

0 του κέντρου µάζας της σχηµατίζει µε την

διάκεντρο των σφαιρών γωνία φ<π/2. Εάν ο συντελεστής κρούσεως των δύο σφαιρών είναι e, να µελετηθεί η κίνησή τους µετά την κρού ση στις εξής περιπτώσεις: i) Όταν µεταξύ των σφαιρών υπάρχει επαρκής τριβή, ώστε στην διάρ κεια της κρούσεως η µια σφαίρα να µην ολισθαίνει επί της άλλης ii) Όταν µεταξύ των σφαιρών υπάρχει µη επαρκής τριβή, ώστε κατά την κρούση η µια σφαίρα να ολισθαίνει επί της άλλης. Στην περίπτω ση αυτή θεωρείται γνωστός ο συντελεστής τριβής ολίσθησης n µεταξύ των δύο σφαιρών. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=2mR2/5 µιας σφαίρας µάζας m και ακτίνας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της.

ΛΥΣΗ: i) Επειδή η κρούση των δύο σφαιρών είναι τραχεία, η δύναµη κρού σεως που δέχεται κάθε σφαίρα είναι πλάγια ως προς το κοινό εφαπτόµενο επί πεδό των σφαιρών και αναλύεται στην τριβή και στην κάθετη αντίδραση. Η τρι βή

�

! T

1 που δέχεται η σφαίρα Σ1 είναι αντίρροπη της y-συνιστώσας

�

! v 0y της ταχύ

τητας

�

! v

0 είναι δε στατική τριβή στην περίπτωση που η µια σφαίρα δεν ολίσθαί

νει επί της άλλης. Κατά τον χρόνο Δt που οι σφαίρες είναι σε επαφή η στρο φορµή της Σ1 περί το σηµειο επαφής Σ δεν µεταβάλλεται, διότι οι ροπές των δυνάµεων που δέχεται η σφαίρα περί το σηµείο αυτό είναι µηδενικές, το δε σηµείο είναι ακίνητο. Έτσι θα ισχύει η σχέση:

�

mv0yR = mv1yR + I!"1

�

!

�

mv0yR = mv1yR + (IC1+ mR2)!1

�

!

�

mv0yR = mv1yR + (2mR2/5 + mR2)!1

�

!

�

v0!"#$ = v1y + 7R%1/5 (1)

Σχήµα 6

όπου

�

! v 1y η y-συνιστώσα της ταχύτητας

�

! v

1 της Σ1 µετά την κρούση και

�

! !

1 η

αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της περιστροφικής κίνησης που αποκτά η σφαίρα περί το κέντρο µάζας της C1 υπό την επίδραση της ροπής της

�

! T

1 περί το C1.

Eξάλλου η τριβή

�

! T

2 που δέχεται η σφαίρα Σ2 είναι επίσης στατική και αντίθετη

της

�

! T

1 (τρίτος νόµος του Νεύτωνα) την θέτει δε κατά τον χρόνο Δt σε περιστρο

φική κίνηση περί το κέντρο µάζας της C2 στην διάρκεια της οποίας η στροφορ µή της περί το σηµείο επαφής Σ δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει:

�

0 = -mv2yR + I!" 2

�

!

�

0 = -mv2yR + (IC2+ mR2)! 2

�

!

�

mv2yR = (2mR2/5 + mR2)! 2

�

!

�

v2y = 7R!2/5 (2) όπου

�

! v 2y η y-συνιστώσα της ταχύτητας

�

! v

2 της Σ2 µετά την κρούση και

�

! !

2 η

αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της περιστροφικής της κίνησης. Eπειδή κατά την διεύθυνση y (η διεύθυνση y είναι κάθετη προς την ευθεία κρούσεως x των δύο σφαιρών) η ορµή του συστήµατος διατηρείται κατά τον χρόνο Δt, ισχύει:

�

mv0y+ 0 = mv1y+ mv2y

�

!

�

v0!"#$ = v1y+ v2y

�

!

(1),(2)

�

v0!"#$ = v

0!"#$ -7R%

1/5 + 7R%

2/5

�

!

�

!1= !

2 (3)

Όµως δεχθήκαµε ότι η µια σφαίρα δεν ολισθαίνει επί της άλλης, που σηµαίνει ότι τα σηµεία επαφής τους θα έχουν την ίδια εφαπτοµενική ταχύτητα την στιγµή του αποχωρισµού τους, δηλαδή θα ισχύει:

�

v1y -!1R = v2y +! 2R

�

!

�

v1y - v2y = !1R +! 2R

�

!

(3)

�

v1y - v2y = 2!1R (4) H (4) συνδυάζόµενη µε την

�

v1y+ v2y = v0!"#$ δίνει:

�

2v1y= v0!"#$ +2R%1

�

!

(1)

�

2(v0!"#$ - 7R%1 /5) = v0!"#$ +2R%1

�

!

�

v0!"#$ = 24R%

1/5

�

!

�

!1

= 5v0"#$% /24R (5)

H (1) λόγω της (5) δίνει:

�

v0!"#$ = v1y + 7v0!"#$ /24

�

!

�

v1y = 17v0!"#$ /24 (6) H (2) λόγω της (3) και (5) δίνει:

�

v2y = 7v0!"#$ /24 (7) Εξάλλου η διατήρηση της ορµής του συστήµατος κατά την διευθυνση της ευθεί ας κρούσεως x δίνει την σχέση:

�

mv0x

+ 0 = mv1x

+ mv2x

�

!

�

v0!µ" = v

1x+ v

2x (8)

όπου

�

! v

1x,

�

! v

2x οι x-συνιστώσες των ταχυτήτων

�

! v

1,

�

! v

2 των σφαιρών κατά την

στιγµή που αυτές αποχωρίζονται. Όµως ο συντελεστής κρούσεως e των δύο σφαιρών δίνεται από την σχέση:

�

e = -v

1x- v

2x

v0x

- 0

�

!

�

ev0!µ" = v

2x- v

1x (9)

Από την λύση του συστήµατος των (8) και (9) τελικά έχουµε:

�

v1x = v0!µ"(1 - e)/2

v2x = v0!µ"(1+ e)/2

# $ % (10)

Mε βάση όλους τους παραπάνω υπολογισµούς µπορούµε για τις ταχύτητες

�

! v

1,

�

! v

2 να γράψουµε τις σχέσεις:

�

! v 1 =

! i v0!µ"(1 - e)/2 +

! j 17v0#$%" /24

! v 2 =

! i v0!µ"(1+ e)/2 +

! j 7v0#$%" /24

& ' (

όπου

�

! i ,

�

! j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x και y αντιστοίχως. Eίναι προ

φανές ότι µετά την κρούση τα κέντρα µάζας των σφαιρών θα κινούνται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο µε σταθερές ταχύτητες

�

! v

1,

�

! v

2, ενώ ταυτόχρονα οι σφαί

ρες θα περιστρέφονται περί τα κέντρα τους µε σταθερές γωνιακές ταχύτητες

�

! !

1,

�

! !

2 που είναι ίσες µεταξύ τους και διευθύνονται κατακόρυφα.

Παρατήρηση: Eάν σχηµατίσουµε το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων

�

! v

1,

�

! v

2 θα έχουµε:

�

(! v 1!! v 2) = v0

2"µ

2#(1 - e2)/4 +119v0

2$%&

2# /376 ' 0

δηλαδή οι διευθύνσεις κίνησης των κέντρων των σφαιρών δεν είναι κάθετες µεταξύ τους, ακόµη και στην περίπτωση που η κρούση τους θα ήταν ελαστική (e=1). Aυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι σφαίρες δεν είναι λείες, ενώ στην περί πτωση λείων σφαιρών οι διευθύνσεις των

�

! v

1,

�

! v

2 είναι µεταξύ τους κάθετες και

οι σφαίρες µετά την κρούση έχουν µεταφορική µόνο κίνηση. ii) Όταν η τριβή ανάµεσα στις δύο σφαίρες είναι σχετικά µικρή, ώστε στην διάρκεια του χρόνου Δt η µια σφαίρα να ολισθαίνει πάνω στην άλλη, τότε οι τριβές

�

! T

1,

�

! T

2 είναι τριβές ολίσθησης και το κοινό τους µέτρο Τ ικανοποιεί την

σχέση Τ=nN, όπου Ν το κοινό µέτρο των καθέτων αντιδράσεων

�

! N

1,

�

! N

2,. Εφαρ

µόζοντας για την σφαίρα Σ1 το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τις διευθύνσεις x και y. παίρνουµε τις σχέσεις:

�

mv1x = mv0x - (Ndt)0

!t

"

mv1y = mv0y - (Tdt) 0

!t

"

#

$ %

& %

�

!

�

mv1x- mv0!µ" = - (Ndt) 0

#t

$

mv1y- mv0%&'" = -n (Ndt)0

#t

$

(

) *

+ *

�

!

(:)

�

v1x- v0!µ"

v1y- v0#$%"=

1

n

�

!

�

nv1x- nv0!µ" = v1y- v0#$%"

�

!

�

nv1x- v1y = v0(n!µ" - #$%") (11) Για την σφαίρα Σ2 το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά τις διευθύνσεις x και y δί νει τις σχέσεις:

�

mv2x = 0 + (Ndt)0

!t

"

mv2y = 0 + (Tdt)0

!t

"

#

$ %

& %

�

!

�

mv2x = (Ndt) 0

!t

"

mv2y = n (Ndt)0

!t

"

#

$ %

& %

�

!

(:)

�

v2x/v2y = 1/n

�

!

�

v2y = nv2x (12) Εξάλλου και στην περίπτωση αυτή ισχύουν οι σχέσεις (10) για τις συνιστώσες

�

! v

1x,

�

! v

2x όποτε οι σχέσεις (11) και (12) γράφονται:

�

nv0!µ"(1 - e)/2 - v1y = v0(n!µ" - #$%")

�

!

�

v1y = -nv0!µ"(1+ e)/2 + v0#$%" (13) και

�

v2y = nv0!µ"(1+ e)/2 (14) Εποµένως για τις ταχύτητες

�

! v

1,

�

! v

2 µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις:

�

! v 1 =

! i v0!µ"(1 - e)/2 +

! j [-nv0!µ"(1+ e)/2 + v0#$%"]

! v 2 =

! i v0!µ"(1+ e)/2 +

! j nv0!µ"(1+ e)/2

& ' ( (15)

Ακόµη πρέπει να παρατηρήσουµε ότι και στην περίπτωση αυτή οι ροπές των τριβών ολισθήσεως περί τα κέντρα µάζας των σφαιρών θα θέσουν τις σφαίρες σε περιστροφή οι δε γωνιακές τους ταχύτητες θα υπολογισθούν µε βάση το γε γονός ότι οι στροφορµές τους περί το σηµείο επαφής Σ των σφαιρών παραµένει σταθερή στην διάρκεια της επαφής τους. Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις:

�

mv0yR = mv1yR + 7mR2!1 /5

�

!

(13)

�

v0!"#$ = [-nv0%µ$ (1+ e)/2 + v0!"#$] + 7R&1 /5

�

!

�

nv0!µ" (1+ e)/2 = 7R#1 /5

�

!

�

!1= 5nv0"µ# (1+ e)/14R (16) και

�

0 = -mv2yR + 7mR2! 2/5

�

!

�

v2y = 7R!2/5

�

!

(14)

�

nv0!µ"(1+ e)/2= 7R#2/5

�

!

�

! 2= 5nv0"µ# (1+ e)/14R (17) δηλαδή και στην περίπτωση αυτή οι σφαίρες αποκτούν ίσες γωνιακές ταχύτη τες

�

! !

1 και

�

! !

2.

P.M. fysikos

Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m0 και ακτίνας R στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

�

! !

0 περί άξονα που διέρχε

ται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Την χρονι κή στιγµή t=0 η µάζα του δίσκου αρχίζει να αυξάνεται οµοιόµορφα µε σταθερό ρυθµό k=dm/dt (λογουχάρη εξ’ αιτίας χιονιού που πέφτει οµοιόµορφα και κάθετα στο επίπεδό του). i) Nα δείξετε ότι η γωνιακή ταχύτητα

�

! ! του δίσκου µεταβάλλεται µε

τον χρόνο t ικανοποιώντας την διαφορική εξίσωση:

�

d!

dt+

k!

m0+ kt

= 0

ii) Nα εκφράσετε την γωνία στροφής του δίσκου σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ΛΥΣΗ: i) Η αύξηση της µάζας του κυκλικού δίσκου συνεπάγεται αύξηση της ροπής αδράνειάς του ως προς τον άξονα περιστροφής του, ενώ η στροφορµή του

�

!

L παραµένει σταθερή, διότι η ροπή του βάρους του δίσκου περί τον άξονα πε ριστροφής είναι διαρκώς µηδενική. Έτσι κάθε στιγµή θα ισχύει η σχέση:

�

dL

dt= 0

�

!

�

d(I!)

dt= 0

�

!

�

Id!

dt+!

dI

dt= 0 (1)

όπου dω η µεταβολή του µέτρου της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt και dI η αντίστοιχη µεταβολή της ροπής αδράνειάς του. Όµως την χρονική στιγµή t ισχύει:

�

I =m0R

2

2+

mtR2

2=

(m0 + mt)R2

2=

(m0 + kt)R2

2 (2)

όπου mt η προστιθέµενη µάζα στον δίσκο σε χρόνο t, ίση µε kt. Παραγωγίζον τας την σχέση (2) ως προς το χρόνο t έχουµε:

�

dI/dt = kR2/2 (3)

οπότε η σχέση (1) γράφεται:

�

(m0 + kt)R2

2

d!

dt+!

kR2

2= 0

�

!

�

d!

dt+

k!

m0+ kt

= 0 (4)

ii) Η (4) αποτελεί µια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως ως προς ω, η οποία λύεται µε την µέθοδο των χωριζόµενων µεταβλητών, δηλαδή η (4) γράφεται:

�

d!

dt=

-k!

m0+ kt

�

!

�

d!

!=

-kdt

m0+ kt

�

!

�

d!

!=

-d(m0 + kt)

m0 + kt

�

!

�

ln! = -ln(m0+ kt) + C (5)

Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι ω=ω0 , οπότε η (5) δίνει:

�

ln!0

= -lnm0+ C

�

!

�

C = ln! 0 + lnm0 = ln(m0! 0) Έτσι η (5) παίρνει την τελική της µορφή:

�

ln! = -ln(m0+ kt) + ln(m0! 0)

�

!

�

ln! = lnm

0!

0

m0+ kt

"

# $

%

& '

�

!

�

! =m

0!

0

m0+ kt

(6)

Εάν dθ είναι η στοιχειώδης µεταβολή της γωνίας στροφής του δίσκου, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, θα έχουµε:

�

! =d"

dt

�

!

(6)

�

m0!

0

m0+ kt

=d"

dt

�

!

�

d! =m

0"

0dt

m0+ kt

�

!

�

d! =m0" 0

k

d(m0 + kt)

m0 + kt

�

!

�

! =m0" 0

kln(m0 + kt) + C' (7)

όπου C’ σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι θ= 0 , οπότε η (7) δίνει:

�

0 =m

0!

0

klnm

0+ C'

�

!

�

C'= -m

0!

0

klnm

0

Έτσι η τελική µορφή της (7) είναι:

�

! =m0" 0

kln(m0 + kt) - lnm0[ ]

�

!

�

! =m

0"

0

kln

m0+ kt

m0

#

$ %

&

' (

�

!

�

! =m

0"

0

kln 1+

kt

m0

#

$ %

&

' ( (8)

Παρατήρηση: Η σχέση (6) µπορεί να προκύψει ανεξάρτητα από την διαφορική εξίσωση (4), κάνοντας χρήση της αρχής διατήρησης της στροφορµής για το σύστηµα δίσκος-προστιθέµενη µάζα. Πράγµατι, εξισώνοντας την στροφορµή

�

!

L 0 του συστήµατος

την χρονική στιγµή t=0 µε την στροφορµή του

�

!

L t την χρονική στιγµή t, παίρ

νουµε την σχέση:

�

L0=L

t

�

!

�

m0R2

2! 0 =

(m0 + kt)R2

2!

�

!

�

! =m

0!

0

m0+ kt

P.M. fysikos

Οµογενής ράβδος ΑΒ, µάζας m και µήκους 2L, αφήνεται κάποια στιγµή µε το άκρο της Β να ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο τοίχο, ενώ το άλλο της άκρο Α ακουµπάει σε λείο οριζόν τιο έδαφος. Εάν κατά την εκκίνηση της ράβδου η κλίση της ως προς την οριζόντια διεύθυνση είναι φ=π/6 (σχ. ), να βρεθούν: i) η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, την στιγµή t=0 που αφήνεται ελεύθερη και

ii) οι αντίδράσεις στις άκρες της ράβδου την στιγµή της εκκινήσεώς της. Δίνεται η ροπή αδράνειας ΙC=m(2L)2/12 της ράβδου ως προς άξο να που διέχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος στην ράβδο και η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Όταν η ράβδος αφεθεί ελέυθερη εκτελεί επίπεδη κίνηση στο κατα κόρυφο επίπεδο που περιέχει την αρχική της θέση. (σχ. 7). Θεωρώντας ως πόλο της κίνησης αυτής το άκρο Β της ράβδου µπορούµε για τις επιταχύνσεις

�

! a

A,

�

! a

B των άκρων της την στιγµή t=0 να γράψουµε την σχέση:

�

! a A =

! a B+ (

! ! '"BA) + (

! ! " dBA/dt) (1)

Σχήµα 7 όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου την χρονική στιγµή t=0, περί άξονα

που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο κίνησης και

�

! ! η αντί

στοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Όµως την χρονική στιγµή t=0 ισχύει

�

! ! =! 0 , οπότε η (1) γράφεται:

�

! a A =

! a B+ (

! ! '"BA) (2)

H σχέση (2) εγγυάται ότι η

�

! ! ' πρέπει να είναι αριστερόστροφη, ώστε το διάνυσ

µα

�

(! ! '"BA) προστιθέµενο στο

�

! a

A να δίνει το

�

! a

B (σχ. ), Εξάλλου το µέτρο της

επιτάχυνσης

�

(! ! '"BA) δίνεται από την σχέση:

�

|(! ! '"BA)| = 2L!'#µ ($/2) = 2L! ' (3)

ενώ για τα µέτρα των

�

! a

A και

�

! a

B έχουµε τις σχέσεις:

�

|! a A | = |(

! ! '"BA)|#$%&

�

!

(3)

�

|! a A | = 2L!'"#$(% /6) = L! ' 3 (4)

και

�

|! a B | = |(

! ! '"BA)|#µ$

�

!

(3)

�

|! a

B| = 2L!'/2 = L! ' (5)

Έξάλλου η ράβδος κατά την έναρξη της κίνησής της (t=0) δέχεται το βάρος της

�

! w , την αντίδραση

�

! F

A του οριζόντιου επιπέδου, η οποία ενεργεί στο άκρο της Α

µε κατακόρυφο φορέα και την αντίδραση

�

! F

B του κεκλιµένου επιπέδου, η οποία

ενεργεί στο άκρο της Β και ο φορέας της είναι οριζόντιος. Εάν Ο είναι το σηµεί

Σχήµα 8 ο τοµής των φορέων των αντιδράσεων

�

! F

A και

�

! F

B, τότε η συνολική ροπή περί

το Ο είναι ίση µε την συνολική ροπή περί το κέντρο µάζας C της ράβδου συν την ροπή περί το Ο της συνισταµένης δύναµης που θα προκύψει από την ανα γωγή όλων των δυνάµεων στο κέντρο µάζας C, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

!! " (O) = !

! " (C) +

! " (O)

!

F #$

�

!

�

mg(CM)! k = IC! '

! k + m|

! a Cx |(OM)

! k + m|

! a Cy | (CM)

! k

�

!

�

mgL!"#$ = m(2L)2%'/12 + m|! a Cx |(OM) + m|

! a Cy |L!"#$

�

!

�

gL!"#($ /6) = L2% '/3+ |

! a Cx |(OM)+ |

! a Cy |L!"#($ /6)

�

!

�

gL 3 /2 = L2!'/3+ |

! a Cx |(OM)+ |

! a Cy |L 3 /2 (6)

όπου

�

! k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο κίνησης της ράβδου η φορά

του οποίου θεωρήθηκε συµβατικά ίδια µε την φορά της

�

! ! ' και

�

! a

Cx,

�

! a Cy η ορι

ζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα αντιστοίχως της επιτάχυνσης

�

! a

C του κέν

τρου µάζας C την χρονική στιγµή t=0. Εξάλλου εκ του σχήµατος (8) έχουµε: ΟΜ = ΟΒ/2 = ΑBηµφ/2

�

! ΟΜ = 2Lηµ(π/6)/2 = L/2 οπότε η (6) γράφεται:

�

gL 3 /2 = L2!'/3+ |

! a Cx |L/2+ |

! a Cy |L 3 /2

�

!

�

g 3 /2 = L! '/3+ |! a Cx |/2+ |

! a Cy | 3 /2 (7)

Όµως για την επιτάχυνση

�

! a

C ίσχύει η διανυσµατική σχέση:

�

! a C =

! a B+ (

! ! '"BC)

από την οποία, µε την βοήθεια του σχήµατος (8) παίρνουµε:

�

|! a Cx | = |

! a B | - |(

! ! '"BC)|#µ$

�

!

(5)

�

|! a Cx | = L! '- L! '"µ (#/6) = L! '/2 (8)

και

�

|! a Cy | = | (

! ! '"BC)| #$%& =L! '#$%(' /6) =L! ' 3 /2 (9)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7), (8) και (9) παίρνουµε:

�

g 3 /2 = L! '/3 + L! '/4 + 3L! '/4

�

!

�

g 3 /2 = L! '/3 + L! '

�

!

�

!'= 3 3g /8L (10) ii) Εφαρµόζοντας την χρονική στιγµή t=0 για το κέντρο µάζας της ράβδου, κατά την οριζόντια διεύθυνση, τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρ νουµε την σχέση:

�

!F(x) = maCx

�

!

(8)

�

FA

=mL! '

2

�

!

(10)

�

FA =3 3

16mg (11)

Eφαρµόζοντας την ίδια στιγµή τον ίδιο νόµο κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, παίρνουµε την σχέση:

�

!F(y) = maCy

�

!

(9)

�

FB - mg = -mL!' 3/2

�

!

(10)

�

FB = mg -9

16mg =

7

16mg (12)

P.M. fysikos

Ηµισφαιρικό σώµα µάζας Μ και ακτίνας R, εδρά ζεται µε την επίπεδη επιφάνειά του σε λείο οριζόντιο έδαφος. Μια οµογενής σφαίρα µάζας m=M/3 και ακτίνας r=R/3 ισορροπεί εφαπτό µενη στο ανώτατο σηµείο του ηµισφαιρικού σώµατος και κάποια στιγµή δέχεται ελαφρά οριζόντια ώθηση που την θέτει σε κίνηση. i) Nα δείξετε ότι κατά τον χρόνο που η σφαίρα είναι σε επαφή µε το ηµισφαιρικό σώµα το κέντρο της διαγράφει ελλειπτικό τόξο. ii) Nα δείξετε ότι η γωνία φ που σχηµατίζει η διάκεντρος των δύο σω µάτων µε την οριζόντια διεύθυνση ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:

�

(3+!"#2$)d2$dt2

-d$dt

%

& '

(

) *

2

+µ$!"#$ +3g

R!"#$ = 0

iii) Να δείξετε ότι η σφαίρα σε κάποια θέση χάνει την επαφή της µε το ηµισφαιρικό σώµα και να προσδιορίσετε την θέση αυτή. iv) Nα βρέιτε την τελική ταχύτητα του ηµισφαιρικού σώµατος. Δίνε ται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας, ενώ θεωρείται αµελήτέα η τριβή

µεταξύ σφαίρας και ηµισφαιρικού σώµατος. ΛΥΣΗ: i) Το σύστηµα του ηµισφαιρικού σώµατος και της σφαίρας δεν δέχεται οριζόντιες εξωτερικές δυνάµεις (τα βάρη των δύο σωµάτων και η αντίδραση του λείου οριζόντιου εδάφους είναι κατακόρυφες δυνάµεις) και επειδή την χρονική στιγµή t=0 το κέντρο µάζας του συστήµατος ακινητεί στην συνέχεια αυτό θα κινείται κατακόρυφα πάνω στον άξονα Οy, όπου Ο η αρχική θέση του γεωµετρι

Σχήµα 9 Σχήµα 10 κού κέντρου του ηµισφαιρικού σώµατος, η οποία λαµβάνεται ως αρχή του ορθογώνιου συστήµατος αξόνων Οxy (σχ. 9). Έστω Ct η θέση του κέντρου µάζας του συστήµατος την χρονική στιγµή t και C1, C2 οι αντίστοιχες θέσεις των κέντρων µάζας του ηµισφαιρικού σώµατος και της σφαίρας (σχ. 10). Γνωστή ιδιότητα του κέντρου µάζας µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

�

(CtC1)M = (CtC2)m

�

!

�

|x1| M = x

2M/3

�

!

�

|x1|= x

2/3 (1)

όπου x1, x2 οι x-συντεταγµένες των C1, C2 την χρονική στιγµή t. Εξάλλου από το ορθογώνιο τρίγωνο Α1C2Α2, µε εφαρµογή του Πυθαγόρειου θεωρήµατος παίρ νουµε την σχέση:

�

(R + r)2 = (|x1 |+ x2)2 + y2

2

�

!

(1)

�

(R + R/3)2 = (x2/3 + x2)2 + y2

2

�

!

�

(4R/3)2 = (4x2/3)2 + y2

2

�

!

�

1 =x2

2

R2+

y2

2

(4R/3)2 (2)

Η σχέση (2) εγγυάται ότι το κέντρο µάζας της σφαίρας κινείται επί ελλειπτικού τόξου, που τα µήκη των ηµιαξόνων του είναι R και 4R/3.

ii) Eπί της σφαίρας ενεργεί το βάρος της

�

m! g και η αντίδραση

�

! N του ηµισφαιρι

κού σώµατος, της οποίας ο φορέας ταυτίζεται µε την διάκεντρο των δύο σωµά των. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας της σφαίρας τον δεύτε ρο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά την οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση παίρνουµε τις σχέσεις:

�

md

2x

2

dt2

= Nx= N!"#$ και

�

md2y2

dt2= Ny- mg = N!µ" - mg

όπου φ η γωνία της διακέντρου των δύο σωµάτων µε τον οριζόντιο άξονα Οx την χρονική στιγµή t που εξετάζουµε το σύστηµα. Απαλοίφοντας την Ν µεταξύ των ανωτέρω εξισώσεων παίρνουµε:

�

md2y2

dt2=

m

!"#$

d2x2

dt2%µ$ - mg

�

!

�

d2y2

dt2!"#$ =

d2x2

dt2%µ$ - g!"#$

�

!

�

d2x2

dt2!µ" -

d2y2

dt2#$%" = g#$%" (3)

Aκόµη έχουµε:

�

|x1 |+ x2 = (R + r)!"#$

�

!

(1)

�

x2/3 + x2 = (R + R/3)!"#$

�

!

�

x2

= R!"#$

�

!

�

dx2

dt= -R!µ"

d"

dt

�

!

�

d2x

2

dt2

= -Rd!dt

"

# $

%

& '

2

()*! +d

2!dt

2+µ!

,

-

.

.

/

0

1 1 (4)

και

�

y2 = (R + r)!µ" = (R + R/3)!µ" = 4R!µ" /3

�

!

�

dy2

dt=

4R!"#$

3

d$

dt

�

!

�

d2y2

dt2=

4R

3-

d!dt

"

# $

%

& '

2

(µ! +d2!dt2

)*+!,

-

.

.

/

0

1 1 (5)

Η (3) λόγω των (4) και (5) γράφεται:

�

-Rd!dt

"

# $

%

& '

2

()*! +d

2!dt

2+µ!

,

-

.

.

/

0

1 1 +µ! -

�

-4R

3-

d!dt

"

# $

%

& '

2

(µ! +d2!dt2

)*+!,

-

.

.

/

0

1 1 )*+! = g)*+!

�

!

�

(3+!"#2$)d2$dt2

-d$dt

%

& '

(

) *

2

+µ$!"#$ +3g

R!"#$ = 0 (6)

iii) Θεωρούµε την συνάρτηση

�

f(t) =1

2

d!dt

"

# $

%

& '

2

(3+()*2!) +6g

R+µ!

,

-

.

.

/

0

1 1 (7)

η οποία παραγωγιζόµενη ως προς t δίνει:

�

df(t)

dt=1

22

d!dt

"

# $

%

& ' d2!dt2

(3+()*2!)-2d!dt

"

# $

%

& '

2

+µ!()*!d!dt

"

# $

%

& ' +

6g

R()*!

d!dt

"

# $

%

& '

,

-

.

.

/

0

1 1

�

!

�

df(t)

dt=

d2!dt2

(3+"#$2!)-d!dt

%

& '

(

) *

2

+µ!"#$! +3g

R"#$!

,

-

.

.

/

0

1 1

d!dt

%

& '

(

) *

�

!

(6)

�

df(t)

dt= 0

�

!

�

f(t) = C

�

!

(7)

�

d!dt

"

# $

%

& '

2

(3+()*2!) +6g

R+µ! = 2C

όπου C σταθερά ολοκλήρωσης που η τιµή της θα καθορισθεί από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι φ=π/2 και dφ/dt =0. Έτσι η πιο πάνω σχέση δίνει C=3g/R, οπότε γράφεται:

�

d!dt

"

# $

%

& '

2

(3+()*2!) +6g

R+µ! =

6g

R

�

!

�

d!dt

"

# $

%

& '

2

=6g

R

(1 - (µ!)

3+)*+2! (8)

Η (6) λόγω της (8) δίνει:

�

d2!

dt2-6g

R

(1 - "µ!)

(3+#$%2!)2

"µ!#$%! +3g

R

#$%!

3+#$%2!

= 0

�

!

�

d2!

dt2=

6g

R

(1 - "µ!)

(3+#$%2!)2

"µ!#$%! -3g

R

(3+#$%2!)#$%!

(3+#$%2!)2

�

!

�

d2!

dt2=

6g

R

(1 - "µ!)

(3+#$%2!)2

"µ!#$%! -3g

R

(3+#$%2!)#$%!

(3+#$%2!)2

�

!

�

d2!

dt2=

3g"#$! (2%µ! - %µ2! - 4)

R(3+"#$2!)2

(9)

H σφαίρα θα χάσει την επαφή της µε το ηµισφαιρικό σώµα στην θέση εκείνη για την οποία µηδενίζεται η δύναµη

�

! N , δηλαδή στην θέση εκείνη όπου ισχύει:

�

m

!"#$*

d2x

2

dt2

= 0

�

!

(4)

�

-mR

!"#$*

d$dt

%

& '

(

) * $ =$ *

2

!"#$*+

d2$

dt2

%

& '

(

) * $ =$ *

+µ$*

,

-

.

.

/

0

1 1 = 0

�

!

�

d!dt

"

# $

%

& ' ! =! *

2

= -d

2!dt

2

"

# $

%

& ' ! =! *

(µ!*

)*+!*

�

!

(8),(9)

�

6g

R

(1 - !µ" *)

3+#$%2" *

= -3g#$%" * (2!µ" * - !µ

2" * - 4)

R(3+#$%2" *)

2

!µ" *

#$%" *

�

!

�

2 - 2!µ" * = -(2!µ" * - !µ

2" * - 4)!µ" *

3+#$%2" *

�

!

�

6 +2!"#2$

*- 6%µ$

*- 2%µ$

*!"#

2$

*= -2%µ

2$

*+ %µ

3$

*+ 4%µ$

*

�

!

�

6 +2 - 2!µ2"

*- 6!µ"

*- 2!µ"

*+ 2!µ

3"

*= -2!µ

2"

*+ !µ

3"

*+ 4!µ"

*

�

!

�

!µ3"

*- 12!µ"

*+ 8 = 0 (10)

όπου φ* η γωνία που καθορίζει την θέση αποχωρισµού της σφαίρας από το ηµισ φαιρικό σώµα. iv) H αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του ηµισφαιρικού σώµατος υπολογίζεται µέσω της σχέσεως:

�

v1 =dx1

dt= -

1

3

dx2

dt= -

1

3

d(R!"#$)

dt=

R

3%µ$

d$

dt

�

!

(8)

�

|! v 1 | =

R

3!µ"

6g

R

(1 - !µ")

3+#$%2"

�

!

�

|! v 1 | = !µ"

Rg

3

1- !µ")

3+#$%2"

&

' (

)

* + (11)

Όταν η σφαίρα αποχωρισθεί από το ηµισφαιρικό σώµα αυτό θα κινείται πάνω στο λείο οριζόντιο έδαφος µε σταθερή ταχύτητα, της οποίας το µέτρο υπολογί ζεται από την σχέση (11) θέτοντας όπου φ=φ*, οπότε θα έχουµε:

�

|! v * | = !µ" *

Rg

3

1 - !µ" *)

3+#$%2" *

&

' (

)

* +

P.M. fysikos